（运筹学与控制论专业论文）投资系统解的存在性、唯一性与最优控制问题讨论.pdf

摘要 本论文给出了一类非线性、随机与役龄相关投资系统模型研究了非线性与役龄相关投资 系统解的存在性、唯一性，非线性与役龄相关投资系统的动态最优反馈控制及随机与役龄相关 投资系统的最优控制根据c a r a t h e o d o r y 解、b a n a c h 不动点定理、h e l l y 定理、d u n f o r d - p e t t i s 定 理、l i p s c h i t z ，r a d e m a c h e r 定理和h a m i l t o n - j a c o b y 方程式，证明了非线性与役龄相关的投资系统 模型解的存在性、唯一性，模型在部分分数步长差分格式收敛的条件下固定资产投资系统存在最 优控制所得结论是对已有结果的推广和完善，其结果可为资产方程的实际应用提供严格的理论基 础 关键词：非线性投资系统，随机最优控制，解的存在性和唯一性 a b s t r a c t ac l a s so fn o n l i n e a r , s t o c h a s t i ca g e - r e l a t e di n v e s t m e n ta n dl a b o rm o d e lt ob eg i v e nt h i sp a p e r o f n o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht h ed r a f ta g e - r e l a t e di n v e s t m e n te x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s a g e - r e l a t e di n v e s t m e n ta n d l a b o rn o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m sa n ds t o c h a s t i co p t i m a lf e e d b a c kc o n t r o lo fm i l i t a r ya g e - r e l a t e di n v e s t - m e n t sa n do p t i m a lc o n t r 0 1 a c c o r d i n gt oc a r a t h e o d o r ys o l u t i o n ，b a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r e ma n dt h eh e l l y t h e o r e m ，d u n f o r d - p e t t i st h e o r e m , l i p s c h i t z ，r a d e m a c h e rt h e o r e ma n dt h eh a m i l t o n - j a c o b ye q u a t i o n s h o wr a n d o md r a f ta g e r e l a t e di n v e s t m e n t sw i t ht h es y s t e mm o d e le x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，t h em o d e li n s o m eo ft h ef r a c t i o n a ls t e pd i f f e r e n c es c h e m ec o n v e r g e n c eo ff i x e da s s e t si n v e s t m e n ti nt h es y s t e mu n d e r o p t i m a lc o n t r o le x i s t s t h i sr e s u l ti sa ni m p r o v e m e n ta n de x t e n s i o no fe x i s t i n gr e s u l t s ，t h er e s u l t sf o rt h e p r a c t i c a la p p l i c a t i o no fa s s e te q u a t i o n sp r o v