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大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文依据2 0 0 3 年8 月到2 0 0 4 年4 月在北极布放的卫星跟踪定位极区水文气象自动 监测浮标( 四套) 测得的大气气温、雪、冰、海水在不同位置的温度等数据,以及北极海 冰的热力动力学性质,建立了多区域耦合抛物型分布参数系统系统,论述了此系统解的 存在唯一性及关于参数的连续依赖型:另外建立了雪层热力学参数的辨识模型;同时给 出 y - - 维温度场模型以及二维流速的计算方法。此项研究,不仅可推动海冰热力模式抛 物型分布参数系统、最优控制理论的研究,还可以为进一步研究北极海冰的热力学行为 及其数值模拟提供理论指导。因此本项研究具有极其重要的理论意义和实际价值。 第一章论述了分布参数系统参数辨识与最优控制的发展概况及研究意义,同时介绍 了一些在海冰研究领域的国内外学者所取得的成果。第二章主要介绍了$ o b o l e v 空间和 b a n a c h 空问微分学的基础知识,还介绍了抛物型分布参数系统参数辨识与最优控制的 基本理论。在第三章和第四章中,介绍了本文的主要工作,可概括如下: ( 1 ) 依据实测温度,研究北极雪,冰以及冰下海水温度场耦合动力系统弱解的存在 唯一性,解关于雪层的熟力学参数( 比热,密度,导热系数) 的连续依赖性,建立关于 雪层参数的辨识模型,论述其可辨识性。根据上述性质构造优化算法,实现由浮冰观测 数据确定雪层热力学参数的目的从而得到以实测温度为依据的北极雪、冰、海水各层 温度在时间域与空间域的分布具体数值结果。 ( 2 ) 建立了关于北极海冰温度场的三维模型,考虑了水平方向的二维流速问题,给出 了确定开边界条件的方法。对于所要讨论的空间区域给出了网格的节点划分,从而给出 了流速的计算方法。对于各节点的温度,依半隐式差分格式给出了详细的计算方法。 关键词:多区域耦台系统;参数辨识;北极冰;分布参数 北极海冰雪的分布参数系统辨识与潮流的计算 i d e n t i f i c a t i o no f t h e r m o d y n a m i cp a r a m e t e r so f a r c t i cs n o wi nt h e d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e ma n dt h ec a l c u l a t i o no f v e l o c i t yo f t i d a l m o r i o n a b s t r a c t t m s p a p e rs t u d i e st h em u l t i - d o m a i nc o u p l e dd i s m q 儿n e dp a r a m e m rs y s t e mo f 枉釉d e r a n l r e 右e l d a n de s t a b l i s h e s i d e n t i f i c a t i o n m o d e lo f t h e t h e r m o d y n a m i c d 鼬m e t e r so f s n o w b a s e d o n c h a r a c t e r i s t i c so f t e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o ni nt h ea r c t i cs n o w , 鼢i c e w a t e ra n dt h ea c q u i r e d d a t ai nt h em e r l e a c c o r d i n gt ot h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r y ,t h ee x i s t e n c ea n dt h ec o n t i n u o u s d e p o n d a b i l i t yo ft h e w e a ks o l u t i o ni nt e r m so ft h e p a r a m e t e r sh a v eb e md i s c u s s e d m c e n w h i l et h em o d e lo f t h r - d i m e m i o m l “m 蛳e n 由ef i e l do fa r o i c $ c ei c ei se s t a b l i s h e d , a n dt h et w o - d i m e o s i o u e lv e i n e i t yo ft i d a lm o f i 0 0 ai nt h eh o r i z o