（运筹学与控制论专业论文）模糊可靠性的bayes分析.pdf

摘要 可靠性是度量产品质量的重要指标，产品的可靠性问题不仅影响产品的性能， 而且影畸一个国家的国计民生和社会的安全与稳定努力提高产品的质量可靠性， 不仅可以防止故障和事故的发生，尤其是灾难性的事故的发生，而且可以避免产品 开发时频繁的事后更改现象，从而缩短开发周期，节约开发成本，降低维修费用和其 他由于可靠性不高而产生的附加费用因此，可靠性成为各国科研机构和学者致力 于研究的重点和热点 随着人们对可靠性研究的不断深入。人们发现许多实际问题不仅存在随机性， 而且存在模糊性，特别是在对小样本进行可靠性分析时，模糊性对分析结果起到决 定性的影响因此，人们将模糊理论引入到可靠性的研究中，开展了模糊可靠性的研 究模糊可靠性的研究虽只有2 0 多年的历史，却吸引了国内外众多优秀学者致力于 此，并取得了很大的理论成果但随着可靠性理论的不断发展，模糊可靠性分析的理 论和方法还有待于进一步完善和发展本文基于现有可靠性的研究成果，在以下几 方面对模糊可靠性进行了较为深入的研究： ( 1 ) 深入研究了用广义模糊强度表示的模糊安全状态情况下模糊强度的计算形 式提出了一种简单易行的模糊安全事件隶属函数的定义方式，完善了模糊可靠度 计算理论 ( 2 ) 在目前利用b a y e s 方法进行模糊可靠性分析的基础上，提出了比较完整的模 糊b a y e s 可靠性预测的方法，并为模糊可靠性估计的隶属函数的确定提出了有效的 途径 ( 3 ) 在引进无失效信息的基础上，结合无失效数据，利用配分布曲线法及最小二 乘法，加权最小二乘法和模糊加权二乘法对各种寿命模型中的参数进行了综合估计， 并且从失效概率和可靠度这两个指标出发，利用b a y e s 方法对参数进行估计 ( 4 ) 提出了多重模糊假设检验的b a y e s 方法主要利用b a y e s 方法对寿命模型中 的参数进行多重模糊假设检验，并且给出了一个接受模糊假设检验的充分必要条 件 模糊可靠性的理论还有很多方面需要完善，本文只从几个方面进行了较为深入 的研究模糊可靠性理论的完善还需要更多学者的不断努力 关键词：模糊可靠性；b a y e s 估计；无失效数据；模糊加权；模糊假设；b a y e s 检验 模糊可靠性的b a y e s 分析 a b s t r a c t r e l i a b i l i t yi ao n eo f t h em o s ti m p o r t a n ti n d i c e st oe v a l u a t et h eq u a l i t yo f p r o d u c t i th a s b o c a ) m eam o s tp o p u l a rr e s e a r c hd i r e c t i o n w i t ht h ed e v e l o p m e n to fr e s e a r c h , p e o p l e b e g i nt or e a l i z et h a tt h e r ee x i s tn o to n l yr a n d o m n e s sb u ta l s of u z z i n e s si np r a c t i c a l p r o b l e m s s op e o p l eb e g i nt os t u d yf u z z yr e l i a b i l i t y t h et h e o r ya n dm e t h o do ff u z z y r e l i a b i l i t ya r en o tp e r f e c t t h ep a p e rh a ss t u d i e ds e v e r a la s p e c t so ff u z z yr e l i a b i l i t ya s f o l l o w s ： f o rt h ed e f i n i t i o no ff u z z ys a f e t ys t a t ei sd i f f e r e n t , t h ec a l c u l a t i o no ff u z z yr e l i a b i l i t yi s d i f f e r e n tu n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n as i m p l ea n dp r a c t i c a lm e t h o d , t od e f i n em e m b e r s h i p f u n c t i o no ff u z z ye v e n td e n o t e db yg e n e r a l i z ef u z z ys t r e n g t h , i sd e v e l o p e di nt h ep a p