（概率论与数理统计专业论文）随机利率下的联合寿险精算模型.pdf

摘要 利率风险一直以来都是保险公司面临的最主要的风险形式，特别是对于寿险公司在 进行保费定价和准备金提留时，预定利率哪怕是细微的变化，都可能造成保险公司营运 上的巨大波动，并威胁到保险公司的正常经营因此，在随机利率环境下的精算模型研充 已经成为学术界的热点问题目前已有的研究多是针对单人寿险产品进行讨论而目前 学术界对于联合寿险精算模型的研究多集中于确定利率环境下的讨论 本文主要的研究工作围绕着联合寿险精算模型的问题中的随机利率和死亡力开展， 并最终获得在随机利率服从w i e n e r 分布的条件下，进行两类死亡力的假设，由此获得联 合寿险精算现值均衡保费以及未到期责任准备金的测算 本文共有五个部分第一部分主要介绍了本文研究问题的背景，着重介绍了研究利 率随机化问题和联合寿险问题的研究现状 第二部分介绍了本文运用的研究工具和方法，例如利息理论、精算数学等 第三部分从本文的”双随机性”出发，分别介绍了随机利率和死亡力的常见假设条 件 第四部分着手研究了在利率服从w i e n e r 过程下，选择在两类死亡力假设条件_ d e m o i v r e 形式和常数死亡力下，联合寿险、年金、均衡保费以及准备金的精算形式 第五部分则给出了根据上述其中一类的推导进行联合寿险的保单设计 关键词，随机利率联合寿险模型死亡力假设精算现值 n a b s t r a c t t h er i s ko ft h ei n t e r e s tr a t ei sa l w a y st h em o s ti m p o r t a n tf a c t o rt ot h ei n s u r a n c e c o m p a n y , e s p e c i a l l yw h e np r i c i n ga n dd r a w i n gt h er e s e r v e so ft h el i f ei n s u r a n c e e v e n i ft h e r ei sat i n ya l t e r a t i o n 。i ti sat r e m e n d o u sf l u c t u a t i o no nt h eo p e r a t i o n ；t h e r e f o r ei t w o u l di n f l u e n c et h ed a i l ym a n a g e m e n t s oi tb l o w st h er e s e a r c ho ft h ea c t u a r i a lm o d e l u n d e rt h es t o c h a s t i cr a t e s of a rt h er e s e a r c hi sf o c u so nt h es i n g l el i f ei n s u r a n c e ，h o w e v e r t h er e s e a r c ho fm u l t i p l el i f ei n s u r a n c ei so n l yr e s t r i c t e dt ot h ec e r t a i ni n t e r e s tr a t e t h em a i nw o r ko ft h i st h e s i si st h ed i s c u s s i o no ft h em u l t i p l el i f ea c t u a r i a lm o d e l u n d e rt h es t o c h a s t i cr a t ea n dt h ec e r t a i nm o r t a l i t ya s s u m p t i o n ，f i n a l l yo b t a i nt h ep r e s e n t v a l u e ，b a l a n c e dp r e m i u ma n du n e a r n e dp r e m i u mr e s e r v er e s p e c t i v e l yo nt h ea s s u m p t i o n o f2m o r t a l i t yo nt h eh y p o t h e s i so f s t o c h a s t i cr a t e0 b e yt h ew i e n e rp r o c e s s t h i st h e s i sc o n s i s to ff i v ep a r t s ，t h ef i r s tp a r ti st h ei n t r o d u c t i o no ft h eb a c k g r o u n d o ft h er e s e a r c h ，a n de m p h a s i z i n gt h ec u r r e n ts