n t a ld i r e e f t o ni sc o n s i d e r e d t h i sw o r k 啪n o to n l ya c e e l e r a t et h er e s e a r c hp a r a b o l i cd i s t r i b t n e d s y s t e ms 髓i c e t h e r m o d y n a m i cm o d e l ,b u ta l s op r o v i d eb a s i ct h e o r e t i c a lr e f e r e n c ef o rn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h e r e f o r e ,t h i s w o r k h a s i m p o r t a n t t h e o r e t i c a l m e a n i n ga n d p r a c t i c a l v a l u e c h a p t e r1r e v i e w st h er e s e a r c ho ft h ep a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o na n do l 幽l a le o n t r o lo f d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m , a n di n c l u d e sm a n ya c h i e v e m e n t sb ys c h o l a r sh o m ea n da b r o a d c h a p t e r2m a i n l yd i s e u s s e $ t h eb a s l ea c k n o w l e d g eo fs a b o l e vs p a c ea mb a n a c hs p a c e d i f f e r o n t i a l , a n da l s od i 默m 踞器b a s i c t h e o r y o f p a r a m e t e r i d e m i f i c e f i o n a n do 毗劬l e o n l i o o f p a r a b o l i cd i s t r i b u t e dp a r a s a e t e rs y s t e m c h a p t e r3a n d4p r e s c l rt h em a i nr e s u l t so ft h i s d 妇蛐虹o mw h i c hc 柚b es u u h a d z c da sf o i l o w s : ( 1 ) a c c o r d i n gt o t h e o g a m a lc o n t r o lt h e o r y ,t h e e x i s t e n c ea n dt h ec o n t i n u o m d e p o n d a b i l i t yo ft h ew e a ks o l u t i o ni n t e r m so ft h ep a r a m e t e r sh a v eb e e nd i s c u s s e d f a s t h e a - m o r e , t h eo p t i m a la l g o r i t h mf o rt h ei d e n t i f i c a t i o nm o d e li se s t a b l i s h e d b yu s i n gt h i s o p a m 面a l g o r i t h m , t h eo p l i i l l a lp a f a m c t e _ so f a r c t i cg “a r ee s t a b l i s h e da n dt h en u m e r i c a l r e s u l mo f t e m p e r a t o r ed i s t r i b u t i o no f a r c t i c 嗣m w s e ai c ea n dr o a t e ra r ed e m o n s t r a t e d ( 2 ) 仉m o d e lo f t h r e e - d i m e u s i o n a lt e m p e r a t u r ef i e i do f a r c f i cs e aj c ei se s t a b l i s h e d , a a d t h et w o - d l r u e m s o m lv e l o c i t yo ft i d a lm o t i o ni