（运筹学与控制论专业论文）基于极值理论的动态风险价值的研究.pdf

山东大学硕士学位论文 基于极值理论的动态风险价值的研究 王庆晓 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 经济全球化、衍生产品的大量出现使得金融市场呈现出前所未有的波动性， 金融市场的风险管理已尤显重要。风险价值( v a r ) 是金融风险管理中应用最广泛的 种工具，它简单地用一个分位数来衡量风险的大小。传统上，v a r 的计算方法 一般都要对金融收益服从哪种类型的分布进行假设，在这个基础上才能得到一定 置信水平下的分位数值，然而假设的有效性是否能得到保证受到质疑，所以传统 的v a r 计算方法存在模型风险。 极值理论( e v t ) 作为次序统计学的一门分支，近年来已被广泛地应用于金 融风险的定量分析中。它不同于传统v 出方法的是不需要事先假设样本的分布情 况，而以样本极值为研究对象，建立总体分布尾部的模型。样本极值就是样本中 超出偏离中心数值一定程度的数据，也就是发生超额损失的一些异常值。由极值 理论得到总体分布的尾部特征后，给一特定的尾部概率，就能得到风险价值v a r 。 由于金融资产收益的厚尾分布，传统的v a r 通常低估风险，而极值理论方法能更 准确地估计风险。 极值理论给出了关于样本极值的极限分布与其本身的分布相互独立的一个最 有用的结论所有不同的样本分布都具有相同的极限分布，区别仅在于参数的 不同。所以极值理论可以在总体分布未知的情况下，依靠样本数据，得到总体中 极值的变化性质，建立极值模型，具有超越样本的估计能力。 本文对上海证券交易所的数据进行了实证分析。在对上证综合指数的实证分 析中，发现金融时间序列除了具有厚尾性，还具有条件异方差性，即波动率具有 不断变化地特征，并不是通常假设的方差恒定。异方差性违背了传统极值理论中 样本时间序列具有独立性的假设。所以引入g a r c h 族模型消除时间序列的条件 异方差性，得到具有独立同分布的样本数据，再采用极值理论计算其风险价值。 山东大学硕士学位论文 g a r c h 族模型认为收益率的方差可预测，条件方差不仅取决于最新的信息， 也取决于以前的条件方差。g a r c h 族模型，为v a r 的估计提供了更加有效的样 本数据，它克服了样本时间序列之间的异方差性，得到符合我们假设的独立同分 布的样本数据。由于g a r c h 模型采用了动态的条件均值和条件方差去计算v a r ， 也通常被称为动态v a r 方法。 本文正是利用g a r c h 模型和极值理论去研究金融市场风险价值。借助 e v i e w s 软件对上证综合指数数据的进行分析，通过对极值动态v a r 模型和一般的 动态v a r 模型计算结果比较，发现g a r c h ( 1 ，1 ) e 模型较g a r c h ( 1 ，1 ) - t 模型 在有效控制风险的同时能节省资金的投入，g a r c h ( 1 ，1 ) e v t 模型更适合在高置 信水平下的风险度量，在置信水平较高( 9 9 以上) 的情况下估计结果比较稳定。 对g a r c h 族模型的极值理论v a r 预测效果比较中，得到e g a r c h ( 1 ，1 ) 一e v t 和q 讯c h ( 1 ，1 ) m e v t 模型对收益分布的上尾部v 水预测结果好于 g a r c h ( 1 ，1 ) 一e 、，1 ，其中g a r c h ( 1 ，1 ) m e 模型对上尾v a r 的估计效果更 好；而对下尾部瓜的预测三者效果相当。 关键词：风险价值v a r ；g a r c h 族模型；极值理论e ；广义p a r e t o 分布； 学生氏t 分布。 2 山东大学硕士学位论文 d y n a m i cv a l u e - - a t - - r i s k b a s e do ne x t r e m ev a l u et h e o r y q i n g x i a ow a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ， j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r st h em a r k e tr i s km a n a g e m e n th a sb e c o m ei n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tf o r an u m b e ro fr e a s o n s ：g l o b a l i z a t i o n ，f i n a n c i a ld e r i v a t i v e sa n dh i 曲v o l a t i l i t yi nf i n a n c e m a r k e t v a l u e a t - r i s k ( v a r ) i sap o p u l a rm e t h o dt oc o m p u t ef i n a n c er i s ka n di tt a k e s t h el o s so fi n v e s t o r sa st h er i s ks i m p l y t r a d i t i o n a l l y , t h ev a rm e t h o d sw a n tt og i v ea h y p o t h e s i so ff i n a n c i a lr e t u r nd a t as u b j e c t e dt os o m ed i s t r i b u t i o n , w h i c hb r i n g sa b o u t t h es u s p i c i o no fv a l i d i t yo fh y p o t h e s i s s ot r a d i t i o n a lv a rm e t h o d sh a v et h er i s ko f m o d e l s e x t r e m ev a l u et h e o r y ( e v ds t e m m i n gf r o ms t a t i s t i c sh a sb e e nu s e dw i d e l yt o a n a l y s et h ef i n a n c i a lr i s kq u a n t i t a t i v e l yt h e s ey e a r s t l l cd i f f e r e n c eb e t w e e ne v t m e t h o da n dv a rm e t h o di st h a te m e t h o dn e e d n tg i v eah y p o t h e s i so ff i n a n c i a l r e t u r nd a t as u b j e c t e dt os o m ed i s t r i b u t i o na n di tt a k e st h es a m p l ee x t r e l n ev a l u e st o s i m u l a t e st h ed i s t r i b u t i o ni nt a i lo n l y , w h i c hr e d u c e st h ee l r o ro ft h em o d e lr i s k s a m p l e e x t r e m ev a l u e sa r et h ed a t at h a td e v i a t et h em e a nv a l u em u c h , w h i c ha r es o m ea b n o r m a l v a l u e sw i t he x c e s sl o s s e s a f t e rm o d e l i n gt h et a i l d i s t r i b u t i o n , g i v e ns o m et a i l p r o b a b i l i t y , e m e t h o d c a l lp r o d u c et h er i s kv a l u ev a r b e c a u s eo ft h ef a tt a i lo ft h e d i s t r i b u t i o n , u s i n gt h et r a d i t i o n a lv a rm o d e lw i l lu n d e r e s t i m a t et h er i s k , b yc o n t r a s t , u s i n gt h ee m e t h o dc o u l de s t i m a t et h ea c t u a ls i z eo f t h er i s ke v e nm o r e 1 n h ee v tm e t h o dg i v e sam o s tu s e f u lc o n c l u s i o nt h a ta l lt h es a m p l ed a t ah a v et h