i d ear i g o r o u st h e o r e t i c a lb a s i s k e yw o r d s ：n o n l i n e a r i t yi n v e s t m e n ts y s t e m ，o p t i m a lc o n t r o l ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 鸯瘫多狲勿 ， 时间：纠p 1 年于月彤日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生躲多爵祷帆斗年堂衫日 导师签名： 始钕 时间：砌 f年于月尹日 宁夏人学硕十学位论文第一章弓f言 第一章引言 1 1 投资系统模型建立的背景 2 0 世纪以来，随着科学技术的迅猛发展，世界各国都在关注着经济的增长，营造经济持 续、稳定增长已成为各国政府追求的目标宏观经济模型的研究就是始于2 0 世纪初期美国学者摩 尔在对劳动力市场进行分析的过程中随后，许多学者在这领域进行研究并取得大量的成果【卜7 j 9 0 年代以来，由于高效率计算机的广泛应用，使得宏观经济模型进入广泛的应用阶段，目 前已渗透到经济学研究的各个分支，得到世界各国普遍重视 8 - 1 4 1 决定经济增长的因素很多，诸如劳动力，生产资料及其在生产过程中与社会的结合和改进、 自然资源条件，以及影响社会发展的其他因素在竞争均衡的条件下，国民生产总值的增长是投 资积累、劳动力增加和科技进步等冈素长期作用的结果尤其在发展中国家，生产性资产积累在 经济增长中占有举足轻重的地位 对于投资问题人们已经做了人量研究，并建立了各种理论和应用模型进行定量分析，这些理 论基本e 可! j 1 纳为三大类： 一是计量经济模型这类模型对数据依赖犬，而且对经济机制的揭示也不够充分； 二是投入产出模型这类模型在实际中得剑广泛应用，但它基于各部门间联系是线性关系的 假设； 三是冯诺依曼模型及相关的人道定理 一个国家或地区的经济发展过程，是有很多因素决定的社会制度、法律法规、自然资源、 科技水平、人口数量、人口素质以及跨国、跨地区、跨行业经营等等，都能严重地影响该国家或 地区经济发展然而，投资规模，投资收益率以及资本的输入、输出却是决定该国家或地区经济 发展的直接原冈 1 2 投资系统模型建立的相关介绍 ( 1 ) 最优控制 使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法可概括为：对一个受控的动力学 系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初 始状态转移剑指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优这类问题广泛存在于技术领域或社 会问题中例如，确定一个最优控制方式使空间匕行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消 耗最少最优控制理论是5 0 年代中期在空间技术的推动卜i 开始形成和发展起来的苏联学者l s 庞特里金1 9 5 8 年提出的极人值原理和美国学者r 贝尔曼1 9 5 6 年提出的动态规划，对最优控 制理论的形成和发展起了重要的作川线性系统在二次型性能指标卜的最优控制问题则是r e 卡 尔曼在6 0 年代初提出和解决的 从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控 制函数利运动状态为变量的性能指标函数( 称为泛函) 求取极值( 极人值或极小值) 解决最优 l 宁夏大学硕七学位论文 第一章引言 控制问题的主要方法有古典变分法( 对泛函求极值的一种数学方法) 、极大值原理和动态规划。 最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调 节器等 ( 2 ) 非线性控制系统 状态变量和输出变量相对于输入变量的运动特性不能用线性关系描述的控制系统。非线性控 制系统的形成基于两类原因，一是被控系统中包含有不能忽略的非线性因素，二是为提高控制性 能或简化控制系统结构而人为地采用非线性元件。 非线性系统的分析远比线性系统为复杂，缺乏能统一处理的有效数学工具。在许多工程应用 中，由于难以求解出系统的精确输出过程，通常只限于考虑：系统是否稳定。系统是否产生 自激振荡( 见非线性振动) 及其振幅和频率的测算方法。如何限制自激振荡的幅值以至消除 它。