（计算数学专业论文）stokes问题局部间断有限元方法的能量模后验误差估计.pdf

a b s t r a c t li ab s t r a c t i n th i s p a p e r , w e d e v e l o p th e p o s t e r i o r i e rr o r e s t i m a t i o n o f t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n fi n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n s o f t h e i n c o m p r e s s i b l e s t o k e s p r o b l e m. a s f o r t h e c o n c l u s i o n o f t h i s p a p e r w e d e r i v e c o m p u t a b l e u p p e r b o u n d s o n t h e e r r o r , m e a s u r e d i n te r m s o f e n e r g y n o r m . f i r s t o f 以 w e i n t r o d u c e a s e r i e s o f b a s i c c o n c e p t s u c h a s f u n c t i o n s p a c e s , f in i t e e l e m e n t s p a c e s , s t o k e s p r o b l e m a n d i t s v a r i a t i o n a l p r o b l e m s , t r a c e o p e r a t o r s , a n d l i f t i n g o p e r a t o r s . a f t e r t h a t w e p r e s e n t t h e g e n e r a l fr a m e o f m i x e d d i s c o n ti n u o u s g a l e r k i n p r o b l e m s . n e x t , w e m a k e s o m e a c a d e m i c p r e p a r a t i o n s f o r t h e p o s t e r i o r i e r r o r e s t i m a t i o n . i n th i s p a r t , w e p r e s e n t l e m m a 学校有权保存学位论文的印刷本和电 子版， 并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或 者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印 件和电 子版; 在不以 赢利为目 的的 前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 命可 放 ,2 ? 年丈月引日 经指导教师同 意， 本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部 5 年 ( 最长5 年， 可少于5 年) 秘密1 0 年 ( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密 2 0 年 ( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 沂 取得的 成果。除文中已 经注明引用的内容外，本学位论文的 研究成果不包含 生 何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容.对本论文所涉 及 的研究工作做出贡献的 其他个人和集体， 均已 在文中以明确方式标明. 本学 立 论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : i 可 砍 川年s月习日 c h a p t e r i i n tr o d u c ti o n c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n t h e m a i n i d e a o f t h i s p a p e r i s t o d i s c u s s a p o s t e r i o r i e r r o r e s ti m a t i o n o f t h e 1o- c a l d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n m e t h o d f o r t h e i n c o m p re s s i b l e s t o k e s p r o b l e m o n e n e r g y n o r m b e f o re t h a t w e fi r s t l y i n t ro d u c e t h e d e v e l o p m e n t a b o u t l d g a n d i p m e t h o d s . p l e a s e n o t e t h a t : a t b e g i n n i n g , w e w a n t t o d e r iv e a p o s t e r io r i e r r o r e s t im a t i o n o f i n h o- m o g e n e o u s b o u n d a ry s t o k e s p ro b l e m , b u t i n t h e p r o c e s s o f d e d u c i n g t h e r e i s d i f fi c u l ty in d e a li n g w i t h b o u n d a ry c o n d i t i o n , a n d h a r d l y o b t a i n a s a t i s fi e d re s u l t , s o w e o n l y p r e s e n t p o s t e r i o r i e r ro r e s t i m a t i o n o f h o m o g e n e o u s b o u n d a ry s t o k e s p r o b l e m 玩re c e n t y e a r s , s e v e r a l a u t h o r s h a v e b e e n c o n c e m e d w i th th e d e v e l o p m e n t o f m i x e d d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n ( d g , f o r s h o rt ) m e t h o d s f o r t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n o f in c o m p r e s s i b l e fl u i d p r o b l e m s .we fi r s t m e n t i o n h e r e t h e w o r k o f b a k e r ,j u r e i d i n i a n d k a r a k a s h i a n 1 a n d k a r a k a s h i a n a n d j u re i d i n i 2 w h o s t u d i e d p i e c e w i s e s o l e n o i d a l d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n m e t h o d s f o r t h e s t o k e s a n d n a v i e r - s t o k e s e q u a t