（计算数学专业论文）四边形网格l2投影超收敛性分析.pdf

摘要 本文研究了一个新的四边形单元4 丑c 单元在矩形剖分下的对称 展开性质。对于a b f r 单元的最低阶情况r = 0 ，利用b r a m b l e h i l b e r t 引理和双线性引理，对该单元进行展开，在甜( 日( q ) ) 2nh 。( d i v ，锄 下得到了二阶的收敛阶。另外我们还构造了三维的a b f , 单元。由于 j b f ，单元在任意四边形剖分下仍保持最优收敛阶这一特性，使用分片 恢复技术得到了分数阶的超收敛特性。 关键词：a b f , 单元；对称展开；超逼近；分片恢复技术；超收敛 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h es y m m e t r i ce x p a n s i o np r o p e r t i e so fan e w q u a d r i l a t e r a lf i n i t ee l e m e n ta b f , o n t h er e c t a n g u l a rm e s h e s f o rt h e1 0 w e s ta b f , e l e m e n tr = o ，w eg e th 2c o n v e r g e n c eu n d e r 簦( h 3 ( q ) ) 2n h o ( d v , 妯t h r o u g hu s i n gb r a m b l e - h i l b e r tl e m m a a n db i l i n e a rl e m m a o n t h eo t h e rh a n d ，w ea l s op f e s e n t3 - da b f , e l e m e n t a n dg e tap e t e hr e c o v e r ys u p e r c o n v e r g e n c ef o rt h i se l e m e n tb a s e do nt h ep r o p e r t yo fk e e p i n g o p t i m a lc o n v e r g e n te r r o ro r d e ro f t h ee l e m e n t 。 k e yw o r d s ：f i 9 f re l e m e n t ；s y m m e t r i ce x p a n s i o n ；s u p e r e l o s e ；p a t - c hr e c o v e r y ；s u p e r c o n v e r g e n e e 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立完成的，学位论文没有剽 窃、抄袭等违反学术道德的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生 的一切法律责任和法律后果，特此郑重声明。 必哆 疚 芬相 仁彳厂 刘 年 墓| 衫 学 矽 引言 有限元方法已成为当前求解数学物理问题的一种重要的数值方 法，它是古典变分方法与分片多项式插值结合的产物。1 9 4 3 年，r c o u - r a n t 首次用基于三角形网格剖分的分片线性多项式来求解d i r i c h l e t 问题，这是有限元方法的雏形。但直到2 0 世纪6 0 年代，国内与 国外几乎同时在不同的实践基础上，才用有限元方法来解决工程和力 学等问题，并给出了收敛性和误差估计，经过4 0 年的研究和发展， 有限元方法已成为- - l - j 理论完善、应用广泛的数值计算方法。 有限元方法的基本原理是将原始问题转化为变分形式，即弱形式 在较弱的空间矿上求解，然后构造出能逼近变分问题求解空间的有限 维空间，一般将求解区域q 剖分成许多小片，构造分片多项式，进 而在有限维空间求解。这种方法称为有限元方法。若圪c 矿，这种有 限元称为协调有限元；若圪旺y ，这种有限元称为非协调有限元。非 协调有限元一度被称为非标准的，因它求出的解甚至根本不属于原来 的空间矿。但近年来的数值实验和理论分析说明这些方法在某些意义 下有较好的收敛结果。国内这方面的研究比较突出，如石钟慈院士建 立的专门用于非协调元的收敛性估计的广义分片检验方法 2 ，比 3 中的方法容易操作，解决了众多非协调元的收敛性验证工作。 如今，有限元计算虽然已经有了很多软件，但这只是有限元发展 的一面。为了算得即快又准，还必须将软件建立在更精密的数学机理 上，针对一些具体的网格，建立精确的误差分析是提高效率的基础。 林群院士等 1 1 利用积分恒等式技巧在广义矩形网格下对多种矩形 元进行了系统且深刻的分析，但基本都是在正则条件下的结果，对于 某些类型的矩形元我们可以通过另外的方法证明其收敛性，主要基于 以下两点：一个是充分放松网格所受的限制；另一个是充分挖掘单元 的构造特性。 