（计算数学专业论文）无网格方法理论研究及其在偏微分方程中的应用.pdf

摘要 无网格方法是近几年来在计算科学和近似理论中的主要热点研究课题之 一。无网格方法采用基于点的近似，可以彻底或部分地消除网格，不需要网格 的初始划分和重构。克服了有限元方法函数近似需要预先划分网格的缺点。在 过去的几年里，无网格方法在人工智能、计算机图形学、图像处理和各种类型 的 ( 偏)微分方程数值解等领域的应用研究已经展开。 本文首先介绍了有限元方法的基本原理及其局限性，阐明了无网格方法的 产生背景，进而引出了无网格方法。其次探讨了三种无网格的函数逼近方法: 径向基函数插值方法、移动最小二乘方法和近似的近似方法，并对相关理论进 行了论证。在此之后介绍了求解偏微分方程数值解的两种无网格方法:无网格 伽辽金方法 ( e f g m)和无网格局部p e tr o v - g a l e r k i n ( ml p g )方法。研究hl题 之一是对e f g m和ml p g方法的积分方案进行了深入地探讨， 将背景网格积分 方案和局部支集积分方案进行了细致地比较。量级分析和大量数值试验指出背 景网格积分方案与局部支集积分方案相比，在相同精度的情况下节约很多的计 算时间。研究问题之二是关于无网格化方法中本质边界条件的实现，文中提出 了l a g r a n g e 乘子识别法实现边界条件的 思路， 并借助数值试验对比 研究了其它 两种边界条件实现方法，它们各有千秋各有弱点。最后对移动最小二乘方法中 影响半径 : 选取的充分必要条件进行了研究，为了得到满意的近似精度，借助 数值试验探索并验证出了最佳的影响半径取值。 节点均匀分布时， 对于线性基， 影响半径 r 可取为 1 . 2 h ;对于二次基，可以取为 2 . 2 h . 关键词:无网格方法径向基函数 响半径无网格伽辽金方法 积分本质边界条件 移动最小二乘方法近似的近似方法 无网格局部 p e t r o v - g a l e r k i n 方法 影 数值 ab s t r a c t n o w , m e s h f r e e m e t h o d i s a n a c t iv e t o p i c o f t h e r e c e n t r e s e a r c h i n t h e a r e a s o f c o m p u t a t io n a l s c ie n c e a n d a p p r o x i m a t i o n t h e o r y . a s i s i t n a m e d , t h e m e t h o d s u s e d a k i n d o f f u n c t i o n s a p p r o x i m a t i o n w h i c h a r e j u s t b a s e d o n a f i n i t e n u m b e r o f n o d e s i n s t e a d o f b o t h n o d e s a n d m e s h e s a s i n f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . wh e n u s i n g it t o s o l v e p a rt i a l d i f f e r e n c e e q u a t i o n s , t h e m e s h e s c a n b e c o m p l e te l y o r p a r t l y e l im i n a t e d . t h i s i s a n s i g n i fi c a n t a d v a n t a g e c o m p a r e d w i t h f i n i t e e l e m e n t m e t h o d w h ic h i s o n e o f o u t s t a n d i n g a c h i e v e m e n t s m a d e i n t h e s i d e o f c o m p u t a t i o n m e t h o d s l a s t c e n t u r y o v e r t h e p a s t d e c a d e m e s h fr e e a p p r o x i m a t i o n m e t h o d s h a v e f o u n d t h e i r w a y i n t o m a n y d i f f e r e n t a p p l i c a t i o n a r e a s r a n g i n g f r o m a rt i f c i a l i n t e l l i g e n c e , c o m p u t e r g r a p h ic s , i m a g e p r o c e s s i n g a n d o p t i m i z a t i o n t o