（应用数学专业论文）两类奇异plaplacian椭圆系统问题正解的存在性.pdf

摘要 非线性椭圆型方程的边值问题是偏微分领域中的重要研究 对象，它在许多学科都有广泛的应用近年来具有临界s o b o l e v h a r d y 指数和h a r d y 项的椭圆问题更是受到人们的广泛关注与 研究，而对此类非线性椭圆系统的研究却处在一个开始的阶 段，所以本文将深入研究两类奇异的具有临界s o b o l e v h a r d y 指 数和h a r d y 项的椭圆系统，主要工作如下： 第一章：利用山路引理和变分方法，我们考虑了奇异点 为0 的p - l a p l a c i a n 椭圆系统，并给出了正解的存在性证明。 第二章：利用山路引理和变分方法，我们考虑了奇异点 为a ( a o ) 的p - l a p l a c i a n 椭圆系统，并证明了正解的存在性。 点 关键词：正解；奇异性；椭圆系统；p a l a i s s m a l e 条件；临界 a b s t r a c t ab s t r a c t e l l i p t i ce q u a t i o nw i t hb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi s a ni m p o r t a n t s t u d ya r e ai nt h er e g i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i th a sag r e a t a p p l i c a t i o ni nm a n yo t h e rr e g i o n s i nr e c e n ty e a r s ，t h e r eh a sb e e na n i n c r e a s i n gi n t e r e s ti ne l l i p t i cp r o b l e m sw i t hc r i t i c a ls o b o l e v h a r d ye x - p o n e n t sa n dh a r d yt e r m ，b u ts t u d ya b o u ta ne l l i p t i cs y s t e mi s a tt h e b e g i n n i n gs t a g e s ot h i sp a p e rw i l ld e e p l ys t u d yt h ee l l i p t i cs y s t e mw i t h c r i t i c a ls o b o l e v h a r d ye x p o n e n t sa n dh a r d yt e r m t h em a i nr e s u l t sa r e s u m m a r i z e da sf o l l o w s ： f i r s t l y ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h en o n l i n e a rs i n g u l a re l l i p t i cs y s t e m ，b yu s i n gt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d sa n d m o u n t a i np a s st h e o r e m ，t h es i n g u l a rp o i n to fw h i c hi sz e r o s e c o n d l y ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h es i n g u l a re l l i p t i cs y s t e m ，b yu s i n gt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d sa n dm o u n t a i np a s s t h e o r e m ，t h es i n g u l a rp o i n to fw h i c hi sa ( o ) k e yw o r d s ：p o s i t i v es o l u t i o n ；s i n g u l a r i t y ；e l l i p t i cs y s t e m ；p a l a i s s m a l ec o n d i t i o n ；c r i t i c a lp o i n t i v 土l j l 刖舌 偏微分方程是一门发展迅速的科学，它在数学，物理，工程等多个领域 都有着重要应用。