本文的写作安排如下： 第一章介绍有限元的一些预备知识。 第二章研究a b f , 单元的构造与性质、对称展开、矩形网格超收 敛及三维空间的a b f , 单元形式。 第三章研究a b f , 单元在四边形网格三2 投影下的超收敛性质。 2 第一章预备知识 1 1b r a m b l e h i l b e r t 引理和双线性引理 为了更简单地表示b r a m b l e h i l b e r t 引理和双线性泛函，这里首先 引进多重指标记法以及范数的多重指标记法。对于野维区域q ，定义 在它上面的函数以及相应的导数记为 ( 功= u ( x i ，工2 ，) ，d u = a 耄a 竺a 2 ， i 叫= 啦 空间w “( q ) 的范数定义为 相2 嘎删鳓i ， 半甄数定义为 胡。嚼删7 妁i ， 注意到 t i 。= o v u 忍 这里以及以后只为次数不超过k 的多项式，在以后的引理中我们将应 用这一性质 另外，当p = 。时，我们也使用 乩+ - 柚2 晋i 。善, - l l t * 一l i d 4 叫， 矩u 棚s 叫u p 五。叫 另外，当p = 2 和p = * 时，也可 h + 1 = 村2 ，c “1 = ，y + i 产 b r a m b l e - h i l b e r t 引理：对任意的玎埘一( q ) ，存在常数c 满足 薯肛+ 札皿s 砷k ( 1 1 ) 若口( 材) 是矽m ，( q ) 上的一个有界线性泛函，并且 联v ) = o ，v v e 只， ( 1 2 ) 则 p ( 叫q 帆船 ( 1 3 ) 该引理也称为范数等价引理 双线性引理：对于有界双线性泛函a ( u ，d ：一日“( q ) s ( q ) ， p ( ，叫sc 1 ，l 。，n ，| ，o ，v v es ( 动， 这里s ( f z ) 是有限维空间，并且具有等价范数性质 i i i 棚h ，o ，v r _ ，v 1 ，s ( q 如果s ( u ，v ) 满足 b ( u ，y ) = o v u e 只，v v s ( 回， 则 p 叫= l 曰似+ a 叫sc l f + 叫。皿j 叫归，足 ( 1 4 ) 取p 上确界，则有 i b ( u ，叫舛，i - 。f 融+ p i t + l , 。t h ，皿喇。，n m v p 只， ( 1 5 ) 对于双线性引理，我们还可以有下面的理解： 如果甜最+ l 则当m = i + l 时。d 4 是一个常数，并且如果对每一 个口：j 叫= | | + l ，都能找到一个，满足 口( ，v ) = 蕊1 p 7 h ，2 ， ( 1 6 ) 则+ 封( x ) - - 喇+ i 磊。扣吖，。i 州畦+ i 户 砌班i 磊。南i n t n 眈v 如果占( 最，d = o ，v v s ) ，并且满足( 1 6 ) ，则所有阶数k 的导 数都消失并且阶数s k + l 的导数都可以表示成 砌，) ：l 善南e 此d ，仆h ( u 耽 h ( u ，v ) c 扣i “：o | 叫，皿 1 2p i o l a 变换 这一部分主要介绍有限元中参考单元上的函数与一般单元上的 函数之间的关系设霞是参考单元，f ：圣一r 2 的一个双线性变换， 并且k = f ( 霞) 给定参考单元上的函数五：霞- r 2 ，可以定义一个与之 对应的一般单元上的函数h = b 五：置j r 2 ， 材( 力= 。，( 力。1 d f ( 劝女( 甸 ( 1 7 ) 这里x = f ( 就d f ( 动是双线性变换f 的j a c o b i a n 矩阵，腰( 旬是它的行 列式这个变换称之为p i o l a 变换下面我们列举一些p i o l a 变换在一 些函数空间上的性质 性质1对于h ( d i v ) 空间，如果甜= 昂玩p f k 。f 一，户：霞- r ，再 和蠢，f 和雩分别是敬和越上的单位外法向，单位切向量，j 是单元k 的第i 条边，则 i d i v u p & = i 盔喇，l 材n p d s = l 矗够毋， 啊2 亩肛国。d f ( 甸如f | 2 南腰国t 既然n 连续对于日( 删的有限元子空间非常重要，那么p i o l a 变换就 使构造日( 刎的有限元子空间变得简单 性质2对于h ( c u r o 空间，如果= b 西，p = 户。f ，户：重r ， 疗和h 分别是旅和越上的单位外法向，我们通过p i o l a 变换可以验证 i c u r l u p d x = 量删，l 甜x , , p d s = 丘五郴 既然露连续对于h ( c u r l ) 的有限元子空间非常重要，那么p i o l a 变换 也使构造h ( c u r o 的有限元子空间变得简单 p i o l a 变换的另外一个重要性质是：如果g 也是k 上的一个双线 性变换，那么 p o 。