（应用数学专业论文）稳定生长植物单根对水分吸收的数学模型研究.pdf

ab s t r a c t t h e r o o t s y s t e m o f p l a n t i s a v i t a ll y i m p o r ta n t o r g a n f o r li v i n g p l a n t . o n e o f t h e m a j o r f u n c t i o n s o f t h e r o o t s y s t e m i s u p t a k i n g w a t e r a n d n u t r i e n t s fr o m th e s o i l . t h e p re s e n t p a p e r , u s i n g a s l e n d e r s i n g l e r o o t gr o w i n g i n 记 e a l p o r o u s m e d i u m s o i l a s t h e m o d e l , s u p p o s e t h e o u t s i d e o f t h e r o o t i s p u r e w a t e r , t h e i n s i d e o f t h e r o o t i s d i l u t e d s o l u t i o n o f s o m e s u b s t a n c e . c o m b i n e t h e m e c h a n i c s e q u a t i o n o f t h e v e l o c i t y o f t h e s o l u t i o n s fl o w i n s i d e t h e r o o t a n d t h e c o n v e c t i o n - p e r v a s i o n e q u a t i o n o f t h e s o- l u t i o n i n s i d e t h e r o o t t o o b t a i n t h e c o n n e c t i o n e q u a t i o n o f p r e s s u r e a n d c o n c e n t r a t i o n o f t h e s o l u t i o n i n s i d e t h e r o o t . f u rt h e r m o re , s o l v e t h e m a t h e m a t i c - p h y s i c a l m o d e l f o r a a r ti fi c i a l m o d e l , u s i n g b o t h a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l m e t h o d . i t i s s h o w n t h a t t h e a n a l y t i c a l r e s u l t s a re q u a li t a t i v e l y c o n s i s t e n t w i t h t h e n u m e r i c a l re s u l t s ， a n d t h e t r e n d i s c o n s i s t e n t wi t h t h e c a s e wi t h o u t c o n c e n t r a t i o n i n s i d e 山e r o o t . k e y w o r d s t h e r o o t s y s t e m o f p l a n t , w a t e r a s s i m i l a t e d , p o i s e u i ll e fl o w , d a r c y s fl o w , a s y m p t o t i c e x p a n s i o n . 南开大学学位论文版权使用授权书 本人 完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的 规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有 权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 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以 及用这种性能来进行植物采矿等等; 根系对水分与微 量元素的摄取过程的 深 入研究则具 有更加重要的 意义 4 . 