（应用数学专业论文）一类非线性含有时滞的资产发展方程解的性质.pdf

一类非线性含有时滞的资产鬓展方程解丝丝堕 2 一类非线性含有时滞的资产 发展方程解的性质 摘要 本文研究的是技术进步是希克斯中性的，具有 资金服役时间的投资控制模型由于对含有时滞的 经济系统的研究，有助于我们加深对社会经济系统 的认识，提高对宏观经济的调控能力，所以本文研 究的一类非线性含有时滞的资产发展方程具有一 定的理论意义和实际意义 本文首先给出了含有时滞的中性技术进步的资 产投资模型其次运用积分方程理论和泛函分析， 将用偏微分方程刻划的系统模型化为积分方程来 描述。利用积分方程解的存在唯一性证明了该投资 系统解的存在性与唯一性，同时得到解的解析表达 式最后给出了以含有时滞的c e s 生产函数为边界 条件的投资模型，并证明了该模型解稳定性 关键词：中性技术进步，时滞，c e s 生产函数， 稳定性 一荚非线性合有时滞的资产发展方程簦堕竺堕 p r o p e r t i e so fs o l u t i o nf o rac l a s so fn o n l i n e a r i n v e s t m e n t d e v e l o p m e n t a le q u a t i o nw i t ht i m ed e l a y a b s t r a c t 3 t h i sp a p e rf o c u s e so nt h es t u d yo fi n v e s t m e n tm o d e lo fh i c k sn e l l - t r a lt e c h n i c a lp r o g r e s sw i t ht i m ed e h y b e c a u s et h es t u d yo fe c o n o m i c a l s y s t e mw i t ht i m ed e l a yi su s e f u lf o ru st od e e p e nt h ec o g n i t i o nt oe o o - n o m i c a ls y s t e m ，t h i sp a p e rh a st h e o r i c a lc o n s t r u c t i o na n db eu s e f u l t h i sp a p e rf i r s t l yg i v e st h ei n v e s t m e n tm o d e lo fn e u t r a lt e d m i - c a lp r o g r e s sw i t ht i m ed e l a y s e c o n d l ya p p l y i n gt h et h e o r yo fi n t e g r a l e q u a t i o na n df u n c t i o n a la n a l y s i s ，w em a k et h es y s t e mm o d e lo fap a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n st ob eai n t e g r a le q u a t i o n a n d 璐et h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h ei n t e g r a le q u a t i o n ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e - h e s so ft h i si n v e s t m e n tm o d e l m e a n w h i l et h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o no ft h e s o l u t i o ni sg o t a tl a s t ，w ed i s c u s st h em o d e li n v o l v i n gw i t ht i m ed e l a y e d c e sp r o d u c t i o nf u n c t i o nb o u n d a r yc o n d i t i o n a n dw ep r o v et h es t a b i l - i t yo ft h em o d e ls o l u t i o n k e yw o r d s ：n e u t r a lt e c h n i c a lp r o g r e s s ；t i m ed e l a y ；c e sp r o - d u c t i o nf u n c t i o n ；s t