t a t u eo fr e s e a r c ho ft h es t o c h a s t i cr a t ea n d m u l t i p l el i f ei n s u r a n c e t h es e c o n dp a r to fi st h ei n t r o d u c t i o no ft h et o o l sa n dm e t h o d sa p p l i e di nt h et h e s i s ， s u c ha st h et h et h e o r yo ft h ei n t e r e s ta n da c t u a r i a lm a t h e m a t i c s t h et h i r dp a r ti st h ei n t r o d u c t i o no ft h er e g u l a rh y p o t h e s i so fs t o c h a s t i cr a t ea n d t h em o r t a l i t y t h en e x tp a r ti sc h o o s i n g2k i n d so ft h em o r t a l i t y , o n ei sd em o i v r e ，a n o t h e ri st h e m e t h o dt h a tr e g u l a ra p p l i e di nt h ef i e l do ft h en o n - l i f ei n s u r a n c ea f t e rg o i n ga b o u tt h e a s s u m p t i o nt h a ti n t e r e s tr a t eo b e yt h ew i e n e rp r o c e s s t h el a s tc h a p t e ri st h ed e s i g no fm u l t i p l ei n s u r a n c ep o l i c i e s k e yw o r d s ：s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ，m u l t i p l el i f ei n s u r a n c e ，f r a c t i o n a la g ea s s u m p t i o n ， a c t u a r i a lp r e s e n tv a l u e ， 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意 作者签名日期。互止 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 作者签名 日 期 导师签名t 日期， 第一章绪论 华东师范大学硕士论文 1 第一章绪论 第一节利息理论的基础知识 人寿保险是以人的生命作为保险标的，以生存或者死亡作为保险事件的经济行为虽 然保险公司在承保后的给付金额是一个固定的数额，但是存在一个不确定的因素，即保 险金给付的时间，因为被保险人的死亡时间或生存时间是不确定的同时由于寿险的保 险期很长，就会产生各方面的风险，例如利率风险、死亡风险，投资风险等，而其中投资 风险主要也是考虑利息问题，也就是保额的现值问题所以生存分析和利息理论是构成 寿险精算的两大核心 随着二战的结束，人寿保险获得了巨大的发展，为战后经济复苏提供了有力的保障 然而，与此同时，各式各样的风险逐渐显露特别是七十年代后期，世界范围内出现利率 自由化趋势，使得利率波动风险对世界寿险业的经营稳定产生了极大的负面影响由于 许多国家在其寿险业规模扩张的同时，导致寿险业在经营上困难重重，出现了市场萎缩、 巨额利差损，甚至破产清算等困境 美国从1 9 8 9 年开始就已经有大量保险公司倒闭1 9 9 7 年日产生命相互保险公司宣 告破产，结束了。日本保险公司不倒的神话此后2 0 0 0 年，第百生命相互保险公司也宣 布破产。究其破产原因固然有很多，但都或多或少与利率风险的影响有很大关联我国 由于金融环节的特殊性，保监会对保险资金进行严格的监管，规定了保险公司的资金运 用，限于在银行存款、买卖政府债券、金融债券和国务院规定的其他资金运用形式，这也 使得银行利率与保险公司经营存在着千丝万缕的联系 根据传统的精算原理，由死亡随机性产生的风险可以通过出售大量的保单来分散。但 如果保险公司出售的每张保单采用固定利率，这样利息的风险只单一的存在于保险公司 一方，而我国的法律规定，保险合同的修改，只能有利于被保险人，这就意味着保险合同 签订后，如要修改合同，利率只能升高不能降低，长期以往，保险公司将积累很大的利差 损。