（概率论与数理统计专业论文）相依利率下离散风险模型破产问题的研究.pdf

一 t h er e s e a r c ho fr u i np r o b l e m sf o rt h e d e p e n d e n ti n t e r e s tr a t e so fd i s c r e t e t i m er i s km o d e l s ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：z h a ol i n b i a o s u p e r v i s o r ： a s s o c i a t ep r o f l i ul i h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明。所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：赵材浇 签名日期。b f - 年6 月日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即，按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名。赵僦 签名日期t 劢f p 年易月；日 导师签名： 签名日期： 五、1 葫 卅拜6 形日 摘要 风险理论主要是以保险公司的风险业务为研究对象，是对保险所面临的各 种风险进行数理分析的理论学科因此风险的度量就成为人们比较关心的问 题在很多突发事件中，如火灾、地震导致的财产索赔( 主索赔) 往往连带着医 疗等其他索赔( 副索赔) ，副索赔有可能与主索赔同时发生或延迟到下一个时段 发生因此有必要研究含副索赔下的风险模型本文集中讨论副索赔下离散风 险模型的破产概率，并考虑到随机利率对其的影响这里我们使用的线性时间 序列模型可以看成是离散的随机过程，本文的研究内容仅限于离散的情况 第一章的绪论部分，简明介绍l u n d b e r g c r a m & 经典模型，以及个体保单 的理赔方法和关于鞅的一些预备知识 第二章中我们构造一个满足二元函数h ( z ，y ) 且带有副索赔的风险模型 利用递归的方法给出该模型中破产概率的一个递推关系式，得到鞅方法下终 极破产概率和破产前瞬时赢余分布的一种上界接下来，我们通过一个具有递 推性质的积分方程，也导出破产概率的上界，并且证明该上界是优于经典模型 下的上界的，从而为保险公司的实际经营提供了比较切实可行的理论依据 在第三章，我们分别假设当利率和理赔额分别自相关时，讨论破产概率上 界的估计问题 关键词，破产概率；积分方程；相依利率；鞅方法；破产前瞬时盈余；破产 概率上界 a b s tr a c t r i s kt h e o r yi sb a s e do nt h et r a n s a c t i o nr i s ko fi n s u r a n c ec o m p a n y 鹊t h er e s e a r c h o b j e c t ，i ti sas c i e n c es u b j e c tf a c e db yt h et h e o r yo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sd i s c i p l i n e s i ni n s u r a n c er i s k t h e r e f o r e ，t h er i s km e a s u r ei sb o m m gm o r ec o n c e r n e d i nm a n y e m e r g e n c i e s ，s u c ha sf i r ea n de a r t h q u a k ec a u s i n gp r o p e r t yc l a i m s ( t h em a i nc l a i l n ) ， a r eo f t e nc o n n e c t e dw i t hh e a l t ha n do t h e rc l a i m s ( b y - c l a i m s ) l i k em e d i c a lc l a i m s t h et w ok i n d so fc l a i m sc a no c c u ra tt h es a m