（运筹学与控制论专业论文）破产论经典风险模型在期权定价上的应用.pdf

摘要 本论文着重于破产论在期权定价中的应用，通过破产论中的典型方法来研究、 解决传统期权定价问题。 破产论在数学金融领域中的应用，特别是对于数学金融中期权定价方法的创 新，是目前破产论具有代表性研究方向之一，主要方法有风险中性测度e s s c h e r 变 换法 15 】以及利用经典连续风险模型的等价鞅测度方法【1 4 。本人的工作则是将这 些基本方法应用于具体期权定价上，讨论了欧式看涨、美式看涨、美式看跌期权。 同时，破产论在期权定价上的应用多集中于连续模型上，本文则将离散模型等价鞅 测度方法用于研究期权定价，得出新的经济应用模型 第一章概述研究课题背景、特点、历史发展和本人主要工作， 第二章介绍了期权定价及破产论基本概念、主要方法。特别的，对于离散经典 风险模型，我们改进了成世学和伍彪【6 l 所给出的任意初始盈余条件下最终破产概 率递推解，得到更为简洁的递推公式及算法，并结合中国保险业具体数据以实侧证 之f 2 8 ，提出以模拟算法研究经济模型的实际应用性。 第三章讨论了风险中性测度e s s c h e r 变换基本方法【1 5 3 。在此基础上，我们将 该方法应用于p o i s s o n 过程和随机游动过程，分别得到经典连续破产模型和离散模 型特例下的欧式看涨期权价格公式。 第四章在g e r b e r 和s h i u 1 4 】关于美式看跌期权连续模型研究的基础上，我们 研究了看涨美式期权，给出了一般形式下的期权策略价值公式。 第五章我们提出了将离散模型等价鞅测度方法f 1 7 用于期权定价等经济领域 研究，利用复合二项模型盈余过程作为描述风险资产随机过程的自然对数，建立全 新的经济模型：重置保证金模型及看跌美式期权模型。在一定条件下，根据资产定 价定理，衍生证券价格即为折现回报的期望值，据此得出重置保证金定价公式，期 权定价公式，并利用期权策略价值公式和回报函数的关系，得到美式看跌期权最优 实施策略。 关键词： 破产论，e s s c h e r 变换法，等价鞅测度，经典风险模型，期权定价，实施策略。 a b s t r a c t t h et h e s i si sf o c u s e do nt h ea p p l i c a t i o n sa n di n n o v a t i o n so fr u i nt h e o r yi no p t i o n s p r i c i n g i ti so n eo fr e p r e s e n t a t i v er e s e a r c hf i e l d so fr u i nt h e o r yt h ei m p o r t a n tm e t h o d s i n c l u d er i s k n e u t r a le s s c h e rt r a n s f o r m 1 5 a n dt h ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r ei nc l a s s i c a lc o n t i n u o u s t i m er i s km o d e l 1 4 w ep r e s e n ts p e c i f i cf i n a n c i a lm o d e l s e u r o p e a nc a l l o p t i o n p r i c i n gf o r m u l a ，a n l e r i c a nc a l lo p t i o n - p r i c i n gf o r m u l aa n da m e r i c a np u to p t i o n p r i c i n gf o r m u l ai nd i f f e r e n tc i r c u m s t a n c e s a tt h es a l r l et i m e ，w ed e v e l o pan e wf i n a n c i a l m o d e lv i at h ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r ei nd i s c r e t e - t i m er i s km o d e l t h ef i r s tc h a p t e r ：w eo u t l i n et h eb a c k g r o u d ，s t r o n g p o i n t s ，h i s t o r i c a ld e v e l o p m e n t a b o u tt h ep r o b l e ma n dm a i nw o r ko fo u rs t u d y t h es e c o n dc h a p t e r ：t h et r a d i t i o n a lm e t h o d si no p t i o n p r i c i n gt h e o r ya n dr u i n t h e o r ya r ei