（应用数学专业论文）网格超限插值形式的coons曲面.pdf

摘要 1 9 6 4 年s a c o o i l s 提出了舶o n s 曲面的概念，描述了c o o n s 曲面的相关性质， 采用了独特的超限插值法构造曲面为了使构造出来的曲面片易于光滑拼合，c o o m 又给边界曲线加上跨界导矢信息，这导致了相容性问题的出现本文从这个问题出 发，对曲面超限插值的c o o 珊曲面的相关结果作了进一步的研究。首先给出g - 网 线的定义，提出a 1 超限插值问题，给出c o o i l s 曲面的新定义。其次定义出拟c o o n s 曲面的信息相容，证明了拟c o o n 8 曲面信息相容的充分必要条件。接着给出针对 边界曲线和边界导曲线的三种新修正方案，并证明出经过修正的曲面是信息相容的 c o o n s 曲面最后定义了c “网格超限插值的c o o n s 曲面，给出了此时拟c o o n s 曲 面的信息相容条件，并证明了拟c o o n s 曲面信息相容的充分必要条件。 关键词：c 0 0 n 8 曲面； 超限插值；相容条件；修正 a b s t r a c t i n1 9 6 4 ，s a c 0 0 n sh a da d o p t e dt h ed e 矗n i t i o no fc 0 0 n 8s u r f a c e s ，姐dh a d 幽8 c r i b e d 蠢a r 8 c t e r s a o o n ss u r 知e s 。f o rc o o n 8s u r 瓶s ，t 88 p e d d 主t yi 8t h a tt h es u r 蠡坨ei ss 专r u c i t u r e db yt r a n 硪n i t ei n t e r p o i a t i o n t 0c o n n e c t i n gc o o n s8 u r f a c e 8s m o o t h l y ，g o o n 8h a d a d 如d 也et a n g e n tv e e t o r st ob o u n d 解ye u f v e 8 t h a tm 啦泓l e 蕊t ot 沁g o o n ss u r 孰e si s o tc o h l p a t i b l e i nt h i sp a p e r ，t h e 8 er e 8 u l t 8a 正ee x t e n d e d f i r 8 t ，i tg i v e 8t h ed e 矗n i t i o no f g 1c o n t i n u o u sl i n e ，g i v e 8 七h ep r 西l e mo fg 1t r a n s 丘n i t ei n t e r p o l a t i o na n dt h en e wd 娟n i t i o n o fc o o n ss u r f a c e s s e c o n d ，i tg i ”s 恤ei n f o r m a t i o n 出c o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o no fi m i t a t i v e g o o i l s8 u r f k e 8 ，a n dp r o v e 8t h a tt h en e c 鹤8 a r ya n d8 u 珏主c i e n tc o n d i t i o i lo fi m i t a t i v eg o o n s 8 u 出c e s n 旺t ，i tg i 懈t h r e en e wk i n d so fc o r 弛c t i o n ，a n dp r o v 瑚t h a 七t h ec o r r e c t e dc 0 0 n s 8 u r f 抽e sa r ec o m p a t i b l e a “a s t ，i tg i v e st h ed e 6 n i t i o no fc c o n 七i n u o l l 8 姐dl a t t i c e dc o o 工l s 8 u r f a e e 8 ，a n dg i v e st h ei n f b r m a 毛i o 枷c o m p 8 t i b i l i t yc o n d i t i o no fi m i t a t 沁ec o o n s8 u r e s ， a n dp r o v e s 恤a tt h en e c e 8 s a r ya n d8 u m c i e n tc o n d i t i o no fi m i t a t i v ec o o l l ss u r f 缸e s k e yw o r d s ： g o o n s8 u r f 如e s ；工y a n 8 f i n i t ei n t e r p o l a t i o n ； c o m p a t i b l ec o n d i t i o n ； c o r r e c t i o 珏 i i 独创性声明 本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取褥的研究成果。