（运筹学与控制论专业论文）抛物系统的参数识别问题.pdf

硕士学位论文 ma s t f r sr i r u 一 1 既 。 = 扩在l 0 0 卿中 . 此外，( q * ， v * ) 是约束极小化问题( p ) 的最优解. 定理 3 . 3 设 ( q . , v . ) 是问题 ( p e ) 的最优解，满足在定理 下， 当: 一。 时，% - y q * , v : 一v * ， 其中( q * ， v * ) 是问题( p ) 那么存在 j e ( q . , v . ) 的一个子列，仍记作它自 身， 使得 3 .2的意义 的最优解. 、/ iim je(gf, of o 一 “ w , v*) 少 / 关键词: 识别问题，罚函数，抛物系统 abs t r a c t i n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r i d e n t i fi c a t io n s o f p h y s i c a l p a r a m e t e r s i n t h e f o l l o w i n g p a r a b o l i c i n i t i a l - b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s . fta t 一 v ( q v v ) - v ( x , 0 ) =v o ( x ) v ( x , t ) =0 f ( x , t ) ( x ,( 0 , t ) , ( x , t ) e 8 s 2 x ( 0 , t ) t h e i d e n t i fi c a t i o n p r o b l e m i s f o r m u l a t e d a s a c o n s t r a i n e d m i n i m i z a t i o n 饰u s i n g t h e o u t p u t l e a s t s q u a r e s a p p r o a c h w i t h t h e h l - r e g u l a r i z a t i o n . d u c i n g a p e n a l t y f u n c t i o n a s t h e f o l l o w i n g , f o r e v e r y 0 , p r o b l e m b y i n t r o - 、 (。 ， 卜 (。，卜 1 r 二 ! 8 v2e ja t a t 一 v (。， 卜 f 2 dx dt. 、 w e c o n s t r u c t a s e q u e n c e o f u n c o n s t r a i n e d m i n i m i z a t i o n p r o b l e m s t o a p p r o x i m a t e t h e c o n s t r a i n e d mi n i m i z a t i o n p r o b l e m. t h e s o l u t i o n s o f s u c h a s e q u e n c e o f u n - c o n s t r a i n e d m i n i m i z a t i o n p r o b le m s a l l e x i s t , a n d t h e y c o n v e r g e t o t h e s o l u t i o n o f t h e c o n s t r a i n e d m i n i m i z a t i o n p r o b l e m i n a c e r t a i n s e n s e . i n t h i s p a p e r , t h e f o l l o w i n g r e s u l t s -a r e a p p r o a c h e d , t h e o r e m 3 . 1 t h e p r o b l e m ( p e ) h a s a t l e a s t o n e s o l u t i o n . t h e o r e m 3 . 