（理论物理专业论文）蒙特卡罗哈密顿量方法及其应用.pdf

论文题目： 专业： 博士生： 指导老师： 蒙特卡罗哈密顿量方法及其应用 理论物理 黄纯青 罗向前教授 摘要 m c h ( m o n t ec a r l oh a m i l t o n i a n ) 方法是由h j i r a r i ，h k r 6 9 e r ，罗向前和 k m o r i a r t y 提出的量子理论数值模拟新方法，其基本思想是在欧几晕德空涮的 拉格朗同路径积分形式下进行蒙特卡罗重点抽样模拟计算，构造等效哈密顿 量，求得系统的谱信息，进而研究系统的其它信息，例如热力学量、态的演化 等。 在第3 章中，首先验证m c h 方法应用于一维量子力学系统的正确性，然 后将m c h 方法推广应用于多自由度系统：例如二维空间中的无耦合谐振子系 统和耦合谐振子系统、三维空间中的球对称系统的非s 态等模型，所有计算均 得到与其他方法相容的结果。我们还提出了误差估计、利用系统对称性减少误 差等技巧。 在第4 章中，首先随机基的概念被介绍并被检验，m c h 方法被推广应用于 量子场论，得到合理的结果。 在上述m c h 方法中，需要自由粒子( 场) 的信息。在第5 章中，提出了 一个可以解决困难的新方案，描述了这一新方案的基本思想，并且以一维量子 力学模型势为例进行检验。这一m c h 新方案原理上可以应用于任何量子束缚 系统。 在第六章中讨论了m c h 方法应用于格点规范理论的最新进展。 本文详细讨论了将m c h 方法应用于量子力学和量子场论的步骤和技巧， 结果显示m c h 方法是一种具有广泛适用性的很有前途的数值模拟新方法。 m c h 方法可以被用来研究多自由度系统并且丰富物理学研究的手段。 关键词蒙特卡罗，哈密顿量，量子力学，量子场论、格点规范理论 t i t l e ：m o n t ec a r l oh a m i l t o n i a nm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n s m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s n a m e ：h u a n g c h u n - q i n g s u p e r v i s o r p r o f l u ox i a n g q i a n a b s t r a c t m c h ( m o n t ec a r l oh a m i i t o n i a n ) m e t h o di san e wn u m e r i c a ls i m u l a t i o n a l g o r i t h md e v e l o p e db yh j i r a r i ，h k r 6 9 e r x q l u oa n dk m o r i a r t y t h e e f f e c t i v eh a m i l t o n i a ni sc o n s t r u c t e dv i am o n t ec a r l os i m u l a t i o nw i t hi m p o r t a n c e s a m p l i n gi nc o n v e n t i o n a ll a g r a n g i a np a t hi n t e g r a lf o r m u l a t i o ni ne u c l i d e a ns p a c e f r o mt h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a n ，o n ec o u l do h a i nt h es p e t r a li n f o r m a t i o no ft h e s y s t e m , a n dc o m p u t eo t h e ro b s e r v a b l e ss u c ha st h e r m o d y n a m i co n e sa n dt h e e v o l u t i o no f t h es t a t e i nc h a p t e r3 ，a f t e rt e s t i n gi t sv a l i d i t ya n dw i d ea p p l i c a b i l i t yi nq u a n t u m m e c h a n i c si no n es p a t i a ld i m e n s i o n s ，t h em c hm e t h o di sa p p l i e dt oq u a n t u m m e c h a n i c sw i t hi n o r ed e g r e e so f 矗e c d o 赋f o re x a m p l e s u n c o u p l e da n dc o u p l e d h a r m o n i co s c