（理论物理专业论文）量子非定域性和量子通信若干问题研究.pdf

! 塑丝丝些童圭丝堡圭童堡垒兰 苎! 里 中文摘要 量子力学具有许多独特的非经典性质，其中的多体量子纠缠态则是一 个典型的例证。量子纠缠态可以违背e i n s t e i n ，p o d o l s k y $ 口r o s e n 的定域实 在论，破坏基于定域隐变量模型的b e l l 不等式。为了更直接体现量子力 学和定域实在论的矛盾，人们提出了无不等式的b e l l 定理，使得有可能 在单个拷贝纠缠态下就会发现量子力学和定域实在论是不相容的。正是 这些违反人们直觉的特性使得纠缠态在量予信息处理中发挥了重要的作 用。纠缠态可以用来完成密钥分发，密集编码，隐形传态等量子信息处 理任务。而稍后提出的远程态制备与隐形传态的差别在于发送者已经知 道被传输态的经典描述信息。现在已经有许多的实验( 在不同程度上) 实现或证实了他们。让人们感兴趣的是，是否这些任务的实验实现是纯 粹量子的，能否用经典的方法去模拟。最近的研究表明，人们的确可以 用局部随机数和经典通讯来模拟某些量子位隐形传态实验，即可以用统 计性的经典关联通道和经典通讯来模拟基于纠缠通道和经典通讯的量子 位隐形传态实验。另一方面最近人们发现可分混态可以用来分发纠缠， 也就是说可分混态所具有的非相干性和经典关联性质在量子信息处理中 也是有用的。 本文重点研究了无不等式b e l l 定理和远程态制备中的若干问题。我们 的基本物理出发点是能否将量子力学的非经典特性在更一般的情况下表 现出来，以及在不使用纠缠通道的条件下完成某些量子通信任务，并得 到了一些物理上有意义的结果： ( i ) 证明了从两个相互分离的独立源发射的双光子系统也具有g r e e n - b e r g e r h o m e - z e i l i n g e r 型非定域性质。在我们的论证中每个光子和自己伴 随的真空态相互纠缠形成b e l l 态，但是在整个理论安排中两个光子自始 至终没有纠缠在一起。论证中使用了局部粒子数作为可观测量并且只使 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 ! 堡墼矍苎塞查童丝圭丝堡垒苎 董! ! ! 用了光子的一个自由度。这里从物理上发展了c a b e l l o 版本b e l l 定理的论 证。 f i i ) 把连续变量体系的g r e e n b e r g e r - h o r n e - z e i l i n g e r 定理的论证推广到 只需要两个观测者的情况。 ( i i i ) 论证了一种无b e l l 基测量的任意量子比特混态的隐形传送协议。 ( i v ) 利用可分混态通道和经典通讯实现了某一类量子比特混态的远程 制备。这个远程态制备协议不需要在观测者之间事先建立纠缠态通道，它 利用了可分混态所具有的经典完全关联特性。这个协议只需要在观测者之 间传送一个经典比特，而且它的一个不寻常的特性在于其保真度是i 0 0 ， 尽管使用的是有噪声的非纠缠态通道。因此可分混态在这个协议中已经 是作为基本的物理资源而不再是辅助性的工具。这个方案为实现某些量 子通信提供了一个新的选择。 中国科学技术土学理论物理所量子理论组 ! 皇丝堂垒圭圭童堡塞塞堡垒叁 丝型叁 a b s t r a c t q u o a t u l ne n t a n g l e m e n ti s o n eo ft h em o s ts t r i k i n gf e a t u r e so fq u a n t u m f o r r e a l i s m h i s t o r i c a l l y j i tw a sf i r s t r e c o g n i z e db ye i n s t e i n ，p o d o l s k ya n dr o s e n a n db ys c h r 5 d i n g e r t h e ys h o w e dt h a te n t a n g l e m e n th a si n c r e d i b l en o n c l a s s i c a lp r o p e r t yw h i c hc a r ln o tb ee x p l a i n e db yc l a s s i c a lp h y s i c s e n t a n g l e m e n tc a l l v i o l a t eb e l ls t a t i s t i c a li n e q u a l i t yb a s e do ne p r sl o c a lr e a l i s m ，w h i c hi sk n o w n a sb e l lt h e o r e m s t r i k i n g l y , b e l lt h e o r e mw i t h o u ti n e q u a l i t i e sh a sb e e nd e m o n s t r a f e df o rm u l t i p a r t i c l eg r e e n