e s a m el i m i td i s t r i b u t i o na n do n l yh a v et h ed i f f e r e n c ep a r a m e t e r , w h i c hm e a n st h el i m i t d i s t r i b u t i o no fs a m p l ee x t r e m ev a l u e si si n d e p e n d e n tw i t hi t s e l f s ot h ee m e t h o d c a ng e tt h ec h a r a c t e r i s t i co fe x t r e m ev a l u e sb yt h es a m p l ed a t aw i t h o u ta s s u m i n gt h e t o t a ld i s t r i b u t i o n i tc a ne s t i m a t et h ed a t ao u t s i d et h es a m p l e 3 山东大学硕士学位论文 c o m p o s i t es t o c ki n d e xo fs h a n g h a is t o c ke x c h a n g ec e n t r ei st a k e nf o re x a m p l e i nt h i sp a p e r t nt h ea n a l y s i s ，w ef i n dt h ef i n a n c i a ld a t an o to n l yh a v et h ec h a r a c t e ro f f a tt a i lb u ta l s oh a v et h ec h a r a c t e ro fc o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y , w h i c hi st h a t f l u c t u a t i o nr a t i oi sn o tac o n s t a n tb u tav a r i a b l e c o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t yv i o l a t e s t h eh y p o t h e s i so fs a m p l ei n d e p e n d e n c e s oi n t r o d u c et h eg a r c hf a m i l ym o d e l st o e l i m i n a t et h ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t ya n dg e tt h ei i dr a n d o mv a r i a b l e a l t e rt h a t ， t h ee v tm e t h o dc a ng i v eu st h er e s u l to fv a r g a r c h f a m i l ym o d e l sc a l lf o r e c a s tt h ev a r i a n c eo ft h er e t u r nd a t aa n dc o n d i t i o n a l v a r i a n c en o to n l yd e p e n d so nt h el a t e s ti n f o r m a t i o na l s oi td e p e n d so nt h ep r e v i o u s c o n d i t i o n a lv a r i a n c e g a r c hf a m i l ym o d e l so v e r c o m et h ec h a r a c t e ro f h e t e r o s k e d a s t i c i t yi nt h ef i n a n c i a lt i m es e r i e sa n do f f e rt h em o r ee f f e c t i v es a m p l ed a t a f o rg a r c hm o d e l st a k et h ec o n d i t i o n a lm e a na n dv a r i a n c et oc o m p u t e rv a r , i ti s o f t e nc a l l e