（数学专业论文）临界点理论在脉冲微分方程中的应用.pdf

国防科学技术大学研究生院学何论文 摘要 本学位论文利用临界点理论研究了几类脉冲微分系统的特殊类型解( 包括周期解 与同宿轨) 的存在性问题对不同类型的的脉冲微分系统，通过构造适当的泛函，利用临 界点定理判断临界点的存在性，从而得到脉冲微分系统特殊类型解的存在性本文共分 六章： 第一章简述了脉冲微分方程的背景、发展情况以及临界点理论的相关知识，同时 阐述了本论文的主要工作及内容安排 第二章研究了一类线性项系数非负的脉冲微分系统的周期解的存在性问题，拓展 了文献中的相关结论首先利用山路引理与环绕定理得到其非零周期的存在性，然后利 用c l a r k i ；i 理得到了多个周期解的存在性，其中周期解的个数与线性项系数有关 第三章研究了超线性的脉冲微分系统的周期解与同宿轨的存在性问题，在一定的 脉冲作用下，得到了由脉冲生成的非零周期解，多个周期解以及同宿轨，其中多个周期 解的个数与脉冲有关 第四章研究了一类次线性或渐近线性的脉冲微分系统的周期解与同宿轨的存在性 问题，通过加强脉冲的作用，同样得到了由脉冲生成的非零周期解及同宿轨 第五章研究了脉冲p l a p l a c i a n 微分系统周期解的存在性，得到了由脉冲生成的解 而最后一章研究了脉冲时滞微分系统周期解的存在性，得到了非零周期解，多个周期解 的存在性结论，其中多个周期解的个数也与脉冲有关 关键词：脉冲微分方程；临界点理论；p - l a p l a c e 微分方程；时滞微分方程；周期解； 同宿轨 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l yc o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fs o m es p e c i a ls o l u t i o n s ( i n c l u d ep e r i o d i c s o l u t i o n sa n dh o m o c l i n i cs o l u t i o n s ) f o rs o m ec l a s s e so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yc r i t i c a l p o i n tt h e o r y f o rt h ed i f f e r e n tk i n do fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ec o r r e s p o n d i n gf u n c t i o n a l i sc o n s t r u c t e du n d e rt h ea p p r o p r i a t e di m p u l s i v ec o n d i t i o n s t h e nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h e i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e mi sa t t a i n e df r o mt h ee x i s t e n c eo fc r i t i c a lp o i n t sf o rt h ef u n c t i o n a l t h i s d i s s e r t a t i o nc o n s i s t so fs i xc h a p t e r s c h a p t e rii n t r o d u c e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dt h ed e v e l o p m e n tf o rt h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a sw e l la st h eb a s i ck n o w l e d g eo fc r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n dt h em a i nr e s u l t si nt h i s d i s s e r t a t i o n c h a p t e ri is t u d i e st h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rac l a s so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i t han o n n e g a t i v el i n e a rt e r m ，w h i c he x t e n d st h er e s u l t si nl i t e r a t u r e f i r s t l yt h ee x i s t e n c eo f n o n z e r op e r i o d i cs o l u t i o n si sg o tb yt h em o u n t a i np a s sl e m m aa n dl i n k i n gt h e o r e m t h e nt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n si se s t a b l i s h e db yc l a r kl e m m aa n dt h en u m b e ro fs o l u t i o n si s d e t e r m i n e db yt h el i n e a rc o e f f i c i e n t c h a p t e ri i is t u d i e st h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i ca n dh o m o c l i n i cs o l