i l l a t o r si nt w os p a t i a ld i m e n s i o n s ；n o n - ss t a t e so fap o t e n t i a lw i t h s p h e r i c a ls y m m e t r yi nt h r e es p a t i a ld i m e n s i o n s a l lr e s u l e s a l ee o m i s t e mw i t h t h o s eo b t a i n e df r o md i f f e r e mm e t h o d s at r i c kf o re s t i m a t i n gt h es t a t i s t i c a le l l o r s i si n t r o d u c e d w es h o wt h a tt h ea p p l i c a t i o no f t h es y m m e t r yi su s e f u lf o rr e d u c i n g t h ee r l o r s i nc h a p t e r4 ，t h ec o n c e p to f s t o c h a s t i cb a s i si si n t r o d u c e da n dt e s t e df i r s t ，a n d t h e nt h em c hm e t h o di se m e n d e dt oq u a n t u mf i e l dt h e o r ya n dr e a s o n a b l er e s u l t s a r eo b t a i n e d t h ep r e v i o u sa p p r o a c hn e e d si n f o r m a t i o no i lf r e ep a r t i c l e s i nc h a p t e r5 。w e p r o p o s ea n e wa p p r o a c ht om c h ，w h i c hm a yo v e r c o i l l et h ed i f f i c u l t y w ed e s c r i b e t h eb a s i ci d e a s a n du s eal d i m e n s i 0 1 1 0 - lq u a n t u mm e c h a n i c a lm o d e la sa l l e x a m p l e t 1 1 i sn e wa p p r o a c hm a ya l l o wu st oa p p l ym c h t oa l lq u a n t u mb o u n d s y s t e mi np r i n c i p l e i nc h a p t e r6 ，t h ed e v e l o p m e mi na p p l y i n gm c hm e t h o dt ol g ti sd i s c u s s e d t h i st h e s i sd i s c u s s e si nd e t a i l st h et e c h n i q u e so fa p p l y i n gt h em c hm e t h o d t oq u a n t u mm e c h a n i c sa n dq u a n t u mf i e l dt h e o r y t h er e s u l t ss h o wt h a tt h em c h m e t h o di sa ne f f i c i e n tn u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o dw i t he x c e l l e n tp r o s p e c t sa n d w i d ea p p l i c a b i l i t y t h em c hm e t h o dc o u l db e 印p h e dt os y s t e m sw i t hm a n y d e g r e e so f f i e e d o ma n de n r i c ht h ei l e a n so f p h y s i c sr e s e a r c h k e y w o r d s ：m o n t ec a r l o ，h a m i l t o n i a n ，q u a n t u mm e c h a n i c s ，q i r m h mf i e l d t h e o r y ，l a t t i c eg a u g et h e o r y 1 1 1 第1 章绪论 量子理论是现代物理的两大支柱之一。它已经被广泛应用于物理、化学、 生物学等自然科学以及工程技术的各个领域中。