i o n s . l a t e r , c o c k b u r n , k a n s c h a t , s c h 6 t z a u a n d s c h w a b 3 a n d c o c k b u rn, k a n s c h a t a n d s c h o t z a u 4 p r o p o s e d a n d a n a l y z e d l o c a l d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n d i s c r e t i z a t io n s f o r s t o k e s a n d o s e e n fl o w . h a n s b o a n d l a r s o n 5 , t o s e ll i 6 a n d g i r a u l t , r i v i e re a n d wh e e l e r 7 e m - p l o y e d m i x e d i n t e r i o r p e n a l ty m e th o d s f o r t h e a p p r o x i m a t i o n o f s a d d l e p o i n t p r o b - l e m s a r i s i n g i n l in e a r e l a s t i c i ty a n d fl u i d fl o w .f i n a ll y ,t h e p a p e r o f t o s e l li 6 , s c h d t z a u , s c h w a b a n d t o s e l li 8 , a n d s c b d t z a u a n d wi h l e r 9 h a v e b e e n d e v o t e d t o t h e e x t e n s i o n o f m i x e d d g m e th o d s f r o m t h e h - t o t h e h p - v e r s i o n o f t h e fi n i t e e l e m e n t m e t h o d .t b e k e y a d v a n t a g e s o f d i s c o n t i n u o u s g a l e r k in a p p r o a c h e s i n c o m p a r i s o n w i t h s t a n d a r d c o n f o r m in g fi n i t e e l e m e n t m e t h o d s 血 i n t h e i r r o b u s t n e s s a n d s t a b i li ty i n t r a n s p o rt - d o m i n a t e d r e g i m e s , t h e i r fl e x i b i li ty i n t h e m e s h -d e s i g n , a n d t h e ir fr e e d o m i n t h e c h o i c e o f v e l o c i ty - p re s s u re s p a c e s . . i n t e r i o r p e n a l t y m e t h o d s . i n t h e f r a m e w o r k o f t h e s t o k e s s y s t e m , t h e d i f fi c u l ty i n o b t a in i n g n u m e r i c a l a p p ro x i m a t i o n s i s t h e e n f o r c e m e n t o f t h e i n c o m p r e s s - i b i li ty c o n d i t i o n o n t h e v e l o c i ty . f o r c o n t i n u o u s a p p r o x i m a t i o n s o f th e v e l o c i ty , i t i s w e ll k n o w n t h a t a p o i n t w i s e e n f o r ce m e n t c o u l d y i e l d a n o v e r c o n s t r a i n e d v e l o c i ty c h a p t e r 1 i n tr o d u c t i o n a n d t h e o n l y d i v e r g e n c e - fr e e f u n c t io n m i g h t t u r n o u t t o b e i d e n t i c a ll y z e r o ; t h i s i s t h e s o - c a l l e d l o c k i n g p h e n o m e n o n . h o w e v e r , i n 1 9 9 0 , b a k e r ,j u n e i d i n i , a n d k a r a k a s h i a n 1 s h o w e d h o w t o e n f o r c e 由 e i n c o m p r e s s i b i li ty c o n d i t io n p o i n t w i s e i n s i d e e a c h e l - e m e n t a n d s t i ll o b t a i n o p t i m a l e r r o r e s t i m a t e s . t h e y a c h i e v e d t h i s 妙 u s i n g i n t e r i o r p e n a l ty ( l p ) m e t h o d s , t h a t i s , m e t h o d s t h a t t a k e t h e v e l o c i ty a p p ro x i m a t io n t o b e d i s c o n - t i n u o u s a n d p e n a li z e t h e s i z e o f i t s d i s c o n t i n u i ty j u m p s a c r o s s t h e e l e m e n t b o u n d a r i e s ; s e e a l s o t h e r e c e n t e x t e n s i o n o f t h i s m e t h o d t o t h e i n c o m p r e s s i b l e n a v ie r - s t o k e s e q u a - t i o n s b y k a r a k a s h i a n a n d k a t s a o u n i s 1 0 a m o l e , b re z z i , c o c k b u rn , a n d ma r i n i 1 l b r i e fl y r e v i e w i p m e t h o d s f o r p u r e l y e l li p t ic p r o b l e m s a n d t h e n re l a te a n d c o m p a re t h e m t o t h e l dg a n d o t h e r dg me t h o d s . .l dg me t h o d s . t h e l d g me t h o d i s i n f a c t a s t a b i l i z e d mi x e d me t h o d w h o s e s t a b i li z a t i o n i s a c h i e v e d b y th e j u m p s o f t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n