n t h eh o r i z o m a ld i r e c t i o ni s e o m i d e r e d , m e a n w h i l eaw a yt od m m l i l l ct h eb o u n d a r yi sf o u n d 1 1 g a dc o m p u t i n gm e t h o do ft h e s p a t i a lr e g i o ni sg i v e a , t h ev e l o c i t yo ft i d a lm o t i o ni se s t a b l i s h e d mn u m e r i c a ls o l u t i o n o f t h et e m p o r a t l a 口i sc a l c u l a t e db yt h es e m i i m p l i c i tf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e 1 ( 呵w o r d l :t h em u l t i - d o m a i nc o u p l e ds y s t e m ;p a r a m e t e ri d o n t i f i e a t i o n :a r o t i ci c e d i s t r i b u t e dp a r a m e t e r 工i 一 独创性说明 作者郑重声明:本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外, 论文申不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名:5 生蛊叠日期:塑2 :, 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”,同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名:劢二盘叠 新签名:丝甄 丝耳年五月血 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 分布参数系统参数辨识与最优控制问题的概述 1 1 1 分布参数系统与系统参数辨识 分布参数系统是用偏微分方程,或偏微分积分方程,或偏微分方程与常微分方程 藕合的方程组描述的系统。由于分布参数系统的状态空间是一个无限维空间,系统在每 一瞬时的状态都是一个函数。因而分布参数系统比集中参数系统的应用更广,如温度场 的变化、弹性振动、生物种群演化等都采用分布参数系统。 分布参数系统参数辨识是现代控制理论中一门应用比较广泛的学科,它所研究的中 心问题是;如何根据受控系统的动态特性,去选择控制规律,才能使得系统按照一定的 技术要求进行运转,并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下选到最 优值。分布参数系统中的未知参数可以是常量或时间、空间变量的函数。分布参数系统 的参数辨识问题实质上就是分布参数系统的最优控制问题。 近年来,分布参数控制系统理论已成为控制理论中最活跃的领域之一,并取得不少 成果。这些成果在工程系统( 如热工程,化工工程,航天工程及机器人工程等) ,生物与 环境系统,经济系统和社会系统( 如人口系统) 等方面都具有重要意义。而对于上述各系 统由于其复杂性往往很难从基本的物理定律出发直接推导出系统的数学模型,人们 只能利用可以测量的系统输入和输出数据,来构造系统内结构及参数的估计,并研究估 计的可靠性和精度等问题。系统辨识可起到对所建立的系统机理模型进一步完善的作 用。因此,分布参数系统辨识受到人们的广泛重视。 1 1 2 分布参数系统参数辨识与最优控制的研究概况 由于实际需要的推动,分布参数系统的最优控制理论发展非常迅速。首先l i o n s 于 1 9 7 1 年以l i o n s 泛函分析为基础,用变分不等式方法讨论了各类典型的二阶偏微分 方程的二次指标的最优控制问题,对正、反问题的定性理论都得出了比较系统的结果。 l i o n s1 9 7 2 8 1 年又研究了描述分布参数的偏微分方程的定解问题,为最优控制理论和系 统辨识的研究奠定了理论基础。分布参数系统参数辨识的研究工作,主要从最优解的存 在性及最优性条件、系统的可辨识性、稳定性和最优控制问题的求解等方面展开。早期 的研究工作主要集中在线性、半线性且不考虑对状态和控制约束的情形。这方面 n u a h m e d 和i c l t e o ( 1 9 s 1 ) ”l 的工作最具代表性,以d a j 4 | d y z e n s k y a 和 v a s o l o n n i k o v 关于线性与拟线性抛物方程的定解理论1 9 6 8 t 1 为基础,他们将l i o n s 的 北极海冰雪的分布参数系统辨识与潮流的计算 结论进行了较全面的推广;n u a h m c d ( 1 9 8 9 ) i s l 利用算子半群理论、伴随系统以及差 分不等式等工具,把分布参数系统最优控制理论引入到参数辨识中,在b a n a c h 空间中 给出了这一领域的一抽象理论体系,同时研究了参数辨识的可辨识性及最优解存在的必 要条件。