（运筹学与控制论专业论文）考虑主副理赔的风险模型及其破产概率的研究.pdf

硕十学忙论丈 摘要 经典风险模型及许多新的推广模型有一个共同的局限性，就是只考虑一类同 质风险的破产概率。但实际上保险公司经营的险种是多元化的，并且随着新险种 不断开发和投放巾场，多险种经营风险也会相应地增加。因此研究在这种复杂情 况下的风险控制模型成为很现实的问题。本学位沦文的研究是，在经典风险模型 的基础上，建立了含有主副理赔的风险模型，然后用随机过程和j x l 险数学理论对 其做了较细致的研究。 对于这类有主副理赔的风险模型，我们主要从以下几个方面进行研究： 首先，对短期个别风险模型和长期聚合风险模型的理赔总额的分布性质及特 征做了较深入的研究，给出了混合型随机变量和的概率分布和短期个别风险模型 理赔总额的统计特征与近似分布；在复合分布的框架下，研究了聚合风险模型理 赔总额和个别理赔额之间的分布关系，给出了和个别理赔额对应的理赔次数的实 用计算方法，即在总索赔额服从复合泊松分布时，把不同理赔额对应的理赔次数 的计算转化为线性方程组的计算。 其次，考虑不同险种问的相互关系，建立了一种含有主副理赔的风险分析模 型；借助随机过程和经典风险理论，对该风险模型所涉及的风险过程、盈余过程 的统计特性以及理赔总额的概率分布、数字特征和矩母函数进行解析研究，给出 了主理焙次数服从泊松分布和负二项分布的这种风险模型的具体实例，并在理赔 额变量服从w e 儿1b u l 分布和e x p o n e n t i a l 分布的情况下，把文中所建风险模型和理 赔次数相互独立的风险模型作了比较，所得结果有很好的现实意义。 最后，本文研究了有主副理赔风险模型的破产概率，给出了在主副理赔额变 量服从指数分布时，破产概率的具体表达式，同时通过对两险种风险模型的 l u n d b e r g 系数间的比较，得出了主副理赔对风险模型破产概率的影响。 本学位论文所得结果为保险实务中的多险种的业务管理和破产概率的分析计 算提供了思路，具有一定的指导作用和现实意义。 关键词：风险模型；破产概率；l u n d b e r g 系数；交互作用；主理赔；副理赔 考虑乇剐州赔的j 扎险横利及其破产概率的研究 a b s t r a c t t h e r ei sac o m m o nl i m i t a t i o no ft h ec l a s s i cr i s km o d e la n di t se x t e n d e dm o d e l s t h e yo n l yt a k ei n t oac l a s so fh o m o g e n o u st y p e - i n s u r a n c eb u s i n e s s b u ti nf a c t ，t h e k i n d so fi n s u r a n c eb u s i n e s sa r ed i v e r s i f i e d ，a n dt h er i s ko fo p e r a t i n gm u l t i 1 i n e s i n s u r a n c ew i l la l s oi n c r e a s ew i t hn e wk i n d so fi n s u r a n c eb u s i n e s se m p o l d e r e da n d l a u n c h e d s ot h es t u d yo ft h er i s kc o n t r o li nt h ec o m p l e xs i t u a t i o nt u r n si n t oar e a l i s t i c q u e s t i o n an e wk i n do fr i s km o d e lw i t hm a i nc l a i m sa n db y c l a i m sw a sb u i l to nt h e b a s i so fc l a s s i c “s km o d e l si nm yd i s s e r t a t i o n im a d ed e t a i l e di n v e s t i g a t i o no nt h i s n e wm o d e lt h r o u g ht h ew a yo fs t o c h a s t i cp r o c e s sa n dr i s kt h e o r y f o rt h i st y p eo fn e w m o d e l ，w es t u d yi tm a i n l yf r o mt h e s ew a y s ： f i r s t ，w em a k ef u r t h e rr e s e a r c ho nt h en a t u r ef e a t u r e so ft h e i rd i s t r i b u t i o n s ；g i v e o