（运筹学与控制论专业论文）抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划.pdf

摘要 粗糙集理论是是由波兰学者p a w l a k 在1 9 8 2 年提出的，到目前，已经运用到决策分 析、数据发掘、模式识别、电力系统等领域。2 0 0 2 年，刘宝碇建立了信赖性理论( t r u s t t h e o r y ) ，信赖性理论是以公理化方法研究粗糙变量性质及其应用的理论。随着粗糙 集研究对象的扩大，在t r u s tt h e o r y 中，只是研究了实值租糙变量，远远不能满足科 学与技术的需要。在实际中，粗糙变量不一定是实值，他们的值有可能是连续函数、 有界变差函数等等。因此有必要对粗糙变量进行扩充，因此本文引进了x 一值粗糙变 量这个概念，讨论了x 一值粗糙变量的一些性质。引进了y 一收敛的概念，强收敛与弱 收敛都是特殊的x 一收敛，讨论了x 一值粗糙变量序列的x 一收敛。 刘宝碇等研究了不确定规划理论，在随机、模糊、粗糙等不确定环境下用模拟、 神经元网络、遗传算法组成的混合智能算法解决了设备选址、并行机排序等问题的期 望值模型、机会约束规划模型、相关机会规划模型。在本文中，对此算法进行了改 进，用粗糙模拟、神经元网络、模拟退火算法组成新的混合智能算法对在粗糙环境下 的生产储存问题的机会约束规划模型进行了求解。 关键词：租糙变量，x 值粗糙变量，x 一收敛，粗糙规划，混合智能算法，生产 储存： a b s t r a c t r o u g hs e tt h e o r yw a si n i t i a l i z e db yp a w l a ki n1 9 8 2 i th a sb e e na p p l i e dt od e c i s i o n a n a l y s i s ，d a t ar e d u c t i o n ，p a t t e r nr e c o g n i t i o n ，e l e c t r i cp o w e rs y s t e ma n ds oo n i n2 0 0 2 ， t r u s tt h e o r yw a sb u i l tb yb a o d i n gl i u t r u s tt h e o r yi sab r a n c ho fm a t h e m a t i c st h a t s t u d i e st h eb e h a v i o ro fr o u g he v e n t s w i t ht h ew i d t ho fs t u d yi nr o u g h - s e tt h e o r y , j u s t t os t u d yt h er e a l - v a l u e dr o u g hv a r i a b l e si sn o ts a t i s f i e do t h e rs u b j e c t sa n dt e c h n i c a ld e - m a n d s i np r a c t i c e ，r o u g hv a r i a b l e sm a yn o tb er e a ln u m b e rv a l u e s ，a n dt h e i rv a l u e sm a y b ec o n t i n u o u sf u n c t i o n s ，b o u n d e dv a r i a t i o nf u n c t i o n sa n ds oo i l i ts e e m sn e c e s s a r yt o c o n s i d e rs o m ee x t e n s i o n so fr o u g hv a r i a b l e s s ot h ec o n c e p to fx v a l u e dr o u g hv a r i a b l e s i si n t r o d u c e d i nt h i sp a p e r s o m ep r o p e r t i e so fx v a l u e dr o u g hv a r i a b l e sa l es h o w e d a n dt h ec o n c e p to fx c o n v e r g e n c ew h i c hi sa ne x t e n s i o no fs t r o n gc o n v e r g e n c ea n dw e a k c o n v e r g e n c ei sp r e s e n t e d ，a n dt h ex c o n v e r g e n c eo fx v a l u e dr o u g hv a r i a b l e si sd i s c u s s e d t h eu n c e r t a i np r o g r a m m i n gw a ss t u d