（计算数学专业论文）二元数值积分公式的构造方法研究.pdf

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d i m e n s i o n a lc a s eh a sb e e ns t u d i e df o rm a n yy e a r si ne n g i n e e r i n g t e c h n o l o g yi n c r e a s i n g l yd e v e l o p e dm o d e r n , t w o - d i m e n s i o n a l a n dm u l t i - d i m e n s i o n a l i n t e g r a t i o ni sv i t a l l yi m p o r t a n tt ot h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n 讹p a p e ri sa ni m p o r t a n t m e t h o do fn u m e r i c a li n t e g r a t i o n , e q u i d i s t a n tn o d e sm e t h o d , c o m b i n e dw i t ho n e d i m e n s i o n a l s t r u c t u r eo fq u a d r a t u r ep e o p l et h o u g h t , i nt w o - d i m e n s i o n a ls p a c ei se x t e n d e d , c o n s t r u c t e da n u m b e ro ft w o - d i m e n s i o n a lq u a d r a t u r ef o r m u l a r h ea r t i c l ei sd i v i d e di nf i v ep a r t s ；t h ef i r s tp a r ti st h ef o u n d a t i o no fk n o w l e d g e ，f i r s t i n t r o d u c e dt h eb a s i cc o n c e p t so fn u m e r i c a li n t e g r a t i o n , 勰w e l l 觞p r e v i o u so n e d i m e n s i o n a l n u m e r i c a li n t e g r a t i o no ft h ei m p o r t a n tp a r t e q u i d i s t a n tq u a d r a t u r em e t h o d sd e s c r i b e d i n d u c t i o n p a r t a n dp a r t i nad i m e n s i o n a ls p a c e ，b a s e do nt w od i m e n s i o n a ls p a c ea tt h e b a s i cu n i t t r i a n g u l a ra n dr e c t a n g u l a rf i e l d s ，t h ei d e ao fi n c r e m e n t a lp r o g r e s si nt r y i n gt o c o n s t r u c tq u a d r a t u r ef o r m u l a , t h ef o r m u l ao ft h ec o n s t r u c t i o np r o c e s sa n dl e dt oa 1 1t h e t h i n k i n g t h ef o u r t hp a nw i l lb et h es e c o n da n dt h i r dp a r to ft h eq u a d r a t u r ef o r m u l ar a n g e c o m p l e xi no r d e rt oi m p r o v et h e i ra c c u r a c ya n dr e d u c ee r r o r s n u m e r i c a le x p e r i m e n t sw e r e a l s oc o n d u c t e do nd i f f e r e n tq u a d r a t u r ef o r m u l a sw e r ec o m p a r e d p a nvs u m m a r i z e st h e c o n s t r u c t i o no fh i g h d i m e n s i o n a li n t e g r a lf o r m u l ai d e o l o 百c a lp r i n c i p l e s i n t e g r a lq u a d r a t u