n t r o d u c e d e s p e c a i l y , w ei m p r o v et h er e c n r s i v es o l u t i o nt ot h eu l t i m a t er u i n p r o b a b i l i t yf o ra r b i t r a r yi n i t i a ls u r p l u sb yc h e n gs h i x u ea n dw ur i a n 6 1 t h ea l g o r i t h m i si n v e s t i g a t e dw i t hr e s p e c tt ot h er e a ld a t af r o mc h i n e s ei n s u r a n c ei n d u s t r y 2 8 t h et h i r dc h a p t e r ：r i s k n e u t r a le s s c h e rt r a n s f o r m 1 5 i sd i s c u s s e d f u r t h e r m o r e ，e u r o p e a nc a l lo p t i o n p r i c i n gf o r n m l a sa r eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l ya sl o g a r i t h mo f s h i f t e dp o i s s s o np r o c e s sa n dr a n d o mw a l ko nt h es p e c i a lc o n d i t o n so fc o n t i n u o u s t i m ea n d d i s c r e t e - t i m em o d e l ， thef o u r t hc h a p t e r ：m o t i v a t e db yt h em o d e l i ng e r b e ra n ds h i u 1 4 ，w ec o n s i d e r a m e r i c a nc a l lo p t i o na n ds t u d yt h ev a l u eo ft h eo p t i o n e x e r c i s es t r a t e g y ， t h ef i s hc h a p t e r ：w ec o n s i d e rt h ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r ei nd i s c r e t e t i m er i s km o d e lt oo p t i o n sr e s e a r c h t h el o g a r i t h mo ft h ep r i c eo ft h eu n d e r l y i n ga s s e t , i s m o d e l e da sas u r p l u sp r o c e s si nc o m p o u n db i n o m i a lm o d e lh e r ew ep r e s e n tt w of i n a n c i a l a p p l i c a t i o n st h ep r i c i n go fr e s e tg u a r a n t e e so fam u t u a lf u n da n dt h ep r i c i n go fa na m e r i c a np u to p t i o n t h ep r i c eo fad e r i v a t i v es e c u r i t yi st h ee x p e c t a t i o no ti t sd i s c o u n t e d p a y o f f f o rt h ep u to p t i o n ，w eg i v ea l lo p t i m a lo p t i o n e x e r c i s es t r a t e g yb ya p p l y i n gt h e c o n t i n u o u sj u n c t i o nc o n d i t i o no fi t sv a l u eo ft h eo p t i o n e x e r c i s es t r a t e g ya d dp a y o f ff u n ( ；一 “o n k e y w o r 。d s ：r u i nt h e o r y ，e s s c h e rt r a n s f o r m e q u i v a l e n tm a r t i n g a l el l l e e u r e c l a s s i c a lr i s km o d e l o p t i o np r i c i n g ，o p t i o n e x e r c i s es t r a t e 9 5 7 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 、p f 签名： 渔i 型垒日期：兰竺竺：垒：! 