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用有限差分光束传播法计算光波导横模 摘要 随着集成光学技术的发展，诸多具有不同结构，功能各异的光波导器件应 运而生。单纯通过实验的方法来设计光波导器件不但费时而且费力，所以通过 计算机辅助设计的方法对光波导器件进行预设计成为一种有效的手段。这种方 法能直观完备地反映光波导器件的特性，准确快速地达到预期的设计要求。近 几年来出现了一些分析集成光波导的数值分析方法，在这些数值分析的方法中， 光束传播法是分析光波导器件的一种有效的方法。 本文介绍了集成光学的现状及发展方向，以及光波导横模解析理论：三层 平板光波导和光纤的模式理论，并在m a x w e l l 方程的基础上，根据慢包络近似 论，利用有限差分近似来代替偏微分方程，推导出了有限差分光束传播法 ( f d b p m ) 计算所需要的公式，建立了f d b p m 在分析光波导横模时所需的 理论模型，并利用f d b p m 分别计算了脊形光波导半导体激光器和变形光纤的 横模分布，对m = 0 ，l ，2 ，3 ，4 四种横模阶数的计算结果表明，脊形光波导半 导体激光器在m = 0 的基横模工作时为最理想的模式，此时出现光强峰值在光束 中心且呈“单瓣 状。这种光束的光束发散角最小、亮度最高，能与光纤有效 地耦合，也能通过简单的光学系统聚焦成最小的斑点，这对激光器的应用是非 常有利的。在m l 高阶模工作时出现轴对称的大小相同的光斑，光束的光束发 散角较大，有源区的光强减弱，不能将这种高阶模的激光光束聚焦成较小的光 斑，这将影响与光纤高效率的耦合。对变形光纤的计算表明，f d b p m 方法对 复杂变形光波导横模的计算非常方便有效。 用有限差分光束传播法计算光波导横模 关键词：集成光学，光波导，横模，有限差分光束传播法 i i 内蒙古大学硕士学位论文 c a l c u l a t i o no ft h et ra n s v e r s em o d e so fw a v e g u i d e b yu s i n gt h eb e a mp r o p a g a t i o n 匝t h o d a bs t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fi n t e g r a t e do p t i c s ，m a n yk i n d so fo p t i c a lw a v e g u i d e d e v i c e sw h i c hh a v ed i f f e r e n tf u n c t i o n sa n ds t r u c t u r e s a p p e a r e d d e s i g n i n g w a v e g n i d eb ye x p e r i m e n t a lm e t h o di sv e r yt i m ec o n s u m i n g ，b u tu s i n gc o m p u t e r a i d e dd e s i g n ( c a d ) m e t h o dt od e s i g nw a v e g u i d ec a no v e r c o m es u c hd i f f i c u l t y t h i sm e t h o dc a na l s ob eu s e dt oa n a l y z et h ec h a r a c t e r so fo p t i c a lw a v e g u i d ea n d l e a d i n gt ot h ed e s i g n a t i o no fo p t i c a lw a v e g u i d eq u i c k l y s o ，m a n ya l g o r i t h m sa r e u s e dt oa n a l y z ei n t e g r a t e do p t i c a lw a v e g u i d e ，a m o n gt h e s ea l g o r i t h m s ，t h eb e a m p r o p a g a t i o nm e t h o di st h em o s te f f e c t i v em e t h o dw h i c h i su s e dw i d e l y i nt h i sp a p e r ，t h ec u r r e n ts i t u a t i o na n dd e v e l o p i n gd i r e c t i o no fi n t e g r a t e do p t i c s a r ei n t r o d u c e d ，a n dw ea l s oi n t r o d u c et h eo p t i c a lw a v e g u i d em o d et h e o r y ：t h em o d e t h e o r yo ft h r e el a y e r sp l a n a