现代广泛应用于工程上的分析方法有基于频率域分析的描述函数法和波波夫超稳定性等，还 有基于时间域分析的相平面法和李雅普诺夫稳定性理论等。这些方法分别在一定的假设条件下， 能提供关于系统稳定性或过渡过程的信息。 在某些工程问题中，非线性特性还常被用来改善控制系统的品质。例如将死区特性环：筲和微 分环节同时加到某个二阶系统的反馈同路中去，就可以使系统的控制既快速又平稳。非线性控制 系统在许多领域都具有j “泛的应用。除了一般t 程系统外，在机器人、生态系统和经济系统的控 制中也具有重要意义。 ( 3 ) 固定资产折旧与企业生产经营的关系 同定资产折旧对企业利益的影响：尉定资产是企业在生产发展过程中不可缺少的物质基础。 一个企业的经济实力的强弱以及其发展速度的快慢，在很人的程度上取决下同定资产的规模、利 用效率和更换的速度上。f i l i | 定资产在使用过程中，逐渐损耗而消失得那部分企业价值就是嘲定资 产折旧，实质上是对同定资产的原始或现行投入价值的系统分摊过程。对于同定资产折旧的目的 主要是为了将吲定资产的价值在有限的使 l j 期内以折旧的形式转化成货币资金过程，恰当的实现 收入与费刚的配比，如实地反映同定资产在使用过程中发生的价值损耗和期末 占i 定资产净值，合 理的确认了企业的生产成本及其损益。固定资产的折旧方法所计算的年度折旧额是不同的，在资 产的使用年限内总体计提的折if 1 额却是相同的，然而不同的方法却会给企业带米不同的所得税和 税前利润。折旧方法的选择在很人程度上给企业带来了不同方面的获益，首先在财务收益方面， 也是最重要的方面，可以增加税前利润或净利润。不同的方法带来不同程度的获益，加速折旧是 各方法中最佳的选择。再者从风险方面考虑，加速折旧的折旧年限较短，给企业造成的l 刮定资产 投资的风险就小，相应的净收入也就会比较低，采用其他折旧，如直线折旧法，折旧年限长，使 得风险加大，相应的净收入就高了。因此折旧方法的选择也会权衡企业风险和效益。还有在同定 资产更新投资方面，加速折l r 的年限的短使得同定资产的更新速度会更快，这样更能合理和有 效。 同定资产折l f l 对企业所得税的影响：同定资产折旧是一个成本分摊的过程，即随着同定资产 价值的转移，以折旧的形式在产品销售收人中得到补偿，并转化为货币资金的过程，但这种费用 是先期已经发生的支出，而这种支出的收益在资产投人使用后的有效期内休现。正确合理地计提 i 嗣定资产折旧，不仅可使 i l i | 定资产的价值得到及时有效的补偿，还会影响到企业的应税所得和所 得税税负。 2 宁夏大学硕t 学位论文第一章引言 1 3 资产投资系统模型及其研究现状 一般为了定量地研究一个国家或地区的经济发展起决定作用的生产部门的资产存量变化和发 展过程，我们将对资产存量问题研究的范围作如下约定：首先，把所要研究的国家或地区的生产 部门的资产作为一个整体来考虑，也就是作为一个系统来研究，而不是去个别地讨论每一项具 体的资产状态变化其次，在定量研究中，所有表征和影响资产存量变化的因素都是在整个资产 平均意义下确定的，如资产消耗率、资产积累率、投资时滞等等资产存量变化过程定量研究的 目的，就是找出资产存量随时间的变化规律以及能够影响该过程的变化的因素决定这一规律的 变量是时间的流逝、资产的消耗、资本的积累、资本的输出输入等用定量函数表示的这四种因 素，能唯一决定任何一个被研究的国家或地区生产性存量变化的全过程 在上述理论基础上，文献f 1 6 】的作者从系统科学观点出发，把投资生产分配消费等社 会生产过程作为一个系统来讨论在这个系统中因为现有的资本积累的状况不仅受到本期投资的 影响，而其是前期资本发展变化的结果，所以该文献把按试用期分布的资本存量作为系统的状态 变量，精确描述投资随着时间的推移而变化起来，来研究社会周而复始连续不断的发展过程因 而建立了宏观经济中的投资生产再投资过程的发展模型，得到了如下资本按使用期分布变化 方程并研究了该方程的解存在唯一性，得到了解的解析表达式 ik t + 玩+ p ( o ) k + 圣( k ( t ) ) = 一p ( ) k ， ( 口，t ) q ， k ( o ，) = 7 ( t ) a ( t ) l p ( t ) 【s o + k ( a ，t ) d a 。