（计算数学专业论文）广义变分不等式的若干类算法.pdf

s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t yd o c t o rd i s s e r t a t i o n 摘要 近年来，变分不等式理论已成为研究大量纯粹数学和应用科学领域中非线性问题的有 效工具，如数学规划，最优化，力学，弹性理论，运输，经济甲衡，渗流介质以及数学与 工程科学许多别的分支。由于自身的发展和应用到别的学科，利用各种新颖的技巧，变分 不等式已朝不同方向被推广。本文分别在h i l b e r t 空间、b a n a c h 空问框架下，研究了变分 不等式( 组) ( 包含( 组) ) 的解的1 竽在性和迭代算法的收敛性。具体内容如下： 1 简要叙述了变分不等式理论研究的历史背景。 2 回顾了文中将要用到的一些基本概念和理论。 3 在自反b a n a c h 空间中弓f 入和研究了一类新的完全广义拟似变分包含，利用j 坞b 近映 射给出了此类变分包含近似解的迭代算法，并证明所构造的迭代算法生成的迭代序列的收 敛性。 4 用更弱的弱压缩映射来代替压缩映射，我们引入了分别由( 4 1 1 1 ) 和( 4 2 1 1 ) 定义的 两类隐式粘性迭代序列_ z t ) 和 z m 】，并证明了这两个序列都收敛于变分不等式( 4 1 1 2 ) 的 唯一解。 5 在h i l b e r t 空问中引入和研究了一类新的完全广义强非线性混合似变分不等式组，并 证明了其辅助变分不等式问题解的存在唯一性。基于该辅助问题，我们构造了一个迭代算 法，分析了由该算法产生的迭代序列的收敛性。 6 我们给出( h ，叼) 一增生算子和广义( a ，叩) 一增生算子定义，并引入和研究了 含( h ，叩) 一增生算子的集值变分包含组和含广义( a ，叩) 一增生算子的集值非线性变分包 含。利用与( 日，叩) 一增生算子有关的和与广义( a ，叩) 一增生算子有关的预解算予，构造了迭 代算法并给出了由这两个算法生成的迭代序列的收敛性。 关键词：变分不等式，变分包含，迭代算法， 子，h i l b e r t 空间，b a n a c h 空间，弱压缩映射， 存在性，收敛性，辅助变分原理，预解算 粘性逼近 a b s t r a c t i nr e c e n tv e a r s ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yh a sb e e nb e c o m ev e r ye f f e c t i v ea n dp o w e r f u lt o o l sf o rs t l l d y i n gaw i d ec l a s so fn o n l i n e a rp r o b l e m sa r i s i n gi nm a n yd i v e r s ef i e l d 8o f p u 他 m a t h e m a t i c sa n da p p l i e ds c i e n c e s ，s u c ha sm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ，o p t i m i z a t i o n ，m e c h a m c s e l a s t i c i t y , t r a n s p o r t a t i o n ，e c o n o m i ce q u i l i b r i u m ，f l u i df l o wt h r o u g h p o r o u sm e d i a a n dm a 柏【yo t h e r b r a n c h e so fm a t h e m a t i c a la n de n g i n e e r i n gs c i e n c e v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sh a v eb e e ne x t e n d e d a n dg e n e r a l i z e di nd i f f e r e n td i r e c t i o n sb yu s i n gn o v e la n d i n n o v a t i v et e c h n i q u e sb o t hf o ro w n s a k e a n df o ri t sa p p l i c a t i o n w ea r r a n g et h i sd i s s e r t a t i o na sf o l l o w s ： 1 t h eh i s t o r i cb a c k g r o u n do f v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yi sr e c a l l e db r i e f l y 2 w er e c a l ls o m eb a s i cc o n c e p t sa n d t h e o r i e s 3 an e wc l a s so fc o m p l e t e l yg e n e r a l i z e dq u a s i v a r i a t i o n a l - l i k ei n c l u s i o n si nr e f l e x i v eb a _ n a c hs p a c e si si n t r o d u c e da n ds t u d i e d u s i n gt h ej n _ p r o x i m a lm a p p i n g ，似o l t e r 剁t i v ea l g o r i t h m s t 0c o m p u t ea p p m x i m