ep e r i o do rt h eb y - c l a i m so c c u ro n e p e r i o dl a t e r s oi t se s s e n t i a lt os t u d yt h ed i s c r e t et i m er i s km o d e l sc o n t a i n i n g b y - c l a i m s t h i sa r t i c l ef o c u s e st h eb y - - c l a i m sr i s km o d e lu n d e rt h ed i s c r e t et i m e r i s km o d e l s ，w h e r et h es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e sa r et a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o n h e r e w eu s et h el i n e a rt i m es e r i e sm o d e lw h i c hc a nb ev i e w e d 鹅d i s c r e t er a n d o m p r o c e s s t h i sp a p e ri sl i m i t e dt od m e r e t es i t u a t i o n s i nc h a p t e ro n e ，w ep r e s e n tt h ec l a s s i c a ll u n d b e r g - c r a m & r i s km o d e l s o m e d e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m sa b o u tt h ed e r i v a t i o na n dm a r t i n g a l ea r eg i v e ni nt h i sc h a p - t e r c h a p t e rt w oc o n s t r u c t sar i s km o d e lw i t hab i n a r yf u n c t i 0 咀h ( z ，暑，) a n dt h e b y - c l a i m s t h er e c u r s i v ef b r m l ao fr u i np r o b a l i t i e si sg i v e nb yr e c u r s i v et e c h n i q u e 。 a n do nt h eb a s i so fw h i c hw eg e ta nu p p e rb o u n df o rt h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y a n dt h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i nb yu s i n go fm a r t i n g a l em e t h o d n e x t ， a p p l y i n gr e c u r s i v ep r o p e r t i e so ft h ei n t e g r a le q u a t i o n ，w ed e r i v et h eu p p e rb o u n do f r u i np r o b a b i l i t y , a n ds h o wt h a tt h eu p p e rb o u n di sb e t t e rt h a nt h a to ft h ec l a s s i c a l m o d e l ，w h i c hi m p l i e st h a tw ep r o v i d ear e l a t i v e l yf e a s i b l et h e o r yt ot h ei n s u r a n c e c o m p a n yo p e r a t i n g i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ee s t i