乡 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 r 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) r ，p 签名：堕塑。筮导师签名 日期：三p ，厂，矿 上海大学硕士学位论文 第一章引言 1 。l 应用破产论研究期权定价的意义及特点 随着世界性范围内金融市场的日益完善和发展，众多金融产品包括股票、期权 等成为了投资者的宠儿。但由于金融市场的高风险性和不确定性，长期以来，人们 一直在探索利用各种方法来正确评估资产风险和期权价值 从实际意义上讲，期权是一种客观选择权特别是在投资和经营领域，人们总 是面对着各种各样的期权和期权投资组合，目前的决策总是会影响未来一定时间选 择权及其价值的增减。在投资和回报都相同的情况下，人们更愿意选择那些有某种 灵活性的项目，这种灵活性本身就是一种期权，而这种期权当然是有价值的。换而 言之，人们愿意为拥有这种更为优越的选择权纣出代价，那么，期权的价值究竟几 何，又应该如何定价呢? 这正是期权定价理论研究的核心 从理论意义上讲，期权定价理论，作为现代金融工程的核心内容，也是2 0 世 纪经济学领域最为重要的成果之一。同时，期权定价理论拥有深厚的理论基础，仅 在数学领域中，就涉及到随机微分方程、点过程等艰深理论。而这一理论的发生发 展，仅仅发生在短短半个世纪，也足以证明其生命力的强大。 最初的期权定价研究多通过估计、预测等数理统计方法，不仅过于依赖大量原 始数据，而且得出结果往往比较粗糙。5 0 年代末6 0 年代初，西方经济学家率先开 始用随机分析的方法构造数学金融模型。m a r k o m i t z 投资组合的均值一方差理论与 s h a r p e 的资本资产定价理论，引发了所谓“第一次华尔街革命”，开创了金融数学 领域的先河。第二次“华尔街革命”是在b l a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 3 年提出期权定价 理论后开始的正是这二次革命中诞生的m a r k o m i t z s h a r p e 理论与著名的期权定价 公式b l a c k s c h o l e s 公式，构成了蓬勃发展的新学科一一数理金融学的主要内容，同 时也是研究新型衍生证券设计的理论基础。 数理金融学( m a t h e m a t i c a lf i n a n c e ) 就是利用鞅论和随机分析等数学工具研究 金融，进行定量分析，以求找到金融活动内在的规律并用以指导实践，这是一门新 兴的交叉学科，也是目前十分活跃的前沿学科之一，发展很快，充分体现了现代数 学与计算技术在金融领域的应用，它通过建立金融数学模型，将金融学与数学紧密 结合，从新的视角研究金融市场，对风险分析、预测和监控有着非常重要的作用。 本文讨论的重点，不在数理金融学上，而是期权定价理论的一个新兴的领域一 通过破产论( r u i n1h e o r y ) 将保险数学与数学金融结合进行交叉研究。 破产论在数学金融领域中的应用，特别是对于数学金融中期权定价方法的创 上海大学硕士学位论文 2 新，是目前破产论具有代表性研究方向之一。破产论是风险论( r i s kt h e o r 3 ) 的核心 内容，属于保险数学( 也称精算数学a c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ) 的范畴。回顾历史，其 研究追溯于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g1 9 0 3 年发表的博士论文【1 】，至今已有近百 年的历史。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的严格化是以 h a r a l dc r m n 6 r 2 1 为首的瑞典学派完成的，是c r a m & 将l u n d b e r g 的工作建立在坚 实的数学基础之上。一百多年来，破产论得到了充分的发展。c r a m 6 r 之后破产论 研究中最令人瞩目的是方法论的改进f e l l e r 的更新论证罔和g e r b e r 的鞅方法f 4 1 已成为研究经典破产论的主要数学工具。继c r a m 6 r 之后，h a n su g e r b e r 5 1 成为 当代研究破产论的领先学者。他不仅将鞅方法引入到破产论的研究中，而且深化了 经典破产论的研究内容。当前破产论的研究主要集中在几个代表性的方向：完全离 散的经典风险模型【6 ；重尾分布的破产论【7 ；具有复合资产的破产论 8 】；保险 数学与数学金融的交叉研究。 通过破产论将保险数学与数学金融进行交叉研究，有其重要意义。 首先，从理论角度出发，经典破产论经过近百年的发展，研究几乎做到极致 而要从事现代破产论的研究，又需要较艰深的概率论方面的知识( 如随机分析，点 过程等) ，这已远超出了精算从业人员，乃至大多数从事精算理论研究人员的数学 背景。