（计算数学专业论文）矩阵特征值与奇异值的估计.pdf

摘要 摘要 本文主要研究了矩阵特征值、奇异值的估计。对于阶数较高的矩阵，要计算 出其特征值、奇异值的精确值是相当困难的。因此，能由矩阵4 的行和与列和的 简单关系式便可估计出一的特征值、奇异值所在位置的范围( 即所谓特征值、奇 异值的估计) ，就显得尤其重要。本文所做的主要工作及相应的研究成果如下： 首先，结合c v e t k o c i c ，l ，k o s t i c ，v 和v a r g a 对矩阵特征值所属区域的估计 形式和矩阵的分块来讨论特征值的估计。 其次，利用矩阵奇异值和特征值的关系，分别将对f yf a n 定理的改进结果 1 _ 2 】 推广到对矩阵奇异值的估计，得到矩阵奇异值估计的两种形式。 关键词：分块矩阵，f yf a n 定理，非负矩阵，特征值，奇异值 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h ee s t i m a t i o n sf o rm a t r i xe i g e n v a l o e sa n ds i n g u l a rv a l u e s f o rm a t r i c e so fh i g ho r d e r s ，i ti sv e r yd i f f i c u l tt oo b t a i nt h e i re x a c te i g e n v a l u e so r s i n g u l a rv a l u e s ，s oi t i sp a r t i c u l a r l yi m p o r t a n tt ol o c a lt h ee i g e n v a l u e so rs i n g u l a r v a l u e sb yr o w s ，c o l u m n so rm i n o r so fm a t r i c e s t h em a i nw o r k sa n dr e s u l t so ft h i s p a p e ra r ea sf o l l o w s ： f i r s t ，n e we i g e n v a l u ei n c l u s i o ns e t sf o rp a r t i t i o n e dm a t r i c e si nt h ec o m p l e xp l a n e a r eo b t a i n e db yu n i t i n gt h er e s u l to f p a r t i t i o n e dm a t r i c e sa n dc v e t k o c i c ，l ，k o s t i c ，v ， a n dv a r g a s e c o n d ，b a s e do na ni m p r o v e m e n to nf yf a n st h e o r e mo fm a t r i xe i g e n v a l u e s 1 2 1 ， t w ot y p e so f n e we s t i m a t e sf o rm a t r i xs i n g u l a rv a l u e sa r e p r e s e n t e d k e y w o r d s ：p a r t i t i o n e dm a t r i x ，f yf a nt h e o r e m ，n o n n e g a t i v em a t r i x ，e i g e n v a l u e ， s i n g u l a rv a l u e i i 主要符号表 主要符号表 自然数集合 c ( r 1 复( 实) 数集合 t ( c ) ( 肘。俾) ) 以阶复( 实) 矩阵集合 a ( )矩阵彳的共轭( 转置) 矩阵 p ( 一)矩阵a 的谱半径 a ( 铘矩阵a 的特征值 a 0矩阵一是非负矩阵 a 0矩阵彳是正矩阵 c r c a ) 矩阵一的奇异值 i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：蕴超盘日期：p 。7 年。三月7 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：盈终导师签名：笙垒星堕 1 、， 日期：。