rw a v e g u i d ea n dd e f o r m e df i b e r t h e no nt h eb a s i so f m a x w e l le q u a t i o n sa n dt h ep a r a x i a ll i m i t ，t h ef o r m u l at h a ti sn e e d e di nc a l c u l a t i n g f i n i t ed i f f e r e n c eb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ( f d b p m ) i sd e d u c e d t h et r a n s v e r s e m o d ef o rr i d g , ：g u i d ea n df i b e r t h ef d b p ma l s oc a l c u l a t e dheremode t o rr l d g ew a v ea n di l b e ru s m gt i l e 1 31 5 i ma r ea l s 0c a l c ua t e h e r e 用有限差分光束传播法计算光波导横模 w h e nm 2 0 ，i ，2 ，3a n d4 ，w ef o u n dt h a ti ti st h ei d e a lm o d ew h i l ew o r k i n ga tt h e f u n d a m e n t a lm o d e ( m = o ) o n l ys t r o n gp e a kv a l u ea p p e a r si nt h eb e a mc e n t e ra n d p r e s e n t s i n g l eo n e ”a tt h i sm o m e n t t h i sk i n do fb e a mh a st h em i n i m a la n g l eo f d i v e r g e n c ew i t ht h eh i g h e s tl u m i n a n c e ，a n dc a nb ec o u p l e de f f e c t i v e l yw i t hf i b e r i t c a na l s of o c u so nt h em i n i m u ms p o tt h r o u g ht h es i m p l eo p t i c a ls y s t e m ；t h i si sv e r y f a v o r a b l et oa p p l i c a t i o no ft h el a s e ri n s t r u m e n t w h e nw o r k i n ga tt h em 芝1a x i a l l y s y m m e t r i cs a l t l es p o ta p p e a r e dw i t hl o w e ri n t e n s i t yo fl i g h t t h e ni th a sab i g g e r a n g l eo fd i v e r g e n c e ，a n dc a nn o tb ec o u p l e de f f e c t i v e l yw i t ht h ef i b e r t h er e s u l t i n d i c a t e dt h a ti ti sv e r yf a v o r a b l ef o rt h ec o m p u t i n go nt h ed e f o r m e df i b e r k e y w o r d s ：i n t e g r a t e do p t i c s ，o p t i c a lw a v e g u i d e ，t r a n s v e r s em o d e ，f i n i t e d i f f e r e n c eb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d i v 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除本文已 经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得内鍪直太堂及 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 风兰 指导教师签名：鍪童遮 日期：塑堡： 2 。日期：兰塑：皇： 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将学位论文的全 部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允许编入有关数据库进行检索。 也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。