a t es o l u t i o n sf o rt h i sc l a s so fc o m p l e t e l yg e n e r a l i z e dq u a s i - v a r i a t i o n a l - l i k e i n c l u s i o n sa r cs u g g e s t e da n da n a l y z e d ，a n dt h ec o n v e r g e n c eo f t h ei t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e d b yt h ea l g o r i t h m si sa l s op r o v e d 4 w es t u d yt h es t r o n gc o n v e r g e n c ef o rt h ev i s c o s i t yi t e r a t i v es e q u e n c e s 协，a n dt z ”- d e 。 f i n e db y ( 4 1 1 1 ) a n d ( 4 2 1 1 ) ，r e s p e c t i v e l y w ep r o v e t h a tk ) a n d z m ) c o n v e r g e ss t r o n g l yt o s o m ep f ( t ) ，w h e r epi sau n i q u es o l u t i o nt ot h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ( 4 1 - 1 2 ) 5 i nr e a lh i l b e ns p a c e s ，an e ws y s t e mo fc o m p l e t e l yg e n e r a l i z e ds t r o n g l yn o n l i n e a r m l x e d v a r i a t i o n a l 1 i k ei n e q u a l i t i e s ( s c g s n m v l i ) i si n t r o d u c e d w ee s t a b l i s ha ne x i s t e n c e a n du n l q u e 。 n e s st h e o r e mo fs o l u t i o n st 0t h ea u x i l i a r yv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m sf o rt h es c g s n m v l i b a s e do nt h ea u x i l i a r yp r o b l e m s ，w ec o n s t r u c ta ni t e r a t i v ea l g o r i t h mt oc o m p u t et h e 印p r 0 x 卜 - m a t es o l u t i o n so ft h es c g s n m v l i a n da l s ow eg i v et h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i so f t h e1 t e r a t l v e s e q u e n c e sg e n e r a l i z e db yt h ea l g o r i t h m 6 w bf i r s ti n n o d u c ea n ds t u d yan e ws y s t e mo f m u l t i v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s1 n v o l v 。 i n g ( ，叼) - a c c r e t i v eo p e r a t o r si nb a n a c hs p a c e s u s i n gt h er e s o l v e n to p e r a t o ra s s o c l a t e d w l t n ( h ，田卜a c c r e t i v eo p e r a t o r s ，w ec o n s t r u c ta na l g o r i t h mo f t h i ss y s t e ma n d p r o v et h ec o n v e r g e n c eo f t h ei t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h m t h e n ，w e i n t r o d u c ean e wc o n c e p to tg e n e r a l i z e d ( a ，叼) 一a c c r e t i v em a p p i n g s ，s t u d ys o m ep r o p e r t i e so f g e n e r a l i z e d ( a ，田) 一a c c r e t i v e m a i p l n g s a i l dd 萌n er e s o l v e n to p e r a t o r sa s s o c i a t e dw i t hg e n e r a l i z e d ( a ，? 