u tt h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no ft h em i x e ds t o c h a s t i cv a r i a b l e s ，a n dt h es t a t i s t i c a l f e a n j r e sa n dt h ea p p r o x i m a t ed i s t r i b u t i o n so ft h es h o r t - t e r mi n d i v i d u a lr i s km o d e l s a l s ot h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h et o t a la m o u n to fc o m p o u n dc o m p e n s a t i o na n d i n d i v i d u a lo n ew e r ei n v e s t i g a t e d a tl a s tw eg i v eo u tak i n do fp r a c t i c a lc a l c u l a t i o n m e t h o df o rt h ei n d i v i d u a l r i s km o d e l t h a ti st h ec a l c u l a t i o no ft h en u m b e ro fc l a i m s t r a n s l a t i n gi n t ot h ec a l c u l a t i o no fv a n d e r m o n d ed e t e r m i n a n t s e c o n d ，ak i n do fr i s km o d e lw i t hm a i nc l a i m sa n db y - c l a i m si sb u i l tu n d e r s p e c i f i cc o n d i t i o n s w eo b t a i nt h er i s kp r o c e s si n v o l v e di nt h i sm o d e l ，t h es t a t i s t i c a l p r o p e r t i e so ft h es u r p l u sp r o c e s s ，a n ds t a t i s t i c a lf e a t u r e so ft h ec l a i mn u m b e r sa n dt h e p r o b a b 订i t yd i s t r i b u t i o no ft h et o t a la m o u n to fc o m p e n s a t i o n t h et h r e et y p e so f b u s i n e s so ft h er i s km o d e li s g i v e nw h e nt h en u m b e ro fc l a i m so b e yp o i s s o n d i s t r i b u t i o na n dn e g a t i v eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o n w em a k eac o m p a r i s o nb e t w e e nt h e r i s km o d e lb u i l ti nt h et h e s i sa n dt h ec l a s s i cr i s km o d e l sw i t hi n d e p e n d e n tc l a i m n u m b e r sw h e nt h ea m o u n to fc l a i m so b e y 、色i l l b u l id i s t r i b u t i o na n de x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n t h er e s u l t sh a v eag o o dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e t h i r d ，t h i sp a p e rm a k e sr e s e a r c ho nt h ee x p r e s s i o no fr u i np r o b a b i l i t yo ft h e r i s km o d e lw i t hm a i nc l a i m sa n db y - c l a i m s ；o b t a i nt h es p e c i f i ce x p r e s s i o no fr u i n p