（应用数学专业论文）矩阵schur补的性质及其应用.pdf

摘要 矩阵s c h u r 补是矩阵理论中一个重要的知识点，在矩阵理论、统计分析、 数值计算、线性方程组求解、区域分解方法、线性系统、控制论等问题的研究 中都有着广泛的应用本文主要研究矩阵s c h u r 补理论在矩阵理论中的问题利 用矩阵的一些基本性质和数学研究中的一些基本方法讨论矩阵s c h u r 补、广义 s c h u r 补、矩阵乘积的s c h u r 补的奇异值估计及s c h u r 补的相关应用 首先，在绪论中给出本文需要的相关定义及将要讨论的问题，在第二章中 利用矩阵分块、子阵、幂等矩阵等矩阵的基本性质阐述了矩阵s c h u r 补的相关 性质，并在第五、六章中将矩阵s c h u r 补的性质理论加以应用，通过举例说明 结论的准确性，同时给出算法 其次，在刘建州，王伯英等已得到的某些结果上进一步讨论了h e r m i t e 矩 阵以及正规矩阵广义s c h u r 补的性质，并举例说明 最后，在m a r s h a l l ，a w ，w a n g ，b y 和刘建洲对矩阵乘积之s c h u r 补的奇异 值估计研究结果的基础上对其中的一些不等式进一步推广，将一些特征值不等 式和奇异值不等式迸一步改进同时，说明了s c h u r 补在线性系统、区域分解方 法等方面的应用 关键词：h e r m i t e 矩阵；特征值；s c h u r 补；奇异值；广义s c h u r 补； a b s t r a c t m a t r i xs c h u rc o m p l e m e n ti so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tk e n sb o t hi nt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s ，a n di th a sw i d ea p p l i c a t i o n si nt h es t u d yo fm a t r i xt h e o r y , s t a t i s t i c sa n d a n a l y t i c s ，n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，l i n e a re q u a t i o n s ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ， l i n e a rc o n t r o le t c t h ec o r r e s p o n d i n ga p p l i c a t i o n so fm a t r i xs c h u rc o m p l e m e n t ，g e n e r a l i z e ds c h u r c o m p l e m e n t ，s i n g u l a rv a l u e so fs c h u rc o m p l e m e n to fm a t r i xp r o d u c t sw e r ed i s c u s s e d i nt h i sp a p e rt h r o u g hs o m eb a s i c sp r o p e r t i e so f m a t r i xa n dm a t h e m a t i cm e t h o d s t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：f i r s t l y , w eg i v es o m e n e c e s s a r yd e f i n i t i o n s a n dp r o b l e m st ob ed i s c u s s e di nt h ei n t r o d u c t i o n i n c h a p t e r2 ，w ec l a r i f ys o m e p r o p e r t i e so fm a t r i xs c h u rc o m p l e m e n tt h r o u g hu s i n gp r o p e r t i e so fb l o c km a t r i x ， s u b 。