， t ( o ，r ) ， ik ( 口，d ) = k r o ( 口) oe ( 0 ，n + ) 这里q = ( 0 ，a + ) x ( 0 ，r ) ( n + ，t ( 0 ，+ ) ) 其中各参数含义如下，k ( a ，t ) 表示( 0 ) 时刻役龄为a 的资产分布密度函数，它是一个非 负函数，口+ 为资产的最人役龄；k ( t ) 是t 时刻的资产总数；圣( k ( t ) ) 为依赖于资产总量k ( t ) 的 折旧率，这反映了资产总量的人小对投资系统的发展影响，p ( 口) 表示役龄为n 的折旧率；p ( t ) 表 示t 时刻的折旧率；k ( o ，t ) 表示t 时刻对本单位投资后新增的资产，y ( ) 和l ( t ) 分别表示t 时刻资产的积累率和劳动力函数，a ( t ) 是t 时刻的技术进步，k ( a ，0 ) 表示t = 0 时资产的初始 分布 考虑到社会消费也是国民生产总值的一部分，即产值的一部分，而产值与资产总量是相互依 赖关系，这种相互依赖关系由科技、劳动力素质和教育通过资产联系起来文献【1 7 】的作者建立 了如下描述社会消费对经济发展作川的一类带1 线性边界条件的投资动力模型 k + 纸+ p ( o ) k + 西( ( ) ) k = - t t ( t ) k ， k ( o ，) = 7 ( t ) a ( t ) l p ( t ) 【s o + k ( n ，t ) d a 。， k ( a ，0 ) = ( o ) ， k ( ) = 譬+ k ( a ，t ) d a ( a ，t ) q ， t ( 0 ，t ) a ( 0 ，n + t ( 0 ，t ) 并证明了该系统存在1 f 负唯一解 由丁文献【1 6 ，1 7 】讨论的都是进出筹额形成的按役龄r 的资产分布密度函数g ( r ，t ) 兰0 时 古典解的存在唯一性，及资产u ( r ，t ) 关于科技进步a ( t ) 的单调性等结果冈而文献【1 8 】在 3 宁夏人学硕 学位论文 第一章引言 g ( r ，t ) 0 时，利用非线性分析中的正算子理论和偏微分方程的估计方法，证明了如下资产发展 方程 l t 上t + t 正+ p ( r ) t + 圣( t ( t ) ) 札+ p ( t ) u = g ( r ，) ， ( r ，t ) q ， t ( o ，t ) = y c t ) a c t ) l p c t ) f o + t ( r ，t ) d n 】n ， t ( o ，t ) lu ( 口，d ) = u o ( r ) r ( 0 ，r + ) 强解的存在唯一性以及资产存量关于科技进步、劳动力函数、等因素 文献【1 9 j 的作者研究了如下技术进步是希克斯中性，生产函数为 y = a ( t ) f ( l ，) 形式的具有资金服役时间的投资控制模型 ik j + + p ( n ) k = 一p ( ) k ， ( 口，t ) q ， k ( o ，t ) = 7 ( t ) a ( t ) f ( l p ( t ) ，伊g ( a ，t ) d a ) ，( o ，t ) ik ( a ，d ) = k - o ( 口) 口( 0 ，口+ ) 证明了该投资控制模型解的存在性和唯一性，同时讨论了该模型解所具有的一些性质 在文献【1 6 】的基础上，文献f 2 0 】的作者建立了如下含有时滞的同定资广。投资系统模型一 l 凰+ + t t ( b ) k ( b ，t ) = 0 ， ( b ，t ) q ， k ( o t ) = 7 ( t ) a ( t ) l j ( ) 瞄+ k ( 6 ，t 一下) d b 】。，t ( o ，t ) ik ( b ，p ) = g o ( 6 ，口) b ( 0 ，6 + ) 利川泛函分析和积分方程的有关理论，证明了该系统解的存在性唯一性，并得到了解的解析表达 式，进而讨论了解的稳定性 文献 2 2 1 的作者给出了技术进步的资产投资模型 1 + + l u ( b ) k ( b ，t ) = 0 ， ( b ，t ) q ， k ( o t ) = 7 ( t ) a ( t ) f ( l ，后+ k ( 6 ，t t ) d b ) ，t ( o ，t ) l k ( b ，9 ) = k o ( b ，p ) b ( 0 ，6 + ) 运用积分理论和泛函分析讨论了该模型的等价方程，同时得到了等价积分方程的表达式 由丁在投资系统中，j “泛存在着环境制约因素，主要包括两个方面：一是由于受技术进步的 影响，也就是资产在报废前脱离生产过程，提前”退役”其实际使用年限低于其物理使用年限；二 是由于受消费总量的制约，企业在一定时期会出现负荷不足，部分生产长期闲置，转让或改为它用， 也就是脱离其原来的所在的生产过程所以说，资产存量的发展不仅依赖于技术等冈素，而且还依 赖于环境冈素的影响文献【2 3 】的作者研究了如下与环境相关的投资控制模型 fk + 虬+ p ( n ) k + 西( k ( t ) ) k = 一肛( t ) k + f ( t ，七) + g ( t ，七) 硼( t ) ，( 口，t ) q ， jk ( o ，t ) = ，y ( t ) a ( ) ( t ) f 片+ k ( 口，t ) d a 。