i e db ym a n yr e s e a r c h e r ss u c ha sb a o d i n gl i u t h eh y b r i di n t e l h g e n ta l g o r i t h mi n t e g r a t e db ys i m u l a t i o n ，n e u r a ln e t w o r k sa n dg e n e t i ca l g o r i t h mh a s b e e na p p l i e di ns o l v i u gt h ee x p e c t e dm o d e l ，c h a n c e - c o n s t r a i n e dp r o g r a m m i n g ， a n dd e p e n d e n t c h a n c e dp r o g r a m m i n gw i t hs t o c h a s t i c ，f u z z y ，r o u g he n v i r o n m e n ta n ds o o n i nt h i sp a p e r ，t h eh y b r i di n t e l l i g e n ta l g o r i t h mi si m p r o v e d an e wh y b r i di n t e l l i g e n t a l g o r i t h n f fi n t e g r a t e db yr o u g hs i m u l a t i o n ，n e u r a ln e t w o r k sa n ds i m u l a t e da n n e x i n gi s a p p l i e dt oo p t i m i z et h ep r o d u c t i o n - i n v e n t o r ym o d e lo fc h a n c e - c o n s t r a i n e dp r o g r a m m i n g w i t hr o u g he n v i r o n m e n t k e y w d s ：o h g hv a r i a b l e ，x - v a l u e dr o u g hv a r i a b l e ，x c o n v e r g e n c e ，f o t t 酚p r o - g r a m m i n g ，t h eh y b r i di n t e l l i g e n ta l g o r i t h m ，p r o d u c t i o n - i n v e n t o r ym o d e l 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名- 堕垂一 趔一年石月矽日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全榷或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：妒 阿年6 月习日 南京理工大学硕十学位论文抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 l 引言 本文主要研究两个问题，一个是可测空间上的粗糙变量，另一个是粗糙规划。 粗糙集理论最早是由波兰学者p a w l a k 1 5 在1 9 8 2 年提出的，是一种处理含糊和不精 确性的问题的新型数学工具，其主要思想是在保持分类能力不变的前提下，通过知识 约简导出问题的决策或分类规则。但在刚开始，由于粗糙集理论的研究主要集中在波 兰，并没有受到计算机界和数学界的重视，到1 9 9 1 年，p a w l a k 的专著粗糙集一关于 数据推理的理论( r o u g hs e t s - t h e o r e t i c a la s p e c t so fr e a s o n i n ga b o u td a t a l 的问世， 标志着粗糙集理论及其应用的研究进入了活跃时期。1 9 9 2 年在波兰召开了关于粗糙集 理论的第一界国际学术会议。目前，粗糙集理论已被成功的应用到数据发掘、机器学 习、决策分析、模式识别、统计分类、图像处理等领域，是当前国际上正在兴起的一 个研究热点之一。 2 0 0 2 年，刘宝碇 加 建立了信赖性理论( t r u s tt h e o r y ) ，信赖性理论是以公理化方 法研究粗糙变量性质及其应用的理论。粗糙变量f 是从粗糙空间( a ，a ，”) 到实数验的 一个可测函数，即对于乳任意的b o r e l 集b 都有f a ：( a ) b 以成立。由于粗糙 集理论研究对象的日益扩大，信赖性理论只研究了实数上的粗糙变量，这远远不能满 足其他学科与技术需要，因此有必要对实值粗糙变量进行扩充，因此我们引进了x 一值 粗糙变量这个概念。