（计算数学专业论文）隐式曲面的外形分析.pdf

摘要 外形分析是从几何模型中提取有用信息的过程，它是计算机辅助几何设 计与制造( c a d c a m ) 系统的基本组成部分。 本文主要研究隐式曲面的外形分析。在文中，首先叙述了外形分析的产 生背景和相关工作的研究状况。由于相关工作大都是对显式和参数曲面开展 的，因此主要综述了参数曲线、曲面的微分几何以及参数曲面的外形分析方 面已有结果。接着重点讨论隐式曲面方面的外形分析，主要是代数曲面的外 形分析。给出了外形分析中测地线、脐点和曲率线的计算方法。在计算方法 中，把参数情况的松弛法推广到隐式曲面的测地线计算中，而且初始值的指 定采用细分方法。对于脐点和曲率线，同样将参数情况的方法推广到隐式情 况上面。数值结果表明，计算方法是有效的，稳定的。 关键词：外形分析，c a d c a m ，隐式曲面，代数曲面，测地线，脐点，曲率 线 a b s t r a c t s h a p ei n t e r r o g a t i o ni st h ep r o c e d u r eo fa b s t r a c t i n gu s e f u li n f o r m a t i o n f r o mg e o m e t r yo b j e c t s i ti so n eo ff u n d a m e n t a lc o m p o n e n t so fc o m p u t e r a i d ed e s i g na n dm a n u f a c t u r e ( c a d c a m ) s y s t e m t h et h e s i sd i s c u s sm a i n l ys h a p ei n t e r r o g a t i o no fi m p l i c i ts u r f a c e s f i r s t w er e v i e wb a c k g r o u n da n dc u r r e n tr e s e a r c ht o p i c so fs h a p ei n t e r r o g a t i o n ， b e c a u s em o s tr e s e a r c h e sh a v eb e e nd o n ef o rp a r a m e t r i cs u r f a c e s ，w es u m m a r i z et h ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo fp a r a m e t r i cc u r v e sa n ds u r f a c e s ，a n dt h e r e s u l t so fs h a p ei n t e r r o g a t i o no fp a r a m e t r i cs u r f a c e sa 8w e l l ，t h e nw ee m p h a s i z eo ns h a p ei n t e r r o g a t i o no fi m p l i c i ts u r f a c e s ，m a i n l yo fa l g e b r as u r f a c e s s o m ea l g o r i t h m sa r ep r o v i d e dt oc a l c u l a t eg e o d e s i cl i n e sa n dt h eu m b i l i ci n c u r v a t u r el i n e a m o n gt h e s ea l g o r i t h m s ，t h er e l a x a t i o na l g o r i t h mo np a r a - m e t r i cs u r f a c e si se x t e n d e dt oi m p l i c i ts u r f a c e sf o rc a l c u l a t i n gg e o d e s i cl i n e s t h ei u i t i a lv a l u e sa r es p e c i f i e dw i t hs u b d i v i s i o nm e t h o d s ，f o rt h eu m b i l i c i nc u r v a t u r el i n e ，t h ea l g o r i t h m sf o rp a r a m e t r i cs u r f a c e sa r ea l s og e n e r a l i z e d t oi m p l i c i ts u r f a c e s n u m e r i c a le x p e r i m e n t si l l u s t r a t et h e s ea l g o r i t h m sa r e e f f e c t i v ea n dr o b u s t k e y w o r d s ：s h a p ei n t e r r o g a t i o n ，c a d c a m ，i m p l i c i ts u r f a c e s ，a l g e b r a i c s u r f a c e s ，g e o d e s i cl i n e s ，u m b i l i c ，c u r v a t u r el i n e s l l 中国科学技术大学学问论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取 得的成果。