e r t h e nf u z z yr e l i a b i l i t yo p t i m i z a t i o nm o d e li sd e v e l o p e d t h em o s te f f i c i e n tm e a n st oa n a l y s et h er e l i a b i l i t yo fs m a l ls a m p l ei sb a y e sm e t h o d b e c a u s ei tt a k e sf u l lu s eo fp r i o ri n f o r m a t i o n t h et h e o r yo ff u z z yb a y e sr e l i a b i l i t y p r e d i c t i o ni sn o tp e r f e c t b a s e do nc u r r e n tr e s e a r c hr e s y l t s , as y s t e m a t i cm e t h o do f b a y e s r e l i a b i l i t yp r e d i c t i o ni sd e v e l o p e d p a r a m e t e rp r e d i c t i o ni sv e r yi m p o r t a n tf o rr e l i a b i l i t ye s t i m a t i o no f z e r of a i l u r ed a t a f o r t h eq u e s t i o no fp o o rs t a b i l i z a t i o ni nc o n v e n t i o n a ll i n e a rr e g r e s s i o ne q u a t i o n , i ti su s u a l l y t h ei m p o v e db yaw e i g h t e dc o e f f i c i e n t t h ef u z z yw e i g h ti sp u tf o r w a r d ，a n dt h ef u r s e v e r a ll i f ed i s t r i b u t i o nm o d e l s ，e s t i m a t e de q u a t i o no ff a i l u r er a t ea n dt h er e l i a b i l i t ya r e g i v e n d u et ot h ef a c tt h a tf a i l u r ep r o b a b i l i t yh a sl a r g ee f f e c tf u rt h ee s t i m a t e dv a l u e , t h e b a y e se s t i m a t i o ni sg i v e nw h i c hb a s e so nd e c r e a s ef u n c t i o n a b a y e s i a na p p r o a c ht om u l t i p l ef u z z yh y t h e s e st e s t i n gi sp u tf o r w a r d g i v e nt h e b a y e s i a nr u l et om u l t i p l ef u z z yh y p o t h e s e st e s t i n gf o rt h ep a r a m e t e ro fs e v e r a l l i f e d i s t r i b u t i o nm o d e l s , a n dg i v e nt h ei f a n do n l yi f c o n d i t i o nt oo n ef u z z yh y p o t h e s e s k e yw o r d s ：f u z z yr e l i a b i l i t y ；b a y e sp r e d i c t i o n ；z e r of a i l u r ed a t a ；f u z z yw e i g h t i n g ； f u z z yh y p o t h e s e s ；b a y e s i a nt e s t i n g 硕士学位论文 插图索引 图2 1 常用隶属函数分布图 6 图2 2 贝叶斯统计推断的基本模式1 0 图4 1 h 。，h 1 ，h ：的隶属函数图 5 5 附表索引 表2 1 常用隶属函数分布 5 表2 2 模糊可靠度计算公式8 表3 1 无失效数据及n 的估计值3 9 表3 2 p l ，p 2 ，a ，p 。