（运筹学与控制论专业论文）重量为五的最优光正交码的组合构作.pdf

y n b b 1 3 8 摘要 一 个 伽 ， k , 幻 光 正 交 码c , 简 记 作( v , k , 习 - 0 0 c ， 定 义 为 一 族 长 为 v , 重量为 ( x o , x 1 ， 二 ( 1 ) k的( 0 , 1 ) 序 列 称 为 码 钊 。 并 且 对 于 任 意两 个 相 异 码 字二二 ， x_ 1 ) e c 与， 二( y o , y l ， 二， y _ 1 ) e c满 足: 艺 0 5 t-1 艺 x t x t + i a , i 牟0 ( m o d v ) ; ( 2 ) x t y t 十 c久 ， 任意整数i . o t _5 , 最 优( v , k , l 卜 o o c的 存 在 性问 题 显 然 更加 困 难 ， 据 我 们 所 知 仅 有 少 数 几 类 最 优( v , 5 , 1 ) - o o c 存 在 问 题 被 解 决 . 如t a n g 和 y 认 2 2 1 得 到 的 最 优( 1 5 v , 5 , 1 ) - o o c ， 其 中 正 整 数。 的 质 因 子 均 模4 余1 且 大 于5 ; h a n n i 1 5 1 得 到 的 最 优( 5 p , 5 , 1 关 o o c ， 其中p为 模4 余1 且 大 于5 的 质 数 ; 以 及c h e n 和z h u 7 构 作 的( q , k , l ) - o o c , 这 里 素 数 幕 未 经作 者、 导帅同 意 勿全文公布 4 三1 ( m o d k ( k 一1 ) ) 且k =4 , 5 ， 本 文 将 给 出 一 些 重 量 为 五 的 最 优 光 正 交 码的组合构作 全文共分五章: 第一章， 综述光正交码的研究背景和当前领域的研究状况， 并且给出了一 些基本的名词和事实， 第 二 章， 主 要 运 用 重 要 的 组 合结 构s k e w s t a r t e r , 证明 了 存 在 一 个 最 优 ( 。 ， 5 , 1 卜 o o c ， 其中。 e 8 0 u , 1 0 0 u , 1 2 0 u , 1 4 0 u , 1 6 0 u , 1 8 0 u ， 且 正 整数 u的质因子均大于 5 . 第三章， 综合运用s k e w s t a r t e r 以及关于特征和的we i l 定理， 给出一 个 最 优( 6 0 u , 5 , 1 ) - o o c的 组 合 构 作， 其中 正 整 数。 的 质因 子 均 大 于5 第四章， 借助于另一个重要的组合结构差阵， 归纳证明了 对于任意的正整 数t 和 非 负 整 数: ， 均 存 在 一 个 最 优( 3 1 5 仙, 5 , 1 关 o o c , 这 里二的 质 因 子 均 为模 4余 1 且大于 5的质数. 第五章， 给出本文的主要结论， 并讨论进一步的研究问题. 关祖词 理;差阵 光正交码;9 一 正则 循环填充 设计;s k e w s t a r t e r ; we i l 定 ab s t r a c t l e t 二 ， k a n d a b e p o s i t iv e i n t e g e r s . a( 。 ， k , a ) o p t i c a l o r t h o g o - n a l c o d e , o r b r i e fl y a ( v , k , a ) - o o c , c , i s a f a m i l y o f ( 0 , 1 ) s e q u e n c e s ( c a l l e d c o d e w o r d s ) o f l e n g t h” a n d w e i g h t k s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g t w o p r o p e rt i e s : 仁 ) ( t h e a u t 。 一 c o r r e l a t i o n 艺 o t o - l x t x t + : a f o r i n t e g e r i $ 0 ( m o d v ) ; p r o p e r t y ) a n y x”( x 0 x 1 ， 二， x_ 1 ) e c a n d a n y ( 2 ) ( t h e c r o s s - c o r r e l a t i o n 艺 a t 5 , t h e e x i s t e n c e p r o b l e m f o r a n o p t i m a l ( 。 ， k , i ) - o o c i s a p p a r e n t l y m o r e d i f fi c u l t . t o o u r b e s t k n o w l e d g e , t h e r e a r e o n ly f e w c l a s s e s o f o p t i m a l ( v , 5 , 1 ) - 0 0 0 s s o lv e d s u c h a s a n o p t i m a l ( 1 5 v , 5 , 1 ) - o o c w i t h a p r o d u c t o f p r i m e s c o n g r u e n t t o 1 m o d u l o 4 a n d g r e a t e r t h a n 5 d u e t o t a n g a n d y i n 2 2 1 , a n o p t i m a l ( 5 p , 5 , 1 ) - o o c f o r a n y p r i m e p = 1 ( m o d 4 ) a n d p :a 5 d u e t o h a n n i 1 1 句a n d a n o p t i m a l ( q , k , l ) - o o c w i t h q = 1 ( m o d k ( k 一1 ) ) a p r im e p o w e r a n d k =4 , 5 d u e t o c h e n a n d z h u 刁 . i n t h i s t h e s i s , * a r e i n t e r e s t e d i n t h e c o n s t r u c t i o n a n d t h e e x i s t e n c e p r o b l e m o f a n o p t i m a l o o c o f w e i g h t fi v e w i t h a =1 . t h e r e a r e fi v e c h a p t e r s i n t h e t h e s i s : t h e fi r s t c h a p t e r in t r o d u c e s s o m e b a s i c c o n c e p t s a n d t h e b a c k - g r o u n d o f o o c i n t h e s e c o n d c h a p t e r , m a k i n g u s e o f a n i m p o r t a n t c o m b i n a t o r i a l c o n fi g u r a t i o n , c a l l e d s k e w s t a r t e r s , w e s h o w t h a t t h e r e e x i s t s a n o p - t i m a l ( v , 5 , 1 ) - o o c , w h e r e 。 6 0 u , 8 0 u , 1 0 0 u , 1 2 0 u , 1 4 0 u , 1 6 0 u , 1 8 0 u a n d二 i s a p r o d u c t o f p r i m e s g r e a t e r t h a n 5 . i n t h e t h i r d c h a p t e r , v i a s k e w s t a r t e r s a n d we i l s t h e o r e m o n c h a r a c t e r s u m s a c o m b i n a t o r i a l c o n s t r u c t i o n i s g i v e n f o r a n o p t i m a l ( 6 0 u , 5 , 1 ) - o o c , w h e r e u is a p r o d u c t o f p r i m e s g r e a t e r t h a n 5 . i n t h e f o r t h c h a p t e r , w e p r o v e i n d u c t i v e l y t h a t t h e r e e x i s t s a n o p t i m a l ( 3 5 w , 5 , 1 ) - o o c f o r a n y n o n n e g a t i v e i n t e g e r s a n d p o s i t i v e i n t e g e r t w h e n e v e r w i s a p r o d u c t o f p r i m e s c o n g r u e n t t o 1 m o d u l o 4 a n d g r e a t e r t h a n 5 t h e fi f t h c h a p t e r g i v e s s o m e c o n c l u s i o n s a b o u t a b o v e r e s u l t s a n d b r i n g s f o r w a r d s o m e f u r t h e r r e s e a r c h p r o b l e m s . k e y w o r d s o p t i c a l o r t h o g o n a l c o d e ; g - r e g u l a r c y c l i c p a c k i n g ; s k e w s t a r t e r ; we i l s t h e o r e m; d i f f e r e n c e ma t r i x 食 自- e己il 二 月 ，=f.j . 