对于实际的物理系统，能够求 出解析解的真是风毛麟角，因此寻找有效的近似计算方法一直是量子理论发展 的主线。目前，人们发展了各种各样的近似方法，主要有解析近似方法和数值 近似方法。 众所周知，变分法和微扰论是量子力学中近似求解s c h r 6 d i n g e r 方程最常用 的解析近似方法，它们各有优缺点。s c h r 6 d i n g e r 微扰理论的一阶计算很简单， 微扰很小时可以得到较好的结果，但是二阶以上的能量本征值的修正以及一阶 以上的波函数的近似解的求解不但比较麻烦，而且都涉及无穷级数求和，一般 很难得到完整的解。与之相比，变分法不受势能大小的限制，有可能有更广泛 的的适用范围。但是变分法只能给出能量本征值的上限，其解的精确程度的估 计和改进原理上都是不很清楚的问题。此外对于激发态，变分法的应用有更多 的麻烦【。微扰方法是非相对论量子力学和相对论量子场论应用于物理问题的 晟流行方法。但是为了保证微扰论的收敛性，要求不能严格求解的那部分相互 作用势较弱。对于强耦合系统，微扰论无用武之地【2 】。 随着计算机技术的飞速发展，对于量子系统，人们发展了各种各样的基于 计算机的数值计算方法。例如求解单体和少体量子受限系统( 束缚态) 能谱和 波函数的打靶法( 节点法i ”1 ) ，高次b 样条基函数法1 6 - 7 1 ，以及求蒙特卡罗变分 法 8 1 等等，其中打靶法( 节点法) 只能处理一维体系或径向问题，而高次b 样 条基函数法应用于对一维系统和径向问题很有效，但对于多维系统也是不方便 的1 9 l ，而且这两种方法都存在不容易对误差进行估算的困难。蒙特卡罗变分法 也是求解基态问题方便，对激发态问题不方便。 此外，在量子场论中，存在着两种等价的理论形式，拉格朗日形式和哈密 顿形式f l0 。，两者各有优缺点。拉氏形式的优点在于它适合用计算机进行蒙特卡 罗数值模拟。过去三十多年来，格点规范场论取得巨大成功主要归功于蒙特卡 罗重点抽样法在高维( 甚至无限维) 积分计算上的广泛使用。但是拉氏形式难 以计算波函数和激发谱。哈密顿形式的优点在于它不仅可以计算基态能量，还 能够计算激发能谱和波函数，而波函数包含更丰富的物理信息，例如若我们能 够使用哈密顿形式计算胶球的波函数，进而研究胶球的产生和衰变过程，就能 为实验确认胶球提供指导。传统上哈密顿形式采用求解薛定谔方程的方法，这 种解析方法不能充分利用计算机这一强大有效的工具，难以对高维系统进行高 阶计算。 由此可见，无论是非相对论量子力学还是量子场论，都需要寻找一种适应 性更强的计算机数值解法。 1 9 9 9 年，h j i r a r i ，h k r o g e r ，罗向前和k m o r i a r t y 提出了蒙特卡罗哈密 顿方法( m o n t ec a r l oh a m i l t o n i a nm e t h o d ，以下简称为m c h 方法) i l l 。这种方 法从可以自然过渡到场论的费曼路径积分形式出发，在欧几罩德空间的拉格朗 日路径积分形式下进行蒙特卡罗重点抽样模拟计算，构造等效哈密顿量，最后 求得系统的能谱和相应的波函数。经过一系列的检验，证实m c h 方法的确能 结合量子理论的两种形式各自的优点，是一种既适合量子力学系统，也适合量 子场论的数值模拟新方法。由于采用了蒙特卡罗数值模拟方法，因此对多自由 度系统优势尤为明显。 近几年来，本文作者在导师精心指导下，有幸在第一时间接触m c h 方法 并参与m c h 方法的发展及其拓广应用的工作中，对m c h 方法的普适性、 m c h 方法推广应用于高维量子力学系统以及量子场系统、m c h 方法中统计误 差的估算、m c h 新方案等一系列问题进行了广泛深入的探讨，本文就是这一时 期相关研究工作的总结。 本论文以下各章的内容安排如下： 第2 章中我们将详细介绍m c h 方法的发展历史和动机、m c h 方法的具体 步骤，以及与之相关的蒙特卡罗模拟的算法原理、计算误差的j a c k k n i f e 方法、 数据拟合的，方法等内容。 第3 章中我们将详细介绍m c h 方法对量子力学系统的应用情况。包括： ( 1 ) 以1 + 1 维墨西哥帽子势为例检验所编写的计算程序的正确性、验证了 m c h 方法的生命力； ( 2 ) 以1 + 1 维线性势为例，探讨了m c h 方法中误差估计的方法以及利用 系统对称性减少统计误差的思想和方法”l ： ( 3 ) 探讨了m c h 方法推广应用到2 + 1 维、3 + 1 维等量子力学高维情形的 方法和结果 1 4 - 1 5 l ； ( 4 ) 简单介绍使用m c h 方法处理原点发散的势的径向问题的s 态的等效 势和外推法及结果，讨论了用微扰论估计误差的方法”6 】； ( 5 ) 详细介绍了m c h 方法求解径向问题非s 态的方法和结果，针对实际 研究中碰到的困难，提出了估算误差的新方案 1 。 第4 章中我们针对量子场的实际情况，介绍了m c h 方法的随机基概念【增。 挣】，并且以1 + 1 维简谐振子为例，检验了随机基方法的有效性。接着以1 + 1 维 k l e i n g o r d o n 模型为例介绍了随机基方法应用于量予多体系统的有效性1 8 i 。