有关用数值模拟方法研究植物的生长发育， 从2 0 世纪 6 0 年代开始. 在计算机 图 形学发展的基础上， 不少研究者开展了虚拟植物生长与植物形 态结构的“ 计算 机模拟” 研究. 在这个方向 上比 较突出的研究项目 是由 中国 计算机科学家与 第一章 引言 法国 联合开展的 青园 ( g r e e n l a b ) 计划 6 1 。 在这个 项目 研究中， 人们采用计算机图 形可视化技术， 设计了 一种双尺度自 动机的计算模拟迭代 算法。 该算法能十分逼 真地制作出在不同年龄阶段上的、 各种虚拟植物的 几何结构与宏观形态。 但不管 这种由 计算机模拟的 植物图形如何逼真， 由于没有涉及植物生长过程的动力学本 质， 没有建立有关植物生长发育实际过程的数学模型， 因而这些图片不能给人们 比观看实验图片更进一步的 关于植物生长过程的理性认识。 研究植物生长发育系 统的最高形势式是数学动力学模型 4 l ， 这种数学模型的 研究不仅关心事物的因 果关系， 形式联系， 更着重 于现象的物理本质与过程发生的 机制， 动力学模型将 生物系统视为一个复杂的 动力学系统， 从非线性科学和应用数学角度开展深入研 究。 这里值 得一提的 是 2 0 世 纪 5 0 年代的 r u i n g 的 关 于动物 表皮斑图的形成的开创 性工作 7 . b r i n g 假 设生 物 系 统中 存在一种“ 形 态素” 的 化 学物质， 这种虚拟物质 可以通过扩散与化学反应在生物生长发育过程中在动物表皮上形成一种特定的非 均匀的 分布图一 斑图 . t u r i n g 建 立了图 象素浓度随时间 演 化的非线性反应一扩散 方程， 并在此基础上揭示有关斑图形成的条件与机制。 对于植物根系对分、 营 养物质的吸收过程的 数学模型 研究可追溯到2 0 世纪7 0 年 代的n y e ,t m k e r ,b a r b e r 等人的工作 8 l 一 9 1 ， 他们创立了圆柱形的植物单根在无限 大的 土壤中 摄取水分、 营 养物质的 n y e - t m k e r - b a r 数学模 型。 在这之后， 2 0 0 2 年 2 0 0 4 年期间 ” in a r o o s e 和 f o w l e r 等人进一步 推广了 n y e - t i n k e r - b a r b e r 模型， 研 究了土坡一水分模型， 求得了圆柱形单根同时对水分、 营养物质吸取情形下的 数学解; 并进一步 讨论了 具 有较复 杂的根毛结 构的 根系情 形 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 1 . 然 而r o o s e 的模型不适用于具有末端和变截面的真是根的情形， 未能考虑根系生长 过程对水分摄取过程的 影响。 而徐鉴君教授对这个问 题提出的定常生长的、 轴对 称的、 具有变截面的单根模型( 见文章 稳定生长植物单根对水分吸收的数学模 型研究 1 4 1 ) 克服了 这些 缺点。 徐教授的模型研究的是植物单根对水分吸收的 动力过程， 运用水分在 土城、 植物内 部流动的 流体动力学， 以 及在土壤一根系界 面和叶片一 大气界面上动力学过程的 热力学原理， 结合真实根系的微观几何结构 建立起根系对水分吸收的 数学、 物理模型。 本文是在该模型基础上加了 一个浓度 场， 假设根内 为某一物质的 稀溶液， 水分输运的 过程中 有浓度的变化。 根外的水 渗进根内将根内 溶液稀释， 而在叶子处随着水分的 蒸发及新的该物质的生成使浓 度增加， 这样就有一个浓度场。 本文求解了最简单的浓度场， 及在不同时刻的压 强及通量。 第二章 植物根系对土坡水分摄取的物理一一数学模型的建立 第二章 植物根系对土壤水分摄取的物理一一数学模型的建 立 在本文我们考虑的是 一个轴对称的 理想化的 细 长单根， 假设根的 形状函 数r = r ( z ) 如图 ( 2 . 1 ) 所 示; 假设土壤为多 孔的 理想 介 质， 设 根的生 长速度为常 数 u . 在 根的生长运动和其对 水分吸收的过程中 引入水的对流。 我们假定根的 生长是定常 的。 2 . 1 水分在根系外部土坡中运动的数学描述 为简单起见， 我们将土壤简化为均匀、 各向同 性、 水分饱和的理想多孔介质。 这样， 水分在土 壤中 的 流动就可用 d a r c y 定 律 来 描 述. 假定从植物单根的 尖端到 顶 部的叶子的总高度为l， 可以想像， 水分在根外部土壤中的运动， 由 两部分原因 驱动。 