r e a n di n t e g r a lf u n c t i o no ft h er e g i o ni t s e l f , t h ec o m p l e x i t y ，u n c e r t a i n t y , s oa st h ed i m e n s i o n i n c r e a s e s ，t h ec l a s s i c a lo n e - d i m e n s i o n a ln u m e r i c a li n t e g r a t i o ni sv e r yd i f f i c u l tt od i r e c t l y e x t e n d e dt oh i 吐d i m e n s i o n ，s ot h a ti tb e c o m e sv e r yd i 伍c u l tt os t u d y t h e r e f o r e ，ac o r r e c t f o r m u l af o rt h ec o n s t r u c t i o no fn u m e r i c a li n t e g r a t i o nm e t h o d si se s s e n t i a l t h i sn u m e r i c a l i n t e g r a t i o np r o c e s sb yc o n s t r u c t i n gas u m m a r y ，w h i c hh a sav e r yd e e pe x p e r i e n c e k e yw o r d s ：n u m e r i c a li n t e g r a t i o n ；m e t h o d so fc o n s t r u c t ；a l g e b r a i cp r e c i s i o n ；c o m p l e x i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t h 弓i言l 1 数值积分基本方法概述2 1 1 绪论2 1 2 等距结点求积公式4 2 三角形区域上的二元数值积分6 2 1 斜顶三棱柱公式。6 2 2 三角域上的二元二次b e r n s t e i n 多项式逼近7 2 3 直纹面法9 2 4 二元二次l a g r a n g e 插值多项式逼近法1 1 3 矩形区域上的二元数值积分1 3 3 1 类梯形公式1 3 3 2 构造直纹面法及其改进1 3 3 3 矩形域上的张量积形二次b e m s t e i n 多项式逼近1 6 4 求积公式的复化过程及数值实验1 9 4 1 三角域内的求积公式1 9 4 2 矩形域内的求积公式2 3 结论2 8 参考文献_ 2 9 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 0 致谢31 辽宁师范大学硕士学位论文 引言 在工程技术和自然科学领域，许多现象的定量分析往往可以抽象的归结于求解待定 的数学问题一般来说，这些数学问题不易甚至无法求得它的精确解，需要借助近似方法 得到问题的近似数值解，其中数值积分l 。f ( x ) , t x 是一个非常基本的计算问题，在更为复 4 杂的计算中，数值积分也常常是一个基本组成部分 从微积分学中我们知道n e w t o n l e i b n i t z 公式 lf ( x ) d x = f ( b ) - f ( a ) 其中， ) 是被积函数厂( 功的某个原函数但随着学习的深入，我们却发现上述公式能够 计算的定积分是很少的事实上，在实际问题中，我们常常无法利用初等函数去表出原 函数lf ( x ) d x 例如，对于概率积分和椭圆积分 p o ) = 忑2 j 。t e _ x 2 出 和 删= r 瓜蕊 来说，我们便遇到了上述困难n 3 这主要是因为： ( 0 t ) ( o t 2 x ) 1 被积函数厂( x ) 的原函数理论存在，但无法用简单函数表达出来，也就无法用上式 计算： 2 被积函数f ( x ) 本身都无法详细描述，即没有可用于计算的表达式，或者定义为某 个无法用显示表示的微分方程的解： 3 被积函数厂( x ) 原函数的表达式非常复杂，求值困难嘲 因此，在上述情况下，我们不得不考虑定积分的近似计算问题，即采用后面所述的方 法数百年来，很多世界上著名的数学大师都对数值积分进行了深入的研究，随着计算机 的出现，它又开始被系统的研究现在在计算机图形学，积分方程，工程计算，金融数学等 应用科学领域都有着相当广泛的应用本篇文章将从以上第三种情况入手，着重讨论二 元情况下，在有限区域内利用数值逼近方法来求解这类积分的近似值，并深入探讨这些 方法的构造方式，以及它们的逼近结果优劣 二元数值积分公式的构造方法研究 1 数值积分基本方法概述 1 1绪论 对于一维数值积分的思想方法来来源定积分的定义，即 e f ( x ) d x = 烛喜厂瓴地， 其中力= m a x t ) 一般的提法是：对给定的权函数p ( x ) 0 ，z 陋，b 】，用f ( x ) 在点 a = 而 五 = 6 处的函数值f ( x k ) ( i = 0 ，l ，刀) 的线性组合 厶u ) = 4 厂( ) + 4 厂( 五) + + 4 l 厂( 讫) = a k f ( x k ) 作为积分( 厂) = f 6 户( x v ( x ) 出的近似值，即 ，= r p ( x ) f ( x ) d x 砉4 厂( 五) ( 1 1 1 ) 其中五为该求积公式的结点，4 为求积系数通常，称右端的和为求积和；又称 研门= r p ( 彤( x ) 出一喜4 厂( ) 为求积误差有时，也将求积公式写成 r p o 矿o ) d z = 套4 厂瓴) 4 - 研门 一般来说，求积公式( 1 1 ) 中的结点和系数4 可以按所希望的方式随意选取自 然，我们总是希望通过和4 的选取似的在某种意义下求积误差尽可能的小 概括来说，数值积分问题可分解为下述的三个主要问题： 1 求积公式的具体构造问题 2 精确性程度的衡量标准问题 3 余项估计问题，即误差问题 为了解决第一个问题，我们必须考虑结点五，恐，矗和求积系数4 ，4 ，a n 的选择问题 为了合理地解决第二个问题，我们将引进代数精度的概念至于第三个问题，则主要是借 助于内插多项式的余项估计公式来解决 由w e i e r s t r a s s 多项式逼近定理可知，对于闭区间上的连续函数，都可以用多项式去 一致地逼近它换句话说，任一连续函数都可以用多项式作为它的最简单的近似函数一 一2 一 辽宁师范大学硕士学位论文 般说来，多项式的次数取得越高，用它来近似连续函数的程度也就越高这自然让我们想 到利用多项式的次数去规定求积公式的精确性程度即所谓代数精度 代数精度的概念是这样：就形如( 1 1 1 ) 式的求积公式来说，假如对 厂( 功= 1 ，x ，x 2 ，公式恒精确成立，即研门- 0 ，f ( x ) - x 辨+ 1 时公式不精确成立，则成 公式( 1 1 ) 的代数精度为n 容易看出，m 越大，则就一般的连续函数厂o ) 而言，公式( 1 1 ) 的右端数值与左端积分值的接近程度也就越高事实上，当i n 越大时，用次数不高于m 的 多项式p ( 功去近似厂( 功也就越好，即m a x i f - p ( x ) i - 吒也就越小，因而公式( 1 1 ) 误 差也就越小理由是 瓦【门刊r p ( x ) f ( x ) d x 一窆4 瓴) l = ir 夕( 功l 厂( 工) 一p ( x ) 】出一喜4 厂( ) - p ( x d l r p o 域出+ 主i4 瓦 由此可见，引进代数精度的概念作为k 衡= l 量求积公式的精确性是十分自然的，下面的定理 说明了具有代数精度的求积公式的存在性 定理1 。1 对于任意给定的n 个不同的结点五，屯，有常数4 ，4 ，4 使得当厂( 功是 次数刀一l 的多项式时求积公式( 1 1 ) 精确成立，即 r p ( x ) f ( x ) a x = 芝a k f ( x k ) l= ，口= 证明：设已给定点五，恐，毛，并r p 州 ) 是函数f ( x ) 在这些点上的l a g r a n g e 插值 多项式，即 f ( x ) = a - l ( 石) + e 厂；x 】 此处 i 以q = l k ( x ) f ( x k ) ( x ) = 烈功( x - - ) 国( 讫) ，烈z ) = o 一五) o 一毛) 于是 e p ( x 矿o ) d x = r p ( z 咖。4 0 ) d x 4 - e 夕 ) e l f ；x 】出 ( 1 1 2 ) 定义 4 = r p ( x 概- l o ) 出( k ：1 ，甩) ( 1 1 3 ) 4 = i 。p ( x 概- 1 0 ) 出( = 1 ，甩) ( 1 1 3 ) 二元数值积分公式的构造方法研究 则( 1 1 2 ) 式变为 e 尸 y ( x ) 出= 喜4 厂瓴) + r p ( x 皿【；x 础 ( 1 l 4 ) 但是，若厂= 吼一，( x ) 是次数n - 1 的多项式，则厂o ) - p 。q o ) 这意味着 研厂；明量0 ，故 l 户( x 够 ；明= 0 证毕 我们称求积系数由( 1 1 - 3 ) 式决定的求积公式为插值型求积公式上述定理没有要 求磊一定要属于区间 4 ，6 】而当五( k = l ，万) 属于 口，b 】时，我们称公式 r 户( x ) 厂o ) a x 喜4 厂( ) ( 1 1 5 ) 为内插型求积公式，其中求积系数由下式确定： 4 = r 芒蓊争，川 n ， 1 2 等距结点求积公式 设 a , b 】是一有限区间，p o ) - i 令h = ( b - a ) n ，x o = 口，x a = a + h ，毛= a + n h = 6 依定理2 1 ，有常数4 使得求积分公式 r ( 石) 出塞4 厂瓴) ( 1 2 1 ) 对于一切次数刀的多项式是精确的事实上，当4 由( 2 i 6 ) 式决定时，上述求积 公式的代数精度d 刀以后，我们称n 个结点的内插型求积公式为n 点的n e w t o n c o t e s 公式通常，称一个结点的n e w t o n c o t e s 公式 亡厂( 功出= ( 6 一口) 厂( 口) + e 【门 ( 1 2 2 ) 为矩形公式：称2 个结点的n e w t o