t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f a l l k i n d s o f ( p a rt i a l ) d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s p r o b l e m s . i n t h e t h e s i s , f i r s t ly w e h a v e c l a r i f i e d t h e b a c k g r o u n d k n o w l e d g e o f m e s h f r e e m e t h o d s , a n d e d u c e d t h e m e s h fr e e m e t h o d s a ft e r i n t r o d u c i n g t h e k e y i d e a s a n d d is a d v a n t a g e o f f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . s e c o n d l y t h r e e k i n d s o f a p p r o a c h e s o f f u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n a r e d i s c u s s e d w h i c h a r e t h e i n t e r p o l a t i o n w i t h r a d i a l b a s i s f u n c t i o n , m o v i n g l e a s t s q u a r e s a n d a p p r o x i m a t e a p p r o x i m a t i o n . a n d t h e c o r r e l a t i v e t h e o r i e s a r e p r o v e d . t h e n s o m e d e t a i l s a b o u t t h e t w o k i n d s o f m e s h f r e e m e t h o d s f o r n u m e r i c a l s o l u t i o n o f p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , w h i c h a r e e l e m e n t f r e e g a l e r k i n m e t h o d ( e f g m) a n d m e s h l e s s lo c a l p e t r o v - g a l e r k in ( ml p g) m e t h o d , a r e a n a l y s i s e d . a ft e r c o m p a r i n g t h e i n t e g r a l s c h e m e s o f e f g m w i t h t h a t o f ml p g m e t h o d t h r o u g h b o t h a b u n d a n t n u m e r i c a l e x a m p l e s a n d c o m p u t e r c o s t a n a l y s i s , w e c o n c lu d e t h a t t h e b a c k g r o u n d c e l l i n t e g r a l m e t h o d u s e d b y e f g m o r i g i n a l l y c a n s a v e a lo t o f c o m p u t e r c o s t c o m p a r e d w i t h t h e m e t h o d o f i n t e g r a t io n o n l o c a l s u p p o rt i n g a r e a s u s e d b y ml p g m e t h o d o r i g i n a l l y u n d e r t h e s a m e p r e c i s i o n . a m o d i f i e d l a g r a n g e m u t i p l e r m e t h o d s t h r o u g h i n d e n t i f y i n g t h e m u l t i p l e r i s p o s e d t o a c h i e v e t h e e s s e n t i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . a n d s o m e c o m p a r i s o n r e s