一是在根的 生 长运动推动下所引 起的 水分的 流动; 二是由 于根的 侧表面对 水分的 吸收 所引 起的 水分流动。 应用d a r c y 定理， 我 们有以 下关系式: 一k (o p + p 9 k ) 拌 ( 2 . 1 ) 我们将根的外部区域分为3 个部分 分别讨论: 靠近根表面的区域; 根尖区域 和远离根表面的区域。 直角坐标系的原点建立根尖处，z 轴表示植物的高度， 向 上为正， 见图2 . 1 。 这 里u 。 是 水的 绝 对 速 度 ( 相对 于 土 壤 ) ， p 是 水 的 动 压 力， 屁 是 方向 垂 直向 上 的单 位向 量，k 是 渗 透系数，f t 是水的 粘度系数. 需要注意的是饰 项是因 为水 在 根 外 部 运 动 产 生 的 动 压 力 梯 度， p 9 k 项 是 土 壤 中 的 水由 于 深 度 而 产 生 的 静 压 力 梯度. 为 简单起见， 我们引入参数g ， 令 p = p +p g z . 从而( 2 . 1 ) 式可简化为 ua 一主 o p .( 2 . 2 ) 拌 在图2 . 1 所建立的参照系中， 水的相对速度u 可表示如下 u=u a 十u k=u k一 主 v p . p ( 2 . 3 ) 第二章 植物根系对土壤水分摄取的 物理一一数学模型的建立 2 . 3 土壤一根表之间的界面动力学的数学描述 渗透作用产生的 两个条件: ( 一) 半透膜; ( 二) 浓度差。 由于任何活细胞的细 胞膜是选择透过性模， 所以当根内 外溶液有浓度差时， 植物根的细胞是一个典型 的渗透系统。 将土壤一根表面界面简化一个半透膜。 根外为纯水， 根内为浓度为c 的稀溶 液， 这两种液体被半 透膜隔开， 水由 浓度较低的 一侧流向 较高的另一侧， 这种流 动叫做渗透流. 这时如果要恢复两侧溶液间的平衡， 可在浓度较高的一侧外加一 定的压强， 使得渗透流量变为零。 这一压强的大小称为此二溶液的渗透压差， 一 种溶液与纯溶剂之间的渗透压差定义为它的 渗透压。 1 9 5 8 年， k e d e m 和k a t c h a l s k y 对于 非电 解质 溶 液 通 过有限 厚膜的 情形 1 5 1 ， 引 入 三 个 唯 象 系 数 好 ， 。 和 。 ， 把质量 流 量 j , 和 体 积 流 量 j v 同 跨膜压 强 差 却和 渗 透 压差a n联系起来 =w o p n +( 1 一 ， ) c j . =l , ( a p一a a p * ) l p 称为 水 力 学 通 透 能 力， 描述 纯 溶 剂 通 过 膜 孔 的 粘 性 损失; 。 称 为 反 射 系 数 ， 描述溶质粒子与孔壁的流体动力干扰; 。称为扩散通透能力， 描述扩散对于溶质 流的 贡献; c 是膜内 平均浓度。 对于半透膜， 就是只 允许溶剂通过而不允许溶质通 过的 膜， 。 =1 ; 对于 无选择性的 通透 膜， o =0 ; 对 于一 般的可通透膜 。 a 1 对于稀溶液( c 1 ) ， 由 v a n t - h o ff 定律 1 6 1 知 其渗透压与溶质浓度成正比: p s =c 五 t 这 里 t 为 绝 对 温 度， c 是 摩 尔 浓 度， r = 8 .3 1 j f ( m o 1 - k ) 为 摩尔 气 体 常 数. 在 等 温 条件下可把k a t c h a l s k y - k e d e m 方程 1 7 写 为: w r t a c+ ( 1 一。 ) c j 对于所要考虑的问题根外为纯水 膜， 则。=1 ， 所以 l p ( a p一 。 r t a c ) ， 根内为某物质a 的 稀溶液， 物质a 不能通过半透 p 女 =双 t c 第二章 植物根系对土壤水分摄取的 物理一一数学模型的建立 2 7 r r ( z + a z ) 2 1r r ( z ) 图2 .3 求通量示意图 没有溶质 渗透问 题， 所以只用k e d e m - k a t c h a l s 匆方程中的 第二个方 程， 我 们 将其 写为: j w = k w a p 一 r t o c , ( 2 . 1 3 ) ap=歹 一几a c =0 一c 因此有界面关系式 j w = k.p - 9 , + a t c , ( 2 . 1 4 ) 这里j w 为通过单位根表面的水的 流量， 即 为j . ; k . 是水透过根表面膜的 渗透系 数， 即 为 好. ， 渗 透 系 数k w 可以 是 依 赖 根 的 表 面 物 理特 性的 一 个 十 分 复 杂 的 函 数. 在 本 文中 ， 我们假设k , 为 一已 知常数. 