dd y n a m i cv a rm e t h o d i nt h i sp a p e r , j u s tt a k et h eg a r c hm o d e l sa n de v tm e t h o dt oa n a l y s et h er i s ki n t h ef i n a n c i a lm a r k e t w i mt h es o f t w a r eo fe v i e w s ，a n a l y s et h ec o m p o s i t es t o c ki n d e x o fs h a n g h a is t o c ke x c h a n g ec e n t r e b yc o m p a r i n gt h em o d e lo fb a s e do nt h ee v t d y n a m i cv a r w i t ht h eg e n e r a lm o d e lo fd y n a m i cv a r , 1 1 1 ec o n c l u s i o ns h o w st h a tt h e o a r c h ( i ，1 ) 一e v l - m o d e lc a l ls a v em o r ec a p i t a li n v e s t m e n t 嬲c o n t r o l l i n gt h er i s k e f f e c t i v e l ya n dt h er e s u l t i sm u c hb e a e ri nt h eh i g h e rc o n f i d e n c el e v e l t h e g a r c h ( 1 ，1 ) 一e v tm o d e li s m o r es t a b l ea tt h e9 9 t ha n dh i g h e rq u a n t i l e i nt h e c o m p a r i s i o no fg a r c hf a m i l ym o d e l s ，w ef r e de g a r c h ( 1 ，1 ) - e v ta n dg a r c h ( 1 ，1 ) b e v th a v eb e t t e rr e s u l t st h a ng a r c h ( 1 ，1 ) 一e f o rt h eu p p e rt a i lv a r ,i n w h i c h g a r c h ( 1 ，1 ) m e m o d e li s b e t t e r t h a ne g a r c h ( 1 ，1 ) e m o d e l b u tf o rt h el o w e rt a i lv a rt h e s et h r e em o d e l sa l m o s th a v et h es a m er e s u l t k e yw o r d s ：v a l u e - a t - r i s k ；g a r c hf a m i l ym o d e l s ；e x t r e m ev a l u et h e o r y ；, g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o n ；s t u d e n tt - d i s t r i b u t i o n 4 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：立。压鏖二 e l 期：士! z ：s 。! 呈 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：蕾五邑导师签名： 枷期：弘 山东大学硕士学位论文 第l 章引言 1 1 选题背景 自2 0 世纪7 0 年代以来，由于受金融全球化和金融一体化、现代金融理论及 信息技术、金融创新等因素的影响，全球金融市场迅猛发展，金融市场呈现出前 所未有的波动性，一些金融危机事件频繁发生。如1 9 2 9 年美国股市急挫导致的全 世界经济危机以及由此产生的第二次世界大战：1 9 9 7 年始于泰国的东南亚金融危 机，给整个东南亚地区的经济带来了巨大的损失；最近发生在美国因次级房贷引 发的金融危机，震撼了全球的金融市场，使得有1 5 8 年历史的投行一雷曼兄弟 也濒临破产。金融创新工具的使用，的确活跃了资本市场；但缺乏监管、忽视风 险的滥用，往往导致巨大的金融灾难。一系列的重大金融事件在客观上对风险管 理技术尤其是对市场风险管理提出了更高的要求。 