2 f o r e v e r y e 0 , l e t ( q # , v . ) b e t h e s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m ( 凡) ， t h e n t h e r e i s a s u b s e q u e n c e o f ( q , , v , ) , s t i l l d e n o t e d 勿i t s e l f , a n d s o m e 。 w i t h q , s u c h t h a t w 一 im- ,0 ” 一” in w l ,2 ( o , t ; l 2 ( q ) ) , s 一 ) im v #- ,0= ” in l 2 ( ( 0 , t ) ; l 2 ( q ) ) ， “一 ) im o f- ,0二 v * in l - ( ( 0 , t ) ; h i ( 0 ) ) ， a n d 一 m q e = 。 in h 1 ( q ) , “ 一 lim q #e - 0一 。 in l 2 ( s2 ) , 一 鳃9 e = q in l - ( q ) . i i i / -. 硕士学位论文 ma s t e r s 1 1 i e s i s mo r e o v e r ( q * , v * ) i s t h e o p t i m a l s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m ( p ) . th e o r e m 3 . 3 l e t ( q , , v , ) b e t h e o p t i m a l s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m( 几) s a t i s f y i n g w h e n- + 0 , q , - - q * , v # - a v * i n t h e s e n s e o f t h e o r e m ( q * , 。 * ) i s t h e o p t i m a l s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m ( p ) , t h e n t h e r e o f j e ( q , , v # ) , s t i l l d e n o t e d b y i t s e l f , s u c h t h a t i s a su 3 . 2 , b s e wh e r e q u e n c e 既j e ( q v t ) = j (q * , v * ) ke y w o r d s : i d e n t i fi c a t i o n s o f p a r a m e t e r s , p e n a l t y f u n c t i o n , p a r a b o l i c s y s t e ms . w 一- - - - - 一 - - - -、 硕士学位论文 ma s i 下r s t i i r s l s 一、引言 在本文中，我们将考虑下面含未知参数q ( x ) 的热传导间题: 8 v 一 二 (q (x )o v ) 一 .f (x , t ),(二 ， ，) 。 。 x (。 ， 二 ) ， 口 乙 ( 1 . 1 ) 回(ls) 满足初始条件 v ( x , 0 ) =v o ( x ) , x e s 2 , 以及 d i r i c h l e t 边界条件 v ( x , t ) =0 , ( x , t ) e脱 x ( 0 , t ) 这里q是招 ( d =1 , 2 或3) 中的一个有界区域， 有分段光滑边界a q . 对于占 据区域q的热导体、 其热传导系数为q ( x ) ，v ( x , t ) 表示时刻t 该热导体的 温度 分布，f 是已 知的. 在实际应用中， 我们 往往需要通过确定q ( x ) 来判断热导体 是什么物质.这时，我们可通过实验观察得知在最终时刻的温度分布 v ( 二 ， t ) = z ( x ) , x e 5 2 .( 1 .4 ) 在实现能量范数最优的前提下使温度v 与观测值z 相匹 配， 以 此来确定参数q ( - ) . 关于这样一个逆问题， 其更详细的应用背景请参阅! 1 ) 、冈和 ! 1 0 ，在文! 1 0 ) 中， 作者用有限元方法对这样的问题进行了比较深入的研究.当然还有其他一些 分析和数值方法的研究成果， 请参阅! 1 - 1 0 . 本文中， 我们 把温度分布 。 ( x , t ) 看作是一个输出， 而把q ( x ) 看作是一个控 制. 