除已特别加以标住和致谢的地方外，论文中不包含任何他 人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已经在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守次规定。 作者签名：幺i ! 名 2 吲年午月z 7 日 致谢 首先非常感谢陈发来教授和邓建松教授在这几年来对我的关 心与帮助，从他们那里我还得到很多直接的指导也感谢冯玉瑜教 授，他细致耐心的授课指导让我学到了很多知识。感谢实验室的各 位师兄弟们，从他们那里我得到了很多的帮助。还要感谢数学系的 其他老师那和同学给我提供的帮助，让我顺利地在科大度过这三年 多难忘的时光 同时也深深感谢父母和亲人们在这二十几年来给我提供了最 坚实的支持特别是感谢他们在这最困难的半年多时间内对我的坚 定的支持。 第一章绪论 1 1 计算机辅助几何设计的研究现状及发展 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，c a g d ) 是计 算机图形学与计算机辅助设计( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ，c a d ) 的基础。这一 点可以从两个方面理解：一方面，从计算机图形学及应用角度看，c a g d 是 真实感图形生成、动画、虚拟现实中场景建模的基础；另一方面，从c a d 角 度来看，几何设计理论是工业产品造型与设计、计算机辅助加工、计算机辅 助分析等一系列应用的基础。 计算机辅助几何设计的研究内容主要可以分为三部分： 数字建模，即如何构造、计算几何外形； 形状分析，包括曲面的奇性分析、凸性分析、基于有限元的曲线曲面工 程可用性分析等； 形状修正与变形，即在形状分析的基础上修改模型，直至满足设计者的 意图。 自由曲面也称为雕塑曲面，是计算机辅助几何设计的主要研究对象，在 科学和工程领域得到了广泛的应用。自由曲面在具有功能和美观外形要求的 设计中得到广泛引用，尤其是轮船、汽车和飞机的外形设计。一 自由曲面在工业产品设计中的大量运用可以追溯到2 0 世纪7 0 年代。由 于当时制造业的蓬勃发展，期间遇到了大量的自由曲面问题。当时只能采用 多截面视图，特征纬线的方式来近似表达所设计的自由曲面。由于三视图方 法表达的不完整性，经常发生在设计完成后，设计出来的样品与设计者所想 象的有很大的差异，甚至完全不同的情况。设计者对自己设计的曲面形状能 否满足要求也无法保证。为应付日益激烈的市场竞争，c a d c a m 技术在工 业产品开发中被越来越广泛的采用，外观设计在现在产品开发中越来越得到 重视，自由曲面也得到了越来越广泛和深入的运用。 近年来，计算机辅助几何设计的各个领域研究有了新的发展，也面i 艋着 更加困难的问题。首先国际上的知名学者，如学术期刊“c o m p u t e ra i d e d g e o m e t r i cd e s i g n ”编委r i d af a x o u k i ，h e l m u tp o t t m a n n 和“c o m p u t e r - a i d e dd e s i g n ”编委r a l p hm a r t i n 等，开始强调几何计算。他们认为仅有 1 2 0 0 6 焦 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 2 1 1 计算机辅助几何设计的研究现状及发展 几何设计的概念还不足以刻画c a g d 这样一个既有严格数学基础，又有重 要应用背景的学科。而几何设计与计算的概念不仅拓宽了该领域研究的覆盖 面，也为该学科赋予了新的生命力。 几何逼近问题是构造和计算几何外形的重要方法，有较强的应用背景。 例如，c a d 系统中的数据通信就需要用到几何逼近问题。在c a d 系统数 据通信中，人们需要解决由于不同的c a d 系统所允许的曲线、曲面次数不 同，采用的表示方式不同以及所采用的三维几何形体的表示模型不同而引起 的问题，同时要减少c a d 系统之间的数据通信量，其中涉及大量的几何逼 近问题。 另外，网络图形学和计算机辅助加工中的许多问题也可归结为几何逼近 问题。 几何约束求解是参数化c a d 和机械化几何定理证明等领域需要解决的 重要问题。把几何约束求解器应用于c a d 系统，在变量化设计过程中，设 计对象可以看作是一个几何约束系统，由点、直线段、曲线、面和刚体等几 何元素以及作用于这些几何元素之间的各种约束关系构成，通过求解几何约 束可以反映几何元素位置和形状的变化。 复杂曲面的形状编辑是计算机辅助设计的核心问题。实际应用中，需要 对设计好的曲面或实体模型作外形修正，以符合设计要求。