b e r g e r h o n e z e i l i n g e rs t a t e s ，w h e r et h ec o n t r a - d i c t i o nb e t w e e nq u a n t u mm e c h a n i c sa n dl o c a lr e a l i s t i ct h e o r i e sa r i s e se v e nf o r d e f i n i t ep r e d i c t i o n s t h eq u a n t u mn o n l o c a h t yc a nt h u s ，i np r i n c i p l e ，b em a n i f e s t i na s i n g l er u no fac e r t a i nm e a s u r e m e n t t h er e c e n td e v e l o p m e n to fq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r ys h o w e dt h a te n t a n - g l e m e n tc a nh a v ei m p o r t a n tp r a c t i c a la p p l i c a t i o n ss u c ha sq u a n t m nc r y p t o g r a - p h y , q u a n t u m d e n s e c o d i n g q u a n t u mt e l e p o r t a t i o na n d r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o n d i f f e r e n tf r o mt e l e p o r t a t i o n ，r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o n ( r s p ) r e f e r st ot h ec a s e w h e r es e n d e rh a sk n o w nt h ec l a s s i c a ld e s c r i p t i o no ft h es t a t et ob et r a n s f e r r e d a p a r tf r o ms i m p l ec a s e s ，h o w e v e r ，t h em a t h e m a t i c a l s t r u c t u r eo fe n t a n g l e m e n ti s n o ty e tf u l l yu n d e r s t o o d s ot h ef u n d a m e n t a lt a s ko fq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e - o r yi st oc h a r a c t e r i z ee n t a n g l e m e n ts u c ha sh o w t od e c i d ew h e t h e rag i v e ns t a t e i ss e p a r a b l eo re n t a n g l e d ，h o wt oc l a s s i f ye n t a n g l e ds t a t e sa c c o r d i n gt ot h e i ru s e f u l n e s s ( i e ，d i s t i l l a b i l i t y ) ，a n d h o wt oq u a n t i f ye n t a n g l e m e n tw i t ha p p r o p r i a t e m e a s u r e s r e c e n t l y ，an u m b e ro fe x p e r i m e n t sh a v er e a l i z e dt e l e p o r t a t i o np r o t o c 0 1 n o t w i t h s t a n d i n gt h ef a c tt h a tt h e s ee x p e r i m e n t sa r er e m a r k a b l ev e r i f i c a t i o n s o fq u a n t u mm e c h a n i c s ，i ta p p e a r st h a to n es h o u l db ec a u t i o u sw h e na s s e r t i n g t h a ts u c hr e a l i z a t i o n sd e m o n s t r a t ee n t a n g l e m e n ti naw a yt h a tc a n n o tb es i m u - f a t e db