的b a y e s 估计4 0 表3 3 参数z , c r 的估计以及可靠度的估计4 0 表3 4 求解无失效威布尔方法的几种比较4 l 表4 1 5 4 表4 2 5 6 表4 3 5 7 表4 4 5 8 h i 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本 人承担 作者签名：写翠泼 日期：。7 年f 月乙日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：写翠玲 导师签名：夏丕n 事 日期：o t 年6 月2 日 日期：。7 年6 月互e t 硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 现代技术的不断进步，推动了可靠性理论的迅速发展，也促成可靠性数学的日 趋完备可靠性数学理论大约起源于二十世纪三十年代最早被研究的领域之一是 机器维修问题另一个重要研究工作是将更新理论应用于更新问题此外，在二十 世纪三十年代威布尔( w e i b u l l ) 、龚贝尔( g u m b e l ) 和爱泼斯坦( e p s t e i n ) 等研究了材 料的疲劳寿命问题和有关的极值理论1 1 1 可靠性问题只是第二次世界大战前后才真正开始受到重视并且以惊人的速度 发展着可靠性是产品的基本属性，是衡量产品质量的重要指标，是世界产品市场 竞争的焦点它在提高产品质量，延长使用寿命以及制定管理策略等方面所取得的 显著成就，以使其成为工程设计、企业管理、经营决策、产品或系统的运行和维修 活动中不可缺少的工具，成为提高管理水平和经济效益的重要手段从二十世纪五 十年代至今，可靠性理论作为一个与国民经济和国防科技息息相关的新兴学科已 从各方面积累了丰富的经验，在未来的科技和经济发展中必将得到更加广泛和深 入地研究，逐渐地在理论研究和实际应用中走向成熟 随着可靠性理论的日趋完善，用到的数学工具也越来越深刻，可靠性数学已成 为可靠性理论的最重要的基础理论之一，近年来己发展成为应用概率、应用数理统 计、随机过程和运筹学的一个边缘分支学科，它主要研究解决各种可靠性问题的数 学模型和数学方法，属于应用数学范畴研究较多的领域有：相干结构理论、更新 理论、可用性理论、极值分布理论、最佳维修方针、贝叶斯理论、冗余的最优化、 多变量寿命分布、蒙特卡罗模拟、随机过程、失效树分析等，研究产品的可靠性设 计、分析、预测，分配、评估、验收和抽样等技术的数理统计方法1 2 1 经过6 0 多年的发展常规可靠性已经比较成熟p 卅，但是，对于电站、石油化工、 冶金等大型成套设备，由于其数量少，可靠性复杂，昼夜连续运行，其可靠性试验无 法在实验室进行同时由于大型复杂机械系统的各零部件功能各异，很难获得现成 数据，且机械零部件的故障率与故障模式、连接方式有关，模型复杂因此，对复杂 机械系统进行可靠性分析是一件十分困难的工作特别是进入二十世纪八十年代 以来，各种大型机械设备事故时有发生，这就迫使人们不得不对常规可靠性的理论 基础进行反思随着研究问题的复杂化，出现了可靠性的传统研究方法( 精确数学) 与问题复杂化的矛盾，从而有必要将通常事件推广到模糊事件，相应地将传统可靠 性推广到模糊可靠性【9 】在近二十年里有许多学者从事这方面的研究，作了大量的 工作并取得了显著的成绩，但是这方面的研究还不成熟，还有许多工作要做，模糊 可靠性模型是当今可靠性学科研究的热点问题 对于模糊可靠性的研究，国内外的众多学者都作了大量的工作 9 h 1 6 1 总的来 说，模糊可靠性理论无论是在理论研究还是工程应用方面都还是处在创建阶段一 般系统的模糊可靠性模型尚无明确的物理定义，其隶属函数的确定以及模糊集理 论中扩展运算的应用，大都属于试探性的，还没有可供工程应用的实用化技术和方 法针对大型复杂机械系统的模糊可靠性模型也未建立因此必须在深入了解大型 复杂机械系统的应用背景、结构、性能以及各子系统问相互关系的基础上，对其进 行模糊可靠性建模以及适用性分析尤其是要紧密结合实际机械系统来确定合理 的、物理意义明确的隶属函数，这是进行大型复杂机械系统可靠性分析与评估的关 键技术之一尽管模糊可靠性的理论框架还有待于进一步建立和完善，但是它确实 突破了常规可靠性理论的束缚，必将推动可靠性理论取得根本性的发展 1 2 课题的来源及意义 1 2 1 课题来源 本课题源于甘肃省教育厅科研项目 1 2 2 课题研究的意义 本课题研究内容属于可靠性理论、模糊数学、随机过程理论、统计分析等学 科相耦合的交叉领域，使用常规的b a y e s 方法和模糊b a y e s 方法对一些模型的数据 以及无失效数据进行可靠性分析 由于模糊性在实际工程中广泛存在，而且当样本较小时，模糊性在可靠性分析 中起决定性作用，为避免用常规可靠性进行分析其结果与实际不相符的现象，本文 将利用b a y e s 方法对小样本的机械产品进行模糊可靠性分析应用b a y e s 方法解决 具有模糊数据的可靠性问题可以弥补常规可靠性的不足，是解决小样本事件或无 