其中椭圆型方程边值问题是偏微分方程领域中一个重要的 研究对象。 微分方程中的变分方法是把微分方程边值问题化为变分问题以证明解的 存在，解的个数及近似解的方法。古典变分方法是确定泛函的极值及极值 点。在一定条件下，确定泛函的极值点与确定微分方程边值问题的解这两 个问题可以相互转化。也就是说，微分方程边值问题可以化为变分问题来 研究。因此，变分方法就成为研究微分方程边值问题的一种基本方法。2 0 世 纪5 0 年代以后，由于电子计算机的发展，基于变分方法发展起来的有限元素 法，在物理、力学及工程技术中得到了广泛的应用，已经成为数学的个重 要分支学科。 本篇硕士论文主要包括两章。 在第一章中，我们主要探讨了如下椭圆系统解的存在性： f p u p 肾= 南j u j 沪2 训 尸+ m ) ，z r ， 一p u p 肾= 器l u l n i u p u + 9 ( u ) ，z r ， ( o - 0 1 ) i ( u ，钉) 哪，p ( r ) 叼，p ( r ) 其中4 ，2 p ，0 1 ，q + = p + ，p + = 鹊，这里p + t 临# s o b o l e v 指数，并且芦= ( 学) p 是最 佳h a r d y 常数本章是在第一章的基础上，对非零奇异点椭圆系统的更深一步 探讨。 1 地m + 十 p u i 2_ = 卜一 “p 之训 晓 口 让 u 南器 i i i l 静静 一 一 u 一 一 ，、【 卜训件叫 气u 训妒 仃 n+ + 七训 南为 = i i 匿 第1 擎含有p - l a p l a c e 的奇片u i ：齐次椭网系统的解的存4 ：竹 第1 章含有p - l a p l a c e 的奇异且非齐次椭圆系统 的解的存在性 1 1 引言及主要结果 本章我们考虑下面的椭圆系统正解的存在性： z r n z r ，( 1 1 1 ) 其中4 ，2 p n ，0 肛 万= ( 等) p 并且+ p = p ，p + = n p p ，这 里p + 是”，p ( r ) _ 汐。( r ) 的临界s o b o l e v 指数，其中 w g ，p ( r ) ：= 乱i u w 1 ，p ( 冗) ，乱( z ) = u ( i x l ) 在本章中，我们有以下几个关于厂( t ) 和g ( t ) 的假设： ( ，1 ) 邢) c 2 ( r 1 ) ，l i m 鹊= o 并且熙盟t p - 1 = 0 ( f 2 ) 存在一个非常小的7 - 0 使得对于v t 0 都有下式成立，即 ( ，( ) ) 7 ( p l + t ) f ( t ) 0 ( 1 1 2 ) ( f 3 ) f ( t ) 是奇函数。 ( ) x u j ：v t 0 都有( ，( ) ) ”0 成立。 ( 夕) 夕( ) c 2 ( r 1 ) ，! 觋黔= o 并且恕辨= 0 ( 9 2 ) 存在一个非常小的7 0 使得对于v 0 都有下式成立，即 t ( 夕( t ) ) ( p 一1 + 7 - ) 夕( t ) 0 ( 1 1 2 ) ( 9 3 ) 夕( ) 是奇函数。 ( 9 4 ) 对于v 0 都有( 夕( ) ) ”0 成立。 一3 一 ，k t 八m 一_ = 卜r r 卟怛 训切 南翔州ii=0蒹 u， p p y 舢每 筇1 节含有p l a p l a c c 的奇肄上土：齐次椭圆系统的解的存f t 性 由( 止) 和( 9 2 ) 易得以下不等式成立： 小伽鬲s f ( s ) ，v s 倒 o ) ；o s g ( 伽s 掣 v s 删 0 ) ( 1 1 3 ) 在町，p ( r ) 叼，p ( r ) 上我们定义( 1 1 1 ) 的变分方程： 小川= 玩( i v 卵叩卵一p 雠一弘器 一上删z 一以g 批南上i 卵川 ( 1 ) 我们说一对函数( “，u ) 町，p ( n ) 町，p ( n ) 是问题( 1 1 1 ) 的弱解，如果对 于任意的妒= ( 妒1 ，妒2 ) 町，p ( r ) w ，p ( r ) ，( u ，u ) 满足下式： (|vuiv-2vuvqol+ivuip-2vuvcfl2-11,jrn宰x i t , 一肛警) 出il z l ， 一上，( 札) q o l d x - - 上9 ( u ) 妒2 d x 一万2 砀o z 上i u r 2 u m 口妒出 题 为正川斗p 2 嘞拈。 ( 1 1 5 ) 由标准椭圆正则理论知，( t z ，v ) c l , a ( 冗 o ) ) c l , a ( 月 o ) ) 令p = 2 且厂( 乱) = 夕( “) = a u 。则系统( 1 1 1 ) 退变成如下的半线形椭圆问 ：全鼍_ 。许2 i 训2 一2 u + 入乱， 襄臻 埔， 在文献 9 】中，j a n n e l l i 讨论了问题( 1 1 6 ) 并且证明了对于v a ( 0 ，入1 ( ) ) ，当0 t f 一1 时，问题( 1 1 6 ) 有一个正解；当f 一1 0 ，当t 【0 ，f 一( 学) 2 ) 时，问题( 1 1 6 ) 有一个平凡解。在文 献【1 3 中，f e r r e r o 和g a z z o l a 同样得到了问题( 1 1 6 ) 的一些结论。 文献【1 7 】研究的是以下问题正解的存在性： j - - a p u - 4 - l u m w ，、2 一p 带斗i 小2 蚪m 加咖， ( 1 1 7 ) iu 叼，p ( ) 一7 其中0 肛 可。本文就是在此篇文章的基础上考虑系统的。 令p = 2 并且f ( u ) = 地，g ( v ) = p u 则系统( 1 1 1 ) 变成下面的含有两个方 程的椭圆系统： 在文献【l 】中e h a n 讨论了问题( 1 1 8 ) 并且证明了： ( o ，入1 ( ) ) 时，系统( 1 1 8 ) 含有一个非平凡解。 套! ! ， ( 1 1 8 ) 在q 中 r 7 当0 2 时，问题( 1 1 8 ) 的更为一般的情形即问 题( 1 1 1 ) 的解的存在性，所以本章的结论是新的。 众所周知，下面是h a r d y 不等式( 参见文献【4 】) 上雠妪总j v 删1 z ，讹曙( ， ( 1 1 9 ) 其中豇= ( 等) p 是最佳的h a r d y 常 。 在空间啤，p ( r ) 中，我们利用下面的范数： i l u t l = i i 训咿( 州：= ( 上( i v u i k 弘群蒯，川帅) 当0 p 皿时，在叫 p ( r ) 中椭网算了l ：= ( 一i v i p _ 2 v 一静i i p - 2 ) 是 正的，并且l 的第一特征值： 地肌 + + p u m u p 砣m 口 口 让 u 南器 = = 静许 一 一 u 口 一 一 ，、【 枷一i n fm 。，鹄嘉磐 是正的且是单的。它所对应的特征函数咖1 不会改变符号。 对于所有的p 【0 ，面) ，我们定义如下常数 令 5。：u一，infp(rn。，!竺；劈 ( ，- 。) 品；u 舯 眦弋丽痧 ( 1 _ 1 0 s嚣，p=。u，仉。，。rl警叫，。rn。，釜竺!尘三兰芸三二等三；等i萨 ( 1 1 1 1 ) 则我们有下面的结论： = ( ( 罢) 南+ ( 等) 南) 瓯 uu 在第二部分我们将给出详细的证明。 本章的主要结论就是下面的定理，我们可以验证定理中参数的取值范围 是可行的，并且据我所知，当p 2 且0 弘 廖时，本篇文章的结论是新 的。 定理1 1 1 假设p 2 ，且o 0 ，e _ 0 时，o ( e 2 ) 表示一个满足i d ( e 2 ) i 一c 的一个数，且d ( 一) 满足i d ( e 。) i e 。_ 0 ，其中o ( 1 ) 表示一个无限小的数值。在积分中，为了方便，我们常常 用c 表示正常数而省略d x 。 一6 一 1 2 一些引理 定义1 2 1 假设序列 ( u 忌，讯) ) c 啤，p ( r ) w j ，p ( 冗) 。如果存在一个常 数c r 1 使得当k 一。时 在w 一1 w 一1 上成立。 j ( u k ，y k ) 一c ， j ( u 忌，讥) _ 0 则 ( 乱知，v k ) ) 称为哪，p ( r n )x 啤，p ( r ) - | 的( p s ) 。序 列。 我们说函数，( u ，刨) 满足( p s ) 。条件，如果在w 一1 w 一1 中，对于任 意的满足j ( u k ，吼) 一c _ 日j 7 ( u k ，砜) _ 0 的序列 ( u 老，魄) ) c 孵伊( r 川) 咿，p ( r ) 都有一个收敛的子列。 引理1 2 1 假设( ) 一( ) ，( 9 1 ) 一( 9 4 ) 成立，并且 ( u n ， n ) ) 是哪p ( r 川) 孵，p ( r ) 中的( p s ) 。