对工业晃最受欢 迎的n u r b s 曲面，传统的形状编辑方法功能非常有限。 外形设计中，除传统的参数曲面插值、拟合、逼近方法以外，隐式代 数曲面越来越受到重视。数值方法在计算机辅助几何设计的研究过程中是不 可缺少的。工程上最为常用的n e w t o n - r a p h s o n 迭代法收敛速度快，但迭代 初值和方程组的性质对其影响非常大。因此对特定的方程组迭代初值的选取 对敛散性非常重要。而针对特殊工程应用的数字建模方法也因实际应用的推 动，一直是热门的研究课题。 以上一些问题的提出，既反映了工业界等应用领域的需要，又有力的推 动了辅助几何设计研究的发展。而同样随着辅助几何设计研究的发展，又会 进一步提出不少新的问题。从国内外的研究现状看，几何设计与计算的研究 主要集中在数字建模，即如何构造、计算几何外形方面，而形状分析、形状 修正与变形的研究相对不够，今后几年应该会受到更多的重视。针对专门应 用的几何造型技术也会因为工业界的推动而不断取得进展，比如很受动画等 2 0 0 6 盎 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 3 1 2 曲线，曲面的表示形式 娱乐业欢迎的细分曲面造型方法与有限元方法结合以及更加自然的变形新 方法等。另外，尽管几何造型系统已在企业界得到广泛应用，但系统的稳定 性仍是致命问题。 1 2曲线、曲面的表示形式 1 2 1曲线的表示 一条平面曲线可以表示为如下参数形式： z = z ( t ) ，y = 管( t ) ，( 1 1 ) 其中曲线上点( z ，y ) 的坐标表示为参数t 的函数，t 位于一个闭区域t l t t 2 a 另外一种表示方法是将曲线上的蕴涵在一个方程中： f ( x ，y ) = 0 ( 1 2 ) 这就是平面曲线的隐式方程。显式表示可以看作参数和隐式表示的一种特 例。从而有显式表示：y = f ( x ) 或者z = g ( 可) 。 同样对于空间曲线来说，其参数表示形式为： z = z ( ) ，y = ”( t ) ，t l t t 2 ( 1 3 ) 空间隐式曲线可以表示成两个隐式曲面的交线： ，( 。，y ，z ) = 0 n g ( x ，y ，z ) = 0 ，( 1 4 ) 或者一个参数曲面和隐式曲面的交线： r = “仳，口) n ，( z ，y ，z ) = 0 ，( 1 5 ) 或者两个参数曲面的交线： r = p ( 正t ) nr = 口( 扎，。) ( 1 6 ) 空间曲线显式表示的形式类似于平面曲线。 2 0 0 6 盎 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 4 1 3 外形分析的定义和应用 1 2 2 曲面的表示 对曲面来说，在参数表示中，曲面上点的坐标( $ ，y ，o ) 表示为两个参数 u 和口的函数，其中t , 和 的定义域是一个闭的矩形区域：z = x ( u ，口) ，y = 暑，( ) ，名= z ( u ，钉) ，u l 牡忱， u 1 v 忱。函数z = z ( 钍，口) ，y = y ( u ，钉) 和z = 三( u ，口) 连续并且具有充分光滑的连续阶数的导数。采用矢量方法，参 数曲面可以表示为：r = “u ，口) 。隐式曲面定义为点的轨迹，这些点的坐标 满足如下方程：，( z ，y ，z ) = 0 。如果一个变量可以表示为其它两个变量的函 数，比如变量z 表示为z 和y 的函数的形式，那我们可以得到曲面的显式 表示形式：z = ，( z ，y ) 。 1 3外形分析的定义和应用 外形分析是从几何模型中提取有用信息的过程，它是计算机辅助几何设 计与制造( c a d c a m ) 系统的基本组成部分。主要包括非线性多项式的求 解、求交问题、交线的微分几何、距离函数、曲线和曲面的外形分析、脐点 和曲率线、测地线、等距线和等距面等内容。 在2 0 世纪6 0 年代，c a d c a m 的创始人之一m s a b i n 首先提出了 这个概念，i b r a i d 和a g e i s o w 则采用了曲面检测( s u r f a c ei n t e r r o g a t i o n ) 这个术语，而该领域的另创始人r ，e b a r n h i h 采用了一个等价的术语：几 何处理f g e o m e t r i cp r o c e s s i n g ) 。 当技术人员采用曲面设计几何模型时，他们需要外形分析工具来确定设 计的物体是否符合外形和功能的要求。例如，基于流体动力学外形的螺旋桨 叶片在船舶工业中有着重要的应用，而基于空气动力学外形的涡轮叶片决定 了航空发动机的性能。曲线曲面的外形分析也变的越来越重要。 1 4 本文的成果和组织结构 本文主要对隐式曲面尤其是代数曲面进行各种外形分析，主要包括测地 线的计算、脐点和曲率线的研究两方面的内容。 后续各章是如下组织的：第二章主要综停外形分析方面已有的成果，主 要是参数曲面的外形分析。其中第一节介绍了曲线的微分几何知识，第二节 2 0 0 6 生 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 5 14 本文的成果和组织结构 介绍了曲面的微分几何知识。