yc l a s s i c a lm e a n s i n d e e di th a sb e e nd e m o n s t r a t e dt h a tc e r t a i nq u a n t u m t e l e p o r t a t i o ne x p e r i m e n t s ，w h i c ht e l e p o r tas i n g l eq u b i t ，a d m i tal o c a lh i d d e n v a r i a b l e sm o d e l 中国科学技术大学理论祷理所量子理论组 0 nt h eo t h e rh a n d ，s e p a r a b l em i x e ds t a t eh a sb e e nu t i l i z e d t od i s t r i b u t e e n t a n g l e m e n t ，w h i c hi m p l i e st h a ts e p a r a b l em i x e d s t a t ec a nb eau s e f u lr e s o u r c e i nq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g i nt h i sp h dt h e s i sw ef o c u so ns o m ep r o b l e m so nt h eb e l lt h e o r e m w i t h o u t i n e q u a l i t i e sa n d o nt h er e m o t es t a t ep r e p a r a t i o nt h e o r y o u rp h y s i c a lm o t i v a t i o n i sc a nw ee x t e n dt h en o n c l a s s i c mp r o p e r t yo fq u a n t u m m e c h a n i c st oam o r eg e n e r a ls i t u a t i o n 7f u r t h e r m o r e ，c a nw ei m p l e m e n ts o m eq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n t a s kw i t h o u te n t a n g l e m e n t ? o u rm a i nr e s u l t sa r e ： ( i ) i ti sp r o v e dt h a tt w op h o t o n sf r o mt w ow i d e l ys e p a r a t e di n d e p e n d e n t s o u r c e sc a np o s s e s s ”a l l v e r s u s n o t h i n g ”t y p en o n l o c a l i t y t h e r e a s o n i n gm a k e s u s eo fe n t a n g l e m e n to fe a c hp h o t o nw i t hav a c u u ms t a t e ，h o w e v e rt w op h o t o n s d on o te n t a n g l e dw i t he a c ho t h e ri nar u no fe x p e r i m e n t i nt h i sp r o o fw eu s e l o c a lp h o t o nn u m b e r sa sap 1 1 y s i c a lo b s e r v a b l ei n s t e a do fp h o t o np o l a r i z a t i o n ( i i ) t h eg r e e n b e r g e r h o r n e - z e i l i n g e rt h e o r e mf o rc o n t i n u o u sv a r i a b l es y s t e mi se x t e n d e dt ot h es i t u a t i o no ft w oo b s e r v e r s ( i i i ) i ti ss h o w e dt h a tt e l e p o r t a t i o uo fa n yq u b i ts t a t e ( m i x e d o rp u r e ) c a d b ei m p l e m e n t e dw i t h o u tb e l lb a s i sm e a s u r e m e n t ( i v ) i ti sp r o v e dt h a tac l a s so fm i x e dq u b i ts t a t ec a nb er e m o t e l yp r