a c r o s s t h e e l e m e n t b o u n d a ry . t h e l d g m e t h o d u s e a d i s c o n t i n u o u s a p p r o x i m a t e v e l o c i ty w h o s e d i s c o n - t i n u i tyj u m p s a c r o s s th e e l e m e n t b o u n d a r ie s a re a l s o p e n a l i z e d . h o w e v e r , u n l i k e i p m e t h o d o f b a k e r , j u r e i d i n i , a n d k a r a k a s h i a n , th e l d g m e t h o d s u s e d i s c o n t i n u o u s p r e s - s u r e a p p r o x i m a t i o n s a n d d o n o t t r y t o i m p o s e t h e i n c o m p r e s s i b i li ty c o n d i t i o n p o i n tw i s e i n s i d e t h e e l e m e n t s ; i n s t e a d , l i k e 垃s ta n d a r d m i x e d m e t h o d s , t h i s c o n d i t i o n i s i m p o s e d w e a k l y . t h e r e a r e t w o c h a r a c te r i s t i c s o f l d g m e t h o d . t h e fi r s t i s t h a t t h e y c a n e a s i l y h a n d l e c o m p li c a t e d g e o m e tri e s p r o b l e m a n d e l e m e n t s o f v a r i o u s s h a p e s w i th h a n g in g n o d e s ; a l s o , d iff e re n t t y p e s o f l o c a l s p a c e s c a n b e u s e d o n d i ff e re n t e l e m e n t ; t h e s e p r o p e r t i e s r e n d e r 由 e l d g m e th o d i s h i g h l y p a r a ll e li z a b l e a n d i d e a l ly s u i t e d f o r h p - a d a p t iv i ty . t h e s e c on d o n e i s t h a t th e i r c a r e f u ll y d e v i s e d n u m e r i c a l fl ux i n h e r i t e d f r o m d g m e th o d f o r n o n l i n e a r c o n v e r s a t i o n l a w s - s e e th e s e r i e s w o r k b y c o c k b u r n a n d c o a u t h o r s 1 2 , 1 3 , 1 4 , 巧 ， 1 6 , w h i c h s a t i s f y c e ll e n t r o p y i n e q u a l i ty w i t h o u t s l o p e l i m - i t e r s ( s e e j i a n g a n d s h u 1 7 ) , s o t h e y c a n w o r k v e ry w e ll f o r p r o b l e m s w h i c h p r o d u c e s h o c k s , s t e e p g r a d i e n t a n d b o u n d a ry l a y e r s , t h e s e p r o p e r t i e s m a k e th i s m e th o d h i g h l y a p p r e c i a t e d b y p r a c ti t i o n e r s o f c f d . a f a i r l y c o m p l e t e a c c o u n t o f d e v e l o p m e n t o f d g c a n b e f o u n d i n 1 8 i n t h e c o n t e x t o f e n e r g y n o r m e r r o r e s t im a t io n , w e m e n t i o n h e re t h e r e c e n t p a p e r s 勿b e c k e r , h a n s b o a n d l a r s o n 1 9 , b e c k e r , h a n s b o a n d s t e n b e r g 2 0 a n d k a r a k a s h i a n a n d p a s c a l 2 1 , w h i c h c o n s i d e r d i f f u s i o n p r o b l e m s , a s w e ll a s t h e a r ti c l e b y h o u s t o n , c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n p e r u g i a a n d s c h o t z a u 2 2 , w h e r e c o m p u t a b le u p p e r b o u n d s o n t h e e n e r g y n o r m o f t h e e r r o r i n t h e m i x e d d g a p p r o x i m a t i o n t o t h e t i m e - h a r m o n i c m a x w e ll o p e r a t o r w e re e s t a b li s h e d . p . h o u s t o n , d o m i n i k s c h b t z a u , t h o m a s p wi h l e r 2 3 , w h i c h c o n s i d e r t h e s t o k e s p r o b l e m w i t h h o m o g e n e o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n . a n d a d a p t i v e t e c h n i q u e s b a s e d o n p o s t e r i o r i e r r o r e s t i m a t e h a v e b e c o m e a c o m m o n p r o c e d u r e f o r o b ta i n i n g m o re a c c u - r a t e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f p a r ti a l d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s .t h e s e p r o c e d u r e u s e i n d i c a t o r s t o a s s e s s t h e q u a li ty o f t h e a p p r o x i m a t i o n g l