， ( o ，丁) lk ( a ，d ) = g o ( q ) ， 口( 0 ，d + ) i k ( t ) = 臂+ k ( a ，t ) d a t ( 0 ，t ) 4 宁夏大学硕上学位论文第一章引言 用运泛函分析和积分方程的理论，讨论了投资系统解的存在性、唯一性 5 宁夏人学硕 学位论文第二章非线性与役龄相关投资系统解的存在性、唯一性 第二章非线性与役龄相关投资系统解的存在性、唯一性 近些年，由于系统科学的发展和对生灭过程的研究，以及种群发展系统方面的研究，为研究经 济投资系统提供了新思路和方法，对经济投资发展系统的研究也取得大量的成果如 1 8 - 2 2 j 等 资产投资对经济增长的重要促进作用日益受到学者的重视，并取得了一些研究成果从系统科 学角度出发，我们把投资一生产一分配一消费一生产等社会生产过程看作一个系统，本文讨论如 下役龄相关的非线性投资系统问题： ( n ，t ) q ， 三 譬2 ， 仁， t ( 0 ，t ) 这里q = ( 0 ，a + ) ( 0 ，r ) ( o + ，t ( 0 ，+ o o ) ) 其中各参数含义如下，k ( a ，t ) 表示t ( o ) 时刻役龄为a 的资产分布密度函数，它是一个非 负函数，口+ 为资产的最人役龄；k ( t ) 是t 时刻的资产总数；西( k ( ) ) 为依赖丁资产总量k ( t ) 的 折旧率，这反映了资产总量的大小对投资系统的发展影响，肛( n ) 表示役龄为a 的折旧率；p ( ) 表 示t 时刻的折旧率；k ( o ，t ) 表示t 时刻对本单位投资后新增的资产，7 ( t ) 和l ( t ) 分别表示t 时刻资产的积累率和劳动力函数，a ( t ) 是t 时刻的技术进步，k ( a ，d ) 表示t = 0 时资产的初始 分布 对于系统( 1 ) ，文献 1 】研究了经济增长中的投资控制系统解的存在唯一性，并得到了系统稳 定的充分条件文献 2 】给出了描述社会消费对经济发展作用的一类带非线性边界条件的投资动 力系统，证明了该动力系统存在唯一解且1 负文献 3 】研究了用c e s 生产函数表示的投资控制模 型解的存在唯一性文献 4 】研究了技术进步是希克斯中性的，具有资金服役时间投资模型解的存 在唯一性文献 5 】研究了同定资产投资系统稳定性分析及最优控制问题然而，上述文献只是与 役龄相关的相对折旧率不依赖于资产总量的投资系统进行研究，并未考虑资产总量的影响，资产作 为生产中一种必不可少的投入要素，在宏观经济模型的生产函数和生产模块中起着举足轻重的作 用但资产形成后并不是一成不变的，它也和其他万物一样，有其生产，发展和衰弱过程，且从其投 入生产时，在一定的生产技术条件下，资产的产出能力逐年递减，这就意味着资产的价值住减少，其 减少部分就是折旧计算折旧要考虑以下四个因素：第一，资产因报废而完全退出生产过程；第二， 资产仍在使朋，但其功能相对退化，其边际产出能力在某种程度上小丁最初它是新的时候；第三，资 产随着使川年限( 称为役龄) 增加，其功能退化速度加快；第四，预备知识由于需求的变化或更有 效的新资本品的出现等原冈，虽然原有资产仍能使用，但也被弃置不用了所以资产的折旧不仅与 资产的役龄相关，而且还随着时间变化与资产总量相关而本文研究依赖丁资产总量的投资系统更 具有实际意义本文应用分离变量法讨论了非线性与役龄相关的投资系统模型，得到了非线性与役 龄相关的投资系统模型解的存在性和唯一性 6 吼 k 枷巩 m k l “ 训小和 ，k、j d 0 ， a e 于( o ，口+ ) ，控制集为： ，= ( t ) l 。( o ，t ) ；0 ( ) ln e 于( o ，t ) ( 厶( 0 ，+ 。o ) ) z 丁z 。+ p ( t ) 9 ( 口) k p ( 。，t ) d 。d t ， 令： g ( a ，t ) = 可( t ) 露( 口，t ) 1 豇+ 鼠+ 弘( 8 ) 霞= 0 ，t ) q ， k ( o ，。) = 7 ( t ) a ( t ) i f l ( t ) f o + 詹( 8 ，t ) d a 。