m a t et h er u i np r o b a b i l i t yu p p e rb o u n du n d e rt h e s i t u a t i o nt h a ti n t e r e s tr a t e sa n dc l a i m sa r ea u t o c o r r e l a t i o n k e yw o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y ；r e c u r s i v ee q u a t i o n ；d e p e n d e n tr a t e so fi n t e r e s t ；m a r - t i n g a l em e t h o d ；s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ；r u i np r o b a b i l i t yu p p e rb o u n d l l 3 3 副索赔下鞅上界导出的结论2 2 参考文献2 4 致谢2 7 一芹专 一序言 1 1 引言 保险是以契约形式确立双方经济关系，以缴纳保险费建立起来的保险基 金，对保险合同规定范围内的灾害事故所造成的损失，进行经济补偿或给付的 一种经济形式现实生活中，人们难免会遭受来自各方面的风险，诸如疾病、 伤残、自然灾害、财产损失等这些风险的发生，往往会给人们带来不便和损 失，甚至使人们陷入困境，而保险正是现代社会经济中人们对风险作出的一种 经济制度安排 精算是随着保险业的发展而不断完善的，由于保险公司的基本职责是分摊 风险和补偿损失，一般就要求保险公司有足够的风险分散能力因为保险公 司在定价时都被要求把纯保费( 即保险成本) 和附加保险分开计算，在纯保费 部分不能有利润因素，显示保险公司的。绝对公平”，而附加保费则主要反映 保险公司的营业费用开支和政府认可的合理利润因素所以只要保险公司有 能力分散风险一能按大数法则去出售保单，保险公司在每张保单上收取的纯 保费等于损失率由此可以发现保险定价中确定纯保费的关键是损失率的测 算，即风险的估算，那么究竟哪些风险可以测算，哪些是可保损失，损失的可 控性如何等等都是精算学研究的原始问题 风险理论已成为当前精算数学研究的热门课题之一，它主要处理保险实务 经营中的随机风险模型，并从定量的角度研究保险公司经营的安全性一保险 公司最终破产或在短时期内破产的概率，也就是说破产论是风险理论的核心内 容在保险中，为了对风险合同的风险度量，t e t e n s 把风险定义为t 如果合同 导致损失，则合同的预期损失就是风险2 0 世纪h c r a m 6 r 等人在f l u n d b e r g 工作的基础上，将经典风险模型推广，建立了一系列保险公司经营的随机风险 模型，并把p o s s i o n 过程、马氏过程、鞅和更新过程等理论广泛的应用到这一 系列模型的理论研究中去 破产理论是研究风险经营者在有限时间内和最终会破产的可能性的大小， 对经营决策起指导作用在进行风险决策前，对将来要进行的风险经营过程进 行稳定性分析，有着极其重要的现实意义和理论意义特别是在保险和投资行 】 湖北大学硕士学位论文 业，其现实意义更为显著通过对破产概率的预测和分析，可以帮助投资者是 否对一个项目进行投资；通过对某一险种的稳定性分析，可以决定是否开发这 种险种，同时对这种险种的保险厘定起指导作用，可以通过调节保量来减小经 营的风险作为评估保险公司偿付能力的数量指标一破产概率在破产理论中 有很重要的地位现已公认l u n d b e r g 和c r a r n d r 的工作为经典破产问题的基 本定理 l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典的破产概率模型为： n ( t ) u ( t ) = u + e t 一， ( 1 1 ) 七= 1 其中u 是初始资本，c 是保险公司单位时间收取的保险费，凰似1 ) 表示第 七次索赔额，( t ) 表示至时刻t 为止所发生的理赔次数， x 1 ，拖，) 独立同 分布，且该随机变量与n c t ) 独立 风险模型按照收取保费的方式可以划分为离散性和连续性两种这里只介 绍离散性模型，即以一定时间长度为收取保费的单位区间，在每一单位区间收 取固定的保费，离散时间风险模型讨论最多的是复合二次模型现实经济条件 