m a t r i x ，i d e m f a c t o r , e r e i nc h a p t e r5a n d6 ，w ea l s os h o wt h ea l g o r i t h ma n dp r o v e t h ev e r a c i t yo ft h er e s u l t s s e c o n d l y , w ea l s od i s c u s sm o r eh e r m i t em a t r i xa n dp r o p e r t i e so fn o r m a l g e n e r a l i z e ds c h u rc o m p l e m e n tb a s eo nt h er e s u l t sf r o ml i uj i a n z h o ua n dw a n gb y w e g i v eap a r t i c u l a rc a s eo ft h i sa l g o r i t h ma sa ne x a m p l e a tl a s t ，w eo b t a i ns o m ei n e q u a l i t i e s ，w h i c hc a ni m p r o v et h e e i g e n v a l u e i n e q u a t i o n sa n dt h es i n g u l a r v a l u ei n e q u a t i o n sb a s e do nt h es i n g u l a r v a l u e so fs c h u r c o m p l e m e n to fm a t r i xp r o d u c t st h a ta r er e s e a r c hr e s u l t so fm a r s h a l l ，a w ：，w a n g b y a n dl i uj i a n z h o u t h i sp a p e ra l s og i v e st h ea p p l i c a t i o n so fl i n e a re q u a t i o n s a n dd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d k e yw o r d s ：h e r m i t em a t r i x ；e i g e n v a l u e ；s c h u rc o m p l e m e n t ；s i n g u l a r v a l u e ； g e n e r a l i z e ds c h u rc o m p l e m e n t ； 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新 的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真 实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它 机构已经发表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并 表示了谢意 作者签名：董卫厶 日期：巡：占：fj 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定， 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 电子版和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位 论文在解密后适用本规定 作者签名：童里丝 e t 期：塑墨：! ! 南京信息工程大学硕士学位论文 第一章绪论弟一早三：百t 匕 1 1 基本概念及要研究的问题 矩阵s c h u r 补的概念是1 9 17 年i s c h u r 在他的一篇文章中提出的，它在矩阵 理论、统计分析、数值计算、线性方程组求解、区域分解方法、线性控制等领 域都有重大作用本文主要讨论s c h u r 补的性质及其在矩阵理论中的应用 首先引入矩阵s e h u r 补的定义： 定义1 1 1 ( s c h u r 补定义) 设m ，= ( 尝三) ，其中d 是方阵且非奇异，称 m 1 o = a b d c 为m 1 关于d 的s c h u r 补，记作m 1 d 如果d 不是方阵，也可以定义假s c h u r 补 1 ，2 ，3 我们假设d 在矩阵m 。