7 ) 一a c c r e t i v em a p p i n g s i nt e 珊s o ft h en e wr e s 0 1 v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e ，w ec o n s t r u c ta na l g o r i t h mf o ra c l a s so fm u l t i v a l u e d t t s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t yd o c t o rd i s s e r t a t i o n n o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n v o l v i n gg e n e r a l i z e d ( a ，7 7 ) 一a c c r e t i v em a p p i n g sa n dp r o v et h e c o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h m k e yw o r d s ： v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ，i t e r a t i v ea l g o r i t h m s ，e x i s t e n c e ， c o n v e r g e n c e ，a u x i l i a r yv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，r e s o l v e n to p e r a t o r , h i l b e r ts p a c e ，b a n a c hs p a c e ， w e a k l yc o n t r a c t i v em a p p i n g ，v i s c o s i t ya p p r o x i m a t i o n 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用 影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：王笔签 日 期：趟：生：茎 导师签名：二互圭! ! l e l期：坦芏：2 翌： s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t yd o c t o rd i s s e r t a t i o n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导卜i 进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别加 以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对 本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：j 攀多l 日 s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t yd o c t o rd i s s e r t a t i o n c h a p t e r1 p r e f a c e 1 1 中文引言 1 1 1 变分不等式理论的发展概况 变分不等式问题最初出现在数理方程中，然后由s t a m p a c c h i a 1 】在1 9 6 4 年提出并建立了 初期的变分不等式理论。他在提出变分不等式理论时研究了如下经典变分不等式问题： 设q 是舻中的有界闭凸集，f ：q _ 舻是一连续映象，求t c + q ，使得 ( 让一u 4 ) t f ( u 4 ) 0 ，vt q 1 9 7 2 年，d u v o u t 和l i o n s 2 】研究了变分不等式在机械、物理两方面的应 用。i 9 7 5 年，n o o r 毛e 其博士论文中研究了变分不等式的一些基础理论问题。1 9 8 2 年，a b e n s o u s s a n 和j l l i o n 在脉冲控制的研究中( 【3 】) 引进了一类椭圆型和双曲型的非线性拟变 分不等式，即：求解乱k ( 乱) ，使得 a ( u ，v 一让) f ，移一u ) ，v 钐k ( u ) ， 其中为依赖于解乱的集合。反过来，拟变分不等式也可以用来解决许多应用问题。 如：c b a i o c c h i a 通过用未知函数变换来解决非矩形水坝( 即渗流) 问题；j n e c a s 及其研究 小组应用拟变分不等式解决了摩擦问题；k a m a l l a 等人也应用拟变分不等式解决了晶体 管问题等。 另外，在非线性泛函分析中，由于次微分概念的建立，特别足各种次微分的引入，使 得许多与次微分有关的多值非线性微分方程与相j 收的变分不等式等价。这样，人们可以利 用已有微分方程的结果去解决一些变分不等式解的存在和唯一性闯题；更重要的是以变分 不等式为桥梁，人们发现许多多值非线性微分方程与具有自由边界和移动边界的偏微分方 程问题紧密相关( 见 帕】) ，而这些方程覆盖了大量有具体物理背景的实际问题。 在变分不等式发展的四十多年里，国内外许多学者已对变分不等式及与之相 关的优化理论进行了研究，如h b t h o m p s o n ，y j c h o ，j k k i m ，r p a g a r w a l ，g c o h e n ，s g u e r r e d e l a b r i e r e ，j eg o s s e z ，e l a m id o z o ，w t a k a h a s h i ，q h a n s a r i ，c e c h i d u m e ，k r k a z m i ，h z e g e y e ，m a n o o r ，r u v e r m a ，k r k a z m i ，e a k h a n ，外 籍华人如h k x u 和我国学者如张石生，陈光亚，丁协平，姚任之，何炳生，黄南京，林 来居，曾六川等运用多种现代分析的方法研究了大量的变分不等式、拟变分不等式、广义 变分不等式、变分包含与广义集值拟变分包含问题和求近似解的数值方法及其应用问题 l s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t yd o c t o rd i s s e r t a t i o n 等，并取得了大量的研究成果。