（理论物理专业论文）有效动力论研究高温qcd物质的粘滞系数.pdf

v i s c o s i t i e so fh i g h - t e m p e r a t u r eqc di n t h ee f f e c t i v ek i n e t i ct h e o r y a e s i s s u b m i t t e di np a r t i mf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t sf o r t h em s d e g r e ei nt h e o r e t i c a lp h y s i c s b y z h a n gl e p o s t g r a d u a t ep r o g r a m t h ec o l l e g eo fp h y s i c a ls c i e n c ea n d t e c h n o l o g y c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s ：d e f uhonu p e r v l s o r t - - t o u 3 ： a c a d e mi ct i t l e ：p r o f e s s o r s i g n a t u r e ：超眦 m a y 2 0 11 m 6m 8m 6m 8 9舢8m川i 脚y s 华中师范大学 学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名系季日期驯年f 月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名张季 指导教师签名膨汐 日期：加年夕月7 日日期：聊年r - 月兮日 本人已经认真阅读 c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交”c a l i s 高校学位论文全文数据库中全文发布，并可按”章程”中的规 定享受相关权益。同意论文提交后滞后：口半年；口一年；口二年发布。 学位论文作者签名： 日期： 纭钐 矽l f 岁月矿 指导教师签名：认杉 日期：l , 1 1 年厂月泸 摘要 粘滞系数由于能很好地描述系统从非平衡态演化到平衡态过程的输运性质而备 受关注。但是，无论是在非平衡态统计物理中，还是在流体力学中，粘滞系数的计 算都非常复杂。粘滞系数可以从有效动力论的波尔兹曼方程中得到。但波尔兹曼方 程是一个微分积分方程，对其很难解析求解，所以只能用一些可行的近似方法。一 般认为，随着温度和密度的逐渐增高，热密q c d 物质就很可能发生弱耦合相互作 用；例如，当z 弘 a o c d 时。在早期宇宙和致密星内部，弱耦合q c d 物质极有 可能存在。因此，对粘滞系数的研究，有助于我们了解致密星的结构和演化过程以 及早期宇宙的性质。 在本文中，我们用变分法来求解q c d 有效动力论的波尔兹曼方程，最终得到 弱耦合q c d 物质的粘滞系数。第一部分主要介绍q c d 物质的动力论，以之作为计 算粘滞系数的理论基础。第二部分近似地计算波尔兹曼方程中的碰撞项积分。第 三部分用变分法计算高温q c d 物质的粘滞系数：首先，只考虑2h2 散射过程， 得到高温q c d 物质切向粘滞系数的领头阶贡献；其次，在胶子等离子体中，加 上9 夕hg g g 软胶子韧致辐射过程对切向粘滞系数的贡献，我们发现：夕夕hg g g 软 胶子韧致辐射过程中碰撞项的贡献是2h2 散射过程中碰撞项贡献的4 6 倍。由于粘 滞系数随着碰撞项贡献的增大而减小，所以有，啦2 + 2 3 7 7 2 2 竺1 7 9 。最后我们得 到共形变化胶子等离子体系统的体粘滞系数。此外，与a m y ( a r n o l d 、m o o r ea n d y a f f e ) 等人的结果相比，我们得到的体粘滞系数约为他们的1 1 0 。这是由于他们考 虑的是lh2 分裂过程对粒子数不守恒的贡献，而我们考虑的是9 9hg g g 软胶子韧 致辐射过程对粒子数不守恒的贡献。这说明，夕夕hg g g 过程对体粘滞系数的贡献 要比1h2 分裂过程对体粘滞系数的贡献更为重要。 关键词：有效动力论、切向粘滞系数、体粘滞系数、纯胶子等离子体、 高温q c d 、 弱耦合、 软胶子韧致辐射。 