为保护学院和导师的知识产权，作者在学期 间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古 大学就读期间导师的同意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：! 堂皇 日 期：出塑：篁： 旦 指导教师签童：叁盔氐圭至 内蒙古大学硕士学位论文 第一章绪论 ( 一) 集成光学发展的历史、现状和趋势 光纤通信的发展，推动着人类社会向信息社会变革。1 9 7 0 年第一根低损耗光导纤维的出 现，翻开了人类通向信息社会的新的一页。研究光如何在光纤和各种光波导中传输的理论， 即光波导理论，则是光纤传输的基本理论，是它指导着光纤技术的前进【l 】。对于光在光纤和 各种光波导里面的传输理论，是近二三十年的事情。光波导理论源于微波波导理论。二十世 纪五十年代后期，电子学的发展，使人类对电磁波的利用推进到了微波波段，全世界都致力 于微波波导的研究，包括我国，都曾大力研究微波圆波导传输，其中研究的最多的是介质薄 膜波导和螺旋波导【2 】。从微波到光，是人类对电磁波利用的必然趋势。光波导理论和微波理 论有着密切的联系，然而二者也有截然不同的特点。光波导不仅仅是微波波导尺寸的缩小， 光在光纤中的损耗机理、光波导的弱导性及其他传输特性都与微波波导不同，所以光波导理 论是一门独立的理论。 集成光学是2 0 世纪6 0 年代末才发展起来的一门新兴学科，它是现代光电子学的一个重 要分支。由于微电子技术的蓬勃发展，平面微细加工技术日益完善，以晶体和非晶体材料为 衬底的光波导应运而生，使人们可能将光限制在与其波长相比拟的微小空间加以研究和利用。 当光被限制在介质波导中传播时，可以利用介质材料的电一光、声一光和磁一光等多种物理效应 对其波导中传播的光进行控制或处理此外，光波导中相当高的功率密度也为非线性效应的研 究和利用开辟了广阔的前景【3 】。集成光学是指在单个衬底或单个芯片上进行一个以上波导结 构光学器件的集成。集成光学器件的潜在优点促进了年来对集成光学领域的研究。这些优点 许多与纤维光学有关( 如带宽、无电磁干扰等) 。另外，与光波导技术有关的小型几何结构， 可用低电压和低输入光功率实现诸如电光调制之类的器件。高集成光学发展初期，美籍华侨 科学家田炳耕曾对集成光学归纳了三条定义【4 1 ：光束能限制在光波导中传播：利用光波导可制 成各种光波分导器件：将光波导和光波导器件集成起来可构成有特定功能的集成光路。集成光 学在一开始就将光纤通信和光计算的光网络作为其主要应用目标。在上世纪的七、八十年代， 对各种可能的材料和制造技术进行了广泛和大量的研究，提出了许许多多的光波导器件和集 旦塑堡茎坌娄塞堡堡鲨盐蔓垄鎏曼堡堡 成光路系统。几乎所有从光源、光探测器、光调制器到光开关等一系列光分立体器件，都有 对应的集成化光波导器件的大量研究，集成光学成为一个研究热点。 集成光学的发展多年来都以光纤通信为主要背景。8 0 年代中期，由于光纤通信的飞速发 展，相关的光学元器件，包括集成光学器件市场达到非常可观的局面。9 0 年代早期，由于西 方世界经济衰退以及不少国家通信行业实行私有化，公司对某些长期研究开发项目缺乏兴趣， 转向短期获利项目，对光纤通信和相关行业产生了一些影响。近两年，由于光纤通往家庭、 通向路边，广泛提供多媒体综合服务势头的上升，刺激了光器件的研究和开发，展现出了美 好前景。光纤通信和集成光学仍保持着持续发展的势头。 ( 二) 光波导理论的研究现状 光波导理论的流行分析方法有如下几种p 1 ：( 1 ) 波动光学；( 2 ) 射线光学；( 3 ) 传输线：( 4 ) 光 束传播哈密顿h a m i l t o n 分析。上述这些理论方法，都从不同的宏观角度出发，不同程度地回 答了光在光波导中传输时的行为及其构成等基本问题。射线光学的优点是简单直观，分析简 单问题，如薄膜波导，与波动方法得出的结果一致。对于复杂问题，例如渐变折射率多模光 纤、波导激发或耦合等，可以给出直观的概念。这无论对理解还是对实验工作都有帮助。但 是分析复杂问题，只能给出粗糙的结果。而波动光学则能得出较全面详细的解析或数值结果， 它的中心是模式理论和耦合模式理论。此外，电磁波可以用传输线来模拟，即用电报方程来 描述用传输线里传输电压、电流的方式去模拟光波导中的光波传输，可以使不少问题的分析 简单化。尤其是在分析多层薄膜波导问题时，可极为简便地结出色散关系。光波导光束传播 的h a m i l t o n 分析是基于波动光学与量子力学之间的相似，用光学系统的轴坐标代替力学系统 时间坐标、f e r m a t 原理代替h a m i l t o n 原理，则波动光学的场相应于量子力学的波函数：这样 量子力学的许多精致的解就可以移植到光波导的相应问题中来。 ( 三) 光波导数值计算方法简介 近几年来，随着光纤通信及光信号处理的发展，光集成技术越来越受到人们的关注。集 成光波导的理论分析对平板均匀介质波导以及一些折射率特殊分布( 如抛物线分布，指数分 布等) 的渐变波导，才可得到解析解【6 】。而对于一些复杂分布，理论分析十分困难，甚至无 2 内蒙古大学硕士学位论文 能为力。6 0 年代末研究者们开始用数值方法分析集成光波导【7 1 。