第三节介绍了曲线、曲面上的外形分析，包括 了测地线的计算、脐点和曲率线的研究等内容。 第三章介绍了隐式曲线、曲面的理论和应用，其中第一节分别介绍了隐 式曲线、曲面的理论，第二节介绍了隐式曲面的的主要应用。 第四章给出了隐式曲面上测地线的计算方法。主要是将对于参数曲面的 松弛方法推广到隐式曲面上来。首先在第一节推导了测地线方程，然后在第 二节给出了数值求解的算法，以及不同的初值生成方法。在测地线的计算中， 给定隐式曲面上的两个点，求出两点之间的测地线。测地线为一个常微分方 程组的解。在求解过程中，需要把常微分方程组转化成非线性方程组，进而 用常用数值方法求解该非线性方程组。一般采用n e w t o n 迭代求解。n e w t o n 迭代对初值要求比较高，我们进而提出了一种基于细分的初值生成办法。在 第三节中给出了多个算例以及误差分析表。 第五章给出了隐式曲面上脐点和曲率线的分析。第一节给出了脐点的定 义和脐点的类型。脐点是由一个有理多项式的方程组决定的，通过将隐式曲 面网格化可以近似地求解该方程组。对于脐点类型的确定，利用隐函数定理， 将其先转化成显式表示，再利用链式法则求导得到分析问题所需要的各高阶 导数，最后通过一个三次方程的根的不同来决定脐点类型。在第二节中对于 隐式曲面上的曲率线的形状进行了分析，主要是通过坐标变换将原始坐标系 变换到以脐点为原点的坐标系。这样可以方便利用显式和参数已有的结果。 计算出一个穿过脐点的角度后，还要通过坐标旋转和平移变换成原始坐标系 的穿越角度。然后第三节给出数值方法求解微分方程组可以得到非脐点处的 曲率线的形状，这里采用的是e u l e r 方法。最后给出了几个有脐点隐式曲面 的脐点位置的例子和图示以及非脐点处的曲率线的例子和图示。 第六章是总结。 第二章参数曲线、曲面的外形分析 2 1 曲线的微分几何 微分几何学以光滑曲线( 曲面) 作为研究对象，所以整个微分几何学是 由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一 般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲面在 一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每 一点的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的 距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最 短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论 怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质 等。另外，讨论曲面上曲率线的判别与计算也是微分几何的重要内容。 这一节先介绍有关曲线的微分几何，曲面的相关内容在后面。由于之后 所有的曲线表示形式都为弧长参数形式，所以有必要考虑曲线在弧长参数下 的形态。 不妨只考虑平面正则曲线： r 【= 【x ( t ) ，( ) ，t ( o ，6 ) ( 2 1 ) 对于空间正则曲线，情况类似。对t 求导，就有： m = 筹= ( z 7 ( “( t ) ) ( 2 2 ) 所以介于点t o ) 和r ( t ) 之间的曲线段的弧长可以通过如下公式得到： 如) = d s - r 佩t = f t v 2 2 ( t ) + y 2 ( t ) + 2 2 ( t ) d t ( 2 3 ) 向量窑称为在某点的切向量，它有简单的几何解释：向量r ( t + v t ) 一“t ) 的指向是从r ( t ) 到一t + v t ) 的向量，如果将其除以v t ，并计算当v t _ 0 时的极限，那么该极限趋近于一个具有有限模的向量f ( t ) ，即切向量。切向 量的模为： i = 等 ( 2 4 ) 8 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 7 第二章参数曲线、曲面的外形分析 2 1 曲线的微分几何 所以，单位切向量为： t = 嵩= 差= 塞一 协s ， 如果，( s ) 是弧长参数化曲线，那么，( s ) 是单位向量，因此一一= 1 。对其 两边微分可得： 一一= 1 ( 2 6 ) 这表明如果一( s ) 是非零向量，那么它垂直于单位切向量。这个结论也可以 根据二阶导数的定义得到： 确= l i r a 。垫瓮# 盟 ( 2 ，) 单位向量： n = 离= 离 皿s ， 具有和f 0 ) 一致的方向和符号，称为弧长s 处的单位主法向。由单位切向 量( s ) 和法向量n ( s ) 决定的平面称为在弧长s 处的密切平面。它也可以定 义为：当三个相邻的点趋近于其中某一点时，三点所决定的极限平面称为该 点的密切平面。且有： 总= = 帆s ) | ( 2 9 ) k 称为曲率，它的倒数p 称为在弧长s 处的曲率半径。显然有： ，= f = m 嚏 f 2 1 0 ) 向量知= 一= f 称为曲率向量，它表示切向量沿曲线的变化率。当曲率圪 定义为正值时，曲率向量的符号和一( s ) 的符号一致。 