e p a r e d w i t has i n g l ec l a s s i c a lb i tf r o ma l i c et ob o b ，p r o v i d e dt h e ys h a r e sas e p a r a b l e m i x e ds t a t ec h a n n e l ，a n dt h i sm e t h o dd o e sn o tu t i l i z ee n t a n g l e dc h a n n e l sb e t w e e n t w oo b s e r v e r s w es h o w e dt h a ts e p a r a b l em i x e ds t a t ec a np o s s e s st h ep r o p e r t y o fr e d u c t i o no fs t a t es i m i l a rt oe n t a n g l e dp u r es t a t e o n es u r p r i s i n gf e a t u r eo f o u rp r o t o c o li st h a to n ec a ne x a c t l yp r e p a r es u c hd i a g o n a l i z e dm i x e dq n b i ts t a t e w i t ht h en o i s ys e p a r a b l ec h a n n e l s ot h es e p a r a b l es t a t ei su t i l i z e da sab a s i c p h y s i c a lr e s o u r c ei nt h i sp r o t o c o li n s t e a do faa u x i l i a r yt 0 0 1 中国科学技术文学理论物理所量子，f 论组 ! 望墼丝堡塞圭童堡圭堂垒丝兰 叁! ! 第一章b e l l 不等式 量子力学在上世纪二十年代建立之后不久，对其理论的自洽性和完备 性就有了诸多激烈的争议。其中影响最大的要属e i n s t e i n ，p o d o l s k y 和r o s e n 1 1 在1 9 3 5 年提出了e p r 佯谬，他们发现多体量子纠缠态会违背定域实在 论，由此他们认为量子力学是不完备的。这使得一些人认为要引入隐变 量才可能给微观体系以完备的描述。在关于量子力学和隐变量理论到底 谁是谁非的争论中，b e l l 作出了重要的贡献，在1 9 6 4 年他发现了个不 等式形式的定理，所有的定域隐变量理论都要符合这个统计性的不等式 而量子纠缠态则会破坏它。也就是说纠缠态具有违反人们直觉的非经典 特性，这样的特性也体现在s c h r s d i n g e r 发现的猫佯谬当中 2 。下面为了阐 述这些问题，我们将从介绍量子纠缠态的性质和意义出发。 l1 纠缠纯态 量子纠缠态分为纠缠纯态和纠缠混态。纠缠纯态是指在任何表象下复 合系统的量子态都不能写成各个子体系波函数的直积形式。以最常见的 两体或两方纯态为例，我们有如下数学形式。 一般的，任意一个纯态可以表示为：1 妒) = 。g 1 如) ，其中1 讥) 是正 交归一化基矢量。这样在a ，b 两方态空间咒a 0 咒b 中，任意纯态写成： l 妒) a b = l 吼) 。i b j ) ， ( 1 1 1 ) 4 j 其中| 。) 咒a “) h b 分别是各自h i l b e r t 空间中的正交归一基矢。或者 用密度矩阵形式表示为 p a 日= 1 砂) a b ( 妒i = g ，曜m ) ( o 引。i b j ) ( b z l i 一, j , k , l f 1 1 2 ) = 胁l a ) a 川。i b j ) 8 ，此时各个子体系的波函数都是纯态； b 纠缠态：此时i 妒 a b 不能写成前面的两个子体系波函数的直积形式。 而且每个子系统处于混合态而不再是纯态。一个最简单的例子就是两个自 n 1 2 粒子所形成的单态：i 皿一) a e = 击 0 a i i b 1 1 ) a i o ) 。) 。此时a 或b 的 单体约化密度矩阵均为最大混合态：p a = p 日= i 2 。 对于两体( 或两方) 纯态这个特殊情况，人们有简洁的s c h m i d t 分解定 理 3 ，4 ，5 ，6 ，7 】，即任意两体纯态i 妒) a b 总能表示为下面标准的s c h m i d t 开眵式 口= 厄f i a ， ( 1 1 3 ) i 其中：厄可以为正或负数，且。p 。= i 。而州) 咒a 和 日 7 - 1 b 分别是各自空间的正交归一化基矢：a ( 砌) a = 如和b ( i l j 7 ) 日= 。或者 将s c h m i d t 分解定理改写成密度矩阵形式如下： p a b = v , b 蕊m ( 七l 。日( 七斗( 1 i 4 ) i , k 证明：此a ，b 复合系统一般纯态可以表示成： i 妒) a 占= a 扯川p ) ；m 阢， 0 ，“ i 这里伸) a ) 和( i ) a 分别是h 和咒b 空间中的正交归一化基矢，而且i i ) b 三 。