摄我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人醋经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 珏 日期：互迦6 。蠡苎2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允诲论文被套阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部竣部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：玉塞玉指导教师签名：堡渔生 网 期：五艘6 ；互。弓f 日期：2 竺! ：3 ：! ! 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 递讯地址； 电话： 自g 编： 引言 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o n l e t 矗cd e s i g ，简称c a g d ) 这门学 科是随着航空，汽车等现代工业的发展与计算机的出现而产生与发展起来的一门新 兴学科其含义包括曲线，曲面和实体的表示，及其在实时显示条件下的设计，还 包括四维曲面的表示与显示；主要研究对象是工业产品的几何形状；核心问题是计 算机表示，即要找到既适合计算机处理且有效的满足形状表示与几何设计要求，又 便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法， 1 9 6 3 年，美国波音( b o e l g ) 飞机公司的弗格森( n r g u s o n ) 首先提出了将曲线曲 面表示为参数的矢函数方法，最早引入参数三次曲线，构造了组合i = | | 线和由四角点 的位置矢量及两个方向的切矢定义的弗格森双三次曲面片。这种曲线曲面的参数形 式从此成为形状数学描述妁标准形式， 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( 简称t ) 的孔斯( c o o ) 在他著名的“小红书” 里【1 l 介绍了一个更具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的曲线边界就 可以定义一块曲面片。1 9 6 7 年，孔斯进一步推广了他的这一思想，并给出了其特殊 形式c o o 双三次曲面片 c o o m 双三次曲面片在g a g d 实践中有着广泛的应用，它的独特之处在于在构 造组成复杂组合曲面的曲面片上。直接采用可以是任意类型参数曲线的四条边界曲 线来构造曲面即a o o n s 曲面不是插值边界曲线上有限的数据信息，而是插值两组 边界曲线上无限多个点，这种插值方法被戈登f g o r d 。n ) ) 称为超限插僵法1 2 】为了 使构造出来的曲面片易于光精拼合，孔斯又给边界曲线加上跨界导矢信息，使得曲 面不仅插值于四条边界，也插值于边界的跨界导矢，但这样却导致了相容性问题1 3 】 的出现为了解决这个问题，人们提出了很多修正方法，主要有g r e 9 0 r y 曲面修正 的出现为了解决这个问题，人们提出了很多修正方法，主要有g r e g o r y 曲面修正 】 法，l i t t l e 魏瑟修正法，b r 。w 珏魏面渗蠹法等掏 由于文【l ，4 】中c o o m 曲面的概念是建立在被插值函数已知( 即插值条件非任 意) 的情况下的，具有一定的局限性本义在此基础上从播值条件任意的情况下出 发构造c 。o 珏s 鼗酉，详绸讨论了c o o 琳拯酉的稿容条彳譬，弗提出三种针对边界逮线 和边界导曲线的修正方案。 本文共分三章。第一部分是弓l 言，主要介绍了g o o n s 曲面的发展穰况及其特点。 第一章叙述了曲弱超限擂值的c o o n s 曲西的相关已有结论，主要给出传统盛蕊超限 插值的g o o n s 曲面的定义及其三种修正方法第二章主要介绍了伊连续的网格超 限搓傻鲍e o o 蹦睦面簧先给出g 1 网线的定义，给出了怒限捶俊条件，提出起限箍 值问题，并给出c o o n s 曲面的新定义。其次定义出拟c o o n 8 曲面的信息相容，证明 了拟c o o n s 曲面信息褶容的充分必要条件接着给出针对边界曲线和边界导曲线的 三种新修正方案，并诞骤出经过修正静醢嚣是信息相容的c o o n s 醢两。第三晕将第 二章的主要内容进行了深化。首先给出了俨网线的定义，给出伊超限插值条件， 提出c * 超限撬值河馥，定义了伊连续的g 。o n s 醢藏。最后给出了我时拟g o o 丑8 越 面的信息相容条件，并诞明了此时拟c o o n s 曲面信息相容的充分必要条件。 