任意速度曲线( 非弧长参数化) 的曲率可以按照如下公式计算。首先根 据链式法则计算庐和f ： ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 咖面 t + 2 眦k l i 如瓦 t 2 饥以磊 = i l 塑如刎 塑出刍 i = r _ r 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文8 第二章参数曲线、曲面的外形分析 2 1 曲线的微分几何 其中口= 塞是参数速度。然后计算庐和庐的向量积得到： 庐x 声= 黜3 # ，1 ( 2 1 3 ) 对于平面曲线，通过规定法向量的方向，使得( 南住，e z ) 符合右手法则的方 式，可以定义曲率尤的符号。曲线上曲率符号改变的点称为拐点。 由此有： 圪= 譬竽 ( 2 1 4 ) 对于空间曲线，有： k = 下i + r e l ， ( 2 1 5 ) 由于切向量和法向量互相垂直并且位于密切平面内。下面根据右手法则来定 义( t ，f l ，b ) 中的副法向量b ，即： b = t n ，t = ，善xb，n = bx t ( 2 1 6 ) 法向量和副法向量定义的平面称为法平面，副法向量和切向量定义的平面称 为从切面。在非零曲率处，任意速度蓝线的副法向量有： 6 = 旦l e 旦e l - ( 2 1 7 ) 副法向量是垂直于密切平面的矢量，它的变化率可以表示为： 6 ，= 丢( t 呐= 石d t xn + t x 石d n = t 。 ( 2 1 8 ) 由于n 是单位矢量n n = 1 ，所以有n d = 0 ，d 垂直于从切平面( b ，功， 所以一可以表示为b 和t 的线性组合： 因此有： 0 = “t + 丁6 ( 2 1 9 ) 6 ，= t ( p t + 7 - 6 ) = r t xb = 一r b xt = 一下n ( 2 2 0 ) 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 9 第二章参数曲线，曲面的外形分析22 曲面的微分几何 删= 一芸( 一芸) 。= - - ，乏- 7 妄) = 锑坤m ， 其中公式( 一一，) 表示三重数量积。 关于三重数量积( o 矗c ) 的三重数量积在数值上等于以向量d 山，c 为 c n 。c ，= 耋妻蔓 = j 圣圣圣 = c 口a ，c = 口c 6 x 句c z 2 2 ) ( n6c ) 5f 口v 勺l5 f k 以i 2 ( 口6 ) c = 口( 6xc ) ( 2 i 以乞if 勺j 一两景 ( 2 2 4 ) 一耳蔫柄 ( 2 。2 4 ) ) = ( 三( 0 c z 筋， 2 2曲面的微分几何 现在再介绍一些曲面的微分几何知识。考虑参数曲面r = r ( ) 的参 数空间中的一条曲线u = 让( t ) ，t ，= u ( t ) ，则r = ，( ) = f ( t ) ，u ( t ) ) 为参数 2 0 0 6 正 第二章 中国科学技术大学硕士学位论文 1 0 参数曲线、曲面的外形分析2 2 曲面的微分几何 曲面r = ，( 让，u ) 上一条参数曲线，曲面上曲线的切向量为； 争( t ) = r 。吐+ f ，舌，( 2 ，2 6 ) 其中下标u 和口表示分别对于和 求偏导。在t ( 坳，) 处，以p ，为 参数的切平面方程为： t p ( p ，功= r ( 邯，饰) + p n ( 唧，) + 王，n ( 坳，铷) ( 2 2 7 ) 单位法向量为： 一罱与 ( 2 z s ) 如果对于参数曲面上的点p ，如果在该点处有r 。n 0 ，则该点p 为正 则点，如果点p 不是正则点，则它为奇异点。 考虑参数曲面r = r ( 珏，掣) 上的曲线= 让( t ) ，口= 口( ) ，可以得到： 如f 塑d td t | _ j r u 瓦d u “珈 f 2 。9 ) = 、( r 。吐+ b o ) ( r 6 + r v i ) d t 定义其第基本齐式( f i r s tf u n d a m e n t a lf o r m ) 为： j = d s 2 = d f d r = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ， ( 2 3 0 ) 其中e = 。r 。，f = ，。t 。，g = r 。蜀乃g 称为第一基本齐式系数， 它们在刻画曲面的许多内在性质时具有重要意义。 为了量化曲面s 的曲率，可以考虑s 上通过点p 的一条曲线c ，曲线 g 在点p 处的单位切向量和单位法向量之间关系为： 庇：z d t ：圪n ：+ 岛， ( 2 3 1 ) s 。 其中为法曲率向量，为测地曲率向量，它们分别为曲率向量麾在曲面 法向的投影以及在曲面的切平面内与曲线切向量t 垂直方向的投影。因此法 曲率向量可以表示为： k = k 。，( 2 3 2 ) 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文1 1 第二章参数曲线、曲面的外形分析 2 2 曲面的微分几何 其中，c 。称为曲面在点p 处沿切向t 的法曲率，即为曲率矢量知在曲面上 点p 处法向上投影的大小，其符号由曲面在点p 处法向方向决定。 