保险数学和数学金融的交叉研究已成为精算学理论研究的新热点。 其次，从现实角度出发，精算数学主要测算、建构模型和管理风险。目前，许 多保险公司面临的最主要不确定因素是伴随投资函数的风险。精算师应当具有资产 定价的相关知识，包括：金融市场的运作，数理金融模型，期权和衍生证券的定价 方法。a s m u s s e n 9 1 曾谈到精算业和数理金融的相互作用在过去的几年中，精算 师和金融工程师已经共同开发了许多新的人寿保险险种，例如：保险合同相关实体 ( e q u i t yl i n k e di n s u r a n c ec o n t r a c t s ) ；在非寿险方面，引入了新的类别，例如：未来 重大灾难保险期权( c a t a s t r o p h ei n s u r a n c ef u t u r e sa n do p t i o n s a c to fg o db o n d s ) ； 产生了新的再保险险种这些发展很大程度上来源于数理金融的思想。 保险数学和数学金融的交叉研究前景也被普遍看好。精算基金协会( a c t u a r i a l f o u n d a t i o n ) 最近出版了一本专著f i n a n c i a le c o n o m i e s f 1 0 1 ，希望引起精算界 对金融经济的重视，以适应新世纪的挑战。此专著由h h p a n j e t 主编，全书共分11 章，每章由一位在金融界或精算界的领先学者撰写。 保险数学与数学金融交叉研究，在期权定价领域已取得了一定成果。g e r b e r 又 一次成为该领域的佼佼者。从1 9 9 4 年起，g e r b e r 和s h i u 合作，着力于利用传统精算 学的工具，进行精算数学和数学金融的交叉研究，讨论了未定权益和永久性期权的 定价，发表了一系列引起广泛反响的重要研究文章f 1 1 一1 6 l ，为经典破产论、以及期 权定价理论的研究注入了新的活力，引起了从事数学金融研究人员的关注。往f t n l 上海大学硕士学位论文 3 中，g e r b e r 和s h i u 写了该书第1 0 章：o p t i o np r i c i n gi nc o n t i n u o u st i m e 。g e r b e r 和s h i u 研究特色主要体现在以下三方面： 1 风险资产的样本轨道具有跳跃点 数学金融中描述风险资产( 如股票) 的随机过程样本轨道大都连续( 如几何 b r o w n i a n 运动或i t o 型随机微分方程的时解) 。g e r b e r 和s h i u 的研究 1 1 ，1 2 中利 用p o i s s o n 过程或经典破产模型中的霾余过程作为描述风险资产的随机过程的自然 对数，从而使其样本轨道是带跳跃的此外，在一定条件下，作为极限情形，又可 导出数学金融中的经典结果，如b l a c k s c h o l e s 定价公式 g e r b e r 和l a n d r y 1 3 】还在研究中将索赔总额过程推广至带扩散扰动项的复合 p o i s s o n 过程，即将独立维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 加到经典破产模型中的盈余 过程，从而得到振荡、带跳跃的样本轨道在此条件下讨论罚函数的折现价值期望 值，并用于股票价格是扩散扰动类型的美式看跌期权定价，得到最优实施价格边界 ( o p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r y ) 在【1 4 中，g e r b e r 和s h i u 把研究推广到重置保证金( r e s e tg u a r a n t e e ) 问题， 并在此基础上探讨了美式期权购买人实施期权的最优策略 2 + 利用e s s c h e r 变换构造风险中性测度 数学金融中有两个资产定价的基本定理( 【1 0 c h a p 5 和c h a p 1 1 ) 定理1 1 一个( 满足一定条件的) 经济模型是无套利( n oa r b i t r a g e ) 的充要条件 是存在一个与真实的概率测度等价的鞅测度( 也称风险中性诩4 度) ，使得在此测度 下，风险资产的折现价格过程为一鞅。 称一个经济模型是完全的，如每一未定权益皆可以借助自融资组奄hs e l f - f i n a n c i n g p o r t f o l i o ) 来复制。 定理1 2 假定经济模型是无套利的，则它是完全的充要条件为仅存在一个等价的 鞅测度。 由上可知，在一个无套利的完全经济模型中，未定权益的定价是唯一的，它恰 等于未定权益的折现价格对于这唯一的等价鞅测度的期望值。然而，在一个无套利 的不完全经济模型中，未定权益的定价就不是唯一的g e r b e r 和s h i u 的贡献f 1 51 6 1 恰是在这一重要情形中，借助传统精算学中的e s s c h e r 变换的概念，建立了一种构 造风险中性测度的e s s c h e r 变换法。