i 一 a b s t r a c t v i s c o s i t i e sw h i c hc h a r a c t e r i z et h et r a n s p o r tp r o p e r t i e so fas y s t e me v o l v i n gf r o m n o n e q u i l i b r i u mt oe q u i l i b r i u ms t a t e sh a v eb e e na t t r a c t e dw i d ea n di n t e n s ei n t e r - e s t s h o w e v e r ，t oc a l c u l a t ev i s c o s i t i e sw h e t h e ri nn o n e q u i l i b r i u ms t a t i s t i c a lp h y s i c s o ri nh y d r o d y n a m i c s ，i sav e r yc o m p l i c a t e dt a s k v i s c o s i t i e sc a nb eo b t a i n e df r o m t h eb o l t z m a n ne q u a t i o no fe f f e c t i v ek i n e t i ct h e o r y b u tt h eb o l t z m a n ne q u a t i o ni s ad i f f e r e n t i a li n t e g r a le q u a t i o n ，i ti sv e r yh a r dt ob es o l v e da n a l y t i c a l l y p e o p l ec a n o n l yu s es o m ef e a s i b l ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d st os o l v et h i se q u a t i o n i ti sg e n e r a l l y b e l i e v e dt h a tt h eh o td e n s eq c dm a t t e ri sl i k e l yt ob ew e a k l yi n t e r a c t e dw h e nt h e t e m p e r a t u r ea n d o rd e n s i t yi sa s y m p t o t i c a l l yh i g h ，f o ri n s t a n c ezp a q c d t h e w e a k l yc o u p l i n gq c d m a t t e rh o p e f u l l ye x i s t si nt h ee a r l yu n i v e r s eo rc o m p a c t i n g s t a r s t h e r e f o r ，i ti sh e l p f u lf o ru st oa n a l y z et h es t r u c t u r ea n de v o l u t i o no fc o m p a c t s t a r sa n dt h ee a r l yu n i v e r s et h r o u g ht h ev i s c o s i t i e s i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ev a r i a t i o n a lm e t h o dt os o l v et h eb o l t z m a n ne q u a t i o n s o fe f - f e c t i v ek i n e t i ct h e o r yo fq c d ，a n dt h u so b t a i nt h ev i s c o s i t i e so fw e a k l yc o u p l i n gq c d m a t t e r t h ef i r s tp a r tm a i n l yi n t r o d u c e st h ek i n e t i ct h e o r yo fq c dm a t t e r ，a st h e o r e t - i c a lb a s i st oc a l c u l a t ei t sv i s c o u s i t i s i nt h es e c o n dp a r t ，w ea p p r o x i m a t e l yc a l c u l a t e t h ec o l l i s i o nt e r m so ft h eb o l t z m a n ne q u a t i o n t h et h i r dp a r tu s e sv a r i a t i o n a lm e t h o d t oc a l c u l a t ev i s c o s i t i e so fh i g ht e m p e r a t u r eq c dm a t t e r ：f i r s t l y , w eo n l yi n c l u d et h e 2h2s c a t t e r i n gp r o c e s st og