（计算数学专业论文）热方程中的源项识别问题及数值解法.pdf

东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 研究生签名：城 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包 括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 研究生签名：撼 导师签 热方程中的源项识别问题及数值解法 摘要：n e u m a n n 边界条件下的抛物型方程的初边值问题是偏微分方程研究领域中 一类经典的问题正问题是根据己知源项和初边值来求区域温度场的问题反之，如果源 项的某些信息不足或很难直接测得，但它可以通过一些附加信息间接求得，这就构成了源 项识别反问题这是一类典型的不适定问题，需要引入正则化方法 假设q r 2 ，本文考虑的是热传导模型 u t ( x ，t ) = a u ( x ，t ) + f ( x ，亡) ，x q ，t ( 0 ，t ) ， 。0 n u ( 、x ，t ) = 0 ，x 0 9 t ，t 【0 ，卅， u ( x ，0 ) = 夕( x ) ，x q 在某附加信息下所描述的源项识别问题，即利用附加信息来反演三种不同类型的源项 f ( x ，) ，它同时依赖空间变量x 和时间变量t 若源项f ( x ，t ) = 妒( t ) 厂( x ) ，妒( ) 已知，本文 讨论的是利用终端时刻数据u ( x ，t ) = h ( x ) 反演s ( x ) 的反问题在这里采用基本解方法 解决了线性源项的求解；若f ( x ，t ) = 6 ( x s ) 妒( ) ，这里s q 和妒( ) 均未知，本文讨论的 则是利用终端数据u ( x ，t ) = ( x ) ，x q 和边界数据u ( x ，t ) = p ( x ，) ，x 御同时反演 点源s 的位置和强度妒( t ) 若f ( x ，t ) = 亲o ( x ，亡) ，其中0 m ( x ，t ) = e 以象鲲( x ) 是 由某特征函数系所确定的己知函数本文讨论的也是利用终端数据u ( x ，t ) = 危( x ) ，x f t 反演f ( x ，t ) 的问题 文章首先针对三种类型的热源项证明了源项反演的唯一性因为源项识别问题本质 上可以归结为第一类算子方程的求解，故利用t i k h o n o v 正则化方法来求解之根据算子 方程的不适定性，本文利用模型函数的方法来确定后验的正则化参数q ，这是近年来发展 起来的近似求解正则化参数的新方法在热传导反问题中的应用另外模型函数方法避免 了对源项分布的先验的光滑性要求，从而使得考虑的问题具有更为明确的应用背景为 了检验提出反演方案的数值效果，最后给出了相关的数值例子，数值结果验证了该正则化 方法的有效性 关键词：热方程，不适定问题，源项识别，基本解，t i k h o n o v 正则化，模型函数，数值 解 i d e n t i f i c a t i o no ft h eu n k n o w ns q u r c ei nah e a t - e q u a t i o nw i t hn u m e r i c a ls o l u t l o n a b s t r a c t ：t h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o nu n d e rn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o ni 8ak i n do fc l a s s i c a lp r o b l e mi nt h er e s e a r c hf i e l d so fp d e i t s d i r e c tp r o b l e mi st og e tt h et e m p e r a t u r ef i e l df r o mt h eg i v e ns o u r c ea n di n i t i a lb o u n d a r y v a l u e s h o w e v e r ，t h ei n f o r m a t i o no ft h es o u r c ei sn o te n o u g ho rh a r d l yt ob em e a s u r e dd i - r e c t l ys o m e t i m e s ，b u ti tc a nb eo b t a i n e di n d i r e c t l yf r o ms o m ea d d i t i o n a lc o n d i t i o n s t h i s f o r m u l a t e st h ei n v e r s ep