n c o t e s 公式 r= 妻( 6 一口) u ( 口) + 厂( 6 ) ) + e 厂】(2f(x)dx 12 3 ) i= ( 6 一口) u ( 口) + 厂( 6 ) ) + e 厂】 ( ) 为梯形公式：称3 个结点的n e w t o n - c o t e s 公式 r f ( x ) d x = b y ( 口) + 警厂甲a + b + h f ( b ) 悃厂】 ( 1 2 4 ) 一4 一 辽宁师范大学硕士学位论文 为s i m p s o n 公式此处h = 妄( 6 一口) 由多项式插值余项公式可知，梯形公式的求积误差为 研门= f 6 厂( 口，6 ，石) o - a ) 一6 ) 出 ( 1 2 5 ) 设厂有连续的二阶导数，由于当a 石6 时， ( x 一口) ( ? - b ) 0 所以对( 1 2 5 ) 式应用积分中值定理可知必有 口，6 】中的点缶和磊使得 研厂】= ，b ，磊) r o= 一百( b - a ) 3 厂饯) (12f(a b - a ) ( x - b ) d x 2 6 ) 研厂】= ，磊) io= 一i 一厂饯) ( 1 6 ) 一口l ， 一 同样的方法可以求出s i m p s o n 公式的求积误差为 研】= 彤，功r 一等九。 (12ff ( ab- a ) ( x - b ) ( x - c ) d x 2 7 ) 研】= ，c ，功i = 一羔厂h ( 0 ( 1 ) 一4，v v 。 一 其中c - _ a + ：- b ，口 善 0 ，总可以找到一个充分大的，使得当万n 时恒有 m a x i 彰( x ) 一厂( x ) i 占，x o ，l 】 自然而然的，我们会想到，对于三角域丁上的任意二元连续函数 z = f o ，y )o ，y ) t 能否经过类似的变换，找出逼近f ( x ，y ) 的二元二次b e m s t e i n 多项式髟( “，d ，使积分 f f 硝 ，1 ，) d u d v ( 2 2 2 ) y 也可以近似的代替原函数厂( x ，y ) 在r 的积分f f 厂o ，y ) a x d y 9 7 首先，可设三角形z 的三边坐标为彳( 五，m ) ，b ( 屯，耽) ，c ( 毛，乃) 注意至l j ( 2 2 1 ) 式中一 元b e r n s t e i n 基函数可以表示为 二元数值积分公式的构造方法研究 咖) = 睁一= 焉矸考 其中五= 1 一x ，吃- - - - x ，五= 刀一k ，五= 后，五，如= o ，1 ，刀( q ，吃) 表示在区间 o ，1 】中，点z 相对 端点的重心坐标为将其推广到二元情况，我们需要引入二维空间的重心坐标，也称为面积 坐标如图2 1 4 三角形r ：a b c 中的一点d 坐标记为( z ，y ) ，设三角形山岱c ，a b c d ，a a b d ，a m c d 的面积 分别为s ，墨，足，墨，则有 s = 丢i l 兰萎i ，墨= 圭仨主妾i ，足= 圭i l 三量i 岛= 圭仨垂摹1 ：星，：量，：星，“+v+w：1u wi= j ，= l ，= ，“+ v + w 2 显然，这种变换是一一对应的可以验证该坐标变换的j a c o b i 矩阵为眵1 j = 碧oy一12sov 氟 i 加却i 叙i ( 2 2 3 ) 于是，可以类似地按照一元情况，利用以上重心坐标来构造二元n 次b e r n s t e i n 多项式 b i , j ( 加焘顽兰耐v 旷饥m 序。) ( 2 2 4 ) 一8 一 辽宁师范大学硕士学位论文 显然，刀次二元b 砒多项式的结点数为鱼掣那么，当刀：2 时，需要6 个结点 及其函数值才能确定过这些点的一个二元二次b e r n s t e i n 多项式 取彻懈学2 ，学瑚懈学，学川椭学，学，找 到z = f ( x ，力分别在e ，f ，g 上的函数值石2 ，厶，石，这样彳，b ，c , d ，e ，f 所对应的面积坐 标 ，v ，计分别为彳( 1 ，o ，0 ) ，曰( o ，1 ，0 ) c ( 0 o ，1 ) ，e 哇，互1 ，o ) f ( 0 ，i 1 ，iu 与1 ，o ，尹1 再设 厂( 4 ) = 石。，f ( b ) = 厶，厂( c ) = 石。 根据( 3 3 4 ) 式，代aw = l 一”一 ，得到刀= 2 时过此6 点的二元二次b e m s t e i n 多项式 彰 ，叻= 1 ，2 石l + “2 厶+ ( 1 - u - v ) 2 石3 + 2 晒2 + 2 1 ，( 1 一“一d 厶+ 2 u ( 1 一“一d 石3 ( 2 2 5 ) 这是一个关于“和1 ，的二元二次多项式对( 3 2 5 ) 求积分来近似代替原积分，再利用式 ( 3 2 3 ) ，即有 f f f ( x ，y ) 姗了1 彰( 州) d u d v l 一0 9 u s l 0 v g l - - u = 专盯0 2 石l + u z f + ( 1 一”一v ) 2 石3 + 2 “说2 + 2 ，( 1 一“一d 以3 + 2 “( 1 - u - 功石，) d u d v ： 一o u s l o 对r 分别进行的l x 2 ，2 x 2 ，2 x 4 的剖分，再分别求复化公式( 