有很多工作是以数学角度处理抛物偏微分方程晟优控制问题。一些研究学者考 虑了参数的限制,如上下界等( y u y a b e l o v , 1 9 9 1 v m i s m k o v ,1 9 9 1 尸。e ,o s a v a t e e v 和 r _ r i g a n t i ( 1 9 9 5 ) 1 7 1 考虑了一维的具有非线性项且参数依赖于未知空间的热传导方程的反 问题,证明了反问题的存在性和唯一性,并给出了精确的数值解,促进了反问题的发展。 c h i n g y uy a n g ( 1 9 9 科”给出了一维热传导问题的直接结果。a d e b i n s k a - n a g o r s k a 和 a j u 吐z s t e m p i c n ( 1 9 9 8 ) c g j 利用g a l e r k i n 逼近法给出了非线性偏微分方程的最优化问厩, 并证明了初始最优问题解的收敛性。a h k h a t o r o t a 1 ( 1 9 9 s ) r ”应用偏二次差补法给出了 一类准线性抛物方程最优控制问题的解析解和数值解。a z e g h a l ( 2 0 0 2 ) 【”1 在有序b a n h 空间中采用不动点理论处理了由非线性抛物方程控制的反问题。t a d e u s zt e l e j k o 和 z b i g n i e wa l i n o w s k i ( 2 0 0 4 ) r m 一直致力于用有限元方法确定热传导系数的反方法。z a y i 和d a m u r i o ( 2 0 0 4 ) 0 ”对于一般热源项的一维反热传导系数问题给出了自适应温度辨 识,温度梯度和一般热源项的稳定的数值解。a s h i d f a r e t a 1 ( 2 0 0 6 ) 考虑了线性边界条 件的非齐次热传导方程的非线性问题。 在国内分布参数系统的研究发展也很迅速。王康宁在( 1 9 8 5 ) f ”1 中,把集中参数系 统最优控制中的相关理论推广到分布参数系统之中,并就最优解存在性进行了深入探 讨,还研究了系统的参数辨识问题及可辨识性。喻文焕( 1 9 s 6 ,1 9 9 1 。1 9 9 5 y “】一直致力于 线性抛物方程辨识问题的研究。李训经和雍炯敏( 1 9 9 4 ) ”i 的著作,对分布参数系统最优 控制和无穷维空间最优化理论的发展产生了重大的影响。陈任昭基于l i o n s 的理论体系, 具体应用于人口、生物种群等系统的最优控制中,取得了许多重要的成果l i 明。高夯 0 9 9 9 ) e 1 ”把c l a r k 的非光滑分析理论( n o n - s m o o t ha n a l y s i sn e o r y ) 引入分布参数系统最 优控制理论之中,证明了一类半线性抛物方程描述的非凸最优控制问题的最优控制问题 的最优解的存在以及基于变分不等式的最优性必要条件;同时,还研究了由椭圆型方程 描述的空间区域最优控制问题,给出了晟优空间区域存在的基本条件。b e y u g u o 和j u n z o u ( 2 0 0 1 ) 驯对于未知系数的线性抛物系统输出的最小平方误差的辨识问题采用了增 广l a g 甩n 西卸算法。c h o n f a l i ,e n m i n f e n g 和血w a n g i a u ( 2 0 0 3 ) 伫”考虑了关于石油开 发的最优控制问题,这些控制问题是由弱耦台抛物系统控制的,并且结合了逐点状态和 控制约束。q u a r t f a n gw a n g , d e x i n g ( 2 0 0 4 ) 论述了分布参数系统弱解的性质,辨识的最 大连理工大学硕士学位论文 优性条件等。q u ac h e n 和z i j i ml i u ( 2 0 0 甜4 利用最优化方法结合有限元方法在一些假 设条件下得到了由抛物方程控制的反问题参数的数值解。 由于参数辨识问题的计算复杂性导致相应的最优化算法的研究发展比较滞后。因为 各个工程技术领域的追切需要,以及有穷维非线性规划优化算法和计算机技术的迅速发 展,求解最优控制问题的优化算法研究越来越受到人们重视,并取得了较大的进展,成 为最优控制理论的一个重要组成部分和解决实际问题的一个强有力的工具。最优控制的 优化算法主要内容是研究求解最优控制问题的各种数值计算方法,并研究算法的收敛性 和收敛速度。从数值计算角度来说,分布参数系统最优控制与参数识别问题是一种以状 态方程及其相对应的最优控制、状态变量的限制为约束条件的大规模最优化问题。 