年o r 月2 ，曰 第一章引言 1 1 选题背景 1 1 1 矩阵的特征值 第一章引言 随着计算数学的发展，矩阵特征值问题越来越被从事相关领域的人们所关注。 因为无论是在计算数学领域，还是在其它领域，比如自然科学研究( 如计算化学、 计算物理、控制论、信息论等领域) 和工程设计中的很多问题( 如电磁振荡、桥梁 振荡、机械振荡等等) 都离不开特征值问题，因而有很重要的理论和实际应用价值。 如何仅依赖于矩阵的元素对其特征值进行估计一直是矩阵分析中非常重要和 困难的问题。在这方面，我们有著名的g e r s g o r i n 圆盘定理( 1 】以及与之相关的 o s 仃o w s 虹定型3 1 、b r a n e r 定型6 】、b r u a l d i 定理【刀等等可以对矩阵的特征值进行估计。 后来有很多人基于上述理论得出了一些特征值的新的包含域。如广义g e r s g o r i n 圆 盘定理、广义b r a u e r 定理、广义b r u a l d i 定理。以及结合o s t r o w s k i 等人提出的一 种向量范数引出的矩阵范数得到矩阵分块形式的一种特征值估计。2 0 0 4 年 c v e t k o c i c ，l ，k o s t i e ，v 和v a r g a 给出了一新的特征值包含域。结合特殊矩阵的 性质，如对正矩阵( 或非负不可约矩阵) 由著名的p e r r o n - f r o b e n i u s 定理得到对矩阵 特征值估计的f yf a n 定理。2 0 0 5 年李厚彪【1 3 】对f yf a n 定理进行了改进得到类似 于b r a n e r 定理和b r u a l d i 定理的结论。目前，矩阵特征值估计仍吸引了不少学者对 其进行研究，也出现了一些新的思想方法，如利用矩阵的行列式和矩阵的迹，或 利用计算机算法来计算实现。 1 1 2 矩阵奇异值 矩阵奇异值的估计是数值代数和矩阵分析中的重要课题之一。比如在迭代求 解线性方程组时，往往需要估计系数矩阵的谱条件数，这就要用到矩阵最大和最 小奇异值。矩阵奇异值在其它领域也有着非常重要的应用，无论在理论还是在实 践中都有着重要的应用价值。 由矩阵奇异值与特征值的关系，我们可以根据奇异值的定义先求出彳， 然 后利用上述定理对4 的奇异值进行估计，但是一般来说4 的计算较为麻烦。如果 电子科技大学硕士学位论文 仅仅将矩阵特征值估计的一些定理如g e r s g o r i n 圆盘定理以及与之相关的b r a u e r 定 理、b r u a l d i 定理等等简单的应用于矩阵的奇异值估计，往往得不到好的结果。因 此如何依赖于矩阵元素对其奇异值进行估计也是近年来许多学者致力研究的问 题。 1 9 7 5 年，j m v a r a h 在文献【1 9 】中仅依赖于矩阵元素，给出了最小奇异值的下 界。1 9 8 4 年，l q i 【l6 】基于g e r s c h g o r i n 圆盘定理得到了一些奇异值的包含域。1 9 8 9 年，著名的美国矩阵论专家c r j o l l i l s o n 1 5 】巧妙的将g e r s c h g o r i n 圆盘定理应用于 最小奇异值的估计，所得结果得到了广泛的应用。随后直到1 9 9 8 年c r j o h n s o n 2 9 】 等基于o s t r o w s k i 和b r a u e r 定理以及g u d k o v 非奇准则，得到了矩阵最小奇异值的 三个新的下界。1 9 9 9 年l il u o l u o 旧将矩阵特征值包含域的f yf a n 和b r a u e r 定理， 应用于矩阵奇异值的估计，得到了相应的奇异值的包含域。2 0 0 0 年，l i l u o l u o 【1 3 】 基于对绝对行和的划分得到了矩阵奇异值一种新的估计式。 1 2 本文主要工作 本文首先通过矩阵的分块和块对角占优来讨论了矩阵特征值界的包含域，然 后将现在人们对矩阵特征值估计的一些结果应用到矩阵的奇异值估计中，得到一 些矩阵奇异值估计的结论。 2 第二章矩阵特征值的估计 2 1 矩阵的特征值 第二章矩阵特征值的估计 本章的目的是讨论矩阵标准特征值的估计问题。 定义2 1 1 设彳= 勺】( c ) ，若存在数五和非零向量工，使得 a x = 2 , x ， 则称兄为矩阵a 的特征值，石为“的属于特征值兄的标准特征向量。 