e tt h el e a d i n go r d e rc o n t r i b u t i o no ft h es h e a rv i s c o s i t y o ft h eh i g h t e m p e r a t u r eq c dm a t t e r t h e nb yi n c l u d i n gt h ec o n t r i b u t i o no ft h e 9 9hg g gs o f tg l u o nb r e m s s t r a h l u n gp r o c e s si nag l u o np l a s m as y s t e m ，w ef i n dt h a t t h ec o n t r i b u t i o no ft h ec o l l i s i o nt e r mf r o mt h eg ghg g gs o f tg l u o nb r e m s s t r a h l u n g p r o c e s si s 4 6t i m e so ft h a tf r o mt h e2h 2s c a t t e r i n gp r o c e s s s i n c et h ec o l l i s i o n t e r mc o n t r i b u t i o nd e c r e a s e st h ev i s c o s i t i e s ，w ef i n d7 7 2 2 + 2 3 m 2 型1 7 9 f i n a l l y , w e o b t a i nt h eb u l kv i s c o s i t yo ft h eg l u o np l a s m af o rac o n f o r m a ln o n - i n v a r i a n c es y s t e m f u r t h e r m o r e ，o u rr e s u l to ft h ev i s c o s i t yi sj u s t1 1 0o ft h a tb ya m y ( a r n o l d 、m o o r e a n d 陆1 t h er e a s o ni st h a t ：t h e yc o n s i d e rt h ec o n t r i b u t i o no f1h 2s p l i t t i n g p r o c e s sf o rt h ep a r t i c l en u m b e rv i o l a t i o n w h i l ew ec o n s i d e rt h eg gh g g gs o f tg l u o n b r e m s s t r a h l u n gp r o c e s sf o rt h a t t h i sd e m o n s t r a t e st h a tt h ec o n t r i b u t i o nt ot h e b u l kv i s c o s i t yo ft h eg g g g gs o f tg l u o nb r e m s s t r a h l u n gp r o c e s si sm o r ei m p o r t a n t t h a nt h a to ft h e1h2s p l i t t i n gp r o c e s s 。_ l l k e y w o r d s ：e f f e c t i v ek i n e t i ct h e o r y ， s h e a r v i s c o s i t y ， b u l kv i s c o s i t y ， g l u o n p l a s m a ，h i g h t e m p e r a t u r eq c d ，w e a k l yc o u p f i n g ， s o f tg l u o n b r e m s s t r a h l u n g 叫l l 目录 摘要i a b s t r a c t i i 引言1 第一章理论基础4 1 1 q c d 物质介绍4 1 2 + 线性波尔兹曼方程7 1 3 动力论中粘滞系数表达式9 1 3 1 切向粘滞系数的表达式9 1 3 2 体粘滞系数的表达式1 1 第二章碰撞项积分1 4 2 12h2 散射过程碰撞项积分1 4 2 2 夕夕hg g g 软胶子韧致辐射过程碰撞项积分1 7 第三章变分法计算的结果2 0 3 1 变分法思想j 2 0 3 2 变分法计算过程2 1 3 3 粘滞系数的结果2 3 3 3 12h2 散射过程的切向粘滞系数2 3 3 3 2 纯胶子等离子体的切向粘滞系数2 4 3 3 3 纯胶子等离子体的体粘滞系数2 7 第四章小结与展望3 1 附录3 3 参考文献3 4 致谢3 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引言 q c d 物质泛指在夸克和胶子层次上的物质形态，它由夸克和胶子通过强相互 作用组成。