f t r o l t z s c h 等学者对求解分布参数系统的最优控制与参数辨识问题的基于s q p 方法的 优化算法进行了深入的研究,在( 1 9 9 4 ) 和( 1 9 9 4 ) 中,提出了求解一类抛物型最优控制的 s q p 方法,并证明了算法的收敛性;在( 1 9 9 鲥”中研究了一种求解半线性抛物方程及其 初、边值条件描述的最优控制问题的l n - s q p ( l a g r a n g e n e w t o ns q p ) 法,应用了相应的 b a n a c h 空间中的微分学理论,把最优控制问题用适当的b a n a c h 空间中的二次规划问 题来逼近,然后用l a g r a n g c - n e w t o n 法求解相应的二次规划问题,得到了b a n a c h 空间中 求解最优控制问题的l n - s q p 方法,并证明了算法的局部二阶收敛性。f t r o l t e s c h ( 1 9 9 9 1 还构造了一种基于内点算法的非精确s q p 方法,证明了算法的超线性收敛性。k 1 t o 和 k x u n i s c h ( 1 9 9 6 1 9 9 9 ) 深入研究了h t l b e r t 空间中的增广l a g r a n g e 序列= 次规划方法 ( a u a m e n t e dl a g n m g es q pm e t h o d ) 和原始对偶序列二次规划方法( p r i m a l - d u a ls q p m e t h o d ) 。在国内,龚六堂( 1 9 9 5 ) 2 5 1 等人讨论了一类简单的椭圆最优化控制问题的增广 l a g m 喀e 乘子法,并把并行算法的思想引入到分布参数系统最优控制的优化算法研究 中。 1 2 海冰的研究状况 北极冰作为全球气候系统中的重要一员,对地区乃至全球的气候状态和可变性起着 至关重要的作用,在空间上和时间上形成一系列反馈作用机制,如冰表面反照率反馈, 海冰绝缘作用,海冰生成时释放的盐分及海冰融化时表面海水淡化使得全球热盐环流受 到较大影响。由于不同海域气象与水文条件的差异,使海冰、海水、雪各层热力学参数 变化很大,另外海冰区域的生产作业( 如油田开发,航运,渔业生产) 及海中结构物设 计都要求对海诛,海水,雪的热力参数有深入精确的定量研究,特别是需要特定海域中 的雪,冰,海水各层熟力学参数的定量分析与确定。 北极海冰雪的分布参数系统辨识与潮流的计算 海冰数值模式的研究开始于6 0 年代,发展经历了由原来单纯的海冰热力模式、动 力模式及动力- 热力耦合模式向冰海、冰气及冰气一海耦合模式发展的过程。其中热力 模式以p a f l d m o n ( 1 9 7 9 ) 的热力学计算为代表,着重研究海冰生消的各种热力过程,能较 好表现出冰厚和冰范围的季节性变化;动力模式以i - i i b l e r ( 1 9 7 海冰动力热力模式中的 动力学框架为代表,主要对海冰力学特性和输运过程进行研究,较好的模拟了海冰的运 动特征。 关于海冰模型的著作也有很多。关于冰的热力学模式的研究始于经典的解析s t c f a n s l a w ( s t o f a 皿1 8 9 1 ) 渊,且关于海冰过程的模型一直使用u 】蛐i n e r ( 1 9 “y 刎和i 恤y k u t a n d u n t e r s t e i n e r ( 1 9 7 1 ) 的模型。s e m m c r ( 1 9 7 6 ) t ”对m a y k u t 的模式做了大量简化,使其 适合于三维模拟,后人的热力学模型大都在s e m t m r - i 作基础上发展:其中一些经典的 海- 冰模型的主要是概括性的描述。可以看到其中最早的模型主要是处理海冰的热力学 参数,即热传导和辐射穿透系数但是其边界条件都不精确。后面的研究有离散系统的。 考虑冰,海水的相互作用开始于p a r k i n s o na n dw a s b i n g t o nf 1 9 7 9 ) 和o m s t e d t ( 1 9 9 0 1 【”, 但是他们关于冰内和表面的热平衡参数是很简单的。l c p p a r a n t a0 9 8 3 ) t 3 0 j 考虑了雪冰形 式。l c m k e ( 1 9 8 7 ) p ”主要致力于冰水混合层模型的研究。g a b i s o n0 9 8 7 ) t 3 2 1 和e b e r ta n d c u r r y ( 1 9 9 3 ) 包含了所有的热力学过程和气冰耦合。这两种模型与我们的相比,计算气 冰的方法都很简单,且模型的时间步长很长而垂直方向的冰层很少。另外,c r a b i s o n 考 虑了海洋下的混合层。实际上,g a b i s o n ( 1 9 8 7 ) 的模型在结构上和我们的最相近。i , e d l e y ( 1 9 9 1 ) 考察了雪盖对冰热收支的影响;e b e t t 等( 1 9 9 3 ) 1 ”1 考察了冰与大气间的热力过程。 