下，未来利率的随机性往往决定着保险公司的赔偿能力估计和准备金计划， 从而影响到公司的经营状况在某些条件下，利率产生的风险比赔偿产生的风 险更大，因此采用无利率或者固定利率对破产的估计会带来比较大的误差，为 了减少不确定性，般较好的方法就是采用随机利率模型同时由于现实生活 中一些突发事件的索赔往往是连带性的也就是一次主索赔何有可能导致一 次副索赔的发生因此，带随机利率包含两种索赔的风险模型很有研究的现实 意义 1 2 古典风险模型和经典风险模型 l u n d b e r g c r a m 6 r 经典风险模型为破产论的研究奠定了坚实的数学基础， 为数学上处理方便而该模型中作了理想性的假设在古典风险模型中， j 岛，n = 1 ，2 与 碥，n = l ，2 ) 为两个独立同分布的非负随机变量序列，其中矗 和k 分别表示在第n 个时间段内总的理赔支出和总的保费收入 定义具有初始资金的最终破产概率为t 皿( u ) = p i 3 ( 魄 e y , 且存在常数r 0 ，满足方程 e ( e 以僻l - ) = 1 ， 则皿( u ) ：p 0 ( 仇 0 ) 为参数的泊松过程，且凰( 七1 ) 与 ( t ) ，t 0 是相互独立的记 ( ) s ( t ) = x k ，v t 0 ， k = l 为到t 时刻为止的总索赔额，由模型的独立性假定我们有 e ( s ( t ) ) = e ( n ( t ) ) e ( x 1 ) = a # t 为了使保险公司能正常运行，要求 c t e ( s ( ) ) = ( c 一入p ) t 0 ，t 0 即需要如下的安全负载假定t 假定2 ( 相对安全负载假定) 设 c = ( 1 + 口) a p ， 其中相对安全负载( r e l a t i v es e c u r i t yl o a d i n g ) 护 0 事实上，为了保证保险公司运作上的安全，我们一般都假定“总收入的期 望 总索赔额的期望”是恒成立的 3 湖北大学硕士学位论文 当赢余过程为负值时，称保险公司“破产”记首次破产时刻为 t = i n f t ，u ( t ) o ) ，i n f 0 = o o 记保险公司的最终破产概率为 皿( t ) = p t ) lu ( o ) = 缸) ，v u 0 破产概率可以作为评价一个保险公司偿付能力的一个数量指标 假定3 ( 调节系数存在唯一性假定) 假设个体索赔额的矩母函数 ，i o o m x ( r ) = e ( g x ) = e r 霉d f ( x ) = 1 + r e r z ( 1 一f ) ) 如， j od o 至少在包含原点的某个领域内存在，且 m x ( 小= 1 + 姜r ( 1 2 ) 存在正解 注意1 1 由于m x ( r ) 在其收敛域内是严格增加的凸函数，故方程( 1 2 ) 若 有正解，则此解是唯一的，记之为r ，并称之为调节系数 注意1 2 若记 v ( t ) = c t s ( t ) ， 则方程( 1 2 ) 有唯一正根等价于方程 m y ( d ( 一r ) = 1 有唯一正根 1 3 个体保单的理赔分布及其计算方法 首先，考虑某种一年期的寿险保单组合，合同规定如果被保险人在一年之 内意外身故，保险人将给予一定的赔付，如果无意外发生则不予赔付在知道 被保险人一年内意外身故的概率的情况下，即可得出个体保单理赔的概率分 布假设索赔额为定值，记为n ；被保险人一年内意外身故的概率为口；保险 人对每张保单可能的赔付额记为兄其分布函数记为j r ( z ) ；理赔次数为j 则 有： r 一0 一薄专 计算其期望和方差t e = e i 叫= a q ( 1 3 ) v a r r = n 2 v a r i 】_ 口2 q ( 1 一口) ( 1 4 ) 在一般情况下，个体保单的赔付额都可以表示为两个独立随机变量的乘积 r = j a ，其中，冗为某一时间段内的个体索赔总量；j 为b e r n o u l l i 变量，给 出索赔发生与不发生的概率，a 为随机变量，它给出了索赔发生的条件下， 索赔量的分布规律 为考虑保单组合的理赔分布，还需要研究独立随机变量之和的分布，本节 将给出两种精确的求解方法一卷积方法和矩母函数法 1 卷积法 设r 1 ，忌，如为相互独立的两个理赔额随机变量，其值为非负数，那 么s = r l + + r 我们记f s ( ) ，e ( ) 分别为s ，r ，l = 1 ，n 的分布函 数，则有。 