r o b a b i l i t yw h e nt h ea m o u n to fc l a i m sf o l l o wt h ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n a tt h e s a m et i m e ，w eo b t a i nt h ee f 佗c t so nt h em i n p r o b a b i l i t ym a d eb yt h em a i nc l a i m sa n d b y - c l a i m st h r o wt h ea n a l y s i so ft h el u n d b e r gc o e m c i e n to ft h er i s kp r o c e s s t h er e s u l t si nt h i sp a p e rh a v ei m p o r t a n ts i g n m c a n c ei nb u s i n e s sm a n a g e m e n to f m u l t i t y p ei n s u r a n c ec o d e sa n dt h ea n a l y s i so fr u i np r o b a b i l i t yi nt h ei n s u r a n c ea c t u a l p r a c t i c e k e yw o r d s ： r i s km o d e l ；r u i np r o b a b i l i t y ； l u n d b e r gc o e m c i e n t ； m a i nc l a j m ； b y c l a i m i i 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法 律后果由本人承担。 上 作者签名：膨枷锦 日期：研年r 月弘日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收 录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 导师签名： 日期：锄呷年j 月弓。日 日期：砂j 一月岁9 日 硕十学位论：艾 1 1 风险理论及其起源 第1 章绪论 精算学是一门通过建立数理模型来分析末来风险所导致的财务影向的学科， 它的发展源泉和主要应用领域是保险业。保险经营中的核心问题，如保险金的设 计、保险事故的出险率和损失程度的估计、费率的厘定、准备金的提留、保险资 金的投资与管理以及保险人的资产负债管理与偿付能力管理等，始终足精算学的 主题。因此，精算学又被称为保险数学。而风险理论传统上被认为是保险精算学 的经典内容。它的发展从二十世纪初l u n d b e r g 的工作到今天从未间断过，一直有 人对它抱有持续的兴趣。风险理论的研究主要源于保险公司对承保项目可行性研 究，它从保险公司的角度出发，宏观地看待各种保险业务，从中概括出同质风险 和非同质风险，通过对同质风险的分析，抽象出各种随机模型，它是风险经营者 或决策者对各种保险风险进行定量分析或预测的重要工具。初期的风险理论研究 的是短期个体风险模型( i n d i v i d u a i r i s km o d e l ) ，它是以每张保单为研究对象，考虑 某保单组合在一定时期内可能发生的理赔总量，进而考虑全部保单组在某段时期 的理焙总量，此时的风险理论称为个体风险理论( i n d i v i d u a l r i s kt h e o r y ) ，这个模型 可以描述特定数量的一组保单的总索赔额。比如，保险公司某年初发行了一万张 火灾保险的保单，保险期限为一年，那么这一组保单将为该保险公司所带来的总 索赔额就可以由上述的短期个别风险模型来描述。短期个别风险模型用数学语言 描述为：假设保险人在某个时间段( 比如一个会计年度) 内售出了甩张保单，对 第f 张保单来说，在这段时间内可能发生索赔，也可能不发生索赔，若发生索赔， 则索赔额可能是确定的金额，也可能按损失程度大小和保险责任的具体条款而定。 假设第f 张保单可能的理赔额为随机变量x ，( f _ 1 ，2 ) ，从而保险人在这个时间内 的理赔或赔付总量为： s = + + 以= 五 p l 对个体风险模型通常还作如下假设： ( 1 ) 每张保单是否发生理赔，以及理赔额大小是相互独立的，即墨，e 是 独立随机变量序列。 ( 2 ) 每张保单至多发生一次理赔。若用随机变量，表示每张保单可能发生的 ，n1 、 理赔次数，则，的取值为。或l ，即，服从。一1 分布，记作，i v 1 l ，其中鸟表 考虑卡副邢9 1 的j x l 险模型及其破产概率的研究 示理赔发生的概率。 ( 3 ) 保单组合中的风险均为同质风险，即每张保单项下的理赔变量 x ，( f - 1 ，2 ) 具有相同的概率分布。 ( 4 ) 保单总数，? 是一个确定的正整数。 