国内关于海冰数值模式研究起步比较晚,王树仁0 9 8 4 ) ”j 建立了第一个模拟渤海海 冰生消过程的动力热力模式,模拟海冰的生消情况。程斌0 9 9 6 ) ”对一维海冰热力模式 采用积分插值法构造数值计算格式并进行数值模拟。吴辉碇、白珊和张占海( 1 9 9 9 ) 蒋用 于国家海洋环境预报中心海冰数值预报的海冰动力模式与渤海潮流模式相耦合,模拟了 风和潮共同作用下海冰的漂移。李海、白珊和吴辉旋( 1 9 9 8 ) 将同一冰模式与 b l u m b c r g - m e l l o r 的f c o m - s i 进行动力耦合,模拟了渤海海冰在风和潮流驱动下的海冰 的漂流、堆积和冰厚分布。刘钦政等人( 1 9 9 8 ) 采用单独的热力模式、热力动力耦台模式 和冰- 海洋耦合模式分别对全球海冰分布和运动进行了模拟和比较。林振山,乐群,王 勤学( 1 9 9 9 ) t ”等人以常微分方程和偏微分方程研究了冰温,冰界范围及各种方程的定解 条件。刘钦政等于2 0 0 0 年建立了全球冰海洋耦合模式。对全球海冰的分布及其季节性 变化、海冰漂移进行了耦合模拟和分析。2 0 0 3 年我国科学家进行了第二次北极科学考 察,对我国对极地海冰的研究提供了有力的条件,冰一海耦合模式和气一冰一海耦合模 大连理工大学硕士学位论文 式也有很大的发展,刘钦政等( 2 0 0 4 ) 和苏洁( 2 0 0 5 ) 等在近几年的工作中将海冰动力一 熟力模式进一步发展为冰一海洋热力藕合模式,并利用该模式对渤海海冰生消和演变以 及渤海冰季冰一气、冰一水和气一水界面的热收支进行模拟,取得了较好的效果,该模 式较全面地考虑了冰一海洋的相互作用。 1 3 本文的主要工作 ( 1 ) 本文依据2 0 0 3 年8 月到2 0 0 4 年4 月在北极布放的卫星e r 踪定位极区水文气 象自动监测浮标( 四套) 测得的大气气温,雪,冰,海水在不同位置的温度等数据,以 及北极海冰的热力学性质,建立了北极雪,冰及冰下海水温度场耦合动力系统模型,此 系统是分片连续光滑的,讨论了该系统弱解的存在唯一性,解关于雪层热力学参数( 比 热,导热系数等) 的连续性依赖性,建立关于雪层参数的辨识模型,论述可辨识性。根 据上述性质构造优化算法实现由浮冰观测数据确定雪层热力学参数的目的,从而得到 以实测温度为依据的北极雪、冰、海水各层温度在时问域与空间域的分布具体数值结果。 ( 2 ) 给出北极冰温度场区域的三维模型,考虑了水平方向的流速问题,给出了确 定开边界条件的方法。对于所要讨论的空间区域给出了网格的节点划分,从而给出了流 速的计算方法。对于各节点的温度,给出了依半隐式差分格式的详细计算方法。 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 本章首先介绍一些基本概念和基本性质,它们是本文所研究问题的基础和工具,内 容出自文献f “”。 2 1 函数空间简介 2 1 1 f ( 锄空间 令。表示h 维欧氏空间r ”中的开集,耳锄表示q 上由可测函数构成的等价类。对 于l p ,定义如下的函数空间; p = 扣e 尉国i i ”( 砷r 出 畸 ( 2 1 ) 0 叱= ( n 洲! 删品 ( 2 2 ) 用r 表示q 上的本性有界函数全体,其范数为t l l u l l 。= e s s s u p , 。 u ( x ) i ( 2 3 ) f ( 固是m 抽空间,其中1 p o o ,其共轭空间为口( 锄,其中g :生称为p 的共 p l 轭指数,满足三+ 三:l 。 pg 定理2 i ( h o l d e r 不等式) :若1 , ,且”f ( q ) ,v 口则抑e r ( 回,且下面 不等式成立: l k 扛p o ) i 出s 枷忆i 乩 ( 2 4 ) 记q = 丢,d 4 = 四钟表示一个阶为h 的微分算子,其中4 = “,q ,q ) 是非负 整数q 的一个h 重组h = q 。 定义2 1 :设“,v 在n 上局部可积,如果存在十c ? ( ( 酚有下式成立: l - 4 矗= ( _ 1 ) 4 砷凼 ( 2 5 ) 则称的a 次弱微商存在,v 称为1 , 的4 次弱导数或广义导数。 北极 每冰雪的分布参数系统辨识与潮流的计算 2 ,1 2s d 的培v 空i 司 下面我们引入空间q 上的s o b o l e v 空间的概念。 设卅为非负整数,1 p o o 当腓1 时,对任意的d ,l h 朋,定义: w ( 圆= 川“e f ( 锄,d 4 “上,( 0 ) ,l s h s 肿) ( 2 6 ) 在矿”( o ) 中定义范数 忙0 ,。= 二0 d 4 “略。) 品 g 7 ) l j d 蜘 l ,。,= 2 * 曼9 d i i ,。 ( 2 8 ) 当m = 0 时,矿。一( 锄= f ( 卿;当p = 2 时,矿。( o ) 写成日”( o ) ,相应的范数记为 帅,。 