中的位置不变，同样我们可以如下定义s e h u r 补： m l a = d c a b ， m l b = c d b a ， m l c = b a c d 定义1 1 2 ( 广义s e h u r 补定义) 设n = 1 ，2 ，2 ) ，若ac _ n ，则 a = f 1 ，f 2 ，i t ) ，1 i 。i ：如聆设a ，p n ，则彳q ，卢) 表示彳的行序 在a ，列序在卢的子矩阵若a = 卢，则简记为彳 ) 若彳q ) 非异，记 a7 = n a ，则a 关于么q ) 的s c h u r 补记为： a a = 彳q7 ) 一彳g7 ，a n ) 】1 彳g ，a7 ) 定义1 1 3 ( 特征值定义) 设彳是数域p 上的线性空间y 的一个线性变换， 如果对于数域尸中一数九，存在一个非零向量，使得 南京信息工程大学硕士学位论文 彳g = z o g 那么九称为a 的一个特征值，而g 称为a 的属于特征值九的一个特征向量 定义1 1 4 ( 奇异值定义) 设a c ”，如果存在非负实数。和非零向量 u c ”，1 ，c 册，使得 a u = o v a 日1 ，= o u 则称仃为彳的奇异值，u 和1 ，分别称为彳对应于奇异值仃的右奇异向量和左 奇异向量 本文对如下问题进行进一步的讨论： ( 1 ) s c h u r 补的性质； ( 2 ) 广义s c h u r 补的性质； ( 3 ) 矩阵乘积之s c h u r 补的奇异值估计； ( 4 ) 矩阵s c h u r 补的应用 1 2 国内外研究进展 矩阵s c h u r 补在矩阵理论、统计分析、数值计算、线性方程组求解、区域 分解方法、线性控制等问题的研究中都有着广泛的应用，同时s c h u r 补的特征值 及奇异值的估计也在多个领域有着重要作用【4 3 0 ，4 7 ，4 8 ，4 9 如今，它们都已经成 为科学计算中的重要研究工具中外学者对此作了深入广泛的研究，获得了一 系列成果 4 7 4 9 1 k j b i l o u 、a m e s s a o u d i 、k t a b a a 4 给出了矩阵s c h u r 补的两个恒等式， 并将它们运用于一些矩阵的序列变换 x i n g p i n gs h e n g ，g u o l i a n gc h e n 5 扩充了一般s c h u r 补的概念，进一步研究 了分块矩阵转置的表示法，在此基础上得到了一些矩阵s c h u r 补的商恒等式 王伯英给出的正定矩阵h a d a m a r d 乘积的s c h u r 补的逆的偏序的等式的条件 2 南京信息工程大学硕士学位论文 【6 】和广义s c h u r 余不等式【7 】 杨忠鹏【8 】证明了广义逆的主子矩阵与广义s c h u r 补的密切关系 tl m a r k h a m 和rls m i t h 9 】证明了关于s c h u r 补的很有用不等式 0 。b ) 0 。b ) ( a 彳 ) ) 。b ) ) 这里彳、b 为正定矩阵，表示矩阵的l s w n e r 序，即么一b 表示半正定矩 阵 史及民 1 0 】以s c h u r 补的秩可加性为基础，介绍了若干特殊用例 r l s m i t h 在 1 1 中给出一个半正定h e r m i t i a n 阵的s c h u r j , 的交错定理 r b o u y o u l i ，k j b i l o u ，r s a d a k a , h s a d o k 1 2 禾t j 用s c h u r l 公式和矩阵乘 积，给出了全局极小残差法( g l o b a lm i n i m a lr e s i d u a lm e t h o d s ) 和全局正交残差 法( g l o b a lo r t h o g o n a lr e s i d u a lm e t h o d s ) 的一些收敛结果的近似解及残差的表达 式 a m e s s a o u d i 1 3 提出了一种解线性方程组的简单方法，运用递归插值运算 法则( r e c u r s i v ei n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m ，i l i a ) 选择参数来解线性方程组k j b i l o u 1 4 在a m e s s a o u d i 研究的基础上用s c h u r = i ；l 和矩阵s y l v e s t e r 等式，得出了矩 阵递归插值运算法则( m a t r i xr e c u r s i v ei n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m ，m r a ) 的表达式， 从而得到解分块线性方程组问题一般运算法则 赵建中，杨传胜，周本达 1 5 得到f 一矩阵s c h u r j b 是f 一矩阵；f 一矩阵与逆 f 一矩阵h a d a m a r d 不等式等号成立的矩阵结构 r a h o r n 和c r j o h n s o n 1 6 获得了复矩阵h a d a m a r d 乘积之奇异值不等式 ff 仃，0 。