关于这一时期风险理论的回顾可参见g e r b e r 。后来发展了聚合风险模型， 即把全体投保者看成一个整体，索赔的发生为一个随机过程。用数学的语言描述 为：用表示某类保单在单位时间( 比如一个会计年度) 内发生理赔的次数，用 z ( f _ l ，2 ) 表示该类保单第f 次理赔金额随机变量列，则该类保单在此期间的理 赔总量s 可表示为： ， s ：x i _ _ p l 其中： ( 1 ) 取值非负整数，它是与保单组合的理赔发生频率有关的随机变量，称 之为理赔次数随机变量。 ( 2 ) 置，( 江1 ，2 ) 为取值正数的随机变量序列，称之为理赔额随机变量。 ( 3 ) ，x ，z 相互独立。 ( 4 ) 墨，x ：具有相同的分布，即置都是同质风险。 这个模型可以描述在一定期限内所发生的总索赔额。比如，要考察2 0 0 0 年年 初到年末这一期间内一保险公司所遭受的由机动车辆第三者责任险所引发的总索 赔额。对该类模型的研究可参见f e l l e r 【2 1 等及成世学3 、4 1 等。这两种模型是相互关 联的。比如上述的这个关于汽车第三者责任险例子里，总索赔额还可以由个体风 险模型来描述，而在其中套着聚合风险模型。更具体地，设该年发行的全部保单 分别被编号为第1 ，2 ，n 号保单，其中以为一自然数，而记第七张保单持有 人的总索赔额为丘，则保险公司这一年当中的总索赔额s 可以由上述的个体风险 模型来描述。进一步地，若记瓦为第七张保单持有人的第次索赔额，记饥为第 七张保单持有人在这一年内的全部索赔次数，则第七张保单持有人的总索赔额为 置就可以由一个聚合风险模型来表示，即 肌 置= 如 j = l 此时，保险公司在这一年中所遭受的总索赔额为 nnn o s = k = 七= l七= lj = l 破产理论是风险理论的经典内容，它研究的是保险公司破产的可能性有多大， 若可能破产何时破产，破产时的亏损会有多大，影响这些事情的因素有哪些，如 何控制这些因素进而控制破产的发生。破产问题的研究有助于保险公司偿付能力 2 硕十：学f 矗论文 管理。在破产理论中，破产概率是指保险公司的资产最终为负的概率，它能够为 保险公司的决策者提供一个风险警示手段，它己经成了评估保险公司偿付能力的 一项重要指标和保险公司控制风险的定量标准。所以，建立接近保险公司实际运 作的保险模型和探究易于实际应用的计算破产概率的方法，成为保险精算界研究 的重要课题之一。目前公认破产理论尤其足破产概率较为系统的理论形成始于 l u n d b e r g 和c r a m e r 。19 0 3 年，瑞典精算师f i l l i pl u n d b e r g 在其博士论文中首次引 入风险理论最重要的一类随机过程一一p o i s s o n 过程，并重点讨沦了模型的破产概 率等问题。这一成果奠定了经典风险理论发展的基础。不过，l u n d b e r g 的工作不 符合现代数学的严格标准，它的严格化是以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学派完成 的，是c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作建立在坚实的数学基础之上的。继c r a m e r 之后 破产理论研究中的最令人瞩目的成果之一是方法论上的改进，主要是f e l l e r 引入 的更新证明技巧和g e r b e r 引入的鞅证明技巧【5 1 。这两种方法已成为研究经典破产 论的主要数学工具，近期大量文献所研究的风险模型虽然有不同程度的推广，但 所用的方法绝大部分还是以上两种。这个领域的主要著作有 6 、 7 】、【8 】、【9 】等。 1 2 风险理论的发展现状 f 面我们先简单介绍一f 经典风险模型： 给定概率空间( q ，f ，p ) ，令”o ，c o ，f o ，有： “) u ( f ) = 甜+ c 卜置 ( 1 1 ) 其中 u ( f ) ，f o j 表示f 时刻保险公司的盈余额，它是一个随机过程，称为盈余过程； u ( o ) = 群是保险公司的初始资本；c 表示单位时间内的保费收入； 五，净1 ，2 是 随机变量序列，它表示第f 次索赔发生时的索赔额； ( ，) ，f o 是一计数过程，表 示在时间区间【o ，f 】内发生的索赔次数。 对模型( 1 1 ) 再作如下假设： ( 1 ) 计数过程 ( f ) ，f o 是强度为九的p o i s s o n 过程。 ( 2 ) 五，江1 ，2 ) 是独立同分布序列，共同分布为f ( x ) ，x 的后阶原点矩为 仇( 后= 1 ，2 ) 。 ( 3 ) ( ，) ，f o 和 置，f = 1 ，2 独立。 ( 4 ) 单位时间内的保费收入c = ( 1 + e ) a a ，8 为相对安全负载。 这样的风险模型我们称为经典风险模型，又称为l u n d b e r g c r a m e r 经典风险模型。 对上述模型上有如下结论： ( 1 ) o 时刻破产概率甲( o ) 2 言。 