u l t s b e t w e e n i t a n d t h e o t h e r m e t h o d s s u c h a s l a g r a n g e m u l t i p l e r m e t h o d s a n d f a t t e r m e t h o d s a r e g i v e n t h r o u g h n u m e r i c a l e x a m p l e s . a l l o f t h e t h r e e m e t h o d s h a s t h e i r o w n c h a r a c t e r s o f b o t h s i d e s . f i n a l l y t h e b o t h s u ff i c i e n t a n d n e c e s s a ry c o n d i t i o n o f t h e s e l e c t i o n o f r a d i u s o f i n fl u e n c e i n m o v i n g l e a s t s q u a r e s i s p o s e d a n d r e s e a r c h e d f u rt h e r . t o g e t b e t t e r a p p r o x i m a t i o n , t h e b e s t v a l u e o f r a d i u s o f i n fl u e n c e i s e x p l o r e d b y e n o u g h n u m e r i c a l e x p e r i m e n t a t i o n . wh e n t h e n o d e s a r e d i s t r ib u t e d u n i f o r m l y , w e s u g g e s t t h a t t h e b e s t r a d i u s o f i n fl u e n c e c a n b e c h o s e n a s 1 .2 h o r 2 . 2 h ( w h e r e h i s s t e p ) a s p ( x ) a r e c h o s e n a s l i n e a r b a s e s o r q u a d r a t i c b a s e s r e s p e c t i v e l y . k e y w o r d : me s h l e s s m e t h o d s ; r a d i a l b a s i s f u n c t i o n ; mo v i n g l e a s t s q u a r e s ; r a d i u s o f i n fl u e n c e ; a p p r o x i m a t e a p p r o x i m a t i o n ; e f g m; ml p g ; n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n ; e s s e n t i a l b o u n d a ry c o n d i t i o n . i i i 西北t业大学f ,s i l - 学位论文 第一章 绪 论 第一节 有限元方法概述 1 . 1有限元方法在工程技术领域的应用 在工程技术领域中有许多力学问题和场问题，例如固体力学中的应力应变 场和位移场分析、传热学中的温度场分析、流体力学中的流场分析以及电磁学 中的电磁场分析、振动模态分析等，都可以看作是在一定的初边值条件下 求解 基本微分方程的问题。虽然已 经建立了这些问题的基本方程和边界条件，但只 有少数简单的问题才能求出其解析解。对于那些数学方程比较复杂，或物理边 界形状不规则的问题，采用解析法求解在数学上往往会遇到难以克服的困难。 通常对这类问题，往往需要借助于数值模拟技术。用数值模拟技术对结构进行 受力分析，就能在设计或施工前预知建筑结构的危险区段，预测结构的大概破 坏情况，从而采取措施。 目前在工程实际应用中，求解这类问题常用的数值求解方法有:有限差分 法、 有限元法、 无网格方法等。 二十世纪里， r i t z - g a l e r k i n 原理和基于单元的分 片多项式插值逼近相结合的有限元法有效地解决了许多科学工程计算问题。下 面简要介绍一下有限元方法。 二十世纪，在数值分析方法研究领域内具有重大突破性进展的就是有限元 方法的出现。它标志着数值计算方法进入了一 个新纪元。随着现代力学、计算 数学和计算机技术等学科的飞速发展，有限元方法作为一个具有坚实理论基础 和广泛应用效力的数值计算工具， 在科学技术发展中发挥着巨大的作用。三十 多年来， 有限元方法的应用已由弹性力学平面问题发展到空间问题、 板壳问题。 从固体力学问题扩展到流体力学、电磁学等领域。 