并兀j 这些理论和方法已被广泛应用在工程、物理、优化与 控制、非线性规划、经济和交通甲衡以及管理科学等方面。 近年来，对变分不等式问题的研究主要集中在以下几方面： ( i ) 将经典变分不等式问题推广为一般变分不等式( 包含) ( 例如，混合变分不等式( 包 含) ，拟变分不等式( 包含) ，拟似变分不等式( 包含) ，广义拟似变分不等式( 包含) 等) 问题； ( i i ) 将变分不等式问题转化为多目标优化问题来研究( 例如，向量变分不等式问题) ； ( i i i ) 从空间上推广( 如有限维空间推广到无限维空间，h i l b e r t 空问推广至u b a n a c h 空 间) ： ( i v ) 弱化变分不等式问题中的算子条件( 如强单调算子减弱为单凋算子) ； ( v ) 从变分不等式( 包含) 问题解的迭代算法上考虑。 1 1 2 本文的研究动机 变分不等式理论中一个重要而有趣的问题是对各类变分不等式发展可行而有效的算法 来计算近似解和对算法进行分析。这里有大量的迭代算法来找不同变分不等式的近似解， 如投影方法及其变形，w i e n e r - h o p f 方程法，辅助变分原理法，n e w t o n 下降法等。其中最 有效的方法莫过于出现在二十世纪七十年代的投影方法( 见 1 0 - 1 3 ) 及其变形( 见 1 抛7 】) 。 这种投影技巧的基本思想足建立变分不等式和不动点问题之间的等价性。这种等价性已被 用来发展投影迭代算法来解变分不等式及其优化闯题。 广义集值变分不等式和广义拟变分包含是变分不等式理论的一个有用和重要的推 广。而由于非线性项的1 竽在，人们难以用投影法去构造解的迭代算法。这是因为投影 并不容易找到并且它是过分依赖于h i l b e r t 空间中所投影闭凸子集的结构。但是当非线 性项是真凸下半连续泛函时，它的次微分映射是一个极大单调的集值映射，于是，学 者们想到了利用集值映射的预解算子来代替投影算子作为一个突破门。这一想法最早 是m a r t i n e t 2 8 和l b r e z i s 2 9 】提出的，随后，h a s s o u n i $ l - l m o u d a f i 3 0 】将之加以改进和完 善。他们提出用极大单调映象的预解算子来研究一类新的混合单值变分不等式。由于 计算( 或估计) 预解算子比较困难。学者们又提出了辅助变分原理法。这一方法最早是 由l i o n s $ is t a m p a c c h i a 31 】提出的，g l o w i n s k i ，l i o n s 着h t r e m o l i e r e s 【3 2 】将之加以改进并用 来求解混合单值变分不等式。n o o r 3 3 在辅助变分原理法的基础上提出了一般的预测校 正法。对求解集值变分不等式问题，n o o r 3 4 】利用辅助变分不等式提出了三步预测校 正法。2 0 0 3 年，n o o r 3 5 】又利用预解算子方程，对一般混合拟变分不等式问题构造了预 测一校正迭代算法。2 0 0 0 年，m o u d a f i 3 6 】提出粘性逼近方法，并用于解不动点问题。后 来x u 3 7 】在h i l b e r t 空间和一致光滑的b a n a c h 空间中研究了求非扩张映射不动点的粘性逼近 2 s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t yd o c t o rd i s s e r t a t i o n 方法。 研究各种不同类型的变分不等式解的1 竽在性及其近似解算法，不仅能使变分不等式理 论本身向纵深发展，而且还能促使变分不等式从解决障碍问题，水坝问题等经典问题逐渐 应用到其它诸如生态、控制、规划等领域，极具现实意义。受剑前面工作的启发和触动， 本文主要运用辅助变分原理法，预解算子技巧以及粘性逼近方法，对完全广义拟似变分包 含，含广义( a ，叩) 一增生算子的多值非线性变分包含，完全广义强非线性混合似变分不等 式组，以及含( 日，叼) 一增生算子的集值变分包含组等问题做了进一步研究。所得结果改进 和推广了相应的一些最新结果。 1 1 3 本文工作概述 本人在前人研究的基础上做了如下工作： 第三章，在自反的b a n a c h 空问中引入和研究了一类新的完全广义拟似变分包含：寻求 2 e ，扎a x ，v b x ，s s x ，w c x ，z d z 矛d y f ( z ) 使得 ( f ( w ) - n ( u ，口，s ) ，r ( h ，9 ( z ) 一m ( ) ) ) 妒( 9 ( z ) 一m ( y ) ，2 ) 一妒( ，z ) ，v h e ，( 1 1 3 1 ) 其中4 ，b ，s ：e c b ( e + ) ，c ，d ，f ：e _ c b ( e ) ，n ：e e e + 一驴，厂：e 一驴，r l ： e e e ，g ，m ：e e 以及对任意z e ，妒( ，z ) 是一下半连续7 7 一次微分真泛函( 可能不 凸) a 注意到当v ( | l 上，v ，s ) = v ( u ，钞) ，vt l ，口，s e ，叼( z ，y ) = z y ，vz ，y e 且对任意固定 的z e ，妒( r ，z ) 是下半连续次微分真泛函( 可能不凸) ，上述问题是d i n g a n dx i a 3 8 中研 究的完全广义非线性拟变分包含问题。所以本章的问题是d i n g a n dx i a 3 8 q b 问题的推广。 