失效数据的可靠性问题的有效方法，并考虑了实际可靠性数据的模糊性，因此研究 的结果更符合实际 1 3 课题的主要研究内容 纵观目前可靠性研究现状及存在的问题，本课题将主要从以下几个方面进行 研究： 分析常规二值状态可靠性理论在解决小样本事件或无失效数据的可靠性问 题时存在的局限性，阐述无失效数据及模糊可靠性理论的概念、研究现状及其对常 规可靠性理论的改进之外，提出使用模糊可靠性理论分析小样本事件或无失效数 据的可靠性问题 硕士学位论文 利用b a y e s 方法对无失效数据的一些模型进行模糊可靠度的计算在一些高 可靠度、小样本这样的问题中，进行定时截尾试验时获得的数据有时是无失效数据， 从而在对一些典型的模型计算可靠时，采用最小二乘法、加权最, j 、- - 乘估计、模糊 加权最4 - - 乘估计三种方法，给出计算可靠度的公式 利用b a y e s 方法对一些经典的可靠性模型的参数进行多重模糊假设检验在 该部分中，或在观察值中引入模糊概念，或在假设中引入模糊概念，在贝叶斯决策 的观点下研究多重模糊假设检验问题 结合工程实际中的问题，验证利用模糊b a y e s 方法计算可靠度比常规方法更 符合实际 参考文献 f i j 曹晋华程侃可靠性教学引论0 旧，北京：科学出版社，1 9 8 6 【2 】郭永基可靠性工程原理【咖，北京：清华大学出版社2 0 0 2 【3 】周源泉，翁朝曦可靠性评定嗍北京：科技出版社，1 9 9 0 【4 】高镇同废劳可靠性m 北京：北京航空航天大学出版社，2 0 0 0 嘲牟致忠机械可靠性设计咖北京：高等教育出敝杜1 9 9 3 t 6 】黄洪钟，机械传动可靠性理论与应用p 旧北京：中国科技出版社，1 9 9 5 研杨为黾盛一兴系统可靠性数字仿真d 田北京：北京航空航天大学出版社，1 9 9 0 嘲郭志坚可靠性工程技术口哪机械电子工业部科技司，1 9 9 2 嘲吴晗平模糊可靠性简介川质量与可靠性2 0 0 0 ，( 1 ) ：3 5 - 3 8 【l o 】k a u l l a n n a l n 口o d u c t i o n t o t h e f u z z ys u b s e t s m n e w y o r k ：a c a d e m i c p r e s s , 1 9 7 5 【1 1 1 蔡开元模糊可靠性的研究与发展川高科技与产业化1 9 9 7 , 2 ：2 6 - 2 8 ，3 7 0 2 1 黄洪钟模糊设计咖北京：机械工业出版社，1 9 9 9 t 1 3 】黄洪钟，王金诺，杨旭华关于模糊可靠性若干基本问题的探讨一将清洗工作时问拓广到模糊工作时间川机 械工程学报，1 9 9 4 ，6 ( 3 4 ) ：6 3 - 7 2 玎4 】黄洪钟基于模糊状态的机械系统可靠性理论及应用的研究们机械设计，l 盼5 ( 9 ) ：1 1 - 1 3 0 5 黄洪钟模糊机械科学与技术的理论依据和理论体系田中国机械工程1 9 9 6 , 7 ( 1 ) ：3 5 - 3 7 f 1 6 1 董玉革机械模糊可靠性设计嗍北京：机械工业出版社，2 0 0 0 第二章模糊可靠性理论 世界上有的东西是确定的，有些东西是不确定的不确定性有两种：有确定的 定义但不一定出现的事件中包含的不确定性称为随机性：已经出现但难以给出精 确定义的事件中包含的不确定性称为模糊性【1 1 刚接触模糊性概念的人往往会把它 与随机性概念相混淆，其实这是性质不同的两个概念，虽然它们都是用来描述事物 的不确定性的一方面，随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚而明确的，可 以判定该事件在某特定时刻和特定条件下发生了还是没有发生：另一方面，模糊性 所描述的事件或概念本身是模糊不清的一个具体的对象是否符合一个模糊概念 是不能明确判定的显然，如果还是用以前处理随机性的那一套理论方法来解决本 质不同的模糊性问题当然是行不通的 1 9 6 5 年，美国控制论专家l a z a d e h 教授第一次提出了模糊集合的概念，从而 开创了- - 1 7 新的数学分支模糊数学，形成了模糊理论体系【2 】这套理论是用符 号方法来表示模糊概念和模糊对象，是目前在模糊理论中应用最为广泛的一个系 统方法，是当前模糊理论研究的基础 2 1 模糊数学的基础知识吲 定义2 1 对论域u 的每一个元素肛，在闭区间 o ，1 中给出一个对应的数字 指标，用以表明对模糊子集j 的隶属程度，并用z i o ，) 表示，称为元素z j 对模糊 子集j 的隶属度模糊子集可由其隶属函数z ：( ) 予以描述 在模糊数学中，隶属度是建立模糊集合论的基石，隶属函数是描述模糊性的关 键虽然隶属函数的确定有很大的主观性，因人而异，但隶属函数不能主观任意地 捏造，它仍然具有一定的客观规律性 根据实践工程经验，常用的隶属度函数有戒上型的降半梯形分布、降半正态 分布和降半岭形分布；中间型的矩形、梯形和正态隶属函数；戒下型的升半梯形 分布、升半正态分布和升半岭形分布 