3 考虑卡剐珊蝣的j 扎险模，弘及茛破产概率的研究 ( 2 ) l u n d b e r g c r a m e r 不等式：y ( 甜) p 娟”，其中甲( “) 表示初始资产为“的破 产概率，尺是l u n d b e r g 系数。 ( 3 ) l u n d b e r g c r a m e r 近似式：存在常数c ，使得! 姥丢等= l 。 c r a m e r 在其c o l l e c t i v er i s kt h e o r v 一书中给出了以上结论的证明，但分析的 方法比较烦琐，f e l l e r 在其书a ni n t r o d u c t i o nt om a t h e m a t i c a la n di t sa p p l i c a t i o n 运用了更新理论，而g e r b e r 在m a r t i n g a l ei nr i s kt h e o r y 一书中运用了鞅方法， 他们都给出了简洁的证明，在此不予详细说明。 经典风险模型的研究为风险理论的研究奠定了基础，但它不能很好地反应保 险公司的经营情况，与现实生活操作有很大的差距，因此，已有很多风险理论研 究者对经典风险模型作出了更符合经营实际的推广。这些推广主要体现在： 1 索赔过程的推广 主要是把索赔过程推广到一般的更新过程。通过用更一般的分布来代替指数 分布，使得索赔过程成为一个般的更新过程，如d i c k s o n 【10 1 、孔繁超、曹龙和王 金亮】、l is h u a n m i n g 【12 1 ，其中近年来国外有一些文献，如d i c k s o n ，c m ，h i p p ， c h r i s t i a n 【13 1 、s u n ，l i j u a n 【1 4 1 把索赔等待时间用e r l a n g ( 2 ) 分布来表示，获得了更符 合实际结果的另一类索赔总额过程。 2 保费收入的推广 经典模型中保费收入是时间，的函数，是一个确定的线性过程。现在很多学 者把他们推广到随机过程，如董英华与张汉君把它推广到一般的p o i s s o n 过程1 5 1 ； 如文献 1 6 】中刘家军与刘再明考虑保费到达为更新过程的复合更新风险模型。 3 随机干扰的引入 保险公司在实际经营中常常会受到外在环境中的各种突发性因素的影响，尤 其是任意时刻的投保人数、退保人数、索赔人数等都存在一定的随机干扰因素。 g e r b e r 首次通过对经典风险过程增加一个w i e n e r 过程来研究破产概率： ( ，】 犬( ) = 弘+ 以一s ( ) + 形( ) = 掰+ c f 一墨+ 形( f ) 该风险过程的破产概率定义如下： 甲( 甜) = p u 尺( f ) 0 的情况，其它假设与经典模型相同， s u n tt e u g e l s 【2 4 1 给出的风险过程如下： 搬( f ) = 月( ，) 6 衍+ c 班一s ( f ) 上式对应的积分方程为： r ( ，) c 竿一p 叫嬲( ，) 该风险过程的破产概率为： 甲( 掰) = p 汐 r ( ) o l 疋( o ) = 拼 ， v u o 。 关于这部分的内容的文献有【2 5 2 7 】等。 5 投资收益的描述 w a n gg u o j i n g ，w ur o n g 讨论一类随机投资回报的风险模型。在经典风险模型 的基础上，w a n gg u o j i n g ，w ur o n g 假设投资产生的随机回报满足2 8 】： ，( f ) = 6 f + 仃彬 这里 形( ，) ，f o 是一个标准的b r o w n i a n 运动，表示时间，时不确定的投资回报，并 且与过程 s ( f ) ，f o 相互独立，下述线性随机微分方程的解就是具有随机投资回 报的风险过程： y ( ) = 只( f ) + f y ( s 矽( s ) ， 它的解是： 】，( ，) 一p p ( r ) 啦+ f e x p 一尸( s ) 搬( s ) ) 其中： ，1、 p ( f ) = i6 一去仃2i f + 仃彬。 厶 6 离散型风险模型的研究 考虑在实际经营中，保险公司对一些重要的业务是按某个时间段来收取保费 和支付索赔量的，这个时间段通常为一年，例如在人寿保险中保险以年为单位向 投保人收取一定的保费和支付索赔量的。对保险公司来说一年内仅可能出现两种 情况：或有一次索赔发生或没有索赔发生。类似这种情况可用复合二项风险模型 来描述，如文献 2 9 3 2 】。 7 重尾分布的风险模型 经典风险模型研究的是关于“小索赔 情形的破产论，一个很强的约束是要 求调节系数的存在，如果调节系数不存在，则更新理论和鞅方法都无法奏效，这 样，对于“大索赔 情形的破产论，更确切地说，是对于重尾分布的破产论的研 5 考虑 ：副珊蝣的j 杖险模刊及其破产概牢的研究 究就必然启用新的数学工具，如亚指数分布33 1 。这样的研究适用于火险，风暴险 与洪水险等灾难性保险。