近2 0 年来，出现了多 种数值分析方法，主要有：模匹配法( m o d e m a t c h i n gm e t h o d ) 、耦合模理论( c o u p l e m o d e t h e o r y ) 、有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ) 、有效折射率法( e f f e c t i v e i n d e x m e t h o d ，e i m ) 、有限元法( f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ，f e m ) 、光束传输法( b e a mp r o p a g a t i o n m e t h o d ，b p m ) 等。下面对一些主要的方法给出简要介绍： 模匹配法：数值模式匹配法是w c c h e w 等提出和发展起来的解析数值计算方法。其 突出特点在于能容易地模拟二维非均匀复杂的边界，并且计算量非常小。数值模式匹配法求 解二维非均匀问题的核心是对一个方向用数值模去匹配边界，在另外一个方向用解析模求解。 在数值计算中，数值模式匹配法仅需作一维数值模拟，而且当基函数选择得当时，甚至可无 需任何数值积分便可得到复杂边值问题的电磁场解。数值模式匹配法所展示出的高效计算能 力，使得它一经提出后便得到了充分的利用和迅速的发展。就目前来说，数值模式匹配法主 要应用于模拟非均匀介质填充波导问题。 有限差分法：有限差分法是用差分方程替代波动方程的一种数学方法。将二维光波导 分成有限的差分网格，用差分近似获得差分方程，从而得到离散场的数值解。结合光束传输 法就构成有限差分光束传输法。 耦合模理论：在众多的电磁场理论求解方法中，耦合模理论被认为是兼有数学运算和 物理概念明确之优点。它在微波技术、光波导传输、非线性光学等领域有着广泛的应用。可 以用耦合模理论求解的问题可分为两类：一是波导沿纵向存在不规则形变、有缺陷或周期性的 形变，二是两个或者多个平行放置波导之间沿纵向的功率转换。然而在第一类问题中非微扰 波导模的传播常数和模场以及在第二类问题中每个波导单独存在时的模的传播常数和模场被 认为是已知的，它们通过求解本征值问题得到。 有效折射率法：在各种分析光波导模式传播特性的数值计算方法中，有效折射率法是 一种广泛应用的数值方法，它用一个近似得到的有效折射率去替代波导中复杂的折射率分布， 来计算波导中模式的传播特性。这种方法源于分析矩形光波导，尽管在某些特殊情况下e i m 的使用受到限制，但由于该方法简便和有效，而广泛用于分析各种重要的非矩形光波导结构。 然而对于较复杂的波导截面或折射率分布，用e i m 很难得到解析解，需结合其它的数值方法。 有限元法：f e m 是广泛应用于求解几乎是任意截面或折射率分布的介质光波导模式 传播特性的数值计算方法，由于它具有很高的精度和很强的适应性而作为各种近似计算的基 准。用f e m 求解介质光波导中光场所满足的波动方程时，通常选用大量的三角元或矩形元， 计算机需具有大量的数据存储能力和较快的运算速度，而且计算过程十分繁琐，因此在实际 用有限差分光束传播法计算光波导横梗 集成光学器件设计中，f e m 的使用受到限制。 光束传输法：光束传输法的基本思想是沿着光束在波导中的传播方向取- d , 段步长， 由给定的初始光场和波导条件来求解下一个步长的光场，再用该步长得到的光场作为初始条 件计算下一个步长的光场分布，依此逐步循环到波导末尾，从而得到整个波导中光场的分布 情况。由于光束传输法简单方便、计算速度快、准确性高，因此，现在的光波导数值分析中， b p m 是主要方法之一。这也是本文主要讨论的方法之一，第三章中有详细讨论。 ( 四) 本文研究的主要内容 通过上面的介绍，我们发现光波导可以被广泛应用在集成光学各个领域。在实验条件具 备的情况下，设计和制作各种实用的集成光学器件，探索制作新工艺，当然对集成光学的发 展具有推动作用，然而，在实验条件不具备的情况下，从理论上对各种波导的模式理论进行 分析，并在此基础上提出更有效和更简便的理论分析方法，无疑对各种集成光学器件的设计 和计算也具有重要的实际意义。本论文由四章内容构成： 第一章绪论，介绍了集成光学发展状况，光波导理论的研究现状以及光波导的数值模拟 ， 方法。 第二章作为b p m 分析光波导横模模式理论的基础，以简单的一维三层平板光波导和圆形 光波导为例回顾了光波导横模解析理论。 第三章从光束传播法的发展背景入手，介绍了光束传播法的基本计算思路，并给出几种 典型的光束传播法以及以波动方程为基础重点阐述了有限差分光束传播法。 第四章用b e a m p r o p6 0 软件模拟出了2 个具体例子，一个是普通脊波导半导体激光器 的横模，另一个是变形光纤的横模。 4 内蒙古大学硕士学位论文 第二章光波导横模解析理论 ( 一) 概述 介质光波导( 简称光波导) 嘲是一种能够将光波限制在其内部或其表面附近，引导光波沿 确定方向传播的介质几何形状。在集成光学领域，介质光波导是在光波导器件和集成光路中用 以限制和传导光的元件其结构有很多中，从界面来看，有圆形，掩埋方形，脊形等等。不管 什么类型的光波导，介质光波导都是由一个折射率相对高的区域，与其周围折射率相对低的 区域组成，将光波限制在其中进行传播。