2 第一章曲面超限插值的c o o n s 曲面 本章叙述了盐匿超限插缀的c o o n 8 曲面的糨关已有结论，主妥给出传统蘸面超 限播值的c o o n s 曲面的定义及其三种修正方法 本文规定一维参数域为j = l o ，l 】，二维参数域为d 一【o ，l 】 0 l 】 首先给出传统曲面超限插值的c o o n 8 曲面的定义 定义1 1 。1 绘寇二维参数域d ，对于f ( ，。) g l d l ，记算子p 1 ，p 2 妻疆下： 其审 r1 p l 明= f o o ( “) 0 1 ) z l o 扣) z 1 1 扣) | f ( 0 ，u ) 联l ，口) 民( 0 ， ) & ( 1 ，口) p 2 ( 珏，”) = f ，o ) f ( 1 ) 或( o ) 民( 珏，1 ) 】 z o o ( t ) = ( 1 十2 t ) ( t 1 ) 2 f l o ( 幻= t ( 舌一1 ) 2 如o ( 盯) f o l ( 印) j l o ( ) f l l ( ) f o l ( t ) = ( 3 2 t ) t 2 j l l ( ) = 0 1 ) t 2 ( 1 ，2 ) 为定义在【o ，l 】区瓣上的三次珏e r 珏l i t e 基函数。那么算子p l ，p 2 的张量积霹表示为 其中 是信息矩阵，称 p ；p 2 l 同= ( u ) 。t ( “) l 。( “) l l l ( 珏) 露 b = f ( o ，0 ) f ( 1 ，0 ) r ( 0 ，o ) r ( 1 ，0 ) f ( 0 ，1 ) f ( 1 ，1 ) r ( o ，1 ) r ( 1 ，1 ) r ( 0 ，0 ) 蜀( 1 ，0 ) 矗r ( o ，o ) 熹蜀( 1 ，o ) z o o ( 廿) 珀1 ( 钉) 1 0 ( 口) f 1 1 ( 盯) 妫( 0 ，1 目( 1 ，l 击妫( o ， 彘乃( 1 ， l 固 ( i 。4 ) p 吲= p 1 吲十p 2 【f 】一p l p 2 卅( 1 5 ) 3 为二维参数域d 上的c o o n s 曲面 在上述定义中，信息矩阵b 可以分成四个子块 角点值 沿u 轴斜率值 定理1 1 2对于给定的二维参数域d 及f ( u ， ) g 【d 】，插值曲面p ( “， ) 在 二维参数域d 的四条边上插值f ( “，”) 及其法向导数的充分必要条件是协调条件 意= 簇 e ， a a ua 吣a u 、7 在二维参数域d 的四个顶点成立 由于在实际问题中，我们常常仅知道f 及f 的一阶导数值，至于f 的其他性 质( 如扭转) 是较难掌握的。因此f 在四个角点的协调性是必须验证的，而这是很 麻烦的事情。鉴于此，人们引进了各种修正的c o o n s 插值曲面。它们无需检验协调 条件( 1 6 ) 。 下面介绍三种常用的修正插值曲面。 1 g r e g o r y 曲面 在信息矩阵( 1 4 ) 中，用如下的变形扭转子块 = 兰盎业：! 塞型二兰蛊幽兰二：! 兰型 堕! 盎型! 盎业堕! 盎型竺：! ! 塞型 t l ，j 代替b 中的扭转子块，我们便得到了g r e g o r y 曲面： p 吲= p l 旧】+ p 2 【f 】一p 1 p 2 一垫掣 淼0 ) _ 磊( o 。) u 十l 咖咖咖咖 + j 一业裂黑( 0 t ) _ 患( 0 ，) u 一 十l l d u 抛d 、 + j 一垫掣【罴( 1 0 ) - 蒜( 1 ，。) u 一口一ll 咖洮咖j 一业篙鐾趔 盎( 1 i ，) _ 熹( 1 - ) ( 1 s ) u + 一2l 孔跳、。，a 踟、叫j p 7 其中p 1 吲，p 2 ，p 1 p 2 【f 】分别由式( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 确定 唧1 1 率 值 斜 转 轴 扭 v 点 沿 角 2 i | i 七t l e 曲面 此方法是为处理在标准菠方形的顶点处可能出现的不连续性恧设计螅l 溉l e 曲面是由用下列矩阵替换信息矩阵b 得到的： 窿。列 强锄 其中f = 迅耻学严lu 一十 一 l 坠逝世等等趟唑 l( 1 一让) 2 + 矿 等等； f 1 o = 亟耻喾忙产1 “。+ ( 1 一 ) 。i 坠进紫等等筹墅幽| ( 1 一“) 2 + ( 1 一”尸j p 1 f ( o ，o ) 。：觋p l f 】( o ，”) 21 觋f ( o ，”) p 2 【f ( o ，o ) 2 彗蠢p 2 【f 】( n ，o ) 3 璺器f ( “，。) 兰翌型，生鬻型! 翌幽塑芝望型 型望幽：翌型型型型国：望型 u + “+ f 1 一口) o l 一让暂 l t 上+ 担暂) 2 簿等； 娲。l = 警( 0 驴赫警( o 咖磐警( 0 ，”) 笋( o ，o ) = 溉警( u o ) = 鹣篆( 则) ( 1 1 2 ) 0 等等； f 1 1 = 掣( 0 1 0 ) _ 慨掣( 0 i 归磐箬( 0 ，”) 掣( 0 j 0 ) = 概粤( 叫) = 溉箬( 则) 兰裟业：篮塑 忙竺鲨业：翌型 二兰翌型掣裟型 型型毪算生里j 鬻( 。) o ) = 嘉 掣( 。，啪。：嘉 未f ( 。，啪。