b ) 仃，0 b 。( 8 1 l = 1 ，2 ， 刘建州等利用分块矩阵的一些变换技巧，成功地得到了矩阵乘积的s c h u r 补的奇异值估计，改进和推广了现有的一些著名不等式 1 7 】；得到乘积b a b + 的 s c h u r 补的特征值估计( 其中b 是门阶复方阵，a 是正定h e r m i t i a n 阵) 1 8 1 ；在 南京信息工程大学硕士学位论文 2 0 0 0 年他又将矩阵广义s c h u r 补和复合矩阵结合起来，研究了一个m n 复矩阵 的广义s c h u r 补，并给出相关复合矩阵的奇异值不等式 1 9 杨兴东等在1 9 9 9 年研究了非复定h e r m i t e 矩阵乘积的特征值估计 2 0 】；2 0 0 1 年获得了矩阵乘积的特征值与奇异值的不等式【2 1 】；在2 0 0 3 年运用矩阵 h a d a m a r d 乘积的性质，将r a h o r n 和c r j o h n s o n 已获得的复矩阵h a d a m a r d 乘积的奇异值不等式 ， 仃，0 。b ) 仃，0 b ，p ) ，= 1 ，2 ，刀 推广到对任意k 个因子的h a d a m a r d 乘积都成立【2 2 】；2 0 0 4 年作者对矩阵和的特 征值与奇异值进行研究，获得了若干矩阵和的特征值与奇异值不等式 2 3 】 吴国军 2 4 】得到了一些四元数体上的正定自共轭矩阵s c h u r 补的特征值估 计，推广了复矩阵中诸多著名结果 黄弘【2 5 得到了正定h e r m i t e 矩阵和的s c h u r j b 与正定h e r m i t e 矩阵s c h u r * b 的 和的特征值不等式 尹小艳，吴保卫 2 6 利用半正定矩阵的性质和矩阵m o r e p e n r o s e 广义逆的特 性，研究了半正定矩阵乘积及h a d a m a r d 积的广义s c h u r 牢b 的l 6 w n e r 偏序问题，得 到了关于广义s c h u r 3 i b 的若干不等式 吕子明 2 7 】给出了可数可加向量测度g ：寸x 的w 可测函数的一个表示 定理并讨论了具有s c h u r 性质的b a l l a c h 空间x 与乓0 ) 的弱收敛的羌系 张英 2 8 】在s c h u r 算法的基础上构造了s c h u r j b 的位移结构，通过对s c h u r b 的 位移结构的生成子进行变化得到正定t o e p l i t z 矩阵三角分解的一种修正的s c h u r 算法 d c a r l s o n ，t im a r k h a m 2 9 研究了严格主对角矩阵的s c h u r 幸b 并得到相关的 一些结论 c h e n g - y iz h a n g ，y a o - t a n gl i ，f e n gc h e n 3 0 在分块矩阵上提出t s c h u r b 的 4 南京信息工程大学硕士学位论文 概念，研究了两种分块主对角矩阵的s c h u r 牢i 的性质 1 3 本文的主要工作 本文主要讨论了矩阵s c h u r 补的性质、矩阵广义s c h u r 补的性质以及矩阵乘 积之s c h u r 补的奇异值估计，并对矩阵s c h u r 补的应用进行讨论，全文内容安排 如下： 第一章介绍矩阵s c h u r 补、广义s c h u r 补、特征值及奇异值，简述它们的研 究现状与进展，概述本文的主要工作 第二章介绍相关符号和引理，介绍矩阵s c h u r 补的相关性质，在此基础上 进一步研究广义s c h u r 补的相关性质、矩阵乘积之s c h u r 补的奇异值估计及矩阵 s c h u r 补的应用 第三章介绍相关符号和引理，迸一步讨论了广义s c h u r 补的相关性质，得 到了h e r m i t e 矩阵以及正规矩阵广义s c h u r 补的一些性质 第四章对矩阵乘积的s c h u r 补奇异值估计进行讨论，介绍特征值不等式， 奇异值不等式，得到了h e r m i t e 矩阵乘积的特征值以及复矩阵乘积的s c h u r 补之 奇异值的一些不等式 第五章将矩阵s c h u r 补的相关知识应用到相应的学科上，并对某些问题提 出一些猜想 第六章给出第五章问题的算法算例 第七章对全文进行总结，并提出了一些有待进一步研究的问题 最后，对全本作一个简要的总结，并对将来的研究方向和需要进一步研究 的问题作一个概述 在附录中，将给出一些计算程序 南京信息工程大学硕士学位论文 2 1 相关符号简介 第二章矩阵s c h u r 补的性质 本章中，r 表示实数集，c ”表示聊 复矩阵集，而c ? 