由 于水的 相对运动， 因 此在根r 二 r ( 司的 表面上 儿=一 ( u n ) ,( 2 . 1 5 ) 这里n是根界面上的向外单位向量。 由 j二一 ( u n ) 1， g o. 、， 、 a o , 一- ， 二 二 二 共 多 共 井 井 等1 一 . 丈 十 月 l zl - .: 一i j 1 +f 习 o r”a x 1即* ， 、 0 0 1 + r 12 (z ) a + 一 (z ) 8 z 第二章 植物 根系对土壤水 分摄取的物理一一 数学模型的 建立 因此我们可以写出 j w 了 1+r,(-)一 a r 一 “ (习 a oa z i ( 2 . 1 6 ) 下面推导j w 与穿过根横截面溶 液的 通量q 7 的 关系， 我们在: 方向 取很小的 一段为 z 长 度如图 ( 2 .3 ) . 假设流进 z 区 域内 的 水没有储存而是马 上被输运走了， 这是简单 的情况， 在根实际吸收水分的过程中是有储存水的情况的， 这在这儿不予以 考虑。 则有 2 w r ( z + o z ) + 2 7 r r ( z ) 2 o z 几 =o q r 2 7 r ( r ( z ) +r( z ) o z +r ( z ) ) 2 z 几 =a q t 所以 2 7 r r ( z ) o z 几 =o q , 这样得关系式: 2 1rr j w 一 _a 4,a z ( 2 . 1 7 ) 关系式( 2 . 1 7 ) 极为重要. 它表现了 根内 水分输运与根外土壤中 水的 流动之间的相 互藕合。 第三章 量纲与数学模型的 无量纲化 第三章 量纲与数学模型的无量纲化 我们用根的 长度i d 作为 长度量纲， 水在根内 运动的 特征 速度v作为速度量 纲， 见公 式( 3 . 1 7 ) 。 令 流 量的 量 纲 为4 = v e d ， 压 力的 量 纲 为回= p o = ( p a - p o ) , 浓度量纲为c o . 因 此， 将界面 条件( 2 . 1 4 ) 无量纲化为: v j w = k.( p o 一 p o e t + r t c o c ) j w 一 k p o 6 一 p i + rt c 0 c ) yfn 定义无量钢参数 ( k . p o l。 ( r t c o m= .- 二二 ， - 1 = .- - : 二 - - i. 、 v j、 均/ 采用上述量纲后， 无量纲的自 变量便可定义为 ( 3 . 1 ) 另一方面， 我们假定针根的顶端半径为e t 。 因此， 参数 1( 3 . 2 ) 几-儿 一一 可用来描述根的纤细程度。 这样， 如令占 一0 ， 可应用熟知的细长体理论处理本 问题。 3 . 1 根外部水运动的无最纲系统 在根的外部， 可应用以下的无量纲量: 云 =u / v ,几= j./v, :0 - w 二 下戈下，p = 乙 dv p一 夕。 斑 = p t一 p a( 3 . 3 ) 这里p a 是大气的 压力。 针状 根的形状函数无量纲化: ， 一 r (z ) 一 r (z ) 一 e tr . (x ) 一 。 r . (2 ) 之 de d 第三章 量纲与数 学模型的 无量纲化 t =6 凡( 2 ) ( 0 凡( z ) 1 ) ,( 3 . 4 ) 该方程产生一个正规化条件 凡( 1 ) =1 .( 3 . 5 ) 采用上述诸无量纲变量后， 遂得如下无量 纲方程和边 界条件。 3 . 1 . 1 无里纲控制方程 v 2 毋 = 0 ,( 3 . 6 ) 这里 毋 = t 一 u . z ,( 3 . 7 ) 边界条件: 1 . 当: *- 0 0 或者r *0 0， w二 二 一 这里我们设定 * u . , u . “升 0 , 4 风 u a 2 p o ( 3 . 8 ) 即决 2 . 在， =s r . ( z ) , 0 : 0 0 上， 根据质 量守 恒定 律 我们得出 儿 1 + 6 2 r ;2(z ) 一 490a r 一 。 ; (z ) ( 3 . 9 ) 0 =p - u . z .( 3 . 1 0 ) 这里我们设 k p a 物= 一。 / - r 另一方面 。 。， 、 ，。 _ 。 : ， 。， 、 i - 。 . - a n a q r z 7 r o n, l z ) d w= l , 7 r o , i v i n l z l i p一p i 十 l i j= 飞丁 . 砚 j乙 ( 3 . 1 1 ) 第三章 t纲与数学模型的无量纲化 3 . 正规化条件 凡( 1 ) =1 . ( 3 . 1 2 ) 3 . 2 根内部水运动的无量纲系统 设a是根内部水分输运途径的有效管道半径， 沿高度的一个平均值。 