矩阵特征值问题是数值线性代数的基本问题之一，也是近三十年来被广泛应 用的主要课题。现在数值线性代数的发展已达到相当高的水平。目前，特征值问 题在科学研究、工程技术等方面已得到日益广泛的应用。本节将介绍矩阵特征值 界估计的一些基本结论。 对于矩阵特征值的估计最著名的就是g e r s g o f i n 定理。 定理2 1 1 【1 1 ( g c r s g o d n ) 设彳= 】e m 。( c ) ，又设 ( 4 ) ；川( 1 f s 万) ， 嚣 表示彳的各去心绝对行和。则4 的所有特征值位于如下筇个圆盘的并 u z c ：k 一l ，；( 彳) s r ( 彳) t = l 中。此外，如果这万个圆盘中有k 个之并形成一个连通区域，且它与所有余下的 n - k 个圆盘都不相交，则在这个区域中恰好有彳的k 个特征值。 以及上述定理的直接外延 推论2 1 2 啪设爿_ 4 。】鸠( c ) ，又设 勺( 彳) ；川( 1 s _ ，万) ， ；i ) 表示4 的各去心绝对列和。则a 的所有特征值位于如下n 个圆盘的并集 o z e c ：z - - 怿勺( 彳) a g ( a r ) 3 电子科技大学硕士学位论文 中。此外，如果这胛个圆盘中有k 个之并形成一个连通区域，且它与所有余下的 n - k 个圆盘都不相交，则在这个区域中恰好有a 的k 个特征值。 o s t r o w s k i 于1 9 5 1 将定理定理2 1 1 推广为 定理2 1 3 嘲( o s t r o w s k i ) 设a = a v e m 。( c ) ，a e ( o ，1 ) 是给定的数，又设 和q 分别表示a 的去心行和去心列和，则a 的所有特征值位于弹个圆盘的并 0 k c ：卜嘞i 尼弘1 1 = 1 、 中。 定理2 1 4 设4 = 【 ( c ) ，a 的所有特征值位于，1 个圆盘的并 u p c ：l z 一i s 一1 ， 中。其中 肛1 ) = q ；( 荟ni 呀1 9 ) ；( v i e n ) , p t ，刍+ 吉= 并且正数 呸 ：。满足 争l 1 智( 1 + ) 1 9 5 4 年f a n 和h o i h a n 得到类似与定理2 1 4 的结论。 定理2 1 5 设4 = 【】e m ( c 3 ，a 的所有特征值位于厅个圆盘的并 中。其中 u z c ：i z - a t l l - o ，我们定义对角阵为 d i a g x = d i a g x , ，屯，1 ，那么矩阵x 是非奇异的。如果4 = 【】以( c ) ，那 么有z e d x = a i 。，_ 肛 t ( c ) ，y 由- j ：x - 1 a r 相似与矩阵4 ，那么矩阵石一a x 5 电子科技大学硕士学位论文 与矩阵a 有相同的特征值。如上述矩阵行和定义，我们令 ( 彳) ：- ( x “a z ) s i 吩i 而五o , e n ，x o ) ， 强 我们称彳似) 为矩阵彳第i 个广义行和。 另外，我们令 i r i ( 彳) ：= z c ：p 一嘞i s ( 4 ) l r ，( 4 ) # u r ；( 4 ) l i t 称r ，( 彳) 和r 7 口) 分别为4 的第f 个广义g e r s g o r i n 圆盘和广义g e r s g o r i n 圆盘集。 我们可以得到类似于定理2 1 1 的结论 定理2 1 9 1 设4 = 【嘞】膨。( c ) ， 石彤且工 o ，那么有矩阵a 的所有 特征值位于区域并集f ( 爿) 中。 令 k 4 ( a ) - z c ：i z q ，1 p 一巳j l ( 4 ) 哆( 4 ) ， 茁7 ( 爿) = = u 眉艺( 一) ；t , j ，e ” 称巧( 4 ) 和茁7 ( 彳) 分别为a 的广义b r a u e r 卵形域和广义b r a u c r 卵形域并集。 可以得到类似于定理2 1 6 的结论 定理2 1 1 0 “”设一= 勺】心( c ) ，x 彤i ；1x 0 ，那么有矩阵4 的所有特 征值位于区域并集l c r ( 4 ) 中。 对于环g ( a ) 中的任何一个回路厂c ( 4 ) ，令 b ；( 4 ) ：= z 丌卜a i 。