。”表示秩为，的 mxn 矩阵集么+ 表示彳的m o o r e p e n r o s e 逆，彳圩表示彳的共轭转置设么、b 是 h e r m i t e 阵，a b 表示a b 是h e r m i t e 非负定阵特别地，a 0 表示彳是 h e r m i t e 非负定阵r 0 ) 表示彳的列空间 2 2 矩阵s c h u r 补的性质 c a 三 d = ：三 d = 瞄刮d = 医暑 d 引理2 2 2 4 ，矩阵m ：i c 彳d bf e i ，其中m ghl 。： 三主 ，m ： 暑三 ，设 引理 】矩阵m = li ，其中，= l ：乞l ，m ：= li 二：i ，设 il r 4 一jl j n l , 刀2 分别表示矩阵c ，g 的行数，p 。，p ：，p 。分别表示矩阵彳，b ，e 的列数， d ，m l ，m 2 均为方阵且非奇异( 其中n l = p 2 , n 2 = p 3 ，n 2 = p 1 ) ，则 驯m 。= 一m ：肛，d ) 。：d ) 弓i 理2 2 3 c 3 ，令m = ( 詈三) ，彳= ( 考丢) ，其中m ，么，e 都是非奇异阵， m | a = m | e 、| u e 、 证明m ，a ，e 都是非奇异阵，所以m 彳非奇异阵，从而( 聊e ) e ) 有意 匿 南京信息工程大学硕士学位论文 罢 ，其中b = ( 主 ，c = 。 由上式有 驯e = 眨州驴= ( c ：等f 又 则 ( e ) e ) = p c 。e b 。) 一( c ：一c 1 e 。1 f x a e ) 。10 ：一g e b 。) ， m a = d - 鲋- 1 b = d - 括巩剐 引理2 一( c 1 ，c ：) ( 三一珂1 0 ， ji矧 = 0 9 一c 。e b ，) 一c ：o e ) b ：+ c 。e q f ( a e ) q + c ：( a e ) qg e b 。 一c , e _ f ( a e ) 1g g e b l = ( d c 。e b 。) 一( c ：一c , e _ ，脚e ) 。1 0 ：一g e b 。) 三) ，= ( 言舌 ，其中4 ，e 为非奇异阵， m n a e = ( m a x n e ) 引理2 2 5 c 3 2 ，矩阵m = 匿弘 瞄 设，2 l ，胛2 分别表 示矩阵c ，g 的行数，p l ，p 2 分别表示矩阵b ，e 的列数，d ，m 。均为方阵且非奇异 7 f 日q 蜀历 o o 脚印 一 一易d ，一 v i 0 八 o e ， 么c 厂，一 、l - ， ： 西 k 一 舭 m ，j - 、 t 己 肌 设 e ， m p = 乙 1j f 曰d h 南京信息工程大学硕士学位论文 ( 其中n 1 = p l ，刀2 = p 2 ) ，则 则 m m 。= 蚺| 趴| m 、| d 两 引理2 2 6 1 3 3 设么c g t l 。? lb c ”p ，若尺0 ) 3 尺陋) ，则似+ b = b 弓1 理2 2 7 c 3 4 ，设彳= ( 考三 ，若彳2 = 么，旭玎七c e ，= 阳船七( 考 = ，- 口，z 后仁，f ， e ) 2 = a e 2 3 本章小结 本章在矩阵s c h u r 补定义的基础上，利用矩阵分块、非奇异阵、子阵等矩 阵的基本性质阐述了矩阵s c h u r 补的性质这些知识对研究s c h u r 补的应用有重 要的意义，对我今后的研究方向也有举足轻重的作用 8 南京信息工程大学硕士学位论文 第三章广义s c h u r 补的性质 3 1 相关符号与引理简介 本章中，尺表示实数集，c 表示朋xn 复矩阵集，而c ，”表示秩为，的 m x n 矩阵集么+ 表示么的m o o r e p e n r o s e 逆，么h 表示彳的共轭转置设么、b 是 h e r m i t e 阵，a b 表示么一b 是h e r m i t e 非负定阵特别地，a 0 表示么是 h e r m i t e 非负定阵 0 ) 九：0 ) 九0 ) 表示h e r m i t e 阵a 的的递降排序 设以为n 阶h e r m i t e 矩阵集，是日。