光波导从折射率分布变化的大小可分为弱波导和强 波导。强波导折射率差可达5 8 ，而弱波导芯层的折射率只比包层大一点，比如标准的单模 光纤芯层折射率只比包层折射率大约o 3 。本章简单介绍了三层平板光波导和光纤的的横模 模式解析理论，作为第四章用光束传播法模拟普通脊波导半导体激光器和变形光纤横模的理 论基础。 ( 二)三层平板光波导横模解析理论 三层平板波导【明的结构如图2 i 所示，e h - - 层均匀介质构成，各层介质的折射率分别为 n l , r 1 2 ，n 3 ，而且 j 大于1 1 2 和仍。光沿z 向传播，选取该波导的折射率只在x 方向上变化，波导 结构在y 向与z 向均不发生变化。 x w n l 图2 1三层平板波导结构 f i 9 2 1t h e s t r u c t u r eo f t h r e el a y e r ss l a bw a v e g u i d e 从m a x w e l l 方程组出发，分别对t e 模( t r a n s v e r s ee l e c t r i cm o d e ) 和t m 模( t r a n s v e r s e m a g n e t i cm o d e ) 进行推导。从m a x w e l l 方程出发其得出各个分量的形式为 用有限差分光束传播法计算光波导横模 譬一誓：以 ( 2 2 1 ) 誓一誓= 一_ ，q ( 2 2 2 ) 誓一冬：一_ ，日， ( 2 2 3 ) 改卯 。 譬一譬：c o e , e 8 r ( 2 2 一4 )_ 一_ 2 ，【z 4 ) 冬一譬：弘岛。疋 ( 2 2 5 ) i a h x 一冬：国岛。e ， ( 2 2 一6 ) ：- 一：2 ，c 驴岛0 厶y 【z o ) 院苏 冬一冬咖岛e ( 2 2 7 ) o 口l ， 式中e 为电场强度；日为磁场强度；p o 真空的磁导率；, s o 真空中的介电常数；q 介 质的相对介电常数。此处我们假设介质的相对磁导率i j r 且由于设定波导结构在传播方向z 向 不发生变化，因此我们设a 瑟= - j p ，为传播常数，定义有效折射率= ，k ，其中锄 为真空中的波数，则a l a z = 一j l ( o 刀讲。 1 t e 模式分析 对于t e 模：选取髟，为基本场分量，其他场分量均可以由母，表不，由于是一维结构， 有a 瑟= o ，得到罢：o ，因此我们可以假定妒o ；在t e 模式中，电场在纵向传播方向没有 分量，r pe 。, ：o ，故有历；且= o ，代入分量方程( 2 2 4 ) 8 寻至0 筝：0 可以设定p o ，故有最：易 = 妒o ，带回方程组得到t e 模的关于基本场分量马的电场表达式： 譬瑚瑚b = 。 ( 2 2 8 ) 其中= 缈岛觞。定义波导的三个结构区域，折射率厅，：1 2 , 1 1 3 分别对应区域1 ，区域2 ， 区域3 ，其电场基本分量日的表达式分别为 6 内蒙古大学硕士学位论文 毛( z ) = 4e x p ( y _ l x ) 4e x p ( y 2 x + ) a 3e x p i - y 3 ( x - w ) 】 乃= 厢 儿= ，_ 厅- - t n e # - ( 2 2 9 ) 乃- - 上式是一个有四个未知数的三个方程式，其中系数么，( = 1 ，2 ，3 ) ，坳均为待定系数，因此 可以通过在边界连续的条件构造一个方程来求解系数。通过推到可以求出 4 = 4 c o s( 2 2 1 0 ) 一所4 = t 2 4 s i n a 4c o s ( y 2 w + 口) = 4 一乃4s i n ( r 2 w + 口) = 一乃鸽 口= 一t a n 一1 ( 且) + 吼万q l = 0 ，1 ，2 ，3 ， 儿 ( 2 2 11 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) 以= t a n 一1 ( 且) + t a l l 一。( 丛) + q z q = o ，1 ，2 ，3 ，( 2 2 1 5 ) 均儿 通过求解如上的超越方程，我们就可以得到平板光波导的有效折射率门巧代入波导的解 析表达式即而得到t e 模式下各个方向上场的分布函数。 2t m 模式分析 对于t m 模：选取马为基本场分量，其他场分量均可以由马，表示，由于是一维结构， 有晏：0 ，故得到兰当：o 因此我们可以假定驴o ；在掰模式中，电场在纵向传播方向没有 o y o x 分量，即i - i , = 0 ，故有弓爿泸0 代入分量方程( 2 2 5 ) 得到o h o z = 0 ，可以设定皿= 0 ，故 有皆舻喝，_ 0 ，带回方程组得到t m 模的关于基本场分量马的磁场表达式： 争瑚) 以= 。