一个 ( v , k , 习光正交码c ， 简记作( v , k , 习 - 0 0 c ， 定义为一族长 为。 ， 重量为k 的( 0 ,1 ) 序列( 称为码字 ) 并满足: ( 1 )自 相关性 e x t x t + i入 ， o t v -1 及任意整数i -00 对 于任意x =( x 0 , x 1 , . . . ， w - 1 ) e c ( m o d v ) ; ( 2 ) 互相关性 e x t y t + i _ 入 ，对于任意两个相异码字 二 = o t v -1 ( x 0 , x 1 , , x . - i ) c与 ， 任意整数i . =( y o , y i , , y v - i ) e c ， 及 这里， 所有下标运算均在模。 下进行 一个( v , k , 勺- 0 0 c称为 最优的， 若它含有 1 1 i v 二 1 1 v 二 2 1 . v - a h i l l k k一1 k一2 l k一a l l , 个码字. 光正交码具有良 好的光学相关特性， 最初的研究动机是由于在 光纤信道的码分多址系统 ( c d ma ) 中 有着重要的应用. 近来， 在 基于光纤信道的局域网络和高速率的c dma通信系统中，光正交 码被用来实现多媒体的传输8 , 1 0 , 1 8 , 1 9 , 2 0 , 2 1 . 光正交码与组合设计有着紧密的 联系. 特别地， 一个最优( v , k , l ) - 0 0 c等价于一个最优循环填充设计c p ( k , l ; v ) . 从差族的观点看， 一个循环填充设计c p ( k , l ; v ) ， 可以定义为一族几 上的k元子集 2 0 0 3年北方交通大学硕士研究生学位论文 ( 称为基区组) b = bi, . . , 及 ， 使得模。 的每一个非零剩余在由b 产生的差多重集 0 1 3 = a 一b : a , b b , a 尹b , be 1 3 1 中至多出现一次. 如果对于v 的某些取值， 模v 的每一个非零剩余 在 1 3 中 恰出现一次， 则该循环填充也就是平衡不完全区组设计， 记 作c b (k , l ; v ) 在 一 个c p ( k , l ; v ) 中 ， 显 然 有t k 瑟 场 当 t 二 求 瑞1 时 ， 该c p ( k , 1 ; v ) 称 为 是 最 优 的 一 个c p ( k , l ; v ) 称 为 是9 - 正则的， 如果子集几 o 1 3 形成几 中一个阶为9 的加法子群. 下面三个引理取自! 2 3 : 引 理1 .1 ( 2 3 ， 定 理2 .1 )一 个最 优( v , k , l ) - o o c 等价于一个最 优c p ( k , l ; v ) . 引理 1 . 2 ( 2 3 ， 定理 2 .6 )如果 1 g5 ， 要解决最优( v , k , l 升 o o c的存在性问 题显然更加困 难. 据我们 所知， 仅有少数几类最优( v , 5 , 1 ) - o o c的 存在性间 题被解决. 如t a n g 和y i n 2 2 得到的 最优( 1 5 v , 5 , 1 ) - o o c , 其中 正整数。 的 质因 子 均模4 余1 且大于5 ; h a n n i 1 5 得到的 最优 ( 5 p , 5 , 1 ) - o o c ， 其中p 为模4 余 1 且大于5 的质数;以及c h e n 和 z h u 7 构作的 ( q , k , l ) - o o c ， 这里素数幂q 二1 ( m o d k ( k 一1 ) ) 且 k 二4 , 5 . 本文将给出 参数为 v , 5 , 1 ) 的最优光正交码的一些组合构 作， 在本文第二章中， 我们 主 要运用 重要的 组合 结构s k e w s t a r t e r , 证明 存 在一个 最优( v , 5 , 1 ) - o o c ， 其中。 e 8 0 u , 1 0 0 u , 1 2 0 u , 1 4 0 u , 1 6 0 u , 1 8 0 u ， 且正整数 。的质因子均大于5 . 在第三章中， 我们将 综合运用s k e w s t a r t e r 以及关于特征和的we i l 定理， 给出一个最优 ( 6 0 u , 5 , 1 ) - o o c的组合构作， 其中正整数。的质因子均大于5 . 