定义2 2 :m 删t l l i 的空间矿”9 ( q ) 叫做黝d 娜空间 定理2 2 :w ”矿( q ) ( 1 p ) 为b a n a c h 空间。日”( f 劲为h i l b g r t 空间其内积为: ,皿= ( 2 9 ) 当研究抛物型分布参数系统时,必须考虑空间与时间区域上的函数。为此,引入区域 o ( o n 上的$ o b o l e v 空间,当1 冒o o 时,定义 口( o ,t ;w ”( 【坳= 缸:( o ,d 一矿。4 ( 锄i “可测,且f 陋( o i l 矿帆0 1 o 和口 o 使r e a ( t ,“,呻+ i 1 2 口忙。v v e v ,口卫,e o ,r ,】。 则与a ( t ,地v ) 相应一个算子4 0 ) e y ( y ,v ) 满足 口o ,虬v ) = ( a ( t ) u ,砂 ( 2 1 5 ) 并j g x 9 4 壬意f e 工2 ( o ,矿) ,h ,存在唯一的弱解e 形( 0 ,f ,;矿) 满足 + 4 ( 伽) 。,( f ) ,“5 o , t a( 2 1 9 ) 【u ( o ) 2 i a l :( o 。t j ;v ) 日+ w ( o ,t ;v ) 的映射u ,) _ n 连续 o d r d i 培不等式:设共轭双线性型a ( u , v ) = d o ) 口易;+ 缸( 州q “疖+ f 扛沥) 矗的系 数满足: ( 1 ) 一致强椭圆条件,即存在常数口 o ,使v e r ”,q 。舌旬d l l l x e t n i j d 。 2 ( 2 ) 存在常数 0 ,使2 1 a o ,使口 慨( x h + 矿k x h v 2 ,“e o i q 劂存在6 o 和a o 使:a ( u ,田+ 训“磕酬口, f f u e 珥( 国 2 3 分布参数系统最优控制及参数辨识 要提出一个系统的参数辨识问题必须具备以下几个条件: ( 1 ) 系统方程; ( 2 ) 参数允许集; ( 3 ) 观测值; ( 4 ) 拟合准则 假设所研究的系统为一时变系统,则系统方程一般可表示为 a ( a ( ;,f x y ( x , ) ) = f ( 而r x ( z ,f ) q x ( 0 ,r ) f “五o ) = g “咄 z n ( 2 2 0 ) 毋r ) = 咄阮0 e o 船x o ,t 】 大连理工大学硕士学位论文 其中丘f ,雪分别为微分、初始条件和边界条件算子。模型( 2 2 0 ) 是由一组包含未知参数 d 的偏微分( 积分) 方程( 组) 所构成。函数y 是系统的状态变量;“是模型中特辨识的参 数;而函数,是系统的输入,一般表示源、外力等外部作用。 在分布参数系统参数辨识中,辨识参数口属于某些参数空间u ,c ,的可能情形如 下: ( 1 ) 参数为常数,u = 口= 瓴,码,) r ) ( 2 ) 参数为认定的函数形式。假定参数口的某些或全部分量为已知的函数形式,未 知常数参数包含于这些函数中,即口( t ,y ) = g ( 南r ,y ,q 码,吒) ,q o = 1 ,2 ,窖) 为 未知常数,且窖的泛函形式已知。 u = 扣= ( q ,吒,) e 科 ( 3 1 参数口是空间、时间或状态变量的函数。 ,= 徊= ( q ( 墨r ,纠,如( 墨力,q ) e 掣) 在实际计算中,无穷维空间需由有限维空问近似,以获得数值结果。当允许空问为 上述第一、二种情形时,相对来说较简单。在大多数情况下,观测者可根据问题的实际 背景对参数加以一定约束,这相当于最优控制中对控制变量的约柬。因而,对参数的研 究可限制在一允许集0cu 中,u 耐应满足如下条件: ( 1 ) 对u 。中任一参数口,系统方程存在唯一解。 ( 2 ) 有充分的紧致性,以保证辨识问题解的存在性。 即任意的口eu 耐,问题( 2 2 0 ) 都存在某种意义下适定的、与物理背景相符的广义解 记为y = “,令y 皇o = y ( 甸i y ( 国是问题( 2 2 0 ) 对应于4 e 【,耐的解 。 设观测值= 遴过一个观测算子c 与状态y ( d ) 相联系。 z = c o 啊( 2 2 1 ) 在一般情况下,观测值含有噪声,故上式不可能是绝对恒等,只能要求在某种意义 下的近似。因此,必须为辨识参数给定一拟合准则,定义为: 以= 肛一c o ) 吒 ( 2 2 2 ) 其中以= m :表示观测空间m 中的某范数。 综上所述,在定义了状态方程、参数允许集、观测值与拟合准则,则可得到分布参 数系统参数辨识问题的一般提法是:在参数允许集u 耐中,寻找参数口,使得由式( 2 2 2 ) 所定义的指标泛函在【乙中取得极小值。即 北极海冰雪的分布参数系统辨识与潮流的计算 m i l l :j ( = l :一c ( ) 4 ) ) 1 0 甜:y ( 4 ) y( 2 2 3 ) d 由咀上描述可知,从数学的角度来讲,分布参数系统的最优控制与参数辨识问题本质上 一致的。 