然 后以1 + 1 维标量场矿模型为例，介绍随机基m c h 方法对量子场的应用步骤和 结果f 1 9 1 。 第5 章中，我们根据m c h 方法需要自由粒子( 场) 传播予的信息，较难 推广应用于格点规范理论的实际情况，提出一个新方案。首先介绍这一方案的 思想，并以l + l 维量子力学模型矿b ) = t 2 x 2 + 2 x 4 ( 其中2 0 ) 为例 说明实现这一新方案的具体计算步骤和方法1 2 0 】。 第6 章中我们首先介绍格点规范理论的一些基本概念，然后简单介绍文献 【2 1 l q ，计算与m c h 方法应用于格点规范场论密切相关的格点规范场的路径积分 测度的原理和结果。 第7 章中我们总结了本文的主要结论，对m c h 方法在其它一些热门领域 如半导体物理、凝聚态物理、粒子物理、量子色动力学的可能应用；以及m c h 方法进一步发展的方向作出展望。 第2 章m o h 方法和相关知识概述 2 1 发展m c h 方法的动机 我们在绪论中已经讲到，不管是量子力学还是量子场论，都需要一种适应 性更强的数值计算方法，特别是在格点规范场论【2 2 1 ，这种需要更加迫切。这是 因为，尽管拉格朗e l 形式下的计算机数值模拟在格点q c d l 2 3 1 取褥可喜的成果， 但拉格朗日形式很难应用于q c d 的某些领域，例如，波函数的计算、激发态的 能谱、散射矩阵、强子结构函数、有限密度q c d 等。哈密顿( h a m i l t o n i a n ) 形 式是解决这些问题的有效途径。但是以前使用的截断本征方程等解析方法虽然 在1 + 1 维，2 + 1 维u ( 1 ) 规范场、s u ( 2 ) 规范场等非物理系统中取得成功 】，却很难应用到3 + i 维s u ( 3 ) 规范场等实际物理系统中，这些都激发人们 去发展能在哈氏形式下作数值模拟的新方法。 1 9 9 9 年，h j i r a r i ，h k r 6 9 e r ，罗向前和k m o r i a r t y 提出了m c h 方法 【1 。其基本做法是在拉氏形式下做数值模拟，用重点抽样法1 产生满足玻尔兹 曼分布的组态。并在有限的空间中计算量子跃迁矩阵元，然后。用线性代数方 法将跃迁矩阵对角化，得出相应的等效哈氏量、能谱和波函数。我们已经在量 子力学和1 + 1 维量子场论中，对这一方法进行了检验l t l - 1 9 】。如能推广到格点规 范场论，将为格点q c d 的数值计算提供新途径，解决通常的拉格朗日形式数值 模拟方法及哈密顿形式的解析计算方法所无法解决的问题。 此外，q c d 有渐近自由的特性，其高能过程用微扰理论可以很好解决。但 在低能区，诸如真空结构、夸克禁闭、胶球质量、强子间的弱相互作用等非微 扰过程，微扰理论无能为力，这也是我们对m c h 感兴趣的另一个原因。 为了更方便于在后面介绍m c h 方法及其应用，我们先在本章的后续部分 介绍m c h 方法的基本思想和相关基础或背景知识。 2 2m c h 方法的基本思想 m c h 方法的基本思想是使用蒙特卡罗方法计算跃迁矩阵元，然后构造等效 哈密顿量【l l l 。 首先根据时间演化算符的含义，使用虚时坐标，我们可以将从b ，一) 到 g t ) 态之间的跃迁几率幅m f 表示为： m 。= ( w ，h o ) = ( _ 旷“一。扣i _ ) = ( 一j e - n r l 6 = ( 薯i 础e - f r l h ( ei _ ) z 羔( 薯l 砰) e 母加( 醪 = ( t 旷嘶p ( 2 1 ) 最后一行我们用等效哈密顿量如近似代替原始哈密顿量，h a t有少得多 的自由度。蒙特卡罗等效哈密顿量方法的基本思想就是用蒙特卡罗数值模拟方 法计算出等效哈密顿量h e i r , 这样，由( 2 - 1 ) 式计算跃迁几率幅时只需对n 个 本征念求和。 其次按照费曼路径积分理论删，我们也可以用虚时形式将从b ，o ) 到“，t ，) 念之间的跃迁几率幅肘f 表示为： ( 7 1 ) = ( r l x j ，o ) = f 训e x s 。g ) 亢蜣，( “l ，2 ，) ( 2 - 2 ) 这里，为对应于给定路径c 的欧几里德作用量( 下面省去下标e u c l ) = r 出( 圭旃p 蚺 协， 我们也可以直接从作用量出发用蒙特卡罗重点抽样方法2 5 1 计算上述跃迁几 率幅m ，仃) 。注意到( 2 3 ) 式中将s 分解为s o 和s v 两部分 并将p ) 表示为 s = s o + s v = - 心腑2 西叫 亿4 ， m j n ：。m ：( 丁) ! ! 竺! ：竺兰兰竺! ! 生：! ! 兰拿塑! 兰 。：， mf仃=m；仃!1五ax。xp_-s_otx群)h q 巧 l 【j 这里e x p ( - s ，l h ) 被视为可观察量。 式中积分比可用蒙特卡罗重点抽样法计 算，而对应于自由作用量s o 的跃迁几率幅吲0 可表示为 印0 压e d 一嘉g 。一y c z - 6 ， 这样我们就完成了对 厶仃) 的计算了。 