f = 尼。昂 6 第二章a b f , 单元的构造与超收敛分析 2 1 引言 这一章节，主要介绍一个四边形单元a b f , 的一些性质，它的对 称展开形式，以及在矩形网格、四边形网格上的超收敛研究。在最后， 我们将这一单元从二维空间推广到三维空间，并对三维的彳b c 单元构 造提出了我们的方案。 有限元的研究一般从构造一个有限维空问矿开始，它定义在参考 单元启上，并且以一族同构影射，：启- + x 从参考单元霞映到一般单元 k 上。这里像单元为k = ，岱) ，那么给出区域q 的一族剖分以，我们 就可以构造一个有限维空间y 。，并且如果我们将函数限制在k ej 。上 时，就会得到有限元空间诈( 置) 。 例如，参考单元j 亡是单位三角形时，参考空间矿为只( t ) ，则一 族同构影射f 是仿射等价的，y 。是一族分片多项式空间，多项式的次 数最高是r 。如果参考单元霞是单位正方形，那么f 是双线性变换， 因而我们可以用，一- 将任意四边形变换到单位正方形，借此我们可以 研究多边形区域。同时产生另外一个问题是，若参考空间为p ( 霞) ， 则经双线性交化后的空间g2 巧：e 。 一个基本的结果是：假设以，以，是一族正则三角形剖分，并且 假设参考空间重：只瞳) ，甜是区域q 上的任意光滑函数，则“的数值 逼近解的如误差最优阶是o ( h “) ，h 误差最优阶是o ( h 7 ) 。并且条 件矿：只暖) 是一个充分必要条件，这一结论只能应用于仿射等价有限 元 2 1 。但是这一结论对于任意的四边形剖分却不成立。文献 3 】， 4 中提供了一个充分必要条件，也就是说，如果矿：q ，( 旬，对于区域q 上任意形状的规则四边形剖分序列，光滑函数u 的数值逼近解的工： 误差最优阶是o ( h “) ，。误差最优阶是o ( h 7 ) 。并且条件矿2q ，( 霞) 是 严格必要的，也就是说，如果矿2 只( 重) 但是q , ( f q 矿，那么一般形 状规则的四边形剖分得到的有限元最优阶误差逼近就一定会降低。 对于混合有限元方法也有类似的结果。在一般情况下假设网格剖 分是正则的，或者是拟一致的，对于任意的光滑函数：q 一r 2 ，指标 为r 0 的r a v i a r t - t h o m a s 单元的逼近误差为 1 肛一万；川f 汹sc h “m h ，“( n ， k 州甜一死材) l f m o 满足。i n 圪f 肛枷。一叫r 。) c h ”。j 酬，一( n ，对所有的 “日”1 ( q ) ，d v uh ”1 ( 的。 2 ) 。i n f 粉i v ( u 一叫f q 2 0 ( h 7 ) 对所有的撕只( 锄。 3 ) 珈矿2 p ( 詹) 。 在【5 】中，等对四边形单元收敛性的研究推广到混合有限元中， 并提出了一个更加详细的满足最优收敛阶的充分必要条件。 引理1 3 假设氍犯一叱( o ) = d ( 矿) ，v 只( 锄成立，且以是二维形状规则 的四边形剖分序列，则矿：s ，。 这里母是r r , 空间中余维数是1 的子空间，也就是说由( 量澎，o ) ( 0 ，量：彰) ，o i 0 有限元方法，只能给出 o ( h 7 ) 的收敛阶，且对于r = o 是没有收敛阶的，而对于肋珥，b d f m , + 有限元，收敛阶更低。事实上t h o m a s 证明了四边形r 单元的插值 误差是 肛一a h u 工2 o ) sc h “啦i ( 机m + 丙4 d 砌l j ：r ( 以m ) 最优收敛阶是o ( h “) ，但需要更高的正则性。而对于h ( d i v , n ) ，只能 得到 i d j f 埘一幽川r ( q ) c h 7 陋叫_ 一t n l 2 3 a b f r 单元的对称展开 在这一部分，我们主要利用【6 - l o , p 提供的方法，对 a b f r ，r = 0 , 1 , 2 ，单元的最低阶情况r = o 进行对称展开，进而分析该单 元的超收敛性质。 定义在矩形网格剖分瓦上的a b f , 单元空间经常被应用于解决二 阶混合有限元问题，定义为 圪= v ( 挑q ) ；啦q r + 2 , r x q ，h 。，v k 瓦 ， ( 2 8 ) 呢= w e r ( q ) ；唯r r ，妊e 瓦 ( 2 9 ) 这里 h ( d i v , f 1 ) = v e ( ( 【的) 2 ；a v v = ( v 1 ) ，+ ( v 2 ) ，e 工2 ( q ) ， 且泛数定义为 m 。m = 帐q + 脚幅q j ”2 令 h o ( d i v , q ) = v h ( d i v ，q ) ，v k = o ， ( 2 1 0 ) ，= 圪n h , ( d i v , q ) ，。= n 嚣( 回，( 2 1 1 ) 这里厅是勰的外法向向量。从圪的定义我们可以知道y 开通过相邻单 元的边界是连续的。 