浅谈Delta-Sigma的工作原理.doc

浅谈Delta-Sigma之工作原理文/黄克强95年初老朽准备EAD-DSP系列之DSP演算法(详见高传真227期)之前，蒲总编曾经向老朽提及Crystal公司的CS4328、CS4330一系列的IC，希望我能写一系列的文章来谈这一系列广泛用途之Over Sampling之D/A Converter IC，其实这一系列的IC都是采用了所谓之分段式Up Sample的DSP架构搭配-之D/A Converter而成，由于老朽在细说EAD-DSP系列之DSP演算法一支中并末谈及-的工作原理，因此特别请我的好友黄克强博士来撰写-的部份。何志诚何老朽是我的挚友兼同事，他的办公桌就在笔者的左手边。他是个发烧友，也是音响专家。而笔者却是个音响白痴(编者：唉！唉！黄先生实在太谦虚了，如果您是白痴，那我们岂不)。他专精信号处理，尤其是Over Sampling。而笔者擅长数位通讯及一点点适应性控制。半年前，甚至更久之前，何老朽拿了一些CS4328之类的Data Sheet及他在高传真发表的文章给我，这时我才在他的调教之下初窥发烧音响之门径。谁知黄鼠狼给鸡拜年不怀好意，何老朽半哄半骗的要我替他写一篇有关Delta-Sigma的介绍文章。碍于多年交情，我勉强答应下来。事后才发现这种文章真难写。为了能在高传真杂誌上露脸，必须避免学院派的数学推导，又必须把东西写得清清楚楚(要不然就变成低传真)，真是难。难！难！难！难！不过何老朽毕意没看走眼，笔者费了九牛二虎之力，终究把它写出来了。但由于笔者笔法不够老练，写出来的文章可能还是生硬了些，尚请读老您多多包涵。有任何批评指教，请找何老朽代转，包君满意！ 图零是CS4328的方块图，第一个方块8 X Interpolation Filter已经在何老朽以前的一系列高传真文章中介绍过了。第二个方块就是本文所要谈的Delta-Sigma()。现在我们就开始正式进入-D/A converter之殿堂。为了使本文雅俗共赏，笔者避开了所有的数学方程式，尽量以图解的方式作观念上的介绍。要了解调变，必须先从调变下手，比较容易进入状况，复杂如CS4328所采用之五阶调变就是从最原始之调变一步一步演化而来的。请详见图一的演化图。 建议读者在K这篇文章时，多看图，至于文字就只是用来说明图例而已。 图二是一个八调变之1Bit DAC。Xd代表数位波形输入，就数位音响而言，Xd可能是18bit，至于尾巴的d代表digital之意。Yd为调变之1Bit输出，值为正1或负1。调变之观念很简单，就是要使Yd之积分波形愈接近Xd愈好，如图三所示。每当Yd之积分值(即Zd)超过Xd，下一个Yd值就设为负1。如果Yd之积分值Zd低于Xd，下一个Yd值就设为正1。图二的减法器就是要看看Xd和Zd谁大谁小，Ud=Xd-Zd，若Ud大于零，比较器输出(即Yd)就为正1，若Ud小于零，比较器输出为负1。如此一来Yd不断的修正使得Yd之积分后波形Zd如影随形般的和Xd同上同下。现在要做的就是把Zd以类比的方式重现出来。很容易的，首先利用1Bit的DAC将数位的Yd转成类比的对等信号Ya，(其中a代表analog之意)，然后再用类比积分器将Ya作积分而产生Za。于是Za和Zd两者之波形是一样的，只不过Zd是数位而Za是类比。但是由于1Bit DAC，Za会有些不平滑的转折点，所以最后还需要一个类比低通滤波器以产生平滑的Xa，Xa就是Xd的类比重现。 这样的调变方式产生了一些问题。首先是如果数位输入波形Xd的变化太急剧，也就是斜率过大，如图四(a)所示，那么Zd将会跟不上，而产生严重的失真。第二个问题是调变看不见直流或极低频成份。因为调变基本上是针对输入波形的时间变化量(类似微分)作1Bit的量化编码(如图三(a)所示)，所以直流成分显示不出来。