这样， 实际上我们探讨的是一类最优控制问 题的逆问题. 在讨论这样的一个 问 题时， 我们引 入了 一个新的罚函数. 通过这个罚函数， 我们把约束极小化问 题 转化为一列无约束的极小化间题. 那么这时我们首先就要考虑这列无约束极小化 问题是否都有解?它们的解与原始问题的解之间有什么联系?在本文的第三部 分， 我们将证明这列无约束极小化问题都有解， 并且它们的解在某种意义下收敛 至原始约束极小化问题的解， 不仅如此， 它们的性能指标也同时逼近原始问题解 的性能指标. 一一.一 首先， 我们 给出 如下记号，k表示h l ( 卿 的 子集， 定义 为 k= 、 h ( q ) ; jjg jjh -( n ) o o , r 1 q ( x ) 0 ， 使得 0 ， 使得 瓜! c , v nn. ( 2 . 9 ) 因 此可以 用有限的l i m 。二 x . ( x ) 来定义x ; 上的一个连 续线 性泛函. 又因 为x 是自 反的， 所以存在某个x e x使得 二 ，h m x n (x ) =l im ( 2 .1 0 ) 这就是说 x o , = 一l im x n . ( 2 .1 1 )n - o o 从而得证自反的b a n a c h空间x是序列弱完备的. 引理2 .2 设x是 一 个自 反的b a n a c h 空间， 又 设 2 n 是x中 的 任 何一 个 范数有界的序列，则我们可以 选出一个子序列 x n ， 它弱收敛于x的某个元 素. 证明 我们将在x是可分的这个假设条件下来证明 此定理.由 条件，x是 自 反的 b a n a c h空间，即 ( 弋) 二 =x. ( 2 . 1 2 ) ，一 叨 又已假定 可数序列， x是可 分的b a n a c h 空间， 那么弋 也是可分的. 设 人 是x 二 中 的 它在x , 中 是强稠密的.又由 条件， 有 ilx n ll 0 是不依赖于。的常数.那么有 if i ( x n ) i _ 川 ilx n ll _ c ll f i ll o o , v n e n .( 2 . 1 4 ) 即序列 f , ( x . ) 是有界的， 那么 存在 x n 的 某个子序列 x n n ， 使得序列 仃1 (x-.) 是收敛的. 对于序列 x . , ， 有 lf 2 ( x n , ) i 0 (。 ) m in je(q , v ) = m in j (q , v ) + 1 儿 二 (8 v2e a t a t 一 : (qv v ) - f 2dx dt, 对所有伪 ， v ) e kx w o . 逼近问题( p e ) 是一个没有状态约束的最优化问 题， 它是在整个集合 求最优. 关于这个问题， 我们首先关心的就是它是否有解?事实上， 明( p e ) 的解是存在的. ( 3 . 3 ) k x叽 上 我们可以证 定理 证明 3 . 1 间 题( 凡) 至 少有一个解. 取序列 ( q . , v . ) j c k x w o ， 满足 m i n j e ( q , 。 ) 三j , ( g n , v n ) m i n j e (q , 。 ) + 生 ( 3 . 4 ) 显然 q n 是l 0 0 卿n h l ( 卿 中 的有界 序列. 又由 于h l ( 卿是自 反的， 那么由 引 理2 .2 ， 可知存在 q n 的 某个子列， 不妨 记作 q n ， 它 弱收敛于某口 e h l ( 卿. 而h l ( 卿 紧 嵌人到护( 卿 中，由 于 q n , 是h l ( 卿 中的有界序列， 那么 存 在 产- - - - - - - - - 晶 硕士学位论文 ma s i g r sl i i g s i s j g n i 的 某 个 子 列， 不 妨仍记 作 4 n z i ， 使得 在l 2 ( 卿 中 ， 该子 序 列 2 是 强 收 敛 到4 的 . 另 一 方面，j g n 2 是l - ( q ) 中 的 有界 序 列， 任 取p ( x ) l l ( q ) ， 则有 in p (x )4 n ,(x )d x l : 太 ip (x ) 。一 (x )ld x 一 11p i，一 ( ) 0 0 , (3 .5 ) 即 f n p ( x ) q , ( x ) d x 是有界的实数列. 下面证明可以 抽取 4 n 2 的一个子列， 记 作 4, ， 对 任意的p ( x ) l l ( q ) ， 使得 。