a h m a de ta 1 在 3 9 中引入了，町邻近映射，该映射推广了d i n ga n dx i a 3 8 中所给的。，邻 近映射。本章利用刀邻近映射给出了求变分包含( 1 1 3 1 ) 近似解的两个迭代算法，即算 法3 3 1 ，算法3 3 2 ，并证明了所构造的迭代算法生成的迭代序列的收敛性：见本章定 理3 4 1 ，定理3 4 2 。 第四章，对任意t ( 0 ，1 ) ， t 。 c ( 0 ，1 ) 存在z t 和z m 使得 z t = ，( 娩) + ( 1 - t ) t x ( 1 1 3 2 ) 及 锄2 ，( 磊；) + ( 1 一k 磊击p ，m2 0 ，( 1 1 3 3 ) 其中t ：k _ k 是非扩张映象，f ：k _ k 足弱压缩映象。本章研究了这两类隐式粘性迭 代序列 筑) 和 ) 均收敛于? 的不动点p ，而p 是变分不等式 ( y ( p ) 一p ，j ( u p ) ) 0 ，v 乱f ( t ) 3 s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t yd o c t o rd i s s e r t a t i o n 的唯一解。 在 3 7 】中，x u 在一致光滑的b a n a c h 空间中，研究了当，是压缩映象时由( 1 1 3 2 ) 定 义的序列 z 。】的收敛性。在 4 0 】中，y s s o n ga n dr d c h e n 研究了当，是压缩映象时 由( 1 1 3 3 ) 定义的序列1 z m ) 的收敛性。由于弱压缩映象是压缩映象的推广( 见本文r e m a r k 4 1 ) ，并且一致光滑的b a n a c h 空间是自反光滑的b a n a c h 空间。因此，定理4 1 2 2 推广了 文【3 7 】中的定理4 1 ，定理4 2 3 2 推广了文【4 0 】巾的定理3 2 。 第五章，我们首先在h i l b e r t 空问中引入如下一类新的完全广义强非线性混合似变分不 等式组问题：寻求( z ，y ) 日1x 阮使得 ( 1 ( 正( z ) ，a 1 ( 可) ) ，7 7 1 ( 9 1 ( u 1 ) ，9 1 ( z ) ) ) 1 + b l ( x ，g l ( v 1 ) ) 一b l ( x ，g l ( x ) ) 0 ，vv l h 1 ， ( 2 ( 死( z ) ，a 2 ( ) ) ，啦( 9 2 ( 忱) ，9 2 ( 可) ) ) 2 + b 2 ( y ，9 2 ( 2 ) ) 一6 2 ( y ，9 2 ( 可) ) 0 ，v 忱玩 对i 1 ，当仇= 五，丑= 乃= 五，a 1 = a 2 = 如，其中厶是风上的恒等映射，此时上述问题 即为文 4 1 】中研究的问题。 其次，利用辅助变分技巧，我们对这类完全广义强非线性混合似变分不等式组问题 给出不同于文 4 1 1 的辅助变分不等式组，该辅助变分形式是l ： ：t z e n g 4 2 3 i 入的。应用本 文引理5 2 1 我们证明了这个辅助变分不等式组解的存在唯一性，即本文定理5 3 1 。由定 理5 3 1 ，构造了完全广义强非线性混合似变分不等式组问题的迭代算法5 3 1 ，并讨论了该 算法的收敛性，得到了本章定理5 4 1 。 第六章，首先我们给出新概念( 日，功一增生算子。该算子推广了【4 3 】中的( 日，叩) 一单调算 子。还定义了与( ，叩) 一增生算子相关的预解算子，并证明了该预解算予的l i p s c h i t z 连续 性，即本章弓 理6 1 1 2 。我们引入了含( 日，7 7 ) 一增生算子的集值变分包含组： p ( c ) f ( a ，b ) + m ( 9 ( z ) ，移) ， q ( d ) c ( a ，b ) + ( ( 可) ，u ) ， 并证明了由算法6 1 3 1 生成的迭代序列的收敛性，见本章定理6 1 3 1 。 其次，我们给出新概念- 广义( 月，叩) 一增生算子。该算子推广t 8 4 中的a 一单调算子。 还定义了与广义( a ，叩) 一增生算子相关的预解算子，并证明了该预解算子的l i p s c h i t z 连续 性，即本章命题6 2 2 3 。我们研究了含广义( a ，7 7 ) 一增生算子的多值非线性变分包含： o p ( c ) + f ( a ，b ) + a m ( g ( x ) ，钞) ， 解的存在性和迭代收敛过程，见本章定理6 2 3 1 ，从而把 8 4 】中的主要结果从a 单调算子 推广到了广义( a ，叩) 一增生算子的情形。 4 s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t yd o c t o rd i s s e r t a t i o n 1 2p r e f a c e 1 2 1t h eb a c k g r o u n do fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r y v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m se m e r g e di n i t i a l l yi nm a t h e m a t i c a la n dp h y s i c a le q u a t i o n s i n 1 9 6 4 ，s t a m p a c c h i a 1 】i n t r o d u c e da n de s t a b l i s h e dt h et h e o r yo f v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s h es t u d i e d t h ef o l l o w i n gc l a s s i c a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m ： l e tqb eab o u n d e dc l o s e dc o n v e xs e ti nr na n df ：q - 啼r “b eac o n t i n u o u sm a p p i n g f i n d u 4 q ，s u c ht h a t ( u 一“+ ) ? v ( u ) 0 ，vu q i n19 7 2 ，d u v o u ta n dl i o n s 2 s t u d i e dt h ea p p l i c a t i o no fm e c h a n i s ma n dp h y s i c s i n19 7 5 ，n o o r s t u d i e ds o m eb a s i ct h e o r yp r o b l e m so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si nh i sd o c t o r i a ld i s s e r t a t i o n i n 1 9 8 2 ，a b e n s o u s s a na n dj l l i o n ( s e e 3 1 ) s u g g e s t e dak i n do fe l l i p t i ca n dh y p e r b o l i cn o n l i n e a r q u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sw h i l es t u d y i n gi m p u l s ec o n t r o l ：f i n du k ( u ) ，s u c h t h a t a ( u ，秽一u ) f ，口一u ) ，vv k ( u ) ， w h e r et h es e tkd e p e n d su r e v e r s e l y , q u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa r eu s e dt os o l v em a n ya p - p l i e dp r o b l e m s f o re x a m p l e ，c b a i o c c h i as o l v e ds e e p a g ep r o b l e m sb yu s i n gu n k n o w nf u n c t i o n t r a n s f o r m ；j n e c a se ta 1 s o l v e df r i c t i o np r o b l e m sb yu s i n gq u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ；k a m a l l ae ta 1 s o l v e dt r a n s i s t o rp r o b l e m sb yu s i n gq u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s l a t e rw ef i n dt h a tm a n ym u l t i v a l u e dn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e ) i n v o l v i n g s u b d i f f e r e n t i a l ( i e p d e sw i t hf r e eb o u n d a r yo rm o v i n gb o u n d a r y ) a r ee q u i v a l e n tt os o m eq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，s i n c ev a r i o u ss u b d i f f e r e n t i a l ss u g g e s t e di nn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s t h i sf a c te n a b l e su st os o l v eq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s ( q v i p ) b yu t i l i z i n gt h ek n o w n p d e r e s u l t s r e v e r s e l yw ec o n s i d e rt ou s eq v i p sk n o w l e d g e t od e a lw i t hm u l t i v a l u e dn o n l i n e a r p d e s ( s e e 4 - 9 ) w i t ht h ed e v e l o p m e n to fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sd u r i n go v e rf o r t yy e a r s ，m a n yr e s e a r c h e r s h a v es t u d i e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n do p t i m i z a t i o nt h e o r i e s ，s u c ha sh b t h o m p s o n ，y j c h o ，j k k i m ，r p a g a r w a l ，g c o h e n ，s g u e r r e d e l a b r i e r e ，j eg o