这种构造风险中性测度的方法非常简明，当基 础证券( p z i m a r 3s e c t l i i t i e s ) 价格随机过程具有平稳独立增量，e s s c h e r 变换十分有 效。即使与未定权益等价的鞅测度不唯，利用风险中性测度e s s c h e r 变换仍可以 得到唯一确定解，视为具代表性的投资者对于投资效用期望的最大化。而且在完全 市场的情形下，这种定阶方法又和已知的定价公式( 如b k k s t i m l r 。定价公式卜 土连太堂亟堂焦迨塞 ! 致。 3 不涉及艰深的数学理论 不同于传统意义上的期权定价公式，利用破产论进行期权定价的研究不涉及艰 深的数学理论( 如随机分析、点过程等) ，容易为精算界接受。 1 2 本人主要工作 本人的主要工作集中于破产论在期权定价中的应用，通过破产论中的典型方法 来研究、解决传统期权定价问题。 如前所述，破产论对于数学金融中期权定价方法的创新主要有：风险中性测度 e s s c h e r 变换法 15 】以及利用经典连续风险模型的等价鞅测度方法1 4 1 。本人的工 作则是将这两大方法应用于具体期权定价上，并提出利用经典离散风险模型的等价 鞅测度方法进行期权定价研究。 首先，在风险中性测度e s s c h e r 变换基本方法 1 5 】基础上，针对经典连续破产 模型和离散模型盈余过程的特例，我们得到了跳跃p o i s s o n 过程和随机游动过程下 的欧式看涨期权价格公式。 其次，利用经典连续风险模型的鞅方法，我们给出了看涨美式期权模型，得到 一般形式下的期权策略价值公式。 最为重要的，由于破产论在期权定价上的应用多集中于连续模型上，离散破产 模型虽有一定理论基础【成世学等1 7 】，但尚未建立期权定价经济模型，因此，我们 将等价鞅测度方法推广到离散风险模型，利用复合二项模型盈余过程作为描述风险 资产的随机过程的自然对数，得出新的经济应用模型：重置保证金模型及看跌美式 期权模型，并根据资产定价定理，衍生证券价格即为折现回报的期望值，得到保证 金价格公式和期权定价公式。在一定条件下，我们利用期权策略价值公式和回报函 数的关系，得到最优实施策略，参见作者已完成论文1 。 在对破产论，特别是完全离散经典风险模型的研究中，我们对于现有的任意初 始盈余条件下的最终破产概率递推解【6 】，进行了改进，得到更为简洁的最终破产 概率递推公式及算法，并以中国保险行业实际数据加以证之，参见汤薇薇和王汉兴 2 8 1 ，为后文经济模型的实际应用展开探索。 上海大学硕士学位论文 5 第二章破产论及期权定价理论常用方法 本章简单介绍丁期权定价理论基本概念、传统方法，重点阐述了破产论l - c 经 典风险模型及鞅方法的思想应用，在2 23 节中，我们除介绍了完全离散经典风险 模型，并将对其最终破产概率田( “) 递推解进行改进，得到新的算法，加以实例证 之 1 2 1 1 期权定义 2 1期权定价理论 期权( o p t i o n ) 的基本含义是：买卖特定商品或有价证券合约，并在合约到期时 由合约买方决定是否执行这一台约，从形式上看，期权是一种交易双方签订的，按 约定价格、约定时间，买卖约定数量特定商品或有价证券的合约。与一般合约不同 的是，期权是一项选择权，期权交易实质上是一种权利的买卖期权一方在向对方 支付一定数额的货币后，即拥有在一定时间内以一定价格向对方购买或出售一定数 最的某种商品或有价证券的权利，而不负必须买进或卖出的义务，而出售合约的一 方则必须服从买方的选择 在期权交易中，获得选择权的一方通常称为期权购买人( o p t i o nb u y e r ) ，因 为他们为获得这种选择权必须向该权利的提供方支付一定的货币。而向交易对方提 供这种选择权的一方，通常被称为期权出售人( o p t i o ns e l l e r ) ，因为他们是以收取 一定货币为前提而提供这种权利的因此期权出售人也被称作期权创造者( m a k e r0 f t h eo p t i o n ) 或出具人( w r i t e r ) 。 按照期权中包括的选择权力不同，期权可分为两类，即看涨期权( 也称买入期 权，c a l lo p t i o n ) 和看跌期权( 也称卖出期权，p u t ；o p t i o n ) 。 买了看涨期权，购买人就有权利( 但不是义务) 在约定时间按约定价格向期权 出售人购买特定数量的特定商品或有价证券，而不管届时这种商品或有价证券的价 格发生了怎样的变动。 与看涨期权相反，买进看跌期权，购买人就有权利( 但不是义务) 在期权有效 期内，按约定价格向期权出售人出售约定数量的特定商品或有价证券，而不管在此 期间这种商品或有价证券的价格如何变动。 在西方国家的期权市场上，关于期权有一系列的术语。期权购买人行使自己 “购”或者“售”的权利，称为实施( e x e r c i s ( ) 期权规定允许实旆的最后一天， “购”或者“售”的权利，称为实施( e x e r c i s e ) 。期权规定允许实施的最后一天 上海大学硕士学位论文 0 第二章破产论及期权定价理论常用方法 本章简单介绍了期权定价理论基本概念、传统方法，重点阐述了破产论l - c 经 典风险模型及鞅方法的思想应用。