而研究q c d 物质的动力学基础是量子色动力学( q c d ) 。人们按照按 照q c d 耦合常数的跑动性质把q c d 物质分为强耦合q c d 物质和弱耦合q c d 物质。 弱耦合q c d 物质的耦合常数小，其相互作用具有渐进自由性；而强耦合q c d 物质 的耦合常数大，其相互作用具有色禁闭性质【1 j o 对于弱耦合q c d 物质，理论上是 可以用微扰q c d 方法处理，而对于强耦合q c d 物质，微扰q c d 方法不适用，当前 主要是用格点q c d 和与a d s c f t 的方法来研究。由于夸克的色禁闭和渐进自由特 性，人们很难用动力学求解。但q c d 物质是由夸克和胶子构成的多粒子系统，因 此，人们常用统计物理的思想来研究q c d 物质的宏观性质，它的理论基础主要有 两个：一是在热力学平衡态的温度场论，二是在非平衡态的动力论。这两种方法是 用热力学和统计物理的思想讨论q c d 物质的宏观性质。 由于q c d 物质可能处于热力学非平衡态向平衡态演化的输运过程。因此，人们 可以通过q c d 物质的输运特性来研究q c d 物质。输运特性描述非平衡态系统波动 性的响应，它们表征了介质中长波长，低频率波动的动力学特征【2 3 l 。输运特性对 于q c d 物质的非平衡状态是非常重要的。它们决定了重离子碰撞中q c d 物质从非 平衡态到平衡态的弛豫过程。粘滞系数能很好地描述系统从非平衡态演化到平衡 态过程的输运性质，并且，弱耦合q c d 物质的粘滞系数在天体物理学中也很有意 义，例如宇宙形成的早期和致密星体内部的物质特性。在致密星内部，输运特性能 很好的解释星体的结构问题【4 ，5 1 。因此，一直以来q c d 物质的粘滞系数倍受物理学 家们的关注。 理论上，计算q c d 物质粘滞系数的基本方法一般有三种：一是有限温度场 论中的响应理论：把能量动量张量分解成平衡部分和耗散部分，耗散项与流速 的一阶导数成正比。利用微扰理论得出粘滞系数的k u b o 形式，这就是响应理论 的k u b o 公式【6 l 。k u b o 公式借用了微扰q c d 理论，所以只适用于弱耦合q c d 物质。 二是动力论，这是根据非平衡态统计物理的理论，利用局域平衡态的分布函数的 展开求解波尔兹曼方程，从而得到粘滞系别7 ，8 】。而波尔兹曼方程讨论的是理想气 体模型，所以它也只适用于弱耦合q c d 物质。三是a n t i d es i t t e r c o n f o r m a lf i e l d t h e o r y ( a d s c f t ) 的方法，a d s c f t 是目前用于强耦合q c d 的重要理论【9 , 1 0 。 它的主要思想是用a d s 5 中的弦论对应到其边界上的四维共形场论。在a d s c f t 理 论中，大c ( 色数) 下，有限温度的强耦合 厂= 4 超对称的y a n g - m i l l s ( s y m ) 理论的切向粘滞系数对应临近极限下黑三膜的低能引力子的吸收散射截面。 而a w = 4 s y m 理论中能量动量张量是无迹的，即体粘滞系数( = 0 1 1 1 。 一1 一 1 9 世纪5 0 年代，k u b o 便利用线性响应理论给出了切向粘滞系数及体粘滞系数的 表达式： 11， ，7 = 意l i m ，、d 4 x e 乱, , o ( t ) ( o 1 ) 二u ”u ，j 11， ( = 去1 1 黑z p ( t ) ( o 2 ) 厶o ”l ，j 其中，u 为频率，p = 一；曩为动量张量的迹，s = 巧一p 表示为动量张量的无迹部 分。在这里，k u b o 公式中的流流关联可表示成零频率极限下的粒子谱密度导数。 但响应理论的计算很复杂，即使计算高温弱耦合物质的粘滞系数也要对无限个费曼 图进行求和。j e o n 和y a f f e 利用梯形图求解出弱耦合相互作用的高温入西4 理论的粘滞 系数【1 2 , 1 3 】。并得出叩o ( t 3 入2 1 而且( 相对7 7 很小，( 7 7 1 0 。之后，线性响应理论 也被用来计算q e d 和q c d 物质的粘滞系数，侯德富教授等人更是证明精确的线性 响应理论的计算结果与输运理论的线性解相等f 1 4 , 1 5 j 。但这只限于高温弱耦合作用 系统的切向粘滞系数。 非平衡态的动力论是描述系统处于热力学非平衡态向平衡态演化的输运过程。 人们建立了动力论中单粒子分布函数所满足的输运方程，即波尔兹曼方程【2 】。然后 从波尔兹曼方程出发计算系统的粘滞系数。但系统中的碰撞项比较复杂，也是很难 计算的。所以人们对碰撞项的计算一般只考虑两体相互作用。但就是这样，至今为 止，也只能对波尔兹曼方程做近似求解。 利用动力论求解高温q c d 物质的粘滞系数的第一种近似方法便是弛豫时间近 似，这种近似方法忽略了碰撞项的贡献，直接讨论粘滞系数与弛豫时间的关联。 