定义参 数 ( 3 . 1 3 ) 假设在根的内 部， 无量纲变量 _ r _ z， ， _ 、 r o ( z ) ，c 二 r= 一，z= 下 -，r o l z l= ，v = 下犷 a e d a lo= y / d ( 3 . 1 4 ) u i _9 i -认 u i “动 q i = 丽 ，u s =下 ( 3 . 1 5 ) 3 .2 . 1 无f纲控制方程 根内水运输的无量纲控制方程可写为 * (，。 一 p oa24ed dv r2 一 f02 (x) a i . ( 3 . 1 6 ) 现令根内水运输的特征速度为 :l7) 由 上式， 遂得 。 ， (。 ，。 一 ， 一 to (z ) ap i . 则在z 处， 通过水路横截面的溶液的总流量为 _ 一 - r o ( 2 )亚 d z ( 3 . 1 9 ) 第三章 t纲与数学模型的无量纲化 浓度方程无量纲化为: a c. v f d ; , a c a 2 c ，二 十 代- u= 气 二 二 ， 口七刀口z口店 ( 3 . 2 0 ) 这 里 令 参 数 m= v e ,d则 有 浓 度 方 程 为 a c. , = _ 0 c a 2 c 丽+ j v u 丽= a - ( 3 . 2 1 ) 浓度方程的初始条件为: t =0 c 二 1 ( 3 . 2 2 ) 浓度方程的边界条件为: 一一一一 z= 0 c= ,f ( f e d l d ) c o z-= 1 c = 9 ( f pd / d ) c o 9 i ( i) 9 2 ( ) ( 3 . 2 3 ) ( 3 . 2 4 ) 3 .2 . 2 无最纲边界条件 1 . 根侧表面上水流质量守恒: 鲁 一 27r6 r (2 ) 4 . ( 3 . 2 5 ) 2 . 叶面蒸腾条件: 在植物的 地上部分， 2 =l处， 压力 p r 一 * 二 一 1 + p a 9 l - _ 1 + 广0 ( 3 . 2 6 ) 上述动力系统包含七个无量纲参数: .占 : 表示根的纤细程度。 a = a : 表 示 根 内 水 分 有 效 运 输 半 径 与 根 半 径 的 比 值 。 c 二 臀 : 初 时 的 无 量 纲 化 的 渗 透 压 u w =uv=a p o : 表 示 根 的 生 长 速 度 1 3 第三章 量纲与数学模型的无量纲化 c a = e a g lpb: 表 示 植 物 顶 部 产 生 的 拉 力 州= k v = o t o) : 表 示 根 侧 表 面 膜 对 于 水 分 的 渗 透 能 力 . n = v c ad : 表 示 水 的 流 动 与 特 征 长 度 上的 溶 质 扩 散 之 间 的 平 衡 关 系 为简单起见， 下面将省略无量纲变量上面的符号 “ 一” 。 第四章 数学 模型的求解 第四章 数学模型的求解 4 . 1 根外部流动的细长体近似解 4 . 1 . 1 根表面附近的内解 考虑到界面的 边界 条件， 在靠近根表的侧 面的 子区 域( 1 ) ( 参看图( 2 . 1 ) ) 内， 我们引入下面的内变量 八=叮衣 应用内 变量， 基本方程和边界条件( 3 . 6 ) - ( 3 .9 ) 可写 做: .1 a 0 八 a 2 0 . 十 下-，= -o 一 丈 产 下 尸 r . o r . / o z 0 ( a . 1 ) 交界面边界 条件如下: 当八=凡( 习时: m. 1 + a2m 2 一 a .a r. 一 a 2k *(z ) a . ( 4 . 2 ) 注意到 均匀 流的 远场流 动 速度势函数为帕 = - u z ， 我们可以 进行如 下的内 部 展开: * ( r . , z ) j . ( z ) - u z +b co ( 6 ) 0 * o ( r . , z ) + l e i ( b ) a ( r * , z ) +， 二 v o ( a ) j w o ( x ) +v i ( 6 ) j w l ( z ) + ( 4 . 3 ) 将上式代入( 4 . 1 ) ， 便可依次得到每一级的 近似解. ( 1 ) . 零级近似解 令l b ( b ) s2 . 可 推 得， 零级近似解 吞o ( r . , z ) =人 o ( z ) ( 4 .a ) 第四章 数学模型的求解 4 . 2 浓度方程的求 解 要求解的方程为 8 c ， _ ， a c护c 丽十 n 姚 不= 衰 万 ( 4 . 2 6 ) 浓度方程的初始条件为: t 二0 c = 1 ( 4 . 2 7 ) 浓度方程的边界条件为: 名= 0 z= 1 c = c = 9 i ( t ) 9 a ( t ) ( 4 . 2 8 ) ( 4 . 