在2 2 3 节中，我们除介绍了完全离散经典风险 模型，并将对其最终破产概率田( u ) 递推解进行改进，得到新的算法，加以实例证 之。 2 1 1 期权定义 2 1期权定价理论 期权( o p t i o n ) 的基本含义是：买卖特定商品或有价证券合约，并在合约到期时 由合约买方决定是否执行这一合约。从形式上看，期权是一种交易双方签订的，按 约定价格、约定时间，买卖约定数量特定商品或有价证券的合约。与一般合约不同 的是，期权是一项选择权，期权交易实质上是一种权利的买卖。期权一方在向对方 支付一定数额的货币后，即拥有在一定时间内以一定价格向对方购买或出售一定数 量的某种商品或有价证券的权利，而不负必须买进或卖出的义务，而出售合约的一 方则必须服从买方的选择 在期权交易中，获得选择权的一方通常称为期权购买人( o p t i o nb u r r ) ，因 为他们为获得这种选择权必须向该权利的提供方支付一定的货币。而向交易对方提 供这种选择权的一方，通常被称为期权出售人( o p t i o ns e l l e r ) ，因为他们是以收取 一定货币为前提而提供这种权利的，因此期权出售人也被称作期权创造者( m a w ro f t h eo p t i o n ) 或出具人( w r i t e r ) 。 按照期权中包括的选择权力不同，期权可分为两类，即看涨期权( 也称买入期 权，c a l lo p t i o n ) 和看跌期权( 也称卖出期权，p u to p t i o n ) 。 买了看涨期权，购买人就有权利( 但不是义务) 在约定时间按约定价格向期权 出售人购买特定数量的特定商品或有价证券，而不管届时这种商品或有价证券的价 格发生了怎样的变动。 与看涨期权相反，买进看跌期权，购买人就有权利( 但不是义务) 在期权有效 期内，按约定价格向期权出售人出售约定数量的特定商品或有价证券，而不管在此 期间这种商品或有价证券的价格如何变动。 在西方国家的期权市场上，关于期权有一系列的术语。期权购买人行使自己 “购”或者“售”的权利，称为实施( e x e r c i s ( 、) 。期权规定允许实施的最后一天， 上连大堂亟士堂焦论文 6 叫做期满日( e x p i r a t i o nd a t e ) 。期权规定选择实施时应依照的价格，叫做实施价 格( e x e r c i s ep r i c e ) 。由于实施价格是期权买卖双方在交易时协商议定的，因此在 多数场合又称之为约定价格或协议价格( s t r i k i n gp r i c e ) 。期权所代表的实施时应 世纪交割的有价证券，叫做基础证券( u n d e r l y i n gs e c u r i t i e s ) 。 在期权交易实施惯例上，美国和欧洲国家有一个重要区别：在美国，期权可 以在期满之前，包括期满日当天的任何一个营业日实施，这样的期权叫美式期权 ( m n e r i c a no p t i o n ) ；而在欧洲国家，期权只能在期满日当天实施，这样的期权叫 欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 。 在标准化的期权合约中，期权的有效期、约定价格、基础证券的种类和数量等 都是事先规定的。只有期权的价格是期权合约中唯一的变量，是交易双方在交易所 内用公开竞价方式决定出来的。期权的购买或销售价格通常称为权利金或保险费 ( p r e m i u m ) ，它是期权购买入付给期权出售人用以换取期权所赋于权利的代价。 不同类别的期权定价问题，是数理金融研究的核心。而对于美式期权，期权购买人 何时实施期权的最优策略，也是投资人关心的问题。 2 1 2 期权的实施价格、价格、价值和利润 如上所述，期权的实拖价格，是指期权合约所规定的，期权买方在行使期权时 所实际执行的价格，即期权买方据以向期权出售者买进或卖出一定数量的某种商品 或有价证券的价格。这一价格在签订期权买卖合约时确定，在期权有效期内，不受 市场价格变动的影响，因此也被称为约定价格 期权的内在价值，是指其自身具备的市场价值，它随着基础证券市场价格的升 降而变动。对于看涨期权来说，如果到期相应物品的市场价格低于或等于期权的实 旌价格，则持有人按市场价格购买更为有利，该看涨期权实际上并没有起作用，内 在价值为零。相反，则持有人按实施价格购买更为有利，利用该看涨期权可以节省 价款，恰为市场价格和实施价格之差，即为其内在价值。以s 表示期权对应物品的 市场价格，为实施价格，看涨期权内在价值v = m a x ( o ，s 一 - ) ；看跌期权内在 价值为v = m a x ( 0 ，一s ) ，如图21 所示f 2 7 j 。 v + 卜 看跌期权价值 i 一 ：、 s ( 1 k ( 约定价格)，、- ( 约定价格 图2l 看跌期权价值图 上渔盘堂亟堂焦迨塞一立 期权作为一种纯粹的权力，这种权力的市场价值便是期权价格( o p t i o np r i c e ) 。 从规避风险的角度来看，持有期权无疑是投了一个财产保值或增值险，因此又称期 权保险费( o p t i o np l e i l l i l n n ) 。期权价格与内在价值有关，但不同于价值。