2 4 极大函数的性质与g a t e a u x 微分 极大函数在不可微函数优化理论中具有很重要的作用,p o l a r ( 1 9 9 7 ) 利用极大极小函 数盼性质,对一些非光滑参数系统最优控制问题的优化理论和方法进行了系统的论述, 为研究以极大函数为目标的不可微函数优化问题提供了有效的工具。本节给出本文所需 要的极大函数的一些重要性质与g z ;g e a u x 微分。 2 4 1 极大函数的性质 定义2 4 :如果集值映射f :r ”_ 2 9 在 处的值,( i ) 均是闭集,且对于每个使得 ,( 却r a $ = m 的紧集s ,存在声 0 ,对任意的x e 丑( i ,声) ,使得,( 旬n s = o ,则称, 在i 点外半连续。 如果集值映射,:r “j2 9 在每一点都是外半连续的,那么称,是外半连续的。 定义2 5 :如果集值映射f :斗2 矿,对每个使得,( 主) n g a 的开集g 存在芦 0 , 对任意的z e 占( 量,声) ,使得,( 甸n g o ,则称,在王点内半连续。 如果集值映射f :掣。2 ”在每一点都是内半连续的,那么称,是内半连续的。 定义26 :如果集值映射f :掣- - 2 ”既是外半连续又是内半连续,则称其为连续的。 对于一般的函数科- + 正是外半连续并且局部有界,或者是内半连续的,都是通 常意义上的连续函数。 定理2 5 :假设一:r “r 。斗r 是连续的,y :r ”斗2 一是外半连续的,函数p :r “- - 丑定 义如下: 妒兰翼黑似力 ( 2 - 2 4 ) 如果对每个有界子集x c f ,存在口 0 ,使得垤x ,有 k 勇翳船忙a 5 ) 那么妒( 0 是上半连续的。 大连理工大学硕士学位论文 推论2 1 :假设t :f x _ 且是连续的, 佗2 4 ) 式定义,那么: ( i ) 如果有界子集工c f ,存在a 0 续的: y :f - + 2 r 也是连续的,函数9 :掣- 置如 对v x x ,使得0 2 s ) 式成立,则矿( ) 是连 ( 2 ) 如果r ( 功i r ,r c r ”是紧集,9 “y ) 在有界集上是l i p s e h i t z 连续的,则垆( - ) 在 有界集上是l i p s c h i ( z 连续的。 定理2 6 :函数妒:r 呻最如( 2 2 4 ) 式定义。垂:r ”x r 。一点是连续的,r :f 斗2 俨是连 续紧的集值映射。令 y 皇o er ( z ) l 尹( 砷= 庐( z , ( 2 2 6 ) 那么矿是辨半连续的集值映射。倘若欢z ) = 岛是独点集,那么妁在:z 处连续。 推论2 2 s 假设函数,:f _ + 且是连续的,= 1 ,2 ,窖,定义 似z ) im a x ( 砷( 2 2 7 ) ,叫 、 记g ! l ,2 ,酊,对恢e f ,引入 皇“9 广= 9 ( 砷( 2 2 8 ) 则: ( 1 ) 妒( ) 是连续的; o 使得对垤e 倒五力, 0 + ) c 口( 砷r 即贰是外半连续 的。 定理2 7 :函数9 0 由( 2 2 7 ) 式定义,这里f 7 :r _ 置,je q 是局部l i p s e h i t z 连续的, 且对垤, e 斛,方向导数,0 ,h ) 存在。则 ( 1 ) 妒) 是局部l i p s e b i t z 连续的: ( 2 ) 对协,h r ”,方向导数却( x ; ) 存在。且却似 ) = 唧! 缈慨。 m , 其中口( 砷由( 2 2 s ) 定x 。 推论2 3 :函数似由( 2 2 0 式定义,f 7 :r 。_ 且,j 口是连续可微的,则有 ( i ) 对垤,h e f ,广义方向导数d 0 9 伍1 1 ) 和方向导数却 ) 存在, d 0 9 似 ) = 如( 茸南。= 哪刀。h ( 2 ,2 9 ) 一+ , ( 2 ) 方向导数却“) 是上半连续的,且对x e f ,函数d 似葛是正齐次、次可加的 哳s c h j 乜连续函数: 北极海冰雪的分布参数系统辨识与潮流的计算 ( 3 ) 9 ) 在z e r ”的次梯度却( 砷为 却( = f 皇,耐( 日( x ) ) ( 2 3 0 ) 并且 却0 ;。j 詈焉) ,h ( 2 3 1 ) ( 4 ) 次梯度却( 是外半连续的。 定理2 8 :若函数“x ) 由( 22 4 ) 式定义,假设= ( 1 ) 一:矗1x 胪斗r 是连续的; ( 2 ) 丸“- ) 存在且连续; ( 3 ) y c 且”是紧集。那么: 对饥,h f ,广义方向导数d 0 妒似h ) 和方向导数如嘛协存在,并且 d 。中( 墨2 却o ;2 ;:焉丸( 。,y ) ,6 其中: 】,o 。皇t y e yj 似,) = 毋( x ,y ) 方向导数却;) 是上半连续的,对xe 掣 连续函数; 次梯度却( 力

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