：。 号警( 叩) = 嘉 掣( u 1 0 ) ) 删：刍 刍f ( “) 0 ) ) 删 等等。 3 b r a w n 曲面 注意到布尔和p o q = p + q p q 的不相容项起因于式中的p 和q 的张量积 p q ，故b r o w n 采用p 1 f 和p 2 【f 的凸组合代替布尔和。令 b f ( u ， ) = o ， ) p i 【用似， ) + 卢m ，”) p 2 f ( u ， )( 1 1 4 ) 其中 。归而等洲刚) = 而等 以上介绍了曲面超限插值的e o o n s 曲面及其几种修正格式，利用它们可以拼接 成任意复杂的组合曲面这种用简单的瞌面拼接复杂曲面的思想首先由g o o 珊提 出；奠基性工作也是由他完成的g o o 珊的工作对计算几何的发展具有十分重要的 影响和推动作用 6 ( 4 ) 切瞰导鳜往庚 战( o ，u ) = r o ”( ) ： + p 钍。( u ) k ：。f u l ( 妨| 钍：。f ；。( u ) k 一0r ( ”) | 。：。 1 6 。( ”) z ，( ”) ；i 。( 。) i ，( 。) 】1 一 q ( o ，o ) q ( o ，1 ) q 。( o ，o ) q 。( o ，1 ) 】i a 。扣) z 6 。扣) 嵋。扣) 吐l 扣) 】1 ； 乳( 1 ，口) = f h ( 口) ： 十 r u 。( u ) b p - ( u ) br 妒( u ) b r ：，( u ) b 】( ”) z 6 。( ”) ；l 。( ”) l i 。o ) 1 一 q ( 1 ，o )q ( 1 ，1 ) ( 知( 1 ，o ) o 。( 1 ，i ) 1 5 。( ”) 站。印) z i 。扣)醍1 ( ”) 】2 ； p 。( u ，o ) = ( n ) ；，( ”) 醒。( “) f i ，酬【p ( ”) i 删r t ”( ”) | 脚曙脚蹬蚓删r + r “。( u ) o i ( u ) 咯l ( u ) 1 ( u ) i j l ( ) q ( o ，o ) 。( 1 ，o jq 。( o ，o ) q 。( 1 ，o ) 】1 ； p u ( 珏，1 ) = ：6 0 ( u ) 略，( u ) 2 i 。( u ) f i 。( u ) r 。”( 。) 囟r 1 ”( ”) b 球( ”) b 球( 。) b 1 + f “1 ( u ) ：【瑶。( u ) 为。( u ) 。缸) # i l ( “) 】 窜( o ，1 ) q ( 1 ，1 ) q 。( 。，1 ) q 。( 1 ，1 ) 】t 2 e t 网格超限插值的a o o n s 曲面及信息相容条件 本节将详绥讨论c o 。n s 蘸蘧瓣倍怠穗容鬻题，绘出僖患葙容雏定义及拟g o 。n s 曲面信息相容的充要条件 定义2 2 。l慰予缭定d 上弱阏线n l 及焦点参数短簿m ，若纛 ( 1 ) 网线光滑性t 网线组n l 是g 1 网线； ( 2 ) 焦点褶窖性： ( a ) q ( o ，o ) = r “o ( u ) i 。：o = r o ”0 ) i 。：o ，q ( o ，1 ) = r “1 ( ) i 。：o = r o ”扣) l 。1 ， q ( 1 ，o ) 然r ”o ( 槛) | 。= 1 = r 1 ”( 舒) i 。= 。，q ( 1 ，1 ) = r ”1 ( 钍) i = l = f 1 。( ”) i 口= l ； ( b ) q 。( o ，o ) = r 芸o ( “) i 。兰o = r o ”0 ) ： 。= o ， q 。( o ，1 ) = r 等1 ( “) i 。；o = r 嘶( ”) ：i 。= l ， 句。( 1 ，o ) = r 嚣o ( ) i 。兰l = f x q 。( 1 ，1 ) = 璐1 ( u ) ：i 。：l = p ( 目) ：i 。：l ； 则称d 上关于网线n l 及角点参数矩阵m 的拟g o o m 曲面p ( u ，。) 是信息相容的 称( 1 ) ( 2 ) 为拟c n s 鼗酉的穗容条件，称( 2 ) 为拟e o o n s 擞l 垂的角点提骞条件。 引理2 2 2 、d e r m o n d e 行列式 w 7 ( z o ，- - 髫n 一1 ，”) = 1 粕 1 嚣l -i_ l 嚣3 霉 ，- 盘i - 瑶 茁2 _+ 茁凳 = ( q 一托) j i 当劫耽a 簪j ；i ，歹= o ，n ) 时，( 嚣e ，。- l ，茹n ) o 定理2 2 3 给定一组d 上的网线n l 及角点参数矩阵m ，设p ( u ， ) 是( 2 2 ) 定义的d 上的拟c o o n s 曲面。则拟g o o 潞翦面p ( 站，口) 是c o o n 8 曲蔺的充分必要条 件是拟g o o n 8 曲面p ( u ，”) 是信息相容的 证明充分性：设关于d 上的网线n l 及角点参数矩阵m ，拟c o o n 8 曲面 p ( “，。) ( 2 2 ) 是信息相容的。