，( o ，丁) i 霞( 口，d ) = j 而( n ) n ( 0 ，口+ ) fd k ( a ，t ) = 一p ( n ) k ( d ，) ， 牌k ( h ， + ) = 7 ( ) a ( t ) 胪( t ) 【片+ 露( 口，t ) d 口1 。， 【g ( a ，d ) = 凰( o ) ( p o ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) a e 于q ， a e 于t ( 0 ，t ) ( 2 4 ) a e 于( 0 ，口+ ) ( 其中d 露是表示为下列极限) ： d 霞 ，t ) = 牌丢【霞( a + ，t + h ) 一露( 。，t ) 1 ， 通过( 2 4 ) 中第一个式可得( 2 3 ) 中的一个解霞在方程口一t = 七，( 口，t ) q 口e ( 口，t ) r 中 是几乎处处连续的函数把( 2 2 ) 代入( 2 1 ) 中可得到_ 卜式 l d y ( t ) + 圣( ( t ( t ) ) 耖( t ) + t t ( t ) y ( t ) l k ( a ，t ) = 0 ， 7 童星盔兰堡耋堡丝塞釜，。，。：。詈：。窒耋璧墼圣重型型堡垒塑垒垂壅墼墼垒垒丝些 o e ( 口，t ) q ，v ( o ) = 1 那么我们得到下面形式： d y ( t ) + 垂( 甄( 蝴) ) 秒( 。) + 肛( 批) = o ，口e ( o ，t ) ， ( 2 5 ) 【y ( o ) = 1 其中 k o ( 0 ：f 。+ 霞( 口，) d n ，te 0 , t 1 ，o 而且以矿表示( 2 5 ) 的解并代入( p o ) 得最大值 z r m ( ) p ( ) 耖p ( 口，d d t ， 使得弘，这里 m ( 。) 2j o gca)fa+ k ( 口，。) d 口，。【o ，刁 一 所以，通过分离变量得出： ，f 。o t ，f 。a + p ( t ) 9 ( 。) k p ( 口，t ) d a d t = t m ( t ) p ( t ) 剪p ( 口，) d t 2 2 解的存在性和唯一性 ( p ) fd k ( a ，t ) + p ( 口) k ( 口，t ) + 圣( k ( ) ) k ( o ，t ) = - t t ( t ) k ( a ，) ，o e 于q ， ! i mk ( h ，h + ) = 7 ( t ) a ( t ) i - f l ( t ) j o 。+ k ( a ，t ) d a 。， 凸e 于( o ，t ) ，( 2 6 ) l0 lk ( a ，d ) = ( o ) 口e 于( 0 ，口+ ) k ( t ) = f o “k ( ，) d n ，眦t ( 。，t ) 可知系统( 2 3 ) 有唯一解k o 在q 上n e 严格正的，且此解是通过k 和 础) = z q 础毗眦吲哪 8 宁夏大学硕士学位论文第二章1 f 线性与役龄相关投资系统解的存在性、唯一性 显然k o l o o ( o ，t ) 和k o ( t ) 0n e 于( o ，t ) 考虑下列方程 jd y ( t ) + 圣( k o ( 句耖( t ) ) 可( t ) = 一p ( t ) 剪( t ) ，t ( 0 ，t ) ， 【芗( o ) = y o ( 0 ，+ ) 引理2 1 系统( 2 7 ) 有一个唯一的c a r a t h e o d o r y 解 证明 以雪表示c a r a t h e o d o r y 的解， fd y ( t ) = 一p ( ) 可( t ) ，t ( o ，丁) ， 、耖( o ) = 珈 和 c = ( t ) l 。( o ，t ) ；0 ( ) 9 ( t ) a a t ( 0 ，t ) ， ( 2 7 ) ( 2 8 ) 定义少：c e 少，l = 讹，则由b a n a c h 不动点定理知y h 是系统( 2 7 ) 唯一的 c a r a t h e o d o r y 解 定理2 2 由下列分离变量 k ( a ，t ) = y ( t ) k ( a ，t ) ，a e ( n t ) q ，( 2 9 ) 给出函数k l 。0 ( q ) 是它的解，这里3 ，是系统( 2 7 ) 的c a r a t h e o d o r y 的解，珈是系统( 2 1 ) 的解 证明 因为系统( 2 3 ) 有唯一解，而且在q 上是a e 严格正的，根据引理2 1 可得系统 ( 2 9 ) 给定的k l o 。