这样说太模糊，我们看图四(b)，如果输入Xd是直流，那么不管Xd的固定值是多少，Yd的输出永远都一样，那当然不对。此外，类比积分器在实际工程上也不是那么讨人喜欢。 要克服上述两个问题，可以将图二之调变DAC作一些变形，我们将积分器从后面搬移到最前面如图五所显示的。如此一来原来的类比积分器就变成数位的积分器。而且Xd经过积分之后，原有的急剧变化将会变得平缓得多，于是后面的调变就不会有斜坡跟不上的问题。至于Xd中的直流或极低频的成份，经过积分之放大效果后，就不会像图四(a)所示的那样水平固定不动，于是后面的调变就可以看得到而加以量化编码。这实在是一本万利。图五这样的系统可以称呼为调变(Sigma Delta Modulator)，就是在调变之前加个，意指积分。 图五所描述的调变可以再加以简单化。我们注意到图五之Ud为Xd之积分减去Yd之积分，是先积分再相减。所以我们也可以使Xd和Yd先相减，以后它们的差再积分，就如同图六所描绘的，结果Ud不变，但是图六比图五省下一个积分器。因为图六是先相减再积分，可称之为调变(Delta-Sigma Modulator)。由于其中所用之积分器事实上是一个一阶滤波器，所以图六可细称为一阶调变。图六只是调变的基本型，它的效能还可再改进。例如图七，这是个n阶调变器，也就是以一个n阶滤波器去取代图六之积分器，这样就可以大幅提高最后类比输出之S/N比。如果n=5，就是CS4328所采用的1bit DAC。 经过上面那么一大段烦闷琐碎的文字解说，我们来点轻松易懂的。图八(a)是调变的数位波形输入，经过调变后1Bit输出为图八(b)。图八(b)的二值类比波形经过类比低通滤波器之后，又还原成图八(a)一样的波形，不过是类比的。在时间指标为l0附近，图八(a)小于零，于是1Bit输出大部份是负1。在时间为30附近，图八(a)大于零，于是1Bit输出大部份是正1。在时间为45附近图八(b)大约是零，于是1Bit输出为正负1交错。 看这图八，相信读者对于一定有了一些较具体的感觉。现在我们解释一下CS4328的五阶(图七)优于基本型一阶(图六)的道理何在。总归一句话，就是要产生一串1Bit信号，这串信号和输入波形(audio)在低频部份(20KHz以下)一模一样而其它量化误差则尽量往高频移过去这些高频误差就可以用类比低通滤波器轻松地干掉。图九是一个一阶调变输出Yd的频谱，20KHz以下低频部份是我们所要的信号，50KHz以上高频部份就是其它误差。图十是二阶调变输出的频谱。两相比较，读者可发现二阶的量化误差(频谱高频部份)比较多，且比较往高频率挤。意思就是说，低频信号部份比较精准，S/N比较高。为什么？道理很简单，调变中的比较器是在作信号量化的工作，如同一般的16bit DAC一样，只是它比较极端，只有1bit。我们自然希望这个比较器只针对低频信号作量化，所以最好是不要让比较器看到高频部份。图六的一阶数位积分器和图七的n阶数位滤波器就是在扮演这种站在比较器前面阻挡高频的角色。谁阻挡高频越成功，比较器对低频信号的量化也就越精准，量化误差也就越往高频挤。讲到这里大家一定就明白为何二阶比一阶的S/N比高，因为二阶数位低通滤波器比一阶的更能阻挡高频。依此类推，三阶，四阶，五阶，阶数越高越好。但是阶数越高数位滤波器越复杂，成本越高。而且阶数太高会引起整个调变器的稳定性的问题。基于这些考量，CS4328采用五阶。 啰嗦了这么一大段，相信大家只要有一些Digital的基本概念，就一定对CS4328的调变有了一些观念上的认识。如果还不清楚，那么读者未免太对不起笔者牺牲这么多的宝贵时间，半年！至于CS4328还有Switched Capacitor Filter的部份，读者就把它想成是类比低通滤波器就好了，至于什么是Switched Capacitor