在位形空间中引入均匀格点( 节点坐标为x 0 ，对于给定的，我们可以得 到n n 个跃迁几率幅m , j 仃) ，f t ，1 , 2 ，3 ，n ，。有了仃) ，就可得到正厄 米矩阵 m t r ) = 。p ) ) ( 2 7 ) 使用线性代数方法将矩阵m ( t 1 对角化，可求得n x n 正交矩阵u 和n x n 实对 角矩阵d ，使得 m p ) = u + d ( r 妙 ( 2 8 ) 这样，比较( 2 1 ) 式和( 2 8 ) 式可得 = ( 五i e ) ， 巩留) = e 一甲7 肛 ( 2 9 ) 由( 2 9 ) 式我们可得系统的能谱为 酽= 一事l n q 仃) ， ( 2 1 0 ) 相应地第k 个本征态可由正交矩阵矿的第k 列得到。因此我们就由矩阵元 厶仃) 构造出等效哈密顿量： ( 2 1 1 ) 盯= i e ，) e ，( e ， ( 2 - i = l 在这里，我们利用空间格点定义了一个h i l b e r t 空间的基矢i _ ) a 在一维空 6 问中，节点坐标为x 。，我们将格点数定义为n ，则有： k ) 2 缸锄x 1 奶 0 ，即： e 巨时候，“( ，) 在f 处的导 数过大，以致，进一步增大的时候“( ，) 过快地上升或下降，穿过r 坐标轴而发 散；当e v ，说明e e ，这时应该用e 代e l i ，重复回到b 过 ( 2 ) 假如n ( n n ，说明e 0 说明e e n ，以e 代e ，回到步骤b 过程，反之，以e 代替e h ， 回到步骤b 过程，重复上述过程，直到e 日一脱达到一定的精度为止。 2 4 蒙特卡罗模拟方法 d x e x p - s ，g 枷】e x p - s o ( x ) h l ( ： 协) = 面 d x e x p - 丽s o 礤型 。2 2 io 彬 j 。 蒙特卡罗方法的基本思想是，产生几率分布区间为【o ，1 】的均匀随机变 z ：墅里墨延丛! ：；( 2 - 2 3 ) 且出】e x p 【- & g ) ： l o t ) 4 专善o r ( f ，) ( 2 _ 2 4 ) 这里为与第i 个组态相对应的积分路径。组态的数目n 越大，求出的平均值 ( 砩) ”寿 2 - 2 5 ) 蒙特卡罗抽样方法有很多，归纳起来不外乎简单抽样法和重点抽样法两 种。在m c h 方法中我们必须使用重点抽样法，重点抽样法中有麦曲保利斯 ( m e t r o p o l i s ) 算法、热浴( h c a t b a t h ) 算法等，而在格点q c d 中，还有超松弛 ( o v e r r e l a x a t i o n ) 算法等。下面先介绍m e t r o p o l i s 算法。 2 5m e t r o p o l i s 算法 在m c h 方法中， 路径中的平均值。 在格点q c d 中， 值： 我们要计算( 2 2 2 ) 式中物理量仉= e x p - s v ( x ) h 在诸 我们需要求出可蕊测量。对规范场的不同组态的平均 一= 臀 协2 s ， 而在统计物理中，我们常常遇到求某一些微观量a 的系统平均值 。对 于正则系综而言，平均值为： “e 一朋d n “净锰 q 乇7 像( 2 - 2 2 ) 、( 2 - 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 这样的平均值表达式，在大多数情况下，我们 很难对其直接计算，通常采用蒙特卡罗方法进行数值模拟。例如计算( 2 - 2 7 ) 所示的平均值时，我们可以按照公式 一扛专善一( 置) ( 2 - 2 8 ) 在相空间中一定方式对体系的微观态进行随机抽样计算，其中x ，是系统的一个 微观态。 但是由于分布函数p 一触的存在，如果采用均匀抽样方式，则对宏观物理 量爿平均值贡献大的微观态被抽到的次数没有得到适当倚重，得到的平均值就 往往偏低。 理论上解决的办法就是采用重点抽样法，即按照分布( 置) 对系统进行抽 样，其中x 为系统的第i 个组态，r i ( j ) 为： 1 2 蒙特卡罗抽样疗法有很多，归纳起来不外乎简单抽样法和重点抽样法两 种。在m c h 方法中我们必须使用重点抽样法，重点抽样法中有麦曲保利斯 ( m e t r o p o l i s ) 算法、热浴( h e a t b a t h ) 算法等，而在格点q c d 中，还有超松弛 ( o v e r r e l a x a t i o n ) 算法等。下面先介绍m e t r o p o l i s 算法。 2 5m e t r o p o l i s 算法 在m c h 方法中，我们要计算( 2 2 2 ) 式中物理量啡= “p 【- 品扛) 】在诸 路径中的平均值。 在格点q c d 中，我们需要求出可观测量o 对规范场的不同组态的平均 值： 一= 笮警 而在统计物理中，我们常常遇到求某一些微观量 于正则系综而言，平均值为： “e - 衄施 “”气瓦万 ( 2 2 6 ) 的系统平均值 对 ( 2 2 7 ) 像( 2 2 2 ) 、( 2 - 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 这样的平均值表达式。