第一章 绪论 2有限元方法的基本原理 一 般来晚 ， 有限 元 是由 ( k ,p ,n ) 三部 分 组 成的 i 1 , k c r 表示 具 有分 段光 滑 边界的区域， p表示定义在区域k上的 有限维函数空间， n = n j , n 2 , ， . ， ， n n 1 是p的对偶空间p ( 也就是p的有界线性泛函的全体)的一组基。 有限元法的基本原理是: 在求解区域内 给定一组节点扭1 , x z ，二 ， ， x , j ， 将 求解区域剖分成一些具有分片光滑边界的小区域 k ,尸中的元素限制在小区域 上都是多项式或多项式经可逆变换变换后的函数，定义 n ;( v ) = v ( x ;) v e p , i = 1 ，n ( 1 . 1 ) 根据 n 、( 砂 j ) = 各 ， ( 1 . 2 )n .( o i ) = s +i 确定出p的一组基 ( 节点 基)= ( 0 i ,九， ，0 小 这组节点 基也 称为形函 数;这样，对于一个函数u ( x ) ， 可以 用 u , ( x ) 一 艺u ( x i) ( x ) ( 1 . 3 ) 来近似。 由需要求解的微分方程如常见的p o i s s o n 方程边界值问题: - a u 二.f u = u ( 1 . 4 ) i n q o n f . a 0 o n r , c 6 0 千!1 推导出它的变分方程: l d u v v d q + f 。 g v d l4 二 t f v d o ( 1 . 5 ) 将上面u ( x ) 的形a j 数表达式( 1 . 3 ) 代入变分方程 n ， 就得到一个以 节点函数值。 ( x ;) ( i= 1 , 2 , n i( ,p j ) = 9l i ( x i) = 6 ij ( i , 所以 ( 1 .5 ) 中， v 取95 j , j = 1 ， n ) 为未知数的方程组。 j = 1 ，2 ,，n ) 由于 ( 1 . 6 ) 西北工业大学硕_ : 学位论文 u h ( x i) = u ( x i) ( i= 1 , 2 , ， n ) ( 1 .7 ) 可以强加本质边界条件 u ( x j ) = u ( x j ) x j e i , ( i 名 ) 从而将各节点函数值u ( x ;) 求出 来，得到原方程的近似解。 积分方面，在有限元方法中，由于形函数是分片的多项式或多项式经可逆 变换变换后的函数，这样可以预先推导出 积分公式，在计算时直接代入公式计 算，从而节约大量的积分时间。或者采用多点高斯积分，很容易达到足够高的 积分精度。 第二节 无网格方法概述 2 . 1无网格方法的产生与发展 虽然有限元法有效地解决了许多科学工程计算问题， 但其也有自身的缺点: 必须进行网格剖分，网格剖分所需要的工作量大，且实际问题的求解需要投入 较多的人工时间。为了解决这个问题，人们发展了各种网格自 动生成算法，但 对于工程中的许多特殊问题，如高度大变形、动态裂纹扩展问题、自 适应问题 等，网格自 动生成算法也显得繁琐、精度无法保证，高精度的逼近需要高密度 的网格; 特别是象高速冲击一类的非定常问题，网格需要不断重新划分，这导 致精确度下降、计算量增大。 无网格方法只是需要一些节点的信息， 而不关心 这些节点之间的相互连接关系，即不需要划分单元，在函数逼近方面一般借助 移动最小二乘法 ( ml s )对待解函数场进行逼近。这样，无网格方法就有以下 的优点:i不需要进行网格剖分，前期处理方便。2对于用有限元方法不能有 效解决的一些问题如高度大变形、裂纹的动态扩展、高速冲击等问题用无网格 方法却能灵活地加以解决，可以有效弥补有限元方法的缺陷和不足。 所以 近二 十 多 年 来 国 际 上 许多 著 名 的 数 学 和 力 学 学 者， 如1 . b a b u s k a , j .t . o d e n l3 , t . 西北工业大学硕_ : 学位论文 u h ( x i) = u ( x i) ( i= 1 , 2 , ， n ) ( 1 .7 ) 可以强加本质边界条件 u ( x j ) = u ( x j ) x j e i , ( i 名 ) 从而将各节点函数值u ( x ;) 求出 来，得到原方程的近似解。 积分方面，在有限元方法中，由于形函数是分片的多项式或多项式经可逆 变换变换后的函数，这样可以预先推导出 积分公式，在计算时直接代入公式计 算，从而节约大量的积分时间。或者采用多点高斯积分，很容易达到足够高的 积分精度。 第二节 无网格方法概述 2 . 1无网格方法的产生与发展 虽然有限元法有效地解决了许多科学工程计算问题， 但其也有自身的缺点: 必须进行网格剖分，网格剖分所需要的工作量大，且实际问题的求解需要投入 较多的人工时间。为了解决这个问题，人们发展了各种网格自 动生成算法，但 对于工程中的许多特殊问题，如高度大变形、动态裂纹扩展问题、自 适应问题 等，网格自 动生成算法也显得繁琐、精度无法保证，高精度的逼近需要高密度 的网格; 特别是象高速冲击一类的非定常问题，网格需要不断重新划分，这导 致精确度下降、计算量增大。 无网格方法只是需要一些节点的信息， 而不关心 这些节点之间的相互连接关系，即不需要划分单元，在函数逼近方面一般借助 移动最小二乘法 ( ml s )对待解函数场进行逼近。