r o b l e mf o rs o u r c ei d e n t i f i c a t i o n i ti sat y p i c a li l l - p o s e dp r o b l e m ， a n ds o m er e g u l a r i z i n gm e t h o d ss h o u l db ei n t r o d u c e d s u p p o s i n gt h a tq r 2 ，t h ei n v e r s ep r o b l e mf o rs o u r c ei d e n t i f i c a t i o ng o v e r n e db y t h ef o l l o w i n gh e a te q u a t i o nm o d e l r 札tx ，t ) = a u ( x ，t ) + f ( x ，) ， 舞( x ，t ) = 0 ， lu ( x ，0 ) = 9 ( x ) ， x x x q ，t ( 0 ，t ) ， a q ，t 【0 ，卅， q i sc o n s i d e r e di nt h i st h e s i s u n d e rs o m ea d d i t i o n a lc o n d i t i o n s ，w ei n v e r tt h r e ed i f f e r e n t k i n d so fs o u r c e sf ( x ，) ，w h i c hd e p e n d so ns p a t i a lv a r i a b l exa n dt i m ev a r i a b l et f i r s t l y , i ft h es o u r c ei sf ( x ，t ) = 妒( ) ，( x ) w i t hg i v e n 妒( 亡) ，t h e nw ei n v e r t 厂( x ) f r o mt h ef i n a l t i m ed a t au ( x ，t ) = ( x ) ，w h e r et h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o nm e t h o di sa p p l i e d s e c o n d l y , i ft h es o u r c ei sf ( x ，t ) = 6 ( x s ) 妒( ) w i t hu n k n o w ns qa n d 妒( 亡) ，t h e nw ei n v e r t b o t ho ft h e mb yt h ef i n a lt i m ed a t au ( x ，t ) = h ( x ) a n dt h eb o u n d a r yv a l u eu ( x ，t ) = p ( x ，) ，x a q f i n a l l y , i ft h es o u r c ei sf ( x ，t ) = 黧o x ，t ) w i t hag i v e nf u n c t i o n x ，t ) = e 一臻。0 0 ( x ) d e p e n d e do ns o m es y s t e m so ft h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ，t h e nw e i n v e r tf ( x ，t ) f r o mt h ef i n a lt i m ed a t au ( x ，t ) = ( x ) i nt h et h e s i s ，w ep r o v et h eu n i q u e n e s so ft h ea b o v et h r e ei n v e r s ep r o b l e m sf o rs o u r c e i d e n t i f i c a t i o na tf i r s t i nf a c t ，t h e s ei n v e r s ep r o b l e m sc a nb et r a n s f o r m e di n t ot h es o l v i n g o ft h eo p e r a t o re q u a t i o no ft h ef i r s tk i n d t h e nw es o l v et h eo p e r a t o re q u a t i o no ft h e f i r s tk i n db yt h et i k h o n o vr e g u l a r i z i n gm e t h o d ，d u et oi t si l l p o s e d n e s sp r