到日。的线性映射， 如果将单位矩阵映射为单位矩阵，则称咖为标准映射； 如果妒将正定矩阵映射为正定矩阵，则称妒为正映射 设厂是( 0 ，) 上的连续函数， 如果v a ，b h 。，0 a b ，有f ( a ) f ( b ) 则称厂是( o r ) 上单调算子； 如果彳，b h 。，0 a b ，0 尸1 则a 尸b 尸，因此映射f ：a 一彳p 为单调 算子 引理3 1 1 1 3 5 如果厂e ( 0 ，) 上的单调算子，是日。上的标准正线性映 射，则对任意正定矩阵彳，有 厂0 ) ) 驴驴0 ) ) ；0 沙0 ) ) 协0 ) ) 引理3 1 2 3 6 】设彳，b 皆为n 阶h e r m i t e 半正定矩阵，且a b ，a b = b a ， 则彳2 b 2 引理3 1 3 设么日：，则a ( h ) 与4 q ) 1 的选择无关且 纠a ：( - 么g ，a 扣q ) ，1 。一。皿( _ 么g ，a b q ) ，。一。y ，( 1 ) 9 南京信息工程大学硕士学位论文 0 ，2 & ) 2 = ( - 彳v 2 g ，a 讧v 2 q ) ，l 一。) a ( - a 1 2 g 。，a - v z q ) ，l 一七y l ，( 2 ) 证明因为彳 ，a ) = 彳q 弦，且 p a p = 抛。q ) ，删叫小 一么q ，缸洲。，乏 ， 由上式可知( 1 ) 式成立由上式及( 1 ) 式 ( - 彳v 2 q ，a b l 2 q ) 1 l ，l 一。) a 9 2 ：( 0 ，彳啦a ) ， 可得( 2 ) 式 g i n3 1 4 5 0 】设a l + ，则对m = 0 , 1 ，2 ， 彳g y 2 ”1 彳抛”1g ) 4 矿z “a c 4 v ：。a7 2 ， c 4 炒屈) 2 彳归屈， c 4 z 。屈y r c 4 z 州屈r 3 2 广义s c h u r 补的性质 定理3 2 1 设彳为n 阶h e r m i t e 半正定矩阵 a = i 1 ，i 2 ，i k ) ，1 i l i i 甩，七( ”) 为自然数，a = n a ，s = 2 ”， 且 则 ( 彳2 a ) ( a a ) r = ( a a ) 2 ( 么2 。仅) ，t = l ，朋( 3 ) a s a 0 a ) s 而当a 为n 阶h e r m i t e 正定矩阵，0 p 1 时， a 一川a ( a 一1 a ) 川 1 0 ( 4 ) ( 5 ) 南京信息工程大学硕士学位论文 证明( i ) 对( 4 ) 式的s = 2 朋应用数学归纳法 当m = 1 时，由文献 1 4 】知结论成立归纳假设s = 2 ”1 时( 4 ) 式成立： a 2 。一a ( a a ) 2 。 则当s = 2 ”时，由m = 1 时之特例得 i - - i ) 2 屈c 4 z ”屈地z ”1 屈) ， 由( 3 ) 式，有 c 4 ：“屈胁a ) 2 ：( a a ) 2 剃c 4 ：“止) ， 因而由引理3 1 2 ，得 所以 c 4 ：”1 屈妇z ”1 止) a ) 2 1 a ) 2 ”i ：( a a ) s ， 么s 屈：c 4 z “) 2 厶a ) 2 川( a a ) 2 _ - i ：( a a ) s ( i i ) 令 - f - a 一么p ，o p 1 ；驴：彳- - a ( a l a = n a ，则厂为单调算子，妒为 标准正线性映射，由引理3 1 1 得， 即 得 4 - 物g ) 】p pk ) ， l q ) 】川a p + lg ) ， 0 。1 a ) - 扫“0 如“a ) _ 1 彳一( 川a 0 一a 广” 定理3 2 2 设彳为心阶正规矩阵，a = ii 2 ，i t ) ，1 i l 1 ， 这与( 6 ) 式矛盾 所以 o 九帕h a ) a ) 州m a x ， 蠢h ) 日k 帖， ) ，碍1 陋日) 日k 沿，( 彳) ) 且 引理4 1 4 设彳，b c “”，尼( 1 k ，2 ) 和，( 1 ，七) 是任意给定的两个自然数， 口c n ，l a i = n - k ( 1 i 1 i 2 一 南京信息工程大学硕士学位论文 = 兀k 缈圩彳b y ) ：兀k - ( a ：y h b y ) ：血- 缈a v v h b 矿) f = lf = lt = l 兀k 九0 ，h 彳y ) 兀k 九缈月b v ) 所以( i i ) 式成立 ( i i i ) 先证彳、b 为h e r m i t e 为正定矩阵的情形： ll 令g = 彳2 b a2 ，h = a - 1 则由定理4 2 2 ( i ) ， 得 即 故得 珥k 札陋) 冉札川( 彳；删；卜小，c 4 1 ) ， l ；l f 盒l、， ( 1 2 ) 若彳、b 为h e r m i t e 非负定矩阵，则对v 6 0 ，a - t - ，及占+ ，为h e r m i t e 正定矩阵，从而由( 1 2 ) 式得， 令s 一0 + ，则得结论( i i i ) 成立 证毕 1 9 、- ， b ，j 九 。