4 2 1 ) ，( 4 2 2 ) ，( 4 2 3 ) 的 值，得到如下列表： 一2 6 辽宁师范大学硕士学位论文 表4 9 原函数真实值为盯l n o + 2 y 矽砂= o 4 2 9 5 5 4 可见具有三阶代数精度的最逼近收敛速度 且 要远远快于只有一阶代数精度的只和q 一2 7 二元数值积分公式的构造方法研究 结论 对于二元积分来说，由于积分函数，积分区域的多变性，使得我们在有限个结点的情 况下，想找到一个精度高，表达简洁的二元积分公式很困难本文通过对三角域和矩形域进 行的数值积分公式推导过程，我们可以了解到，因为二元数值积分有两个变量，需要先通过 一个变量构造一个一元积分公式，然后通过个变量的积分过程将前面的一元积分公式扩 展到二元空间然而这个扩展过程需要注意的是，不但要求第一步选取高精度的一元积分， 更重要的是利用第二个积分变量扩展的过程中也要保持代数精度，否则即使元积分高精 度积分的基础上，只用直线来做进行二维扩展的母线( 直纹面) ，那么得到的积分公式的代 数精度也不会超过直线的一维同时，在对三角域和矩形域的二次b e m s t e i n 多项式进行求 积公式的构造，发现其结果代数精度也不理想，主要原因在于由原函数上结点构成的 b e m s t e i n 多项式虽然一致逼近原函数本身，但它本身并不经过某些结点，所以构造出的积 分公式在这些结点处的偏差，要大于与它构造结点数目相同，但是会经过所有结点的插值 型公式，所以精度相对低于同结点数的插值型公式而l a g r a n g e 型插值函数经过每个结点， 由它所构造的求积公式精度便高于其他方法所构造的公式因此当采用结点法构造二元 积分时，所选的逼近曲面即要满足经过每个结点的插值，又在一维的基础上，以及二维的扩 展过程中都具备较高精度，这几个条件都具备才能得到精度相对较高的二元积分公式因 此这种思想不但在二维区域上适合，更可能会在寻找结点型多维积分公式有帮助那么除 了这几个条件，还有哪些条件对选取结点型积分公式的精度影响较大? 这也是值得我们今 后继续研究探讨的课题 辽宁师范大学硕士学位论文 参考文献 1 王仁宏数值逼近北京：高等教育出版社，1 9 9 9 2 3 朱磊数值积分的若干问题研究：( 硕士学位论文) 安徽：合肥工业大学，2 0 0 7 3 陈纪修，於崇华，金路数学分析( 下) 北京：高等教育出版社，2 0 0 0 4 徐利治高维数值积分北京：科学出版社，1 9 6 3 5 k u e h n l wm p e e k e nh t r o e d e rce ta 1 t h et o r o i d a ld r i v e m e c h a n i c a le n g i n e e r i n g ， 1 9 8 1 。1 0 3 ( 2 ) ：3 2 3 9 6 施吉林，张宏伟，金光日计算机科学计算北京：高等教育出版社，2 0 0 4 7 2 薛银川，刘国军三角域上的二元b e r n s t e i n 多项式银川：宁夏大学学报2 0 0 1 8 d a u b e c h i e si t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s c b m s - n s fc o n f e r e n c es e r i e si na p p l i e d m a t h e m a t i c s ，s i a me d ，1 9 9 2 9 d a v i spj i n t e r p o t l a t i o na n da p p r o x i m a t i o n n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 7 1 0 苏步青，刘鼎元计算几何上海科学技术出版社1 9 8 1 11 b u h m a n nmd r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ：t h e o r ya n di m p l e m e n t a t i o n s c a m b r i d g e ，2 0 0 3 1 2 徐利治数学分析的方法及例题选讲北京：商务印书馆，1 9 5 5 1 3 王国瑾，汪国昭，郑健民计算机辅助几何设计高等教育出版社s p r i n g e r ，2 0 0 4 1 4 m e e kds ，w a l t o ndj p l a n a ro s c u l a t i n ga r cs p l i n e s c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i c ? d e s i g n ，1 9 9 6 ：1 3 ( 7 ) ：5 8 9 5 9 4 1 5 b o l t o nkm b i a r cc u r v e r c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ，1 9 7 5 ：5 ( 3 ) ：9 3 9 5 1 6 t s e n gyj ，c h e nyd ，l i ucc m u n e r i c a l