2 9 ) 这是一个非线性方程， 求解是很困难的. 若根内 溶液中的 溶质扩散很快， 也就是d 略对流项， 求解如下方程: 由 v 一 瓣及 表 ( 5 .1 ) 知 v 的 量 级 为 1 0 - 3 , 1 0 - 3 ， 贝 叨 1 在这里我们就可忽 - ac一出 浓度方程的初始条件为: 云= 0c = 1 浓度方程的边界条件为: 不= 0 z= 1 c=9 l ( t ) c=9 2 ( t ) ( 4 . 3 1 ) ( 4 . 3 2 ) 令 v ( z , t ) =z 9 2 ( t ) +( 1 一z ) 9 i ( t ) c =v+w 则关于w的方程为 w t 一w . =一 z g a ( t ) +( 1 一 : ) 9 1 ( t ) 1( 4 . 3 3 ) 第四章 数学模型的 求解 初时条件为 w( z , 0 ) 二1 一(x 9 2 ( 0 ) +( 1 一 : ) 9 1 ( 0 ) l ( 4 . 3 4 ) 边界条件 w ( 0 , t ) =w( 1 , t ) =0 应用特征函 数展 开 法来解w， 由 对应w的齐次方程及齐次的边界条件可得该 初边值问 题的特征函 数为 m k ( x ) = 扼 s in ( i r k z ) k = 特征值为: 入 。 =俨k 2 k 二1 , 2 , 1 , 2 , ， 0 0 二 , 0 0 设w可展开为 w 一 又n k ( t ) m k ( z ) = 扼艺n h ( t ) s in ( i r k z ) 方程( 4 .3 3 ) 及初时条件 ( 4 . 3 4 ) 两端同乘以 特征函 数m k 并 从。 到1 积分得 d n kd t + a kn k 一 “ (t) 、 (。) 一 f f 1(1 - (x92(0) +0( 一 )91(0 )1) sin (irk z)d z 扼( ( 一 1 ) k 一 1 ) .二 9 2 ( 0 ) ( - 1 ) k 9 1 ( 0 ) 1 =一十 vz 一 - 六 尸， 1 i r k ; l i r i s i r k i 其中 凡( t ) ,/2- f0 一 !zy (t) r( irk k 2 (t) + ( 1 一 z ) 绒 ( t ) s i n ( i r k z ) 十 k g , (0 1 求解n k 得 n k ( t ) = n k ( 0 ) e x p 【 一 ( i r k ) 2 t +f a; ( 二 ) e x p 【一 ( i r k ) 2 ( t 一 ， ) d - 第四章 数学模型的求解 所以w可表示为 w= 艺 n k (t ) m k ( z ) 一 f e n k (0 ) e x p (- (7rk )z t + k =1 这样浓度可表示为: 厂 f k(t ) ex p - (7rk )2( 一 )d r i sin (7rkz) v+w z 9 2 ( t ) + ( 1 一 z ) 9 1 ( t ) + f 菩 n.(0) ex p - (,r k )2t + r t _ _ _ _、( 4 . 3 5 ) j f k ( t ) e x p (- (ir k ) (0 一 t )d t s in (srk z ) 4 j 结合关系式( 3 . 1 9 ) p a z ) 的 控 制方 程: 植物内部水分输运方程及其数值解 、 ( 3 . 2 5 ) 和( 3 . 1 1 ) ， 可以 得出 下面关于在植物内 部 水流压 力 m r . (z ) p (z ) - p l (z ) + c c , -_ 1 _d 4润 dp l4b d z t0(z ) d z 由于 p - ( z ) = 0 . ( r . , z ) 十 u z . 和 q o ( z ) = 2 a b - s mr . ( z ) (p 一 p , + c c ) 一 二 u . s ., ( z ) ， 方程式( 4 .2 5 ) , ( 4 . 3 6 ) , ( 4 .3 7 ) 和( 4 .3 8 ) ， 关联 着四 个未知函 数: q o ( z ) , o . ( x ) , 武x ) , p i ( z ) 为求解未知函 数， 可采取下面的 迭 代过程: q (0s ) (=) 0 . ( z ) (=) -( z ) (=) p r ( z ) (=) q o l ) 在迭代过程中， 新的输入值可取为 q o l ), = o q (oo ) + ( i 一 。 ) 留， ， 这里0 为一可调参数。 ( 4 . 3 7 ) ( 4 . 3 8 ) ( 4 . 3 9 ) 第四 章 数学模型的求解 4 3 . 