在大多数情况下，我们 很难对其直接计算，通常采用蒙特卡罗方法进行数值模拟。例如计算( 2 - 2 7 ) 所示的平均值时，我们可以按照公式 一2 专善一( 置) ( 2 - 2 8 ) 在相空间中一定方式对体系的微观念进行随机抽样计算，其中z 。是系统的一个 微观态。 但是由于分布函数p 一艘的存在，如果采用均匀抽样方式，则对宏观物理 量平均值贡献大的微观态被抽到的次数没有得到适当倚重，得到的平均值就 往往偏低。 理论上解决的办法就是采用重点抽样法，即按照分布订c 置) 对系统进行抽 样，其中x 为系统的第i 个组态，r i ( x ) 为： 样，其中x 为系统的第i 个组态，( t ) 为： 1 2 n ( 爿) 2 蒜 2 2 9 但是由于n ( x ) 本身是一个高维分布，而( 2 2 9 ) 式分母又有一个未知的归一化 常数，因此，上面的办法实际上也是不能解决问题。 为了解决上述问题，m e t r o p o l i s 等人提出了蒙特卡罗重点抽样法中的一个 重要的方法【3 叭，后人称之为m e t r o p o l i s 算法。 m e t r o p o l i s 等人提出的算法是：不要彼此独立无关地选取相继诸状态 x l + i ) = 圭n 一蛐) 】= 雨e x p 翮( - p o h ) ( 2 - 3 3 ) 或 m ，沪 c x p p 1 之。 协，4 ， 这个公式表示能量增加的状态的跃迁几率小于1 ，能量减少的状态跃迁几 率为1 。因此用上式可以确定马尔可夫链进行的方向： ( 1 ) 当5 1 1 0 时，则进一步用下述进行判断， e x p ( - b o h ) f 不允许疋墨+ 1 e x p ( 一胪h ) 錾允许硌_ + 墨+ ， 其中亡值是一个介于0 与l 之间的随机数。上式说明能量增加较少的状态 可能是允许的，能量增加较多的状态则很有可能是不允许的，判断标准是用随 机数6 物理上原因是体系存在涨落或测不准关系。 在马尔可夫链经过k 步( k 很大) 以后，可以认为体系从随机的初始状态 出发最后达到了平衡态的附近，对以后的马尔可夫链上的微观状态我们继续按 马尔可夫链抽样计算平均值( 2 - 2 8 ) 式。相应的统计误差的估算公式为： ( 彬志静( 计 纠= 志势2 ( 五) - 2 】 ( 2 3 5 ) 上面的马尔可夫过程，对能量的情况，可以画出如图3 - 2 的示意图。 、硐番( 随机) 、蔫嗣掣程， k l ck + n 图2 - 2 能量h 的马尔可夫链 数学上可以证明，只要n 足够大，马尔可夫链出现的状态与初态无关。最后总 是到达到平衡态的附近。 总结起来，m e t r o p o l i s 算法的步骤如下： ( 1 ) 设置一个步长p e d 。 ( 2 ) 根据给定的p e d ，随机产生两组组态x 和+ ，并且令 0 7 = t t ( 置+ ，) 一日( z ) ，然后产生一个【o ，1 】之间的随机数f ，并作如下判断： 1 4 如果e 4 “ 0 1 6 - 1 7 ， 陋= 2 l m o 1 2 x 2 + 吉m 而2 f 1 4 】 二维量子体系 j ，) = 2 w 2 x 2q - 三2 埘珂2 y 2 + 枷 三维量子体系 矿( 五儿z ) = j 1 m 盯2 x 2q 兰州珂2 y + 2 丢聊河2 2 2 1 1 本章是以上一系列相关工作的总结。 3 1m c h 方法的1 + 1 维检验：墨西哥帽势 3 1 1 引言 为了更加深入地检验m c h 方法的生命力，本节我们选取和弱电统一理论 h i g g s 机制的中4 模型类似的墨西哥帽势阱v ( x ) = 2 x 2 + g x 4 ( 其中 芦2 0 ) ，研究它在低能区的物理特性，计算能谱、波函数以及热力学可 观察量，并和基于节点法【4 51 的数值计算结果进行比较【2 1 。 3 1 2 计算方法和结果 l 1 ) v l - 舁力敞 对于势阱矿g ) = 2 x 2 + 缸4 ，欧几里德作用量为 s = r 出 圭m t 2 + 2 x 2 + a x 4 c ，- - ， 在以下的计算中，我们取2 = 一1 2 ，五= 1 4 ，相应地 驴眯臌2 ，= 叶j 1 i 1x 4 ， 协2 ， 代入( 5 ) 式，使用蒙特卡罗重点抽样法( 例如m e t r o p o l i s 方法m ) 即可计算出 n x n 实对称矩阵m ( t ) ，将其对角化可得n x n 正交矩阵u 和n x n 实对角矩 阵d ，从而得到势阱y g ) = 一言x 2 + i 1x 4 的能谱和本征波函数。 定义配分函数z 、内能面和比热： z p ) = 乃( e 一州) ， 面) = 当乃( 婶一彤) ，c p ) = 否瓦o e ；i ( 3 - 3 ) 卢= _ - 三l 一，b 为玻尔兹曼常数，t e m p 为热力学温度。这里我们通过虚参数 尤o e m p t 将= 瓦竞面和= i t 联系起来。 