a b i l i t y 二叁韭垡竺垒查堕鲎塑童叁墨查墨簦堕丝煎4 一引言 系统科学理论和现代控制论的发展，为研究经济系统提供了 新的思路和新的方法经济系统是一个不断演化的复杂巨系统，具 有多层次，多功能的结构特点由于经济系统是有人参与的系统， 而这个系统从功能上最终是为了生产和消费因此从这个意义上 讲，它可以看作生灭系统生产过程代表了经济系统生的过程，它 为社会和居民提供产品，而且为再生产注入新的资金；消费和生产 中的资产消耗代表了这个系统灭的过程生灭过程在客观世界中广 泛存在，如生物种群的繁衍，人口的出生和死亡，森林的开采和种 植等，对这类过程的定性及定量的描述和研究，已经有了很大的进 展如一宋健【1 】，于景元【1 1 【2 】 3 1 ，朱广田【3 】【6 】，郭宝珠1 2 】1 1 3 】，王定江 【4 】，赵军【5 】【6 1 【7 ，焦红兵【8 】f l o 】【1 4 】，李红【9 1 5 】等等一些学者做了许 多工作，取得了大量的成果 经济增长问题是宏观经济理论研究的一个重要的内容在经济 增长的定量研究中，运用最多的是生产函数模型生产函数是在物 质生产过程中，反映生产要素投入量的某种组合同它的可能的产出 量之间的依存关系的数学表达式，即y = f ( a ，k ，l ，) 其中y 为 产出量，a ，耳，厶分别为技术，资本，劳动等投入要素 技术进步作为人类社会发展中的经常性因素，它本身是一个系 统，同时又是一个发展过程技术进步的实质是在创造和掌握新知 识的基础上，进一步在生产的各个阶段和非生产领域应用这些新知 识的过程技术进步对经济增长的作用表现为技术进步的经济效 = 叁韭壅竺垒查堕堂箜堂曼墨墨查堡簦塑堡堕 5 益，是在创造、推广和应用科技成果的基础上，生产社会产品过程 中社会必要劳动时间的节约在生产过程中，这种经济效益是一定 数量的生产要素的合理组合并共同发生作用的结果 定义中性进步的目的是指出技术进步的特征在某种意义上， 这种技术进步使劳动和资本的平衡保持不变，因而容许经济稳定增 长 所谓“中性技术进岁，按照英国经济学家希克斯( j r h i c k s ) 的定义，就是当生产要素资本和劳动的比例譬不变时，技术进步前 后生产函数中的边际产品之比蘩也保持不变，也就是边际替代率 保持不变的技术进步希克斯中性技术进步也常被称为增长型技术 进步 从文献【1 7 】得知，假定生产函数y ；f ( k l ，t ) 是连续的，且有 连续的偏导数，并且对于k 和l 是线性齐次的，那么当且仅当生产函 数可以写成y = a ( t ) f ( kl ) 形式时，技术进步才是希克斯中性的 本文研究技术进步是希克斯中性的，生产函数为y = a ( t ) f ( k l ) 形式的具有资金服役时间的投资控制模型 在实际问题中，由于客观事物演化发展是复杂多样的，如实际 系统中信息、数据等变量的测量、采集，处理；用于实际系统中设备 的物理性质；物质、能量、及信号的传递，总是不可避免地存在着时 滞现象，因而对时滞现象的研究有着重要意义近十几年以来，人 们对时滞现象的研究也已经扩大到生态系统以及社会系统等领域， 并得到不少成果如c u s h i n g 1 2 】和郭宝珠与w l c h a r t 1 3 】等等同 样，在经济系统中也存在时滞现象，比如人才资源规划中的教育投 资时滞问题，国家经济政策实施过程中的时滞问题，资产投资过 程中的时滞问题等如文献【1 4 】对含有时滞经济系统的研究，无疑有 助于我们加深对社会经济系统的认识，提高宏观经济的调控能力 对资产投资系统的研究可以从多个角度进行本文将经济系 统作为一个生灭系统，着重研究资产的产生，折旧和消亡的动态过 程，考虑生产建设周期同题，也就是投资时滞对资产发展变化的影 响问题首先给出含有时滞的资产投资运动的控制模型，进而探讨 资产发展方程解的性质 二系统模型 从系统科学角度出发，我们把投资生产- 分配消费一生产 等社会生产过程看作一个系统，在文献【1 0 】中，已研究了如下的中 性技术进步的资产投资系统t 塑絮丑+ 型业b = 一p ( 6 t ) k ( b ，t ) ，( 口，t ) q ， k ( b ，0 ) = g o ( 6 ) ，a q ，( 1 ) k ( o ，t ) = 西( t ) = r ( t ) a ( t ) f ( 工( t ) ，驴k ( b ，t ) d b ) ，t ( o ，t ) 式中q = ( 0 ，6 m ) ，q = q ( o ，功 并且得到该模型的解 一类非线性合有时滞的资产发展方程解的性质 k ( b ，t ) = ko(bt)ej：扣|“一”d，0to t a 0 t bt ) e j 扣p 一卅一”出，t 圣( t g ) e 一譬p ( 1 ，舛l - 6 ) 玉， t 6 7 由于此方程中不含有时滞，模型研究起来相对容易而含有时 滞的资产投资模型，由于引入时滞r ，使得t 