f s ) = f l 车f 2 木奉r ( z ) 2 矩母函数方法 类似于特征函数的唯一性定理，矩母函数也是由分布函数所唯一确定的 对于独立随机变量和s = r l + r 2 + + r ，由于r l ，嘞，风相互独立，因 此有以下的推导z m s ( t ) = e ( e 略) = e ( e 。( r 1 + r 2 + j k ) ) = e ( e r 1 - e t r 2 e t r n ) 5 仉 z 乱 0 ，y 0 时，h ( x ，y ) 分别关于z ，y 单调递增，并且对于定义域上的z ，y 都有h ( x ，y ) 1 根据收取 保费在每一时段初或时段末，分别建立了两个模型，对其终极破产概率和破产 前瞬时盈余上界分别进行了理论研究 在2 2 节中，利用鞅方法得到两个模型中破产概率的递推公式，从而为终 极破产概率上界的推导奠定了基础在2 3 节中我们利用积分方程得此模型破 产前瞬时盈余分布的一个上界即 皿m ，南) 7 1 e e x p ( 忌m ) e e x p ( - r 2 ( u + x i ) h ( i o ，啊) ) ， 其中 ，yfl=i呈5兰二!兰帮，(可)=i-fexp(r2t)；(t ( 耖) “ o1 7”7”7 在本文的第三部分利用鞅方法对利率模型进行了进一步的讨论，得到副索 赔下鞅的上界并给出了定理证明 7 湖北大学硕士学位论文 二相依利率下含副索赔风险模型的破产问题 2 1 引言 经典的风险理论模型分为离散型和连续型经典离散型风险模型的总索 二相依利率下含副索赔风险模型的破产问题 l ( x ) = p ( 五z ) ， g ( w ) = p ( 暇伽) 两种索赔可能发生在同一时段，副索赔也有可能延迟发生，但是考虑到两种 索赔均由同一事件引起，故延迟时间不应该太长，可以假设如果副索赔延迟发 生则延迟到下一个时段设两种索赔发生在同一时段的概率为护( 0 护1 ) ， 副索赔延迟到下一个时段的概率为1 0 根据保费收取的时刻在一个时段期 初或期末可以分别建立两种模型： ( i ) 若保险公司在每个时段初就收到保费，则到第扎个时段末的总盈 余 = ( 巩一l + x n ) 日( 厶- 1 ，。一1 ) 一碥一pp 一p ( 1 一日) - l ( 2 3 ) 其中u 表示保险公司的初始盈余记分布函数 l ( z ) = p 五 z ) ， a ( w ) = p 胍 0 ， 0 ，0 t ( u ，i o ) 表示初始赢余为“，初始利率为i o 的破产时刻； r ( t ，z ，i o ) = 尸 一1 彳it = 礼，而= i o ，u o = u ) 表示初始赢余为t ，初始 利率为硒，破产时刻为n 的条件下，破产前一刻盈余不超过2 的概率； f ( z ，i o ) = p v r ( t ，旬) 一1s 名，t ( u ，i o ) o ， o ，0 ，( 札，i o ) 表示( ) 中初始赢余为u ，初始利率为i o 的破产时刻； ( t ，z ，i o ) = p r 巩一1 名i ，= 他，而= i o ，= u ) 表示( ) 中初始赢余为 u ，初始利率为i o ，破产时刻为n 的条件下，破产前一刻盈余不超过z 的概率； f 7 ( 乱，名，i o ) = p r 吁( u ，i 。) 一1 z ，t ( u ，i o ) i o = i 0 , u o = t = p u n l z it 7 ( u ，i o ) = 几，o = i o , u o = u ) 耳 ，( 仳，i o ) = n ) n = l 表示( ) 中初始赢余为t ，初始利率为i o ，破产前一刻盈余不超过z 的概率 则 雪。( u ，硒) = 尸 u ( 巩 o ) ) = p ( ，( 仳，幻) 扎) ， j 1 翼皿。( t ，i o ) = v ( u ，i o ) ， n + 故有 f ( u ，z ，i o ) = ( u ，名，i o ) p t ( u ，i o ) = n ) 1 0 二相依利率下含副索赔风险模型的破产问题 刀( 器) 组 百1 ( z ) - 佗i n f 。