i - ( h ( 4 ) ， l 拒，r e ， j b ( 爿) - ub j ( 4 ) 同样可以得到类似于定理2 i 7 的结论 定理2 1 ”1 设4 = 【】肘。( c ) ，x 掣j i x o ，那么有矩阵彳的所有特 征值位于区域合集b 7 似) 中。 类似于定理2 1 8 ，上述关于矩阵特征值估计的区域有下面的所属关系 定理2 1 1 2 1 设彳= 口f 】( c ) ，石f 且石 o ，那么有 6 第二章矩阵特征值的估计 ，( 叫) b 叫) 2 0 0 4 年c v e t k o c i c ，l ，k o s f i c ，v ，和v a r g a 8 1 将矩阵的绝对行和分为两部分 给出了关于矩阵非奇异的新的结论，以及相关的矩阵特征值估计的结论。 令s 是集合的子集，i ：= u s 为s 在中的补集。对于任意矩阵 a = 【】m 。( c ) ，依据s 和j 将，；( 爿) 分为两部分 f ( 4 ) 一l a , 肛矿( 4 ) + 矿( 4 ) i r i s ( 4 ) 暑l a i d i ，矿( 4 ) _ ( v f 仨忉 lj , s q o扣s 、 j 定义2 1 3 8 1 设矩阵4 = 】( c ) ，n 2 ，令s 为的任意非空子集，如 果满足以下件 f 0 ( a ) 矿( a ) ( f j ) ， 【i o ( ( 彳) 一矿( 4 ) ) ( o ( 4 ) 一彳( 4 ) ) 矿( 4 ) 矿( 4 ) ( v i s ，西 那么我们称矩阵彳为s 严格对角占优矩阵。 定理2 1 1 3 t 8 1 设s 为n ( i 1 2 ) 的非空子集，且令i 每n s 。设 a _ 【呀 m 。( c ) ，珂2 ，定义如下对应于g e r s g o r i n 类型的圆盘 r r ( a ) ：= z c ：i z 一 a t ，i i 5 ( 4 ) o s ) ， 和集合 ( 4 ) - z c ：( f 彳一q ，f 一5 ( 4 ) ) ( f z a j 。f 一栌( ) s 7 ( 彳) 妒( 4 ) ， ( v i s ，v j s ) 那么矩阵彳的特征值位于区域 c 姒) 号岵p ( 彳) ) u ，。龆j 吲彳) ) 拒s，| e s f e si 中。 还有一些其它的方法对矩阵的特征值进行估计，如利用矩阵的迹和矩阵的行 列式等，详见【9 】。 7 电子科技大学硕士学位论文 2 2 矩阵的分块形式 利用向量范数导出的矩阵范数结合矩阵特征值估计的g e r s g o r i n 定理以及相应 的g e r s g o r i n 类型的定理可以得到一些相关的矩阵特征值估计的定理。 下面简要介绍一下相关内容和一些结果，详见 2 5 】。 设石为列向量c “的一个划分。令有限集 形 ：。为两两不相交的线性子空间， 其维数至少为一维且其直和为 c ”= 形+ + + 形 不失一般性，我们令z 为 石= 觑 二， 其中，非负整数 b 二满足 p o ：= 0 p i p 2 譬( 4 ) ( v i e l ) 田确倒d 一一彬( 彳) ) ( ( o 巧州，) 一一班。) ) ( 爿) 噶( 彳) 仁2 ( v i 墨j s ) 那么我们称矩阵a 为对应于z 的s 严格块对角占优矩阵。 定理2 3 1 设s 为工的非空子集，令4 = 4 ， ，z 2 ，矩阵彳为对应于万的 s 块严格对角占优矩阵，那么a 为非奇异矩阵。 证明如果s = l ，那么如上所述，a 为严格块对角占优矩阵，故为非奇异矩阵。 由此我们假定s 是三的非空子集并且i 。证明的思想是构造一个正块对角矩 阵p 满足b p 为严格块对角矩阵。故令p = 砒g ( 兄，昱2 ，只，c ) ，其中 舻艮后芸酣一， 由此可得卯：_ 矿f 的元素为 啥瞥俩( j e s , i 田e l ， 那么由( 2 1 ) 可得b p 的行和为 ( 胛) = ( 钟) + ( 卿= 6 ( 彳) + 乎( 锄( v m e l ) ， 且如果下述不等式组成立则矩阵b p 为严格块对角占优矩阵 m 砚) 一 翻剐( m 尹( 4 ) ( v i e s ) a - 扎i ) - 1 矽( 饥夕( 4 ) ( v j i ) 上述不等式可简化为 电子科技大学硕士学位论文 d 批一) 一以印( 锄 ，( 锄( v ) ，( 2 - 3 ) f f ) ( 蚴i i i i i a - ! - i 一夕( 4 ) 矽( 4 ) ( v j j ) 鼎 j c v z s ，上t 艿 b l ，故对于任何满足条件b ： 以( 4 ) ( 姗e 工) ， 故有 4 i 一4 ，) 。