o p e r t y , w h e r e t h er e g u l a r i z i n gp a r a m e t e ri sd e t e r m i n e db yt h em o d e lf u n c t i o nm e t h o d t h i si san e w m e t h o dd e v e l o p e di nt h er e c e n ty e a r s w h i c hc a nb ea p p l i e dt ot h eh e a tc o n d u c t i o ni n v e r s e p r o b l e m f i n a l l y , s e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ev a l i d i t yo f t h eg i v e nm e t h o d k e y w o r d s ：h e a te q u a t i o n ，i l l p o s e dp r o b l e m ，s o u r c ei d e n t i f i c a t i o n ，f u n d a m e n t a l s o l u t i o n t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n ，m o d e lf u n c t i o n ，n u m e r i c s 第一章 1 1 1 2 1 3 第二章 2 1 2 2 2 3 第三章 3 1 3 2 3 3 目录 引言 热传导反问题的背景 源项识别问题已有的工作 本文的主要工作 源项反演问题的提出及解的唯一性 源项f ( x ，t ) = 妒( ) 厂( x ) ，妒( t ) 已知的情形 源项f ( x ，t ) = 6 ( x s ) 妒( 亡) 的情形 源项f ( x ，t ) = e 亲o ( x ，) ，( x ，t ) = e a 刍碾( x ) 已知的情形 正则化方法在源项识别问题中的应用 t i k h o n o v 正则化 t i k h o n o v 正则化在源项识别中的应用 模型函数方法 第四章数值实现 第五章总结 致 谢 参考文献 1 1 2 3 5 5 9 3 7 7 8 0 4 2 3 4 1 1 2 3 5 5 9 坞 娼加 丛 犯 韶 弘 第一章引言弟一早 ji 西 1 1热传导反问题的背景 近二十年来，由于工程技术的驱动和数学研究工具的进一步深入，对反问题的研究迅 速地发展起来例如在医学成像、无损探伤、模式识别、信号处理、生命科学、材料科学及 地球物理勘探等众多领域中，都提出了由结果反求原因的模型，或者说，由系统的输出来 探测系统内部的结构的问题通常称这类问题为数学物理中的反问题对于什么是反问题， 很难给出一个明确的定义美国斯坦福大学教授j b k e l l e r 在1 9 7 6 年提出f 1 9 ，1 4 】：一对 问题称为互逆的，如果一个问题的构成( 己知数据) 需要另一个问题解的部分信息把其 中的一个问题称为正问题( d i r e c tp r o b l e m ) ，而称另一个问题为反问题( i n v e r s ep r o b l e m ) 从内容上讲，正问题是由一般到具体、由原因到结果、由本质到现象的过程，它的研 究相对比较成熟，而反问题则是由效果反求原因、由表象反求原象、由输出反求输入或者 系统参数的过程，它的研究发展相对而言是不成熟的，因而吸引了国内外许多学者从事该 项研究我国已故的著名数学家冯康教授自上世纪8 0 年代初期就大力提倡反问题数值解 法的研究，对我国反问题的研究和应用产生了深远的影响 反问题与正问题的另一差别在于适定性“适定性 一词源于哲学，早在1 9 2 3 年数学 家j h a d a m a r d 把它引入到数学领域f 8 】，他认为一个正确的数学物理模型必须同时满足 解的存在性、唯一性和稳定性，并将解同时满足以上三大性质的数学物理问题称为适定 的，反之，若三者之一不成立就称之为不适定的一般而言，正问题的提法通常能保证问 题的适定性，因而求解相对容易些然而由于实际条件的限制，反问题的输入数据的给出 方式是有限制的，因此反问题一般是不适定的，这就给求解带来了很大的困难，在求解过 程中必须采用特殊的方法才能得到稳定的数值解至今，数学物理反问题的求解已经发展 了很多的方法，例如脉冲谱技术、最佳摄动量法、蒙特卡罗方法、优化方法及各种正则化 方法等 近年来，国际上越来越多的学者对偏微分方程的反问题进行研究很多应用领域的辨 识和控制问题都可以转化为有关的偏微分方程的反问题，例如地下水的扩散问题、逆散 射问题、电导率确定问题以及热传导问题都是重要的研究领域其中热传导方程的反问 题可以分为四类： ( 1 ) 