( 2 2 1 6 ) 其中= 缈岛硒在已定义波导的三个结构区域，即波导折射率l 1 1 ，7 1 2 ，坳分别对应的 区域1 ，区域2 ，区域3 中，同理可推导出 a 1 = a 2 c o $( 2 2 17 ) 7 用有限差分光束传播法计算光波导横模 一鲁42 乏删n 以e o s ( y 2 w + 口) = 4 丝4s i n ( y 2 w + a ) 一7 34 e r 23 由式( 2 2 1 8 ) 除以式( 2 2 1 7 ) 可得到 口= 一t a n 一1 牟且) + 吼万 q i 儿 ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) 9 1 = o ，1 ，2 ，3 ，( 2 2 2 1 ) 托形= t a i l 1 e + t a n 一( 詈+ g 万 ( 2 2 z z ) 】3 托 i l 厶厶 通过解如上的超越方程，我们就可以得到平板光波导的有效折射率i t e f f , 代入波导的解 析表达式可得到t m 模式下各个方向上场的分布函数。在求解有效折射率时，如坳无解说 明波导中基模截止，n e f f 多解则说明波导中有高阶模存在，而这两种情况都是光波导器件所不 允许的。因此可以根据n e f f 解的情况来调节光波导的结构，使光波导中只存在基模。 1 光纤的结构 ( 三) 光纤的模式理论 光纤基本结构【i o 】一般是双层或多层的同心圆柱体，如图2 2 所示。其中心部分是纤芯， 纤芯外面的部分是包层，纤芯的折射率高于包层的折射率，从而形成一种光波导效应，使大 部分的光被束缚在纤芯传播，实现光信号的长距离传输。由纤芯和包层组成的光纤常称为裸 光纤，这种光纤如果直接使用，由于裸露在环境中，容易受到外界温度、压力、水气的侵蚀 等，因而实际中应用的光纤都在裸光纤的外面增加了防护层，用来缓冲外界的压力，增加光 纤的抗拉、抗压强度，并改善光纤的温度特性和防潮性能等。防护层通常也包括好几层，细 分为包层外面的缓冲涂层，加强材料涂覆层以及最外层的套塑层。光纤的套塑层有两种：紧 套和松套。紧套是指光纤在两次套管内不能自由松动；而松套光纤则有一定的活动范围。紧 套的优点使性能稳定，外径较小但机械性能不如松套，因为紧套无松套的缓冲空间，易受外 8 自萤自 i # m 女 力影响。松套光纤温度性能优于紧套，制作比较容易，但外径较大，为避免水分，需要填充 半流质的油膏来提高光缆的纵向封闭性能。现在采用的松套方法是发展方向。经过涂覆、套 塑形成的光纤常称为被覆光纤或缆芯。 囤22 光纤的基本结构 f i 9 2 2 t h e $ 1 i t c t h f eo f f i b e r 光纤的几何尺寸很小，纤芯直径一般在5 5 0 u m 之间，包层的外径为1 2 5 9 r a 包括防 护层整个光纤的外径也只有2 5 0 9 m 左右。 2 光纤的模式理论 本文以晟简单的阶跃型光纤为例简单介绍了光纤的模式理论。光波在阶跃型光纤中的 传播满足麦克斯韦方程组，由麦克斯韦方程组可以推导出对于时变电磁场随时闻简谐规律变 化时，电场强度e 和磁场强度h 满足亥姆霍兹方程： v 2 e + 廊矿e = 0( 231 ) v 2 h + 聪h 2 h = 0 ( 232 ) 式中k o = _ 2 x 为自由空间波数； 为介质的折射率在纤芯中n = “包层中n = v 2 为拉普拉斯算符，在圆柱坐标系可展开为： v 2 = ；言t ，争+ 专著专 仁”， 直接求解矢量的亥姆霍兹方程十分繁琐，得到的解也较为复杂，所以一般采用标量近似 解法，因阶跃型光纤的折射率差很小，故可以把这种波看成t e m 波，其电磁场的轴向分量 丘和匾非常小，而横向分量五和日则很强。设沿横向电场沿y 轴偏振，则且用标量目表示， 则它满足标量波动方程，将在圆柱坐标系中展丌得到 避o 用有限差分光束传播法计算光波导横模 粤+ 三堡+ 丢鲁+ 粤+ 碍抛：o(234)o r 2 ro rr 。a 口2o z 2 ” y 、7 式( 2 3 4 ) 为二阶三维偏微分方程，利用分离变量法求解点设 式中；a 是常数，r ，o ( 臼) ，z 向分别是坐标，矽，z 的函数。然后分别求出r 似， o ( p ) z 纠，得到横向场毋的通解。再根据边界条件得到式( 2 3 4 ) 的标量近似解。 驴彳鼎淄回 e 俘，、 e y 2 - - - - 专著c o s t a 8e x p j ( c o t 堆) 】 ( 2 3 7 ) 式中： 厶，第一类标准贝塞尔函数； 疋，第二类虚宗量贝塞尔函数： ，电磁波的传播常数； u 和k 为解方程过程中引入的常数。 电磁场近似为t e m 波，由电磁场的性质可得纤芯的磁场强度皿j ，鼢利用麦克斯韦方 程组可以得到纤芯中纵向分量历，总，包层中纵向分量用饧，表示。这样光纤中的电磁场的 场方程都得出来了。在解方程( 2 3 4 ) 过程中已经引入的两个常数u 和w 的表达式分别为 u = 碍砰- , 0 2 口 ( 2 3 8 ) w = 2 一瑶喀口 ( 2 3 9 ) u 为导波的径向归一化相位常数，表明了在光纤的纤芯中导波沿半径，方向的场的分布 规律。w 称为导波的径向归一化衰减系数，表明了在光纤的纤芯中，场沿半径，方向的衰减 矿= 护+ 旷 1 0 内蒙古大学硕士学位论文 因此 6 = ( 铲，一( 等) 2 对于弱导波光纤： 矿= 厮= j i d 口厢 6 = 等警n l呵一 6 = 壁! 鱼二竺 惕一n 2 ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) v = k o , 鼍a 4 2 a ( 2 3 1 3 ) 这两个常数由光纤的结构和波长决定。 