由于我们已经将原始哈密顿量h 近似为蒙特卡罗等效哈密顿量h e p 因此 和h e f t 对应的热力学量可以表示为 ) ：羔。一甜， 面够) ：1 4 掣e 一胛羔e 一硝， i - l，；i c 谚l e ) = k 卢2 ( 喜往) 2 e 一卢矿z 珂b o ) 一琶咿2 舻) ) 。，4 ， 这样只需使用上述蒙特卡罗等效哈密顿量新方法计算出前n 个能谱，即可计算 相应的热力学量。类似地，用节点法搜索出能谱后也可以用上述公式计算这几 个热力学量。 ( 2 ) 计算结果 上机编程计算的结果如下( 选择m = l ，t = i ， = l ，d x = - i ，n = 2 0 ，每变化 5 0 路径抽样一次；当何时，n r = 2 0 ，共抽样组态数n = 3 0 0 ；当i ，时， = 4 0 ，共抽样组态数= 5 0 0 ；) ：表l 给出了前四个能级的比较，可以看到，在 低能区蒙特卡罗等效哈密顿量方法的结果和节点法的结果一致。 表1 y b ) = 一言x 2 + 1 4 x 4 的前四个能量本征值的比较 图3 - 1 至图3 3 给出前三个态函数计算结果的比较，可以看出两种方法的 结果很好一致。其中节点法计算了8 0 0 个坐标点对应的波函数的数值，作图时 将其连接为连续曲线。而本文的等效哈密顿量方法中选择n = 2 0 ，对应给出了 2 0 个坐标点处的波函数值。图3 - 4 和图3 5 给出了两种方法计算出的比热c 和 内能e 的比较，可以看出两者也很好一致。其中我们用节点法计算出前2 0 个能 1 9 级，然后使用( 1 4 ) 式计算出相应的热力学量。 图3 - 1 矿b ) = 一言x 2 + i 1x 4 的基态波函数的比较 1 53 2 y g ) = 一吉x 2 + 1 4 x 4 的第一激发态波函数的比较 一3 支 图3 3 y g ) = 一言x 2 + 1 4 x 4 的第二激发态波函数的比较 图3 4 矿g ) = 一1 2 x + i l x 4 系统的比热两种方法结果的比较 2 l o 图3 - 5 y g ) = 一三x 2 + _ 4 1z 4 系统内能两种方法结果的比较 3 1 3 结论和讨论 通过计算势阱矿g ) = 一言x 2 + 吉x 4 的能谱、波函数和热力学量，我们验证了 m c h 方法适合于处理1 + 1 维局部势问题的低能物理，其计算结果和节点法的结 果致，但节点法只能处理可分离变量的系统，而蒙特卡罗法适用于任意高维 系统，而且我们发展蒙特卡罗等效哈密顿量数值模拟方法的最终目的是用来解 决多自由度系统和格点规范场论问题。由于势阱矿g ) = 一三x 2 + 1 4 x 4 和弱电统一 理论中h i g g s 机制的4 模型十分类似，本例的成功为把该方法推广到量子场论 奠定基础。 3 2m c h 方法应用于1 + 1 维线性势 3 2 1 动机 上节中我们使用m c h 方法求解了1 + 1 维墨西哥帽子势，得到正确的能谱 和热力学量，证实m c h 方法的先进性。但是我们还有一些问题没有解决，例 如怎样利用系统的对称性，如何估算统计误差等等。为进一步检验m c h 方法 的生命力，并解决上述问题，本节中我们选用如下的两个具有束缚态能谱的一 维线性势作为研究对象，它们是： v ( x ) ：l - i # ( 3 - 5 ) 和 y g ) = 譬z x 三： 6 ， i x2u 这两种形式的模型势在量子理论中是令人感兴趣的。前者和q c d 中的静态夸克 禁闭势有着一样的形式，后者则可用来描写在材料表面运动的粒予。前面我们 仅仅研究势能具有对称性的系统，这里我们将考察m c h 方法是否适用于线性 势和无限大的非对称的系统。 3 2 2 误差估算和利用系统对称性减少误差 在这里我们直接采用数值方法估算等效哈密顿量的能量本征值和本征波函 数的统计误差上限。具体做法是用蒙特卡罗重点抽样法和j a c k n j _ f e 算法可以得 到跃迁矩阵元 而及其统计误差6 后，我们分别构造矩阵元为m o + , s m om o - j 两个矩阵，将它们分别对角化，得到相应的能级和波函数，并和矩阵元为 霸的矩阵得到的相关结果相减，取两者绝对值的较大者，作为误差的上限。 知道了能谱的误差，由( 3 3 ) 式和误差传递公式不难计算出对应的热力学 量的误差。 在用m c h 方法计算跃迁矩阵元时，注意到跃迁矩阵具有的对称性，我们 在程序中使用了： m 。= 呦。+ m | ，1 | 2 ，m 。= m 。 ( 3 | 1 的代码。对于( 3 - 5 ) 式所表示的系统，由于y g ) = v ( - - x ) ，跃迁矩阵元还满 足： m 。= ，+ a “帆。1 2 ，m 。+ 一，= m ， ( 3 _ 8 ) 计算结果表明使用这样的代码可以减少数值计算的误差。 3 2 3 结果和比较 【3 5 】： e 产= 掣( 甜- o s 例3 荆= 蚵睁即- - 邮( 剪3 协9 ， 其中善= 0 x l - 2 e o ) ( m h 2 y 3 ，磊= f i 。，彘= ( 3 z 。2 y 3 ，而则是方程 j 2 ，g ) 一3 - 2 1 3 g ) = 0 ( 3 1 0 ) 的解。