从而影响保险公司的经营 但若保险公司为了减少因利率的调整而可能导致的损失，而将年利率设定的比实际 低，从而增加了投保人的经济负担，导致投保人数的减少，最终导致保险公司的经营收到 极大的影响 因此，采用随机利率模型计算保费能够减少利率带来的不确定性随着精算理论研 究的深入，利息随机性的研究在近2 0 年中，越来越受到重视，已经成为精算理论研究的 重点和热点之一 第一章绪论华东师范大学硕士论文 2 就我国而言，自1 9 5 9 年1 月1 日以来，截至2 0 0 7 年4 月中国人民银行对我国的存 储款利率一共进行了2 6 次调整，历年调整情况可见下表， 表1 自1 9 5 9 年以来，我国2 6 次调整存款利率记录表 调整日期活期1 年期调整日期活期1 年期 1 9 5 9 年1 月1 日 2 1 6 04 8 0 01 41 9 9 1 年4 月2 1e l1 8 0 0 07 5 6 0 1 9 5 9 年7 月1 日 2 1 6 06 1 2 0 1 5 1 9 9 3 年5 月1 5 日 2 1 6 09 1 8 0 1 9 6 5 年6 月1 日 2 1 6 03 9 6 01 61 9 9 3 年7 月1 1 日3 1 5 01 0 9 8 0 1 9 7 1 年1 0 月1 日 2 1 6 03 2 4 0 1 7 1 9 9 6 年5 月1 日 2 9 7 09 1 8 0 1 9 7 9 年4 月1 日 2 1 6 03 9 6 01 81 9 9 6 年8 月2 3 日1 9 8 07 4 7 0 1 9 8 0 年4 月1 日2 1 6 05 4 0 0 1 9 1 9 9 7 年1 0 月2 3 日 1 7 1 05 6 7 0 1 9 8 2 年4 月1 日 2 8 8 05 7 6 02 01 9 9 8 年3 月2 5 日1 7 1 05 2 2 0 1 9 8 5 年5 月1 目2 8 8 06 8 4 0 2 1 1 9 9 8 年7 月1 日 1 4 4 04 7 7 0 1 9 8 5 年8 月1 日 2 8 8 07 2 0 02 21 9 9 8 年1 2 月7 日1 4 4 03 7 8 0 1 9 8 8 年9 月1 日 2 8 8 0 8 6 4 0 2 31 9 9 9 年6 月1 0 日0 9 9 02 2 5 0 1 9 8 9 年2 月1 日 2 8 8 01 1 3 4 c 2 4 2 0 0 2 年2 月2 1 日0 7 2 0 1 9 8 0 1 9 9 0 年4 月1 5 日2 8 8 01 0 8 0 0 2 5 2 0 0 4 年1 0 月2 9 日0 7 2 0 2 2 5 0 1 9 9 0 年8 月2 1 日2 1 6 0 8 6 4 02 62 0 0 7 年3 月1 8 日0 7 2 02 7 9 0 第一章绪论华东师范大学硕士论文3 图1 表一历年我国人民币活期存款和一年期存款利率数据 从以上数据可以得到历年活期利率和一年期存款利率的变化图，我们可以看出利率 的变化是随机的，正是由于利率的随机性，一旦在保险定价的过程中采用固定利率，就可 能会带来预期与实际之间的较大偏差，产生巨大的利差损，日积月累给保险公司带来巨 大负担和风险 首次把随机性引入精算领域的是a h p o l l a n d 和j h p o l l a n d ，他们在1 9 6 9 年的文 章中，研究了由死亡年龄的不确定性所引起的随机性1 9 7 1 年j h p o l l a n d 在发表的c a s t o c h a s t i ca p p r o a c ht 0a c t u a r i a lp r o b l e m s 中把利率视为随机变量，进一步对精算函数进 行了研究之后掀起了利用各类随机模型模拟随机利率的热潮1 9 7 6 年b o y e t 考虑了寿 险与年金中死亡率与利率均为随机的情况，即所谓的”双随机性，。相应的随机利率的一 般理论由p a n j e r 和b e l l h o u s e 在2 0 世纪8 0 年代建立b e e k m a n 和f u e l l i n g 在1 9 9 0 年 和1 9 9 1 年分别得到了息力由o u 过程和w i e n e r 过程建模的某些年金的矩母函数1 9 9 4 年，g a r yp a r k e r 发表了在他博士论文中的一些结果，他研究了在死亡所在保单年度之末 等额给付的定期寿险，以及保单数目趋于无穷时，保单平均成本的极限分析 第二节联合寿险 与单人寿险相对应的是联合寿险所谓联合寿险，是指两人( 或两人以上) 作为被保 第一章绪论 华东师范大学硕士论文 4 险人联合投保，按照保险合同约定，于保险事故发生或达到合同约定的年龄期限时享有 保险金的一种寿险，特别适用于夫妇联合投保联合寿险的保险金给付依赖于多个被保险 人的死亡时间，具有多样性与复杂性，因而对其精算模型的研究难度要大于单人寿险的情 形，目前学术界对于联合寿险精算模型的研究多集中于确定利率环境下的讨论 目前我国的联合寿险形式主要有两种，一种是以夫妻作为被保险人的保险，还有一 种是以会计事务所中的高级会计师作为被保险人的无论是哪一种形式，其目的都是通 过趸缴或每年缴付一定的保险费，由保险公司承保联合寿险中任何一个生命的消亡对其 他生命的带来的经济上损失，并给付保险金 我们在此进行一个比较，发现无论是对了被保险人还是保险人来说，联合保险的优 势显而易见 袭2 从保险人和被保险人角度分析联合寿险的优势 被保险人角度保险人角度 节约保费费用简单 得到双倍的安全减少投保手续 特定的保障节约佣金 保险金给付的方式灵活 以太平洋保险公司的“幸福伉俪联合寿险”为例，与夫妻分别投保相比。