o b a ll y o r l o c a ll y . t h e c e l l s w i t h h i g h i n d i - c a t o r v a l u e a re re f i n e d a n d t h e p r o c e s s i s r e p e a t e d u n t i l th e d e s i r e d a c c u r a c y i s a c h i e v e d . t h e o u t li n e o f t h i s p a p e r i s a s f o ll o w s . i n c h a p t e r 2 , w e p r e s e n t t h e g e n e r a l f r a m e a b o u t m i x e d d g a p p r o x i m a t i o n o f s t o k e s f l o w . i n c h a p t e r 3 , w e s t a rt to d i s c u s s p o s t e r i o ri e r r o r e s t i m a t i o n i n e n e r g y n o r m b a s e d o n t h e l d g m e th o d . c h a p t e r 2 mi x e d d g a p p rox i m a t i o n o f s t o k e s f l o w c h a p t e r 2 mi x e d d g a p p r o xi m a t i o n o f s t o k e s f l o w i n t h i s c h a p t e r , w e fi r s t l y i n t r o d u c e s o m e b a s i c d e fi n i t i o n s a b o u t s t o k e s p r o b l e m , f u n c t i o n s p a c e , fi n i t e e le m e n t s p a c e . a f t e r t h a t t o d e fi n e t h e f o r m o f l d g m e t h o d w e n e e d t o i n t r o d u c e s o m e n o t a t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t r a c e s a n d l i f t i n g o p e r a t o r s . a t l a s t , w e i n t r o d u c e i n t e r i o r p e n a l ty fi n i t e e l e m e n t m e t h o d a n d l o c a l d i s c o n t in u o u s g a l e r k i n m e t h o d f o r t h e d i s c r e t i z a t i o n o f t h e s t o k e s p r o b l e m , r e s p e c t i v e l y . 互 2 . 1 t h e s t o k e s p r o b l e m l e t f t b e a b o u n d e d p o l y g o n a l o r p o l y h e d r a l d o m a i n i n r d , d =2 , 3 , r e s p e c t i v e l y , w i th n d e n o t i n g t h e o u t w a r d n o r m a l u n i t v e c t o r t o it s b o u n d a ry i . g i v e n a s o u r c e t e r m f e l z ( n ) d a n d a d i r ic h l e t d a tu m g e h t ( p ) d s a ti s f y i n g t h e u s u a l c o n d i ti o n f t, g - n d s =0 , t h e s t o k e s p r o b l e m in in c o m p r e s s ib l e fl u id fl o w i s t o v e l o c i ty fi e l d u a n d a p r e s s u r e p s u c h t h a t i b i li ty fi n d a - v a u +v p = f讯n ， v u = 0 i n n ， u = g o n r . ( 2 . 1 ) ( 2 . 2 ) ( 2 . 3 ) i f we d e fi n e v:= h 1 ( q ) d , q : 一 l o (st， 一 。 e l z(j ) : 太 qdx 一 0 . 由 e f o r t s a s f o ll o w i n g a ( u , v )= b (v , q )= 太 v vdx , 一 五 qv 、 t h e n t h e c o r r e s p o n d i n g v a r i a ti o n a l p r o b l e m c o n s i s t s o f fi n d i n g ( u , 川e v x q , w i t h c h a p te r 2 m i x e d d g a p p r o x im a t io n o f s t o k e s f l o w a =g o n i , s u c h th a t fi n d ( u , 川 v x q w i t h u =g o n i s u c h t h a t a ( u , v ) + b ( v , p ) = 几f v d x - b ( u , q ) 二0 f o r a l l v e 玛( f ) ) d , q e q t h e w e ll - p o s e d n e s s o f v a r i a t io n a l f o r m i s e n s u r e d 勿th e c o n ti n u i ty o f a ( , ) a n d b ( , ) ， th e c o e f c i v i ty o f a ( , .) ， a n d th e f o ll o w 吨 i n f - s u p c o n d i t i o n n o te t h a t w e n e e d 山 e c o n t in u o u s i n f - s u p c o n d i t i o n a s f o ll o w : 诚 _ s u p 0 # g e l p ( t l ) c o v e 玛( n ) 0 一 f , q v v d x ii v v llo ,a llg llo ,n 全凡0 w h e re r. i s t h e i n f - s u p c o n s t a n t , d e p e n d i n g o n l y o n f l ; s e e ,e .g . , 2 4 2 5 . n o w w e b e g i n t o d e fi n e t h e f u n c t i o n s p a c e s th a t w i ll b e u s e d th r o u g h o u t t h e p a p e r . g i v e n a b o u n d e d d o m a i n d in 侧, d = 2 , 3 , w e w ri t e 尸( 功d e n o t e th e u s u a l s o b o l e v s p a c e o f r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s w i t h n o r m“ ile a , t - 0 . i n th e c a s