这里t ，m 和正l 3 为艾里( a i r y ) 函数。我们分别用节点法f 2 7 j 和m c h 方法 计算了上述两个系统的能谱和波函数。并且用上节介绍的公式计算了两个系统 的的平均能量、比热、配分函数等热力学量。 计算结果可以归纳如下：表3 - 3 给出r g ) = f x l # 的系统的能谱；而图3 - 6 给出了y b ) = h 2 系统的基态波函数b ) 分别用节点法和m c h 方法得到的结 果，图3 - 7 则给出了矿b ) = 2 的系统的第一激发态的波函数的比较。可以看 到两种方法的结果符合得很好。 对于3 - 6 式表示的系统，存在解析解。其能景本征值和波函数分别为3 6 1 ： 一( 舛瓣 耐( 筘沁( 妒肛x 一0 ， 其中乒g e 2 州 2 y 3 ，而 则是方程g i l 耶) + j - , , i 弓l & l 邶) = 。的 解，前几个解为：矗= 2 3 3 8 ， = 4 0 8 8 ，五= 5 5 2 1 ，五= 6 7 8 7 。表3 - 4 给 出m c h 方法得到的系统的能谱和解析解的比较。可以发现，尽管两者符合的 很好，但和矿g ) = h 2 的m c h 方法结果相比，相对误差大了一些，这可能是 由于( 3 - 6 ) 式所示的势能没有对称性，我们无法使用( 3 - 8 ) 式对数据进行处 理造成的。图3 8 和图3 - 9 给出了这一系统的基态波函数和第一激发态波函数 的m c h 方法结果和解析解的比较，可以发现m c h 方法可以给出比较准确的波 函数。和上节一样，我们也可以计算系统的配分函数、比热以及平均能量。具 体结果见图3 1 0 至3 1 3 ，其中图3 - 1 2 和图3 1 3 中的平均能量我们用符号u 代 替了上一节的e 。可以发现m c h 方法结果和解析解得到的结果符合得很好。 表3 - 3 v ( x ) ：l x l 2 的能谱 ( 说明：这里酵“代表解析解，霹点法代表节点法结果，硝“代表m c h 方法 结果，取卅= l ，t = l ，h = 1 ，a x = 1 和= 2 l ，表中给出了m c h 方法的统 计误差，节点法的误差按照r u n g e - k u t t a 方法估算结果小于最后一位数字，故 未列出。) 图3 - 6y g ) = i x 归系统的基态波函数g ) 。其中连续曲线为节点法结果， 钻石形数据点为m c h 方法结果，取m = 1 ，t = 1 ，靠= 1 ，a x = l 和n = 2 1 图3 - 7v ( x ) ：l x l l 2 系统的第一激发态波函数。g ) 。其中连续曲线为节点法结果，钻石 形数据点为m c h 方法结果，取m = 1 ，t = 1 ， = 1 ，缸= 1 和n = 2 1 6 5 4 3 2 l 0 1 2 3 4 5 6 0 0 o 0 0 0 0 o 0 o o 0 o 表3 - 4 x 0 ，y = x ；x 0 ，v ( x ) = a o 系统的能谱 ( 取m = 1 ，t = i ， = i ，a x = i 和n = 2 0 ) 图3 - 8x 2 0 ，矿g ) = x ；x o ，y g ) = m 的系统的基态波函数。连续线为解析解，钻 石形数据点为m c h 方法的结果，取取刖= 1 t = 1 ， = 1 ，a x = 1 和n = 2 1 图3 - 9x 0 ，y g ) = x ；x 0 ，y g ) = o 。系统的第一激发态波函数。连续线为解析 解，钻石形数据点为m c h 方法的结果，取m = 1 ，t = 1 ，h = 1 ，a x = 1 和n = 2 0 图3 - 1 0 矿g ) = f 叫2 系统的平均能量。连续线为节点法结果，钻石形数据点为 m c h 结果，取m = 1 ，t = 1 ，壳= 1 ，缸= 1 和= 2 1 1 5 i 4 1 3 1 2 1 1 1 0 0 9 o 8 o 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 o 图3 - 1 1 y g ) = i x l z 系统的比热。连续线为节点法结果，钻石形数据点为m c h 结果，取所= i ，t = l ，矗= 1 ，缸= 1 和= 2 i 图3 - 1 2 x o ，矿b ) = 并；工 0 ，矿o ) = 0 0 系统的平均能量。连续线为解析解结 果，钻石形数据点为m c h 结果，取_ i ，= 1 ，t = l ，壳= 1 ，缸= 1 和j v = 2 0 c k 口 图3 1 3 x 0 ，v ( x ) = x ；x o v ( x ) = 0 0 系统的比热。连续线为解析解结果， 钻石形数据点为m c h 结果，取m = l ，t = 1 ， = l ，出= l 和= 2 0 3 2 4 结论 本节中我们应用m c h 方法计算了两个1 + 1 维量子力学线性势，一个为对 称的，另一个为非对称的。我们计算了系统的能谱、波函数和热力学量，同时 提出了估计误差的方法。我们发现m c h 方法的结果和其他方法的结果