每年的保费 可减少2 0 ，并且联合寿险在操作上比较省事，因为办理投保手续是一件繁琐复杂的事 情，而联合寿险只要办理一次手续，缴纳一项费用就可以使两个被保险人均能享受保险， 并且还可以提供如多倍生命保障，金婚给付，一方丧偶提高保险金给付标准等，应该说是 起到了事半功倍的效果 第三节研究目标与意义 本文在原有的联合寿险基础上，引入。双随机性”的概念，创新性地添加了有关死亡 力的假设，更深入。全面的对联合寿险精算模型进行剖析和研究针对前人较普遍的将常 用四类死亡力解析形式应用于单人寿险模型，本文将其创造性的运用于联合寿险精算模 型中 从理论意义上说，本文的研究内容探索性的将“双随机性”联合寿险精算模型，死 亡力假设三者进行有机地结合并讨论，为精算研究提供了新的思考视角，更加完善，丰 第一章绪论 华东师范大学硕士论文 5 富了理论研究；除此之外，引用非寿险领域的相关研究思路来解决寿险领域的难点问题。 打破了寿险研究与非寿险研究的界限，将两个领域中行之有效的方式、方法融会贯通，大 大拓展了研究平台，也是对今后更深一层次研究提供了借鉴和参考 从实践层面来说，“双随机性”的研究相较于固定利率下的研究更加富有现实意义， 由此得到的精算模型能够更科学，更精确的描述出保费的分布情况，为保险公司稳健经 营提供了有力的保证；另外，随着社会的进步、人们的保险意识日渐加强、需求的多样性 以及保险市场竞争的白日化，需要更加丰富的保险产品推向市场本文以我国尚不发达 的联合寿险险种为核心载体，运用4 双随机性”研究方法为分析框架，计算该精算模型的 具体形式，并推导出其寿险、年金、均衡保费以及责任准备金；最后的保单设计，对被保 险对象做出设定，既扩大了参加联合寿险对象的范围，又增强了此类保单的稳定性，在大 大降低保险公司风险的同时，也在一定的程度上保护了投保人的利益 第二章研究方法与研究工具华东师范大学硕士论文 6 第二章研究方法与研究工具 第一节利息理论的基础知识 一利息的定义 初始时刻t = 0 的蜀个单位货币，累计到 0 时刻的价值，称为在t 时刻的累计 值，记为q ( t ) ，同样我们可以得到o ( 0 ) = k 第n 年的年利率为缸，n l 定义为：型型；! 罢；旦 a n 一1 则有q ( n ) = ( 1 + “) o m 一1 ) 因此有n ( n ) = k ( 1 + i l ) ( 1 + 如) ( 1 + “) 特别当每年的年利率相同时，可以记i 。= f ，这样就可以得到 口( 礼) = k ( 1 + i r 二、贴现因子，贴现率，利息力 假设每年的年利率为固定利率为i ，记贴现因子为口，定义 = 去 l + l 记贴现率因子为d ，定义d = 击 利息力记为d ，定义j = l n ( 1 + i ) 同样，根据贴现因子和利息力的定义，可得口= e 一5 三现值和终值 未来给付额的现在价值，称为给付额的现值 若n 年末给付额为b ，其现值为p ，假设年利率为t ，根据利息理论的定义 尸= b - ( 1 + d “ 第二节单个生存分布 寿险保单其保险金的给付是以被保险人的生存或死亡为前提条件的所以，被保险 人在投保时的未来寿命时间是寿险精算数学模型的重要因素之一为此，讨论死亡年龄 第二章研究方法与研究工具华东师范大学硕士论文 7 的概率分布，这是建立寿险稽算数学模型的基础 一、单个生命函数 ( 一) 生存函数 以x 记新生儿在死亡时的年龄，则x 是连续型随机变量以f ( x ) 记x 的分布 函数 f ( x ) = p ( x so ) z 0 ( 3 ) 并记s ( 茹) = 1 一f ( x ) = p ( x z )0 2 0 f ( x ) 称为死亡函数，是指新生儿在z 岁或者之前死亡的概率，而s ( x ) 称为生存函数 ( s u r v i v a lf u n c t i o n ) ，等于新生儿能够活到岁的概率通常假设f ( o ) = 0 ，则s ( o ) = 1 ，表示讨论的新生婴儿是以1 0 0 的概率保证在出生时是活着的 ( 二) 未来寿命的生存分布 引入符号( z ) 表示年龄为z 的人，而x 是新生儿的死亡年龄，剩余寿命指新生婴儿 在活到某年龄时剩下的寿命，记t ( x ) = x z ，t ( x ) 表示( z ) 的剩余寿命，则新生几在 能生存到。岁的条件下，于t 岁前死亡的概率为 p ( z 。) = t f ( t ) 可- f 矿( x ) ( 4 ) = s ( z ；) 矿- s ( o ( 5 ) 本文还引用一组国际通用的精算函数符号来描述剩余寿命t ( x ) 的概率分布我们 记t p z 表示( z ) 还能活t 年的概率，t = 1 一t m 表示( z ) 将在t 年内死亡的概率， t m = p ( t ( x ) t ) = p ( x z + f i x 。)