在本文中，首先，给出了x 一值粗糙变量具体的定义，紧接着讨 论了x 一值粗糙变量的一些性质，把x 一值粗糙变量与实值粗糙变量联系了起来。最 后，在b a n a c h 空间中，从强收敛，弱收敛等具体的收敛中概括出一般的x 一收敛，讨论 了x 一值粗糙变量序列的一收敛。 在决策科学、管理科学、信息科学、系统科学、计算机科鲁、工业工程以及可靠 性技术等众多领域研究的问题中都存在着客观的或人为的不确定性。在现实世界中， 不确定现象是普遍存在的，表现形式也是多种多样的，如随机性、模糊性、粗糙性、 模糊随机性以及其他的多重不确定性。伴随着这些千姿百态的不确定性，存在着大量 的优化问题需要解决。然而，对于这些复杂尤其是含有多重不确定性的决策系统，经 典的优化方法是无能为力的，虽然已有的随机规划和模糊规划可以解决一部分随机决 策系统和模糊决策系统的优化问题，但又远远不能满足解决具有双重或多重不确定性 的决策系统优化问题的要求。因此建立和完善统一的不确定环境下的优化理论与方法 不但有深远的理论价值，而且有广阔额应用前景。不确定环境下的优化理论一不确定 规划正是在这种背景下建立和发展起来的。 南京理工大学硕士学位论文 抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 随着计算机技术的飞速发展以及智能计算技术的不断涌现，许多复杂的问题已经 能通过计算机求解。尽管目前优化问题的求解规模与计算机的速度有关，但是随着时 间的推移和计算机技术的更新，问题的主要矛盾不再于计算机的速度，而在于建立问 题的数学模型和求解算法。事实上一些过去根本无法求解的复杂问题如今很多都可以 通过计算机求解。摆在我们面前的任务是提出更加丰富的建模思想，建立优化问题的 数学模型并设计模型求解的现代算法。刘 2 5 1 分别介绍了在随机、模糊、粗糙等不确定 环境下的期望值模型( e v m ) 、机会约束规划( c c p ) 帛i 相关机会规划( d c p ) ，这是目前处 理不确定规划的三种途径。利用随机( 模糊、粗糙) 模拟、神经元网络和遗传算法组成的 混合智能算法成功的求解了设备选址、机器排序、车辆调度和关键路等问题的期望值 模型、机会约束规划模型和相关机会规划模。在本文中对此算法进行了改进，模拟退 火算法最早的思想 f h m e t r o p o l i s 1 2 在1 9 5 3 年提出的，k i r k p s t r i c k 7 在1 9 8 3 年成功的应 用在组合优化问题中，它是局部搜索算法的扩张，不同于局部搜索之处是以一定的概 率选择邻域中费用值大的状态。模拟退火算法已在理论上被证明是种以概率1 收敛于 全局最优解的全局优化算法，因此我们可以考虑用模拟退火算法来代替遗传算法。本 文对2 5 1 中的混合智能算法进行了新的尝试，用粗糙模拟、神经元网络和模拟退火算法 组合成了新的混合智能算法来解决期望值模型、机会约束规划和相关机会规划。到目 前为止对生产储存优化问题的研究已有一些，1 9 8 7 年，p a r k 1 4 在扩张原噩j ! ( e x t e n s i o n p r i n c i p l e t 模糊算术运算下用模糊集概念来处理带有模糊储存费用的储存问题。1 9 9 6 年， c h e n 引进了含有再订货问题的模糊储存模型。1 9 9 9 年，t h e n 2 1 考虑了两种模糊储 存模型，一种是年需求、订货费、储存费是模糊的，而订货数量是精确数的储存模 型：另一种是上述变量都是模糊的储存模型。1 9 9 9 年，c h a n g 4 讨论了参数( 单件产 品每天的储存费羼：每恢生产起动费、每天的生产数量、每天的需求、在计划餍期申 总的需求、计划周期) 是精确值而生产数量是三角模糊变量的生产储存模型，生产数 量国= ( q l ，q o ，匏) ，其中，q 1 = q o a l ，9 2 = q o + a 2 ，记“是经典的生产储存模型中的精 确的生产数量，假设0 口l 靠 驰 啦或o q l 锄 q q 2 ，根据外与q o ，口l ，他之 间的关系找到模糊费用函数f ( 国) 的隶属函数肛f ) ( ) ，得到了在模糊状态下的生产数 量9 。2 0 0 2 年，h s i e h 6 建立了带梯形模糊数的两种生产储存模型，在年需求、储存费 用、生产起动费、目生产率、日需求率是模糊的情况下，考虑了生产数量是清晰的和 模糊的两种情形，通过模糊运算得到了在模糊意义下的总的生产储存费用。本文讨论 了生产厂家根据市场价格制定出批发价格，在一定时期内没有卖出的产品由厂家以较 低的价格收回，零售商根据n e w s b o ym o d e l 来确定订货数量，然后厂家根据订货量进行 2 南京理工大学硕士学位论文抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 生产。在市场对零售商的需求是粗糙变量的情况下，生产厂家如何对原材料和产品进 行储存可以极大化所得利润函数的a 乐观值。建立了一个在粗糙环境下的生产储存问题 的机会约束规划模型。最后给出了一个具体例子，采用由粗糙模拟、神经元网络和模 拟退火算法组成的混合智能算法对生产储存词题的机会约束规划模型进行了求解。 