上世纪8 0 年代a h o s o y a 等人利用弛豫时间近似得出高温弱耦合q c d 物质的切向 粘滞系数叩o ( p q ；l o g ( q i l ) ，e = 0 1 8 】。之后，a m y 等人用变分法，计算了高 温q c d 物质的切向粘滞系数的领头阶及次领头阶，得到和a h o s o y a 等人相同的形 式【1 7 , 1 8 】。在此基础上，他们还讨论了共性变化系统中，高温q c d 物质的体粘滞系 数不为零，但很小；具体形式为( o ( 芒：磊【1 9 】。 近些年来，科学家们在相对论重离子对撞机( r h i c ) 中发现这些热介质 为强耦合作j 田q g p ( s q g p ) 2 0 , 2 1 , 2 2 j 。之后，人们更为关注低温强耦合q c d 物质 的粘滞系数，特别是相交点附近的体粘滞系数与系统熵密度的比值。目前， 对强耦合q c d 物质的研究一般用格点q c d 和a d s c f t 的方法。a d s c f t 碍j ：论证 明a w = 4 超对称规范理论的切向粘滞系数与系统熵密度的比值为1 4 7 r 【1 1 】，这 是q c d 物质的, 7 s 的最小极限【2 3 】。而格点q c d 给出体粘滞系数在相变点附近可能 发散【2 4 】，并且体粘滞系数与系统熵密度的比值在相变点有个峰值 2 5 ，2 6 j ；切向粘滞 系数与系统熵密度的比值在相变点有最小值。因此，最近人们更关注相变点附近体 粘滞系数的研究。但由于q c d 相变点附近的温度较低，系统处于强耦合作用，所 _ 2 一 i s 以人们对相变点附近体粘滞系数的研究一般借用格点q c d 或q c d 模型的数据，结 合系统的物质方程，求解系统的体粘滞系数及其与熵密度的比值。 虽然，在r h i c 中发现的q g p 为强耦合相互作用，但物理学家们还是相信，当 系统的温度t ( 2 4 ) 瓦时，随着耗散作用，这些热的q c d 物质还是可能变成弱 耦合的。所以，对弱耦合q c d 物质的粘滞系数的研究也是很有意义的。 本论文应用变分法思想计算高温弱耦合q c d 物质的粘滞系数。论文共分为四 章：第一章主要内容：介绍q c d 物质，讨论q c d 物质在局域平衡态下的线性波尔 兹曼方程和有效动力论理论中推导切向粘滞系数7 7 和体粘滞系数( 的表达式。这 一章是动力论计算粘滞系数的理论基础。第二章化简计算高温弱耦合q c d 物质的 碰撞项积分，分为两节：第一节化简计算2h2 散射过程的碰撞项积分，应用了 向前散射近似：第二节化简计算2h3 散射过程的碰撞项积分，本论文只计算纯胶 子等离子体的1 9 夕hg g g 软胶子韧致辐射过程的碰撞项积分。第三章利用变分法 计算高温q c d 物质的源函数和碰撞项的矩阵形式，从而计算得到高温q c d 物质 的粘滞系数的解析结果：这一章会给出变分法的推导过程，并在此基础上求得的 高温弱耦合的q c d 物质只考虑2h2 散射过程的切向粘滞系数：纯胶子等离子体考 虑夕夕hg g g 软胶子韧致辐射过程的贡献修正后的切向粘滞系数及其与熵密度的比 值；包含1 9 夕h 夕9 散射过程和- 9 9hg g g 软胶子韧致辐射过程的体粘滞系数及其与熵密 度的比值。最后给出本论文的小结和展望。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章理论基础 有效动力论研究高温弱耦合q c d 物质的粘滞系数，主要是求解动力论中的波尔 兹曼方程。本章从q c d 物质介绍，线性波尔兹曼方程及q c d 物质的有效动力论这 三部分介绍有效动力论求解粘滞系数的理论基础。 1 1q c d 物质介绍 人们常说的q c d 物质泛指在夸克和胶子层次上的物质形态。由于现在物理上 能被探测到的q c d 物质应是色中性的，因而又被称为夸克胶子等离子体( q u a r k g l u o np l a s m a ) ，简称q g p 量子色动力学( q c d ) 是q c d 物质的动力学基础。组成q c d 物质的成分粒子 有两种：夸克和胶子。夸克带有分数电荷，其自旋为1 2 ，属于费米子；其还有 三个色自由度( r 、g 、b ) 和六个味道自由度( u 、d 、s 、c 、b 、t ) 。胶子不带电 荷，它的自旋为1 ，属于波色子。夸克和胶子都可以参加弱电作用和强相互作用。 但人们更关心的是它们的强相互作用诱发的物理，并以q c d 作为研究由夸克和胶 子的强相互作用构成的q c d 物质的动力学基础。按照q c d 耦合常数的跑动性质： 当动量很大或距离很小时，q c d 物质的耦合常数小，相互作用具有渐近自由性； 而当动量小或距离大时，q c d 物质的耦合常数大，相互作用具有色禁闭性质。因 此，对于q c d 物质来说，既有强耦合系统又有弱耦合系统。