u t i o n sf o rt h es u p e r l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s u n d e rt h ea p p r o p r i a t e di m p u l s i v ec o n d i t i o n s ，t h ee x i s t e n c eo fn o n z e r o p e r i o d i cs o l u t i o n s ，m u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n dh o m o c l i n i cs o l u t i o n sw h i c ha r ea l lg e n e r a t e db y i m p u l s e si sa t t a i n e d ，w h e r et h en u m b e ro fm u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n si sd e t e r m i n e db yt h ei m p u l s e s c h a p t e ri vs t u d i e st h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i ca n dh o m o c l i n i cs o l u t i o n sf o rt h es u b l i n e a ri m p u l - s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h es a m ew a ya sc h a p t e ri i i ，w ee s t a b l i s h e dt h ee x i s t e n c eo fn o n z e r o p e r i o d i cs o l u t i o n sa n dh o m o c l i n i cs o l u t i o n sg e n e r a t e db yi m p u l s e sb ys t r e n g t h e n i n gt h ei m p u l s i v e c o n d i t i o n s c h a p t e ri vs t u d i e st h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sg e n e r a t e db yi m p u l s e sf o rt h ep - l a p l a c e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht h ei m p u l s i v ec o n d i t i o n s a n di nt h el a s tc h a p t e r , w ee s t a b l i s h e dt h ee x i s t e n c eo fn o n z e r op e r i o d i cs o l u t i o n sa n dm u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t ht h ei m p u l s i v ec o n d i t i o n s ，w h e r et h en u m b e ro fm u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n si sd e t e r m i n e db yt h e i m p u l s e s k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；c r i t i c a lp o i n tt h e o r y ；p - l a p l a c ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ；d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；h o m o c l i u l cs o l u t i o n s 第页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：! 逝墨壶堡诠垄遂韭邀金友猩史的廑屈 学位论文作者签名： 箍亟矗! 日期： 研年f 1 月如日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权国 防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允 许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文作者签名：懿亟耋， 作者指导教师签名：垒查坠 日期：纠年，月多。日 日期：沁7 年i1 月细日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 概述 脉冲现象为一种瞬间突变的现象，在现在科技的各个领域的实际问题中都是存在 的，如控制论【3 ，1 6 ，1 7 ，2 6 ，医学，生物学【l o ，4 0 ，4 8 ，5 5 ，6 0 】，最优化理论【6 ，3 6 】以及火箭与 航天运动【3 2 ，4 l 】模型中广泛存在这种现象的数学模型可以归结为脉冲微分系统，而脉 冲微分方程就是描述具有不连续点或者有跳跃点( 脉冲) 的发展过程的微分方程脉冲 微分方程的研究始于1 9 6 0 年v m i l l m a n 和a m y s h k i s 的工作 3 5 1 经过几十年的发展，对脉 冲常微分方程的理论研究取得了丰硕的成果，其中包括解的存在性，唯一性以及解对初 值得连续依赖性，解的稳定性，周期解以及解的动力学行为等其中所使用的方法主要 有v 函数法，不动点定理【7 ，2 9 