3 南京理工大学硕士学位论文 抽象空间上的粗糙变量及租糙规划 2 信赖性理论的基本概念 2 1 粗糙集 全集中的任意子集按等价关系被分类，有时在给定的全域u 的子集中能全被分成 类，有时不能被分成类，我们称能全被分成类的子集x u 是可定义的，而不能全被 分成类的子集是不可定义的。如果有些子集在某一等价关系下不能全被分成类，那么 我们可以用租糙集的方法得到近似的分类。 设u 是给定的一个论域，x u ，危黾矿上的等价关系，a = ( r ) 是一个近 似空间，在a t ，如果x 是一些r 一基本类的并集，则称x 是r 一可定义的；否则 称x 是r 一不可定义的。r 一可定义集是全集【，上那样一些子集，这些子集在在个体全 集u 上是恰好可以被定义，而r 一不可定义集是子集x 上不可能恰好被定义的。r 一不 可定义集简称不一致集或r o u g h 集。如何定义粗糙集，我们借用两个概念：个是下近 似集，另一个是上近似集。下近似集是指当一个集合不能利用有效的等价关系被恰当 的分类吃则可以通过另外的集合来达到这个集合的近似。 定义2 11 2 6 】设x u 是任一子集，r 是u 上的等价关系，则有 盖= u y u r ：y x 一x = u y u r ：y n x 毋) 分别称他们为x 的r 一下近似和r 一上近似，其中0 是空集，y 是u 上按等价关系腓成的 等价类下近似被解释为所有那些被包含在x 里面的等价类的并集；上近似被解释为所 有那些与x 有交的等价类的并集显然有墨cxc - z 。 例2 1 设跄是一个论域，定义等价关系- - - ；y2 。当且仅当m = m ，其中旧代表对。取 整。对于集合【o ，1 ，我们有i ! 越= o ，1 ) 和丽= 【0 ，2 ) 。 例2 2 设聍是一个论域，定义等价关系_ ；y2 当且仅当i 可一z isl 。对于集g f o ，3 j ，我 们有f 0 ，3 1 = 【1 ，2 】和【o ，3 】= 一1 ，4 _ 4 南京理工大学硕士学位论文抽象空问上的粗糙变量及粗糙规划 定义2 2 【1 0 】我们称有共同的下近似集和上近似集的集类为一个粗糙集，记为( 基，又) 2 2 四个公理 为了提供描述粗糙变量的公理化体系，首先给出四个公理。设a 为一个非空集 合，以为由a 的子集构成的口一代数，为a 中的一个元素，”为定义在 上的一个实值集 函数，并满足如下四条公理 公理1 ： a ) 0 公理3 ：7 r i a 0 ，对任意a a 公理4 ：对任意可列不相交事件序列 a 罂1 ，有 ” u a i ) = ” a 显然，满足以上四个公理的集值函数7 r 是一个测度，并且，( a ， 7 r ) 是一个测度空间。 定义2 3 1 0 】设a 为一个非空集合， 为由a 的子集构成的口一代数，a 为a 中的一个元 素，丌为定义在 上的满足如上四条公理的集函数，则称四元组( a ，a ，以，) 为一个粗糙 空间 定义2 4 1 0 设( a ，a 嚣) 曲一个粗糙空间，则事件a 的上信赖性定义为 邴) = 蔫， 下信赖性定义为 衅) = 帮， 信赖性定义为 n = ；( t r a + 叫a ) ) 定理2 1 【1 0 l 设( a ，a ， ，) 是一个粗糙空间，信赖性n 是以上的一个测度，满足 5 南京理工大学硕士学位论文抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 ( 8 ) n a = 1 ( b ) n 0 ) = 0 ( c ) n 是递增的； 舢t r b ，其中a b ( d ) n 是自对偶的；n 似) + n a 。) = l ，对任意的a a 2 3 粗糙变量的有关定义 定义2 5f l o 设( a ，a ，7 r ) 是一个粗糙空间，f 是从a 到实数集壮的可测函数，即 对豌的任意b o r e f 集b ，有 a ：f ( a ) b ) 以成立，则称为粗糙空间( a ，a ，a ，7 r ) 上的粗 糙变量更进一步，我们称 玉= ( a ) ：a ) ，i = ( ) ：a a ) 分别为粗糙变量f 的下近似和上近似。 粗糙变量 = ( ，6 ，f c ，田) 且c a b d ，是从粗糙空问( a ，a ，7 r ) 到实数骢上 的映射，( a ) = a ，其中a = i c 田，= 刈n 入s6 ) ，a 是a 上的b o r e 玳 数，7 r 是l e b e s g u e ；测度。 定义2 6 【l o 设f 是定义在粗糙空间( a ，a ，以，”) 上的粗糙变量，则的期望值算子e 吲定 义为 e 旧2 上n 代r d r 一上。n 任r d r r 0 ， 条件是两个积分至少有一个是有限的。 例2 3 令= ( o ，6 ， c ，d 】) 是一个粗糙变量，r c o b d ，则我们有e 豫 ：( 。+ 6 + c + d ) ，尤其是当粗糙变量退化成一个区间【n ，6 】时，有e = j ( 。+ 6 ) 对于粗糙变量，我们除了可以使用期望值刻画外，还可以使用两个临界值一乐观 值和悲观值来度量。 