对于弱耦合q c d 物 质，理论上是可以用微扰q c d 方法处理，而对于强耦合q c d 物质，微扰q c d 的方 法不适用，当前主要是用格点q c d 和与a d s c f t 来研究。 q c d 物质是由多粒子构成的系统，其理论基础为统计物理，主要有两个理论： 是在热力学平衡态的温度场论，二是在非平衡态的动力论。单从q c d 的动力学 观点来看，由于色紧闭性质，人们很难用动力学的方法，例如通过对核子碰撞， 从强子中分离出自由的夸克和胶子。但在热力学的观点来看，通过相变等热力学 手段，可以是强子物质相变成q c d 物质。上世纪7 0 年代，理论物理学家们就预言 了这种相变的存在【2 7 】，并在以后相继做了大量的研究，人们给出了图1 1 的q c d 相 图。简单的说，对于化学势为零时，相变的临界温度e 约为1 5 0 2 0 0 m e v ，其中格 点q c d 预言的临界温度为疋一1 7 5 _ m e v 。而冷密强相互作用发生相交的临界密度 约为( 3 一：o ) p o 。( p o 竺2 2 l o ：r k g l m 3 为正常强子物质的密度。) q c d 物质的实验基础是相对论重离子碰撞。在相对论重离子碰撞的实验中，通 过把巨大的动能转化成热能和对系统的压力，从而提供使强子物质相变成q c d 物 质所需的高温条件。并且，在2 0 0 4 年，人们在相对论重离子对撞机( r h i c ) 上发 4 _ 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 0 0 1 尉 夺奄 1 c o m p a c ts t a r s 图1 1 ：q c o 相图 n e tb a r y o nc l e n s i t yn l n o n o - 0 sf m 广3 现了强耦合q g p 。但有一种估算，认为当t ( 2 4 ) 正时，q c d 物质为弱耦合的。 根据宇宙大爆炸理论的标准模型，在宇宙形成早期，有高温q c d 物质存在，以 及天体物理学家们根据对中子星内部密度的估算，推测在致密星内部可能存在高 密q c d 物质。因而，对q c d 物质的研究有助于人们了解早期宇宙的演化以及致密 星体内部结构。q c d 物质作为人类揭示的一种新物态，已成为国际上的一个重大 研究领域。而且对q c d 物质的研究很可能会导致物理观念上的突破。 目前，一般认为夸克和胶子通过色自由度相互耦合，并且色对称性严格遵 循s u ( 3 ) 对称，胶子属于色s u ( 3 ) 群伴随表示的八重态，即有八个胶子。因而， 传递强相互作用的胶子场是色s u ( 3 ) 群的规范场；但八个胶子场之间不是完全对 易的，属于非阿贝尔规范场( 杨一米尔斯场) 。其特点是，胶子本身带有色，它 们不单可以与夸克产生强相互作用，胶子和胶子之间也有强相互作用。q c d 的 色规范群s u ( 3 ) 群的生成元可以写为g n ( a 表示色指标，a = 1 ，2 ，8 ) 。生成 元铲为3 3 g e l l - m a n n 矩阵的矩阵元，满足如下对易关系： g 口，g 6 】= t 厂如g c 这里，如是s u ( 3 ) 群的结构常数。 q c d 的规范场月竺带有颜色，其中口为色指标。则场强为： ( 1 1 ) 砑p = 扩a ：一a ：一夕厶6 c a 6 1 1 , 儿1 c 2( 1 2 ) - 5 一 一乏乏一卜墅暑2cl掣 位论文 r st h e s i s 夕为q c d 物质中无量度耦合常数。 因为q c d 规范场中夸克带有颜色，所以夸克场砂也应该有色指标i ，其中i = 1 ，2 ，3 。q c d 的拉氏量密度表示成： c = 矽( i 无一m 一9 乒口g 口) 妒一云彤p e 乞 ( 1 3 ) 式中第一项为夸克的动能。第二项为夸克的质量矩阵，在味空间中表示为对角线。 第三项为夸克和胶子之间的耦合作用。 在场论中，系统的能量动量张量p p 与拉氏量密度c 之间有如下关系： p p = 焘如一1 9 ( 1 4 ) i ，p y o 由自由夸克和胶子组成的q c d 物质系统，可以用流体力学来描述。流体的性质 可以用流体的状态方程来求解，而流体的状态方程是以能量动量张量p p ( ，x ) 为基 础的。这里，z 和x 分别表示时间和空间变量。产为系统的能量密度，p o 为系统的 动量密度，产为系统的能量流密度，即为系统的动量流密度( 即压强张量) 。流 体的能量和动量局域守恒式可以写成： 乱t u p = 0( 1 5 ) 在流体力学中，假设系统处于局域热力学平衡状态，系统的能量动量张量可以 表示为： p p = 一p 夕p p + ( e + p ) u p u p( 1 6 ) 其中，p 为局域压强，e 为能量密度，乱p 为流速。如果考虑流体的局域静止系，那 么u d = ( 1 ，o ，o ，o ) ，t o o = ，掣= p 静，露= 0 。 如果是非平衡态系统，人们常考虑系统的局域平衡，把能量动量张量展开为平 衡项与耗散项之和： t 炒= e a + t ( 1 7 ) 在局域平衡静止系中，耗散项满足乱p 牡- ，7 w = 0 。 