序列，则存在 ( u n ，) ) 的一个子序列( 仍记 作 ( 札n ，) ) ) 和某一个( u ，”) 孵，p ( r ) 孵，p ( r ) 使得下面的式子成 立： ( ) j ( 乱，口) ，在町，p ( ) 町p ( ) 中， ( v u n ，v ) 一( v u ，v u ) ，几乎处处在r r 中， ( i v u 。r 2 v u n ，i v l p - 2 v ) 一( i w l p v u ，i v u i p 一2 v ) ， 在陋与( r ) 【l 寺( r ) 】中 证明假设 ( 乱n ，) ) 是叼，p ( 冗) w j ，p ( 冗) 中的一个( p s ) c 序列。则当n 一 。时我们有 因此， ，( u n ，u n ) _ c ，j ( u n ，u n ) 7 0 在一1 w 一1 中 孔v 训p + l v 训雠一p 雠 = 歹2 卜n i ii + - m 枷z 一7 一 第1 节含有p - l a p l a c e 的奇异儿齐次椭圆系统的解的存以性 + a ( v n ) d z + c + 。( 1 ) ， ( 1 2 1 ) 咖制埘= v 训p + i v 圳lp 雠一肛雠 一2 i u n i q i u n i 卢d x - f f ( u nu n d x - - 夕( u 几) u 礼d z ，( 1 2 2 ) 其- i 矗= j ( 札忆，v n ) 。由( 1 1 3 ) ，( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 可知 ( 三一寿) ( m n ) u n d x + 咖以 珈v 训p 叩训两u n p 一f v n i p ，l p 、i 如- 耋儿胛i 训 一三( f n ，( 乱n ，u n ) ) + c + 。( 1 ) 一三( j v u n i p + i v u n i p - gl u i z , 1 i p l p 一肛i i v z n i p l p ，1 d z + 歹2 训q i v , , i = c + 。( 1 ) + ( ；一詈) i u 忆i a i u 竹f p d z p 三( 矗，( 乱n ，u n ) ) c + d ( 1 ) + 三( 洲) c + 。( 1 ) + 刘1 钏一，v n ) l l 肼，( j r ) 毗尺) ( 1 2 3 ) 则存在某些正常数c 1 和q 使得下面的不等式成立： 专 v 训p + | v 训l 肛雠1 i v 邛, d p 、 矿万1 一嘉) ( 厂( 札n ) 乱n 出+ 夕( ) 如) + c + 。( 1 ) 一嘉，( u n ，) ) c x + c 2 l l ( u n ，u n ) i | w ，9 ( r ) w ，( r 2 v ) ， 其中我们利用了( 1 2 3 ) 式和| i 矗1 1 w 一_ 0 。因此 ( u 几，u n ) ) 是 ，p ( r ) 哪，p ( r ) 中的有界序列。 另一方面，由引理1 2 1 和文献【1 3 】知 且 “n ( 7 ) l r 下n - 2 c i 州，( r ) 虿 。， u n ( 7 ) 降一1 矿r 一( 钾+ 1 ) 由2 o 存在某一个丁 0 ，使 得对于任意的n n 厂。f u n ( 7 ) n 州5 矿+ f 0 0r-lu d rr - ( 筹+ 1 ) d r 7 7 ， 7 ) n 肛15 矿背+ 1 7 7 ， j t j t 成立。因此i t n ) 是一个紧序列，同理可得 也是一个紧序列。由集中紧 致性定理( 参看文献【1 4 】) 可得引理1 2 1 成立，证毕。 引理1 2 2 当0 p 0 ，在( 1 1 11 ) 式中假 设t = 8 w n ，= t w n ，则( 1 1 11 ) 式可化为 注意到 ( s p + 垆) f ( i v w n l p p 借) 如 我们定义下面的函数： 器”， ( 1 2 4 ) 丽s p + t p = ( 舻+ ( 乎 ( 1 2 5 ) p 口一p o t 9 ( x 1 = x a + b + z 而 z 0 一9 一 冈此 贝j jg ( z ) 在点z = ( 蔷) ；1 处取极小值，且极小值为 9 ( ( 护= ( 茜) 南+ ( 茜) 南， ( 1 2 6 ) 在( 1 2 4 ) 式中令；= ( 茜) ；，则我们有 cc号，南+c号，南，号手嚣筇一， ( ( 茜) 南+ 万( 1 ) 吲- o r & ( 1 2 7 ) 为了完成证明，我们令 ( u n ，) ) 是畿，p 的一个极小化序列。 