6 南京理工大学硕士学位论文 抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 定义2 7l 1 0 1 设是粗糙变量，且( 0 ，1 1 ，则 称为粗糙变量f 的“乐观值 称为粗糙变量的a 悲观值 靠。( d ) = s u p r i n 代r ) a ) 缸( n ) = i n f r i1 f 茎r o ) 7 南京理工大学硕士学位论文抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 3x 值粗糙变量 3 1x 一值粗糙变量的定义及性质 在信赖性理论中，刘宝碇只是研究了实值粗糙变量，在本节中，对实值粗糙变量 进行扩充，把实数的一个子集扩充到一个可测空问( x ，固上，从粗糙空间( a ，a ，丁r ) 到 可测空间( x ，上的可测映射称为x 一值粗糙变量。首先给出t x 一值粗糙变量的定义， 其次讨论了x 一值粗糙变量的一些性质，通过连续函数把x 一值粗糙变量与实值租糙变量 联系起来。最后从强收敛、弱收敛中归纳出来的更一般的收敛x 一收敛，讨论了x 一值粗 糙变量序列的x 一收敛。 定义3 1 1 设( a ，a ，7 r ) 是一个粗糙空间，( x ，是一个非空的可测空间，映象 f ：a x 。如果对任意的b 字，都有 a a ：( 入) b a 成立，则称为x 一值粗 糙变量 特别的，如栗x = 瓣，且，是豌中的b o r e l 代数，则此时的x 一值粗糙变量即通常所 说的实值粗糙变量【l o 】。 例3 1 1 设( a ，且， ) 是一个粗糙空间，( x ，是一个非空的可测空间，z o x ，若 对于任意的a a ，( 入) 三。? ，显然可以得到是一个x 一值粗糙变量。 为了考虑( x ，鳓中的收敛性，我们引进拓扑结构。称( x ，e 为可测拓扑空闻， 如果( x ，c ) 为拓扑空间，( x ，功为可测空间，并且，= 盯( g ) ，其中g 是x 中全体开 集所组成的集类，d ( e ) 是由a 所生成的口代数。特别，如果( x ，c ) 为距离空间，则 称( x ，c ，了) 为可测距离空间。设( x ，c ，砷为可测拓扑空间，如果对任意闭集b 只存 在x 上的连续函数h b ( 。) ，满足t b = = h b ( z ) = 0 ，则称僻，c ，) 为空闻，显然 有可测距离空间为空间，例如，令b ( z ) 2 。i 。n 。fp ( x , ) 。 8 南京理工大学硕士学位论文抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 定理3 1 映照：( a ，a ，a ， ) 一( x ，是x 一值粗糙变量的克要条件是，对任意的可测 映照r ：( x ，) 一( y u ) ，r ：( a ，a ，以，”) 一( y ，u ) 是一个y 一值粗糙变量，其中y 至少 含两个不同& y l ，y 2 ，且单点集( 1 u ， 抛 u 。 充分性：对任意b 舅定义一个可测映射7 - ：( x ，功一( y , u ) r ( z ) ：y 1 z b ly 2z 簪b 则 a ：f ( a ) b ) = a ：r ( ( a ) ) = 9 1 ) a 定理3 2 映照：( a ，a ，a ，”) 一( x ，劝是一个x 一值粗糙变量，其充要条件是对任意定 义在( x ，上的b d r e z 可测函数g ( z ) ，睫是一个粗糙变量 证明：首先证明必要性。对驻的任意b o r e i 集b ，因为g 扛) 是( x ，上的b o r e l 可测函数， 所以9 - 1 ) 是( x ，卵中的b a r e l 集，所以有 ：g ( f ( a ) ) b ，= a ：( a ) g - 1 ( b ) a ， 即必是粗糙变量。 充分性：对任意b ，d ：( a ) b = d ：g ( a ) ) 9 ( b ) a ，可以得至孵是一 个x 一值粗糙变量。 定理3 3 设可测拓扑空间畔，c ，即是一p - n 空间，映照：( a ，a ，a ，7 r ) 一x 是一 个x 一值粗糙变量，其充要条件是对任意的闭集b 六h b ( f ) 是粗糙变量。 证明：必要性：由定理3 2 可得。 充分性：对任意闭集b ，都有 a ：( a ) b = ：b 健( a ) ) = 0 ) a 成立。其次， 显然可以证明满足 a ：( a ) b ) a 的切集b 构成x 中的口一代数9 ，又因为9 包含x 中 一切闭集，故，= o ( c ) 9 ，则是x 一值粗糙变量。 9 南京理工大学硕士学位论文抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 定理3 4 设( x ，是可测可分的b a n a c h 空间，则映照：( a ， ，7 r ) 一咒是x 一值粗糙 变量的充要条件是，对任意的，x + ( x 的共轭空间) ，( ) 是一个粗糙变量 证明：必要性：由定理3 3 证得。 