lim f p (x )4 , (x )d xn 3- oo f)一 五 p (x )4 (x )d x ( 3 .6 ) 这是因为 4 n 2 在l 2 ( s 2 ) 中强收敛到4 ， 那么， 存在其某个子序列， 我们就把它 记为 4 n a i ， 使得 q . , ( x ) 在q中 几乎处处收敛到4 ( x ) ， 又由 于 i ( 4 n , ( x ) 一4 ( x ) ) p ( x ) i 2 ( r 2 +1 ) lp ( x ) l , b x 0( 3 . 7 ) 且( 2 r 2 + 1 ) ip ( x ) i e l l ( s 2 ) ， 那么 ， 这时由l e b e s g u e 控 制 收 敛 定 理， 有( 3 .6 ) 成 立， 从而知 4 - a 在l 0 0 ( 卿 中 弱 收敛到4 . 综上分析， 也就是说， 我们可以 抽取 4 n 的 某 个子序列，为 记号简洁 起见， 我们 就把这个子序 列记为它自 身， 使得 w 一 j i m (3s)网 s一 j i m n es 今己 哎 w*一 j i m n es今 臼 q n =4在h l ( s t ) 中， q n =4在l 2 价) 中， q n =4在l 0 0 ( q ) 中. 8 v n 一 二 . (。 : 。 。 ) 一 了 一 。 。 v l 由( 3 . 1 ) 和( 3 .4 ) 有 ; (。 ，二 卜 j (。 ，二 卜 1 儿 二 ! 8 vae fq ,.l a t 一 v (。: 二 卜 f 12dx dt l 2 ( f t ) =q . l o v n l 2 d x ,( 3 . 1 4 ) 从而有 ( 3 . 1 5 ) ovn一次 2l 2(q ) + 2 暴 五 gn lv v i2d x 一 l 2 ( n ) 韧 上式在( 。 ， 约上积分， 其中公 任 0 , t ， 可得 关 。 a 112l2(n )d sjot jj vs+ 12 fa 。 ， 二 “ ，“ 一 f ( f ( x , s ) +9 n ( x , s ) , 不等式可得 a va s 一 ( )“ + 12 f ftgn 1， 一 (x ) 12d x , ( 3 . 1 6 ) 又由 ho l d e r 芜 tf (s (x , 卜 * ( ， )， a vna s )一 ( ) : 1.!了 (卜 9n (s)iil2(n )i! i0 (n )d sa : f t(il.f (s)“一 、 ， +!* ( )一 (n )111 l z 价) ) 的范数为 ilu llw - 一 (厂 : 豁 1 2 2( )d ) i2l2(0 )d s) , v 。 。 w i,2 (0 , t i; l 2(o ). (3 .2 4 ) 一一 一， 、 、 ik:v f 硕士学位论文 ma s i e r s t i i g s i s 那么，( 3 .2 3 ) 表明 。 。 是w 2 ( 0 , t ; l 2 ( q ) ) 中 的 有界 序列， 由 预 备知 识的引 理2 .2 ， 可知 v 有 某个 子列 ， 不 妨 仍 记 作 它自 身， 它 在w 2 q o , t i ; 护( 卿) 中 是 弱 收 敛的 . 又由w 2 ( o , t ; l 2 ( 卿) 紧 嵌 入 到l 2 ( 0 , 月; l 2 ( 卿) 中 ， 那么 上 述 子 列中又 可抽取子列， 不 妨仍记作它自 身， 它将在l 2 ( 0 , 月; 尸( 卿) 中 强收敛. 也 就是说， 我们可以抽取 v 的 一个子序列， 仍记作它自 身， 使得 几脚 n v= v 在w i ,2 ( o , t ; l 2 价 ) ) 中 ， s 几lim v _ 。 在l 2 ( ( o , t ) ; l 2 ( q ) ) 中 ，( 3 .2 5 ) - ，担 n v= v 在l 0 0 ( ( 0 , t ) ; 川( 。 ) ) 中 . 下面我们将证明序列 v - ( 9 n v v n ) 在分布的意义下收敛于v. w 动. 事实上， 任取叻 c 0 ( q t ) ， 有 ii二(。 二 。 )o d x * 一 二(g v v ) o d x d t j qt j qt = (。 一 。 ) v v n . v d x d t - g v (。 一 。 。 ) 二 。 d x d t , (3 .2 6 ) j q丁j qt 从而有 1二 (。 二 二 。 ) o d x d 一 /二 (g v v ) o d x d t i j q t j qt 0 ， 设恢, v c ) 是问 题( 几 ) 的 解， 那么 存 在 ( q . , v . ) 的 一个子列，仍记作 ( q . , v . ) , 以及v 和9 * ， 使得 w 一 踢v e = v 在w i 2 q o , t ; l 2 (q ) ) 中 ， s 一 )既 ” 一v 在l 2 ( ( 0 , t ) ; l 2 ( q ) ) 中 ，( 3 .3 1 ) 一 :踢v e 二 v 在l - ( ( o , t ) ; 司价 ) ) 中 ， 并且 一 im- ,0 。 一。 在h ( s 2 ) 中 ， s 一 鳃。 = 。 在l 2 ( s t ) 中 ，( 3 .3 2 ) 一 鳃* 一 9 * 在l 0 0 ( 5 2 ) 中 . 此外，( q * ， v * ) 是问题沪) 的最优解. 证明 由 引 理1 . 1 ， 设付 ， 句是问 题( 尸 ) 的 解， 也 即 是 j ( q , v ) =m i n j ( q ， 二 ) ; ( 9 , 。 ) e k x w 0 , ( 3 .3 3 ) 并且 v ( q v 的= x , 0 )( 3 .3 4 ) 丝次试 v ( x , t ) = u 0 = u f ( x , t ) ( x , t ) e q t , x只 ， ( x , t ) e 8 q x ( 0 , t ) 既然( 9 e , v e ) 是 ( p e ) 的解，那么我们有 j e ( q , , v . ) j e ( q , v ) ,( 3 .3 5 ) 尸/ 硕士学位论文 ma s t e r s t i i c s i s 、 (。 ，。 ) 一 j (q ,。 ) + 1 /(2e jq t ! 潇一 v ( q v v ) 一 f 2 d x d t . ( 3 .3 6 ) 由( 3 . 3 4 ) 可知 j e ( q , 的=j ( q , v )( 3 . 3 7 ) 从而由( 3 . 3 5 ) 和( 3 .3 7 ) 有 j e ( q . , v . ) j ( q , v ) ,( 3 .3 8 ) j (qe,。1 儿 二 。 8 v ,2a iq t a t 一 v 。 、 一 f 2dx d t ) 、 ， ( 3 .3 9 ) 所以有 f 二 1 g9v,q , 5 -t- 一 v (q, v v,， 一 ，“ “ 0 ( 3 . 4 0 ) 使得 q t a v # 【 举一 v ( g e v v . ) 一 f 2 d x d t c :( 3 .4 1 ) 由 前 一定 理的 证明 不 难 得知 q e 在l 0 0 卿n h ( 卿中 是 有 界的. 又h l ( 卿是自 反的 ， 那么由 预 备 知 识的引 理2 .2 ， 可知 存 在 q e 的 某 个 子 列， 记作 q , , ， 它 弱 收 敛 于 某q e h ( 卿， 又h l ( 卿紧 嵌 入 到护( 卿中 ， 由 于 q , 是h l ( 卿的 有 界集， 那么存 在 q e , 的某个子列， 记作 q, ， 使得 在l 2 ( 卿中， 序 列 a e 是强 收敛到犷的. 另一方面，( 9 e 是l - ( q ) 中的有界序列， 任取p ( x ) l ( q ) ， 则有 .j n p (x )。一 (x )d x l : i n l p (. ) ii q, (x ) i d x 一 iip ii一 。 ) cc , ( 3 . 4 2 ) 即 f s i p ( x ) q , ( x ) d - i 是有界的实数列. 下面证明 可以 抽取 9 e 的某个子序列， 不妨就 把这个 子序 列 记为 q e ,/, 1 ， 对任意的p ( x ) l l ( 0 ) ， 有 。lime ,- ,0 五 p (x )q, ,(x )d x 一 五 p (x )9 * (x )d x ( 3 . 4 3 ) 硕士学位论文 m a s i t r s i i i g s i s 这是因为 q e , 在l 2 ( 卿 中 强收敛到q . ， 那么， 存在其某个子序列，我们就把 它记为 q e , j ， 使得 y e , ( x ) 在0中几乎处处收敛到q * ( x ) .又由 于 i ( q e , ( x ) 一 q * ( x ) ) p ( x ) i 2 ( r 2 +1 ) ip ( x ) i , v x e 0( 3 .4 4 ) 且( 2 r 2 + 1 ) ip ( 二 ) 】 l i p ， 那么， 这时由l e b e s g u e 控 制收 敛定理， 有( 3 . 4 3 ) 成 立. 