( 6 ) t = p ( t ( x ) z ) t l “= p ( t z + t + u l x 垆帮帮铋m 。( 1 2 ) 二、死亡力 以上所讨论的问题是( z ) 将在某一段时间内死亡的有关精算函数。本处将要说明的 问题是，( z ) 将在某一瞬间内死亡的变化情况所谓死亡力，是指在到达z 岁的人中，在 此一瞬间里死亡的人所占的比率通常在z 岁时的死亡力用符号肛。来表示，它与生命函 数的基本关系是 一觋塑掣而1 ( 1 3 ) 一器= 尚1 ( 1 4 ) s ( z )一f ( o ) r 叫 死亡力函数与生存分布是等价的，如果已知死亡力函数，则可以从死亡力函数中推 导出生存函数，同样，如果已知生存函数，也可以构造出死亡力函数。由上式可得 一如匆= 赤掣= d f l n s ( 洲 ( 1 5 ) 一如匆5 而盲刮剪) j ( 1 5 ) 对上式从z 到z + t 进行积分，得 一p ，咖：厂“d t n 驯 ( 1 6 ) j j 2 曲( 号群) 曲( 糊 ( 1 7 ) 即肌= e z p ( 一e “p ”妇) 或者t p = = e z p ( 一c “如+ 。d s ) 第二章研究方法与研究工具华东师范大学硕士论文 9 三、单个生命的保费计算 ( 一) 寿险 假设被保险人在投保( 或签单) 时的年龄为z 岁，保险金在被保险人未来寿命t ( x ) 时给付，给付金额为氏，q 是在时刻时给付1 个单位在签单时的利息贴现系数，z t 是 保险金给付在签革时的现值，则现值随机变量 z = 巩- v t 对于( z ) 投保连续型的保额为1 个单位的n 年定期寿险，其有关函数为 巩= ：兰篡 仉= 则 五= 譬三三 可以得到，趸缴保费是- - a 。i ：司= e ( z t ) = 舒矿t m 如+ t d t ：”e 印( 一乳) 。m 如+ t 疵 ( 二) 生存年金 生存年金是指按预先约定的金额，以一定的时间为周期，不断地进行一系列给付，且 这些给付必须以原指定领取人生存为前提条件，旦领取人死亡，给付即宣告结柬我们 以住年定期生存年金为例，记此生存年金的现值为y ，则 驴= 怪篡枷 其精算现值也用符号瓦：司表示，则 确= p 饿如 ( - - ) 均衡纯保费 对于一个完整的寿险精算模型来说，不仅要包括保险金给付，还应明确是以何种方 式缴纳保费按照给付方式和缴费方式进行划分，通常可以分成三类，分别是全离散型， 半连续型和全连续型所谓全离散型就是指保险金的给付是死亡的保单年度的年末，而 第二章研究方法与研究工具华东师范大学硕士论文 1 0 保费是自保单生效之日起的，在保单年的年初以生存年金的方式进行缴付；所谓半连续 型就是指死亡的保险金在死亡的当时立即进行给付，而保费则是在每个保单年的年初以 生存年金的方式进行缴纳的；同样也可以很容易的理解什么是全连续型，就是指保险金 时在死亡时刻立即给付的，同时保费也是按连续性生存年金给付的方式缴纳的 人寿保险的纯保费是以预定年利率和预定死亡率为基础，并根据未来给付保险金额 而计算得来的，且满足 未来给付保险金额现值的期望= 缴纳保费的精算现值 我们称这个条件为平衡原理通常为了更好的理解这个原理，我们记l 为保险金给 付的椿算现值和缴纳傈费的现值之差，则平衡原理就可以表达为t e ( l 1 = o 基于以上的介绍，我们讨论半连续型的精算模型假设保险金额为1 的半连续型终身寿 险，被保险人投保时的年龄为x ，其年缴纳保费可用p ( 五) 表示，则保险人的损失三为 l = d t p ( 五- a 面韧)其中t 0 ，k = 0 ，l ，2 ， 贝9 有 e ( 工) = e ( r ) 一p ( 忑) e ( 亩剜) 根据平衡原理，有 p ( 瓦) = 鲁 ( 四) 未到期责任准备金 所谓责任准备金是指保险人为了未来会发生的债务而提存的款额，是保险人所欠被 保险人的债务未来会发生的债务包括，保险金的支付，保险契约退保金，保险人停止营 业时将契约转交给其他保险人所需的再保险费等为了使保险公司能够确实履行各种给 付义务，各国保险法均明确规定了保险管理部门要经常对保险公司的准备金提存及资金 运用的安全性予以监督我国1 9 9 5 年颁布的中华人民共和国保险法第九十三条规定； 经营有人寿保险业务的保险公司，应当按照有效的人寿保险单的全部净值提取未到期责 任准备金 通常计算未到期责任准备金的方式有两种。分别称为过去法和未来法 在本文中，以未来法为例，期末责任准备金是保险人在时刻k 的未来损失的期望若 保险金额为1 的普通终身寿险，考察时刻k 的期末准备金可知，保险人在时刻k 的未 来损失是 k l = 矿。一只吒：利 若记i k = e ( 口，则 k = e ( v 7 ) 一只e ( ：可韧) 第二章研究方法与研究工具华东师范大学硕士论文 1 1 2 也+ i 一只。