4 1 ，如表2 1 所示，其图形为图2 1 所示 2 2 模糊可靠度计算理论 2 2 1 模糊可靠性设计 在设计一个设备系统或者对系统进行可靠性分析时，通常需要考虑模糊不确 定因素，主要有设计目标的模糊性、状态的模糊性、信息的模糊性和选择判断的 表2 1 常用隶属函数分布 t a b l e 2 1t h em e m b e r s h i pf u n c t i o no ft h eg e n e r a ld i s t r i b u t i o n 戒上型分布戒下型分布中阃型分布 梯形分布 删= 巨：惝钮 i gx q n j a a z 心= l 如x - - 一c q l l ，c h x a 2 心= l ，a q a心2 1 可帅p ，x a 岭月分布 阻j qi q 并和 缸x 翔 z ，( x ) = t 1 1 7 ；磊。孚q a 鲍删= 拄 s ；丢。孚q a 鲍 10sli=壬o鱼qa鲍222 呸- q 。 px a zbx a z 脚对一l 岛x q !js哇。业q锄222 q - q 1 妙翘 降矩形分布升矩形分布矩形分布 心( 力= 1 , x a 。 心c 曲= f o , x ：球功= ：，：三雯妯 i o a l a 2 t ( a ) 降半梯形分布 oat ( b ) 降半正态分布 “l + d 2 ( c ) 降半岭形分布 妁 1 t ) 1 oa - ba升bt 0 a - a 2a - a l a a + a la + a 2 t ( d ) 矩形分布 h 、横形分布 聊 1 0 a l a 2 t ( g ) 升半梯形分布 f i t ) 1 f i t ) 1 j 1at ( d 正态分布 0at0 a l a 2 t ( h ) 升半正态分布( i ) 升半岭形分布 图2 1 常用隶属函数分布图 f i 9 2 1g e n e r a lm e m b e r s h i pf u n c t i o n 的模糊性等几个方面 5 1 在系统设计及可靠性分析中大量存在这样的模糊性，如何处理这些模糊性是 模糊可靠性研究的主要内容当考虑系统设计及可靠性分析中的状态模糊时，需要 利用模糊事件的概率定义形式来计算模糊可靠度 2 2 2 模糊事件的概率 设x 是离散型随机变量，其取值集合为彳= ( 而，x 2 ，) ，石上模糊集合彳表 示模糊事件，则该模糊事件的概率为： p ( 动= j ( x ；) 只 ( 2 1 ) t - i 式中，心( t ) 是对彳的隶属度，z = p ( x = x , ) i & x i r q 苴x ，的概率 设x 是连续型随机变量，p ) 是其分布密度函数，x 的值域上的模糊集合爱 表示一模糊事件，该模糊事件的概率为： p ( 4 ) 2i 。心( p ( 石) 出 ( 2 2 ) 硕士学位论文 2 2 3 模糊安全状态及其模糊可靠度计算 在机械设计中，当设计变量为模糊量时，应该将结构的安全状态看作结构状态 论域q 中的一个模糊集合j ，即认为安全事件为一模糊事件模糊安全状态( 模糊 安全事件) 有三种不同的定义形式【q ： ( 1 ) 以状态变量z 表示，则模糊安全状态彳定义为： 彳兰 z ；o ) 式中，z ；o 表示在模糊的意义下，状态变量z 大于0 ( 2 ) 以模糊允许区间 鳓表示，则模糊安全状态彳定义为： 彳耷c 刚，：“4 = i s c i s 】彳= pc 陋】j ，c 】 式中，季为广义模糊应力 ( 3 ) 以模糊随机强度五表示，则模糊安全状态彳定义为： 彳肇 五 ，彳每 五) 应用模糊事件的概率公式，可得结构的模糊可靠度计算公式为： 只= p ( 彳) = 【j ( x ) p ( x ) 西r 式中，心( 功为模糊安全事件j 的隶属函数，p ( x ) 为分布密度函数 此外，根据模糊安全状态三种定义，相应地有三种计算模糊可靠性的计算方 法： ( 1 ) 基于状态变量z 计算模糊可靠性 模糊安全状态j 的隶属函数j ( x ) 可根据具体实际情况来确定，在实际工程中， 通常选取的隶属函数为升半梯形分布和升半岭形分布，状态变量的分布函数为 p ( 力，此时的模糊可靠度计算公式为： p c 2 ) = d j o ) p ( x ) d x ( 2 3 ) 在模糊安全状态彳取不同形式的隶属函数，状态变量的分布密度函数p ( z ) 为 不同分布形式时的模糊可靠度公式如表2 2 所示【7 】嗍 ( 2 ) 基于模糊允许区间的模糊可靠性计算 一般地，当系统变量既具有模糊性，又具有随机性时，设论域为s ，随机变 量为善，其实现为x ，则系统模糊随机变量可记为：季= f 学显然，模糊允许 区间的论域亦为s ，设随机变量为叩，其实现为y ，则模糊允许区间可记为： 鳓：掣 ； 墨 表2 2 模糊可靠度的计算公式 t a b l e2 2c a l c u l a t i o nf o r m u l a t i o no f f u z z yr e l i a b i l i t y 奠糊安全状态的隶属函数状态变量密度函数模糊可靠度计算公式 “曲一j 筌一。