需要确定传播常数，式( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) 是u 、和的两个关系式，还需要得到一个 另外一个关系式，即特征方程。 利用边界条件尼尸如，可以推出对于弱导波光纤特征方程为 u 争黑：形争黑 ( 2 3 1 4 ) 厶( u )k ( ) ” 此方程是个超越方程，通常用数值法求解即可以得到。也可用模的有效折射率刀旷 夕l 【代替模的传播常数，则模的有效折射率位于纤芯折射率和包层折射率之间。 用有限差分光束传播法计算光波导横模 第三章光束传播法 ( 一) 光束传播法的发展概况 设计和研制平面光波导只知道器件需要波导理论的指导。随着光波导技术的发展，用 于光波导中的快速、精确的数值模拟方法越来越重要，特别是对于一些结构复杂的平面光波 导，由于很难有具体的解析解，所以数值模拟方法对于设计性能优良的平面光波导器件是十 分重要的一个环节。 目前光波导的一些理论和计算方法主要集中于模场和传播常数的求解，而对光脉冲在波 导中的动态传输则需要采用光束传输法( b p m ) ，因为它可以模拟折射率随传播方向发生变 化的波导情形，与特殊的波导模式无关。形象地放映场在波导中的传播与变化情况，对于平 面光波导器件设计而言无疑具有很大的实用价值，所以b p m 是目前优化设计平面光波导器件 最流行的方法。部分或全部使用b p m 方法设计并得以实验证实的器件包括： 无源波导器件、光开关、多模波导器件、环形激光器、光延迟线回路、新颖y 分支结构、 光连接器、偏振分离器、绝热耦合器等。 b p m 是二十世纪7 0 年代j a f l e c k ，m d f e i t 和j r m o m s 为了处理大气中的激光传输而 提出来的【l i 】，不久他们将b p m 应用于研究波导中的光传输【坦d 4 】，后来经过不少人的研究和 改进，b p m 已经成为一种实用性非常强的波导模拟算法工具，它最主要的特征是能够对导波 模和辐射模作统一处理。最初的b p m 都是采用快速傅里叶变换( f f t ) 算法【1 2 1 3 1 ，j a f l e c k ， m d f e i t 和j r m o m s 于1 9 7 8 年发表了第一篇基于傅里叶变换的光束传播法( f f r b p m ) 的文献【1 2 1 ，由此为发端f f t b p m 法得到了世界范围的承认与应用，并有大量文献发表。此 后j v a nr o e ye t a l 1 4 1 、l a r st h y l e n 1 5 】分别发表了经典意义的综述文章，对于这类b p m 法的 应用范围做了定量的分析与限定，标志着这种方法的完全成熟。然而在实际应用中，由于 f f t - - b p m 方法受最大折射率变化和最大传播步长的影响，其计算效率很低，耗时长且不稳 定，而且在处理复杂波导是精度很差，其边界条件的设置也是相当麻烦的。为了解决这些问 题，近年来发展起来的级数算法和差分算法对此有重大改进。1 9 8 9 年k o c ht b ，e t r i 1 6 首先提 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 出了一种新的方法一有限差分光束传f d b p m ，( f i n i t ed i f f e r e n c eb e a mp r o p a g a t i o n m e t h o d ) ；r a c c o m e r o 1 7 1 1 9 9 0 年使用透明边界条件( t b c ) 作了类似的工作：r s c a n n o z z i n o b s 对 f d b p m 与f f t b p m 法进行了结果比较，得出的结论是f d b p m 法全面优于f f t b p m 法。 由于差分代替微分是直接操作于微分方程的，故只要函数的连续性得到保证，差分算法总是 能以一定的格式进行的。而一般都假设所要求解的场是连续的，可能例外是存在折射率函数 突变这样的极端情况，即使这样的情况下也可以通过避免离散节点落在边界上来克服这个问 题。 上面所述的所有工作都是针对二维波导问题而言的。对于三维波导b p m 模拟的大部分工 作可以借助于有效折射率法来完成的。利用这类高效精确的三维波导b p m 数值模拟法，可以 在更复杂的器件上进行数值模拟，扩大数值模拟技术的应用范围。关于三维波导b p m 法的文 献不是很多，而且给出的方法都采用显示差分格式，计算费时、繁琐效率低、局限性也很大。 为了有效解决三维波导精确数值模拟的问题，1 9 9 7 年严朝军等【1 9 】提出了一种三维有限差分光 束传播法，比较理想的克服了上述困难，并且采用了算法稳定的隐式差分格式，有效而方便 地处理了t b c 边界条件的三维扩展问题，大大扩宽了f d b p m 法的适用范围。 ( 二) b p m 基本计算思路 光束传输法b p m 的基本计算思路如图3 1 所示。假设光场沿着光波导的纵向传播，如果在 z = 毛的平面a 内光场分布已知，b p m 就是要通过已知场的分布求出z = 乃“处平面b 内的 场，然后重复此操作，就可以模拟分析整个集成光波导内的场分布。