令z n = 8 n y 礼其中s 。 0 ，使得下式成立： i u 札i c z + f l d x = f l z n l q + 卢d z ( 1 2 8 ) 由y o u n g 不等式可知， i 。而o lfl “n i 1 + f l d x + 南f l z n l 叶， 又由( 1 2 8 ) 式我们有 ( k i q 川p 南( u 圹郸南= ( 蚓叶p 南 ( 1 2 9 ) 通过这种方法，并利用( 1 2 9 ) 式，有下列不等式成立： f ( i v u 。i p p 雠+ i v u 竹i p 一肛骷) 如 ( ，l u n i q i v n i 卢如) 南 一s 矛，( i v 乱n l p - 肛雠+ i v | p - 肛雠) 出 ( u fl u n i q f p 如) 南 第1 章含有p - l a p l a c e 的奇异且j l - 异：次椭圆系统的解的存在性 s 劳黑罱警帮s 二p f ( i v z , d p - 蜡) d x g ( s 凡) 瓯， 因此 ，( i v “n i p p 罨警+ i v u n i p p 乍警) d z ( ，l q 卢如) 南 对最后一个不等式取极限可得： 9 ( ( 黔乱 ( ( 茜) 南+ ( 茜) 南) 品铲口 注1 2 2 引理1 2 2 的证明方法和文献【3 】中定理5 的证明方法是类似的。 引理1 2 3 ( 参看 5 1 ) 考虑如下的极限问题： 蒜萨伊+ 戳豪 则当0 p 皿，1 ， 且满足 ( i v 嵋，p ，。( z ) l p 一学) d z = i ，p ，e ( z ) l p + 如= 函数，p ( z ) = ，p ( i x l ) 是( 1 2 1 0 ) 的唯一径向解，并且它满足 ) - ( 掣府 盟 s 盂 烛p 川u p ，p ( 7 ) = c 1 u - 0 卜加 i mr a ( p ) + l 瞧_ “( 7 ) l = c 1 。( p ) o ， ( 1 2 1 0 ) 第l 挚含彳p - l a p l a c e 的奇异且f | ：井次椭圆系统的解的存盘性 规r 6 弘，肛( r ) = q 0 ， 一l i m 。一( p ) “i 嘭，p ( r ) l = q 6 ( 肛) 0 ， r _ 一 r _ o o 。 其中c l 和c 2 是依赖于p ，p 和n 的正常数，o ( 肛) 和6 ( 肛) 是下述函数f ( t ) 的零 点 f ( t ) = ( p 一1 ) t p 一( 一p ) p 一1 + 肛，t 0 ，( 1 2 1 2 ) 且满足 。 n ( p ) 了n - p 0 充分小并且r ：= 6 ( 肛) 一占，我们有如下的估计： 加饥i pi 例饥，1 p w z = + d ( ， 小i 矿出= + d ( e p l ， ，f i 饥1 9 出 ，q l 【 c + ( 1 一等) q c e q z ii ne l ， c e ” 进一步，当e 一0 时，我们有 l u 。i q d x _ 0 ，1 q 筇气时刚) 芳 成立。 因此当取k _ 时，我们得到 当k 0 时，由( 1 3 1 6 ) 易得 由( 1 3 1 5 ) 我们得到 七露q 鲁) 乒 昆2 ( t s 茳, f l ，n ， 昆2 ( - ， j ( u ，u ) ：c 一2 2 ( - s - 。5 ”- ) 譬。 ( 1 3 1 6 ) 而这与( 1 3 9 ) 矛盾。因此七= 0 。由( 札七，) 的定义我们可知，( “，u ) 满 足( p s ) 。条件。这就完成了证明。 由引理1 3 1 和山路引理易得下面的引理： 引理1 3 2 假设( 厂1 ) 一( 丘) ，( 9 1 ) 一( 夕4 ) 成立。如果存在一个( u o ，v o ) 雌p o ) 雌p o ) 使得 唧j(tuo,tvo)t0 0 ，一定存在某一t 。 0 使得 成立。并且 j ( t f 乱，t e v ) = s u pj ( t u ，t v ) t 0 0 u ：p ；1u 。，则 ! 竺型嘤! ! 二竺璧型础p q ；p ；fl u 。p d x 丌1 ( ，f ( t 。q ；u 。) q ；1u 。d x + u f9 ( t 。p ；1u 。) p ；1u 。d z ) 一万丽百p _ d x 一 q i 口；j i “。