b b l ( z 2 ( + y ) 芴 ( 面篇一) ， 定义磊= m + pp 巧，环= 圪+ pp + p ( 1 一口) 一1 则 瞩川一e ( 面篑一 以“列一l 丽甄赢暑蒿丽h 湖北大学硕士学位论文 晶e(i赫b-2(x,+i i - ii i - 1 ) 刁 一 9 9 , r 一1 1b 1 y + i 1 - i f 可丽 i = 1 b 2 ( x + i 兀彳1 ) 竹 i - - - - 1 百- ( 抵 n 兀彳1 ) i - - - 1 刁 五) 上式的成立是因为厶1 ，当0 q 1 时，定义关于常数o t 的函数 m 脚( 器) 卸( 蒜嚣) ，b 1 ( 碲) 百l ( 溉) 由于+ 1 ，露+ l ，+ 。独立于r ，行f 关于五可测，可知上式的右边为 i - - - - 1 & ，( 直f 1 ) 因 则有 f 1 1 ；，( q ) 1 ，0 o l 1 ， e ( & + 1 l 五) 岛， 这说明 & ，竹0 是一个上鞅 我们知道破产时刻t 是个停时，记tan = r a i n z 礼) ，则其也是一个停 时，由有界停时定理知 因此 e s t n e s o = 1 ， 1 e ( s t n ) 刀( s t l t n ) e ( 瓦( t 凰冒f ) = 1 = 1 百。( t 最f lf - ) k - - - - 1 t = 1 ，j q t nj b 2 ( 凰兀1f 1 ) t 知一 e ( 二- 上l _ 、b l ( t + y k 兀f 1 ) 1 2 一 j 。1 t nj e e & n ：i 二相依利率下含副索赔风险模型的破产问题 百1 ( t ) e ( 1 丁s 。) = 百1 ( u ) 皿( t ，t o ) ， 上式中第三个不等式的成立是因为迭代( 2 2 ) ，得到 ( 2 5 ) ：“n 厶+ 妻 ( 扎几一玩) n 五 ， ( 2 6 ) k = l k = li = 七+ l 由于吩 0 ，期i s 么 仳+ t ( x 知i k 一玩) k 乍1 1 0 1 1 0 ， t + l k ) 乍1l ， 知= 1oi = l o 让+ t ( 甄k n - 1 k = li - - 1 彳1 ) i 墨- - - - 1 ( 最；鱼厶) t + ( 甄n 彳1 ) 0 且满足 ee x p ( 一冗x z 一蒜! ) ) 乩 则对于u 0 ，有 皿( ，o ) - y o ( u ) 证明取百1 ( z ) = 百2 ( z ) = e x p ( 一r l u ) ，那么可知2 0 ( x ) = e x p ( - r l u ) ，对于 0 0 满足 一 e ( e x p ( 喝一萼) ) ) 乩 那么对于u 0 ，有 皿( t i ) e x p ( - r 1 ，t ) 湖北大学硕士学位论文 在定理2 1 证明中，我们得到_ 【& ，几0 是上鞅因为t 1 那么有 e c 踯 竹) e ( s ，) = e ( 砉支蓼麦) = e ( 秀i i ) 接下来得出下面的推论 推论2 3 若b 1 是n w u ，岛是n b u ，且b l ，岛满足，对于0 o t 1 ，都有 e ( 器) 乳 仁7 ， 百，( 谛) 一 一 则有 皿( u ，j 0 ) s 加( 钍) e ( 吾i 霸) ， 其中 百k ) = 描蒜 2 3 积分方程导出破产前瞬时赢余分布的上界 在上文中，我们用鞅方法对破产概率的上界作出了估计在下面的讨论 中，我们首先利用递推方程得出以上模型中皿。( u ，o ) 的积分方程由该方程 对第n 时段的破产概率进行数值计算，同时也是求取终极破产概率上界的理 论基础 首先定义 虬( 仳，i o ) = p u ( 仇 m + z ) h ( i o ，t l ，) ，有 p 仉 o i 蟊= 耖，x 1 = z ，肌= ) - 1 1 4 二相依利率下含副索赔风险模型的破产问题 进一步有 n + 1 p u 巩 o l 霸硼x = 。，肌- - - - - w ) = 1 ， k = l 而当0sys ( 缸+ z ) h ( 而，w ) 时， p 巩 o i 霸= 秽，x t = z ，= 伽) = o ， 则 尸 u 巩 o # - 1 = 耖，x = z ，肌= 叫) ，l + 1 = p u 巩 o l 蕲= 耖，x - = z ，阢= 伽) n + 1 k = p u ( ( u + z ) 日( j l d ，伽) 一耖) i i 厶 。