烈加七 e = 志虬e 啦， 哟蜘 嚣哪痤吒 1 2 叼d 卜嗍 p 。力、1 一。一( 2 - ：) 2 纠+ 篇烨一错烨 一 鱼尘： 焦型： + 赤p 虬) 烈力：旦隅纠。呼，p = 去r e 一如 q z q 荆。r 一，r ，r ，t 一，t 、上r 2 、婶，十。 ， 1 嚅。盟q 、 一 7 一l ! ；喾! 掣) 卫= 三幽掣l 二坐1 + ! 破型) l z 呸2 门忙户耐“j 1 万 i ，q + 吗、。5 1 予石 刁号酗1 ，一1 卡1 t 之，) 焉r s 嗡乜半，铲夕出 对于广义模糊事件，系统的安全程度也取决于模糊随机变量季落入模糊允许 区间眵】的位置，将系统安全这一模糊事件彳的隶属函数定义为： t j ( x ，力。一勒( s ，y ) i s 。j 2 一目岱，y ) 此时，系统处于模糊安全状态的隶属函数i ( x ，力可取如下表达式： 心“加垫铲 像4 ， 式中，“a ”为取小运算这样，确定模糊事件彳的隶属函数转换为求模糊随机变量 和模糊允许区间的隶属函数了 应用模糊事件概率计算公式，模糊事件j 发生即系统安全的可靠度为： 只= p ( 彳) = ee 1 t z ( x ，y ) p ( x ，y ) d x d y ( 2 5 ) 式中，p ( x ，力为善，玎的联合密度函数 ( 3 ) 基于广义模糊随机强度互计算模糊可靠度 用广义强度爱表示模糊安全状态时，需要考虑广义应力和广义强度分别为随 机应力、随机强度、模糊应力、模糊强度等各种情况的组合，情况非常复杂，目前 还没有所有情况下计算模糊可靠度的计算理论公式，这里暂不作讨论 2 3 模糊b a y e s 可靠性分析 可靠性数据是进行产品可靠性设计、研究、分析、评定、改进的基本依据，也 是进行可靠性管理和维修的基本依据因此，数据分析是一切可靠性工作的基础， 进行正确的数据收集分析是非常重要的工作常规的可靠性分析是建立在大量的 统计数据基础上的，对于每种产品的可靠性评价都要进行大量的试验，没有充分利 用过去的试验数据或相关产品的试验数据，因此用常规的方法处理那些大型昂贵 的设备需要很高的成本，而且相对于那些失效数据很少的像核电站、航空航天设备 等用常规的可靠性分析方法是无能为力的，因此出现了一种与常规统计方法不同 的b a y e s 方法可以解决以上的问题 2 3 1 常规的b a y e s 方法 ( 1 ) 基本知识 现在统计学界主要分为两个学派：频率学派和贝叶斯学派相对于前者，贝叶 斯学派的起步较晚b a y e s 一词源于十八世纪英国的一位学者托马斯贝叶斯生前所 模糊可靠性的b a y e s 分析 作的一篇论文论有关机遇问题的求解( 1 7 6 3 年发表) 在这篇论文中，他提出了著 名的贝叶斯公式： 在离散随机变量的情形下 ，( 4i b ) ：盟生鲨丝止 ( 2 6 ) p ( b i4 ) 尸( 4 ) j j l n 其中p ( 4 ) ，p ( a 2 ) ，a ，p ( 以) 为先验分布( p r i o rd i s t r i b u t i o n ) 且满足p ( 4 ) = 1 ，式 l = l ( 2 6 ) 满足p ( 4 i b ) = 1 ，称为后验分布( p o s t e f i o rd i s 廿i b u t i o n ) t - i 在连续随机变量的情形下 万( 口i2 丽f(丽x l o ) r ( 9 ) ( 2 7 ) 其中f ( x l d 为给定分布函数口之下的x 的密度函数，石( 为口的先验密度函数， 万( 口l x ) 为p 在给定x 之下的后验密度函数，o 为参数空间这就是贝叶斯公式的密 度函数形式 贝叶斯公式、参数目的后验密度公式及贝叶斯假设构成了贝叶斯统计的起点蜘 频率学派进行统计推断时，依据两种信息：一是总体信息，即统计总体服从何种概 率分布，例如总体服从正态分布另一是样本信息，即从总体抽取的样本给我们提 供的信息贝叶斯学派则除以上两种信息外，还须利用先验信息，即在抽样( 试验) 之前有关总体分布的位置参数的信息贝叶斯学派统计推断的一般模式为：先验信 息。样本信息j 后验信息( 参见图2 2 ) ，此处符号“固”应理解为贝叶斯公式的作 用 图2 2 贝叶斯统计推断的基本模式 f i g2 2t h eb a s l em o d e lo f t h eb a y e s i a ns t a t i s t i ci n f e r e n c e 目前被承认的贝叶斯统计工具应当归功于j e f f r y 、w a l d 、s a v a g e 、 硕士学位论文 r a i f f - s c h l a i f e r 、l i n d l y 及d e f i n e t t i l l 0 1 4 ”】，他们都曾做过大量有意义的工作，为建立统 一的理论体系和方法论奠定了基础 ( 2 ) 研究内容 