p a u le m b r e c h t s 与c l a u d i ak l u p p e l b e r g 分别在m o d e l i n g e x t e r e m a le v e n t sf o ri n s u r a n c ea n df i n a n c e 矛口s u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n 两书 在这方面开展了系统的研究。 1 3 本文的主要内容和创新点 1 3 1 本论文主要内容 随着保险业务结构和基金投资行为在现代社会日益复杂的经济活动中的广泛 运用和重视，考虑更新更广泛的随机因素，通过对传统风险模型的不断改进，建 立新的风险模型，研究复杂保险业务的统计特征和性质以及该类复杂保险业务的 破产概率，是随机金融数学蓬勃发展的动力所在。本文正是在考虑了不同险种间 的组合对风险过程有重要影响作用，从而按上述思路而提出的一个具体研究问题， 目的是通过本课题的研究，对一种新的风险模型及其统计特征和相应的破产概率 有一个深刻的认识。主要内容和结构如下： 第l 章绪论主要介绍了风险理论及其发展现状，最后给出了本学位论文的主 要内容和创新点。 第2 章在深入研究经典风险模型的基础上，给出了复合风险模型中理赔总额 一般分布规律的研究。包括：一定条件下，一种混合型随机变量和的概率分布； 风险组合中，不同理赔额发生概率的计算；在复合分布的框架下研究聚合风险模 型理赔总额和个别理赔额之间的关系，给出和个别理赔额分布相关的实用的计算 方法。 第3 章考虑不同险种之间的关系，在一定的条件下，建立一种更符合保险公 司经营现实的风险分析模型；借助随机过程和经典风险理论，对该风险模型所涉 及的风险过程、盈余过程的统计特性以及理赔总额的概率分布、数字特征和矩母 函数进行解析研究。 第4 章在上面三章内容的基础上，分析了险种间的相互关系对破产概率的影 响，给出在主副理焙额服从指数分布情况下破产概率的具体表达式，并且通过风 险模型的l u n d b e r g 系数的研究得出两险种的各风险模型间破产概率之间的关系。 第5 章结论与展望，给出了本论文结论及对今后研究的展望。 1 3 2 本文主要创新点 ( 1 ) 在复合泊松分布下，把保单不同理赔额对应的理赔次数的计算转化为线 性方程组的计算。一般参考文献给出了纯离散型随机变量和的分布或纯连续型随 6 硕十学何论文 机变量和的分布，本文从保险实务出发，给出了保险实务中经常遇到的混合型随 机变量和的概率分布。推广了复合泊松分布和复合负二项分布的“叠加性”和“分 解性”定理，把保单不同理赔额对应的理赔次数的计算转化为线性方程组的计算， 这一结果为保险业务的管理提供了很好的指导意义。 ( 2 ) 建立了更符合风险实际发生过程的含有主副理赔的风险模型，并对该风 险模型的性质进行了研究。在保险公司实际经营中，各险种之间存在着一定的关 系，如某次机动车交通事故的理赔可能会引起人员受伤死亡和车上财产损失赔付 等，本论文在考虑了保险公司的各险种间的相互关系后，建立的一种风险分析模 型，并借助随机过程和经典风险理论知识对该风险模型的理赔次数统计特性和理 赔总额的数字特征进行了解析研究，给出了主理赔次数分别服从泊松分布和负二 项分布该风险模型的具体实例。并在理赔额变量服从w e i l l b u l l 和e x p o n e n t i a l 分布 的情况下，把本论文所建的风险模型与理赔次数相互独立的风险模型间的数字特 征进行了比较，所得结果有重要意义。 ( 3 ) 给出了含有主副理赔的风险模型在主副理赔额服从指数分布时的破产概 率的解析表达式。文中给出了初始盈余、时间、附加保费和泊松参数，在其他条 件一定的条件下，对复合泊松盈余过程破产概率的影响。给出了该风险模型在主 副理赔额服从指数分布情形下的破产概率的具体表达式，并以两险种为例，把文 中所建风险模型和现有风险模型的l u n d b e r g 系数作比较，得出各个模型破产概率 之间的关系，加深了我们对各风险模型的理解。 7 考虑卡剐州峙的j 邮令模刊及其破产概率的研究 第2 章复合风险模型中有关理赔总额分布的研究 目前有关讨论风险模型巾所涉及同类型随机变量和的分布的文献较多i j4 。 j ， 如文献 3 4 】和【3 5 主要介绍并应用了多个随机变量和的卷积公式，文献 3 6 】和 3 7 】 也只给出了一个离散型随机变量和一个连续型随机变量和的概率分布的例子及求 法，并没给出一般性的结论。但住保险实务中，单个保单理赔额通常不能用纯离 散或纯连续的随机变量来刻画。如在责任险中，单个保单理赔额有很大的取值范 围，但每一种理赔额都对应一个非常小的发生概率，特别地无理赔额( 理赔额为 o ) 的发生概率很大等，在保险金融中如何简洁地描述和处理这些随机变量就显得 尤为重要。本章节对保险中的短期个别风险模型和长期聚合风险模型通常涉及到 的理赔总额的分布进行了分析，给出了理赔总额的一系列分布性质和相关的计算 方法。 2 1 短期个别风险模型理赔总额的分布 为更好地研究短期个别风险模型，我们首先研究混合型随机变量和的分布。 