k = 2t = 2 k七 + ( ( 五厶一霹乃) o ) ， ( 2 8 ) i d 的产生是经过厶= 日( 厶一1 ，) 的步骤，其初始项是而现在我们定义 _ 【】- 的初始项为= h ( i o ，叫) ，且厶= 日( 一1 ，嘭) ，1 ) 其中嘭独立 同分布，与 】l 也是独立的，且有共同的分布同样也可以定义 k ) ， ) 因此，在0 y ( u + z ) h ( x o ，伽) 时，( 2 8 ) 式为 因此 p u * + z ) h t i o ，硼) 一引i ii ；+ e ( 一) 】 o ) ) k = 2t = l= 1 j = t + 1 n 七知知 = p u 洳+ z ) h ( i o ，钳) 一引+ ( 一) o ) ) k = l t = lt 2 1 j 2 t + 1 = 皿。( ( u + x ) h ( i o ，t t ，) 一y ，晶) = 皿n ( ( t + z ) h ( i o ，如) 一可，h ( i o ，删) ) ， 5 、， 1 0 巩 n u m ，f p = 如 + l i 湖北大竽碘- 2 学位论艾 = o o z p ( q ( 巩 ( t + x , ) h ( i o ，阢) ) = z 。o 。0 _ ( ( 让+ z ) h ( i o 刚砸) d g ( 吡 因此 ，o o，0 0 皿l ( u ，o ) 1 e ( e x p ( r 2 m ) ) e x p ( 一冗2 ( u + z ) 日( 局，w ) ) d l ( x ) d g ( w ) j oj 0 = 7 1 e ( e x p ( - 奶( ( u + x 1 ) h ( i o ，肌) 一班) ) ) ， 下面用数学归纳法证明结论假设对任意t 0 ，o 1 ，在佗1 时 皿n ( u ，o ) ) , l e ( e x p ( r 2 m ) ) e ( e x p ( - r 2 + x 1 ) h ( i o ，肌) ) ) ， 则当0 可s ( t + x ) h ( i o ，伽) 时 皿f l ( ( t + x ) h ( i o ，伽) 一y ，h ( i o ，加) ) 7 1 e ( e x p ( r 2 m ) ) e ( e x p ( - r 2 ( ( t + x ) h ( i o ，伽) 一y + x 1 ) 日( 日( 而，伽) ，啊) ) ) = 7 1 e ( e x p ( r 2 m ) ) e ( e x p ( - r 2 ( ( t + x ) h ( i o ，w ) 一秒) 日( 日( 南， ) ，肌) ) ) x e ( e x p ( - r 2 x x h ( h ( i o ，t ，) ，矾) ) ) ， 由于h ( x ，y ) 定义上的限制h ( z ，y ) 1 ，且 日( 日( 而，伽) ，肌) h ( 1 ，肌) ， 日( 日( i o ，叫) ，肌) 1 ， 则 皿n ( ( u + x ) h ( i o ，伽) 一暑，h ( i o ，伽) ) 7 1 e ( e x p ( r 2 ) ) e ( e x p ( 一r 2 ( ( u + z ) 日( 而，w ) 一) ) ) e ( e x p ( 一r 2 x 1 h ( 1 ，m ) ) ) = 1 , x e ( e x p ( - r 2 x 1 h ( 1 ，肌) 一m ) ) ) e x p ( - r 2 ( ( u + x ) h ( i o ，w ) 一) ) = 7 1 唧( 一r 2 ( ( u + z ) 日( j i d ，仞) 一可) ) ，( 2 1 0 ) 上式的成立是因为岛的定义因此 皿。+ l ( t 正，而) 】7 湖北大学硕士学位论文 2 上上p ( ( u + z ) h u o ，伽) ) + 似+ 日如名n ( ( u + ) h u o ，加) 一，h ( i o ， ) ) d g q：x)h(io yh ( i ow ) d f ( yd l ( x ) d g ( w )+ 皿n ( ( u +，t t j ) 一， ) i ) ，o o f r p 1 l e x p ( - r 2 ( ( t + x ) h ( i o ，w ) 一y ) ) d f ( y ) d l ( x ) d g ( w ) j oj o j ( u + z ) h ( i o ，t t ，) + ，y f o o j o u + 。