早在二十世纪六十年代，就已有人将b a y e s 方法用于可靠性分析，到了二十世 纪八十年代，已有这方面的专著，系统而详尽地总结了这一方向的工作由于可靠 性统计分析的对象大都是比较精密、昂贵的设备，能做的试验少且试验费用大，样 本量小到甚至只有一、二次的试验结果，即数据不易获取在这种情况下去分析设 备的可靠性指标，须尽可能地授集、综合各种验前经验，而b a y e s 方法正好利用经 验的知识减少试验量，这就使得可靠性统计分析中越来越多的人对b a y e s 方法产生 兴趣 b a y e s 方法的关键也是难点，同样也是对b a y e s 学派指责最多的就是先验分布 如何确定的问题由于现实世界中的事物的发生常不具备大量可重复性，事件发生 的概率较难具有频率解释，这导致主观概率、先验分布的提出，试图通过科学的思 维活动来弥补经验的不足先验分布的确定反映了人们对要估计的参数的主观概 率的情况，但先验分布的确定并不是完全依靠主观方式确定的，它应该符合以往人 们对该事件或类似事件的认识规律，并且反映一定的物理意义经过1 0 0 多年以来 许多学者的努力，在确定先验分布上已取得了很大进展，虽然在理论上还没有一个 完整、一般的方法来解决这个问题，但在实用范围内对一些常见的分布，都已给出 了较好的回答 b a y e s 方法中的先验信息的获取主要有以下几种方式： ( 1 ) 从历史数据中获取分布参数的信息，特别是以前做过的试验数据： ( 2 ) 理论分析或仿真以获取先验信息； ( 3 ) 凭籍经验的主观方法，最典型的就是专家打分法 目前常用的确定先验分布的方法有：无信息的先验分布、j e f f r e y 法则、最大 熵原则、共轭分布、经验贝叶斯方法和自助( b o o t s t r a p ) 法和随机加权法 对于常规的b a y e s 方法国内外都作了大量的研究，已广泛应用到实际工程中的 各个领域，解决了很多实际问题f 1 研渊 由于模糊性是实际工程中广泛存在的一种不确定现象，用b a y e s 方法研究工程 中可靠性问题也避免不了要处理模糊性问题因此将模糊数学理论引入到b a y e s 方 法中就成为必然 2 3 2 模糊的b a y e s 方法 ( 1 ) 背景 在许多实际问题中，测量得到的结果不是精确的数或向量，而是或多或少不精 确的数或向量，这种不确定性不同于测量误差和随机不确定性，通常是由于人们对 研究对象所掌握的信息的不全面而造成的，我们称之为不精确性不精确性可看作 是模糊性的一种，可用模糊数来表示r v i e r t l 在不精确数方面作了大量的工作，对 这方面的研究成果作了概括性的总结【2 9 ：卜0 2 ，r v i e r t l 是把模糊数学理论引入到 b a y e s 方法中的第一人 自r v i e r t l 把模糊数学引入b a y e s 方法以来，有许多学者从不同角度进行了模 糊b a y e s 的研究不精确数据的b a y e s 方法的研究思路为：首先选取不精确数的隶属 函数，常用的隶属函数有三角型隶属函数、梯形隶属函数和l r 型隶属函数，精确 数即为不精确数的特殊情况不精确数的隶属函数的选取也是通过人的经验主观 确定的，没有统一的标准对于不精确向量的特征函数可通过模糊数学的扩展定理 的最小法则和乘积法则得到然后选择合适的先验分布，选取方法可根据常规 b a y e s 方法的先验分布函数的确定方法接下来是根据先验分布确定后验分布，经 常使用的方法是 后验分布一极大似然分布先验分布 当然该方法不是通用的，在有些情况下是不实用的1 3 l 】 目前国内外学者主要研究的内容为用模糊b a y e s 方法进行参数估计、区间估 计、假设检验、可靠性预测、寿命预测等从现有文献看，模糊b a y e s 方法主要集 中在指数分布、二项分布等单参数寿命分布的研究上1 3 3 1 1 3 4 1 ，对双参数的研究很多也 都是局限在假设一个参数为已知的情况下进行研究的【3 5 】，其主要原因是因为在选 取先验分布时，由于参数之间并不是不相关的，因此很难确定，一般选取的先验分 布都没有太大的物理意义在确定了先验分布之后计算后验分布也是非常复杂的， 一般对于工程研究不太实用，因此在这方面还有很多的工作要做国内进行这方面 的研究才剐刚起步，现在主要的问题是理论研究与实际接轨，关于这方面的参考文 献还不多0 6 1 1 3 y ( 2 ) 模糊数据 众所周知，可靠性分析与设计是建立在概率基础之上的一种方法，进行统计试 验可以确定产品的寿命分布函数，进行参数估计和可靠性预测等基于大量统计数 据的常规可靠性理论与方法已经发展得比较成熟，并已广泛地应用到实际工程中 然而随着科学技术的不断进步，产品的寿命和可靠度都在提高，对于寿命长可靠性 高的产品，由于试验时间长、费用昂贵，所以可供可靠性分析的寿命数据很少，有的 新产品甚至没有失效数据p s 】 【蛐】，这种情况下的可靠性分析用常规可靠性方法是无 法解决的将b a y e s 方法应用到可靠性领域中，可有效解决小样本事件或无失效数 据的可靠性分析问题然而在可靠性工程领域存在着形形色色的模糊性【4 1 1 1 4 2 1 ，因此 在许多情况下进行可靠性分析时用模糊数来表示失效数据更符合实际 为了对实际观察到的寿命进行建模，必须对实数进行拓广，此时用模糊数z 来 表示寿命数据是合适的这些模糊数譬是论域足的模糊子集。