通常， 期权价格除了包括内在价值，还包括时间价值( t i m ev a l u e ) 。它不同于传统投资 方法中所讲的资金的时间价值，如图2 2 所示【2 7 】。期权定价理论研究的就是期权 价格。 价值或价格 期权所代表资产市场价格 图2 , 2 看涨期权内在价值和价格 既然期权需花费代价才能得到，那么期权利润= 期权到期的内在价值v 一期权 价格。 2 1 3 传统期权定价的主要方法 1 9 9 7 年诺贝尔经济奖授予莫顿( r m e r t o n ) 和修斯( m s c h o l e s ) ，以奖励他们 和勃拉克( f b l a c k ) 在确定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是广域期权定价 的著名的b l a c k s c h o l e s 公式，它奠定了研究耨型衍生证券设计的新学科一一金融工 程的理论基础。正如瑞典皇家科学院评奖主席贝提尔纳斯伦德所言，b l a c k s c h o l e s 理论模型与信息技术和计算机并称为使金融衍生商品市场发展的三大原因。 期权定价理论并非始于b l a c k - s c h o l e s 模型。在此之前，不少经济学家都曾研究 过这一问题。现代期权定价理论的源头始于1 9 0 0 年，法国数学家路易斯巴舍利耶 ( l o u i sb a c h e l i e r ) 在巴黎大学完成的毕业论文投机理论，在分析期权定价的 问题上非常著名，开创了经济学研究数量化模型化的方向。他假设一个没有漂移， 每单位时间具有方差一2 的股票价格运动是绝对的布朗运动，从而确定到期日买方 期权的预期价格。6 0 年代，期权定价理论趋于活跃。1 9 6 1 年，美国经济学家斯普 里克尔( s p r e k l e ) 假设了一个对数分布，该分布中的股票价格具有固定平均值和 方差，且允许股票价格有正向漂移，从而得到买方期权价值。1 9 6 4 年，美国经济学 家博内斯( b o l l e s s ) 假定股票收益服从一个固定对数分布，并假定投资者不在乎 风险，从而证明用股票的预期收益率来贴现最终期权价值的合理性。1 9 0 9 年，莫 上海大学硕士学位论文8 顿与著名经济学家萨缪尔森合作，用资产组合选择的简单均衡模型检验了期权定价 理论。1 9 7 3 年，b l a c k s c h o l e s 模型发表，并由莫顿于1 9 7 6 年引入风险中性测度。 在此基础上，盖曼( g a r m a n ) 和库黑根( k o h l h a g e n ) 于1 9 8 3 年推出了欧式外汇 期权定价公式。这些理论充分说明了数学在解决实际经济问题方面的巨大作用，显 示了数理金融学对当代经济生活的重大影响。 关于期权定价的理论研究和综述文献【1 8 】相当丰富，下面简单介绍三种传统期 权定价主要方法。 1 _ b l a c k s c h o l e s 模型 b l a c k s c h o l e s 模型 1 9 建立在5 个假设条件上：( 1 ) 期权的标的物为有风险资 产，可自由买卖。( 2 ) 期权是欧式的。( 3 ) 标的资产价格变动连续均匀，服从几何或 对数布朗运动。 ( 4 ) 存在常数无风险利率r 。( 5 ) 不存在无风险套利机会，没有交 易成本、税收和卖空限制。 其基本思想是：衍生资产的价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种不确定 因素的影响，二者遵循相同的维纳过程。如果通过建立一个包含恰当的衍生资产头 寸和标的资产头寸的资产组合，可以消除维纳过程，标的资产头寸与衍生资产头寸 的盈亏可以相互抵消。在不存在无风险套利机会的情况下，该资产组合的收益应等 于无风险利率。通过求解偏微分方程可得欧式看涨期权的定价公式 其中 p ( x ，t ) = x e 2 ( d 1 ) 一k 中( d 2 ) e x p 一r ( t t ) 】( 21 1 ) d 1 ：! 唑丝2 f ! ! 型丛! 二塑 1 c r , t t 虻型掣籍笋盯、一t k 表示期权的执行价格，p ( x t ) = m a x 0 ，。一 ，z 0 表示t 时刻标的资产价格为 z 时看涨期权的价值，丁表示期权的有效期限，r 表示无风险利率，a 。表示标的 资产收益率变化速度的方差，圣( ) 为标准累积正态分布函数。 同理可得欧式看跌期权的定价公式 p ( x ，t ) = 一z 西( 一d 1 ) + k 西( 一d 2 ) e x p 一r ( t t ) ( 2 1 2 该方程的特点之一就是消去了预期收益率，从而不包含任何反映投资者风险偏好的 变量，因此无需假定投资者都是风险中性。不足之处即只能给出欧式期权的解析解。 生态堂塑堂笪迨塞 1 2 二叉树方法 c o x ，r o s s 和r o b i n s t e i n 提出了二叉树方法 2 0 ，基本思想是：将期权有效期 分为若干个足够小的区间t ，在每个区间内假定标的资产价格从z 运动到w z 的 概率为p ，( u 1 ) ；运动到x d 的概率为1 一弘d = i 1 。