充分性：因为每一个赋范空间都等距同胚于d ) 的一个子空间，其中耳是紧 的h a l l s d o r 圩空间【1 】。所以可以假设x 为c ( ) 中的一个子集，其6 p c ( k ) 是在上的 连续函数组成的b a n a c h 空间，并赋予范数忙02 嗽i 士( ) 1 。因为维包含一切子 集 = x ：忙一x l i r ) ，z x ，r 0 ，o o ) 的最小盯代数。对任意的t k ，在g ) 上 定义一个线性泛涵珧( z ) = x ( t ) 。则 a ：愀 ) 一。恪r ) = ：学a ) 一z ) ( ) l 茎r ) = n a ：吼( ( a ) 一z ) r t d = n a ：z ( ) 一r 鲰代) ) x ( t ) + r a t 这里d 为任可数稠子集。 定理3 5 设x 是可测可分的b a n a c h 空间，1 ，岛：( a ，且，7 r ) 一x 是x 一值粗糙变量 则( 入) = 矗( a ) + 已( a ) 也是( a ，a ，a ，”) 一x 的x 一值粗糙变量。 证明：对任意的，x + ，( ( a ) ) = ，( - ( a ) ) + ，( a ) ) ，所以，( ( a ) ) 是一个实值粗糙变 量。由定理3 4d j 得是x 一值粗糙变量。 定理3 6 设( x ，g ，劝是n 空间， 矗) 甚1 是一列( a ，a ，”) 一x 的x 一值粗糙变量序 列，而且对任意的a a ，靠( a ) , - - - - - 4 ( a ) x ，则也是一个x 一值粗糙变量。 证明：因为由定理3 3 知 b ( 靠) ) 是一列粗糙变量序列，对任意a a ，因为矗( a ) 一 ( a ) ，由 b 的连续性知b ( 矗( a ) ) 一b ( ( a ) ) ，故知b ( ( a ) ) 也是可测函数，从 而是x 一值粗糙变量。 1 0 南京理工大学硕士学位论文抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 定理3 7 设x 是可测可分的距离空问，则f ： a ，a ， ，) 一x 是x 一值粗糙变量的 充要条件是，存在一列取有穷多个值的x 一粗糙变量序，0 靠) ，使得对任意的a a ，矗( a ) + ( ) 机+ o 。) 证明：充分性由定理3 6 司得。 下面证明其必要性。因为x 可分，所以x 存在可列稠密子集蜀= z 。) 齄l ，令 b n = x ， 鼠n = p x ：p ( 耶n ) 。型恐。，9 ( 叩j ) ， 鼠。= 8 i 。一l n ( x 一日。) ，( 他= 1 ，2 ，。i = 1 ，2 ，n 一1 ) 显然，对每个固定的n ， 晟。，t = 1 ，2 ，n 是x 的有穷分解。令 矗( a ) = z ；，a 一1 ( b i 。) 则矗是x 一值粗糙变量序列，且p 岛( a ) ，( a ) ) - - - - + 0 ( n - o 。) ，其中p 是度量空 间m 上的距离。 定理3 8 设x 是可测可分的距离空闷，则：( a ， ，”) 一x & x 一值粗糙变量的充要 条件是，存在取可列多个值的x 一值粗糙变量序列 靠( a ) 甚。，使 矗( a ) ) 器。均匀收敛 于( 入) 证明：只须证必要性。设 z 。 罂l 为x 可列稠子集，令 a 1 。= z ：p ( x ，z 1 ) ：) a 。= 缸如，甄) ： _ 口如 ，= 1 显然对固定的n ，a 。，i = 1 ，2 是x 的可列分解。定义 专。( ) = z 。，a 一1 ( a 打；) 显然有矗是x 一值粗糙变量，且对任意a a ，p 岛( a ) ，( a ) ) s ：。 南京理工大学硕士学位论文抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 3 2 x 值粗糙变量序列的x 收敛 设x 为一非空集，置为x 中切序列 z 。) 器l 所成的集，p ( x ) 为x 的幂集， 设x 为墨到p 伍) 的映象，具有性质 a ：如果。= z ，托= l ，2 - ，则。x ( 器1 ) ； b ：对任意的 茁。) x n ) ，( 。) 甚。) c ) ( ( z 。) 罄，) ； c ：若茁。隹( x 茁n ) 罂1 ) ，则存在子列 茁n 。) 使知甓) ( ( z 。) 芒，) 对一切 z n 。) cx n 。 定义3 1 如果z o x ( z 。 。o o ：1 ) ，称 z 。) 巽lx - q 史敛f f - x o 。 显然有如果 。) 罂l 是x _ 收敛到知，则对 。) 罂1 的任意子列 。 墨1 是x 收敛 到z o 。 定义3 2 设m 是x 的子集，如果对m 的任意序列 。，器l ，存在子列t 。) 墨1 ，使 得x ( z 。耀1 ) 非空，则称m 是x 一列紧的， 定义3 3 设m 是x 的一个子集，集合 d = x x ：存在m 中的序列 z 。 甚l 满足z x ( z 。) 墨。) 称作集合m 的x 一闭包 定义3 4 设x 1 和x 2 是从x l 到p 僻) 的两个映射，如果对彳t ；仨意序列 茁。) 