1 植物内部水分输运的基本方程的 近似解析解 如果忽略高阶小量项， 公式( 4 .3 7 ) 可简化为 试z ) =m凡， 习十 u z 、一 洲i n 司 2 ? r q o ( z ) .( 4 . 4 0 ) 再合并( 4 .3 7 ) 和( 4 . 3 8 ) ， 遂得 1 1 +州凡b i n b 1 ， _ ，. _ _ ，_ _1 - - _ ， 、 1 r - mk . p l 一 d - - mk * c c + z u s ; ( z ) j , ( 4 .4 1 ) 到 z ) = 刹 i n 司 1 +州凡b l i n 5 b - 1m 、一 ， - 1m r ,c c + 委 u . s : (z ) . (4 .4 2 ) 将( 4 .4 2 ) 代入( 4 . 3 6 ) , 就可 得到 下 面的 关于p t ( 习的二阶常 微分方程: 封 ro(z )4p td z 一 48 p , + 2b b21 in b l u s ; (z) + 48 c c 一 0 (4 .4 3 ) 这里引入了参数: b= mb 凡( z ) ! + m b l in b l r , (z ) ( 4 .4 3 ) 式 是 描述根内 水分 输运过 程的 基 本方程。 解p r ( z ) 必 需 满足如下 界边 条件: 1 . 根的 尖端条件: 在z =0 处， 水分不能穿过根的外表皮进入根部。 因 此， ( 4 . 4 4 ) 2 . 叶面条件: 在 z =l处， 勿 = 物 . 可以看出， 根内水分输运过程有三个驱动力。 由 根 尖生长速度引 起的 根内 水 柱下 部正根压: j , i n b u s ; ( z ) ; 由 水分在根侧表面渗透引 起的的根内 水柱下部的正根压: c c ; 第四章 数学模型的求解 .由水分在叶 面蒸 腾引起的根内 水柱顶端的负 压po. 对于任一给定植物个体， 通过植物解剖、 观测可以 确定根内 微管束的具体构 型与几何尺寸. 通过实验测量可以确定本数学模型引入的， 诸如渗透系数等输运 参数值。 一旦获得这些数据， 我们便可应用上述数学模型计算出根内水分输运的 流量以 及压力沿植物高度的分布， 且将这些理论预 测值与实验测量数据进行定量 比较。 为了 进一步考察本数学模型的 有效性， 以 及阐明 求解过程， 下面将具体考 虑一个简单的虚拟植物个体模型。 第五章 特例的 数值研究 第五章 特例的数值研究 假设一个虚拟植物个体具有如下简单的 几何构型: 在根尖部很小的区 域。 内， 无水分输运通道; 根的外部形状和内部的水分输运通道均为分段圆柱体. 从根端 到植物地面部分水路有效运输半径为一个单位， 本文只考虑根在土壤部分， 即图 ( 5 . 1 ) 中 1 部分. 此即: ( : 二 1 ) ( 0 z 。 ) 10 了.，、. - 、，.少 名 了、 介 凡( z ) 一 翼 s;(0)z ( 。 z 一 2 j 21 1n b p s ;(z) - c c , 一 0 ,、 1 ). (5 .6 ) 方程( 5 . 6 ) 的 解需 满足如下 两 个边界 条件: 1 . 在z =1 处， p i =p i ( l ) =a 1 0 . 参 数a 1 = i f ( 1 ) 是 在二 = 1 处 植 物 内 部 的 压 力 ， 可 由 在 去=口 处 的 压 强 p o 计 算出 来. 当1 z q 根内 溶液的 流动是 标准的 p o i s i l l e 流动， 且 假设当 1 z 0 时， t o ( z ) =p + 当 z =q 时， p i = p o , 所以 有 1 如i ( 1 ) 沪 山 ( 5 . 7 ) 而参数a o 表示植物根部提供的正压。从表 ( 5 . 1 ) 数据可以 看出，一般说来， s ; ( 0 ) 二1 ， 而根尖的生长速度参数几 =u / v 1 和参数5 1 都很小， 第五章 特例的数值研究 因 此( 门i n a i u . s ., ( 0 ) ) 是 一 个十 分 小的 参量， 其 效 应 一般 可以 忽 略不 计. 所以 求 解方程 鲁一 48 p r 一 c c 一 0 , “ ). ( 5 . 8 ) 方程( 5 . 8 ) 的通解为 p t = a e s + b e + c ( 1 + : )( 。 : 0 为一预先给定的常 数， 忽 略了 其与输运过程的祸合关系。 本文在数值计算时也作了浓度方程的 边界条 件与时间无关的 假设。 这些不作简化的更加复 杂的问题有待进一步的 研究。 岁月如歌， 光阴 似箭， 转眼又是桅子花开时， 三年的研究生生活即将结 束， 漫 漫十九载的求学路也就要走向 尾声。 