：硎 第三节多重生存分布 根据单个生命函数的精算理论，可以将讨论的范围推广到多个生命的情况若将多 个生命的组合称为一个状态，则可根据其中各生命的生存与死亡情况来定义该状态的延 续或终止由此来建立各类不同的保险精算模型，从而设计出不同需求的保险产品若只 考虑两个生命情形，那么包含两个生命的状态会有两种，即如下， 一个z 岁的生命( z ) 和一个岁的生命( ) 组成的状态称为联合状态如果当且仅 当这两个生命都生存时状态持续本文中记这个状态为0 曲 一个z 岁的生命( z ) 和一个岁的生命( y ) 组成的状态称为联合状态如果当且仅 当这两个生命中至少有一个生命生存时状态持续本文中记这个状态为( 巧) 一联合状态 一个状态从组成到终止经过的时间称为未来存续时间当所有单个生命活着时存在， 状态存续下去，而当其中有一个死去时消亡的状态称为连生状态( j o i n t - l i f es t a t u s ) 则可 以把蜀，尼，的连生状态记为 m i n x l ，恐，墨 其中竹是成员总数，咒代表成员i 的寿命随机变量 在只有两个生命的情形下，( 。口) 的未来存续时问可记为t ( 。y ) ，则t ( x y ) = 【t ( z ) ，t ( ) 】 而在实际运用中，参与联合寿险的两个生命，一人的生死都对另一个人的生命有影响，即 常常不是互相独立的但此时通过两个生命函数来求( z 口) 的分布十分困难因此在本文 中，仅讨论两个生命是相互独立的情况 根据定义可以研究关于t ( x y ) 的分布情况，t ( x y ) 的分布函数为 f r ( t ) = p ( t ( x y ) t ) = 1 一p c t ( x y ) t ) = 1 一p ( t ( x ) t 且t ( y ) t ) 根据独立性假设，以及先前的精算符号定义原则，可以得到 砰( t ) = 1 一p t ( x ) t 】- p i t ( ) t l = 1 一t 如t p u 第二章研究方法与研究工具华东师范大学硕士论文1 2 二最后生存状态 接下来讨论另外一种情况，它同样具有重要的意义即当状态中只要有一个生存，状 态存续下去，而当最后一个死亡而消亡的状态称为最后生存状态( 1 a s t - s u r v i v o rs t a t u s ) ， 则可以把x l ，恐，k 的最后生存状态记为 m i n x l ，冠， 同样考虑两个生命的情况，( 巧) 的未来存续时间记作r ( 巧) f r ( t ) = p ( t ( x y ) st ) = p ( t ( x ) t ) = p c t ( x ) t ，t ( y ) t ) = p ( t ( x ) t ) p ( t ( y ) t ) 2 t i o = t 勉 t ( z y ) 的死亡力函数为 p 纠扛+ t ) = p 。扛+ t ) + p 9 + t ) 则寿险为 瓦。= j t p = y p 。”( t ) d t ：z 。”t t 鳓( m ( + m ( 瑚出 第二章研究方法与研究工具华东师范大学硕士论文1 3 考虑( z ) ，( y ) 最后生存状态，记为( 砌，指( z ) 与( y ) 中至少有一个人生存时状态存续， ( z ) 与( 们均死亡时状态消亡以t ( 珂) 为二元最后生存未来存续时间，则最后生存状态 ( 习) 至少在t 年内存在的概率为： t 鲫= p ( m a x p ( 。) ，t ( 口) 】 t ) = 1 一p ( r ( z ) t ，t ( y ) t ) = 1 一p ( t ( x ) t ) p ( t ( y ) t ) = 1 一( 1 一t m ) ( 1 一t p v ) = t 如 p v t t 鳓 则当t ( x ) 与t ( y ) 相互独立式，有 觥) = 虹幽警嚣等踹等型 则寿险为j b = f 矿t 胁胁( t ) 出 ( 二) 年金 基于以上的讨论，在此，我们也分别考虑在两种状态下的生存年金的推导形式： 1 、考虑( z ) ，( f ) 二元联合生存状态 瓦，= z ”t ”疵= z ”矿t 如t 如以 2 、考虑( ) ，( y ) 最后生存状态， 。z 神2 z ( t p ；+ t p v l f f p ，) d t ， 第三章重要的随机利率假设华东师范大学硕士论文 1 4 第三章重要的随机利率假设 第一节随机利率假设 我们知道有关利息理论中的利率都是具体的数值，这个假设与实际情况非常不符合 的，因此有很多学者都将金融中有关随机化问题的工具运用到保险精算中，是利率“随机 化”，使得理论研究更具实际意义和可信性在此章节中，将详细的介绍几种常见的利率 随机化模型 一、b r o w n 运动 若个连续型的过程x ( t ) l o t o o 满足以下三个条件，我们则称之为b r o w n 运 动， x ( 0 1 = 0 增量是独立并且平稳的 x ( t ) 服从均值为0 ，方差为口2 t 的正态分布 二，o - u 过程 0 一u 过程( o r n s t e i n - u m e n b e c 过程) ，即零均值g a u s s 过程x ( t ) l t 0 ，其协方差函 数为 e 【x ( t ) x ( s ) 】= ；e 一 i t 一。