经过近二十年的发展， b p m 已经成功形成了自己的体系。根据是否考虑偏振属性分类，b p m 包括标量、半矢量、 全矢量三种形式。根据是否考虑反射，b p m 包括正向传播b p m 和双向传播b p m ，双向传播 b p m 可以分析纵向不连续结构。根据采用坐标系的不同，b p m 包括直角坐标b p m 和柱坐标 b p m 。此外，为了解决由于结构离轴而造成的模型精度问题，引入了广角的b p m 。为了求解 波导的模式，引入了b p m 虚轴传播技术t 2 0 。2 。 1 3 用有限差分光束传播法计算光波导横模 ab 7 1, 7 1 + i 型 型： 堡堡查塑， 图3 1b p m 的基本计算思路 f i 9 3 ，1b a s i ct h e o r yo f b p m b p m 适用的范围很广，它不仅能分析各种无源光波导器件，还可以分析电光调制、环形 激光器等有源器件。 ( 三) 几种典型的b p m 算法 现在光束传输法中常用的方法有：快速傅立叶变换法( f a s t - f o u r i e rt r a n s f o r m ，f f t ) ，有限 粼( f i n i t ed i f f e r e n c e ，f d ) 和有限元法( f 硒t ee l e m e n t ，f e ) ，分别介绍如下瞄】。 1f f t b p m f e l c k 等人最先提出的b p m 是以快速傅立叶变换为数学手段实现的，所以称为f f t - b p m 。 f f t b p m 的计算步骤为：将横向场离散化后，利用f f r 将实际空间的场分布变换到频谱空 间，传输止距离后( 分为两步传输，第一步为止2 ) ，再利用f f t 逆变换将频谱空间变换 到实际空间，重复上面的步骤就可将整个光波导中的场分布计算出来。f f t b p m 源于标量 波动方程，因此只能得到标量场，不能分辨出场的极化和场之间的耦合。由于其采用了快速 傅立叶变换，也给它带来了先天的不足。首先它的横向离散化格点宽度必须一致，格点数还 必须是2 的整数次幂。f f t b p m 所采用的网格是等间隔的，所以在处理劈形波导，弯曲波 导时不很合适。但f f t b p m 比较简单，在处理平板波导时精度足够，速度也比较快，所以 它已广泛的用于分析光栅、非均匀介质 2 3 1 、二阶非线性波导【2 4 1 。而处理结构复杂的波导时、 1 4 内蒙古大学硕士学位论文 效率低、精度差【2 5 】，因此一般不用于这方面。 2f e - b p m 19 9 0 年k o c h e t 将有限元法( f e ) 用于表示横向场，从而提出了一种新的b p m 方法一有限 元光束传输法( f e b p m ) 2 6 1 。f e b p m 的计算过程为：波导横截面被分成很多三角形元，在每一 个元内的场用多项式来表达，然后加入不同元间场的连续条件，就可得到整个横截面的场分 布。 f e b p m 采用的是不规则的节点元，这样在处理复杂几何曲面( 如弯曲波导、劈形波导) 时，它比f f t b p m 或f d b p m 所采用的方格有效得多。z 变化结构( 波导结构或折射率沿传 输方向有变化) 中，使用f e b p m ，在芯层与覆盖层之间不会引入量化误差，f e b p m 已用于分 析两维z 变化波导。f e b p m 使用内在元加权函数( s h a p ef u n c t i o n ) ，允许在格子内的每个元素 的介质特性不同，这样，就可以更准确地描述光波导结构。在忽略横向场耦合时，在p a d 6 近似 f 2 7 】下，可f d b p m 来解三维非傍轴近似波导，而f e b p m 却可同时考虑横向场耦合。 尽管f e b p m 有这么多优点，但还是很少有人用矢量f e b p m 来计算三维波导，主要原 因是很难得至t j f e b p m 矢量公式。要得至t j f e b p m 矢量公式，主要限制是在两种介质界面处 两个不同元间的介电常数的推导。以阶跃折射率( as t e pi n d e x ) 为例，在每个网格元中介质是均 匀的，在界面处介电常数发生变化。特别是当介电常数不连续时，若仍要考虑介电常数的变化， 就要考虑场的矢量变化，于是就要用到函数，但其应用价值不高。为了处理这种不连续性，发 展了一种新的全矢量f e b p m 2 引。这种方法通过f e 方法数字离散化，对极化及场耦合考虑周 到。 节点元可以很容易的模拟两维问题，但不能用于三维，因为节点元不能阻止虚根产生，于 是产生了非归一化传播。边界元的使用产生了非物理增益。有一种方法可以解决这个问题， 就是使用混合元法即用边界元来表示横向场分量，用节点元来表示纵向场分量【2 9 1 。混合元法解 决了归一化问题，而且抑制了虚根的产生，边界条件得到了准确的描述，因此，可以用全矢量来 模拟三维波导。它可模拟有凹角( r e e n t r a n tc o r n e r ) 的波导，求几何损耗。特别是能模拟凹角对准 确描述极化性质很重要。这些优点是f d b p m 所缺乏的。在计算过程中，可以应用特征矢量 展开法及矩阵展开法f 2 7 】。计算的主要问题是计算时间及内存，因此，利用p