下筒分两步证明该拟g o o n 8 曲面是关于t i p ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 的 c o o n 8 曲面 ( 一) 证明拟g o o n s 赭面p ( 让， ) g 1 吲 因为由假设拟c o o n 8 曲面p ( u ，”) 是信息相容的，那么根据信息相容的定义2 2 1 有，网线组 舭= f o 。( ) ，f 1 ”( ”) ，f ”o ( 缸) ，r ”1 ( ) ，r 挈( ) ，f 2 ( 口) ，1 1 ；o ( u ) ，r ：1 ( u ) ；“，。j 是a 1 网线，叉因为j 0 0 ( u ) ，2 0 1 ( “) ，z l o ( ) ，f l l ( u ) 及1 0 0 ( ) ，l ( ) ，z l o ( ) ，z 1 1 ( ) 是多项 式，敬摈c o o n 8 醢嚣 p 似， ) = f ；0 0 ( 缸) f 。t ( “) o ) f l l ( u ) 】 一 e 。( 雠) l 。l ( 虹) ，。( 乱) l t t ( 砧) r 帅( ) r 1 ”( 钞) r 紫( 廿) f 挈( 掣) + r “。( 啦r ”1 ( “) r ；。( “) 珊1 ( u ) j q ( o ，o ) 口( o ，1 )仉( 0 ，0 ) q ( 1 ，o ) q ( 1 ，1 )日。( 1 ，o ) 瓴( o ，o ) 吼( o ，1 ) 吼。( o ，o ) q u ( 1 ，o )口u ( 1 ，1 )q 。( 1 ，0 ) 是融 琽) 口u ( 1 ，1 ) q 。( 1 ，0 )是融 连续的，郅p ( 船，”) g 1 【d j 1 l 饥( 0 ，1 )仇( 1 ，i ) 窜。(o，1) q。(1，1) 岛o ( ) 敏p )“o ( 口) l l l ( 钍) z o o ( ”) fol() ( 二) 证明拟g o o 8 曲面p 陬口) 满足t i c ( 2 ) ( 3 ) 根据拟g o o n s 曲面的边界性质命题2 1 4 有； ( 1 ) p ( o ，口) = 王、驰扣) + f 佃( u ) b r 们( 世) 1 1 l = 0r 妒( u ) bf ；1 ( “) km o ( u ) j 0 1 ( ”) i l o ( ”) j 1 1 ( ) j 一i q ( o ，o ) q ( o ，1 ) q * ( o ，o ) ( 乳( o ，1 ) il f ( 口) 。l o ) z l o 扣) ；l l ( ”) | 因为拟c o o n 8 曲面p ( 。) 是信息相容的，所以有 q ( o ，0 ) = r “o ( 钍) 1 。= o 吼( o ，o ) 一f ；o ( u ) | 。o 将其带入上式可得 q ( o ，1 ) ；p 1 ( u ) i 。：o q ( o ，1 ) = 瑶1 ( 船) i 。：o p ( o ，口) = r o 。( ”) ( 2 ) p ( 1 ， ) = r 1 ”( ) r 勰缸) 江；1 f 以( ) k ：l 鬈。 ) 。：l r ；1 0 k ；l | | f o 。和) # 。1 扣) f l o ( ) f l i ) | 1 rr，甲 一 q ( 1 ，o ) q ( 1 ，1 )q 。( 1 ，o ) q 。( 1 ，1 ) 9 0 0 ( ”) f 。1 扣) z 1 。如) z 。l ( ”) 】t 因为拟c o o s 馥匿p ( u ，。) 是僖患相容的，所以有 q ( 1 ，o ) = f “o ( u ) | 。= l 仉( 1 ，o ) = r ：o ( 钻) f 。l 将冀带入上式霹得 q ( 1 ，1 ) = p “1 ( 让) l 。= l 吼( 1 ，1 ) = 珊1 ( u ) i 。：1 p ( 1 ， ) = r h ( 口) ( 3 ) p ( 镪，o ) = f o o ( “) 1 0 - ( 钍) f t 。( u ) z t t ( u ) 睁( ”) b ”) k 咄( ”) br ( ”) 妇】r + l o ( 牡) 一i f ( q ) 0 1 ( ) z l o ( “) f l l 江) jl q ( o ，o ) 国( 1 ，o ) q 。( o ，o ) q 。( 1 ，o ) | 1 r1 f 甲 因为拟g o o n 8 曲面p ( “，”) 是信息相容的，所以有 q ( o ，o ) 器r o ”( ) i 。= o q 。( o ，o ) 一f 挈( 口) | 。 将其带入上式可得 q ( 1 ，0 ) 一r 1 ”( 口) i 。o 矾( 1 ，o ) = r 扣) | 。：o p ( e ，o ) = r 们( 锃) 1 2 ( 7 ) p ”( o ) = i l o o ( “) l o l ( u ) z l o ( u ) j l l ( u ) ll r o ”扣) ：l 。：o r 1 ” ) ：i 。：or 磐( ) ：l 。：or 挈( ) ：i 。：o l p i o “) 一 z o 。知) 南l o ) z l o 扣) f l l 国) | o ( o ，o ) 口。