( 1 9 ) 这是一个平稳、平稳增量过程，它有重要的实际背景，是一类随机微分方程 d x ( t ) = - a x ( t ) d t + ( 2 7 ) d w ( t )( 2 0 ) 三、w i e n e r 过程 设r ( t ) = 6 t + 卢( t ) ，( 0 t 0 0 ) 为利息力函数随机变量，其中最芦为参数，w ( t ) 为标准的布朗运动过程，标准布朗过程有如下性质； w ( o 、= 0 均值函数m ( t ) = e ( t ) 】= 0 ，且自相关函数r ( s ，t ) = m i n ( s ，t ) 第三章重要的随机利率假设华东师范大学硕士论文 1 5 w ( t ) 为平稳独立增量过程。即，t 增量w ( t ) 一w ( 8 ) 服从| 、r ( o ，j t s 1 ) 有限维分布为正态分布，过程具有马尔可夫特征 n ( t ) 过程包括两个部分：前一部分品是确定性的部分，瞬时的收益率为5 ；后一部分 p 彤( ) ，其期望值为0 ，方差为帮2 ；即时间越长，波动性越大 对于w i e n e r 过程有如下的结论。若w c t ) 为w i e n e r 过程，则有e e 口w ( ) = e 等 证明- 若取f ( t ，茁) = 严，设6 = w ( t ) 则媳= l d w ( t ) + o d t 可以得到，= l ，g = 0 ，箬= 0 ，面o f 一，。a x ，等= 俨e 却 由i t 5 公式，我们得出 e p 州。= 1 + t p e b w ( s ) d w ( s ) + 云1 z 伊e 口w ( s ) d s 由于 露卢e 4 w ( 5 ) d w ( s ) 为鞅，故e ( 卢e p ”( ) d ( s ) ) = 0 令g ( t ) = e e 胛o ) 则有g ( 力= 1 + 譬z g ( s ) 如 ( ) = p e qg ( t ) ，9 ( o ) = 1 所以l n g ( t ) = 告t ，g ( o ) = 1 得 e e m ( o ；e 譬f 四、p o i s s o n 过程 计数过程n = ( ) ，t 0 称为参数为a 的p o i s s o n 过程，若它是平稳独立增量过 程，且增量服从泊松分布t p ( ( t ) 一( s ) = 知) = a c t 列- 8 ) 1 k e 一 ( h ) 。s 0 ，= 0 ，l ，2 ， a 称为n 的参数或强度时齐泊松过程一般简称为泊松过程 第三章重要的随机利率假设华东师范大学硕士论文 1 6 第二节常见的死亡力解析形式假设 我们已经知道在建立精算模型时，知道被保险人的死亡分布是十分重要的，而在连 续生命的精算模型下，死亡力更是影响被保险人剩余生命函数t ( x ) 的分布函数，密度函 数的重要因素下面，我们将介绍一下四种常见的死亡力解析形式 一d e m o i v r e 形式 其死亡力的形式如下一比= 二t d - - x ( o s z u ) 其中，为被保险人的年龄上限 该式于1 7 2 9 年由d em o i v r e 建立，在该形式下，随机变量x 的概率分布以及密度函 数的形式如下t 砷) = l - - e 计f 击 = 1 一e x p ( 1 n ( u t ) ) i ；= 三( 0 z 叫) 而，( 。) = f ) = 亡( 0 sz 1 该式于1 8 2 5 年由g o m p e r t z 创建在该形式下，随机变量x 的分布以及你度函数， 生存函数的形式为 f ( x ) = 1 一e 印( 一fb c “d t ) = 一e 印笋( z 0 ) 则有鼬) = 1 - f ( 加唧罨笋( z o ) ，( 。) = f 7 ( z ) = b c = e 印警扛o ) 三、m a k e h a m 形式 其死亡力形式如下式；p 。= a4 - b c z0 20 ) 其中，b 0 ，c 1 ，a 一b 第三章重要的随机利率假设华东师范大学硕士论文 1 7 该式于1 8 6 0 年由m a k e h a m 创建在该形式下，随机变量x 的分布以及密度函数、 生存函数的形式为 f ( x ) = 1 一e 印( 一血一b ( c 万。夏- r 一1 ) ( z 0 ) ) e x p ( a x 。( u - - i ) 扛o ) ) =一一z 了广( 0 ) ) ，( z ) = ( 4 + 口俨) e z p ( 一血一b ( c 瓦2 乏- _ 1 一) ) p o ) 特别地，当a = 0 时，m a k e h a m 形式可以简化为g o m p e r t z 形式，所以可以说g o m p e r t z 形式是m a k e h a m 形式的推广 四、w e i b u l l 形式 其死亡力形式如下式矿= k x 其中，k 0 。