金融市场上，金融风险就是指在金融活动中由于不确定性的存在造成的金融 参与者的损失，其不确定性一般被认为与经济主体面临的直接或间接影响经济活 动的无法充分准确地加以分析、预见的各种因素相关。通常，金融风险大体上可 以分为市场风险、信用风险、流动风险、操作风险以及法律风险等。其中本文主 要研究的是市场风险，市场风险又称为价格风险，是指由于利率、汇率、股指、 商品价格等市场因素的变化而导致金融资产收益的不确定性。所以市场风险的大 小通过对金融资产收益不确定性的衡量进行。 为了应对金融风险度量和管理，风险价值v a r 应运而生并被广泛使用，旨在 估计给定金融产品或组合在未来资产价格波动下可能的或潜在的损失。j o r i n ( 1 9 9 7 ) 将其定义为给定置信区间的一个持有期内的最大的预期损失【1 】。即在一定的目标 期和一定的置信度内，某金融工具和投资组合所面临的潜在的最大损失金额。v a r 方法能简单清晰的表示市场风险的大小，并且有严谨的概率统计理论作依托。 传统v a r 的计算是建立在对时间序列的分布进行假设的基础上。根据数理统 计的理论知识和金融交易中产生的实际数据，人们通常使用正态分布这个具有 s 山东大学硕士学位论文 较好统计性质的分布函数来拟合资产收益率的实际分布，即假设资产收益率之间 相互独立且服从正态分布，从而可以将风险价值的计算简化为有关收益率分布分 位数的问题。 然而，随着全球金融自由化范围的扩大和程度的加深，金融市场问关联性日 益密切，金融产品越来越复杂，交易金额越来越庞大，这都使得全球金融市场更 加动荡不安，金融市场的波动日益加剧，金融危机事件频繁发生，且一旦这样的 事件发生所造成的损失往往金额较大，因此金融监管机构和广大投资者对金融资 产价值的暴跌变得尤为敏感，而正态分布在捕捉这些巨额损失和暴跌信息时，得 出的结果大大偏离了真实的风险值。 大量的研究表明，多数金融资产的收益时间序列的分布具有尖锋厚尾性，非 对称性和波动的集聚性特征【2 5 】。厚尾性表明金融资产的极端变动发生的概率要 远远高于正态分布，在高置信水平下，采用正态分布将低估风险。对于一个分布 是厚尾分布并没有一个准确统计的定义。通常，在分布密度函数尾部呈现出幂次 衰减，就认为是厚尾的。相反，如果呈现出指数衰减，就认为是薄尾的 6 】。为了 对非正态的厚尾分布进行建模，在一些研究中提出了对数正态分布、广义误差分 布、混合正态分布【7 】。但是，这些分布尽管与比正态分布相比有显著的偏度和峰 度，但它们仍然是呈指数衰减的，属于薄尾分布。为了对金融极端事件准确地度 量，就要对收益率分布尾部进行建模，极值理论则提供了一个分析研究尾部分布 的合适框架。 用极值方法来处理风险数据的原因主要有二：一是因为该模型能够很好地反 映尾部风险，与传统方法相比更符合实际；二是因为该方法只用考虑尾部的分布 而不用考虑整体的分布，从而减少了整体分布对整个模型的不必要的影响。使用 样本观察值的极端值来对损失分布的尾部行为进行建模，这样可以进行样本外推， 具有超越样本的能力 8 】。 1 2 文献综述 1 2 1 国际上基于极值理论的风险价值v a r 的研究综述 统计极值的理论研究以f i s h e r 和t i p p e 仕( 1 9 2 8 ) 最早，他们给出的关于最大顺序 统计量标准化的广义极值分布极限理论奠定了经典极值理论的基础【9 。极值理论 6 山东大学硕士学位论文 的应用研究最早主要应用到材料科学、洪水分析、地震分析和降雨量分析等方面。 其中g u m b e l ( 1 9 5 8 ) 对极值理论的应用研究作出了重要贡献 1 0 】，他第一个将极值理 论系统地应用到实践中，并引起了工程师和和统计学家的注意。 近年来，极值理论在金融保险领域也得到了广泛的运用。l o n g i n ( 1 9 9 6 ) 将极值 理论应用在美国证券市场上，证明了美国证券市场中的金融资产价格服从f r e - c h e t 分布【l l 】。r e i s s ，t h o m a s ( 1 9 9 7 ) 和b e i f l a n te ta 1 ( 1 9 9 6 ) 对极值理论及其应用作了详细 阐述 1 2 1 3 。m c n e i l ( 1 9 9 7 ，1 9 9 8 ) 使用极值理论研究了严重损失分布尾部的估计和 金融时间序列风险度量的分位数估计 1 4 1 5 。m c n e i l 和f r e y ( 2 0 0 0 ) 研究了异方差金 融序列的尾部相关的风险度量，除了考虑用极值理论拟合厚尾分布以外，还考虑 到了金融时间序列的异方差，通过利用g a r c h 模型对收益序列滤波得到独立同分 布的残差序列，再利用极值理论建模，从而得到风险价值v a r 1 6 】。