0 时状态影响以后变 化过程，从方程的形式上要复杂，研究起来也相对要困难但研究 带时滞的经济系统投资模型，具有更好的现实意义和理论价值因 而本文就研究带有时滞的中性技术进步的资产投资系统假设资产 投资具有相同的建设周期，其模型如下t 掣+ o k 抛( b , t ) = 一g ( b ) k ( b ，t ) ，0 b b m ，0 t 0 k ( b ，0 ) = k o ( 6 ，0 )0 b s6 m ，一r 0 0 ， ( 1 ) k ( o ，t ) = 圣0 ) = r a f ( l ，伊k ( b ，t r ) d 6 ) ，t 0 其中b 表示中性技术进步资产的役龄，即资产已使用的时间， 6 m 为最大役龄，t 为时间，k ( b ，t ) 表示t 时刻役龄的资产分布密度 函数，p ( 6 ) 为按役龄的相对折旧率，凰( 6 ，0 ) 为初始状态垂( t ) 表 示t 时刻对本单位投资后新增的资产 a f ( l ，驴k ( b ，t 一丁) 动) 为 t 一7 时刻国民生产总值，其中a 为综合要素生产率，工为劳动力， r 为积累率，0 r 0 为时滞 使用如下合理假设 1 0 p ( 坊在( 0 ，k ) 上非负且连续，并满足 一类非线性含有时滞寺资产发展方程解的性质 启p ( 力印 + ，5 0 ，静0 2 f 0 ，其中( t ) = f p k ( b ，t r ) d b 上述用偏微分方程刻划的系统模型可化为积分方程来描述， 并且两者等价积分方程如下t 一类非线性含有时滞的j f 产发晨方程并的性质 k c b ，t + o ) = k o ( 6 ，t + 口) ， t + p 0 ， 9 g o ( b t 一以0 ) e j ：t 一p 和， 6 t + 口20 ， ( 2 ) o ( t + o 一e 一片p ( p ) 4 0 ，b o ， ( 亡+ 口一b ) e - f b p 却，6 0 ， 驴k o ( b ，t 一下) 勘 圣( t ) = r a f ( l ，( t ) ) t t 0 定理2 假设条件1 0 一4 0 成立，则方程( 3 ) 在c 1 【0 t i 上存在唯一饵 证由迭代法证明存在性取y o ( t ) = 口( t ) ， 件l ( t ) ：b ( t ) + r 以一7 ，(6)ej：l-v-bp(p)40dbaj k l ( t ) = b ( t ) + r o f ( l ，帆( 6 ) ) e 一厶”d b 由假设易知( t ) c 1 o ，列，竹一0 ，1 ，2 ，下面用数学归纳法 证明 k ( t ) 关于行是递增的 l ( t ) = b ( t ) + r a j 菩一f ( l ， r o ( 6 ) ) e 一凡小p ) d p d b b ( t ) = n o ( t ) ，h 一，、 根据假设条件2 0 ，可知3 w ，使得- n j ( 6 口) w 2 从而尬= 啊6 m n o ( ) w 2 k = 肘j 假设a 0 ( t ) 一1 ( 舌) t 0 成立，则 + l ( t ) 一 k 0 ) = r a 后一7 f ( 五， k ( 6 ) ) 一f ( 厶i v 一1 ( 6 ) ) 】e j o - - i i ”d p d 6 一r ， 因为f ( l ，( t ) ) 关于n ( t ) 单调增加，且 k ( d 心一l ( d ( 3 ) 所以f ( l ，风( t ) ) f ( l ，一1 ( 吡 从而m 件l ( t ) r n ( t ) 因此 心( ) 关于礼单调增加。且拜+ l ( t ) 心( t ) 尬 下证级数e 【+ 1 ( t ) 一眠( t ) 】是一致收敛的 n = u n ( t ) = 【 k + l ( t ) 一 k ) 】+ n o ( ) ，t f o ，t i n l ( t ) 一n o ( t ) = r a 后一r f ( l ，j ( 砷) e j ：t - - t - - b p ( p ) d p d b 因为f ( l ，n o ( t ) ) 关于n o ( t ) 在【尬，m 2 1 连续，可设f ( l ，n o ( t ) ) f 伊o ) ，当t 7 - 时， 1 ( t ) 一n o ( t ) r a f l t r i r a f t 由于器 0 ，窬 0 ，所以塑幽o n关于( t ) 单调减少，且 r n ( t ) n o ( t ) m ，从而 垒竺垡o 趔n5 鱼学n 皇! 幽o n = 毋，( 只0 )一a 一 ”7 2 ( ) 一1 ( t ) = r a 厝1 i f ( 厶1 ( 6 ) ) 一f ( l ，o ( 6 ) ) e 一如 “b , ) 4 p d b 。