e t =0 , w e s e t l 2 ( d ) =h o ( d ) . w e d e fi n e 况( d ) t o b e t h e s u b s p a c e o f f u n c t io n s in h l ( d ) w i th z e r o t ra c e o n 8 d . i n a d d i ti o n , w e s e t l o ( d ) ， q l 2 ( d ) : f n q d x 二0 . f o r a f u n c t io n s p a c e x ( d ) , l e t x ( d ) d a n d x ( d ) d d d e n o t e th e s p a c e s o f v e c to r a n d te n s o r fi e l d s w h o s e c o m p o n e n t s b e l o n g t o x ( d ) , re s p e c t iv e l y . t h e s e s p a c e a r e e q u i p p e d w i t h t h e u s u a l p r o d u c t n o r m s w h i c h , f o r s i m p li c i ty , a r e d e n o t e d i n t h e s a m e w a y a s t h e n o r m i n x ( 功. i f a is a s u b s e t o f 8 d , w e u s e ii ijo a to d e n o te th e l 2 - n o r m i n l 2 ( a ) d a n d l 2 ( a ) d x d . f o r v e c to r ， ， ，e r d ， a n d m a t ri c e s o_ , t e r d x d , w e d e fi n e ， ， b y (v v ) ij = 8 j v ;, v . 。 b y ( ，q ) i = 殊1 a j 0, ij , se t 。: = f, 乙 一 ， o ;j t j . w e f u r th e r d e n o t e 妙v 。w t h e m a t r i x w h o s e 心 一e n t ry i s v i w j . wi t h t h i s n o t a t i o n , w e n o te th a t v 。w =i f di.j = 1 v i o ij w j 一 。(v 0 w ) . a s f o r t h e d i s c o n t i n u o u s fi n i t e e l e m e n t s p a c e s o f v e l o c ity fi e l d a n d p r e s s u r e fi e l d , w e d e n o te 妙叭a n d q h , m e a n w h i l e f o r th e d e r i v a t i o n a n d a n a l y s i s o f t h e m e t h o d s , w e n e e d t o m a k e u s e o f a a u x i l i a ry s p a c e 虱， t h e i r d e fi n i t i o n a r e a s f o ll o w i n g : v h= v e l 2 (s l) d : v ix e q k k ( k ) d , k e t h , 吼 = q e 赌( 。 ) : 。 二 e q k k ( k ) , k e 7 h 虱:= 仁e 护( 2 ) d x d : _r e 仇二 ( k ) d x d ， k e 云 . q a, ( k ) i s th e s p a c e o f p o l y n o m i a l s o f m a x i m u m d e g r e e k i n e a c h v a r i a b l e o n k. c h a p t e r 2 m i x e d d g a p p r o x i m a t i o n o f s t o k e s f l o w n o t e t h a t v h 叭 c虱， w h e re v h i s t h e d i s c r e t e g r a d i e n t , t a k e n e l e m e n t w i s e , a n d g iv e n b y v v ,j = 8 ; v i = 舞o n k “ t h . 玩f o r e g o i n g d i s c u s s i o n , k is u s e d t o d e n o t e e l e m e n t , 由 a t i s , t h e d o m a i n 几c a n b e s u b d i v i d e d i n to s h a p e - r e g u l a r a f fi n e m e s h e s t h c o n s i s t i n g o f p a r a l l e l o g r a m s k ( d = 2 ) o r p a r a ll e l e p i p e d s k ( d =3 ) . f o r e a c h k e t h , w e d e n o t e b y n k th e o u t w a r d u n i t n o r m a l v e c t o r o n t h e b o u n d a ry 8 k , a n d b y 板 t h e e l e m e n t a l d i a m e t e r . a s u s u a l ,w e d e fi n e t h e m e s h s i z e b y h =- k e t , h k a n i n t e r i o r f a c e o f t h i s t h e ( n o n - e m p ty ) ( d 一1 ) d i m e n s i o n a l i n t e r i o r o f 8 k 十 n 8 k - , w h e re k + a n d k - a r e t w o a d j a c e n t e l e m e n t s o f t h . s i m i l a r l y ab o u n d a ry f a c e 尸 i s a n e n t i re o f 五i s t h e ( n o n - e m p ty ) ( d 一1 ) - d i m e n s i o n a l i n t e r i o r o f f n p w h e r e fi s a n f a c e o f a n e l e m e n t k a t t h e b o u n d a ry . we d e n o t e b y 凡 t h e s e t o f a ll i n t e r i o r f a c e s , b y 凡 t h e s e t o f a ll b o u n d a ry f a c e s , a n d d e fi n e 下=凡 u 凡 . w e a ll o w f o r s o - c a ll e d 1 - i rr e g u l a r m e s h e s , t h a t i s , a n y i n t e r i o r f a c e f e几 i s a n e n t ir e e l e m e n t a l f a c e o f a t l e a s t o n e o f t h e t w o a d j a c e n t e l e m e n t s s h a r i n g f . t h i s a s s u m p t i o n i m p li e s t h a t t h e l o c a l m e s h s i z e s a re o f b o u n d e d