h a n sn e b y s t r o m ( 2 0 0 4 ) 沿着m c n e i l 和f r e y 的思路，比较分析了分块样本极大值和门限极值 理论模型的性能，比较了在正常市场状况下的条件v a r 和非条件v a r 1 7 】。 已有的研究( d a n i e l s s o na n dd ev r i e s ( 1 9 9 7 ) ，h u s i m a ne ta l ( 1 9 9 7 ) ，g e n c a ye t a i ( 2 0 0 3 ) ) 普遍认为极值理论在v a r 度量中性能比较稳健，通常优于其他模型 【1 8 - 2 0 】；还有h o ，b u r r i d g e ，c a d d i e 和t h e o b a l d ( 2 0 0 0 ) 将极值理论应用于亚洲金融 危机的研究，最后得出结论：极值方法预测的市场风险与实际情况更加接近，优 于传统的v a r ；t - 算方法【2 1 】；然而t 一h l e e ，b s a l t o g l u ( 2 0 0 2 ) 把极值理论应用于日 本股票市场的风险测量，得出不同的结论，极值方法与传统v a r 计算方法在预测风 险方面的结果没有大的差另u 2 2 - 2 3 。 1 2 2 国内基于极值理论的风险价值v a r 的研究综述 由于我国股票市场是新兴市场，在国外成熟市场中得到的结论未必在我国市 场也正确，所以我国的学者纷纷引入极值理论讨论在中国市场的适用性。 詹原瑞、田宏伟( 2 0 0 0 ) 根据极值理论给出了计算风险价值的一种新方法，最后 用一年的日元美元汇率验证在极端条件下用e v l 估计v a r 具有很高的准确性 【2 4 】。 7 山东大学硕士学位论文 周开国、缪柏其( 2 0 0 2 ) 应用统计学中的极值理论计算1 9 8 5 1 9 9 9 年香港恒生指 数日数据的v a r ，将用极值方法计算的结果与用传统的方差一协方差方法计算的 结果进行比较，发现极值方法要明显优于方差一协方差方法【2 5 】。 田新时、郭海燕( 2 0 0 4 ) 弓i h 广义帕雷托分布代替传统的分布正态分布等， 直接描述金融收益的厚尾特征。将基于广义帕雷托分布的模型和传统v a r 方法进 行比较分析，发现基于广义帕雷托分布的模型比传统的模型方法更适合厚尾分布 高分位点的预测，并且其预测结果比较稳定 2 6 】。 魏宇( 2 0 0 6 ) 以上证综指和标准普尔5 0 0 指数收益为对象，实证检验了正态模型、 g a r c h 正态、g a r c h - t 模型等有关金融市场收益分布的主流假设，结果都无法 准确刻画实际市场收益的尾部统计特征和风险状况，证明了无论在成熟资本市场 还是在新兴市场，极值理论都能准备刻画实际市场的极端波动【2 7 】。 刘志东、徐淼( 2 0 0 7 ) 采用了g a r c h 模型和e 、，r r 理论，比较了三种置信水平下 基于g a r c h 的e v t 、t 、正态模型在中信综合指数风险价值的模拟效果，得到 g a r c h e v t 模型更能反应金融资产收益率的变化，能更有效地度量金融资产风 险的结论【2 8 】。 g a r c h 模型与极值理论相结合的动态v a r 模型在实证分析中得到不断地肯 定，g a r c h 模型将非独立同分布的随机变量处理为独立同分布的随机变量，为极 值理论的有效应用提供了条件，从而使得不必做人为假定收益分布的随机变量独 立同分布。 1 3 创新点 对于中国股票市场这样的新兴资本市场的相关研究，在现有的实证分析中，多 数分析指出了以正态分布为典型的传统方法刻画金融市场收益厚尾性的缺陷，然 而对于能描述厚尾的模型的比较不多。基于以上认识，本文以在国内金融市场指 标中具有代表性的上海证券综合指数( 上证综指) 为样本，比较了基于g a r c h 模型的一般动态v a r 模型以及基于极值理论的动态v a r 模型的有效性，并且深入 讨论了g a r c h 族衍生模型与极值理论结合的动态v a r 模型的有效性。这是本文 在应用上的一个创新之处。 山东大学硕士学位论文 1 4 本文的结构安排 本文主要研究基于极值理论的动态风险价值w a r ) ，共分为五章，各章的内容 如下： 第1 章：引言。主要介绍了本文的选题背景、研究现状。 第2 章：风险价值介绍。介绍了风险价值v a r 的基本原理以及计算方法。 第3 章：极值理论与建模方法。介绍了极值理论，并给出了两种极值建模的方 法：b m m 和p o t 。 第4 章：基于中国股市的实证分析。