( q ) ，k ( a ，t ) 0a e 于q 并且系统( 2 6 ) 成立 2 3 最优解的讨论 当一0 时。最优解问题被表示为 m a x z r 蝴蜊蚺 限) ( 其中皑c ( t ) 表示当e 一0 时系统( 2 5 ) 的解) ，且p ，鳄是下面的c a r a t h e o d o r y 的 id y ( t ) + 7 ( t ) y ( t ) = 一p ( ) y ( ) ，t ( i e ，( i + 1 ) ) ， 矽( 沱+ ) = 口( ( i + 1 ) 一；话，y ( i e ) 一) ) ，i = 0 ，1 ，n 一1 ，e = t i n ( 2 1 0 ) lv ( 0 - ) = y o ( 0 ，+ 。) 宁夏大学硕十学位论文第- 二章1 f 线性与役龄相关投资系统解的存在性、唯一性 p ( ；话，z ) 是下列的c a r a t h e o d o r y 解， 掣o ( 0 - 似酬幻以d 妒o ) “幻民d ，t ( 蛾o “弦) ( 2 - 1 1 ) 【p ( 话+ ) = z 、7 假设：7 c ( 【o ，明) 用上节类似的方法可知( p 。) 至少有一个最优对 引理2 4 如果p 。，胜l 2 ( o ，t ) 并且弱收敛于肛，当e 一0 + 时有鳍c _ 旷 证明对于任意的t 钯t ( i + 1 ) e ，由( 2 1 0 ) 和( 2 n ) 得 ，c 鳄( ) = e x p 一( p 。+ ，y ) ( s ) d s 】8 ( ( i + 1 ) s ) 一；话，鳄( 话) ) ) 一t e 其中 = e x p 【一肛刊( s ) d s + ，扣( 7 刊( s ) d s 】炸讹 ( 2 1 2 ) 蚝( s ) = 圣( k o ( s ) p ( s ；i ，皑5 ( 话) 一) ) ) ，a e s ( 0 ，t ) 由( 2 1 1 ) 和魄的正则性得剑有界序列 魄 l o 。( o ，丁) 显然由( 2 1 2 ) 和蚝的正则性推 出存在个常数m 使得 l 鳄( ) i m ，v t 【0 ，刁 由( 2 1 0 ) 可得 z t 印) m = o t + 此) f 雠唧) m m t 啦+ i i ，y 怯( 嘲) ) ( 2 1 3 ) 科l r a 1 ) i 鳄( 据) + ) 一继( 话) 一) j = ie x p f ( 7 一虼) ( s ) d s 】一1 i i 皑c ( 话一) i t ，；g 啪i 弦m s ) 删d s i ( 2 1 4 ) 由( 2 1 1 ) 得 盼( 话) + ) 一鳄。( i e ) - ) l m 1 ， ( 2 1 5 ) ( 其中m i ( 0 ，+ 。o ) 是常数) ，则由( 1 3 ) 和( 1 5 ) 可得变量可譬c 在f 0 ，7 1 是有界的根据h e l l y ， 定理知v t 【0 ，t 】在l 2 ( o ，丁) 上皑c ( t ) 收敛于箩( ) ，鳄c 收敛于y 1 0 宁夏大学硕上学位论文第二章非线性与役龄相关投资系统解的存在性、唯一性 因为 现在证明y t , 三y ，对于任意的t 话t 0 ， 1 3 q 研叶d m协i仉 k 池 以如 一、，圳蜘 肚k 蚶删m i 0 jm 僻瞰 科一= 譬 k 刚取以 宁夏大学硕七学位论文第三章非线性与役龄相关投资系统的最优控制问鳖f 迨 j z 。0 t ，f 。a + 删刺k p ( n ，拙d t ，( p o ) 令： k ( a ，t ) = y ( t ) r ( a ，) ( 3 2 ) i 也+ 玩+ p ( 口) k = 0 ， ( n ，t ) q ， 露( o ，t ) = 7 ( t ) a c t ) l f 3 ( t ) f 孑+ k ( a ，t ) d a l “，t ( o ，t ) ( 3 3 ) ik ( a ，d ) = 蚤，o ( d ) n ( 0 ，a + ) fd 霞( 口，t ) = 一p ( a ) k ( a ，) ， 口e 于q ， ! i m 霞( 九，h + ) = 7 ( t ) a ( t ) l p ( t ) 瞄+ k ( a ，t ) d a l 。，n e 于t ( o ，t ) ( 3 4 ) i ，l _ o 【k ( a ，d ) = ( 口) n e 于( 0 ，o + ) d k ( 口，) = l i 。