兀 、l ， 4 “肛 九 。n闰 一陋札 。n b l “卜 沙 4 ，l 九 ，n闰 一 84 l 叫- 。n日 玎 + p 1 嘲 + 似 丑 ，兀 一 n d+b v 八 d + 4 u乃 。兀硝 南京信息工程大学硕士学位论文 4 3 奇异值不等式 定理4 3 1 设a 、b c “”，1 i 女，刀，贝i j ( i ) 兀仃一+ 。0 b ) m a x 兀仃h + 。0 净n + 。p ) ，n d h + 。p 冷州+ 。0 ) ； t = l lt = l t = l j k f k七 1 ( i i ) 兀仃川+ 0 b ) m i n 丌仃州+ ，0 b ( 8 ) ，h o 州+ ，p b 0 ) ； t = l lf = lt = l j 七 f，1 ( i i i ) 兀仃川( 么b ) m i n 兀仃( 彳p 一+ 。( b ) ，兀仃( b p 心+ l ( 彳) t = l lt = lt = lj 证明由 州彳b ) ：砰1 ( 彳b ) 日( 么b ) 】- 菇 ( 彳月a ) ( b b 日) ， 及定理4 2 2 即知不等式( i ) 至( i i i ) 成立 证毕 定理4 3 2 1 4 0 设彳、b c “”，1 i l ，翮七。) = ，册七( 詈) = 阳础。，b ) ， 则 m | 斜= m | a = m e 、| u 哙 我们知道矩阵s c h u r 补引理在线性系统中有着重要的作用利用矩阵s c h u r 补引理可以构造线性矩阵不等式 4 7 4 9 1 ，下面介绍矩阵s c h u r 补引理 定理5 2 5 1 1 ( 矩阵s c h u r 补引理) 对于对称矩阵a a a 以下三个条件 2 4 么c 一， l u 有 = 式 m 上 令 由 南京信息工程大学硕士学位论文 等价： 也a l l乏 o ； 2 ) a 1 1 0 ，a 2 2 一彳l t 2 以l - 1 1 a 1 2 0 ； 卜一嘉* 驴针刚吒c 猜想1 令m = ( 罢三) ，其中m ，么均为非奇异阵，方阵m 2 = m ， 似r 肚) 2 = m r a 1 彳b el 猜想2 矩阵m = i cd f l ， ghli m 。= ( 罢三) ，m ：= ( 三；) ， 南京信息工程大学硕士学位论文 耻( 吲m = 鞠， m ，m 。，么均为非奇异阵，当满足怎样的条件时，有下面的结论： a ) ( m m ，) 2 = m i m ，= ( ( m i a ) ( m 。似) ) ； b ) ( m m ，) 。= 驯m 。= ( ( m i a ) ( m 。彳” 南京信息工程大学硕士学位论文 第六章算法算例 针珂弟4 1 _ 草即他用，不草迓一步遇辽萃例讥明，开给出算法算例 6 1 算法 ，用已知条件m 2 = m 对m = ( 詈三 进行计算，得出相应等式 2 利用厂口玎七。) = ，口甩尼( 詈) = ，- 口玎七。，b ) 及弓i 理2 2 6 ，得出 a a + b = b ，c a + a 亍c 3 利用已获得的等式及m p 广义逆的定义得出彳1 2 ：m i a 4 令m = ( 尝三 = 参量墨 ，得出a 彳= 。e y e ， 例1 设m = ( 詈三 ，彳= ( 善丢 ，其中m ，彳，e 均为非奇异阵，m 荚j t f f ： 等矩阵，若m = o00 oo0 2100o0 2 o1 oo0 o o o224 o 0 ol34 o o 0123 ，：，：跚01a 2 10 e201 ，= i l ，= i 二 ， li l - f = 三 ，h = 【1 l g = 2 ，。】，口胛尼( e ) = ，口，z 后( 考 = ，口咒尼伍，f ) ，b = c = 。 求：彳) 2 ，m a ，( m e ) ( a e ) 解：由题可得，满足m 2 = m ，b = ( 主 ，c = ( c l q ) ， 2 7 南京信息工程大学硕士学位论文 彳= 。一c 么一b = 。= 二主 显然， 。= 睢 ( m e x a e ) = ( d c 。e b 。) 一( c ：一c 1 e _ f 脚e ) 。