用基于极值p o t 的动态v a r 方法计算上 海证券综合指数的风险价值，并与一般的动态v a r 方法进行了比较。 第5 章：研究结论及展望。对本文工作的总结以及对未来研究工作的展望。 9 山东大学硕士学位论文 第2 章风险价值( v a l u e a t - r i s k ) 介绍 2 1v a l u e a t r i s k ( v a r ) 的定义 v a r 简言之是用来测量给定投资工具或组合在未来资产价格波动下可能或 潜在的损失。在j p 摩根的r i s k m e t r i c s 中将v a r 定义为：“v a r 是按照预定的置 信水平，对所持有头寸在某一间隔期上可能遭受损失的一个估计，对典型的交易 活动，间隔期也许是一天、对资产组合管理也许是一个月或更长。j o r i np ( 1 9 9 7 ) 将v a r 定义为“给定置信区间的一个持有期内最坏的预期损失”。也就是说，v a r 是在一定的置信水平下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最 大可能损失 2 9 】。 例如：j p m o r g a n 公司1 9 9 4 年年报披露，1 9 9 4 年该公司一天的9 5 v a r 值 为1 5 0 0 万美元。其含义是指，该公司可以以9 5 的可能性保证，1 9 9 4 年每一特定 时点上的证券组合在未来2 4 小时之内，由于市场价格的变动而带来的损失不会 超过1 5 0 0 万美元。v a r 将资产或资产组合的风险概括为一个简单的数字，便于高 层管理者掌握、上报监管机构以及在年报中披露。 我们假设t 时刻，金融头寸价格为x t ；接下来的t + 1 时刻，价格为x 什l ，用 y f ( r ) 表示损益足= i n ( 等) 所满足的累积函数( c d f ) ，假定超过v a r 的损失概率为 a f q 。如果所持的金融资产是多头，那么损失是指r = 域) - l n c x , ) i v a r i ) 。为了讨论的方便， 本文中考虑右尾分布，可以对左尾分布取其绝对值转化成右尾分布，所以左尾分 布的讨论跟右尾一致。 风险价值v a r 的数学表示为： q = p r ( 足g a r ) = 1 - f ( v a r )( 2 1 1 ) v a r = ( 1 - f ( v a r ) ) d ( 2 1 2 ) 这里v a r 只表示大小，所以v a r 0 。 1 0 山东大学硕士学位论文 计算v a r 的传统方法分为参数法和非参数法两大类，其中非参数法有历史模 拟法和蒙特卡罗模拟法：参数法主要有方差一协方差方法口。本文主要研究参数法 的各种模型。 2 2v a r 静态模型与动态模型 2 2 1v a r 静态模型 最早计算v a r 的参数方法是假设收益率服从某一特定分布，而最常见的为正 态分布，然后根据这一分布的统计特征再进一步计算v a r ，这类方法是静态的参 数方法，它假设收益的变化服从独立同方差分布。正态分布和学生氏t 分布是经常 假设的模型。据v a r 的定义有： 1 正态分布 假设收益r 服从正态分布，即r f 耐姐，仃2 ) ，根据定义可得： p r ( r t a r ) = q p “垃坐) = q do - v a r2 z + o 。o - q ) ( 2 2 1 ) 其中q 为右尾概率，一0 - q ) 是标准正态分布1 q 点分位数。 弘刚睑假( v a r ) 图2 1 收益服从正态分布( o ，2 ) 下尾概率5 的v a r 尽管实际中金融资产收益比正态分布有明显厚尾性，但由于正态分布的参数 估计计算简单易行，使其被广泛应用。 2 学生氏t 分布 墨茗一。一 山束大学硕士学位论文 学生。分布的尾部比正态分布的尾部厚，对于厚尾的金融资产收益来说，是更 好的一种模拟分布。收益满足t 分布时，风俭价值为： f a r = p + a t * v ( 1 - q ) ( 222 ) 其中q 为右尾概率；，( 1 一q ) 表示自由度为v ( v 2 ) 的标准化的学生4 分布 v i _ q 点分位数。 从上面的两个模型都看到，参数和口不随时间变化，即静态模型。静态v a r 没有考虑波动率口的时变性只是由前一时间段的整体波动率来预测下一时问段 韵波动率，本质上就是时间段内每个时点波动率的一个平均。动态v a r 考虑了波 动率的时变性，下一时刻的波动率由前一时刻的波动率来预测，在整个时间段内 波动率不是静止不变的，而是时刻在变化的。 2 2 2v a r 动态模型 静态模型的一个主要缺陷在于没有考虑收益波动的时变性，即每个时刻的均 值和标准差都是恒定的，如图2 - 2 。