l = 0 ( 1 3 1 8 ) 由( ) ，( 9 1 ) 和引理1 2 3 知，存在o 1 ，0 2 ，i f 3 ，0 4 ，k l ，k 2 0 使得 罐1 ( f ( z 。a ；u 。) q ；1 乱。d z + 夕( t e ；1 u e ) p ；1u e d z ) ( q 詈卢； 七嘉( 弘理+ 。q 学乱? * - - 1 - f - 0 2 t p - 1 毋晚如 十弘3 掣。p 学u r l + 哪一矽宁“r ) 卢；让删 = 七- ( 口? 一p q 譬嵋 + a 2 a u ? + 盯。? 一p p 譬“? + c r 4 p u ? ) d z 1 6 一 i u 。p d z ) 。 = a k 3 t ? 一p + d ( 1 ) 当e _ o + 时 由( 1 3 1 8 ) 我们得到 三一t p * - p - - t t 七s ? 一p o 因此掣一p 上2 + 2 i r k 3 0 。并且，当e 非常小时有 t 。(2 + 2 a k 3 = ：c 1 又由引理1 2 3 ，我们可知，当e o + 时，存在某一正常数q 使得 坯c ( ( q 删( v 叫kp 雠) ) 南( a 秽弘c l p ) 南q 第二部分：由引理1 2 3 ， j ( t u ，t v ) 沙v 驯叫v 驯kp 雠一p 雠一；小妒胁z 一酬扣g ) 如 新v 妒们卵一p 群一肛群一2 一t p f i 卯m 一f ( u ) d z 一g ( u ) d z = 吾( q 删( v 叫雠) 一等q 移卜r 一f ( t q ；u 。) d z 一g ( z 卢；1u e ) d z 2 学 r ! 竺丛型堂二竺鳖型1 等 。 ( q 詈p ；，i u 。l p d z ) 笋 7 一1 7 一 筇i 争含有p - l a p l a c e 的奇异且非齐次椭圆系统的解的存n ：性 o 。 f f ( ；乱。) 如 f ( t a ；1 乱。) q ；1u 。d x p + 7 - 赤( 州稿乱。) p - - i + 0 2 ( o p 砒q 如 = 鬲1 ( q 譬乱：怕托铂如 k t p + + d ( 1 ) 由第一部分我们知道t 是有界的，因此f f ( t a ；u 。) 如c ( c 是常数) 。类似 的我们有fg ( t f l ；u 。) 如c 。又由第_ 部分可得 帅) 1 ，q + p = p + ，p + = 怨，这里p 是临界s o b o l e v 指数，并且万= ( 学) p 是 最佳h a r d y 常数。我们在d 1 , p ( q ) d 1 , p ( q ) 上考虑系统，后面简写为d 1 p d 却。其中d 1 ，p 是曙( q ) 的闭包，并且其对应的范数为( 如1 w l p 如) ；。则 定义在d 1 ，pxd 1 ，p 上的问题( 2 1 1 ) 的能量泛函为： ，( u ，u ) =w l p + i v u i p p 肛z 尚- m i 衅刊叩z 一南小h u z d x - l 卵+ 仆1 1 缸 ( 2 1 2 ) 我们说一对函数( “，u ) d 1 ，p d 1 ，p 是问题( 2 1 1 ) 的弱解，如果对于任意 的妒= ( 妒1 ，妒2 ) d 1 , p d 1 ，( u ，v ) 满足下式： 加札i v - 2 v u v q o x + i v 叩q v 忉z 啪器啪离j q l 山u l i l 山u z l 一m i 让i p 一2 “妒1 一礼l u l p 一2 u 妒2 ) d x l u l p + 一2 u q d l 一i u i p * - - 2 u 妒2 一磊f ai 妒气川扣南 l u l q i u p 2 u 妒2 d x = 0 ( 2 1 3 ) t ，q 一2 0 由标准椭圆正则理论知，( u ，t ，) c 1 ，。( q 0 1 ) ) xc 1 , - ( 5 2 0 2 ) 对应于问题( 2 1 1 ) 的著名的h a r d y 不等式为( 参看文献l l s ) ： 上尚蜒乩l v 删i 刈u 四( 胙砂 由h a r d y 不等式知，对于任意的p 万并且a q 有算子l ：= ( 一a p 一p 是正的。因此l 的第一特征值是有意义的： 人1 ( p )：= i n f u e d l ，p ( n ) o f q ( i v 让i p p ，品 并且我们还可以定义最佳常数： ：=i n f u d l ，p ( r ) o ) 矗i u l p d x 如( 1 w l p 一 1 d z ( 厶i u p 如) 笋 ，肛( 一。