在 第四章中， 我们借助于另一个重要的组合结构差阵，归纳证明了对 于 任意的 正整数t 和非负 整 数s ， 均 存在 一个 最 优( 3 3 w w , 5 , 1 ) - o o c , 这里w的质因子均为模4 余 1 且大于5 的质数. 第二章 最优( v , 5 , 1 ) - o o c 的若干构作 2 . 1 若干c p ( 5 , 1 ; v ) 的直接构作 本章将运用 s k e w s t a r t e r 给出若干 c p ( 5 , 1 ; v ) 的新的直接构 作.其中s k e w s t a r t e r 定义如下: 设( ， + ) 是” 阶 阿贝 尔 群，g 上的一 个s k e w s t a r t e r 上的无序对组成的集合s 二 二 ， y i : 1 i ( 。 一1 ) / 2 , 定义为g 且满足: ( 1 ) x i : 1 i ( v 一1 ) / 2 u y i : 1 ( 。 一1 ) / 2 =g 0 ; ( 2 ) 1 ( x 一y i ) : 1 i ( 。 一1 ) / 2 =g o ; ( 3 ) f ( x i + y i ) : 1 i ( v 一1 ) / 2 =g 0 1 由定义知，s k e w s t a r t e r 存在的必要条件是v 为奇数. 而且， 如 果x= x i : 1 i ( 。 一 1 ) / 2 与y= ， : 1 i ( v 一 1 ) / 2 1 ， 那么 不妨设x=- y ， 于是就有x u ( - x ) =y u ( - y ) =xu y二g 0 . 对于s k e w s t a r t e : 的已 知结果， 我们有如下引理. 引理2 . 1 ( 6 )当正整数。 满足g e d ( v , 3 0 ) =1 时，几 上总存 在一个s k e w s t a r t e r . 下面， 我们就借助于s k e w s t a r t e r 给出一些c p ( 5 , 1 ; v ) 的具体 构造. 引理2 .2 当正整数。 满足g c d ( v , 3 0 ) 二1 时， 总存在一个8 0 - 正则c p ( 5 , 1 ; 8 0 v ) . 2 0 0 3年 北方交通大学硕士研究生学位论文5 证明: 由引 理2 . 1 , 几上存在一个s k e w s t a r t e r s ; 又g e d ( v , 8 0 ) = 1 ， 有 z xz 8 。 同构于z 8 0 v . 从而 c i 可由 下面4 ( v 一1 ) 个基于加群 z x z 8 o 的基区组构成: ( x 一 y , 0 ) , ( y 一 x , 0 ) , ( x + y , 4 ) , ( 0 , 6 ) , ( - x 一 y , 4 6 ) , ( x , 0 ) , ( y , 1 8 ) , ( 0 , 3 9 ) , ( - x , 6 0 ) , ( 一 ， ， 7 8 ) , ( b x , 0 ) , ( - 6 x , 1 ) , ( b y , 1 5 ) , ( - 6 y , 2 7 ) , ( 0 , 4 4 ) , 七 ( a x , 0 ) , ( - b x , 3 ) , ( b y , 9 ) , ( - b y , 3 4 ) , ( 0 , 6 7 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - b x , 4 ) , ( b y , 1 1 ) , ( - b y , 5 6 ) , ( 0 , 6 1 ) . 这里6 = 一 1 , + 1 ， 且 x , y 跑遍s k e w s t a r t e r s 上所有无序对. 此时， 上述基区组的差可按第一坐标的值分成如下十二个部分: 1 . ( 1 2 ( x 一y ) , t ) : x , y e s , t 二0 ; 2 . ( 1 2 ( x +y ) , t ) : x , y s , t =4 0 ; 3 . 心 士 ( x 一 y ) , t ) : x , y e s , t士1 8 ; 4 . ( 土 ( x +y ) , t ) : x , y e s , t =士 3 8 ; 生戮 士士 5 . ( 2 x , t ) , ( 2 y , t ) , ( - 2 x ， - t ) , ( - 2 y ， - t ) : x , ， s , t 6 , 3 4 ， - 2 0 ; 6 7 ( x , t ) , ( y , t ) , ( - x ， - t ) , ( - y ， - t ) : x , y e s , t = 2 1 , 3 9 ; . ( 士 2 x , t ) : x , y s ; t =士 1 ， 士 5 ， 土 7 ; 8 . ( 士 2 y , t ) : x , y s , t =士 3 ， 士 8 , 士 2 4 ; 9 . ( 士 x , t ) : x , y e s , t =士 1 5 , 土 1 6 , 士 2 7 , 士 2 8 , 士 3 2 ， 士 3 5 ; 2 0 0 3年 北方交通大学硕士研究生学位论文 1 0 . ( 士 y , t ) : x i y s , t =士 9 ， 士 2 3 ， 士 2 6 ， 士 2 9 ， 士 3 1 , 士 3 3 ; 1 1 . ( 士 ( x 一 ， ) i t ) : x , y e s , t =士 1 1 ， 士 1 3 , 士 1 9 ， 士 2 2 ， 士 2 5 , 士 3 6 ; 1 2 . ( 士 ( x + y ) , t ) : x , y e s , t =士 1 0 ， 士 1 2 ， 士 1 4 ， 士 1 7 ， 士 3 0 ， 士 3 7 . 