啦p p ) 占。要说明的是此处胁口不一定是正交归一的。 对于子系统a 的任意状态肌，总是可以找到这样一组4 的正交基 矢伽) ) ，使得舶在这组基中是对角的。不妨假设上面的小) 4 ) 就是这样 一组基，于是我们有： p a = p 。m ( i | i 另一方面，用态i 妒) a b 对予系统b 的部分求迹也可以表示这个p a ，即： p a = t r s ( 1 妒) a 日( 妒1 ) 中国科学技术土学理论物理所量子理论组 ! 堡墼塞塞塞查堡堡圭丝垒竺兰二兰垦 = t r d i ) s - ( j ) = t r 日 i j ) - ( j l l i 日o i ) = e ( 雨丑m a ( 心 蜃后一步的等号县由于： t r 口阢( 引= a ( 纠i ) e ( ) l k b k = 口( 甘( 阢 k b a ( i i ， ( 1 1 5 ) p b = t “( 1 妒) a 日( 妒i ) = 鼽( 7 i ， ( 1 1 6 ) 0 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术史学博士学位论文 第4 页 从上面两个式子可以看出，p a 和p b 的非零本征值相等( 注意：这里并不 要求爿a 和州b 的维数相同，p a 和p a 的零本征值的个数可能不同) 。 s c h m i d t 分解定理可以知道，对于a ，b 复合体系纯态l 妒) a b 存在一个 正整数：s c h m i d t 数。它是p a 或p 8 中非零的本征值的个数，也就是s c h m i d t 分解式中的项数。显然s c h m i d t 数是局部幺正变换下的不变量。如果一个 纯态的s c h m i d t 数大于等于2 ，那么它一定是纠缠态。从而s c h m i d t 数的大 小从一个角度表征了两体纯态的纠缠程度，g 1 s c h m i d t 数越大，体系的 “纠缠程度越深”。 但是直接用s c h m i d t 数作为两体纯态的纠缠度量并非是合适的，实际 上可以用其中某一个( 一方) 粒子的v o nn e u m a n n 熵来度量 皿) a b 的量子纠 缠度e f t ) ： 蜀霍) = s ( p a ) = s ( 肋) ，( 1 1 7 ) 而v o nn e u m a n n 熵i s 】s ( p a ) 的定义为： s ( p a ) = 一t r ( p al o g p a ) ( 1 1 8 ) 如果鼽是m 的本征值，那v o n n e u m a n n 熵可以写为： s ( p a ) = 一p i l o g p i ， ( 1 1 9 ) t 这里的对数通常是v a 2 为底的。关于p 且的v o n n e u m a n n 熵定义完全类似。 容易看到对于任何的直积态i 妒) a b = i 卢) aoi 一) 且，我们总是有e 。= 0 ，即这个复合体系没有任何纠缠。而对于两个自旋：粒子所形成的单 态l 皿一) a b ，由t7 其p a = p b = ；，因此有： e i , r 一) b = l 0 9 2 = 1 据此我们认为单态i 皿一) a 茸是2 2 体系的最大纠缠态。 对于a ，b 都是两态系统这个最简单的纠缠纯态，可以证明如下的四个 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 ! 堡塾壁垒塞查丝篁圭塞垒竺塞 苎! ! ：堡 纠缠态将构成一个完备基 9 】 加= 历1 ( | 。) a 1 1 ) b 士， ( 1 1 1 。) i 中士) a b = 去( i o ) a i o b i x a l l b ) ， ( 1 11 1 ) v 它们也叫做b e l l 基，是2x2f 即两个量子比特) 体系下的最大纠缠态。从上 面四个b e l l 基出发，对a 或b 分别独立的作任何局部幺正变换所得到的纠 缠态都是最大纠缠态。这时如果对子系统a 或b 部分求迹，所得到的约 化密度矩阵为： p a = t r b ( i 旷) a 日( + 1 ) = ；厶， 1 p 日= t t a ( j 垂土) a 曰( 中+ 1 ) = ；b 从上面两个式子可以看出：局部的a 或b 都处于最大混乱状态，也就是说 他们都没有负载任何信息，系统的信息包含在a 和b 之间的关联上。从而 不能通过单方对a 或b 作局部测量来提取出关于另一方状态的信息。尽 管如此，人们还是可以局部的对a ( b ) 作幺正变换来改变这些最大纠缠 态。例如：采p a u l i 矩阵盯。作用在a 方上使得l 圣+ ) a 日和i 中一) a b 之间互相 转换；f 皿+ ) a b 和l 一) a b 之间互相转换。类似的，p a u l i 矩阵作用在a 方 上使得i 垂+ ) 且县和i v + ) a 日之间互相转换：l 圣一) a 日和f 一) 加r 之间互相转换。 s c h m i d t 分解定理把任意的两体纯态表达式中要对两个独立指标求和 约化为仅对一个指标求和，这是方便的，但是这个非常良好的性质却不 能直接推广到3 体或更多体纠缠纯态系统1 0 ，1 1 1 。