令 ，p ) e 日( 机r ( q ) ，它的插值函数在参考单元霞上有a b f , 单元 j | ( 疗一五，) 筒罐= o ，自e ( 幺) ， ，a 启， ( 2 1 2 ) l ( 矗一蠡，) 五垃移， 只 。只。t 。，( 2 1 3 ) l 斫v 一露，弦“少威醪l d i v c , - 五，谚夕“威醪，i = o , l 2 , - - - , k ( 2 1 4 ) 以及d i v a b f , = = 肆 l ( p p ，耐= o ，v q e ( 2 1 5 ) 决定。 对于这些插值函数。令w = u 一，= p p ，我们有如下引理 引理1 5 ( d i v w ，g ) = 0 ，呢( 2 1 6 ) 证明：w q r ( 它) ，爿e 以) ，且= q ，( 旬鲸。( 量) 。由插值定义 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 可知 l 毋v 矿缸缈= j 矿矗一l 矿- 9 辱带= o ，v 眷q , f k ) ， 再由插值定义( 2 1 4 ) 我们很容易得到 l 击v 确姆= o ，w e 从而引理得证。 引理1 6 ( r d i v v ) = 0 ， 协圪( 2 1 7 ) 证明：注意到d i v v ，由插值定义( 2 1 5 ) 自然引理成立。 引理1 。7 假定甜饵3 ( q ”2 n 日( 讥q ) ，对于a b f 单元当r = o 时，我们有 l 喇= 竽h 屹妫一等h ，妫 + 竽h v 蚴一警l t 2 r ) , v i x x 蚴， + d ( 3 ) 乩。mo 。，v v 圪 ( 2 1 8 ) 证明：令霞= 【一1 ，l l x - i ，l 】是参考单元，且，：足- 霞是双线性映射， ，邓朋一2 等，夕2 学， 这里h ，y 。是单元k 的中心坐标。令 反( 毫刃= 以力，玩( 毫刃= h o ，y ) ，矗，( 毫力= 甜，瓴力， t 4 - - - - “，：) ，当，= o 时，经简单计算，在参考元霞上“的插值为 其中 = 华+ 华量+ 每仁d ， = - 磊- 5 咱- 4 - + 华夕+ 缸产1 ) 磊= 蠡触，f = 1 ，2 , 3 ，4 ， 免= j ： 翮一蚴， 考虑双线性泛函 吼= 丘毋西泐 b ( a ，囝= 铴够，v v 珞， 由逆不等式，我们有 p ，叫s q p l “h 。t ( 2 1 9 ) 当毋= 限o ) 时，五，= ( o o ) ， b ( o ，力= 丘( 夕，o ) ( 或，z ) d h 0 - - 0 当疗= ( 黟，o ) 时，蠡，= ( o ，三 2 一1 ) ) ， 觑玩d = 量( 黟，一i 1 【y 2 ”( e ，也) 聊， 蜀 ，岛) = 丘飒础= o ， 岛( 幻如) = i 一吉( 产瞩脚= 唔，o ，专 = ；l 蠡。母口：旅矽一去l 五嗲屯劳卿+ 嘉丘五坶如劳旅矽 = ；l 五母屯兹矽一石1 l 蠡嘶如劳嘶， b ( 玩乃= 三l 毋，带也凼矽一去l 厅唠嘞威矽 当五= 2 ，o ) 时，蟊，= 哼1 ，o ) ， 烈疗，刃= 丘 2 一i i ，0 ) ，也) 蔬毋= o 同理当毋= ( o ，力时，葫，= ( o ，o ) ， 联面，国= 丘( o ，力 ，也) 兹醪= o 当面= ( o ，黟) 时，蠡，= ( 主 2 一1 ) o ) ， 口 ，囝= 吾l 五：黟或旅矽一石1l 疗：毋玩嚣嘶 当五= ( o ，妒) 时，研= ( o ，尹1 ， 联d ，口) = f i ( 0 , 2 一争( 或，也) 嘲= o 令 日傅，囝= b ( o ，力一；1l 蠡。妒也威矽+ 去l 五滞砌 一吾l 矗埽也威醪+ 石1 l 蠡缔蟊嚣矗睁， 则 日( 玩帚) - - 0 ，最瞳) ，e 圪， 1 4 f l j ( 2 1 9 ) 及b r a m b l e h i l b e r t 引理我们有 旧( 五，叫s c 肛l ，t 黼。t ， 再应用f 逆映射， f 。：囊 k ，x - = x g + h 。i ，y = y x + h r 爹 ( 2 1 8 ) 成立。 定理1 8 假定甜( 日3 ( 嘞2 n m a z v , q ) ，对于a b f , 单元当r = 0 时，我们有 ( w = o ( h 2 h “l ：m 。( 。埘，v v k ( 2 2 0 ) 证明：v v 圪， ( 嵋d = ；( 竽h 屹幼一等l m l ：t y v 2 y y 蚴 + 竽h 叶蚴一訾l i a 2 x l v i j n r 蚴 + d ( _ j 1 3 ) f l 1 4 。) = 莓c 竽胁，吩峨。h 脚 一等h ( ( d i vv ) y 飞脚一警l ) 蚴 + 0 0 3 ) | l ，k h 。) = 莓c 等h ( v ，蚴+ 鲁h c 屹，m + d ( 3 咖i ：i 咖1 ，i 。+ 饿矿) ，i ：m 。+ 0 ( 矿抽i ，i i 1 i 。 = 莓1 h x h 一；t 点, 一j ：h ，砂一砧，。y l ，妫) + ；鲁( ( j l _ 碲赤一工也们 + d ( 矿) m ：i 赢，叫。+ o 淞f ：删。+ d ( 而3 淞l 0 吼 = d ( j j l 2 ) 盹例。( 。埘 这里用到了s c h w a r t z 不等式，逆不等式以及v 疗在相邻单元的边界上 是连续的，v j 在，2 ，上连续，屹在1 。，3 上连续，且- ，叫越= o ，则m - - - 0 在区域的左右边界，屹= o 在区域的上下边界。 引理1 9 假定甜( 日3 ( q ) ) 2 n h ( d i v ，q ) ，对于a b f , 单元当r = o 时，我们有 l 乳v 嘞= 竽h 屹，蚴+ 挚l u 2 t y v i 。蚴 + d ( | j 1 3 州。m 。，v v e 圪 ( 2 2 1 ) 证明：令 口( 存，订= 丘审饼一毋，) 9 蚴， 骂( 玩，岛) = j i ( 岛一五t ，) ，屯瑾幻多， 易傅z ，也) 2 ( 存2 一l t 2 1 ) ，也，兹毋， 由逆不等式，我们有 i b ( a ，叫s q 眺t l 吼t ， ( 2 2 2 ) 当露= ( 只o ) h 寸，露，= ( o o ) ， 骂够。，e ) = 鸭，d , 2 d 多= 0 ， 矗z ：，帚z ) = 丘啦，瑚= o 当五= ( 妙，o ) 时露，= ( o 妻2 一1 ) ) ， 马 - ，q ) = 兢，脚= o ， b z ( a ：，也) = l 一娩，嘶= ( o o 争 = ；妊毋础 当露= ，o ) 时，五，= ( j 1 ，o ) ， 且( 五，玩) = 丘眠，西谚= o ， 最( 奇：，争：) = 量缈z ，嘶= o 同理当露= ( o ，时，存，= ( o ，o ) ， 骂。，玩) = 0 ， 当最= ( o ，黟) 时，露，= 哇( 曼2 一1 ) ，o ) ， 置眩，反) = l 一茹。；旅矽= ( o ，o 争 = 1 3l 五：x j , 也。础， j 。 毋( 露2 ，2 ) = 0 当番= ( o 叠2 ) 时，螽，= ( o ，争， 晟f 存讧) = 0 令 则 ，回= 联玩囝一三l 疗坶旅够一 l 疗：黟岛a 旋砂， 日缔，= o ，v 只( 霞) ，v 1 ，e 吒 由( 2 2 2 ) 及b r a m b l e - h i l b c r t 引理我们有 p ，叫c 忙9 “嗍。t ， 再应用f 逆映射， f 。：囊j x ，x = x t + h i i ，y 。y + h ，多， 1 7 ( 1 2 1 ) 成立。 定理1 1 0 假定甜( 日，) ) ：n h ( d i v ，固，对于御e 单元当，= o 时，我们有 w v v ) = o ( h 2 i 甜i ：6 j | l 。t 如n ，v ，圪 ( 2 2 3 ) 证明：v v 圪， ( v w , v v ) 2 姜l m 砌 ， = i 。，- r 嘭j h k 帕蚴+ 孥h q 。妫 + d ( 矿削n i 仉。) = 摹( 譬h ( ( d i v 0 ，飞蚴 + 筌l ：，( ( d i vv ) ，一) 凼砂+ d ( 1 1 3 咖k | i ，i 。) 。= ；竽“l _ k 哪一【妫 + 孕( 1 - l k v ：，出一“粕删 + d ( 矿咖l ：i 咖，l 。+ 0 ( 矿淞i ，| l ，l 。 = d ( j 1 2 凇i ：i 咖叫0 + 饿| 1 1 3 ) i l ，i ，m 。 = d 0 2 删：m 。埘 这里用到了s c h w a r t z 不等式，逆不等式以及 ，行在相邻单元的边界上 是连续的，h 在，2 ，上连续，v 2 在，。，3 上连续，且v 叫触= o ，则v l = 0 在区域的左右边界，= o 在区域的上下边界。 2 4a b f , 单元矩形网格超收敛 考虑二阶椭圆问题的单像d a r c y 流模型 = g r a d p ，nq ， d v 甜= f 。nq ， 蝥：0 ，鲫独 却 这里q r ：，月是凇的单位外法向。 ( 2 2 4 ) 方程( 2 2 4 ) 的变分问题为：求( ”，p ) v x w ，满足 ( d vu , ( a v 枭筘冀! 絮薯：v x w ( 2 苈) w ) = w ) ，v ( w ) 。 j 鲤v = h o ( d i v ，q ) = ，( r ( 锄) 2 ，d h , v l 2 ( n ) ，1 1 叫= o ) ，矿= 露( 踢。 方程( 2 2 5 ) 的离散形式为求( ，p k ) e 圪，满足 (divuj,叻(us：,v)-叻(pk，dv(ivbv)w)=o,(div b e , 吒呢 ( 2 2 6 ) 叻=叻，v ( bw ) 吒呢 一。 这里珞，的定义如( 2 1 1 ) 。 从( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 我们可以得到 + ( d i v 细一材 ) 叻= 0 ，v w 睨， ( 2 2 7 ) 由引理1 5 及( 2 2 7 ) 我们得到 ( d i v ，一) w ) = 0 ，v w e 既， 注意到d i v ( u ，一) 既，令 w - md v ( u ，一) ，我们得到 d v 一蜥) = 0 ，v w e 呢， ( 2 2 8 ) 这里我们需要注意到的一个性质是 | | 1 l 驴( n ) = m _ i ；，机n ) ，v - g = v e v k ；( d i v v , 1 4 , ) = 0 , v w ( 2 2 9 ) 可以从引理1 5 很简单的得到。 定理1 1 l 设圪是0 阶的a b f , 单元，似力是( 2 2 5 ) 的解，似，b ) 和饥，咒) 分别是有限元插值和有限元解 肛，一扎 c h 2 h 。， ( 2 。3 0 ) 证明：从( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 我们可以得到 - - 4 ，= ( p p h ，咖v ) ，v v t o ， 令v - - - - 材，一以及( 2 2 9 ) 我们有 一“ ，”，一甜 ) = 0 因此 缸一甜，躲= o 。一甜，甜。一甜，) = ( 1 4 - - i ，。一甜，) 由( 2 2 9 ) 以及定理1 8 我们可以得到定理1 1 1 的结果。 2 5 三维空间的a b f , 单元 在这一部分，我们将二维的a b f , 单元推广到三维空问，称之为 e a b f , = “2 , r , r 值) q ，川，( 露) q ，+ ：( 霞) 单元。在参考单元霞= 卜l ，l 】3 上 定义自由度 ， l 霸两谚，v 眷q i ，仂 v 夕c 霞，( 2 3 1 ) l 五五幻归，v ( ) r - i r ，( 霞) x g ，- ，( 圣) q i 。- ，( 霞) ， ( 2 3 2 ) l z v 赫少三7 旅西兹，l 前v 菇夕“2 威醪罐， l 岔僦夕如州蒯毖，o s _ ， ( 2 3 3 ) 注意到( 2 3 1 ) 希a ( 2 3 2 ) 是标准的三维r c ( 自元在参考元上的自由度， 且鲋+ 1 ) 2 + 3 ，( r + 1 ) 2 + 珩+ 1 ) 2 = d i me a b f , 。并且( 2 3 1 ) 保证了甜刀在相 邻单元的连续性。下面我们证明这些自由度可以唯一决定三维a b f , 单 元空间。我们只需证明如果甜e a b f ，并且( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) ， ( 2 3 3 ) ， 则甜= o 如果毒q ，。( 自，则爿，q ，仂且 = q - i , r , r ( 旬q r ，山( 圣) 级，( 自。由( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 我们可得 丘岔谲弘何诬= l 露耐一l 舀喇= o ，v 毒q ，( 圣) f l j ( 2 3 3 、 丘毋嘲硪懈= o ，w 暇= d i v e a b f , 既然旆蠡呢我们可以得到a i v 毋= 0 ，并且五可以写成 番= 【口。( 量7 + 2 夕，o ，o ) + 屯( 0 主。夕”2 2 ，o + q ( o ，o ，章夕三”2 ) 】+ 帚 i ；o 这里口月z ( 自，既然 0 = d i v 卉= 寸+ 2 k i ”歹2 j + b 譬9 ”2 j + c l 掣2 r ”) + 蠢谪 和d 级。( 露) ，则从吒= 钆= c j = o - 7 得- - - - r e r c ( 霞) 。又有( 2 3 d ， ( 2 3 2 ) 是r r ( 它) 唯一可解的，则我们可以得到u = o 。因此( 2 3 1 ) ， ( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 唯一决定玎。 第三章a b f , 单元r 投影超收敛 3 1 引言 有限元r 投影超收敛方法的研究可以追述到z i e n k i e w i c z - z h u ( z z ) 【9 1 2 】。这种方法是对有限元解的梯度在局部区域用高阶多项 式进行后处理的一种简单易行的过程。它的本质特征就是在细网格上 使用低阶有限元，而在粗网格上使用高阶有限元。并在这中间使用r 投影联系起来，从而得到分数阶超收敛。由于效率高，它已经被广泛 的应用到自适应有限元方法中和有限元的误差控制中。在【7 8 】中， z z 方法得到进一步改进。他们对有限元解的梯度使用了整体最小平 方方法，并且对z z 方法的超收敛性提供了理论上的证明。在这一部 分我们沿用【7 8 】中的思想，对定常s t o k e s 问题进行分析。