眇。1 t ( 彳) o 且f 似一4 ，) i l d 。，以( 4 ) o ， 那么( 2 - 1 3 ) 式的左边的部分满足 0 ( 万一4 ，) 1 岫( ( 1 1 ( 打一4 一) 。岫一，嚣( 彳) + 1 1 4 川，) 以( 4 ) 4 川， 其结果与( 2 一1 3 ) 式中的不等式矛盾。因此对任意z e 研( 爿) 有z e ( 4 ) 。 故( 2 一1 2 ) 式得证。 接下来，对任意矩阵彳= 4 ， ，g 2 ，从定理2 3 2 中的( 2 一0 7 ) 式中 显然有矩阵a 的所有特征值位于区域彰( 4 ) 中，即位于如下区域 d ( 4 ) _ n 叫( 4 ) 可以看出 ( 2 - 1 4 ) 中。 对于( 2 - 1 1 ) 式中的每一个( a ) 依赖于( z 一1 ) 个对应于，的分块b r a u e r 卵形域 集巧嚣( a ) ，所以( 2 - 1 4 ) 式中由e ( e 1 ) 个对应于石的分块b r a u e r 卵形域集k 嚣( 一) 组 成0 。jd ( a ) ，是组成对应于万的分块b r a u e r 卵形域( 锄的分块b r a u e r 卵形域个 数的匕 的二倍。也就是说( 4 ) ( 句。 因此我们得到如下定理 定理2 3 4 对于任意矩阵彳= 4 ， ，9 2 2 ， 于万的分块b r a u e r 卵形域( 4 ) ，满足 d 0 ) ( 彳) 1 4 ( 2 1 4 ) 式中的集合域d ( 爿) 和对应 ( 2 1 5 ) 第二章矩阵特征值的估计 证明首先我们从( 2 1 2 ) 式观察到对任意f 三有d ? 0 ) r ：( 彳) 。故由( 2 1 4 ) 中定义的d ( 4 ) 显然满足 d ( 彳) r ：( 4 ) ( 2 1 6 ) 为了证明( 2 1 5 ) 式，设z ( 4 ) ，对任意i e l ，有z e 研( 4 ) 。因此由( 2 - 1 1 ) 式得任意f e 工和某一，e 三 砖有z 巧嚣( 彳) 即( 2 1 3 ) 中的不等式成立。但是由( 2 - 1 6 ) 中d ( a ) r ! ( 田，可得存在某一| i 满足 0 陋一钆) 。驴1 以( 4 ) 对于同一七，存在一f e l k ) 满足z e 嗽0 ) ，即有 4 i ( z ，一4 ，) 。1 ( 4 l ( 西一4 ，) 。岫一一，：譬( 爿) + 0 4 ，。岫s ，盘( 4 ) 0 4 ，。 故有 “( z ，一4 ，。) 。以) 一4 f ( z ，一4 ，) 。n ) 。1 ( 炉一4 。) 。1 驴( 二( 彳) 一哟+ 以( 4 ) | | 4 。k ( 4 ) ( 以( 4 ) 一l ) + 以( 4 ) n = 兹( 4 ) ( 4 ) 所以 0 l ( z r 一4 ，。) - 。n ) - i ( z ，一4 。，) 。1 n ) - 1 ，去( 一) ，磊( 4 ) 故有，z 硝，以) ( 4 ) 对每一个z ( 彳) 上式均成立，因此有 d ( 4 ) ( 彳) 定理得证。 由于( 2 - 1 2 ) 和( 2 一1 5 ) 对任意m ，成立，故d ：( a ) ( 盯( 爿) 互9 ：( 4 ) - nd ! ( 彳) r ：( 4 ) ， m 盯( 4 ) d ；( ：- nd ：( 彳) k ；( 彳) 其中， 1 5 电子科技大学硕士学位论文 2 4 本章总结 r 9 ( 彳) ：= nr ：( 4 ) ，k 9 ( a ) ：- - - - - n , 4 c a ) ( 2 1 7 ) 本章首先介绍了利用矩阵的元素来对其特征值进行估计的g e r s g o r i n 理论及相 关的g e r s g o r i n 类型理论的一些发展，然后介绍利用向量范数引出的分块矩阵范数 对矩阵特征值进行估计的一些理论。最后给出分块矩阵特征值估计的一些新的结 论。 1 6 第三章矩阵奇异值的估计 3 i 特殊矩阵 第三章矩阵奇异值的估计 特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，并且在计算数学、 应用数学、经济学、物理学、生物学等领域都有着广泛的应用。