对于2 2 2 情况，a c i n 等1 2 1 得到了如下的“最小表象”，用五个正交直积态的叠加来表示任意 一个三量子位态： a o l 0 0 0 ) + a l e 坤1 1 0 0 ) + a 2 1 1 0 1 ) + a 31 1 0 ) + a 4 1 1 1 1 ，( 1 1 1 2 ) 其中的啦0 ，0 西7 并且t a ? = 1 。显然可以用“最小表象”中正 交直积态的个数来对三量子位系统的纠缠进行分类。这种分类方法和两 中国科学技术土学理论物理所量子理论组 ! 里墼堂塞查圭丝堡圭塞垒堡圭 ： 苎! 里 体系统的纠缠用s c h n l i d t 数来分类相类似，i 救a c i n 等将这种形式称作“广 义s c h m i d t 分解”。需要注意的是，三个量子位体系量子态的最小表象形 式是不唯一的，其中5 个独立参数的选择也有很多种 1 a ，1 4 。 以上我们介绍了两体纠缠纯态基本的数学定义和常用的性质，而e i n - s t e i n ，p o d o l s k y 和r o s e n 在1 9 3 5 年发现两个粒子复合体系形成的纠缠态往 往具有违反人们直觉经验的非经典的物理特性，具体而言纠缠态和量子 非定域性质有着密不可分的内在联系f 1 5 1 。 1 2 e i n s t e i n p o d o l s k y - r o s e n 佯谬 a e i n s t e i n ，b r o s e n 和n r o s e n ( e p r ) 在1 9 3 5 年发表了一篇重要的文 章，对正统的量子力学基本原理和哥本哈根( c o p e n h a g e n ) 解释提出了尖 锐的批评，一般称为e p r 佯谬f 1 1 。在这篇文章中他们利用思想实验的方 法，论证了量子力学不能给出对于微观系统的完备描述。e p r 的证明基 于两个基本假设基础上： a ：定域性假设。如果两个测量是在类空分离的时空中进行的，那么 这两个测量就相互独立，彼此之间没有相互影响。 b ：物理实在元素假设。对于一个物理量，如果我们能够在对它没有 任何干扰的前提下，确定的( 即几率为1 的) 预言这个物理量的值，那么 对应于这个物理量就存在一个物理实在元素。 从这两个假设出发就可以得到，以类空分离的两个系统具有彼此相互 独立的物理实在性，这就是e p r 佯谬的中心思想：定域实在论。 e p r 原先论述是针对连续变量系统进行的，后来b o h m 用离散变量体 系把e p r 的思想表述的更简单明了f 1 6 1 。考虑自旋为；的两个粒子体系， 处于自旋单态，在t 0 时，体系是束缚态。在t = 0 时由于某种影响而分 解( 在此过程中未引入角动量来干扰系统的自旋态，即此过程中总自旋 守恒) ，两个粒子反向飞出。在t t 时刻两个粒子已经相互远离，彼此 无相互作用。此时对这两个粒子之一，如a 粒子，分别测量它的自旋的。 中国科学技术土学理论物理所量子理论组 ! 堡墼童竺兰塞塞堡圭兰垒竺兰 坐 分量和z 分量( 注意 一于，霹】= 2 w 0 ，是不对易的) 。 首先考虑测量a ? ，此时自旋单态可以写成盯 的本征态的叠加： l r ) 一占= 去 忆) b m ) n m ) e ) - 1 v 式中的“展开系数”是a 尹的本征态。此时，如果测得粒子a 的盯尹= 1 ， 则粒子b 的口尹= 一1 。 其次考虑测量a ，此时自旋单态可以写成矿参的本征态的叠加如下( 注 意自旋单态是旋转不变的) ： i g n ) a b = 去 il 。) b it 。) a 一| k b i 。a ， v 式中的“展开系数”是砖的本征态。此时，如果测一z v u 。a = 1 ，则盯宇= 一1 。 按照e p r 的论点，当t t 以后，两个粒子之间己经没有相互作用， 测量粒子a 的自旋不会对b 的自旋状态有任何的影响。那么粒子b 究竟处 于lk ) b 态，还是lk ) b 态? 这就是e p r 佯谬的b o h m 版本。它比e p r 原先 的表述更直接明了，后来的讨论多数基于此展开，特别是在b e l l 不等式 中，人们用它来判断量子力学是否正确。 e p r 从这个佯谬得出：要么，量子力学中利用波函数的描述方式是 不完备的；要么，即便是类空分离的两个子系统之间的状态也是相互不 独立的。从定域实在论出发e p r 否定了对第二条的怀疑，认为量子力学 的波函数描述是不完备的。这导致后来有人提出了量子力学以外允许有 隐变量存在的理论。 1 3 b e l l 不等式 在关于量子力学与定域实在论到底谁是谁非的这场争论中，b e l l 作出 了重要的贡献。1 9 6 4 年他发现了一个不等式，任何定域隐变量理论都要遵 循这个不等式，而量子力学则预言此不等式会被破坏，这就是著名的b e l l 定理 1 7 。 中国科学技术土学理论物理所量子理论组 ! 塑墼塞塞童圭童堡兰童堡丝苎 ：叁! 里 b e l l 主要是考虑了a 和b 两处测量之间的联系，假定有某个隐变量理 论，在这个理论中，测量事实上是决定论的，只是由于某些自由度不知 道，表现为随机性。