已知一部分边界和区域内局部的温度分布确定剩余边晃上或内部的热流或温度5 ， 1 1 】； ( 2 ) 已知区域内部某时刻的温度分布确定初始温度2 0 ，2 1 1 ； ( 3 ) 由一部分边界的温度和热流确定剩余边界的形状4 1 ； ( 4 ) 已知初边值条件和附加的信息来反演方程的系数，所反演的参数一般为扩散系数、 热源系数以及源项等，其中参数往往依懒于空间或时间变量f 1 2 ，3 0 1 2 东南大学硕士学位论文 上述问题往往是不适定的和非线性的，这使得反问题的求解方法显得尤为重戛这些 方法的本质都在于处理问题的非线性和不适定性本文讨论的热传导反问题本质上属于 第四类问题，即反演的是未知的热源项 源项识别这类寻源反问题近年来已成为( 对流) 扩散问题与逆热传导问题( i h c p ) 研 究的热点之一其应用背景广泛，例如，在环境水利学领域，如何寻找河流、湖泊和城市水 环境的污染源 2 4 1 ；在微波加热过程、化学反应过程和许多设计与制造领域也需要探测未 知的发热源 7 ，3 2 】，由于热源的位置、强度等信息均未知，因而，要精确地描述物体的温度 分布规律，必须先获得未知源项的信息这时需要通过某些附加信息来确定热源的信息， 这类问题称为寻源反问题这是一个h a d a m a r d 意义下典型的不适定问题，原始输入数据 的很小的扰动可能会导致近似解对真实解的严重偏离 1 2源项识别问题已有的工作 正因为寻源反问题有着重要的实际应用价值和反演的不稳定性，这类反问题引起了 许多数学家和工程技术人员的广泛兴趣和关注 考虑热传导模型： ru t ( x ，t ) = a u ( x ，t ) + f ( x ，) ，x f t ，t ( 0 ，t ) ， d o n u ( 、x ，t ) = 0 ， x o f t ，t 【o ，卅， lu ( x ，0 ) = 夕( x ) ，x q 这里的f ( x ，t ) 为热源，u ( x ，t ) 为温度分布函数 正问题考虑的是在f ( x ，t ) 已知的条件下求解上述热传导问题，从而得到温度分布函 数u ( x ，亡) ，这是典型的抛物方程的初边值问题而源项识别反问题所讨论的则是在f ( x ，t ) 未知的条件下，如何通过某些附加的信息来反演得到源项r ( x ，亡) ，进而得到温度分布函 数u ( x ，亡) 该反问题在一般意义下是不适定的为了克服这一困难，很多学者在源项f ( x ，t ) 的 先验假设下得到了识别源项的相关理论方法例如，在文献【1 8 】中作者将寻源反问题转 化成积分方程组，应用s o b o l e v 紧嵌入定理和积分估计技巧，从理论上证明线性源项在 h 6 1 d e r 空间上的局部存在性c a n n o n 在1 9 6 8 年时就利用谱理论处理了热传导方程中的 一种与时间无关的源项f ( x ，t ) = ，( x ) 3 y a m a m o t o 和c h o u l l i 在【6 ，2 9 】中研究了在 o ( t ) 已知且不等于零的情况下在正方形区域内反演源项f ( x ，t ) = a ( t ) f ( x ) 中未知函 数厂( x ) 的唯一性和稳定性问题b a d i a 等在( 【l 】) 中研究了齐次混合边界条件和零初始条 件下一类抛物型方程源项反演的唯一性和局部稳定性h e t t l i c h 和r u n d e l l 在文献9 1 中 考虑了二维热传导方程源项f ( x ，t ) = x dx ) 的识别问题，其中d 是圆盘的一个子集 b r u k n e r 等则在文献f 2 1 中研究了一类双曲型方程的多点源识别的唯一性和稳定性问题 近年来针对这类问题的不适定性很多学者也提出了一些数值解法：例如，文献7 基 于五点向前显式、隐式差分格式( f t c s ) 和向后隐式差分格式( b t c s ) 来识别源参数文 第一章引言 3 献【2 4 】中作者将寻源反问题转化成优化问题，用遗传算法求解文献【2 6 】应用t i k h o n o v 正 则化方法，当误差水平已知时，考虑源项形如f ( x ，t ) = f ( t ) 和f ( x ，t ) = a ( t ) u 的反演问 题，但其正则参数均按先验准则选取，未涉及误差水平未知的情况，且没有考虑计算效率 的提高问题 1 3 本文的主要工作 假设q = ( 0 ，l ) ( 0 ，l ) 是r 2 中有界区域，考虑有界区域q 上的具有n e u m a n n 边 界的热传导模型 u t ( x ，t ) = a u ( x ，t ) + f ( x ，t ) ，x q ，t ( 0 ，丁) ， 舞( x ，t ) = 0 ，x 弛，t 【o ，t 1 ， ( 1 3 1 ) u ( x ，0 ) = 9 ( x ) ，x q 其中初始温度分布g ( x ) 是已知的，1 2 是边界的外法向量若f ( x ，t ) 