1 0 ：一g e b ，) 一瞳 1，j o 4 o 1j o 4 o 1j o 4 o 南京信息工程大学硕士学位论文 第七章总结与展望 矩阵s c h u r 补是矩阵理论中一个重要的知识点，在1 9 1 7 年第一次由i s c h u r 提出，从此以后，国内外无数的专家学者对其进行了深入而全面的研究，到今 天，它的理论体系己相当的完善，但是对其应用的研究还不是很多，本文在已 有结论的基础上对部分结果进行推广 7 1 本文的主要工作如下 在对基本概念及国内外研究进展有一个清晰的了解后，本文主要研究了如 下四个方面的知识点： ( 1 ) 在矩阵s c h u r 补定义的基础上，利用矩阵分块、非奇异阵、子阵等矩阵 的基本性质阐述了矩阵s c h u r 补的性质； ( 2 ) 研究了h e r m i t e 矩阵以及正规矩阵广义s c h u r 补的性质，并改进了某些 已有的结论； ( 3 ) 研究了s c h u r 补的特征值及奇异值的估计，改进和推广了文献一些不等 式； ( 4 ) 对国内外学者已有的研究结论加以改进并应用，通过算法、算例对这些 结论作进一步的论证 7 2 需进一步研究的问题 国内外学者对于s c h u r 补的研究方面越来越完善，但是对其应用方面还关 注不多我将对矩阵s c h u r 补及广义s c h u r 补的应用作进一步的研究 南京信息工程大学硕士学位论文 参考文献 【1 】c b r e z i n s k i ，m r e d i v oz a g l i a as c h u rc o m p l e m e n ta p p r o a c ht oag e n e r a le x t r a p o l a t i o n a l g o r i t h m ，l i n e a ra l g e b r aa p p l j 】2 0 0 3 ，3 6 8 ，2 7 9 3 01 【2 】d c a r l s o n , e vh a y n s w o r t h ，t m a r k h a m ，ag e n e r a l i z a t i o no ft h es c h u rc o m p l e m e n tb y m e a n so ft h em o o r e p e n r o s ei n v e r s e ，s i a m j a p p l m a t h 19 7 4 ，2 6 ，16 9 17 5 3 】gm a r s a g l i a , gp h s t y a n ，e q u a l i t i e sa n di n e q u a l i t i e sf o rr a n k so fm a t r i c e s ，l i n e a ra l g e b r a a n dm u l t i l i n e a ra l g e b r a19 7 4 ，2 ，2 6 9 2 9 2 【4 】k j b i l o u 、a m e s s a o u d i 、k t a b a h , s o m es c h u rc o m p l e m e n ti d e n t i t i e sa n da p p l i c a t i o n st o m a t r i xe x t r a p o l a t i o nm e t h o d s ，l i n e a r a l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s j 2 0 0 4 ，3 9 2 ，19 5 210 【5 】x i n g p i n gs h e n g ，g u o l i a n gc h e n ，s o m eg e n e r a l i z e di n v e r s e so fp a r t i t i o nm a t r i xa n dq u o t i e n t i d e n t i t yo fg e n e r a l i z e ds c h u rc o m p l e m e n t ，a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n j 】2 0 0 8 ，19 6 ， 1 7 4 18 4 6 】b o - y i n gw a n g ，f u z h e nz h a n g s c h u rc o m p l e m e n ta n dm a t r i xi n e q u a l i t i e so fh a