由于s为 几 上的一个s k e w s t a r t e r ， 我们容易验证上述基区组 中( z x z 8 0 ) ( 0 x z 8 0 ) 作为差恰出 现一次， 余下的 0 ) x z 8 。 显 然 是几x z 8 。 的 子加群. 因 此存在一 个8 0 一 正则c p ( 5 , 1 ; 8 0 v ) ， 这里 。 的质因子均大于5 类似地， 我们可以有下面的一些构造. 引 理2 . 3 当 正整数v 满足g c d ( v , 3 0 ) 二1 时， 总存在一个1 0 0 - 正则c p ( 5 , 1 ; 1 0 0 v ) . 证明 : 由 引 理2 .1 , 几上 存 在 一 个s k e w s t a r t e r s ; 又g c d ( v , 1 0 0 ) 1 ， 有z x z l o 。 同构于z i o 、 从而，c i 可由下面5 ( v 一1 ) 个基于加 群z x z l o 。 的基区组构成: ( 二 一 y , 0 ) , ( ， 一 - , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 一 二 一 y , 8 ) , ( x + y , 5 8 ) , ( x , 0 ) , ( ， ， 1 9 ) , ( 0 , 4 7 ) , ( - x , 7 5 ) , ( 一 ， ， 9 4 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 1 ) , ( 6 y , 4 ) , ( - b y , 1 4 ) , ( 0 , 7 4 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 5 ) , ( 6 y , 2 3 ) , ( - 6 y , 6 2 ) , ( 0 , 6 9 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 9 ) , ( 6 y , 2 0 ) , ( - 6 y , 6 s ) , ( 0 , 8 5 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 1 2 ) , ( 6 y , 3 4 ) , ( - 6 y , 6 3 ) , ( 0 , 7 9 ) , 这里6 = 一 1 , + 1 ， 且 二 ， ， 跑遍s k e w s t a r t e r s 上所有无序对. 直 接 验证可知， 上述 基区 组中( z x z o o ) ( o x zo o ) 作 为差恰出 现 2 0 0 3年北方交通大学硕士研究生学位论文 一次， 余下的 0 x z 1 o 。 显然是zx z i o 。 的子加群. 因此存在1 0 0 - 正则c p ( 5 , 1 ; 1 0 0 v ) ， 这里。 的质因子均大于5 . 引 理2 . 4 当 正整数。 满足g c d ( v , 3 0 ) 二1 时， 总存在一个1 2 0 - 正则c p ( 5 , 1 ; 1 2 0 v ) . 证明 ; 由 引 理2 . 1 , 几上 存在一 个s k e w s t a r t e r s ; 又g c d ( v , 1 2 0 ) = 1 ， 有zx z 1 2 。 同 构于z 1 2 a 从而，ci 可由 下面6 ( v 一1 ) 个 基于加 群几 x z 1 2 0 的基区组构成: ( x 一 y , 0 ) , ( y 一 x , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 一 二 一 y , 1 0 ) , ( x + y , 7 0 ) , ( x , 0 ) , ( y , 2 2 ) , ( 0 , 5 6 ) , ( - x , 9 0 ) , ( 一 ， ， 1 1 2 ) , ( s - , 0 ) , ( - b x , 1 ) , ( b y , 4 ) , ( - b y , 1 3 ) , ( 0 , 3 7 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - b x , 5 ) , ( b y , 2 0 ) , ( - b y , 7 7 ) , ( 0 , 9 3 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 6 ) , ( b y , 2 5 ) , ( - b y , 5 1 ) , ( 0 , 8 0 ) , i ( b x , 0 ) , ( - b x , 7 ) , ( b y , 3 8 ) , ( - b y , 4 9 ) , ( 0 , 6 6 ) , ( b x , 0 ) , ( - b x , 1 4 ) , ( b y , 3 5 ) , ( - b y , 5 3 ) , ( 0 , 7 6 ) , 这里b 二 一 1 , + 1 ， 且 二 ， y 跑遍s k e w s t a r t e r s 上所有无序对. 