例如，对于一个沿。方向的自旋纯态it ) ，按照隐变 量理论则认为它应当描述为lt ，a ) ，此处a 是某个隐变量，其数值按照某 种人们目前尚不知道的规律变化，取值也不是现有的实验条件所能控制 的。不失一般性，我们可以假设a 的变化范围是f o ，1 1 。于是不妨认为，它 以某个未知的几率分布p ( a ) 在 o ，1 中取值。 b e l l 的分析是针对b o h m 版本的e p r 佯谬进行的。对于a 和b 两个自 旋妄粒子形成的单态： 。麦( 1 t a i1 ) b i 洲t ) b ) ，( 1 叫 a l i c e 对粒子a 沿给定的a 方向测量其自旋，而在类空分离的区域b o b 则 对粒子b 沿方向6 测量其自旋。于是各自测量结果分别为a ( a ，a ) ( = ：k 1 ) 和b ( 6 ，a ) ( = 4 - 1 ) 。将它们相乘，由于l 砂) 态中a 与b 自旋反向关联，当a = 6 时得到： a ( a ，a ) b ( 6 ，a ) = 一1 ，( 1 3 2 ) 若a 6 此结论不成立。假设对多个粒子样品进行多次这样的测量，对应 的平均结果应该是对随机变化的隐变量a 的积分平均结果。a ，6 两个方向 测量结果的关联函数为： p ( a ，6 ) = d a p ( a ) a ( 5 ，a ) b ( 5 ，a ) ，( 1 3 3 ) 同样的，如果沿着a ，a 两个方向的测量和沿着6 ，a 两个方向的测量，将分 别得到p ( a ，) 和尸( 6 ，e ) 。故得到： i 尸( a ，6 ) 一p ( a ，a ) i = i d a 户( a ) a ( a ，a ) b ( 6 ，入) 一a ( a ，a ) b ( ea ) l _ d a p ( a ) i a ( a ，a ) b ( 6 ，a ) 一a ( a ，a ) b ( 毛a ) i ( 1 3 4 ) 中国科学技术土学理论物理所量子理论组 中国科学技术土学博士学位论文 第9 页 由_ 于- a ( a ，a ) b ( k ，a ) = 一1 和1 4 ( a ，a ) i2 = 1 ，可得b ( 6 ，a ) = 一a ( k ，a ) ，代入 式( 1 3 4 ) 可得到： i f ( i ，6 ) 一尸( a ，e ) l = d a p ( a ) i a ( a ，a ) a ( 6 ，a ) - 1 - a ( 6 ， ) b ( j ，a ) l ， ：d a p ( a ) a ( a ，a ) a ( b ，a ) 1 1 1 + a ( 6 ，a ) b ( a ，a ) 1 ( 1 3 5 ) 注意到：a ( a ，a ) b ( a ，a ) 1 ，i a ( a ，a ) b ( 8 ，a ) i = 1 ，最后就得到j b e l l 不等 式： | p ( 5 ，6 ) 一p ( a ，a ) l 1 + p ( 6 ，e ) ( 1 3 6 ) 对于任何基于定域实在论的隐变量理论，从三组 ( a ，5 ) ，( a ，a ) ，( 6 ，e ) ) 实验 所得到的统计平均数据 p ( a ，6 ) ，p ( a ，e ) ，p ( 6 ，e ) ) 都要满足这个不等式。 但是由量子力学可知f 皿一) 有如下性质： ( 6 - + 护) i 皿一) = 0 ，( 1 3 7 ) 这里的5 - 4 是a l i c e ：、坝0 量的p a u l i 算符。对a 粒子沿方向a , n b 粒子沿方向6 的测 量所得的期望值为： p ( a ，6 ) = ( 一1 ( 5 - 4 a ) ( 5 - 日- 6 ) l 皿一) ，( 1 3 8 ) 由式( 1 3 7 ) ，若用一取代疗日作用在l 皿一) 上，式( 1 3 8 ) 可以表示为： p ( 5 ，6 ) = 一( ( 子4 a ) ( 5 - a 6 ) ) = 一啦b j t r ( p a 子方? ) = 一毗如也，= 一5 - 6 = 一c o s 9 ，( 1 3 9 1 其中的口是a 和6 之间的夹角。于是b e u 不等式写成： jc o s ( a ，6 ) 一c o s ( a ，j ) l 1 一o o s ( 6 ，6 ) ( 1 3 i o ) 按照量子力学这个不等式是可以被破坏的。例如：a ，6 ，e 三者共面，取夹 角： ( 昏) = ( 舔) = ；，( 录) = 百2 7 1 ， 中国科学技术文学理论物理所量子理论组 塞皇塑竺丝塞塞塞堡塞兰垒竺兰 ，! 塞堡 于是有： ( 我11 ) 互1 这个b e l l 不等式可以用来从实验上去检验到底定域实在论和量子力学谁 对谁错，而不象e p r 佯谬更多的是思辨式的争论。到目前为止实验都是 支持量子力学的结论，而定域隐变量理论则与实验相矛盾，尽管现有的 实验都存在这样或那样的不完善之处。 1 4 推广的b e l l 不等式 自从b e l l 不等式提出以后，人们从各种角度作了进一步的推广，其中 最著名的是c l a u s e r ，h o m e ，s h i m o n y 和h o l t 所提出的c h s h 不等式【18 。