用相应的隶属函数 硕士学位论文 段( ) 来表示且其隶属函数满足以下条件： 1 ) 胁：r 斗【o ，1 】为b o r c l 可测： 2 ) 砜r ：胁o o ) = l ； 3 ) 口一截集( o 0 ，此时处理数据已有较成熟的统计方法【1 】但是由于科学技 术的发展，特别是在高可靠性、小样本这样的问题中，进行定时截尾试验时获得的 数据通常是“无失效数据”，即在停止试验之前没有样品失效( ，= o ) 在当今社会 中，人们对产品的可靠性要求愈来愈高，在产品试验及质量评定时，“无失效数据” 的出现越来越多，如何对这类数据进行统计分析，以给定产品的可靠性指标越来越 重要自二十世纪八十年代中期，无失效数据的问题引起了统计学者的主意，取得 了一批成果【2 卜嘲 假定产品寿命t 的分布函数为f ( t ，口) ，o e o 为未知数，今从m 个给定观测点 f l ，t 2 ，a ，t m ，( t 2 a t m ) 获得m 组观察数据，在t ，o = l ，a ，所) 处共试验甩j 个样品， 均无失效( n o 这n , 个样品的寿命均大于r 。) ，我们称这类试验数据为无失效数据，记 为纯，珥) f = 1 , a ，聊 综上所述，试验提供的统计信息有： 产品寿命r 服从分布f ( t ，d ，简记作f ( t ) ： t = 0 时其失效概率p o = e r o l = o ( 或近似为零) ： 记j ，= 吩+ 栉+ a + n 。，它表示在时刻处有毛个样品还未失效，即有墨个 样品的寿命大于六： 0 t l a t ，记p f = p t t f = f ( ) ，即在，j 时刻的失效概率，则 p o p i p 2 a p ，且当刀，较大时，p lo = 1 ， ，朋) 都较小 现在的问题是：如何利用无失效数据以，啊) 和上述信息估计参数口以及各种可 靠性指标本章分别利用最：b - 乘法、加权最小二乘法和模糊加权最小二乘法给出 无失效数据模型中的各个参数的估计公式及可靠度的计算公式 在无失效数据情形下，如何对产品进行可靠性统计分析，对于建立在失效数据 分析基础上的现有可靠性理论来说，是一个有一定难度的问题寻找在无失效数据 条件下进行科学、有效的可靠性分析方法，现已成为可靠性研究中一个新的而又十 分重要的领域 研究无失效数据问题最早的文献，在国外要算m a r t z 和w a l l e r r ，在国内要数茆 诗松、罗朝斌脚、张忠占、杨震海 9 1 对无失效数据问题研究起步的时间不长，有关 的研究文献也相对较少( 李国英、石磊【9 】) 特别，国外的有关研究文献更少( 殷弘、 杨瑛、丁邦俊、郑祖康【1 0 1 ) 韩吲“1 综述了1 9 9 2 年及以前该领域的研究进展情况 在该领域的研究专著无失效数据的可靠性分析( 韩明 】) ，已于1 9 9 9 年4 月出版， 该书首次系统地介绍了该领域1 9 9 8 年及以前的主要研究成果在其后，该领域又取 得了一些进展 3 2 无失效数据可靠性研究的进展情况 对无失效数据可靠性的研究一般是有三种方法：经典方法、b a y e s 方法以及多 层b a y e s 方法这里主要介绍b a y e s 方法以及多层b a y e s 方法 3 2 1 b a y e s 方法 作为b a y e s 方法，这里主要介绍的是：配分布曲线法一a 的b a y e s 估计 ( 1 ) 配分布曲线法一p 。的b a y e a 估计( i ) 茆诗松，罗朝斌【2 】( 1 9 8 9 ) 提出了无失效数据的可靠性分析方法一配分布曲线 法，其基本思想是先估计失效概率，然后用最小二乘法给出寿命分布参法的估计， 最后给出可靠度的估计其具体步骤如下： 首先在截尾时间t l 处f = l ，2 ，a ，所获得失效概率b = p t t j ) 的估计a ，其 中r 为产品寿命： 通过诸点( t i ，a ) ( j = 1 ，2 ，a ，帕配一条分布曲线，这相当于在分布曲线族中 选一条曲线最靠近诸点( t i ，a ) ，这里靠近的标准选用最小二乘法的标准 最后由确定下来的分布曲线求得可靠度的估计 在配分布曲线法中，关键的是第一步，即如何估计失效概率p j = p t ) ，以下 给出p ，的b a y e s 估计 对一组无失效数据q ，) ，皓1 , 2 ，人，m ，首先给出p 。的b a y e s 估计，然后再给出 模糊可靠性的b a y e s 分析 p 的b a y e s 估计，依次进行下去，最后给出p l 的b a y e s 估计 设取墨个产品进行定时截尾试验，在时刻前有，个失效，其每个产品