p v - - - - 7 7 【v u j + v j 仳 一亏2 如v j t 正l 】一e 如v 。t 上l ( 1 8 ) 式中的7 7 表示切向粘滞系数，( 表示体粘滞系数【2 8 】。 这一节介绍t q c d 物质的基础，并在流体力学中给出能量动量张量及粘滞系数 的定义式。下一节，介绍非平衡态的动力论，给出线性波尔兹曼方程的表达式。 1 2 线性波尔兹曼方程 统计物理的目的是通过微观物理量的统计平均表示宏观物理量来描述系统的宏 观性质。而动力论的基本思想就是用相空间的分布函数描述系统的宏观物理量。系 统中的宏观量可以用分布函数的矩来表示。人们根据系统的动力论建立分布函数所 满足的输运方程，即波尔兹曼方程。 在非平衡态的动力论中，系统的能量动量张量表示为分布函数的二阶矩： p p = 寨咖p 舳，z ) ( 1 9 ) 其中，蟛兰矿p o 动量空间中粒子的三维矢量速度。f ( p ，z ) 为相空间的分布函数。 根据式( 1 8 ) 知道，如果能求出系统的能量动量张量，则可以根据其耗散项求 出粘滞系数。而由式( 1 9 ) 可知，在非平衡态动力论中，系统的能量动量张量可 以由分布函数的二阶矩确定。本节正是介绍动力论中求解分布函数的波尔兹曼方 程，并利用局域平衡条件，给出波尔兹曼方程的线性近似表达式，即线性波尔兹曼 方程。 在非平衡态统计物理中，考虑粒子相互碰撞的影响，则分布函数，( x p ，艺) 在任 何情况下都满足波尔兹曼方程： 【爰+ v p 。瓦0 - j rf a t 若】，( x ，p = - - c f ( p x t ) ( 1 1 0 ) 式中，f ( x ，p ，z ) 为相空间的分布函数。v p = p 兰p i n 表示为动量空间中粒子的速 度。f z 为外场力，但它与粘滞系数无关。c f ( p ，x ，亡) 表示两体碰撞引起的相空间 中分布函数的变化，一般称为波尔兹曼方程的碰撞项。 本论文计算高温弱耦合q c d 物质的粘滞系数时，只考虑2h2 散射过程的碰撞 项和2h3 散射过程的碰撞项1 2 9 1 ： c s f ( p ) 】= 四“2 【厂( p ) 】+ 谚”3 ，( p ) 】( 1 1 1 ) 而 锈川) 卜丽1 l 肌| 朋盘( p 1 p 2 p 3 p 4 ) 1 2 ( 2 删4 ( p 1 + 岛一岛一只) 厶( p 1 ) ，6 ( p 2 ) 1 土a ( p 3 ) 】 1 士f d ( p 4 ) 】 - 1 - ! - 厶( p 1 ) 】 1 士f b ( p 2 ) 】 ( p 3 ) 厶( p 4 ) )( 1 1 2 ) 式中的虼处于口态相空间的粒子的自旋自由度与色自由度的乘积( 夸克的= 6 ，胶 一7 _ 一 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 子的吩= 1 6 ) 。 谨棚【厂( p 。) 】= 丽1 孺三l 帆 k i m a b ( p l , p 2 ；p 3 , p 4 , k ) 1 2 ( 2 7 r ) 4 6 ( 4 ( p 1 + p 2 一p 3 一p 4 一k ) 五( p 1 ) ( p 2 ) 【1 士厶( p 3 ) 】【l 土九( p 4 ) 】 1 士丘( k ) 】 - 1 土厶( p 1 ) 1 1 士 ( p 2 ) 1 厶( p 3 ) ( p 4 ) ，e ( k ) )( 1 1 3 ) ( 1 1 2 ) 式和( 1 1 3 ) 式的大括号中的第一项表示损失项，第二项表示获得项。 如果假设高温q c d 物质中的夸克( 反夸克) 和胶子的质量为零，则四维动量满 足矿兰i p l 。上式，用厶代替洛伦兹不变动量积分： z 兰j 研d 3 研p ( 1 1 4 ) 式中i 朋丝( p 1 ，p 2 ；p 3 ，p 4 ) 1 2 和l m 6 a b ( p 1 ，p 2 ；p 3 ，p 4 ，k ) 1 2 分别表示2 h2 散射过程 和2h3 散射过程中的散射振幅的矩阵元。 非平衡态的动力论中，考虑系统处于静止系的局域平衡态。可以把系统中分布 函数在平衡态上展开，并取一阶近似( 线性近似) f ( p ，z ) = z 叼( p ( z ) ；u r ( z ) ，t q ( z ) ) + c a ( p ，z ) ；( 1 1 5 ) 式中厶口( p ( z ) ；u p ( z ) ，肛a ( z ) ) 表示平衡态系统的分布函数，满足费米或波色分布，为 小量。并且线性近似的展开项f l ( p ，z ) f ( p ，z ) 。 在分布函数展开的基础上，对碰撞项做如下展开，并取其线性近似。 c f 】= c a 】+ c 】+ ( ) ( 片) ( 1 1 6 ) 其中f o ( p ，z ，t ) = 丘q ( p ，z ，t ) l a ( z ) ；u v ( z ) 舢q ) 为平衡态系统的分布函数，c f d = o 表示 平衡态系统的碰撞项。