这样，无网格方法就有以下 的优点:i不需要进行网格剖分，前期处理方便。2对于用有限元方法不能有 效解决的一些问题如高度大变形、裂纹的动态扩展、高速冲击等问题用无网格 方法却能灵活地加以解决，可以有效弥补有限元方法的缺陷和不足。 所以 近二 十 多 年 来 国 际 上 许多 著 名 的 数 学 和 力 学 学 者， 如1 . b a b u s k a , j .t . o d e n l3 , t . 西北工业大学硕_ : 学位论文 u h ( x i) = u ( x i) ( i= 1 , 2 , ， n ) ( 1 .7 ) 可以强加本质边界条件 u ( x j ) = u ( x j ) x j e i , ( i 名 ) 从而将各节点函数值u ( x ;) 求出 来，得到原方程的近似解。 积分方面，在有限元方法中，由于形函数是分片的多项式或多项式经可逆 变换变换后的函数，这样可以预先推导出 积分公式，在计算时直接代入公式计 算，从而节约大量的积分时间。或者采用多点高斯积分，很容易达到足够高的 积分精度。 第二节 无网格方法概述 2 . 1无网格方法的产生与发展 虽然有限元法有效地解决了许多科学工程计算问题， 但其也有自身的缺点: 必须进行网格剖分，网格剖分所需要的工作量大，且实际问题的求解需要投入 较多的人工时间。为了解决这个问题，人们发展了各种网格自 动生成算法，但 对于工程中的许多特殊问题，如高度大变形、动态裂纹扩展问题、自 适应问题 等，网格自 动生成算法也显得繁琐、精度无法保证，高精度的逼近需要高密度 的网格; 特别是象高速冲击一类的非定常问题，网格需要不断重新划分，这导 致精确度下降、计算量增大。 无网格方法只是需要一些节点的信息， 而不关心 这些节点之间的相互连接关系，即不需要划分单元，在函数逼近方面一般借助 移动最小二乘法 ( ml s )对待解函数场进行逼近。这样，无网格方法就有以下 的优点:i不需要进行网格剖分，前期处理方便。2对于用有限元方法不能有 效解决的一些问题如高度大变形、裂纹的动态扩展、高速冲击等问题用无网格 方法却能灵活地加以解决，可以有效弥补有限元方法的缺陷和不足。 所以 近二 十 多 年 来 国 际 上 许多 著 名 的 数 学 和 力 学 学 者， 如1 . b a b u s k a , j .t . o d e n l3 , t . 第一章 绪论 b e ly t s c h k o 4 , w . k . l iu i5 等 都 对 无网 格 方 法 表 现出 了 极 大的 兴 趣， 并 进 行 了 大 量的研究工作 。 用无网格化方法求解偏微分方程组到现在不到二十年时间。1 9 8 8年 m o n a g h o n j j 6 1 介绍了 基于拉格朗日 公式的 光滑粒子流体动力方法 s p h , s m o o th p a r ti c l e h y d r o d y n a m ic ) . 1 9 9 2年n a y r o le s b 7 提出了 扩散单元方 法 ( d e m, d i ff u s e e l e m e n t m e t h o d ) 。在这个方法中，节点虽然可以象有限元方 法一样进行布置，但其采用了移动最小二乘方法来建立形函数而不是基于单元 的 形 函 数。由 于区 域积 分上 的困 难， y .k r o n g a u z 和t .b e ly t s c h k o 8 1提出了 改 进的 d e m 。 其 后， t .b e l y t s c h k o 4 等提出 了 无网 格 伽辽 金 方 法( e f g m , e le m e n t f r e e g a l e r k i n m e t h o d ) . t .b e l y t s c h k 。 和其合作者对此作了许多研究并解决了一系列 的 fo7 题 9 ,10 ,1 1,1 2 , 1 3 ,1 4 ,1 5 。 同 时 ， w .k .l iu 16 ,17 ,1 8 等 提 出 了 再 生 核 粒 子 方 法( r k p m , r e p r o d u c i n g k e r n e l p a rt i c l e m e t h o d ) ， 他 采用窗口 函 数和傅立叶 变换建 立了 新的 形函数，由于窗口函数可以平移、缩放，可以 应用于弹性、塑性等问题。 a t lu r i 及 z h u 1 9 基于局部子域积分与p e t r o v - g a l e r k i n的思想，提出了无网格局部 p e t r o v - g a l e r k i n 方法( m l p qm e s h l e s s l o c a l p e t r o v - g a l e r k i n ) . e .o n a t e 2 0 等提出 了有限点方法 ( f p m, f i n i t e p o in t me t h o d ) ，采用基于高斯权函数带权正交最 小三乘插值函数，应用配点法，把支配方程离散成非积分的形式，再结合有限 差 分方 法， 成功地解决了 扩散对流问 题。 