实际上在金融时间序列里，收益的波动不仅随 时问变动，而且常常会出现波动聚集现象口9 】，即一次大的波动后伴随着较大幅度 的波动；一次较小的波动后伴随着较小幅度的波动：在统计学上，这样的序列，称 为具有异方差现象，如图2 _ 3 。2 0 0 3 年诺贝尔经济学奖获得者r 巳| l e j e 3 0 于1 9 8 2 年 提出自回归条件异方差模型( a u t or e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh c t e r o s k - _ e d f l g f i e i t y m o d e l ，简称a r c h 模型) ，刻画了时问序列的异方差性。b o l l g r s l c v 3 1 1 于1 9 8 6 年 又把高阶回归的a r c h 扩展成g a r c h 啦q ) 模型使待估参数大为减少，从而模 型的识别和估计都变得比较容易。大量的文献表明g a r c h 模型能很好地描述金 融资产收益率序列的动态变化特征 2 9 1 。 图2 - 2 独立同分布的时间序列 当查奎兰! ! 圭兰堡堡圣 x 图2 - 3 具有异方差性的时间序列 设 r 是一个金融资产收益的时间序列，是直到t 时间的所有信息集t 由 b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 定义的g a r c h ( p ，q ) 模型为： r ! = ”：+ s i ，s ，l m n ( o ，。：、 s ，= a ! z ，z ，i l d n ( o ，1 1 砰= + d ，t ，+ 届，= 刊( ) 吐+ 口( l ) 吒 一i l 其中p o ，q ) o ，q o ，r = 0 , 1 ，“且= l 一2 ，拼_ ( ) = q ，占( l ) = 属。 i = li 。l 时间序列的平稳性是建立各种模型的基础。b o l l e r s l e v 证明当且仅当 月( ) + b ( l ) o ) ，孝是形状参数，甜 o ，矿 o 分别为位置参数和尺度参 i t 数。这一表达形式也被称为广义极值分布函数( 简称g e v ，g e n e r a l i z e de x t r e m ev a l u e d i s t r i b u t i o n ) 。根据形状参数占可以区分它们的尾部分布的特征： f 0f r e e h e t 分布，是一个厚尾分布； 孝 z ( ：) z ( 。) 定义冗为超过该门限的观察值的超额 损失分布，则高于门限的超额数分布定义为： e ( y ) = p r ( z - u ) = ! ! 背，。 o 时，g p d 是厚尾的；孝= o 时，对应的是指数分布；善 o 的这种情况。 由定理3 2 可得到： f ( z ) = ( 1 一， ) ) e ( y ) + f ( u ) = ( 1 一， ) ) 唾。， 一“) + f ( u ) ( 3 3 i ) 对于一较高的门限u ，我们以帆表示样本中大于门限u 的样本数，以1 1 表示 样本的大小，l l t 1 ；j f ( “) 可以用竺丛来估计 2 9 】，则式( 3 3 1 ) 整理为： i1 一盟( 1 + 善型) 叫，孝0 凡z ) 2 1 1 _ 垂妒以例 ( 3 3 2 ) 给定上尾概率q ，则有： i1 一盟( 1 + 孝型) 州f ，善0 l - 铲邮户博e x p ( _ 岛以例 ( 3 3 3 ) 因而，有： 忱：怍_ 1 ) 静。 3 削 。卜m 舻名- o 山东大学硕士学位论文 3 4 极值模型的参数估计 在使用g p d 分布近似前，必须正确选取门限，定理中要求门限趋向无穷， 但是太高的u 值将导致太少的超额数，使得参数估计方差太大；而太小的u 值又 可能引入过多的中心数据，以致乞( y ) q z 不成立而产生有偏的估计。d a n i e l s s o n e ta 1 ( 2 0 01 ) 给出了根据广义p a r e t o 的超额均值函数e ( u ) 的线性性质选取u 的方法 【2 8 】。 定义样本的超限期望函数为： 甙“，= 学z “七= m i n a i z , “) 其中u 为门限值。p a r e t o 分布参数孝 0 。经验平均超出函数在超过某- - f 7 限值u 后明显的线性变化，且斜率为正，表明大于此门限值的观测数据服从g p d 分布。 同时也有n e t f c i ( 2 0 0 0 ) 建议用下面方法来确定u 。u = 1 1 7 6 宰仃r ，是全部样本 的标准差【2 8 】。实证研究发现，u 选取范围是使大于上尾部门限值或者小于下尾部