对于t = 0 沿曲线对弧长s 微分可得： 塞+ t 芸一o ( 2 3 3 ) a s8 、 因此 2 吃d t 怎一l 蓑d ui2 一m 窘d u + d 薏v 肋。 。剧， d t d 2 + 肋2 、1 ， 其中： 2 一而2 e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 l = 一九眠， m = 一j 1 ( 甄+ m ) = 一亿矾= 一眠 n = 一n 眠 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 由于气和扎垂直于，所以氏n = 0 和= 0 ，因此可以得到 厶m 的另种表达式： l = im = ，n = n 。v ( 2 3 8 ) 同样可以定义其第二基本齐式( s e c o n df u n d a m e n t a lf o r m ) 为： l i = l d u 2 + 2 m d u d v + n d v 2 厶m 和称为第二基本齐式的系数。所以法曲率可以写成： i il 4 - 2 m a + n 缮 ，c f l 。了2e + 2 f x + g 2 ( 2 3 9 ) f 2 4 0 ) 其中a = 塞为曲线c 在点p 处的切线方向a 因此由该公式知道，曲面上 给定点p 处的法曲率只依赖于切向a 。 法曲率的极值也就是主曲率。通过计算，的极值必须同时满足下面 两个方程： ( 五一习砒十( m 一刁d v = 0 ( m 一刃缸+ ( 一尤。g ) 咖= 0 ( 2 ，4 1 ) ( 2 ，4 2 ) 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文1 2 第二章参数曲线、曲面的外形分析 2 2 曲面的微分几何 对于上面关于d ，幽的齐次线性方程组，仅当如下系数矩阵为零时，有非 零解。 僻l - g 。e m一-a,1fn 和 ( 2 4 。) i m 片n一，锄g l 、1 将其展开得： ( e g 一严) k ：一( e + g l 一2 f m ) a 。+ ( l n m 2 ) = 0 ( 2 4 4 ) 则上述关于圪。的二次方程的判别式d 为： 。= a ( 竽) c 肼一f l ) 2 + ( e n - g l - - - f f ( e m 一儿，) 2 坤局， 所以当判别式大于或等于0 时，关于尤。的z - 次方程总是有实根。当且仅当 肼4 一f l = 0 或e n g = 0 ，或者存在常数k 使得： l = k e , m = k f , n = k g ( 2 4 6 ) 成立时，判别式为零。此时该点为脐点( u m b i l i c ) 。在脐点处，沿各个方向的 法曲率是相同的。若记： = l n r - 雨m 2 e g ， ( 2 4 7 ) 一7 r ， 日= 等2e并g ( 2 a s ) (一严1 r 7 则关于的二次方程可以简化为： k 2 2 h g u + k = 0 ， ( 2 4 9 ) 其中数值k 和日分别称为高斯曲率( g a u s s i a ac u r v a t u r e ) 和平均曲率 ( m e a nc u r v a t u r e ) 。所以有： 。= 日+ 铲一k ( 2 5 0 ) 讥= 一 铲一k ( 2 5 1 ) 其中尤。是最大主曲率，。是最小主瞳率。在切平面内，使得取最大 和最小值的方向称为主方向。则对应的主方向为： a = 筹， ( 2 5 2 ) 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 3 第二章参数曲线、曲面的外形分析 2 3 外形分析 其中片。分别用k 。或尤。来代替以对应最大值或最小值的方向。当判别 式为零或者铲= k 时，为重根，且其值等于日，对应的曲面上的点称为 脐点。 显然高斯曲率和平均曲率分别为两个主曲率的乘积和平均： = ，c 眦k ，谢“， 日= 半 ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) 以上定义均是在参数曲面的前提下，若曲面表示为显式形式z = h ( x ，y ) ，要 求其高斯曲率和平均曲率，则由前所述，曲面也可以表示成参数形式r = ( “，移， ( u ，u ) ) ? ，其中趾= z ，”= y 。要了解其基本性状，也只要求出相应的 e 只g ，厶坛就可以了。其第一，第二基本齐式的系数为： e = 1 + 砖，f = ，k ，g = 1 + 嘭， ( 2 5 5 ) 三= 万疆h x x 霜，肘= 万藏h x y 丽，= 志( 。邡) 所以 = 丽l n - m e = 黼， ( 2 5 7 ) 日= 1 e n + 瓦g l - r 2 f m = 型避篇箦笋( 2 s s )爿2 砸西二万一2 可再碡习帮矿一 弘由驯 2 3 外形分析 2 3 1测地线的相关研究背景 定义2 3 1 测地线是测地曲率为零的曲线。 换句话说，曲面上测地线的密切平面包含曲面的法向。在一张曲面s 上任意 取两点p ，q 在s 上由点p 到达点q 的路径有无数条，但是在局部范围 内最短的路径只有一条，叫做尸到q 的测地线5 9 1 。 