在任意四边 形网格剖分下，使用, 4 b f , 单元，利用岛投影下特有的分片恢复技术， 可以得到任意四边形网格岛投影的超收敛形态，结果表明比r z ， b m m , b d f m , ，d 形单元具有更高的收敛阶。 3 2a b f , 单元r 投影超收敛 ；考虑定常s t o k 鼯问题 卜山+ v p = f ，x q ， v 甜= ，x q ， ( 3 1 ) 【 甜# o ，x e 硷 这里甜是粘性系数，是外力。不失一般性，我们可以假定甜= l 。 ( 3 1 ) 的变分问题为：求( ，p ) eh o ( d i v , q ) x l z ( f 2 ) ，满足 a ( u ，v ) 一地力= 吐之日( 幽固， ( 3 2 ) l6 似口) = 0 ，v q e 鬈( q ) 这里 a ( u ，功= l v 甜r v v , m s , r6 ，g ) = l v u q o k d y 令，是区域q 的任意四边形有限元剖分，网格长度为h 。假定厶 是满足拟一致剖分，正则剖分条件，且满足逆假定。取混合元空间为 巧= a b f , ，= d i v 彳b c ，则有如下的有限元逼近【1 1 】 p 一“ 6 = ，( 女。n ) + i p p l 工2 。，c 矗”1 ( 1 叫。( 女。嘶+ l e 埘l 。m ，研+ l p i 上2 o ) ) ( 3 1 ) 的有限元逼近为求饥，p k ) 圪，满足 口( hv ) _ 、办) 2 匕吐。弩圪， ( 3 3 ) 【致，g ) = 0 ，e 由【7 8 】，我们将用另一种不同的有限元网格进行投影来作处理。设以 是区域q 的另一种网格剖分，网格长度为f ，且假定两种网格的长度 之间的关系为 f = h 4 ，口( o ，1 ) ， ( 3 4 ) 设g ，e ，是从三2 到匕，彬的三2 投影， “ ( q ；越，v ) = 白，d ，v v e ( e ，嵋口) = ( m q ) ，孵 ( 3 5 ) 我们来估计投影误差u - q , u 。，q - o ，g 。首先我们分析q f ( u 一蚝) ， 9 ，国一q 。) 的误差。 引理1 1 2 假定l s s r + l ，且匕c 曰n 锄2 ，则存在常数c 不依赖于 和f ， 满足 协甜一q , u 。1 0 c h t - i + a 喇“巾 一) i i 。+ t v ，( u - - 1 1 虬+ i p - p i o ) ( 3 6 ) 这里口e ( o 1 ) 的定义为( 3 4 ) 。 证明： i | q 一q t , i i h l - 一f 泌怍l l ( q f “一q 以，别， 由( 3 5 ) ， ( q ，一q ，“，妒) = m 一。q ，矿) ， ( 3 7 ) 考虑下面的对偶问题：求句e 风( 机q ) 鬈( 锄，满足 p 旷豢三0 q f 镶溢 ：j ：r 跳 8 ， i跃w g ) = ，v g 上吾( q ) 由( 3 2 ) ，( 3 3 ) 可以得到。 a ( u 一甜 ，v ) 一6 ( h p n ) = 0 ，v v 圪， ( 3 9 ) 在( 3 8 ) 中用一代替y ，并且由( 3 9 ) 可以得到 “一，q ，声) = 口( 鸭“一) 一6 ( 甜一，m = 口( ，一w l ，一甜 ) + 6 ( ，p p ) 一b ( u 一” ，a 一丑) a ( w w i ，1 4 - - 1 4 ) 一b ( w - w j ，p p ) 一6 ( 甜一 ，a 一乃) ( 3 1 0 ) 这里w ，ek ，4 呢是a b f r 有限元插值。 陋一，g 纠 c ( i - w , i ，+ i i v - ( w 一) i 。+ i a 一乃i o ) ( 卜7 ( 1 4 - - 1 4 。 + l v ( 1 - - 1 。) i i 。+ l p n l o ) c h ( | i 卅，+ i ，) 咿似一巩+ 夥 一甜吼+ 肛p 。) c h 1 畛，纠，。娜v ( 甜一。) i i 。+ ( 群一”。) 8 。+ p - p 。l 。) c h “m 。，( ( u - - 1 。巩+ ( 1 4 - - 1 4 。) l 。+ 眵一九i o ) 纠。 c h b - i + 4 叫0 矧巾。一帆+ ( 1 4 - - 4 。峨+ p n i 。) 悯。 ( 3 1 1 ) 这里我们应用到解的正则性假设：若解甜h e ( d i v , 锄n 何( q ) 2 ， p 日“( 固n e 。则 札+ 纠，m 一 ( 3 1 2 ) m 逆不等式也在这里用到。再由( 3 7 ) 可得( 3 8 ) 。 r 用类似的手法，我们可以得到下面类似的引理。参考【“】。 引理1 1 3 假定1 s s ，+ l ，且c h “( 2 ，则存在常数c 不依赖于h 和f ， 满足 i e ，u - o ，u h | o c h + 4 商0 1 ( i v ( 甜一搿) 8 0 + i v ( 甜一甜。) i | 。