h .m o d a r e s s i 和p .a u b e rt 2 1 采用祸 合的 d e m - f e m ( d iff u s e e l e m e n t m e t h o d - f i n it e e le m e n t m e th o d ) ， 解 决了 二 相多 孔介 质ib 题。y x .m u k h e r j e e和 s .m u k h e rj e e 2 2 ,2 3 提出的边界节点方法 ( b n m, b o u n d a r y n o d e m e t h o d ) ， 既 包含了e f g的 无网 格特性和 边界 积分的 长处， 又方 便了 第 一 类边 界条 件的 处理。 y a g a w a g .2 4 提出 的 无网 格 方法( f m m, f r e e m e s h me t h o d )在区域积分上做了一些改进，强调了以节点为求解对象，并从真正意 义上摆脱网格。 西北工业大学硕士学位论文 2 .2无网格方法的基本原理 无网 格方法的 基本原理是: 在求 解区 域内 布置 一组节点1 x 1 , x 2 ,. ， ， x 根据移动最小二乘方法或者径向基函数插值方法或者其它无网格化函数逼近方 法用一些基函数 05 1 , 95 2 ,，,p n 来近似表示原函数: u ( 小 u h ( x ) 二 艺u t(d i ( x )( 1 . 9 ) 无网 格 化函 数 逼近方法 一 般不 满足。 h ( x .) = u ( x ;) ， 所以 不能 像有限 元 方 法 那 样强加本质边界条件，目前拉格朗日乘子法、罚函数方法等是建议施加本质边 界条件的方法。以罚函数方法为例: 将原微分方程( 1 .4 ) 通过变分再加上罚函 数得: f 0 u ) v d n + a f u v d f 一 介 v d f + 孙d q + a f v d f ( 1 .1 0 ) 。r ,几n 其中a 是罚因子。 将u ( x ) 的 近似表达式( 1 .9 ) 代入变分方程 ( 1 . 1 0 ) 中， 、 取n 个线形无关的函 数 ( 不同的无网格方法v 的选取不同， 如在无网格伽辽金方法( e f g m ) 中， ， 取 呜 ， j = 1 , 2 , ， n ) 得 到一 个以u ; ( i= 1 , 2 , ， n ) 为 未 知 数的 方 程组， 解 此方 程组，求得u ; ( i = 1 , 2 ，二， n ) ，从而得到原方程的 近似解。 积分方面，由于无网格方法的形函数很复杂，一般是一些分片有理分式， 很难推导出积分公式，只能采用高斯积分。而且即使采用很多点的高斯积分， 也不一定能达到精确地积分。在无网格方法中，一般采用复化的高斯积分，或 者叫背景网格积分方法，即先将求解区域划分成一些网格，在每个网格内实行 较少点的高斯积分。 第三节 本论文研究的主要问题和结论 无网格方法作为一种克服有限元方法缺点而提出的数值计算方法，得到了 西北工业大学硕士学位论文 2 .2无网格方法的基本原理 无网 格方法的 基本原理是: 在求 解区 域内 布置 一组节点1 x 1 , x 2 ,. ， ， x 根据移动最小二乘方法或者径向基函数插值方法或者其它无网格化函数逼近方 法用一些基函数 05 1 , 95 2 ,，,p n 来近似表示原函数: u ( 小 u h ( x ) 二 艺u t(d i ( x )( 1 . 9 ) 无网 格 化函 数 逼近方法 一 般不 满足。 h ( x .) = u ( x ;) ， 所以 不能 像有限 元 方 法 那 样强加本质边界条件，目前拉格朗日乘子法、罚函数方法等是建议施加本质边 界条件的方法。以罚函数方法为例: 将原微分方程( 1 .4 ) 通过变分再加上罚函 数得: f 0 u ) v d n + a f u v d f 一 介 v d f + 孙d q + a f v d f ( 1 .1 0 ) 。r ,几n 其中a 是罚因子。 将u ( x ) 的 近似表达式( 1 .9 ) 代入变分方程 ( 1 . 1 0 ) 中， 、 取n 个线形无关的函 数 ( 不同的无网格方法v 的选取不同， 如在无网格伽辽金方法( e f g m ) 中， ， 取 呜 ， j = 1 , 2 , ， n ) 得 到一 个以u ; ( i= 1 , 2 , ， n ) 为 未 知 数的 方 程组， 解 此方 程组，求得u ; ( i = 1 , 2 ，二， n ) ，从而得到原方程的 近似解。 积分方面，由于无网格方法的形函数很复杂，一般是一些分片有理分式， 很难推导出积分公式，只能采用高斯积分。而且即使采用很多点的高斯积分， 也不一定能达到精确地积分。在无网格方法中，一般采用复化的高斯积分，或 者叫背景网格积分方法，即先将求解区域划分成一些网格，在每个网格内实行 较少点的高斯积分。 第三节 本论文研究的主要问题和结论 无网格方法作为一种克服有限元方法缺点而提出的数值计算方法，得到了 第一章 绪论 许多学者的关注与垂青。 