在复合金属材料机械加工和计算机仿真设计中，测地线扮演十分重要的 角色。在线圈缠绕，心轴表面的光纤铺设以及高等几何中曲面曲线的等距问 题中，测地线都有着非常广泛的应用。曲面上的一条曲线，如果曲线上的每 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 4 第二章参数曲线、曲面的外形分析2 3 外形分析 一处的主法向落在它的密切平面内，我们称它是测地线。曲线上任意一点处 的f r e n e t - s e r r e 标架包含三个互相正交向量。每点测地曲率为零的曲线也被 定义为测地线。由曲面上任意给定的点，沿着与曲面相切指定的方向，可唯 一确定一条测地线。测地线其它的特性参见d oc a r m o 【1 1 】在1 9 7 6 年发表 的相关文献。 曲面上的测地线与平面上的直线有许多非常相似的性质，因此测地线是 曲面造型研究中的一个基本对象，也是曲面造型构造中一类非常重要的曲 线。一直以来，自由曲面上最短距离的计算是辅助几何设计中的一个重要问 题。测地线的研究历史最早可以追溯到j o h a n nb e r n o u l l i 时代。e u l e r 在 1 7 3 2 年首先给出了隐式曲面上的测地线方程。b 1 i 鹋f 6 1 得到了圆环面上测 地线的解析公式。s n e y d 和p e s k i n 5 7 】基于二阶r u u g e - k u t t a 方法的初值 问题，给出了广义柱面上的测地路径计算方法。k i m m e l 等人【3 1 】通过从曲 面上一点或者一个区域开始计算等测地线的扩散，给出了一种寻找曲面上 最短路径的方法，该算法是在矩形网格上采用了有限离散逼近的方法来实 现的。m a e k a w a 等人f 3 7 ，4 8 】通过将控制微分方程在网格点上离散逼近的 方法计算测地线，这样就将问题转化为非线性方程组求解。该线性方程组可 以通过采用二次收敛的n e w t o n 迭代法进行求解。1 9 8 9 年，p a t r i k a l a k i s 和 b a r d i s 4 2 1 提出参数曲面测地线的数字逼近形式，通过对曲面上曲线的测地 法向的初值问题进行积分，得到了有理b 样条曲面上的测地等距线。形式 非常精确和简洁，但是非常耗时。 1 9 9 7 年，t u c k e r 6 1 1 提出了网格曲面上离散测地线算法。平面片上的测 地线是直线，当测地线跨越面片之间时具有保角性质。但是t u c k e r 并没有给 出当测地线通过网格顶点时的处理办法。1 9 9 8 年，p o l t h i e r 和s c h m i e sf 4 4 1 引进了离散测地线曲率这一个概念，定义多面体上的最短路径，多面体上的 离散测地线比局部最短路径更为直观。他们指出，多面体上的最短路径，其 上任意一点左右弯曲角度相等。从而完善了t u c k e r 关于测地线在网格顶点 处的定义。但这种方法没有考虑曲面的法向对测地线计算的影响。由于平面 上的测地线就是直线这一基本原理的启发，2 0 0 0 年，h o t z 和h a g e nf 3 0 1 提 出任意曲面上的测地线方法。这个方法计算量大大减少，在可视化测地网格 中被广泛应用。 2 0 0 3 年，k u m a r 等f 3 2 1 详细地比较了曲面上测地线以往研究工作的优 劣性，并指出研究所遵循的原则。 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 5 第二章参数曲线、曲面的外形分析 2 3 外形分析 目前已有的参考文献中，关于测地线的算法，其相关方法大致分为以下 3 类： 1 参数曲面测地线的直接计算和网格面最短路径的离散逼近之间的比较； 2 利用网格面的法向，进一步完善网格面上测地线计算； 3 提供n u r b s 曲面上测地线更为有效的算法。 可见目前关于最短路径的算法的主要的工作都是关于参数曲面和网格曲面 上的最短路径算法，隐式曲面的很少。本文也正是受到m a e k a w a 等人的相 关研究的启示，将其推广到隐式曲面上面。 2 3 2 参数曲面上测地线的外形分析 2 3 2 1参数曲面上测地线的相关知识和结论 首先给出参数曲面上测地线相关知识和结论。 假设给出参数曲面r = 一，锄) 是正则的和非周期的n u r b s 曲面片， w o l t e r 【6 5 】证明了正则n u r b s 曲面上两点之间，总是存在一条最短路径。如 果曲面定义于矩形区域或者更为一般的局部凸的平面区域上，那么曲面上连 接两点的最短路径具有相对于弧长参数的连续切向。在弱假设条件下，w o l t e r 【6 5 】证明了如果最短路径( 不包括两个端点) 不与曲面边界相交，那么它是 满足于定义2 ，3 1 的一条测地线。因此一般情况下假设除端点外最短路径与 曲面边界不相交。 假设c 是曲面上过点p 的弧长参数化的正则曲线： “s ) = 一( s ) ，”( s ) ) ( 2 5 9 ) 记t 为g 在点p 处的单位切向量，1 , 为c 在点p 处的单位法向量，为 曲面s 在点p 处的单位法向量，缸是位于曲面的切平面内且垂直于t 的单 位向量，其定义为i , = t 。