+ p p 。l 。) ( 3 1 3 ) 这里口( o ，1 ) 的定义为( 3 4 ) 。 、 定理1 1 4 假定1 s 5 s “- l ，f l y , c h 。2 ( q ) 2 ，如果帆，见) 是( 3 3 ) 的有限元 解，则我们有 i u - q , u 。l o s 凸砷“陋4 ，。+ 凸”州0 h 埘巾 一m + i v 似一) l 。+ l p 一儿艮) ( 3 1 4 ) 证明：由q 的定义可得 i f - - q f l g 。l o c f “| f l 州 c h 叫肛i ，+ 。， 因而 扣一9 f 材。i 。陋一q f l o + l q # l g - - q r ? a 。“ c h 时“肛i ，+ + a 嘶怙订巾 一帆+ 一) i i o + p - p 1 0 ) s 凸叫m 。+ 凸“”喇0 h 埘咿似一埔。+ 妒( 材- - t l 。地+ p 一成d ( 3 1 5 ) 相似的结果对于压力项也成立。 定理1 1 5 假定l s k + l ，且c z h n ( q ) 2 ，如果帆，p h ) 是( 3 3 ) 的有限元 解，则我们有 l p - o ，p 。扎 c h 州“”6 纠，+ + c 嚣。+ 4 “州饥“h ( 盯7 ( 甜一甜) i i 。+ b y ( 甜一。埔。+ l p p 。1 0 ) ( 3 1 6 ) 由定理1 1 4 ，1 1 5 以及爿职的逼近性质 b 一帆 c h 7 乩， 妒( u - u 。) 扎 c h 7 i v “l ， i ( p - p 。魂s 西l d ， 我们可以得到 h - q , 。l o c h 越“o k l ，+ 。+ c 强”“4 喇“4 ( p o ) | 。+ p ( 甜) l 。+ i p l 。) ， l p - o ，p h n 。 c h 越”l p i ，+ + c 而”“8 “叽”卧妒( 甜h 。+ i v ( 甜) i 。+ l p l 。) 我们可以取口= 吼满足 瓯( ，+ 1 ) = j i + j l + 瓯m i n ( o , 2 - 力， 得到速度的最优收敛估计为： l u - q 。u 。扎 s c 磊p “酗l ，+ 。+ 陬群) i ，+ 矽o ) | ，+ l d ，) ( 3 1 7 ) 我们可以取口= 满足 吒( ，+ 1 ) = k + s l + 瓯r a i n ( o , 1 - j ) ， 得到压力的最优收敛估计为： p e ，p 。i c h p + o q 叫。+ p ) l ，+ i v 似) i ，+ i p l ，) ( 3 1 8 ) 定理1 1 6 假定解的正则性满足( 3 1 2 ) ，且1 s r + l ，一c h “( 踢2 ， 形c h 1 ( q ) ，如果帆，n ) 是( 3 3 ) 的有限元解，对于a b f r 单元，当 线取 吼：兰l 二， ( 3 1 9 ) 吼2 r + l - r a i n ( o , 2 - s ) l j j 9 j 有最优误差估计( 3 1 7 ) 。当取 口。：! 竺l 一 ( 3 2 0 ) 2 r + 1 - r a i n ( o , l - s ) 。 【3 有最优误差估计( 3 1 8 ) 。 注：对于r t 单元，若以为任意四边形剖分，则( 3 1 9 ) 将为 吼：兰三l 一， ( 3 2 1 ) 吼2 r + l - m i n ( o , 2 - s ) l = ，) 则( 3 2 0 ) 将为 口。：j 兰生生一 ( 3 2 2 ) 2 r + l - r a i n ( 0 , l - s ) l ) 而b m m ，d 形会比， 结果更差。, b d f m ，r r ,a b f , 参考文献 【1 】eb r e z z ia n dm f o r t i n m i x e da n dh y b r i df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ， s p r i n g e r , n e wy o r k 。 【2 】eg c i a r l c ta n dp a r a v i a r t i n t e r p o l a t i o nt h e o r yo v e rc u r v e de l e m e - n t sw i t ha p p r o x i a m t i o n st of i n i t ee l e m e n tm e t h o d s c o m p u t m e t h o d s a p p l m e c h e n g r g ，1 9 7 2 ，1 ：2 1 7 - 2 4 9 【3 】r s ，f a l kd n a r n o l d ，d b o f f i a p p r o x i m a t