徊w ：x p ( 一疡( ( u + z ) h ( i o ，) 一y ) ) d f ( 耖) 皿( z ) d g ( 伽) = ，y 1 e ( e x p ( 一r 2 ( ( 缸+ x 1 ) h ( i o ，肌) 一霸) ) ) ，( 2 1 1 ) 上式等式的成立是因为应用了定理2 1 ，不等式的成立是由于 f ( z ) 7 1e x p ( - r 2 x ) e x p ( r 2 y ) d f ( y ) 以及应用( 2 1 0 ) 的结果当n _ 0 0 时，即可得出结论证毕 对于饥，如果f ( ) 是霸的分布函数，并且一di n f ( y ) 是关于y 非增函 数，现在再来看通过推论2 1 会得出什么样的结果? 我们取百1 ( z ) = 玩( z ) = e x p ( 一r l x ) ，其中r l 满足 e ( e x p ( 一r x z 一淼) ) 乩 与证明推论2 1 的方法类似，用j e s s e n 不等式就可以证明是满足推论2 3 的条 件的，因此，求得加( u ) = e x p ( 一u r a ) 应用推论2 4 ，有 皿( ，而) e ( e x p ( - r l ( u + x 1 一m 日( i o ，研) ) ) ) 可以看出这两个上界是有一定差距的，然而我们很难判断这两个上界哪个更 好 但我们可以通过以下的解释，说明这两个上界与经典模型中的上界相比， 是具有相对的优良性的先来阐述如下的引理 引理2 1 若e x l e y , ，r 1 如定理1 2 所定义，尼如定理2 2 所定义， 凰是经典模型的调节函数，即满足 e ( e x p ( - r o ( x , 一m ) ) ) = 1 ， 的最小正数，则r 1 a o ，r 2 凰 证明考察下述三个方程 1 8 二相依利率下含副索赔风险模型的破产问题 f ( r ) = e ( e x p ( - r ( x 1 h ( 1 ，w 1 ) 一m ) ) ) 一1 ， h ( r ) = e ( e x p ( 一r ( x l 一霸日一1 ( 1 ，m ) ) ) 一1 ， g ( r ) = e ( e x p ( - r ( x 1 一) ) ) 一1 易知 ，( r ) = e ( ( x 1 日( 1 ，啊) 一霸) 2e x p ( - ，( x 1 日( 1 ，肌) 一薪) ) ) 0 ， 以及( r ) 0 ，因此，( r ) ，h ( r ) 是凸函数，并且f ( o ) = 0 ，h ( 0 ) = 0 ， f ( 0 ) = e ( h x 1 h ( 1 ，肌) ) e m e x l 0 ， 以及危7 ( o ) 0 ，r o 0 存在的话，他们是唯一的并且知如果存在某个 r 0 ，且g ( r ) 0 则r 凰因为h ( 1 ，肌) 1 ，所以 9 ( r 2 ) = e ( e x p ( - r 2 ( x 1 一m ) ) ) 一1 e ( e x p ( - r 2 ( x l h ( 1 ，w ，1 ) 一m ) ) ) 一1 0 类似的也可以得到g ( n 1 ) 0 ，因此r 2 r o ，r 1 r o 有了以上的引理2 1 ，我们得到 定理2 4 对任意t 0 ，o 1 ，有 7 l e ( e x p ( r 2 m ) ) e ( e x p ( - r 2 m + x 1 ) h ( i o ，肌) ) ) e x p ( - r o 让) ， 其中 7 1 1 一- - - i 茹雩器掣， 以及 e ( e x p ( 一r 1 【u + x 1 一薪日一1 ( o ，肌) 】) ) e x p ( 一r o u ) 证明 1 , l e ( e x p ( r 2 m ) ) e ( e x p ( - r 2 ( 钍+ x 1 ) h ( i o ，m ) ) ) = 2 ( 1 e ( e x p ( r 2 m ) ) e ( e x p ( 一尼u h ( x o ，肌) 一恐x 1 h ( i o ，w 1 ) ) ) 一t l e ( e x p ( - r 2 ( x i h ( 1 ，肌) 一m ) ) e ( e x p ( - r 2 u h ( i o ，肌) ) ) 7 1 唧( r o u ) e x p ( - 凰u ) ，( 2 1 2 ) 1 9 湖北大学硕士学位论文 上式中第一个不等式的成立是由l o 1 ，h ( i o ，w 1 ) h ( 1 ，w 1 ) 所得到，第二 个不等式是由引理2 1 得到，( 2 1 2 ) 式是由饥1 类似可以得到如下 e ( e x p ( 一r l ( t + x 1 一霸日一1 ( x o