s s e z ，e l a m id o z o ，w t a k a h a s h i ，q h a n s a r i ，c e c h i d u m e ，k r k a z m i ，h z e g e y e ，m a n o o r ，r u v e r m a ， k r k a z m i ，f a k h a n ，h k x u ，s s c h a n g , g y c h e n g ，x ed i n g ，j c y a o ，b s h e ， n j h u a n g ，l j l i na n dl c z e n ge ta 1 b yu s i n gm a n yk i n d so fm e t h o d so fm o d e ma n a l - y s i s 也e ys t u d i e dan u m b e ro fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e 、q u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s 、g e n e r a l i z e d s v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s 、v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dg e n e r a l i z e dm u l t i v a l u e dq u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o np r o b l e m sa n dn u m e r i c a lv a l u em e t h o d sf o rf i n d i n ga p p r o x i m a t es o l u t i o n sa n da p p l i c a t i o n s e t c m o r e o v e lt h e s et h e o r i e sa n dm e t h o d sh a v eb e e ne x t e n s i v e l ya p p l i e di ne n g i n e e r i n g ，p h y s i c s ， o p t i m i z a t i o na n dc o n t r o l ，n o n l i n e a rp r o g r a m m i n g ，e c o n o m i c sa n dt r a n s p o r t a t i o ne q u i l i b r i u ma n d m a n a g e m e n ts c i e n c ee t c r e c e n t l y , f o rs t u d y i n gv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e st h e r ea r et h ef o l l o w i n gm a i n l ys e v e r a la s p e c t s ： ( i ) t h ec l a s s i c a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m sa l eg e n e r a l i z e dt ot h eg e n e r a lv a r i a - t i o n a li n e q u a l i t y ( i n c l u s i o n ) ( m i x e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ( i n c l u s i o n ) ，q u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ( i n c l u s i o n ) ，q u a s i v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t y ( i n c l u s i o n ) ，g e n e r a l i z e dq u a s i - v a r i a t i o n a l - l i k ei n - e q u a l i t y ( i n c l u s i o n ) e t c ) p r o b l e m s ； ( i i ) t h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m sa r ec o n v e r t e di n t ot h em u l t i - o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n p r o b l e m s ( f o re x a m p l e ，v e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s ) ； ( i i i ) t h eg e n e r a l i z a t i o no fs p a c e s ( f r o mf i n i t e - d i m e n s i o n a ls p a c e st o i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l s p a c e s ，f r o mh i l b e r ts p a c e st ob a n a c hs p a c e s ) ； ( i v ) t h ec o n d i t i o n so fo p e