由于标的资产价格变动率服从 正态分布，运用风险中性定价原理可得 u ：矿面 假定一个不付红利股票在初始时刻0 的股票价格为z ，其美式期权的有效期? 被分成段，长度为a t ，则。出时刻，股票价格为 。秽一，( o s i n ，o 曼j s ) 设此时的期权价值为c i j 。在已知到期日t 的股价之后，可得美式看涨期权价值 c 1 = i i l a x ( x “d n 一一k ，0 ) j = 0 ，1 ，- - ， 依据风险中性定价原理，t 一t 时刻期权价值可由丁时刻期权价值的期望值以无 风险利率r 折现求得。因此，假设不提前执行，风险中性倒退公式为 c l j = e - r a t 【p 岛+ 1 ，j + l + ( 1 一p ) c i + l ，j 】， ( 0 s i 曼n 一1 ，0 sj i )( 2 1 3 ) 这也可看作欧式看涨期权在结点( i ，j ) 的价值若考虑提前执行，c 。须与看涨期权 内涵价值进行比较，可得 q j = m a x ( x u 3 d 4 一一e - r a t b q + 1 ，j + l + ( 1 一p ) c i + l ，j 】)( 2 1 4 ) 3 蒙特卡罗模拟方法 蒙特卡罗模拟方法【2 l 】基本思想是：假设已知标的资产价格的分布函数，将期 权有效期t 分成n 段，通过计算机从分布样本中随机抽样来模拟每个区间价格变 动及可能运行路径，得到期权最终价值。这一结果可视为全部可能终值全集中的一 个随机样本。重复几千次，得到t 时刻期权最终价值的一个集合，求其平均，即为 t 时刻期权的预期收益x r 。根据无套利定价原则，用无风险利率r 折现蜥就可 得到当前时刻期权的价格 p = e 。e 【溉1 1( 2 1 5 ) 该方法能解决标的资产预期收益率和波动率函数形式比较复杂的情况，但只能用于 欧式期权，臣结果精度依赖于模拟运算次数。 土连友堂亟土堂焦堡塞 ! 旦 2 2 破产论 2 2 1l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险横型 本节将给出l - c 模型的严格表述、有关假定与主要结果，参见1 2 l 。设保险公 司在时刻t 的盈余( s u r p l u s ) 如下 ( t ) u ( t ) = “十d 一硌 k = l 其中u 是初始资本，c 是保险公司单位时间征收的保险费率 次索赔额，n ( t ) 则表示至时刻t 为止发生的索赔次数。记 r 曲 s ( t ) = x k ，y x 0 ， k = l ( 2 2 6 1 礼( k 1 ) 表示第 ( 2 2 7 ) 表示至时刻t 为止的索赔总额( a g g r e g a t ec l a i m ) 。 上述模型有以下几个基本假定： 假设1 ( 独立性假定) 设 x k ：k21 ) 是恒正、独立同分布随机变量序列。记 f ( x ) = p r ( x 1 o ) ，v x 0 ，( z ) = f ( 。) d x ， “。) 为个体索赔额的密度函数 ( t ) ：t 0 ) 是以a ( a 0 ) 为参数的p o i s s o n 过 程， 凰：1 ) 与 ( t ) ：t o ) 相互独立， 由独立性假定可知， e s ( t ) - e n ( t ) i e i x l 】- a p t 为运作上的安全，保险公司要求 以一e s 0 ) 】= ( c a 肛) t 0 ，t 0 因此需要如下假定： 假设2 ( 相对安全负载假定) 设 其中n 0 ，称为相对安全负载r 7 胁ne s m 细l o a d i n g 228 一一 盗盘堂亟堂焦迨塞 ! ! 由强大数定律、模型独立性假定以及p o i s s o n 过程齐次独立增量性可知， t l 。i r a 。cu ( t ) 。+ 。， 8 8 不过，这并不排除在某一瞬时t ，盈余过程u ( t ) 有可能取负值，这时称保险公司“破 产”。以下恒记t 为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻( r u i nt i m e ) ，即有 t = i n t t ：u ( t ) o ，i n f g = 。 ( 22 9 ) 保险公司最终破产概率( r u i np r o b a b i l i t y ) 为 田( u ) = p r ( t 。l u ( 0 ) = u ) ，v u 0 ( 22 l ( ) ) 显然破产概率可作为评价保险公司偿付能力的一个熏要数量指标。 l u n d b e r g c r a m 6 r 的结果可赢观表述为：当初始准备金u 充分大，保险公司在 经营“小索赔”情形的保险业务时，破产是不易发生的，假设三给出了“小索赔” 的确切含义。 假设3( 调节系数存在唯一牲假定) 首先，要求个体索赔额( i n d i v i d u a lc t a z m ， 的矩母函数 m x ( r ) = e e 7 x = f o 。e r x d f ( z ) = l + r z 。e r 冀【1 - f ( 。) d z ，( z z l l ) 至少在包含原点的某个邻域内存在；其次要求方程 _ i x ( r ) = 1 十；r