r t - r 一 r a 詹一7 f f ( 二，l ( 砷) 一f ( l ，n o ( b ) ) d b r a 后一7 掣( 1 ( 6 ) 一n o ( b ) ) d b 二类非线性含有时滞的资产发展方程解的性质 r a f t 詹”r a f b d b 1 4 s 苦止学， 这里f 介于1 ( t ) 和n o ( t ) 之间 由数学归纳法可知 j + l ( t ) 一( t ) = r a 后一7 【f ( 厶j ( 6 ) ) 一f ( l ，一1 ( 6 ) ) 】e 一- - - - b p ( p ) d p d b r a j 矿7 【f ( l ，j v ；( 6 ) ) 一f ( l ，v 二一l ( 6 ) ) 】d 6 r a 露一72 1 ：l ；产( v ；( 6 ) 一 k 一1 ( 6 ) ) 动 r a f l 詹1 苦芈曲 苦瞥， 这里f 7 介于 0 ( t ) 和 k l ( t ) 之间 曼( - ( t ) 一( t ) ) 曼苦嘴轳量( - ( t ) 一( t ) ) 姜苦铲 = 嚣( e r 帆。一1 ) ，f l e r 肿 o o 因而e 一( n h - i ( t ) 一 k ( t ) ) 是一致收敛的，且 n = o n ( t ) = 【+ l ( t ) 一心( t ) 】+ n o ( t ) n - - - - o 对0 t r ，上述成立 下证唯一性设n c t ) 、m ( t ) c 1 【0 ，卅是方程( 3 ) 的两个不同 的解。 ( t ) = b 0 ) + r a f o r f ( l ，( 6 ) ) e j ：一t , o , ) d p d b ， 肘( ) ：b 0 ) + r a 露一rf ( l ，m ( 6 ) ) e j ：t - 7 - b p o ) d p d b 令o ( t ) = i n ( t ) 一m ( t ) i ，则 8 ( 的= i r a 瑟- 7 i f ( 厶( 6 ) ) f ( l ，m ( 6 ) ) 1 b 一菇一6 p ( p ) d p d b r a 后一7 警l ( 6 ) 一m ( b ) l d b r a m 詹1i n ( b ) 一m ( b ) l d b r a f l 詹一o ( b ) d b ， 其中介于( 亡) 和m ( t ) 之间 由g r o n w a l l 不等式，o ( t ) 三0 ，t 【0 ，刀 从而方程( 3 ) 的解存在且唯一证毕 由此方程( 2 ) 的解在c 1 ( 【o ，6 m 】【- - t ，+ o o ) ) 上存在且唯一，并 一类非残性含有时滞的资产发展方程解的性质 可解析表为 k c b ，t + 们= k o c h ，t + t + 一0 ， n g o ( b t p ，o ) e j 一“印，b t + p 20 ， 垂0 + 口一6 ) b j ：p 如，6 0 为时滞 下面将讨论以 r a 6 l ( h k ( b ，t 一7 - ) 删一p + 如二一9 】一j ，t 20 r 儿。 ，t 一7 - ) 删一9 + 如二一9 】一j ，t 2 为边界条件的投资模型解的稳定性 引理1 设k l ( b ，k l ( b ) ) 和k 2 ( b ，t ；鲍( ) 分别是初始条件为 j q ( 6 ) 和k 2 ( 6 ) 的方程( i ) ，i = 1 ，2 璺! 磐也+ 曼! 磐出= 一p ( 6 ) 磕( 6 ，t )巩 。 一p 、”，”，”， ( 6 ，= ( 6 ) ， 0 b ， 0 0 ， k ( b ，口) ；琵一片p 却口【- - t ，o 】， f i ( o ，t ) = r a a l ( 驴k ( b ，t 一下) d b ) 一a + 5 2 l 一1 一i 1 ，0 的解。则 。t i m 。帮c 。= 酽= 掣 其中，r ：小7 r ( b ) d b ，7 r ( 6 ) ：e 一片p ( 椭 证由前面知此方程的解为： k ( b ，t ) 当t ( 7 1 ) 时， 瑟一譬p ( p ) d p 0 b 承t ) ：，k 瑟一片p ( p ) d p d b + ，。r a 吼( 承t - - t - - b ) ) - p + 5 2 l 一9 】- 7 r ( b ) d b d t fd o 。 一类非线性含有时滞的j f 产发展方程解的性质 i ) 令o ：伊：墨f ! 丝掣，由直接验证。 