从而知 丹在l 叫卿 中 弱 收敛到q . 综上分析， 也就是说， 我们可以 抽取 q e 的某个 子序列， 为记号简洁 起见， 我们 就把这个子序 列记为它自 身， 使得 w 一 ) o q e 二 。 在h l ( s 2 ) 中 ， s 一 : 鳃q e = q 在l 2 ( q ) 中 ，( 3 .4 5 ) 一 鳃q e - 。 在l 00 ( s2 ) 中 . 令 a v e 一 二 dt ii h 川 ( 7 e v v , ) 一了 二h ,( 3 .4 6 ) 那么( 3 .4 1 ) 即 l z (q t ) 0 不 依 赖 于: . 件4 6 ) 式 两 端 与箫在l 2 ( 卿中 作内 积， 可 得 11 v iil z(r )一 一 ) 一 一 l2(n ) ， 一 ( )一 l d r2 d t jn qe.二 ei2d x , : t lli (n )ll !lv + _i d2 rd t ja 9ejv v ej2“ 一 二 ( 。 ， ( 3 . 4 8 ) ( 3 .4 9 ) 从而有 ( 3 . 5 0 ) 上式在( 0 , t ) 上积分， 其中t 0 , t j ， 可得 f 瓮 ! 2t 11 v 11 l2 (f?)d sa s + ; f. 。 ，v 、 “ ，“ 一 f (f (x , s) + h ,(x ,)，瓮 )一 ( )“ + 2 fn 4eiw o (x )i2d x ( 3 . 5 1 ) 又由h o l d e r 不等式可得 jo (f (x , 卜 。 。( ， )， a v ,a s )一 ( ，“ : f 盯 (卜 ” ()!，一 、n ) ii a s i，一 )“ : loii了 (s) 11 l2(fl) + 。、 ()，一 q)ill a va s 一 ( )“ : 含 f a av-8, 112 2( ) d sl a+ 鲁 芜 !，了 (5 ，“一 ( ) + “ ，一 ( )，“ : ; 关 。.会 ，1 2 2( ) d sl 2a+ 1 ilf (8)112l2(q ) + ，” (s )112jjh 0 (n )ld s : ; i. 会 jj (d )d sl + f., f. 。， ( ，s )12 d x d s + f., f. .“ (一 )12 d x d s : 合 关 。.瓮 112l 2(q )d s + 厂 1. ， ( ，s)12 d x d s + 厂 1 1 ，“ (一 )12 d x d s 一 合 五 ill vi ll 2 2( ) d s + jjf jj2 2(q , ) + jjh 112 2(。 )， (3 .5 2 ).98 l (q ) l li(q t ) 由此可得 杏 尤 .会 2 2、) d l (q) + ; f. 。:二 (t) 12 d x :5 lif i12l 2(。 二 ， + jjh 112 (l 。 二 。 + 盖 f . % iv v o(x )12 d x ( 3 .5 3 ) 又由 于: ， ds + f .: :(:)一 d二 : c ， 厂 、瓮 、， ( )“ + 五 lo v ,(t)12d x c , v t 0 , t .( 3 .5 6 ) 硕士学位论文 ma s t e r s t i i l s i s o v f . 。 丽 iic 2 (0 ) i s + i o v e ( t ) 11i 2 (n ) c , d “0 , t . ( 3 .5 7 ) 特别地，有 i a s 112l2 (n )“ - d s c ( 3 . 5 8 ) 那么，( 3 . 5 8 ) 表明 。 : 是w 1 2 ( 0 , t ; l 2 脾) ) 中的 有界序列， 由 引 理2 .2 ， 可知 i v , 有 某 个 子 列， 不 妨仍记 作它自 身， 在w1 ,2 ( 0 , t ; l 2 ( q ) ) 中 是 弱收 敛 的. 又 由w1 ,2 ( 0 , t ; l 2 价) ) 紧 嵌入到l 2 ( 0 , t ) ; l 2 牌) ) 中 ， 那么 上述 子列中 又 可 抽 取 子列， 不妨仍记作它自 身， 它将在l 2 ( 0 , 刘; l 2 ( 卿) 中 强收敛. 也就是说， 我们 可以抽取 v # 的一个子序列， 仍记作它自 身，使得 w 一 ) 鸟v # = ” 在w 1 2 ( 0 , t ; l 2 牌 ) ) 中 ， s 一 踢” 一v 在l 2 ( ( 0 , t ) ; l 2 ( q ) ) 中 ， 一 )