回想过去的一年， 跟随着毕业论文的 脚步， 一路走来， 经历了找寻工作的 喧嚣与坎坷， 也让我深深的 体会到了写作论文时带 来的那份宁静与思考. 除却生活与人性的浮躁， 学会宁静与思考， 品味一段 过程， 一种人生， 这份论文所带给我的启示， 值得永远的珍借， 而引 导我、 帮助我 、 激励 我获得这份启示的人们， 也值得永远的铭谢在心。 我首先要感谢我的导师徐鉴君教授， 从我们发表的文章到我的毕业论文， 及 其每一年的暑期培训班， 都倾注了徐老师大量的心血。 师从于徐老师收获是多方 面的， 从他渊博的学识、 严谨的治学中， 我体会到了知识与研究的魅力; 从他认 真负责的工作作风、 正直的为人中， 我学习到了生活与为人处事的道理。 他作为 老师， 点拨迷津， 让人如沐春风; 作为长辈， 关怀备至， 让人感念至深。 能 够遇到 这样一位师长， 我为自己 感到 庆幸， 毕业在即， 在此谨向 徐老师表示我最衷心的 感谢! 再次还要感谢褚佳强老师， 感谢他论文相关主题的研究中 给与了许多 指导与 建议， 谨在此表示诚挚的感谢! 感谢同 学及师弟师妹们在学习和生活上对我的帮助， 同门同窗 之谊， 将是我 人生最珍贵的记忆。 需要特别感谢的是我的 家人们， 我的 父亲母亲一直含辛茹苦为 我的 求 学提供 尽心竭力的支持， 是他们的爱， 激励着我学习、 前进。 参考文献 参考文献 i i i 郭庆荣， 张秉冈， 钟继洪， “ 土壤植物系统中 植物根系吸收土壤水份研究进展” ， 生态科 学， 1 5 ( 2 ) : 1 1 2 - 1 1 7 , ( 1 9 9 6 ) . 2 l 刘昌明， “ 土壤一 植 物一 大 气系 统水 分运行的界 面过程研究” ， 地理学 报， 5 2 ( 4 ) : 3 6 6 - 3 7 3 , ( 1 9 9 7 ) . 3 l 朱永华，件彦卿，吕海深， “ 荒漠植物根系吸水的数学模型” ，干早区资源与环 境， 1 5 ( 2 ) : 7 5 - 7 9 , 2 0 0 1 4 1 徐鉴君， “ 植物生长、发育、演化动力学过程的数学一物理模型研究” ，力学进 展， 3 6 ( 2 ) : 1 6 1 - 1 6 9 , ( 2 0 0 6 ) . 5 c o h n d . c o m p u t e r s i m u l a t i o n o f b i o l o g i c a l p a t t e r n g e n e r a ti o n p r o c e s s e s . n a t u r e , 1 9 6 7 , 2 1 6 : 2 4 6 - 2 4 8 6 康 孟 珍， p h i l ip p e d e r e f f y e ， 胡包 钥， 赵星快 速 构造 植 物 几 何 结 构的 子 结 构 算 法. 中国图 象图形学报。 7 t u r i n g a m. t h e c h e m i c a l b a s i s o f m o r p h o g e n e s i s . p h i l t r a n s r o y s o c l o n d , 1 9 5 2 , b 2 3 7 : 3 7 - 7 2 8 b a l d w i n j p , t i n k e r p b , n y e p h . u p t a k e o f s o l u t e s b y m u l ti p l e r o o t fr o m s o i l : ii t h e t h e o - r e ti c a l e ff e c t s o f r o o ti n g d e n s i t y a n d p a t t e rn o n u p t a k e o f n u t r i e n t s fr o m s o i l . p l a n t a n d s o i l , 1 9 7 2 , 3 6 : 6 9 3 - 7 0 8 9 b a r b e r s a . s o i l n u t r i e n t b i o a v a i l a b i li t y . a m e c h a n i s t i c a p p ro a c h , n e w y o r k : a wo l e y - l o t e r s c i e n c e p u b li c a t i o n , 1 9 8 4 1 0 t . r o o s e , ma t h e m a ti c a l m o d e l o f p l a n t n u t r i e n t u p t a k e ,