对特殊矩阵所取 得的任何实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用。在此我 们主要介绍非负矩阵。 定义3 1 1 嘲设a _ 【】e m 。( r ) 如果嘞o ( 或嘞 o ) 对所有的i ，j 成立， 则称a 是非负或正矩阵。 p c r r o n 于1 9 0 7 年发现任何一个正矩阵的谱半径是它的一个特征值。后来， f r o b e n i u s 将p e r r o n 的结果从有正元素的矩阵推广到有非负元素的非负矩阵上去， 特别是非负不可约的情形，得到著名的p e r r o n - - f r o b e n i u s 定理。 定理3 1 1 “”设么为正矩阵( 非负不可约矩阵) ，则 1 ) 4 有一个正特征值，= p ( ； 2 ) 相应于p ( 4 ) 存在一个特征向量“ 0 ，即b u = 户( 一) “； 3 ) 随着彳的任一元素之增加而增加； 4 ) 户( 4 1 是4 的单重特征值。 特征值p ( a 1 叫做p e r r o n 根，并且如果向量“的所有元素之和为1 ，我们把向 量u 称为p e a t o n 向量。一般来讲，v = “( c 0 1 也叫做p c r r o n 向量。在后面的讨 论中我们假设p e r r o n 向量的最小元素为i 。 p e r r o n - f r o b e n i u s 定理在很多方面都有着重要的应用，其中一个非常重要的就 是在矩阵特征值的估计方面，如下面著名的f yf a n 定理 定理3 1 2 “”设彳吩】e m ( c ) ，b = t b f i 帆僻) ，且口i a i ，即k i ， 则4 的所有特征值位于区域 u z e c ：l z 一嘞i p ( 口) 一 1 爿 中。 李罗罗在1 9 8 8 年通过对f yf a n 定理进行改进得到如下的结论 1 7 电子科技大学硕士学位论文 定理3 1 3 “”设矩阵a = 口f e m 。( c ) ，且b = 吻 以( 胄) ( f ，j = l ，k ) 和 c = 勺 m 。似) ( f ，= 七+ l ，n ) 为正矩阵( 或非负不可约矩阵) ，满足 岛n 螂她i ，川 ( i , j = i ，) ； 白m “8 嘞f ，k | ( f ，j = k + l ，n ) 且“= ( “。，“：，心) r ，v = ( 唯。，) r 分别为矩阵b ，c 对应的p e r r o n 向量，a i = k l o = 1 ，2 ，n ) ，r + 为正实数集合。记 ( 曰) = p ( 口) 一和( c ) = p ( c ) 一勺， 0 2 ) = ( k 小一，| a l n 旷和= ( ，概旷 那么4 的所有特征值位于如下区域中 ( 3 1 3 a ) ：u 2 c ；i 旯一q i ( 占) ； t f f i l ( 3 1 3 占) ：u 名c ：f a - - a l ( c ) ； j f k + l ( 3 1 3 c )u 兄c ( ( 3 1 3 a ) u ( 3 1 3 6 ) ) ： t - i ，k ；j f f i k + l ，一埘 ( 阻一q i 一( 占) ) 0 一吩f 一( c ) ) 扩r ，w 7 锣p 2 0 0 5 年李厚彪结合f yf a n 定理得到如下的结论 定理3 1 4 “3 3 设4 = 【】 ( c ) 2 ) ，b 叫】l l ( r ) 为非负矩阵并且满 足b i a i 。那么a 的所有特征值位于如下区域 中。 q * c ；i z 飞忙l 如( 驴岛，f ) ( 厦驴i 3 2 矩阵的奇异值 用数值方法求解线性方程组a x = b 一直是科学计算的中心问题之一，其能否通 过数值方法求解的关键是线性方程组条件数的大小【1 4 1 ，系数矩阵4 的奇异值与其 谱条件数密切相关。 设彳= ( 呸，) y 口m n 阶复矩阵，不失一般性我们可以假设n m ，并将a 的奇 第三章矩阵奇异值的估计 异值按照递减次序排列为 q ( 锄a 2 ( a ) 吒( 彳) 0 ， 其中彳的奇异值为盯( 4 ) = 五( 州+ ) ，五( 见4 ) 表示矩阵见r 的特征值。矩阵奇异值 的详细论述见 1 5 。2 0 1 。 矩阵的奇异值，也是矩阵分析中的重要课题。在迭代求解线性方程组时，我 们往往需要估计矩阵彳的谱条件数 k ( 棚：巫尘 、 吒( 彳) 故对矩阵奇异值的上下界的估计是关键。