他 们在推广的b e l l 不等式中考虑了在关联测量实验中可能出现的一些误差 等不理想的因素。例如，a l i c e ( b o b ) 测量中仪器有时可能会失效，此时 实验装置给出的测量值为零：再比如，制各自旋单态可能不纯，由此沿 同一个方向测量时a l i c e $ 日b o b 所得到的自旋关联并不严格等等。这样按 照定域隐变量理论有： 一1 a ( a ，a ) b ( 6 ，a ) 1 ， 于是： p ( a ，6 ) = d a p ( a ) a ( a ，a ) b ( 6 ，a ) ， 现在要求i a i ，1 8 1 1 。从而得到： p ( d ，6 ) 一p ( a ，e ) = d a 户( a ) 4 ( a ，a ) b ( b ，a ) 一a ( a ，a ) b ( e ，a ) = d a p ( a ) a ( a ，a ) b ( 5 ，a ) 1 士a ( c i ，a ) b ( 己a ) 一烈p ( a ) a ( a ，粕( ) 1 士a ( c ；，a ) b ( 6 ，a ) 所以： l p ( a ，6 ) 一p ( a ，a ) j 中国科学技术土学理论扮理所量子理论诅 ! 塑塑壁垒塞查丝堡圭童堡竺兰 量! ! 墨 | d a p ( a ) i a ( i z + d a p ( a ) a ( d a ) b ( 5 ，a ) 川14 - a ( d ，a ) b ( a ，a ) a ) b ( e ，a ) i 1 1 士a ( d ，a ) b ( g ，a ) d a p ( a ) 1 1 士a ( i ，a ) b ( e ，a ) i + d a p ( a ) 1 1 士4 ( c i ，a ) 且( 6 ，a ) = 2 士 p ( d ，j ) + 尸( ( i ，5 ) 上面的c h s h 不等式用更对称的形式可记为： 一il一一l p ( 6 ，b ) 一p ( a ，c ) l + l p ( d ，6 ) + p ( d ，6 ) f 2 ( 1 4 1 ) ii 这里a ，b ，e ，d 是四个任意的测量自旋的方向。对于特殊的d = j 情况，若取 理想的自旋反向关联，即p ( 6 ，e ) = - 1 ，就退化为b e l l 不等式。 类似与b e l l 不等式的情况，c h s h 不等式也会被量子力学所破坏。 比如，取四个矢量共面，且( 昏) ：( 囝) ：( 乐) ：要，于是( 昏) ： 百3 7 ( ，p ( 昏) = 丽1 ，p ( 昏) = p ( 囝) = p ( 昂) = 尸( 乐) = 一砺1 ，代入c h s h 不等式( 1 4 1 ) 得到2 以 2 。 按照量子力学c h s h 不等式能够被破坏的上限就是2 以，这是c i r e l 7 s o n f 1 9 1 在1 9 8 0 年发现的。事实上，由于： ( 5 - a a ) 2 = ( 5 - b - 6 ) 2 = ( 矛a c i ) 2 = ( 占且e ) 2 = 5 - a - a ，5 - s 司= h a ，5 - b e = h d ，5 - b = “c ；，5 - s 却= 0 可以引入表征非定域性质的b e l l 算符【5 】： b = ( 5 - a a ) ( 5 - b 6 ) + ( a a c i ) ( a b 6 ) + ( 5 - a 3 ) ( 5 - b 6 ) 一( 5 - a ) ( 5 - 日e ) 于是有： b 2 = 4 “( “a ) ，( 5 - a - 国 ( 5 - b 6 ) ，( 5 - b a ) = 4 4 ( a 面矗 ( 6 ) 而 】 中国科学技术土学理论物理所量子理论组 ! 里丝童垒苎圭塞堡圭堂堡垒苎 苎! ! ! 因此对任意态 砂) 得到： ( b l b 2 i 妒) = 4 4s i n ( 6 ，矗) s i n ( b ，6 ) p ( a ( i ，5 ) 8 这里的p ( a 蔷，6 e ) 是a 和日分别在j ( ；和6 6 方向测量的关联函数，其 模不大于1 。由此记及 ( 妒l b l 妒) 2 ( 砂1 日2 i 妒) ，就得到了： ( 妒i b l 0 ) 2 、2 这就是c h s h 不等式按照量子力学所能达到的c i r e l s o n 上限。 1 9 9 1 g g i s i n 2 0 n s c h m i d t 分解的方法证明了任何两体纠缠纯态都会 破坏c h s h 不等式。然而2 0 0 2 年z u k o w s k i 等人2 1 1 发现这个结论不能直接 推广到多体量子位纠缠纯态，他们证明了如果在局部测量时使用两个双 n ( d i e h o t o m i e ) n 2 观i 量，那么存在n 2 个量子位所形成的纠缠纯态不会 破坏任何的使用粒子关联函数的b e l l 型不等式。 大多数b e l l 型不等式按照量子力学所能达到的最大值都是定域隐变量理 论的以倍，但在1 9 9 8 年a r d e h a l i 2 2 1 却发现了一个新的b e l l 型不等式，其按 量子力学所能达到的最大值可以是定域隐变量理论的1 5