q r 因而 即 髟慨t ) ：l ( r p a l p r p - 5 1 ) 7 r ( 6 ) ：矛( 6 ) 劈冗 鳓= f o b = k ( b , t - ， ) d b = 竿 舰( t ) = n + ) 令c 6 m 十r ， 一类非线性含有时滞的资产发展方程解的性质 雨一职t ) ：a 舻一r a 广 一7一b)-p+62l161(n(t+ 6 2 l 一1 - _ r ( b ) d b ， o 一( t ) = a 一上 一7 一 一1 ， 令t 0 0 ，则上式变为 0 = 入妒一r a 驴随弱一9 + 6 2 l 一9 1 - 7 f ( ( 络 = a 萨一r a ( 6 1 ) t p 一9 + 如l 一9 ) 一 r ， 所以天= 1 ，因而有 舰( t ) = a = 旷 i i i ) 当c c 时，同理类似i i ) ，舰取t ) = 萨证毕 定理4 若对每一固定的0 【一下，o 】，( 以口) = 蜀( 6 ) 0 ，b 1 0 ，1 ，则方程，i = 1 ，2 的解托( 6 ，t ) 在( 0 ，o o ) 上渐近趋于k 4 ( 6 ) ，鄢 规k ( 6 ，t ) = k + ( 6 ) 证因为m ( t ) c 1 1 0 ，6 m 】，故可令 a 12 f 删旭( 2 ) ，g 2 2 惦i 【0 l l a 6 ，i x 】( t ) ，q 1 oo = l ，2 ) 否则g 1 = 0 ，当t 【o ，7 1 时，趣( t ) = 舻甄( 6 t 一 r ) d b 0 为已知 所以设强l i t , 6 m 1 ，在t 卜，岛l 】中，旭( t ) 0 而肌( t i i ) = o ，i = l ，2 由 趣( ；盘- 甄( 6 一缸1 + f ) e 一定，”彬坳面 - i - r a f 孑- 一r 5 1 ( n ( t i l 一r 6 ) ) 一9 + 如五一9 】一；1 e j ：p ( p ) d p d b 其中批( 屯1 ) ：0 与j 某，k p t n + r ) e - 芷“p 印d 6 0 产生矛 盾 因而a l 0 ，又t 6 m 时， 所以有 甄( 6 ，k ) = r a 6 l ( ( 6 m 一6 ) ) 一pq - $ 2 l p 】一；e - 露p 却， r a ( 5 i c 五9 + 6 2 l 一9 ) 一 7 r ( 6 ) 甄( 6 6 m ) r a ( 5 i c 五p + 屯工一9 ) 一；17 r ( 6 ) 设只( 6 ，t ) 是方程 掣= 一掣一p ( 6 ) 只( 6 ，t ) ，0 k 时，垃( 6 ，t ) = 最( 6 ，t 一6 m ) 由引理2 ，熙只( 6 ，t 一6 t n ) = ( 6 ) ，所以 t 1 i r a 。段( 以t ) 2 占恕；只( 6 ，t 一) = k + ( 6 ) ，i = 1 ，2 证毕 综上所述，我们有 定理5 若对每个固定的0 【一下，0 】，k o ( b ，0 ) 0 ，b 【0 ，】，则方 程( 1 ) 的解k ( b ，t ) 在1 0 ，o 。) 上渐近趋予轳( 的，即 舰k ( b , o = 旷( 6 ) 2 毒( 矿彤一矗) 椰) 由定理5 我们可以知道z 对于含有时滞的定常资产投资系统， 资产存量变化渐近趋于一个平衡状态 五结束语 由以上证明可知。在给出带有时滞的中性技术进步的资产投资 模型后，应用泛函分析和积分方程理论，得到了该模型解的存在唯 一性，并给出解的具体解析表达式 得到这些结论，在这些理论基础上，我们就可以进一步对该 模型进行深入地研究，可以考虑它的最优控制，系统辨识等理论问 题也可以考虑把该模型离散化，在离散方程基础上。结合实际经 济数据，运用计算机进行模拟计算，等等上述这些问题都可以在 以后的时间里做继续的研究从而更好地研究和揭示资产经济系统 发展的内在规律和变化趋势 一类非线性含有时滞的资产发展方程解的性质 r e f e r e n c e s 【l 】s o n gj i a n ，y uj i n g y u a n p o p u l a t i o ns y s t e mc o n t r 0 1 s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 8 【2 】于景元，郭宝珠，朱广田人口分布参数控制系统理论华中 理工大学出版社，1 9 9 9 【3 】于景元，朱广田等林龄面积转移方程解的性质应用数学学 报，1 9 9 4 ，1 7 ( 4 ) ：6 0 6 - 6 1 2 【4 】王定江。非线性种群发展方程解的性质高校应用数学学报， 1 9 9 8 1 7 ：2 3 - 3 0 【5 j 赵军宏观经济分布参数系统研究北京信息控制研究所博士 学位论文1 9 9 6 【6 】于景元，赵军，朱广田经济增长中的投资控制模型系统工 程理论与实践。1 9 9 6 ，1 6 ( 4 ) 【7 】于景元，赵军经济系统的控制模型及其解的性质控制与决 策。1 9 9 6 。4 。 【8 】焦红兵，予景元s o l u t i o no fac l a s so fi n v e s t m e n td e v e l o p m e n t a l e q u a t i o n s y s t e m ss c i e n c ea n d