m 。 n k ( n + ，t + ) 一霞 ，t ) l ， 通过( 3 4 ) 中第一个式可得( 3 3 ) 中的一个解霞在方程a t = ，( a ，t ) q 口e a ，) 冗中 是几乎处处连续的函数把( 3 2 ) 代入( 3 1 ) 中可得到下式 【d y ( t ) + 圣( g o ( ) y ( t ) ) 秒( ) + p ( t ) 可( ) 】k ( 口，t ) = 0 ， 口e ( a ，t ) q ，y ( o ) = 1 那么我们得到下列方程： d y ( j 枷( ( 郴) ) y ( 。) + p ( 咖( 。) - 0 ，m e 涎( 咿) ， ( 3 5 ) 【y ( o ) = 1 其中 k o ( t ) ：厂露( n ，) d 。， 】 ，0 1 4 宁夏大学硕十学位论文第三章诈线性与役龄相关投资系统的最优控制问题讨论 而且以y p 表不( 3 5 ) 的解并代入( 岛) 得最大值 z t 仇( ”p ( 剪p ( n ，t ) 出， ( p ) 使得p ，这里 m ( t ) = g ( a ) k ( a ，t ) d a ，t 【0 ，刁 j o 所以，通过分离变量得出： z tz 。+ p ( t ) 9 ( 口) k p ( 口，t ) d a d t = z t m ( t ) 肛( t ) y p ( 口，t ) d t 3 2 最优控制的存在性 本节研究最优控制的存在性，考虑下列问题 曲：h 引 妇 掣卜叫 阿 ) 涎( 0 了) ( 3 6 ) 【y ( o ) = y o ( 0 ，+ 。) 、 。 引理3 1 系统( 3 6 ) 有一个唯一的c a r a t h e o d o r y 解 证明 以雪表示c a r a t h e o d o r y 的解， d 篓：= 一p ( ) y ( ) ，。( o ，t ) ， ( 3 7 ) i 耖( o ) = y o 、 和 c = 王，( ) l 。( o ，丁) ；0 正，( ) 雪( ) a e t ( 0 ，t ) ) 定义少：c _ e 岁 = y h ，则由b a n a c h 不动点定理知y h 是系统( 3 6 ) 唯一的 c a r a t h e o d o r y 解 则对于( p ) 式最人值： z r m ( ) p ( ) 可p ( n ，t ) d 有p ，且y 是系统( 3 6 ) 的c a r a t h e o d o r y 的解 引理3 2 如果肛nc ，并且肛。于2 ( 0 ，t ) 中弱收敛于p ，那么旷n 一矿丁l 2 ( 0 ，t ) 1 5 宁夏大学硕：学位论文 第三章1 乍线性与役龄相关投资系统的最优控制问题讨论 证明 因为耖h 是( 3 6 ) 的c a r a t h e o d o r y 解，可得： 耖p n ( t ) = e x p f 一0 。( 肛n ( s ) + 圣( 硒( s ) y p n ( s ) ) ) d s 】y o ， 对于vt 【0 ，刁，有0 耖胁( t ) 雪( ) vt 【0 ，明，( # c t ) 是( 3 7 ) 中定义的) 并且给出序 列 ) ，( ) = 圣( k o ( t ) 可“( ) ) ，a e t ( 0 ，t ) 满足0 ( t ) m ，a e t ( 0 ，t ) ，且 m ( 0 ，+ o o ) ，由于l 2 ( o ，t ) 且弱收敛p ，可得：可从叶矿于l 2 ( o ，t ) ，且矿是下式的 c a r a t h e o d o r y 解， fd y ( t ) + ( t ) 可( ) = 一p ( t ) s ( t ) ，t ( o ，t ) ， 气 【可( o ) = y o 并可得： z 么( ) = 圣( k o ( ) p “( ) ) ，圣( j 而( ) 雪”( ) ) ， 丁2 ( 0 ，t ) 因此得到结论： 。( ) = 圣( k o ( ) 雪”( ) ) ，y p = 雪p 成立 定理3 3 系统( 3 7 ) 的解至少存在一个最优解 考虑 d = “s u p ，。t r n ( t ) p ( ) 矿( ) 出 显然d 【0 ，+ 。o ) 令i z 。e ，有 d 一元1 0 和 “+ u 5 仇p 。午( s ；t ，z ) d s + f ti + 1 ) m u y c + ”v ( s ；t ，z ) d s + 扣砥1 ) h 皑卧”( ( i + 1 )