同时无网格方法又是一个仍需发展、 完善的研究领域， 有很多问题还需要进行细致地研究。本文具体进行了如下的工作: 1在对基于径向基函数的插值、移动最小二乘方法两种表现形式进行深入 的比 较研究基础上，介绍了 拟插值方法、 s h e p a r d 方法、高阶s h e p a r d 方法以 及 近似的近似方法的概念和思想，从数学分析的角度详细推证了有关近似的近似 方法中的有关结论。 2对无网 格g a l e r k i n 方法 ( e f g m) 和局部p e t r o v - g a l e r k i n ( m l p g ) 方法进 行了深入比较，研究了它们的积分方案。 3以e f g m和m l p g方 法为平台， 提出用l a g r a n g e 乘子识别方案实现本 质边界条件，并和其它边界条件实施方案 ( l a g r a n g e乘子法，罚函 数法) 进行 了比较研究。 4对移动最小二乘方法中影响半径 r的选取进行了详细的探讨。首先推导 出矩阵a可逆的充分必要条件。其次通过算例研究了影响半径: 的 选取对函数 逼近效果的影响，归纳出影响半径的选取办法。最后通过算例验证了选取办法 的正确性。 得到的结论有: 1 e f g m和ml p g方法中的积分计算均可采用背景网格积分方案和局部支 集的积分方案，且在积分精度相当的情况下采用背景网格的积分方案具有较少 的计算工作量。 2 研究发现l a g r a n g 。 乘子法具有较高 精度， 但对测试函 数的影响半径敏感， 而l a g r a n g e 乘子识别法和罚 函 数法精度相当 。 罚函 数 法对测试函 数影响 半径敏 感度较小。 用l a g r a n g e 乘子法和l a g r a n g e 乘子识别法施加边界条件时可能会出 现方程组病态的情况口 3 节点均匀分布时， 移动最小二乘方法中影响半径的选取办法为: 对于线性 基，影响半径r 可取为 1 2 h :对于二次基，可以取为2 .2 h . 西北工业大学硕十学位论文 第二章 无网格方法的函数逼近 无网格方法与有限元方法的主要区别之一就是函数逼近方式的不同。在有 限元方法中，函数逼近主要采用分片多项式函数插值。这种方法需要预先将求 解区域划分网格，前期处理比较繁琐。而无网格方法克服了这个缺点，不需要 划分网格，只需要节点信息。无网格方法的函数逼近方法有很多种。如径向 基 函数插值方法、移动最小二乘方法、近似的近似方法、积分核近似方法和单位 分解方法等。这里主要介绍前三种方法，并对近似的近似方法的有关结论进行 了讨论和证明。 第一节 紧支径向基函数插值 1 . 1散乱数据插值 在许多科学领域中，经常会遇到这样的问题:有一组散乱数据 ( 来源主要 有: ( 1 ) 物理量的测量值; ( 2 ) 实验结果: ( 3 ) 计算结果等) ， 例如在点x ; e r s ( i =1 ，二， n ) 处，我们得到了 数据y i ,我们需要通过这一组散乱分布的数据采 样点 拟合一个光滑的函 数p a x ) ，以 求得任意位置的函数值， 该函数力求把与散 乱点相关的信息光滑的传播于定义域中的所有位置。此问题对众多科学和工程 领域都有重要的实际价值，因为实际中能够测量或产生的数据经常会是稀疏且 不规则分布的。它们出现于各种科学和工程应用中，如地质学，大气学，海洋 学，测绘学和采矿业中常会收集到一些物理量的非均布测量结果:化学，物理 学和工程当中的散乱分布的实验数据;用有限元法解偏微分方程时其输出的非 均匀分布的计算结果等。 散乱数据插值的目 标是重构一个基本的函数来“ 很好” 的满足所给的这组数据，这里所说的 “ 很好”就是指在侮个点x ， 处，都有 p .f ( x i) - y i ( 2 . 1 ) 这种方法就是通常所说的插值方法。解决散乱数据插值的一个普通而又方便的 方法 就是假设以x ) 是一些基函 数b k ( x ) 的 线形 组合， 即 在某线性空间上 插 值: 西北工业大学硕十学位论文 第二章 无网格方法的函数逼近 无网格方法与有限元方法的主要区别之一就是函数逼近方式的不同。在有 限元方法中，函数逼近主要采用分片多项式函数插值。这种方法需要预先将求 解区域划分网格，前期处理比较繁琐。而无网格方法克服了这个缺点，不需要 划分网格，只需要节点信息。无网格方法的函数逼近方法有很多种。如径向 基 函数插值方法、移动最小二乘方法、近似的近似方法、积分核近似方法和单位 分解方法等。这里主要介绍前三种方法，并对近似的近似方法的有关结论进行 了讨论和证明。 第一节 紧支径向基函数插值 1 . 1散乱数据插值 在许多科学领域中，经常会遇到这样的问题:有一组散乱数据 ( 来源主要 有: ( 1 ) 物理量的测量值; ( 2 ) 实验结果: ( 3 ) 计算结果等) ， 例如在点x ; e r s ( i =1 ，二， n ) 处，我们得到了 数据y i ,我们需要通过这一组散乱分布的数据采 样点 拟合一个光滑的函 数p a x ) ，以 求得任意位置的函数值， 该函数力求把与散 乱点相关的信息光滑的传播于定义域中的所有位置。