矩阵奇异值的上、下界在其他的许多领 域中都是一个很重要的课题，因而矩阵奇异值的上下界估计一直是普遍关注的问 题，有着重要的理论和实际应用价值。 如何仅依赖矩阵的元素来对其特征值进行估计一直是矩阵分析中非常重要和 困难的问题。我们已有上述著名的g e r s c h g o f i n 定理、以及与之相关的o s t r o w s k i 定理、b r a u e r 定理、b r u m d i 定理及其相应的推广、推论等，可以对矩阵的特征值 进行估计。但是如果仅仅是简单的将上述定理应用于矩阵允r 或彳+ 4 来估计彳的 奇异值，往往得不到好的结果，并且计算过程也很复杂。因此，如何仅依赖于矩 阵的元素来对4 的奇异值进行估计是许多学者致力研究的一个问题。下面我们简 要介绍一下这方面近年来的一些进展。 1 9 8 4 年l i q u n q i 将对矩阵特征值估计的g e r s g o r i n 定理应用到矩阵奇异值的估 计，得到如下结果 定理3 2 1 【1 ”设4 = 嘞】e m ( c 3 ，则彳的所有奇异值包含在如下区域 u 骂，且马= 【( q 一墨) + ，( q 一毛) 】r ， j l 中。其中 心= m a x ( 0 u ) ，丑= 脚x ( ，q ) ，q = i a t l ，i = 1 ，2 ，以 1 9 9 9 年李罗罗将f y f a n 定理推广到矩阵奇异值的估计得到如下的结果 定理3 2 2 0 ”设4 = 【】鸠( c ) ，且b = 】鸩氓) 为非负矩阵且满足 m a x k l ，l 勺l ( v f d 。那么a 的所有奇异值位于如下区域 1 9 电子科技大学硕士学位论文 f i _ u z ：k q i p ( 曰) 一 n r + = 1 中。其中r + 为正实数集。 定理3 2 3 m 设4 = 魄】 t ( c ) ，那么一的所有奇异值位于如下区域 p - a , l l z q i 岛一) n r + 中。 李罗罗在2 0 0 0 年将上述定理3 2 3 改进，通过将矩阵的绝对行和分成两部分 的形式得到下面关于矩阵奇异值的估计形式 定理3 2 4 设彳= 】( c ) ，已知口和为集合的非空子集且满足 o ) d u = 1 ，2 ，l ， ( i o 口n = a 定义如下的分块去心绝对行和与绝对列和。 似) _ m ，= m ； j i ，i e 口l * t l ，i e 4 ，；咿= m ，矿= 川 对于任意i = l ，2 ，n ，定义 可= m a x ( 0 ，巧神) ，所= m a x ( r p ) , a 朋) ， 巧似= z o ：i z q i 耐 ，哆印= z o ：i z 一巳 s 罗 ， 巧印= z o ：z 正巧口u 嘭4 ( k q 卜- 4 ) p 一乃i 一妒) 耐妒) 或 中。 矩阵a 的所有奇异值位于如下区域 - ( u 巧陋) u ( u v p ) ， f e 4 ，e p b ”u 巧硼 i g c r , j t 8 b r 。u 铲 第三章矩阵奇异值的估计 目前，奇异值的估计仍吸引了不少学者对其进行研究，也出现了一些新的思 想方法，如利用矩阵的无向图瞄】，行列式和矩阵的迹【2 3 - 2 4 ，或利用计算机算法来 计算实现【2 1 1 。 3 3 矩阵奇异值的估计 引理3 3 1 【1 ”设r ，c c ，且川l ，那么 l , , - l c l i m a x q c r 一刁c i ，l 玎盯一c i ， ( 3 1 ) 定理3 3 2 设彳= 嘞】 ( c ) ，矩阵b = 眈】 t ( r ) ( f ，_ ，= 1 ，尼) 和 c = h 】m 。( r ) ( f ，_ ，= 后+ 1 ，万) 为正矩阵( 或非负不可约矩阵) 且满足 岛m “ i 嘞i ，h f ) ( f ，= l ，_ | ) ；勺删 | 嘞 ，a j r ( f ，= 后+ 1 ，”) 。b ，c 对应的p e r r o n 向量分别为“= ( 嘶，“：，) 7 ，v = ( 唯。，屹) 7 ，其中，a i = l a 1o = 1 ，2 ，n ) ，r + 为正 实数集合。记 ( 曰) = p ( b ) 一，( c ) = p ( c ) 一勺； = ( 。卜，川y ，c 2 ) = ( i 少一，l a 。