对混合型随机变量的和，我们有以下结果和应用。 定理2 1 设随机变量z = + ( 1 一，) 】，其中，是独立于x 、】，的服从参数为p 的b e r n o u l l i 随机变量，x 是离散型随机变量，l ，是连续型随机变量，则混合型 随机变量z 的分布为 e ( z ) = p 以( z ) + ( 1 一p ) e ( z ) ，且e z = p e 【x 】+ ( 1 一p ) e 【】，】。 r1 、 当尸 ，= 寺 = 1 ，即，为一点分布时又有乞( z ) = p ( 以) e ( 2 z 一以) 。 lj = l 证明：当，是独立于x ，y 的服从参数为p 的曰g 朋d “盯f 随机变量时， f ( z ) = p z z ) = p z z ，= l + p z z ，= o ) = 尸 x z ，= 1 ) + 尸 】，z ，= o ) = p x z ) 尸 ，= 1 ) + p 】，z ) p ，= o ) = p 以( z ) + ( 1 一p ) e ( z ) 并且 e z = 研+ ( 1 一，) 】，】 = 互【j 】e 【x 】+ ( 1 一e 【j 】) e 【y 】= p e 【x 卜( 1 一p ) e 【】，】 当，服从一点分布时， 8 硕十学他论文 从而结论得证。 ，( z ) = 尸 z z = 尸 x + j ，2 z r 1 = 尸 u x = 坼，】，2 z 一吒 = 尸 x = 诈，】，2 z 一而 l 七= ij 七= 1 = 尸 x = 尸 】，2 z 一以) = p ( ) e ( 2 z 一) ， 推论2 1 设短期个别风险模型s = 墨中某险种的理赔额为随机变量b ，用 p l z 表示第f 张保单可能发生的索赔额，z ( 1 ，2 ，z ) 为独立同分布的随机变量，并 且每张保单以概率p 最多发生一次理赔。则对索赔总额s = 墨有 j = l 证明： e s 】= 印e b 】，妇，【s = 印 ( 1 一p ) e 2 b + 玩r 【b ) 。 令随机变量= 吕，翟篆篡赔， 则 p = 1 = p ，尸 = o = 1 一p ， 即为独立同分布的b e r n o u l1 i 随机变量( f _ 1 ，2 ，刀) ，并且墨= b 。则由定理 2 1 有 醪= e 瞽 - 峭埘即却聊】 燃= 助黔卜酬仆删删 = 刀 肋嘲bj 删+ 砸胁硼) = 胛 砌，【e ( b ) 】+ e 【坛r ( b ) 】) = 疗 e 2 b 玩， 】+ e 】妇， b ) = 印 ( 1 一p ) e 2 b + 玩， b ) ， 从而结论得证。 在对短期个别风险模型s = 置的处理中，要切实地计算出总索赔额的分布 f = l 是很困难的事情，当索赔次数很大时，可以采用正态分布来近似地代替它的真实 9 考虑丰副州惦的胍险模州及其破产概率的研究 分布，与以往的文献处理不同，此处采用矩母函数的方法给出另一种简洁地证明。 定理2 2 设短期个别风险理赔总额s = 芝z 中，随机变量序列五，以独立 同分布，且研一 _ “ 佃，比尸 置 - 仃2 + o 。，则 嘞尸 等x 卜卟) ，其中吣) 为标准正态分布函数值。 证明：令s + = ( s 一船m p i ) = ( 善墨一甩m p 万) ，则由矩母函数的性质得 h， 鸭一) = p 一字( 也( 南盯 从而 t 嗽= 粤+ 十峨( 南) ) = 一孚+ 托卜南+ 双南) 2 + d ( 爿r “。 故虬( ，) 专p ；，2 ( 刀jo 。) ，又相应于矩母函数p ；，2 的概率分布为( o ，1 ) ，从而 从而结论得证。 脚吖等x 卜。 _ m 【仃即j 作为上述结果的示例，假设某保险人承保了具有如下特征的风险组合：( 1 ) 每个风险索赔发生的概率为0 0 1 ；( 2 ) 索赔发生时损失密度函数为 弛) = 寂在叭从1 。该保险人的安全附加是o 5 ，己知总赔付超过总保费的概 率是o 0 5 ，试分析该组合的风险保单数，2 。 此问题可用个别风险模型来描述，即s = 置。由推论2 1 可得 f = l 醪= 印皿= o 0 1 行fx ( 1 5 一x ) 出= o 0 0 4 1 6 6 6 7 刀 砌心= 印 ( 1 一p ) e 2 b + 玩订b ) = ，z 。 。9 9 ( f x ( ，5 一x ) 出) 2 + f x 2 ( ，5 一x ) 出一( f x ( ，5 一z ) 出) 2 = o 0 0 2 4 8 2 6 4 刀( 万元) 1 0 硕j 学位论文 则由定理2 2 有 印扎5 啡吖总器卜卜( o s 志 = o - 0 5 即 q ：! 型竺丝丝! ：1 ，6 4 5 0 0 0 2 4 8 2 6 4 即 由此得 咒= 1 5 5 8 4 2 。 因此该保险组合中的风险保单数应为15 5 9 个。 2 2 聚合风险模型理赔总额的分布 与短期个别风险模型不同，聚合风险模型保险期内理赔总额& = 置中， 反映保单发生理赔的次数为随机变量。