此问题对众多科学和工程 领域都有重要的实际价值，因为实际中能够测量或产生的数据经常会是稀疏且 不规则分布的。它们出现于各种科学和工程应用中，如地质学，大气学，海洋 学，测绘学和采矿业中常会收集到一些物理量的非均布测量结果:化学，物理 学和工程当中的散乱分布的实验数据;用有限元法解偏微分方程时其输出的非 均匀分布的计算结果等。 散乱数据插值的目 标是重构一个基本的函数来“ 很好” 的满足所给的这组数据，这里所说的 “ 很好”就是指在侮个点x ， 处，都有 p .f ( x i) - y i ( 2 . 1 ) 这种方法就是通常所说的插值方法。解决散乱数据插值的一个普通而又方便的 方法 就是假设以x ) 是一些基函 数b k ( x ) 的 线形 组合， 即 在某线性空间上 插 值: 第二章 无网 格方法的函数逼近 p f ( x ) = 艺 c ;b ;( x ) ( 2 . 2 ) 这样原来的插值问题就转化为解方程组: a c=y( 2 . 3 ) 其中a= b , ( x , ) b , ( x , ) b 2 ( x , ) b , ( x z ) b n ( x , ) b n ( x 2 ) c = ( c c 2 , ， c n ) y = ( y i , y 2 1 二 ， y n ) b , ( x . ) b 2 ( x n )一 b n ( x n ) /一又 显然在这样的假设下，原问题存在唯一解当且仅当矩阵a非奇异。 这个问题在一维情形 ( s =1 ) 下很好理解， 常采用的多项式插值用n -1 次 多项式在任意n个不同的点处插值，易知总是存在唯一解。但是对于多维情形 ( s 2 ) ，这个结论就不一定成立了。例如，在二维情形下，当这n个点在单位 圆 : x 2 + y 2 = i 上， 则 任 意 一 个 插 值函 数 加 上 任 意 倍的x 2 + 尹 一 1 仍 然 满 足 插 值 条件，即不能满足唯一性。 为了研究这个问题的方便，下面引进正定函数的概念: 定义2 . 1一个实值连续函数中是r s 上的正定函数是指它是偶函数， 并且对 任 意n个 不同 的 点x 1 , ， x n e r s , c = ( c l , c 2 , ， c n ) , e r n 都 有: 艺 艺cq c j (1) (x ; x 1) ? 0 ( 2 .4 ) 简记 为 : cp e p d s ( p o s it iv e d e f in e ) 。 函 数。 是 严格 正定 的 是指 式 ( 2 .4 ) 中 的 等 号 只 有在c 为零向量才成立。 由严格正定函数的定义可以知道，若小是严格正定的，则矩阵 中 ( x , 一 x , ) 。 ( 小 ( x : 一 x 2 ) 0 ( 中 ( x一 x n ) x : 一 x , ) x : 一 x 2 ) (d ( x 2 一 x n ) 。 ( x n 一 x , ) 中 ( x 、 一 x 2 ) 中 ( x n 一 x n 厂一、 - a 是正定的，当然也是可逆的。 西北工业大学硕十学位论文 1 .2正定函数 由上 面的讨论可知， 若函 数0 是严格正定函 数， 将插值基函数b k ( x ) 取为中 ( x - x k ) ，则必有唯一解。至于如何判断一个函数巾 是否为正定函 数可以利用 b o c h n e : 在1 9 3 2 年12 1 ( s = 1 ) 和1 9 3 3 年 2 6 ( 所 有的: ) 的 两篇 文 章中 提出 的 如 下理论: 首先引进下面的儿个定义: 定 义2 .2 2 7 函 数f e l , ( r ) 的f o u r i e r 变换 定 义 为: : ， ( 。 ) = l f ( x ) 。 一“ ” d x。 。 r r 的逆f o u r i e r 变换 f - f (x ) = 1 。 f ( 0) e 2.*+ x d m x e r 定义2 .3一个有限b o r e l 测度u 的f o u r i e r 变换定义如下: 、 ( 。 ) 一 jh . e -2 ia x d p ( x )。 。 r jf . 定函数与b o r e l 测度的f o u r i e r 变换的 联系可以由 下面的b o c h n e r 定理2 5 ,2 6 揭示出来: 定理2 .4 ( b o c h n e r 定理)一个函数(de c ( r) 是r 上的正定函数当且仅当 它是r上的有限非负b o r e l 测度p 的f o u r i e r 变换，也就是: (d ( x ) 为了使矩阵a正定， 数中正定的条件，为此， 条件: 一 、 ( x ) 一 jx .。 一“ ” d p (y ) x e r 必须使函数a)严格正定，b o c h n e r定理只是给出了函 我们必须扩展 b o c h n e r定理，给出函数中严格正定的 定理2 .5设u 是r s 上的一个有限非负b o r e l 测度，并且它的支集不是一个 勒贝 格零测度集。则f 的f o u r ie r 变换是r g 上的严格正定函数。 下面的推论给出了一个构造严格正定函数的方法: 推论2 .6设函数f e l ,( r s ) 是不