( 1 ，o ) q 。g ，o ) 口。( i ，o ) i 2 因为拟c o o s 曲面p ( ”) 是信息相容的，所以有 鼠( o ，o ) = r 。”：i 。o q 。( o ，o ) 篇r 紫( ”) ：i 。= o 将其带入上式可得 轨( 1 ，o ) = r 妇( 口) ：b ：。 0 。( 1 ，o ) = r 挈0 ) ：i 。o p 。( u ，o ) = r 妒( u ) ( 8 ) p ”( t 占，1 ) = o o ( 乜) f 。z ( “) f - 。( “) f 1 ，( “) p ( ”剐。：l r 1 ”( ”) ：| 。：- 1 1 ( 。) ：i 。：1 r ( 。) ：l 。：， t + i 哥1 ( u ) 一1 0 0 ( “) f o l ( “) ；l 。( “) z n ) q 。( o ，1 ) q 。( 1 ，1 ) q 。( o ，1 ) q 。( 1 ，1 ) ? 因为拟c o o n s 曲面p ( “， ) 是信息相容的，所以有 吼( o ，1 ) = r ( u ) ：沁：1 q 。( o ，1 ) = r 磐( ”) ：j 。：1 将其带入上式可得 吼( i ，1 ) = r 1 ”( 口) ：i 。l 0 。( 1 ，1 ) = r ( u ) ： 。：i p 。( 缸，1 ) = 工、芸1 ( “) 综上，拟c o o n s 曲面p ( u ， ) 是g 1 遵续的并且 ( 1 ) p ( g ，掣) = r 。”) ，p f l ，钉) = r 妇和j ，p ( 钍，o ) 娑f 堆。( 让) ，p ( 珏，1 ) 篇r “1 ( 珏) ； ( 2 ) p “( o ，口) = f 挈( u ) ，p ”( 1 ，御) = r ( ) ，p ”( “，o ) = r 1 ；o ( t ) ，p 。，1 ) = r ：1 ( “) 所以关予给定一组d 上的网线n l 及角点参数矩箨m ，拟e o o n s 曲西p ( 钍，。) 是 t i p ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 的c o o n 8 曲面。 宓要姓：设关于关于绔定一组d 上妁疆线n l 及角点参数矩阵m ，拟g o o 瑚翦 面p ( ) 是t i p ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 的a o o n 8 曲面。下面分掰步证明拟c o o n 8 曲面p ( ) 是 信息攘容的 ( 一) 证明d 上的阿线n l 是g 1 网线 因为由假设拟铷o n s 齄萄p 颤，口) 是踟。酗曲茵，那么根据0 1 超限插燕函数的 定义2 1 2 和g o o n 8 曲面的定义2 1 3 有。a o o 璐曲丽p ( t ，u ) d 1 【d 】取互不糈等的 啦( o ，1 ) ( = 1 ，2 ，3 ，4 ) 分别带入( 2 2 ) 式，其中 p 1 ( u】取互不糈等的啦( o ，1 ) ( = 1 ，2 ，3 ，4 ) 分别带入( 2 2 ) 式，其中 是一令关于毂的多项式，琢以是d 1 连续的“= l ，2 ，3 ，4 ) 。 p 3 “，地) = k z 。z ( 妨l 如f i l ( 珏) 】 q ( o ，0 )国( o ，1 ) q ( 1 ，o )q ( 1 ，1 ) 0 。( 0 ，o ) 国k ( o ，1 ) 日。( 1 ，o ) q k ( 1 ，1 ) 轨( 0 ，o ) 吼( 1 ，o ) 国。( o ，o ) q 。( 1 ，0 ) 也是一个关于u 的多项式，所以也是a 1 连续的0 = l ，2 ，3 ，4 ) p 2 似，饥) 一 r “。( “) r ”1 ( “) f 妒( “) = f 岛o ( 仇) z o l 池) j l o ( 啦) = h ” 田 m 。h 札) 这基j o o ，z o l ( 口) ，z l o ( 口) ，f u ( 口) 是定义在 是自然基底，m 。燕两个基底之间的过 q 。( o ，1 ) 仉( 1 ，1 ) q 。( 0 ，1 ) q 。1 ) r u l ( “)r ；。( u ) f ；1 ( “) r 【o ，l 】区间上的三次h e r m i t e 基函数，l l 啦培 渡阵。郎m 。0 。令 h ( u ，吨) = p ( ，咙) 一p 1 ( 壮，啦) + p 3 扣，啦) 则h f u ，眈) 是9 1 连续的，敬 瓤 h ( 地) = p 2 ( 珏，地) = 【l 豫 h ( u ，”1 h ( 地 2 h ( u ，口3 h ( “，挑 m cl f ”o ( ) i 、“1 ( ) r ；o ( “) r ：1 ( 钍) l r1 r r “o ( 钍) _ 1 ( u ) f 善o ( “) w 1 ( ) 又因为根据弓 理2 。