c m 】为碰撞项的一阶展开项，则波尔兹曼方程可以改写为： 【爰+ v p 。麦+ f 硎。毒1 矗( n 墨) = 一c f ( p ) ( 1 1 7 ) 这就是线性波尔兹曼方程。本论文中的线性碰撞项c f l ( p ) = c 2 - 2 ( p ) + c 2 - , 3 ( p ) 。 这里 2 * - * 2 】= 赤若l 帆嗍( p 1 p 2 p 3 p 4 ) 1 2 ( 2 删4 ) ( p 1 + r _ r 邶) 舒( p 1 ) f o b ( p 2 ) 1 土靠( p 3 ) 】 1 - 4 - 君( p 4 ) 】 x 斤( p 1 ) + 片( p 2 ) 一片( p 3 ) 一片( p 4 ) 】 ( 1 1 8 ) l m 恐( p 1 ，p 2 ；p 3 ，p 4 ，k ) 1 2 p a ，p 4 ，k b 一只一) 艿( p 3 ) 】【1 士膏( p 4 ) 】【1 士艿( k ) 】 一片( p 3 ) 一砰( p 4 ) 一i f ( k ) 】( 1 1 9 ) 在上一节中介绍了动力论中的线性波尔兹曼方程，本节将用变分思想，推导波 尔兹曼中碰撞项对粘滞系数的贡献。本节分两个小节分别给出切向粘滞系数和体粘 滞系数的表达式。 1 3 1 切向粘滞系数的表达式 考虑高温弱耦合q c d 物质中所有的夸克( 反夸克) 和胶子的质量都为零时。对 局域平衡态系统的分布函数做如下展开： ，8 ( p ，正) = 筋( p ，z ) + 片( p ，z ) 1 士龙( p ，z ) 】片( p ，z ) ；( 1 2 0 ) 靠( p ，z ) 为平衡系统的分布函数。其中夸克q ，反夸克玩胶子g 的平衡态分布函数表示 为： 招= 万乒而1；露= 赢；始= 熹玎 ( 1 2 1 ) 利用上式，对波尔兹曼方程左边求微分，可以得到： c q ，, f ( p ，z ，t ) = f o ( p ) 1 - 4 - 矗( p ) 】钆 p ( u ( z ) p + 肛a 畦) 】i u 扛) ：0 ( 1 2 2 ) 在这里，为了求出切向粘滞系数，对线性波尔兹曼方程( 1 1 7 ) 左边的式子进 行改写，构造出系统的能量动量张量中的耗散项形式。 l h s = p 片( p ) 1 士龙( p ) 】9 8 岛( p ) j 岛( z ) ( 1 2 3 ) 这里的粕( z ) = v t 哟+ v j u i 一；如v u ，岛( 叠) = 丢( 武力一 如) 。 如果线性波尔兹曼方程的左边改写为( 1 2 3 ) 式，要使线性波尔兹曼方程有 解，则右边线性碰撞项中的分布函数的一阶展开项片( p ，z ) 必须有如下形式【1 7 】； 片( p ，z ) = p 2 x 0 ( z ) x 玉( p ) ( 1 2 4 ) 这里，x 易( p ) = ( p ) x 8 ( i p l ) 。 一9 - 一 根据上面式子，结合线性波尔兹曼方程，可以得到 5 赫( p ) = ( c x 嵇) 8 ( p )( 1 2 5 ) 其中是( 1 2 5 ) 中的( p ) 为系统切向粘滞系数的源函数，在这里定义为： 5 勃( p ) 三一t r y ( p ) 14 - 偌( p ) 】簖( p ) ( p )( 1 2 6 ) 由切向粘滞系数的结构式，根据岛( 叠) p ( ) = 1 。可以决定醛( p ) = i p l 。 在本论文中，为了求得切向粘滞系数，将用变分法求解式( 1 2 5 ) 。这里先定 义一个数学内积积分的表达式： ( ，1 9 ) 兰p 3 蚝( 劫o ) 舳) 夕( p ) ，p 因此 ( 孙) = 一乍莩，a 3 p ，f a p ) 【1 士肋) 】彬( i p i ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) f 4 3， ( x 巧，c 2 h 2 x 巧) = 鲁 l m c d a b ( p 1 ，p 2 ；p 3 ，p 4 ) 1 2 ( 2 7 r ) 4 6 ( 4 ( r + 岛一尼一只) 。曲c dj p l , p 2 , p 3 , p 4 舒( p 1 ) f o b ( p 2 ) 1 - 4 - 艿( p 3 ) 】f 1 土( p 4 ) 】 x x ：j ( p 1 ) + x b j ( p 2 ) 一x i 易( p 3 ) 一x 易( p 4 ) 】2 ( 1 2 9 ) ( 彬2 h 3 x 巧) - 1 1 2 0 三l ，此翩凰 k i 朋b 之( p l , p 2 ；p 3 , p 4 , k ) 1 2 x ( 2 7 r ) 4 6 ( 4 ) ( p 1 + b p s p 4 一k ) 舒( p 1 ) f o b ( p 2 ) 1 士艿( p 3 ) 】【14 - 膏( p 4 ) 】【14 - 菇( k ) 】 x x 弓( p 1 ) - i - x b j ( p 2