已知，这就是抛物方 程初边值问题中一类求解介质中温度场的正问题 但是，在实际问题中，很多情况下热源项f ( x ，t ) 是不易直接测量的，或者测量所需 的花费太大，从而我们考虑的是通过间接测量某些数据去反演源项一旦源项求出后通过 求解正问题仍然可以确定温度场基于上述想法，本文考虑的反问题是通过测量一些容 易得到的物理量来反演得到未知的源项 若源项f ( x ，t ) = 妒( 亡) ，( x ) ，妒( t ) 已知，本文讨论的是利用终端时刻数据 u ( x ，t ) = 危( x ) ，x f t ，( 1 3 2 ) 反演f ( x ) 的反问题我们首先给出了y ( x ) 的唯一性证明，在计算时我们采用基本解方法 解决了源项中未知函数厂( x ) 的求解，大大减小了计算量若源项f ( x ，t ) = a ( x s ) 妒( ) ， 这里s q 和妒( 亡) 均未知为了同时反演点源s 的位置和强度函数妒( ) ，除了给出终端 时刻的温度场( 1 3 2 ) 外还需要知道边界的温度场 其中 札( x ，t ) = p ( x ，) ，x 0 f t ，t 【0 ，卵( 1 3 3 ) 因为矩形域上二维温度场u ( x ，) ，x = ( x l ，a 7 2 ) q ，t ( 0 ，t ) 满足 扎( x 1 , x 2 , t ) ：。磐吻耐r te n ( 叫蹦州丁如舭2 ) 0 j 0 ”t ，i = a m n = ( 警) 2 + 百n t f ) 2 ， 7 n 7 rn 7 r n 2 s 了z l c o si z 2 ( 1 34 ) 4东南大学硕士学位论文 是齐次方程在齐次边界条件下的特征函数系，且 这里的 因此，根据等式 竹= 。m 佗百1z 夕( z 2 ) 妒m n ( z 2 ) 妇d ( ) a m n 百1 上f ( ) 砂舢( z 2 ) 出- d f 1 ，m = 佗= 0 ， n = 2 ，m = 0 ，佗0 ，或仇0 ，佗= 0 ， ( 1 3 5 ) l4 ，仉0 ，n 0 熹。【e - + z t e 胛卅蹦丁灿( x ( x ) ，x 以 ( 1 3 6 ) 套。时p 一衍嘶渺m x h ( x ，巩 x a q ，t 0 ，刁( 1 3 7 ) 和d e l t a 函数的特性我们证明了s q 和妒( t ) l 1 的唯一性，并给出了计算方法 若f ( x ，t ) = 袅o ( x ，) ，其中o m ( x ，t ) = e 以象。铝x ) 是由某特征函数系所确 定的已知函数本文讨论的也是利用终端时刻的温度场( 1 3 2 ) 反演源项f ( x ，t ) 即反演 系数的问题，同样的，我们也给出了唯一性的证明以及计算方法 在第二章中我们将寻源反问题归结为第一类算子方程a q = y 的求解，该方程是不 适定的，所以为了得到比较好的结果必然要引进某种正则化方法因此在第三章我们引 入t i k h o n o v 正则化方法来求解算子方程，即将方程 口俨占+ a a q a ，6 = a + y 6 的解作为g 的一个近似其中这里的正则化参数0 1 分先验和后验两种情况讨论，并利用 模型函数的方法来确定确定后验的正则化参数a 将此正则化方法应用到源项识别问题 中文章最后给出了正则化参数在先验和后验两种情况下的数值算例及相应的分析 第二章源项反演问题的提出及解的唯一性 2 1源项f ( x ，亡) = 妒( ) 厂( x ) ，咿( 亡) 已知的情形 l 啦= 札+ 妒( t ) ，( x ) ，x q ，t ( 0 ，t ) ， 舞( x ，芒) = 0 ， x a q ，亡f o ，卅， ( 2 1 1 ) l 乱( x ，0 ) = g ( x ) ，x q 其中f ( x ) 是待定的未知函数 这是一个有实际应用背景的问题例如，如果取妒( t ) = e - i t ，p 0 ，则在应用地球物 理学问题中，( 2 1 1 ) 对应于一个简单的地球地壳温度问题的放射性衰变模型，放射性同 位素的衰减导致了地壳升温在这里的弘 0 代表放射性物质的半衰期，而，( x ) 则表 示热源强度 17 】正由于热源强度厂( x ) 很难直接测量，所以我们通过测量t 时刻的温度 u ( x ，t ) = h ( x ) 间接得到厂( x ) ，z q ， 首先我们证明，( x ) ，x = ( x 1 ，x 2 ) qc r 2 的唯一性 定理2 1 1 假设( u i ，五) ，i = 1 ，2 是热传导问题( 2 1 1 ) 在附加信息u ( x ，t ) = h ( x ) 下的两个解，五( x ) l 2 ( q ) ，且妒( t ) ，t ( 0 ，t ) 不变号，则在己2 ( q ) 意义下 ( x ) = 尼( x ) 证明令叫= u 1 一“2 ，则w ( x ，t ) 满足 lw = a w + 妒( 亡) ( ( x ) 一尼( x ) ) ， x q ，t ( 0 ，t ) ， o w ( x ，) = 0 ， x o 2 ， o ，卅， ( 2 1 2 ) 1w ( x ，0 ) = 0 ，w ( x ，t ) = 0 x q 仿照求解一维热传导方程定解问题的分离变量法，我们可以得到满足方程( 2 1 1 ) 的 锃( x ，) ，x = ( x l ，x 2 ) 可以表示成 钆( ) = 熹。