2 2 ，d e 瑚o n d e 矩阵是j # 奇拜的，所以 m c 一 h ( 钍，”l h ( ，抛 h ( “，镪 h 扭，啦 即严秘) ，1 【钍) ，珊o 匆，搿1 ( u ) 均是关于关予u 的多项式，所以是0 1 连续弱 露瑾，敬互不褶等的嗽( o ，1 ) 水= 1 ，2 ，3 ，4 ) 分掰带入( 2 。2 ) 式，英中 p 。( u ，”) = p 。( 挑) r “t ( 啦) 瑶。( 啦) r ：1 ( 啦) j1 0 0 ( ”) f o 。扣) l 。扣) f l 。o ) 】? 1 5 嚣优 优 嘶 ，l( 吣 舭 地 n r撼“_ r 叫叫 m 缎 z r 如瓢 ： r 蝴曲暇如晰 p 嵋疃孵罐 2 l 2 2 2 3 2 4 朗 以啦啪牲 皆 n h 雌 通道罐谴 嵋谚谴罐 m 啦姑 啦 l l l l ( 二) 证弼c o o 珏8 猫面p ( 钰，o ) 满是角点褶容性。 根据拟g o o n s 曲丽的边界性质命题2 1 4 有： ( 1 ) p ( 0 ，钉) = f 。”( 暂) + r “。( ) b f “1 ( “) | t = o1 1 妒( u ) b r ：，( ”) i 。枷 i 。( 。) z 。( ”) z ，。( ”) z 。，( 。) 1 t f 窜( o ，国q ( o ，1 ) 玉f 。，o ) 酝( o ，1 ) j 洳p ) 如l 扣) 。) z ，( a ) j t 。 因为 p ( o ，廿) = p 。”( 剞) 所以 f “。( n ：。严1 | 删r i 。l 删1 1 ：1 ( 。) i 删”。( 。) ；。，( 。) f l 。( 哟f l ，洲? 一 q ( o ，o ) q ( o ，1 ) q 。( o ，o ) q 。( o ，1 ) f 0 0 扣) f o l 扣) z 1 。( 。) z 。l ( 。) 1 7 ：o 。 又因为上式对地，”f o ，1 】均成立，敖当”= o 时有f “。( “) l 。：o = 0 ( o ，o ) ；当 ：l 时 有p 1 ( “) l “= o = q ( o ，1 ) ；对v 求导并令口= o 有f 妒( u ) i 。：o 一仉( o ，o ) ；对v 求导并令 ”= l 有r ；1 ( “) | 。：o ：q 。( o ，1 ) 。 ( 2 ) p ( 1 ，口) = r 1 ”( 口) + f ”。( “) b r “1 ( “粘t r 妒。；。写- 蚓瞄】 。( ”) 玛。( 。) # 。；1 l ( 妨1 t 一| q ( 1 ，o ) q ( 1 ，1 ) q ”( 1 ，o ) 曰。( 1 ，1 ) i7 0 0 ( ) f o i ) f l o ( ”) 1 1 l 扣) i 因为 p ( 1 ，脚) = r h ( ) 所以 r “。( u ) 妇f “1 ( ) br 嘶) | t = t r 跚) 恼 f o o ( ”) 2 。t ( ”) z 。( ”) z ，。( ”) 1 t 一陋( 1 ，o ) q ( 1 ，1 ) 国。( 1 ，。) q 。( 1 ，1 ) 】 。( ”) f o l 和) # l 。p ) l l p ) 1 r ：o 。 又因为上式对v 扎，口 o ，1 】均成立，故当口= o 时有r 们( ) i 。1 = q ( 1 ，o ) ；当 ：1 时 有r “1 陋) | u = l = q ( 1 ，i ) ；对v 求导并令口一。有r ；。( 珏啦：l = 瓴( 1 ，g ) ；对v 求导并令 = 1 有r ；1 ( “) j 。：l = 国。( 1 ，1 ) ( 3 ) p ( u ，0 ) = 。( u ) 珀( u ) z - 。( “) f - - ( u ) r 帅( ”) 妇r t ”( ”) k 印( 刮删印( ”) b l r + p 们( 档) 一 。( u ) 。l ( “) l 。( 姓) 1 1 l 扣) 】陋( o ，o ) q ( 1 ，o ) q 。( o ，o ) q 。( 1 ，o ) t 】均成立，故 当口=o时有r们()i。1=q(1，o)；当：1时有r“1陋)|u=l=q(1，i)；对y求导并令口一。有r；。(珏啦：l=瓴(1，g)；对v求导并令”=1有r；1(“)j“：l=国。(1，1) e 擎默 1 0 0 ( “) z 。，( u ) l - 。( u ) j ，t ( u ) r 帅( 吼：。i 、”( 吼：。喈( 吼；。础( ”) 恼 t i ( “) ；。t ( “) l t 。( u ) 矗t 知) 陋( o ，o ) 国( 1 ，o ) 国。( o ，o ) q 。( 1 ，o ) 】? 一。 又因为上式对讹，。【o ，1 均成立，故当 一。时有r o ”( 口) i 。：o = q ( o ，o ) ；当u l 时 有r 孙( 口) i 。：o = q ( i ，o ) ；对u 求辱并令u = o 有r 擎i 。：o = 虢( o ，o ) ；对1 l 求导并令 u = l 脊r ( ”) i 。o = 0 。( 1 ，o ) 。 ( 4 ) p ( “，1 ) = f 0 0 ( “) f 。- ( “) z - 。( u ) l t t ( u ) r 。”( 吼：- r t ”( ”) b 蹬( 吼：。