1 ) 2 ； r ( o = ( m ，l a , i ) 7 ，c 5 0 = ( m ，川) r 那么4 的所有奇异值位于如下区域中 ( 3 3 2 口) ：u 仃r + ；i 盯一q ls ( 口) ； ( 3 3 2 h ) ：0 盯矿；i 盯一勺i ( c ) ； ( 3 3 2 e )u 盯五+ 、( ( 3 3 2 a ) u ( 3 3 2 占) ) ： l - i ， ：- k + l ，月 a 盯一a , l 一p ) ) 0 a 一勺i 一( c ) ) s m 驭 彳2 妒v ，c f 2 妒v m x 妒妒“，c j l p “) 证明设仃为矩阵的奇异值，那么存在非零向量z = ( 玉，屯，y 和 ，= ( 咒，y 2 ，只) ，满足 似= 彳。y ，t r y = a x ，( 3 - 2 ) 令 2 1 一皇王型堡奎堂堡主堂堡堡壅 霉2 7 q ，只2 y i u l ( f = 1 ，2 ，| i ) ，z ，= 。m a x 。( j i f ，防| ； 弓2 x j v j ，乃2 y j v ，( ，= k + l ，”) ，z q = h m 。a x 。 b i ，防| 显然( 乙，乙) ( o ，0 ) 。 ( 1 ) ：设乙乙= o 。 不失一般性，我们假设乙= 阮i 露l ( 当z ，= k f 阮f 时讨论类似) 。在上述等 式中应用第p 个等式可得 一a 一，y p = 勤乃+ 乃， o y p a ，x p = 。 + 吣1 1 j = k + l i p 令r l = ，- - 7 乃，由i r l l 1 ，有， i 叩盯一吆怿喜j 吆f i 乃i i u 7 i + 窆勤| 1 乃_ 西v j j - , p j = k + l ，= l “p“d 二p i 1 再kl | 叶+ 荔z 磊n i f 吩， ( 3 - 3 ) o - r a 一 套j i 防。l 瓦u i j + 喜。k i ，防毒乏 毒害i 嘞i 叶+ 去毫1 | _ ( 3 q 因为m “ k i ，k i ，故在方程觑= p p ) “中利用第p 个等式得 善k | 吩“，= p ( 丑) 一) 咋， ，= l j = l 由引理3 3 1 和不等式( 3 3 ) ( 3 5 ) 可得 i 盯- o , i ( 口) + 瓦z q u m i f 2 t 2 t v ) ( 3 5 ) p卜 一 、jpp = 吩 。问抑 v i 叶 。川抑 第三章矩阵奇异值的估计 通过类似的讨论，在方程式( 3 - 2 ) 中应用第g 个等式可得 卜a , i + 瓦z p l t r o ) r 山0 7 “) ( 3 7 ) ( j j ) ：若p a p l ( 曰) 且p 一呜l ( c ) 。则由不等式( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可得 卜a , l 一( 丑) 表黝x 2 ) r v , 刊； 卜h ( c ) 嘉一垆”，c ：1 一口f 故有 p - - a p f 一p ) ) ( p - - a q f - 1 ( c ) ) ：了1n 壕x 巧2 声v ，锣p v n m x 垆，雹矿“ ( 3 8 ) “p 。 、 y c a 于- u p - 1 ，_ 1 ，利用不等式( 3 - 8 ) 可得奇异值口位于区域( 3 3 2 e ) 。 ( 2 ) 乙= o ，z ，o ( 或乙= o ，乙o ) 。则利用不等式( 3 6 ) ( 或( 3 - 7 ) ) 可得盯位 于区域( 3 3 2 4 ) ( 或( 3 3 2 6 ) ) 。 定理得证。 如果矩阵b 和c 的p e r r o n 向量，不易求得，我们可应用女n - - i r 的定理 定理3 3 3 若矩阵4 = 】肘。( c ) ，b , c 分别为n 阶正矩阵且满足 m a x 她i ，m ) ( v f _ ，( 1 2 ，七) ) ， 勺m a x 她i ，k l ( v i # j + 1 ，硼) ) 当( 3 3 2 c ) 被p 4 - f i x 域代替时，定理3 3 2 仍然成立 u 一e f 、( ( 3 3 2 。) u ( 3 3 2 功；( p a , i 一( 占) ) p 一巳卜( c ) ) f ，8 纠f j ， 1 = 1 t j 其中 电子科技大学硕士学位论文 = ( 罂舻) 。，( c 2 ) ) 。 ) 2 ( 渊，z ，e ) ， 岛，(