第f 次可能发生的理赔额置( 江1 ，2 ，) 对不同的f 是独立同分布的，并与独立。 引理2 1 设聚合风险理赔总额& = 置中墨，瓦独立同分布，是随机 变量且与置( 江1 ，2 ，) 相互独立，则& 的矩母函数m 鼬( f ) = m 1 n m 工( f ) 。其 中m x ( f ) 为置共同的矩母函数。 证明： m 曲( t ) = e 口峨 = e e e 蛳i = d e p 一+ d ( m x ( r ) ) = e p 以 j _ m 1 n ( m ( f ) ) ， 从而结论得证。 在引理2 1 的条件下，若是服从参数为五的泊松分布，则称为服从参数 为五的复合泊松分布，由引理知其矩母函数为m ( f ) = p 丑( 膨x ) - 1 ) ；若是服从参数 为r ，p 的负二项分布，则此时称为复合负二项分布，由引理知复合负二项分布 的矩母函数为m 知( f ) 。【南j 。 定理2 3 设聚合风险中墨，是，最是一系列相互独立的服从参数为 以( 江1 ，2 ，m ) 的复合泊松分布，即置= ( f = 1 ，2 ，m ) ，i 是服从参数为五的 泊松分布，x ，( j f = 1 ，2 ，虬) 独立同分布。口。，口：，口。是聊个不同的正数。则总理 赔额s = 哆s 是服从参数为兄= 以q 的复合泊松分布，且其分布函数为 考虑卡副理贼的风险 ：5 ：f 刑及其破j 托概率的研究 f ( x ) = 芝华f ( z ) 。其中巧( x ) ( f - 1 ，2 ，聊) 为理赔额s 的分布函数。 证明：墨= 一，由于( 歹= 1 ，2 ，) 是独立同分布的，故可设它们共同的 矩母函数为m 一( f ) ，从而由引理知m s ( f ) = e 五【肌z 。1 j 。由于s ，是，氐相互独立， 再由矩母函数的性质： m 。( r ) = 虹矿 = e p 一切2 是”帅 = 一 砸扩是 e p ：n ( 略( ，) ) q ：n p 铂( 州一1 ) ：已驯州。1 妻 q ( 而( f ) 一- ) z i 羔等( m ( f ) 一) 1 且总理赔额的分布为： f ( x ) = 芝华巧( x ) 。 由矩母函数与分布函数一一对应的性质可得，s 服从参数为允= 名q 的复合泊松 分布，故结论得证。 定理2 4 设聚合风险中设墨，是，& 是一系列相互独立的复合负二项分布的 随机变量，即墨= o = l ，2 ，m ) ，m 服从参数为，；，p 的负二项分布， ( = 1 ，2 ，虬) 独立同分布，q ，口：，口。是m 不同的正数。则s = 哆墨服从参数 为哆i ，p 的复合负二项分布。 定理2 4 的证明与定理2 3 证明类似，此处不再重复。由证明可知，只有当p 和m x ( f ) 对每个s 都相同时，复合负二项分布才和复合泊松分布一样具有可加性。 定理2 3 和定理2 4 对聚合风险的保险建模有重要的意义。当考虑多个保单 组合的情况时，如果这些组合之间相互独立，且每个组合的理赔可以用复合泊松 分布描述，那么这些保单组合的总理赔额仍然可以用复合泊松分布来描述。对于 同一保单不同理赔额的组合，则有 定理2 5 设理赔总额s 是服从参数为允的复合泊松分布，取值为 薯o = 1 ，2 ，聊) 的个别理赔额其发生的概率为只( f = 1 ，2 ，朋) ，其发生次数为随机 变量m o = 1 ，2 ，聊) 。则该保单的理赔总额s = _ l + 而2 + + m ，并且 k ( 江l ，2 ，珑) 服从参数为乃= 见蟊的泊松分布，即研m 】- 乃= a a ( f = l ，2 ，俄) 。 证明：首先易见s = 毛l + 屯2 + + 虬，则 m s ( r ) ：e p 8 ：e r p 善而m ：e - p 姜m ( 令：，薯) 1 2 硕十学侮沦文 = 茎e e 善f mi = ，z 尸t = 甩， = 孙驴彬m 鲁h = 0 ，一艺所一z f 艺所( 少一- ) 1 兰z 只( 一一- ) 一“p = e 。5 1= p 5 1 从而取值为誓的个别理赔额其发生次数m 服从参数为丑= 兄只( f = 1 ，2 ，聊) 的 泊松分布，结论得证。 定理2 5 说明了若理赔总额服从复合泊松分布，则它可以分解成理赔次数服 从泊松分布的所有单个理赔额的和。定理2 3 ，定理2 4 和定理2 5 说明了理赔 总额和单个理赔额之间的相互转化关系，由此可以更好的研究聚合风险的理赔额 分布，并对整个保险组合的结构有更明确的认识。 推论2 2 设某保险组合的理赔总额s 服从参数为兄的复合泊松分布，其纯保 费为q ，理赔总额s 的各阶矩满足e i ( s 一醪) 。l = 吼( 尼= 2 ，z ) ；并设个别理赔额 的分布为尸 x = 妖 = 仇( 尼= 1 ，2 ，m ) 。则该保险组合中个别理赔额的发生次数 丑，恐，丸是线性方程组# 五= 嚷( 尼= 1 ，2 ，聊) 的解，并且个别理赔额的发生概 率为鼽= 矗以( 尼= 1 ，2 ，聊) 。 证明：设该保单组合发生的总理赔次数为随机变量，x 为该保单组合的理 赔额随机变量，则由理赔总额s 服从参数为兄的复合泊松分布及其满足的