巽1 ，都有 x 1 ( z 。) 甚1 ) cx 2 ( x 。) 罂1 ) 成立，则称x 1 收敛蕴涵x 2 收敛。 显然强收敛( 即依范收敛) 与弱收敛都是特殊的x 一收敛，比弱收敛少许一般化的x 收 敛为( r ) 收敛 定义3 5 设r 为x + 的任一子集，定义，y 一映照为， ，y ( 函) 2 恩 x ，o i m f ( z n - z ) = o ) 若铷1 ( 茹。) 甚1 ) ，则我们称t z 。) 罂1 是r 一收敛到写o 1 2 南京理工大学硕士学位论文 抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 定义3 6 设x 为b 口n d 曲空闻，s r ( cx + ) 称为在集m ( cx ) 上是全体的，若任意岔 m ，g m ，任意，f ，f ( x ) = ，( ) ，就有。= ! ，。 例3 2 1 设m = c o ，l 】，x = l 2 o ，1 】，因为( g 【0 ，l 】) + = b v o ，l 】，b v o ，1 】是【o ，l 】上的 有界变差函数的全体，k b v o ，1 】cl 2 0 ，1 1 ，则称b y f 0 ，1 e 集c o ，l 】上是全体的。 定理3 9 设x 是b a n a c h 空间， 矗) 罂。为粗糙空间( a ，a ，a ，7 r ) 一x 的x 一值粗糙变量序 列。假定信赖性测度n 为粗糙空间上( a ，a ，a ，”) 的完备测度，设对任意 a ，存 在r ( a ) ( cx + ) 使得r ( a ) 在 矗( a ) ) 与 西矗( a ) 的x 一闭包) 的并集上是全体的设x 一收 敛蕴涵r ( a ) 一收敛，a a ，令 b = ： 靠) 黯1 x 一收敛于岛) 。= a ：里，豫( ) ) 是x 一列料 d = ( ：任意的，r ( ) ，热瓜n ( 入) 一o ( ) ) = o 则n b ，= l 的充要条件是； ( i ) 叫四= 1 。 ( i i ) t r d ) = i 。 证明：首先证明必要性。若t r b ) = 1 ，则对任意的a b ， 岛( a ) 是l x 一收敛于岛( a ) ， 因为x 一收敛蕴涵h a ) 一收敛，则至少对于a b ， 矗( a ) ) 。0 0 ：l r ( a ) 一收敛于岛( ) - 并根 据r 收敛的定义，有对每一个，1 1 ( a ) ，撬，( 矗( a ) 一岛( a ) ) = 0 a 因此有b d ， 即d 。b 。，根据t d b 。) = 0 和n 的完备性可以得到4 和卧 d 。) = 0 ，所以 有 d ) = 1 。对任意的a b ，在曰( 矗( a ) ) 中任意选取序列 吼) 墨l ，则或者存 在。o 舀( a ) 使得跏= ，其中 码 c 甄) ，根据性质a 有。甜) 。或者存 在 靠( a ) ) - - 的1 子列 。， ，也是 嗣) 的子列，根据性质b 有岛( a ) x ( z i ， 。x 所( x 以百 矗( a ) 是静列紧的。因此bcc ，即c 。cb 。因为n 是完备测度且n f b c ) = 0 ，所以 有g 以和n g ) = l 。 1 3 南京理工大学硕士学位论文 抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 另一方面，假设e = g n d ，则 n e 。) = n 。 g u d 。) n c 。 + t r d 。) = 0 根据n 是自对偶的有n e ) = 1 。对任意的a e 。假设 靠( a ) ) 凳。不是x 一收敛于岛( a ) 则 岛( a ) 芒) ( ( 矗( ) 甚。) 也即，存在一个序列 鼠( a ) ) 墨满足如( 入) 聋“ 靠、( a ) ) 茫。) ，对一切 矗咄( ) ) c 矗，( ) 。因为n 百= l 矗( a ) 是x 一列紧的，所以存在一个子列 矗。( a ) 罂。和知x 满 足z o ) ( ( 靠。( ) ) 芒1 ) 。因为x 一收敛蕴涵r ( a ) 一收敛，所以有 勘，旦恕魅删一) - 0 ) 因为a d ，j 听以f ( x o ) = ，( 如似) ) ，对任意的，r ( a ) 。因为z o x ( 鼠。( ) 罐1 ) ， 所以巳( 型o o 。( 矗( ) x 一闭包 n 又由假设1 1 ( a ) 在 岛( a ) u 里矗( ) ) 一闭包，上是全体 的，因此有 岛q ) = x 0 x ( 靠( a ) ) 嚣t ) 这与 岛( a ) = x o 隹x ( 氏。( a ) ) 芒1 ) 矛盾。则ec8 ，根据n 是一个完备测度，可以得到n b ) = 1 在实际中如下运用定理3 9 ：考虑b a n a c h 空问中某种具体的收敛，如果他是一 种x 一收敛，而且蕴涵r 收敛，则可用定理3 9 中收敛为此具体的收敛而得到更好的结 果下面考虑b a n a c h 空间中具体的收敛强收敛，强收敛是一种x 一收敛，且蕴涵r 收敛 定理3 1 0 设 靠) 甚。