n 0 该式于1 9 3 9 年由w e i b u l l 创建在该形式下，随机变量x 的分布以及你度函数、生 存函数的形式为 f ( z ) = 1 一e x p ( - k ( n + 1 ) x ”+ 1 )扛0 ) s ( x ) = e x p ( - k ( n + 1 ) 2 “+ 1 )( $ 0 ) f ( x ) = k s 4 e x p ( - k ( n + 1 ) 矿+ 1 ) 扛0 ) 综上所述，在四种死亡力的鳃析形式下，密度函数和生存函数。以及被保险人( x ) 的剩 余生命随机变量t 的分布和莫度函数归纳如下t 表3 四类死亡力解析形式下生存函数的对照表 d em o i v r e g o m p e r t z m a k e h a m、v e i b u l i l 肛 b c 旺a + b c zk x ” u z s ( x ) 1 一兰e 旦铲e a x 一旦嘉旦e k ( n + 1 ) x “+ 1 ，( z )b c z e 呈铲( a + b 酽) e - “一旦铲 z b e k ( 1 ) ，+ 1 概1 一 e业e a ( z + t ) 一! ；e 一膏( n + 1 ) 。如+ t ) ”+ 1 l b 俨+ t e 型菇土 ( a + b c p + ) e 一 。一里工弓k ( x + t 1 “e - k ( + 1 ) ( h 。) ”“f r ( t ) 第四章两类联合寿险精算模型 华东师范大学硕士论文1 8 第四章两类联合寿险精算模型 在本文的第三章中，着重介绍了寿险精算函数、常用的随机利率模型以及一些假设 条件，因此在本章中，我们将运用服从w i e n e r 过程的随机利息力建立精算模型，并在得 出生存函数和寿险函数后，讨论在两类死亡力假设条件下，推导联合寿险模型的完整生 存函数，并得出联合寿险精算模型下的寿险、年金的精算模型随后进行一类联合寿险的 保单的设计，并在特定的假设条件下，计算其均寿险，年金、均衡保费以及保险准备金 第一节利率服从w i e n e r 过程下的联合寿险 一。寿险 从先前的介绍中，可以知道无论是在计算寿险还是年金时，贴现函数是十分重要的 组成部分，因此我们首先考虑在特定随机利率条件的贴现函数的表达式 设利息函数服从r ( t ) = b t + p ( t ) ，( 0 t ) ，其中6 为常数利息力，卢为参 数，w ( t ) 为w i e n e r 过程则每单位时间内的随机利息力函数为 他) = 即) = 6 + 卢掣，删 m 定理t 在随机利率服从w i e n e r 过程的情况下，积累函数 n ( t ) = e 印u 一；矿弘+ p w ( t ) 证明r 根据累计函数与利息力的有关定义 心) = 鬻 同时r ( t ) = 6 + ，l ，d w 出( t ) 因此器讲卢型d t ， 郫叫伽抄a w ( 小邮) 叫” 若令y ( t ) = g ( t ，z ) = l n x 则有面o y - o 瓦o y = ；，等= 1 第四章两类联合寿险精算模型 华东师范大学硕士论文1 9 由i t 6 公式，我们得出 砒喇= ( 高伊) 一i 1 研1 ) 疵+ 南脚( t ) 酬t ) = o - 譬) d w ( d 所以札q ( t ) = f n o ( o ) + 陋一譬弦+ 卢i 矿( t ) 由于口( t ) 是积累函数，因此在t = 0 时刻积累函数的值为1 ，即o ( o ) = 1 可得n ( t ) = e x p ( 6 一；俨) 抖刖( f ) 由此可以得知，贴现函数口( t ) = 丽1= e 印一p 一互1 口2 m 一卢w ( ) 在得到了随机利率条件下，贴现函数的表达式之后，我们考虑联合生命状态t ( x y ) 的这样一个寿险，即在联合生命状态t ( x y ) 结束时，即时给付一个单位的保险金，假设 联合生命( x y ) 其密度函数为岛( t ) ，0 t o 。 则给付保险金的现值为z = v ( t ) 则联合生命终生寿险a 。= e 旧= e p ( t ) 】= e r f w ( t ) i n l ，。o = 岛( t ) ( e u 一 俨) 卅岬 j 0 ：，。丘。( t ) e 一( d 一 砰) t f o e - 加刁1 = c _ 出，出= 丘v ( t ) e 一( 5 一 砰) 加。刁= c 一斯出，出 j 0j 0 = j f o 。e - c 6 - ；俨) t 岛( t ) t e 一譬出 从上式可以看出，联合生命的终生寿险在随机利率的条件下，与联合生命状态的密 度函数有关，与随机利率所服从过程的参数6 ，p 有关 二，生存年金 接着我们考虑同样的随机利率假设条件下的联合生命状态生存年金问题首先考虑 这样一类连续年金，支付期为n ，每个支付期的支付额为1 ，则 砭矿卜驰 ：i n e - ( 6 - 矿m 一肼7 0 ) d r 第四