曙( ”) b 】t + r 以( 杠) 一l ( ) 。l ( “) f l o ( ) f l l ( “) ii q ，1 ) q ( 1 ，1 ) q 。( o ，1 ) 氛( 1 ，1 ) 1 1 rr一个 因为 p ( u ，1 ) = r 1 如) 所以 ( n ) f 。l “) f z 。( “) z ，( “) 】p 嘶( ”) | 。：，f t ”( ”) | 。：tr 挈沁) l 。；。f ( ”) i 。：。 r 一 j o o ( u ) f 。1 ( “)1 1 。( ) f l l ( “) q ( o ，1 ) q ( 1 ，1 )q 。( o ，1 ) q 。( 1 ，1 ) t = o 又医为上式对，。 0 ，l 】均成立，故警“一o 时有r o 。( ) i 。：1 = 0 ( o ，i ) ；当让一1 时 有r ( ”) i 。：l = q ( 1 ，1 ) ；对u 求导并令u = o 有f 挈( ”) l 。：l = 仇( o ，1 ) ；对u 求导并令 珏= l 有r ( 口) ：l = 吼( 1 ，1 ) 根据拟c o o n s 曲面的边界导曲线性质命题2 1 5 有； ( 5 ) p 。( o ，口) = f 挚( 口) + p ( u ) 执：。r 、“1 ( u ) 扎：。r 妒( u ) 拈。巧t ( u ) 扎：。 f 0 0 ( ”) z 。( ”) z 。( ”) z ，( ”) 】r 一 ( k ( o ，o ) q * ( o ，1 ) q “* ( o ，o ) 孑w ( o ，1 ) | l i 和) l 。l ( 口) # l b 如) ；l l 如) i r1 r1 1 因为 k ( o ，”) 一r p ) 所以 卜( ”) ：由r 4 1 ( ) 孙：。掣喊妇瑶z ( 笛) ：囟 。砥”) z 。”) f ，( ”) 】? 一 ( 孔( o ，0 ) q 。( o ，1 ) q 。( o ，o ) q 。( o ，1 ) j o o 扣) ；。1 扣) f l 。( ) f 1 1 扣) r = o 又因为上式对，口溉l 】均成立，敢当。= o 时有一o ( 让潮。：o = q ( o ，o ) ；当口= 1 时有p 1 ( u 簅= q ( o ，o ) ；当口= 1 时有p1(u)：f。：o=仉(o，1)；对、r求导并令=o有r；o(乱)：i。：o=0。(o，o)；对v求 ( 6 ) p 。( 1 ，口) = f 扣) + f r u o ( u ) ：i 。= 1 r u l ( t 上) 乞i 。= lr 嚣o ( u ) ：1 。竺1 r 芸1 ( u ) 乞i 。= 1 2 0 0 ( ”) f o l ( ”) f 。o ( ) z 1 1 ( 钉) 。 一i q 。( 1 ，。) q 。( 1 ，1 ) q 。l ，9 ) 盆。，( 1 ，1 ) ll 。8 ( 口) 坛l ( q ) 1 1 。( 壮) i l l 和) l 因为 p 。( 1 ，口) = 留( # ) 所以 【r “。雠k f “1 ( 珏) 强t p 脚) 珏t 瑶1 ( 珏) 沁t 3 f o o ( 。) 如t ( 。) z ，。( ”t t ( 。圹 一i q 。( 1 ，o ) 0 。( 1 ，1 ) q 。 ( 1 ，o ) q 。( 1 ，1 ) 1i f o o 扣) 1 0 1 ( ”) f l o ( u ) f u ( 口) i = o r1 r1 又因为上式对魄，” 0 ，l 】均成立，故当口= o 时有f 们( 狂) ：k ：l = 骗( 1 ，o ) ；当w = l 时有一1 ( “) ：k 。1 = 吼( 1 ，1 ) ；对v 求导并令u = o 有r ：o ( “) ：1 。：1 = 电。( 1 ，o ) ；对v 求 导并令”= l 有r i l ( u ) ：i 。：l = q 。( 1 ，1 ) 。 ( 7 ) p ”( “，o ) = 【u ) ( u ) ( u ) 沁( “) 】p “( ”) ：。f h ( ”) ：b ：。r 譬如) ：沁：。f 挚。列。= 0 3 ： + f 妒) 一 f 0 。( u ) z 。1 ( “) l l 。( u ) z 1 1 ( u ) 】 q 。( o ，o ) q 。( 1 ，o ) q 。( o ，o ) o 。( 1 ，o ) 1 因为 p 。( u ，o ) = r 筹o ( u ) l f o o ( u ) f o l ( u )1 1 0 ( )z 1 1 ( ) | i r o ”( ”) ：f 。= o r 1 ”( ) ：i 。高or 紫( 付) ：| 。= o r ( ) ：| 。= o l r1 r1 一| j 艚( 珏) o o l ( ) l l 。) f l i ( ) ll q 。( o ，o ) q 。( 1 ，o ) q u - ( o ，o ) q “”( 1 ，o ) = o 又因为上式对帆， x 又因为上式对魄，； o ，l 】均成立，故当u = o 时有f 8 ”( * ) ：l 。：1 =