为- - ， i ( a ， ，7 r ) 一x e x 一值粗糙变量序列，其中x 是可测可 分的b a n a c h 空间，令e = d ：& 强收敛于岛) ，则n 研= 1 的充要条件是 1 4 南京理工大学硕士学位论文 抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 ( 1 ) n a ：百矗( ) 为强列紧的) = 1 ( 2 ) 对每，p ，r ( c x + ) 在x 上是全体的，有n a ：溉，( ) 一矗( ) ) = o = 1 证明：首先证明其必要性。因为 n ：搬，( a ) 一岛( ) ) = o ) ) t r ( e ) 对任意，r ， 和n 研= 1 ，有 眦a ：，魄，( 靠一岛( a ) ) = 0 ) = i 下面证明集合d ：d ：舀矗( ) 是强列紧的 是可测的。就像定理3 4 一样，令xc g ( ) ，定义线性泛涵吼( 。) = z ( ) ，根据a r z e l a 定理，有 =乔亘。n。甬(m删kn19td g t n 。) ) - g t 脚驯扮 = nun ( a ：i 。( 矗( ) ) 。( 矗( ) ) 一。( 厶n ) ) l 击 ) m = lk = it l ，t 2 e a n = l i t l 一2 l 兰量 其中日是k 的一个可数稠子集。因为m ( 靠( a ) ) 是实值粗糙变量，则集合d 可测。因 为d e ，( d ) t r ( e ) = 1 ，所以t r ( d ) = 1 。 另一方面，因为x 是可分的，所以对每一个在x 上全体的集合r ( cx ) ，都存 在r 一个可数子集r o ，满足r o 在x 上是全体的，所以 a ：n l i m o o f ( f , , ( a ) 一岛( a ) ) = o 对任意，r = n a ：墨襄，( 矗( a ) 一岛a ) = o ，r o 露此 ( a ：曼恕，( 矗( a ) 一岛( a ) ) = o 对任意，p = 1 在定理3 9 中，若我们没有假设n 是完备测度，也可以得到 ： 靠( a ) 芒。x 一收敛于岛( a ) = a ：舀( 矗( ) ) ) ( 一列紧 n a ：县，( 矗( a ) 一岛( ) ) = o 对任意，r ) 成立。因为强收敛是一种x 一收敛，如果在上式中用强收敛来代替x 一收敛，结论同样成 立，所以有t r e ) = 1 。 1 5 南京理工大学硕士学位论文 抽象空问上的粗糙变量及粗糙规划 r e m a r k ：在此定理中，条件( 2 ) 可以由下列条件来代替，也就是对任意，r ， 其q a r ( cx ) 在x 是全体的，仍有等式 n n 。，( a ) 一岛( a ) ) = o ) = l 1 6 南京理工大学硕士学位论文 抽象空问上的粗糙变量及粗糙规划 4 粗糙规划 在运筹学、管理科学、信息科学及工程等众多领域都存在客观的或人为的不确定 性，这些不确定性表现形式是多种多样的，如随机性、模糊性、粗糙性、模糊随机性 以及其他的多重不确定性。不确定规划是在不确定环境下的优化理论，包括随机规 划、模糊规划、粗糙规划、随机模糊规划等。从建模理念的角度来说，不确定规划处 理不确定函数的基本途径有三条：( 1 ) 从期望值的角度出发。用不确定函数的期望值分 别代替原来目标函数和约束条件中的不确定函数，建立期望值模型。( 2 ) 从机会测度 的角度考虑。当约束条件中含有不确定变量且必须在观测到不确定变量实现之前作出 决策时，采用一种原则：允许所作决策在一定程度上不满足约束条件( 不考虑违反约 束条件的惩罚) ，即只要求使约束条件得到满足的机会测度不小于预先给定的置信水 平。( 3 ) 极大化事件实现的机会( 如概率、可能性、必要性、可信性、信赖性等) 。 对于粗糙规划来说，相应的数学模型如下： ( 1 ) 在一些约束条件下，如果决策者希望作出决策以便得到最大的期望回报，则可以建 立如下形式的期望值模型： m a x e f ( f ) 】 s t e g ix ，) 】s3 ，j = 1 , 2 ，p 其中是决策向量，f 是粗糙向量，( ) 是目标函数，卯( z ，) 是一组约束函数。j = 1 ，2 ，执 在很多情况下，所考虑的决策问题往往涉及到多个目标。若决策者希望极大化这 些目标的期望值，则可以建立多目标的期望值模型： m a x 【e 【 睡) 】，e 【止睡) ，一，e 【，m ( ) ， s t e b ( z ，) 0 ，j = 1 ，2 ，p 1 7 南京理工大学硕士学位论文抽象空间上的粗糙变量及粗糙规划 其中 ( 。，) 是目标函数，i = 1 ，2 ，m ( 2 ) 如果决策者希望在约束条件以一定的置信水平成立的前提下，极大化目标函数 的乐观值，我们就有以下的粗糙机会约束规划模型： m a x ， s t 1 瞻 ，扛，) ，) 卢 n 毋( ，) 0 ，j = 1 ，2 ，订2q 其中。是一个决策向量，是粗糙向量，f ( x ，) 是目标函数，毋( z ，