直 接验证可知， 上述基区 组中( z x z 1 2 0 ) ( 0 x z 1 2 0 ) 作为差恰出 现 一次， 余下的 0 x z 1 2 。 显然是 zx z 1 2 。 的子加群 因而存在一个 1 2 0 一 正则c p ( 5 , 1 ; 1 2 0 v ) ， 这里。 的质因 子均大于5 . 引理2 . 5 当 正整 数。 满足g c d ( v , 2 1 0 ) = 1 时: 总存在一个1 4 0 - 正则c p ( 5 , 1 ; 1 4 0 v ) . 证明 : 由 引 理2 . 1 , 几上 存 在 一 个s k e w s t a r t e r s ; 又g c d ( v , 1 4 0 ) = 1 ， 有几x z 1 4 。 同 构于z 1 4 0 v . 从而，b可由 下面7 ( v 一1 ) 个基于加 2 0 0 3年北方文通大学硕士研究生学位论文 8 群 z xz 1 4 。 的基区组构成: ( 二 一， ， 0 ) , ( y 一 x , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( - x 一， ， 1 2 ) , ( x +， ， 8 2 ) ) ( x , 0 ) , ( ， ， 2 5 ) , ( 0 , 6 5 ) , ( - x , 1 0 5 ) , ( - y , 1 3 0 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 1 ) , ( 6 y , 4 ) , ( - 6 y , 9 ) , ( 0 , 1 5 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 7 ) , ( 6 y , 2 0 ) , ( - 6 y , 5 2 ) , ( 0 , 9 1 ) 1 , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 1 6 ) , ( 6 y , 4 2 ) , ( - 6 y ) 5 9 ) , ( 0 , 1 0 6 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 1 8 ) , ( 6 y , 3 7 ) , ( - 6 y , 6 6 ) , ( 0 , 1 0 4 ) ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 2 1 ) , ( 6 y , 4 4 ) , ( - 6 y , 7 2 ) , ( 0 , 9 9 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 2 2 ) , ( 6 y , 4 6 ) , ( - 6 y , ”) 。 ( 0 , 1 0 9 ) ) , 这里6 = 一 1 , + 1 ， 且 x , y 跑遍s k e w s t a r t e r s 上所有无序对. 直 接 验证可知， 上述 基区 组中( z . x z 1 4 0 ) ( 1 0 1 x z 1 4 0 ) 作 为差恰出 现 一次， 余下的 0 ) x z 1 4 。 显然 是z v x z 1 4 。 的 子加群. 因 此存在一 个 1 4 0 一 正则c p ( 5 , 1 ; 1 4 0 v ) ， 这里。 的质因子均大于5 . 引理2 . 6 当正整数 满足g c d ( v , 3 0 ) =1 时，总存在一个1 6 0 - 正则c p ( 5 , 1 ; 1 6 0 v ) . 证明 : 由 引 理2 . 1 , 几上 存 在一 个s k e w s t a r t e r s ; 又g c d ( v , 1 6 0 ) = 1 ， 有zx z 1 6 。 同 构于z 1 6 从而，1 3 可由 下 面8 扣一 1 ) 个基于加 群z xz 1 6 。 