h n + t e 以。吖) 加) 叫如忍) ， ( 2 1 3 ) 其中 入m n = ( 警) 2 + 百n t r ) 2 ，nx l ，x 2 ) = c o s 警z - e 。s 警z 2uuh i j 是齐次方程在齐次边界条件下的特征函数系，且 蜘= 萨1 上出t ，n ( 训奶奶， 以) = n 僦百1 上，( z 2 ) 妒( 幻( z z ) 妇，出2 ， 5 6东南大学硕士学位论文 r1 ，m = n = 0 ， 2 任：黧嚣翻舢川。0 一 q 1 4 所以w ( x l ，x 2 ，t ) 满足 吣- 心= 熹。e “( 扣( 州丁，塑l 2 上( 一尼) 慨出2 ) ( 瑚 在上式两边同时用e l k 做内积，又因为w ( x 1 ，x 2 ，t ) = 0 ，则有 t e 呐舯d 丁，堕l 2z ( 叫锄k d x l d x 2 ) 1 1 矽刮k _ 0 1 , k - - 0 , 1 , - , 即， e 以t t 咖矿加) d 丁z ( 一厶) 出。慨乩r e , n - - - - 0 , 1 , ( 2 1 5 ) 因为妒( ) 在( 0 ，t ) 上不变号，故 一删丁0 所以 上( 一i d c m n 出，她= 。，v m ，死= 。1 ( 2 1 6 ) 由于n 构成了l 2 ( q ) 中的一组基，所以在l 2 ( q ) 意义下成立 f l ( z m ，x 2 ) = f 2 ( x l ，x 2 ) ，x = ( z 1 ，x 2 ) q u 对于这类反演问题，有限差分、有限元、边界元等方法都解过，在这里我们引入基本 解的方法求解基本解的思想最早是由k u p r a d z e 和a l e k s i d z e 提出的f 15 1 而数值算法 则是由m a t h o n 和j o h n s t o n 2 2 提出在工程中，一般用基于区域外的某些源点的方程基 本解的线性组合来逼近原问题的解，当这个逼近解满足初边值条件时就可将原问题转化 成一个有限维的矩阵方程的求解，这可以看作是位势理论为了避开奇性解的变种对于 齐次热方程的基本解，在a ( q f 0 ，丁 ) 上选取某些源点，令t = t + 7 - ，7 - t 来消除基本 解的奇性2 0 0 4 年，h o n 和w e i 用基本解方法求解了满足下列一维热传导问题 10 】： ，u 口t 赛2 。1 a u x + x , w 。，：。 憾篇i z ( 0 ，1 ) ，t ( 0 ，丁) ， t 0 ，列， z 0 ，1 】， z 4 ( 0 ，l 】，t 【0 ，t 】 第二章源项反演问题的提出及解的唯一性 的u ( x ，t ) 在z = 0 处的温度和热流对于高维的情形，m e r a 研究了利用终端时刻的温 度反演d i r i c h l e t 边界条件下的二维齐次热方程中的初始温度的问题 2 3 】那么对于非齐 次的问题能否也用此方法求解呢? 基于这个想法，许多学者都作了深入的研究，在一定的 先验假设下也得到了比较好的效果例如：对于线性的源项反演问题，在文献【3 1 中作者 用基本解方法通过附加信息u ( x ，t o ) ，t o ( 0 ，明求解d i r i c h l e t 边界条件下的源项识别问 题，即求解 ，x q ，t ( 0 ，t ) ， x a q ，t 0 ，卅， x q x q 中仅依赖于时间变量的未知源项f ( x ，t ) = 厂( z ) ，其中有界区域q 科，d 1 为了用基本解方法求解同时依赖于时间和空间的源项识别问题，我们取妒( ) = e - 肛， p 0 所以接下来我们考虑由终端时刻的测量数据u ( x ，t ) = h ( x ) 反演具有f ( x ，t ) = e 一世f ( x ) 这种形式的源项注意到，与【2 3 ，3 1 】不同的是这里的f ( x ，t ) 是与x ，t 都有关的 函数不失一般性，在这一节总假设初始温度u ( x ，0 ) = 0 下面我们利用基本解方法来求未知函数厂( x ) 假设k ( x ) 是方程 芒耋誓) + 户( x ) = ，( x ) ， x q ，辱( o ，t ) ， ( 2 1 7 ) i 型o n = 0 ， x 0 1 2 ，t o ，刁 p 叫 的唯一解作变换 v ( x ，t ) = u ( x ，t ) + 户( x ) e 一舻( 2 1 8 ) 则v ( x ，t ) 就满足下面方程 iv t = a v ，x q ，t ( 0 ，t ) ， o r x ，亡) = 0 ， x a q ，e 0 ，卅， ( 2 1 9 ) i ( x ，t ) 一e - p 丁 ( x ，0 ) = 尼( x ) ，x q 且有 钉( x ，0 ) = f ( x ) ，xeq 注1 ：方程( 2 1 7 ) 中p ( x ) 的齐次边界条件是为了保证p ( x ) 的唯一可解性，从而 使得变换( 2 1 8 ) 也唯一当然，对于非齐次的边界也是可以的为了计算的方便，这里仅 讨论f ( x ) 满足齐次边界的情形 注2 ：不是任意的妒( t ) 都可以用基本解方法求解的事实上，要用基本解方法求解 首先得把( 2 1 1 ) 转化为齐次方程的问题，所以所作变换v ( x ，t ) = u ( x ，t ) + 声( x ) 妒( t ) 中 7 舷l 十州o 瑚 州 一 = = d 纠 i i x x x 珏 u 珏 ，i-l-i，、i-ll【 8东南大学硕士学位论文 的妒( 亡) 必须满足 l ，o t ( t )f ( x ) 一x p ( x ) 而一1 矿 由此可知妒( 亡) 只能是直线或者指数形式 众所周知，函数矽( x ，t ) = j q i 丌。- e 一譬日( 亡) ，x r 2 是二维齐次热方程v t = 秒的基本 解，其中h ( t ) 是一个h e a v i s i d e 函数假设7 _ t 是一个常数，则圣( x ，t ) = 咖( x ，t + 7 ) 也是v 。= u 的解，并且在区域豆【0 ，明上没有奇性 在边界丽 t = t ) u 锄x 【o ，刁上取n 个不同的源点( x j ，t j ) ，j = 1 ，则关 于基本解圣( x x f ，t t j ) 的一个线性组合 ( 2 1 1 0 ) 仍然是砚= a v 的解，若它还满足( 2 1 9 ) 中边界条件，则u ( x ，t ) 可以看作是方程( 2 1 9 ) 的一个逼近解这里的仍，j = 1 ，是待定系数 设佗，m 分别是豆 = t ) ua qx 【0 ，t 】上的配置点，礼+ m = n ，u + ( 毪，岛) ，i = 1 ，满足( 2 1 9 ) 中边界条件，即 f 筹x k 怎) = 篓m r j o 圣x 七一x j ，t k t j ) = o ， x 惫o f t ， p ( x f ，t ) 一e 胡秽+ x z ，o ) = 蹀l 仍圣( x z x j ，t t j ) 一 ( 2 1 1 1 ) 【e 一妒墨l 仍虫( x f 一巧，0 一巧) ) = h ( x ) ，x t 豆， 这里k = 1 ，m ，l = m + 1 ，m + 几 由( 2 1 1 1 ) 可解出待定系数仍，从而 秒+ ( x ，) = 仍圣( x 一坳，t 一巧) ， ( 2 1 1 2 ) 就是方程( 2 1 9 ) 的一个逼近解进一步的， f ( x ) = p 户( x ) + x p ( x ) = 肛u ( x ，0 ) + a v ( x ，0 ) t r y + ( x ，o ) + a v + x ，o ) = 仍( p + ) 垂( x x j ，0 一o ) ( 2 1 1 3 ) 对任意的x q 都成立因此这里的关键就是( 2 1 1 1 ) 中系数 仍：j = 1 ，) 的求 解 引入矩阵 4 = ( 咏一，妻荔二淼0 刚刊) ，6 = ( 高) ， 则( 2 1 1 1 ) 就等价于矩阵方程 a 叩= b ( 2 1 1 4 ) 故根据( 2 1 1 3 ) 可知，要求f ( x ) 关键就是a 叩= b 的求解 如 一 巧 一 x圣 协 触 i i 力 xi e i 协 触 i | 力 x口 第二章源项反演问题的提出及解的唯一性 2 2 源项f ( x ，t ) = 6 ( x s ) 妒( 亡) 的情形 环境污染是人类实现可持续发展中需要解决的关键问题，而水污染问题是其中的一 个重要方面我们称像工业废水和城市生活污水污染这类通常有固定的排污口集中排放 的污染为点源污染我们知道如果点污染源的位置，我们也可以根据上游污染物的排放 量预测下游河道中污染物的浓度但很多情况下污染源的位置和排放量很难直接确定，所 以人们试图根据河道中的测量数据寻找污染源的位置，并计算其强度这一节主要研究通 过河道中某些点的污染物浓度的测量值，识别河道中单个污染源的位置及其随时间变化 的强度这一问题 污染物在河道中的传播问题往往可归结为如下方程： 腻u t = a 豸u + 6 ( x s ) ) ，x q ，t ( 0 ，t ) ， x a q ，t 0 ，卅， ( 2 2 1 ) x q 其中乱( x ，t ) 为污染物在t 时刻位于x 处污染物的浓度，6 ( x s ) 妒( ) 为河道中的污 染源项，这里的s = ( s 1 ，8 2 ) q 是点源，妒( 亡) l 1 ( 0 ，t ) 