，可) ，a q ，p ( 一。，可) ，a r ( 2 1 4 ) 注意，这罩的s 。是与口无关的量，并且s ( o ) = s ，而s 是文献【1 9 】中著名的 最佳s o b o l e v 常数。 当0 肛 o ， ( 2 1 5 ) 其中( z ) = u ( 1 x 1 ) 是径向对称函数，又k p 在兄 o 上满足下列方程： 并且满足 一a p 兰：i 乱p u i z o l p r 1 础v 吲圳筹皿= 上m 胪杌跏 当“ 0 时，由文献1 5 1 可知s ( p ) = s ( o ) 对于任意的n 1 ，0 2 r v ，p l ，弘2 瓦，o t + p = p + ，我们在d 1 ，p ( 兄) 0 1 ) 一2 l 一 瞄 器 第2 章含仃临界指数和何势的p - l a p l a c i a n 椭圆系统 d 1 t p ( r ) 凸2 ) ( 简记为d d ) 上定义如下最佳常数 鼬洲z 卜勘地型篆黼笋， ( 2 1 6 ) 这里的，p ( o ，0 ) 在文献【6 中已有讨论，并讨论了& ，口( o ，0 ) 与s ( o ) 之问的关 系，这里就不多说了。 最近几年大部分的文章关注的是带有h a r d y 不等式的奇异问题，并对这 些问题作了深入的探讨。比如文献【2 0 2 6 】以及相关的一些文章。另一方面 带h a r d y 不等式的奇异椭圆系统却很少有人讨论，部分文章见【1 ，1 8 , 2 5 ，2 7 】， 因此，我们有必要对奇异椭圆系统作更深一步的探讨和研究。 下面给出本章的主要结论： 定理2 1 1 假如下列的条件中的任意一个满足：( 1 ) 0 冬p l 万一1 ，一 9 0 肛2 2 1 ；( 2 ) 一。o z l z 2 ，0 2 2 万一1 ；( 3 ) 一 肛1 ，p 2 0 ，则问 题( 2 1 1 ) 就有一个正解。 2 2 一些引理 引理2 2 1 ( 局部p a l a i s - s m a l e 条件) 假如p 1 ，肛2 ( 一。o ，瓦) ，则对于任意 的c 0 使得a 2 ，x j e b 。( n 1 ) ，v j j 。令成。卵( 鼠( n 1 ) ) 是截断函数，使 得蜣。( z ) 三l 在b ；( 0 1 ) 上，并且0 线。( z ) sl ，l v 成。i ；在统( 凸1 ) 上， 由( 2 2 2 ) ( 2 2 8 ) 町知 l i ml i m u n i v u 他f - 1 v ( ；a e 。= 。， i u 佗i p 妒：，= 0 ， 咖l i m ，。l i mz i v p - - i v 妒：。= 。，! 觋舰上磁。= 。， 1 i m l i mz v 训磁a 。= 刚l i m ，f qv 成, d a 躲( 上i v u 阳噍a + = ， 。l i m 。凡l 。i m 。zl v i p 谎a 。= ! 觋正v 蝶a ，拓! ( 上i v u l p v 成a 。+ 瓦。) = 万口。， 训l i r a l i m f q 啬= ! 觋如d 7 = 觊( 胜i ；= 慨e i p ) ， l i mn l 。i m 。f q 乱n i 扛1 i m 上比和= ! 鸳( 上 i 妒e - kp a 。) = ， ! 恕上i i p 垆：。= 。l i m 。f q 成。印= e l i m o ( j 厂| f ：卵蝶a + 万。) = 瓦。， lim礼l。imjf。-,0q 礼_ ，n 因此 0= i 乱n l q l 尸成。=! 觋上虼打= ! ( 上i uj a 川p 成。+ 丁0 1 ) = l ， 1 i m l i ma ( 黪 c l t m 恕加嗽a l i m z1 吼i a j a e - - - , o j a 。一o i z n 2 l p n _ o 。n “7 1 7 1 一 ! i m 。j i 哩( l ，n ，u n ) ，( u n 唬，v n 虼) ) e 1 u n _ o o 一2 6 一 厂，垃 星! 罟枷 ! 竺丝垒塑筌型些堡丝些鲨尘型堑垒! 苎苎一 盯。1 一p 1 1 一阢1 + 万。1 一- 口l 一2 r a l ( 2 2 1 3 ) 由s o b o l e v 不等式知 ，口( p 1 ，0 ) ( 丁o 。) 笋p 口。一肛1 。+ _ n 。， s ( p 1 ) ( p 。) 舞p 口。一p 1 。，s ( o ) ( 万。，) 乒万。， 注意j d 口。，-