曲线“8 ) 的曲率向量托在t 方向上的分量 就是测地曲率，其定义如下： q , g = 曲“。 ( 2 6 0 ) 则标量函数 b = k u ， ( 2 6 1 ) 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文1 6 第二章参数曲线，曲面的外形分析 2 3 外形分析 称为“征息，处明制地凹翠，或看。e 口j 等钐r 的疋义为： ：忑d t ( t ) ( 2 6 2 ) 2 五q 【2 6 2 ) 对公式( 2 5 9 ) 利用链式法则，可以得到曲线g 关于弧长参数的单位切向量 如下： t = 删d s = r u 警+ n 掌( z 。6 3 ) d sd 占 、 因此： 石d t 一( 、办d u 、2 一。d 出u 幽d v 饥( 塞) 2 + 象+ 象仁e a ， 将公式( 2 6 3 ) 和( 2 6 4 ) 代入公式( 2 6 2 ) 可得： = c 气x 气。，( 窘) 3 + c 。气+ 气。，( 害) 2 万d v + ( r 。xr v v + 2 r vx r u v ，害( 窘) 2 + c ，( 舅) 3 ，c z 瞄， + ( r 。xr v ) n ( d 如u d d 2 v a d s e u 2 如d v ， ，通过观察面的式子可以发现( 磐) 3 ，( 等) 2 ( 窑) ，( 等) ( 害) 2 ，( 窑) 3 ， ( 尝丽d 2 v 一护d 2 u 石d v ) 的系数都是第一基本齐式的系数e ，f ，g 以及它们的导数 风，r ，g 。，至0 日，g 。的函数。值得注意的是，法曲率依赖于第一和 第二基本齐式，而测地曲率仅依赖于第一基本齐式。 采用如下定义的c h r i s t o f f e l 记号巧k ( i ，丘k = 1 ，2 ) 5 8 】 r；。=堡2署(eg ，r 2 。= “ 一p 1 7 。1 r 1 2 = 罴等， 督 吃= 鼍群 r 2 z = 2 e f u - e e , + 。f e u 2 ( e g 一严1 e g 。一f 2 ( e g 一产1 e g , - 2 f f w + f g u 2 ( e g 一严、 ( 2 6 6 ) 铲誉d u 芬d s 茹3 絮篓d 。ud v 嚣明( 石) ( 坐2 吨( 窘) + 塞象一万石 何刁q 内 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 7 第二章参数曲线、曲面的外形分析 2 3 外形分析 d u 俨u d 2 让d v d s 面d s 2d s 另一方面，根据曲面的法向和测地线的法向士铭一致的原理，可以推出 微分方程： n 氏= 0 ，f l 50 由于尤n = 砉，所以方程( 2 6 9 ) 可以改写为： 塞= o ，塞= o 将公式( 2 6 4 ) 代入方程( 2 7 0 ) 可得： c 气，( 塞) c ，( 考) 2 倒 十f 象十g 象 应用公式( 2 7 2 ) ，在( 2 7 1 ) 中消去i d 2 v 项， 器项，并结合c h r i s t o f f e l 记号可得 5 8 】： ( 2 6 9 ) ( 2 ，7 0 ) ( 2 7 1 ) ) f ，塑、2 。d s ( 2 7 2 ) = 0 应用公式( 2 7 1 ) 在( 2 7 2 ) 中消去 方 得可 、j 卵 式公据根样 这叽 | j b 足满定 一线地测的t面曲史定 据：根程 够 笏 d v ， n 塑幽 卯 砒一如 砒磊 一 皤 囱 、 如万 ，一 气 + 吼 咖石 = 抛一如粕一铲 叩 丝舻 2 f + + 凡 + 如万也忑 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 8 第二章参数曲线、曲面的外形分析2 3 外形分析 程( 2 6 8 ) 。这两个二阶微分方程可以重写为四个一阶微分方程组【3 5 】： g u 石2 易 d v d s 2 q ， 塞= 一r i l p 2 2 f ：2 p q r 弛 塞= 一r ；1 p 2 2 f 2 p q r 獬 ( 2 7 5 ) ( 2 7 6 ) ( 2 7 7 ) ( 2 7 8 ) 其中巧 ( i ，j ，k = 1 ，2 ) 为c h r i s t o f f e l 记号a 上述结果还可以通过交分微积分 原理得到【2 6 。这里目标函数是最小化： ，：f d s = f 仁i 秀丽“：f 似 砒，c 。加， 约束条件为： v ( a ) = v a ， v ( b ) = 口b ，( 2 8 0 ) 其中： m ，咖) = v i e + 2 f 心+ g # 2 ，。= 窆 ( 2 8 1 ) ”a 和御暑是给定常数。根据变分微积分的知识，如下e u l e r 方程的解是积分 ( 2 7 9 ) 的极值【2 6 】 筹一瓦d 瓦o f = o ( 2 8 2 ) a ud u a i 一、。7 将公式( 2 8 1 ) 代如上述e u l e r 方程( 2 8 2 ) ，就可以得到测地线的微分方程 了。 2 3 2 2 参数曲面上测地线的求解 上述四个一阶常微分方程( 2 7 5 ) 到( 2 7 8 ) 是作为初值问题( i