是强度，且满足6 ( x s ) = 6 ( z 1 一s 1 ) 6 ( z 2 8 2 ) ，6 ( ) 是d e l t a 函数设q = ( 0 ，l ) x ( 0 ，己) ，我们的目的就是通过 测量数据u ( x ，t ) = 危( x ) ，x q 和乱l a q = p ( x ，t ) ( 即u ( o ，x 2 ，t ) = p l ( x 2 ，) ，u ( l ，x 2 ，t ) = p 2 ( z 2 ，) ，u ( x 1 ，0 ，t ) = p 3 ( x 1 ，) ，u ( x 1 ，l ，t ) = p 4 ( x 1 ，t ) ) 同时反演未知点源s = ( s 1 ，s 2 ) 的位 置和强度妒( 亡) 与文献 27 】不同的是，那里考虑的是d i r i c h l e t 边界条件下的一维线性对 流反应扩散方程，并假设点污染源且从某时刻p ( t ) 开始污染物停止排放，即l ，9 ( ) = 0 ，t ( t + ，丁】，在此假设下作者研究了通过测量数据u ( a ，t ) 和u ( b ，亡) ，0 a b l 来 反演未知污染源和污染强度 对于任意的x = ( z 1 ，z 2 ) q ，入= ( a 1 ，a 2 ) ，记入x = a l x l4 - a ：x 2 ，2 = 增+ 建 引理2 2 1 设u ( x ，t ) c 1 ( o ，t 】；l 2 ( q ) ) nc ( ( o ，t ) ；h 1 ( q ) ) 是方程( 2 2 1 ) 的解， s = ( 8 1 ，s 2 ) q 则对va = ( a 1 ，a 2 ) 有如下积分恒等式 e 一川2 t fu ( x ，t ) 矿一z 如0 ) 矿x d x = 一h j f o te - i ；q 2 t 上：秕( x ，) e a x n d d h e h j f o te - i j f f t # ( 岫 p 1pb ：e - i 舻i 仉_ 【札( o 砌，) e 拗。一札( l ，) e m 。z ： d z 2 +a 2 【牡( z 1 ，0 ，) e h 趴一u ( x 1 ，l ? t ) e 抽观+ 沁l l a x l d t + e 九5 e 一2 。妒( t ) d 9 1 0 。壅壶盔堂塑堂焦迨塞 一一 证明在方程两端同乘e h ，并关于x 在q 上积分，由g r e e n 公式，知 fe a x u t a x = l e a a u d x + 上e 九x 6 伍一s ，。妒c t ，a x = z q 蒜e 入x d & 一入上v 乱e x d x + e 入8 妒c 亡， ：一a u ( x ，t ) e 入一n d s x + 入f 2 u ( x ，t ) e a 霉( 1 x + e 凡8 妒( t ) ( 2 2 2 ) j a n ，f t 在( 2 2 2 ) 两端同乘e - i a 并关于t 在 0 , t 上积分，有 ：t e v 2 上e 】 x u t a x = 由分部积分公式可知， + + 卉t ! t e 叩一2 厶心) e a x n d 跚 i a l 2 te 一 1 2 。上让( x ，亡) e x x d x d 亡 e t e 九8 e 删。妒( 亡) 出 ( 2 2 3 ) z te 叩t 2 。上u t e a x a x 出= e 一| 刈2 t 上乱c x ，丁，e a x d x _ 上u c x ，。，e 九x d x + 坩o tl e - l x l 2 t u ( x ，矿x d x 出 ( 2 2 4 ) 代入( 2 2 3 ) ，可得引理结论成立 口 定理2 2 2 ( 唯一性) 假设( s t ，忱，乱t ) ，i = 1 ，2 是问题( 2 2 1 ) 在附加信息u ( x ，丁) ，训锄 下的两个解，s i ：( s i ，s ) q ，忱( ) l 1 ( o ，t ) ，且譬e 一2 忱( t ) d t 0 ，则s = s 5 ，s ；= s ；， 进一步地，妒1 ( 亡) = 妒2 ( 亡) 在l 1 ( o ，t ) 意义下 证明令w = z t l 一钍2 ，则w ( x ，t ) 满足下列方程 w t = a w + 6 ( x 舞( x ，t ) = 0 ， w ( x ，0 ) = 0 ， 一8 1 ) 妒l ) 一6 ( x s 2 ) 妒2 ( ) ， ( x ，t ) q ( 0 ，t ) ， x a q ，t 0 ，列， x q ( 2 2 5 ) 且w f o n = 0 ，叫( x ，t ) = 0 由于方程( 2 2 5 ) 与( 2 2 1 ) 相似，类似于上述引理的证明并利用初边值条件和w ( x ，t ) 5 0 可知， e a - s i + a 。s 2 t 妒。( t ) e i a l 2 。d 一e a l s 5 + a 2 s ；