的基区组构成: ( x 一 y , 0 ) , ( y 一 x , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( - x 一 y , 1 4 ) , ( x + y , 9 4 ) , ( 二 ， 0 ) , ( y , 2 8 ) , ( 0 , 7 4 ) , ( - x , 1 2 0 ) , ( 一 ， ， 1 4 8 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 1 ) , ( 6 y , 5 4 ) , ( - 6 y , 1 5 1 ) , ( 0 , 1 5 4 ) ) , 2 0 0 3年北方交通大学硕士研究生学位论文9 ( 5 x , 0 ) , ( - 6 x , 4 ) , ( b y , 4 3 ) , ( - 6 y , 1 1 5 ) , ( 0 , 1 3 9 ) , ( b x , 0 ) , ( - b x , 5 ) , ( b y , 2 7 ) , ( - 6 y , 3 8 ) , ( 0 , 8 9 ) , ( b x , 0 ) , ( - b x , 8 ) , ( b y , 5 0 ) , ( 一 y , 6 9 ) , ( 0 , 8 5 ) , ( 6 x , o ) , ( - 6 x , 1 3 ) , ( b y , 3 0 ) , ( - 6 y , 1 0 8 ) , ( 0 , 1 4 2 ) , ( b x , 0 ) , ( - 6 x , 1 5 ) , ( b y , 4 1 ) , ( - b y , 7 0 ) , ( 0 , 1 2 8 ) , ( b x , 0 ) , ( - b x , 2 0 ) , ( 6 y , 5 7 ) , ( - 6 y , 1 0 1 ) , ( 0 , 1 2 4 ) , 这里b = 一 1 ， 十 1 ， 且 x , 好跑遍s k e w s t a r t e r s上所有无序对. 直 接验证可知， 上述基区 组中( z x z 1 6 0 ) ( 0 x 7 x 1 6 0 ) 作为差恰出 现 一次， 余下的 o x z 1 6 。 显然是zx z 1 6 。 的 子加群. 因 此存在一个 1 6 0 一 正则c p ( 5 , 1 ; 1 6 0 v ) ， 这里。 的质因 子均大于5 . 引 理2 . 7 当 正整数。 满足g c d ( v , 3 0 ) 二1 时， 总存在一个1 8 0 - 正则c p ( 5 , 1 ; 1 8 o v ) . 证明 : 由 引 理2 .1 , 几上 存在 一 个s k e w s t a r t e r s ; 又g c d ( v , 1 8 0 ) = 1 ， 有 z x z 1 8 。 同构于z 1 8 0 v . 从而，c i 可由下面8 ( 。 一1 ) 个基于加 群 几 x汤8 0 的基区组构成: ( x 一 ， ， 0 ) , ( y 一 x , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( - x 一 y , 1 6 ) , ( x + y , 1 0 6 ) , ( 二 ， 0 ) , ( - x , 4 5 ) , ( 0 , 8 3 ) , ( y , 1 2 1 ) , ( - y , 1 6 6 ) , ( 6 x , 0 ) , ( - 6 x , 1 0 ) , ( b y , 4 7 ) , ( - 6 y , 5 8 ) , ( 0 , 1 1 1 ) , ( b x , 0 ) , ( - b x , 9 ) , ( b y , 6 1 ) , ( - b y , 1 0 2 ) , ( 0 , 1 0 5 ) , ( b x , 0 ) , ( - b x , 2 8 ) , ( b y , 9 4 ) , ( - b y , 9 5 ) , ( 0 , 1 1 7 ) , ( b x , 0 ) , ( - b x , 4 ) , ( b y , 4 0 ) , ( - s y , 1 5 0 ) , ( 0 , 1 5 5 ) , ( b x , 0 ) , ( 一 5 - , 6 ) , ( b y , 2 7 ) , ( - 5 y , 1 0 9 ) , ( 0 , 1 2 6 ) , 2 0 0 3年北方交通大学硕士研究生学位论文 ( b x , 0 ) , ( - b x , 7 ) , ( b y , 4 2 ) , ( - b y , 5 0 ) , ( o , 6 2 ) , ( b x , 0 ) , ( - b x , 1 3 ) , ( b y , 3 1 ) , ( - b y , 4 6 ) , ( 0 , 1 5 4 ) , ( b x , 0 ) , ( - 6 x , 1 9 ) , ( 6 y , 5 1 ) , ( - 6 y , 1 0 7 ) , ( 0 , 1 3 1 ) , 这里b = - 1 , + 1 ， 且 x , y 跑遍s k e w s t a r t e r s上所有无序对 直 接验证可知， 上述基区 组中( z . x z 1 8 0 ) ( 0 x z 1 8 0 ) 作为差恰出 现 一 次， 余下的 0 x z 1 8 。 显然是z x z 1