】，拓扑度理论( 包括延拓定理和重合度理论) 【9 ，4 2 和比 较方法( 包括上下解方法和单调迭代方法) 1 3 7 3 9 至今，仍有不少学者利用此类方法 研究脉冲微分方程解的存在性问题，最近的研究成果有 2 ，3 1 ，5 6 其中在文【2 】中，p a v i e a g a r w a l 和d o n n a lo r e g a n 利用l e g g e t t w i l l i a m s 三解定理得到脉冲微分方程 ， l 百( t ) 却( ) ，( g ( ) ) = 0 ，t 0 ，1 】 1 ) l ia q ( t k ) = i l k ( q ( t k ) ) ， la c t ( t k ) = 如七( g ( 坛) ) ，k = 1 ，2 m ， q ( o ) = g ( 1 ) = 0 至少存在三个正解的充分条件 在文【3 l 】，l h u 等研究了下面脉冲微分方程： - 4 ( t ) = p ( t ) ，( t ，q ) t 0 ，1 】 t 1 ，) a q ( t k ) = i l k ( q ( t - k ) ) a q ( t k ) = 1 2 k ( q ( t - k ) ) ，k = l ，2 m ， a q ( o ) - 的( 1 ) = 0 ，c g ( o ) = d q ( o ) = 0 并利用不动点指数定理获得上述问题至少存在两个正解的条件在博士论文 5 6 1 中，赵 育林把上述情形推广到脉冲微分方程的边值与状态的一阶导数有关的情形 然而，由于脉冲微分方程解的不连续性，即脉冲的存在，为此类微分方程的定性研 究带了很多困难，引起这个状况的主要原因是很多用来处理常微分方程的方法不能直 接用来处理带脉冲的微分方程目前此类方程特殊类型解( 包括稳态解，周期解，概周 第l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 期解，同宿轨和异宿轨等) 的存在性研究相对较少，大多结果主要集中在边值问题和周 期解的研究上 近年来，许多学者开始利用临界点定理来研究脉冲微分方程解的存在性问题2 0 0 7 年， n i e t o 和o r e g a n 在文 3 7 1 q b 利用临界点方法研究了如下带脉冲的二阶零边值问题解的 存在性 i 一百( ) = a q ( t ) + f ( t ，g ( ) ) 眦 0 ，卅， x ( 7 ( s k ) = g l c ( q ( s k ) ) ，k = 1 ，2 m ， ( 1 1 3 ) i q ( 0 ) = q ( t ) = 0 他们证明了当，与g k s ，后= 1 ，2 ，m 为次线性时，( 1 1 3 ) 至少有一个解而在文 6 5 1 中， 当，是超线性，g k s ，k = 1 ，2 ，m 为次线性时，张子衡等证明t ( 1 1 3 ) 存在单个解和无穷 多解存在的充分条件同时，在文【6 4 】中，张浩等利用临界点理论研究了如下一类超线性 二阶带脉冲微分方程的周期解的存在性 ， l 一百( ) = a k q ( t ) + 厶( t ，g ( t ) ) ，蛐t 【8 k _ 1 ，s 七】， a q ( t k ) = c k q ( s i ) ( 1 1 4 ) i x 0 ( s k ) = a k o ( s i ) + 鲰( g ( s i ) ) ，k = 1 ，2 仇 在文1 5 2 1 中，田荣等研究了研究了如下一类更为广泛的二阶脉冲微分方程s t o r m l i o u v i l l e 边 值问题多重正解的存在性 一( p ( t ) 圣p ( z 7 ( t ) ) ) 7 + s ( ) 西p ( z ( ) ) = f ( t ，z ( ) ) ，t t i ，n e t 【a ，6 】， a ( p ( t i ) d p p ( z 缸i ) ) ) = 厶( z ( 如) ) ， o l x ( n ) 一p z ( o ) = a ，, y x 7 ( 6 ) + a z ( b ) = b ， 其中p 1 ，呜( z ) ：= h p _ 2 z 上述结果可以看做是常微分方程相应结果在脉冲微分方程的推广，是脉冲微分方 程研究领域里全新的结果，体现了临界点理论在脉冲微分方程研究中的作用然而，上 述结果并没有充分体现出脉冲的作用，主要原因是非线性项起着关键的作用，而脉冲则 处于次要的地位，甚至可取为零基于以上想法，在本文中，我们在改进上述结果的同 时，去寻找一种特殊的解，我们称之为脉冲解这些解因脉冲的存在而存在，当脉冲消失 时，这些解也相应的消失此外，我们还研究了脉冲微分系统同宿轨的存在性，在上世纪 九十年代有学者利用变分方法研究 h a m i l t o n 系统的的同宿轨存在性【4 5 ，4 6 ，5 7 ，5 8 ，然 而关于脉冲微分方程的同宿轨现有结果很少在本文中我们将其推广到脉冲情形，得到 脉冲微分系统同宿轨的存在性 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 2 临界点理论的预备知识 变分原理是分析学的一个重要分支，它将数学中的大量问题( 称为变分问题) 归结为 某个泛函在一定条件下的极值问题或临界点问题，其中极值问题和条件极值问题是变 分原理中最简单而又最基本的问题临界点问题是极值问题的进一步发展，它主要研究 泛函的临界点的存在性与多解性以及临界点附近的拓扑性质，主要内容有极小极大原 理、m o r s e 理论、l j u s t e m i k s c h n i r e l m a n n 理论以及指标理论近年来变分原理在数学、经 济管理、优化与控制理论、经典力学和场论等各个不同的领域都得到了广泛的应用，并 取得了许多有重大意义的成果变分方法已成为现代科学研究的重要的数学方法之一 下面我们将简单介绍我们在文中所应用到的临界点理论的一些知识，详细的内容可见 如下书籍【4 ，1 9 ，3 4 ，4 7 ，5 0 ，6 1 定义1 2 1 设局和易为b a n a c h 空间，d 为e 1 中某开集，a ：d _ e 2 ，z o d 若存 在b ( e 1o 饬) ，使得在x o 附近有 a ( x o + h ) 一a x o = b h + w ( x o ， ) ， ( 1 2 1 ) 其d 1 ( e l - 岛) 表示映e 1 到饬的所有线性有界算子构成的b a n a c h 空间，w ( x o ，h ) = o ( i h l ) ， 即 i 蜀掣_ 0 则称算子a 在z o 处是f r 6 c h e t 可微的，b h 称为算子a 在z o 处的对于h 的f r d c h e t 微分，记 为d a ( x o ) h ，算子b 称为算子a 在x o 处的f r d c h e t 导算子，记为a 7 ( z o ) 于是( 1 2 1 ) 为 a ( x o + h ) 一a x o = a 7 ( z o ) h + w ( x o ， ) 易矢h f r d c h e t 微分是微积分学中函数的全微分概念的推广 定义1 2 2 设毋和励为b a n a c h 空间，d 为历中某开集，a ：d e 2 ，z o d 若对任 何h e 1 ， l i m a ( x o + _ t h ) - 一a x o ( 1 2 4 ) 在易中存在，则称a 在x o 处是g s t e a u x 可微的，上述极限称为a 在z o 处沿方向九的g h t e a u x 微分，记为d a ( x o ) h = a 7 ( x o ) h ，即 叩( 酬= 川训九= 舰坐型竽鱼 ( 1 2 5 ) 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 若g f i t e a u x 微分可以表示为d a ( x o ) h = a t ( x o ) h = b h 的形式，其中b ( 历一易) ， 则称a 在x o 处具有有界线性的g h t e a u x 微分，算子b 称为a 在x o 必：g h t e a u x 导算子，记 为a 7 ( 如) ，即d 陋( z o ) 翻= a ( x o ) h = a 7 ( x o ) h g s t e a u x 导算子的概念是微积分学中函数的 方向导数的推广 定义1 2 3 设e 是一个实b a n a c h 空间，q 是e 中开集，f ：q - r 是q 上的一个泛函如 果在q 中的每一点，f 都具有有界线性的g h t e a u x 微分，记，( z ) = f ，( z ) ，v x q ，则称算 子，：q e 为泛函f 的梯度，记为，( z ) = g r a d f ( z ) 下面给出泛函的临界点的基本概念 定义1 2 4 如果x 0 e 满足f t ( x o ) = 0 ，则称x o 为f 的临界点，f ( z o ) 称为f 的临界值不 是临界点的点称为f 的正则点设c 为实数，如果f 一1 ( c ) 中不含临界点，则c 称为f 的正 则值 在下面的内容中，我们给出临界点理论中一些比较经典的定理，这些定理在以后章 节的证明中要用到首先，我们给出临界点定理中一个常用条件的基本概念，且p p s 条 件 定义1 2 5 设e 是一个实b a n a c h 空间，f 是e 上具有连续f r 6 c h e t 微分的泛函，即f c 1 ( e ，r ) 如果对于任意的 u n 】ce ， f ( ) ) 有界且f 7 ( u n ) - 0 ( n _ o o ) ，蕴含 ) 在日 中存在收敛的子序列，那么称泛函f 在e 上满足p a l a i s s m a l e 条件( 简称为p s 条件) 对于有下界泛函，有下面的临界点存在性定理 定理1 2 1 设e 是一个实b a n a c h 空间，f 是e 上c 1 泛函，有下界并且满足p s 条件，则 泛函f 存在临界点并且 c - i n d ff ( x ) x ed 为f 的一个临界值 而对于无界泛函，其临界点的存在性就要用到极小极大原理来判断 定理1 2 2 ( 极小极大原理) 设e 是一个实b a n a c h 空间，f 是e 上c 1 泛函，满足p s 条件 又设f = d ) 是e 的一个子集族令 c = i n fs u p f ( z ) d e f $ d 、7 如果满足条件： 第4 页 国防科学技术大学研究生院学何论文 ( 1 ) c 是一个有理数； ( 2 ) 存在e 0 ，使得对于满足条件矽( z ) = 霸妇疋一。的任何连续映像砂：s e ， s f c 咱都有 妒( d ) f ，v d r ，dcs 那么，存在z + e ，使得f 7 ( z 4 ) = 0j t f ( x + ) = c ，即c 为f 的临界值 极小极大原理是用来证明临界点存在的重要方法，其要点在于寻找满足不变性条 件的子集族f 1 9 7 3 年a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 找到一个特殊的集族r ，建立了一个应用广 泛的结果，称为”山路引理” 记研为e 中以0 为中心，r 为半径的球，a 研为其边界 定理1 2 3 ( 山路引理) 设e 是一个实b a n a c h 空间，是e 上c 1 泛函且在e 上满足p s 条 件，j ( o ) = 0 ，且满足 ( ，1 ) 存在常数p ，q 0 ，使得j b b 。q ； ( 如) 存在e e b p 使得j ( e ) 0 则j 存在一个临界值c q ，且 c _ i n f u鲫max，jger1 1 ) ( u ) ， ( 1 2 6 ) u 9 ( 【o ， 、7。 其中 f = 9 c ( o ，1 】 e ) ：g ( o ) = 0 ，9 ( 1 ) = e ) 山路引理可以形象地解释为：从盆地出发到盆地外部，必有一条道路从周围山脉的 最低点通过，这个最低点就是临界点1 9 7 8 年r a b i n o w i t z 把”山路引理”加以推广，得到如 下环绕定理 定理1 2 4 ( 环绕定理) 设e 是一个实b a n a c h 空间，e = e 10 易，其中晶 0 ) 是e 的有 限维子空问若j 是e 上c 1 泛函，在e 上满足p s 条件，且满足 ( 如) 存在常数p ，q 0 ，i 媚j i o b 。f 3 e 2 q ； ( 厶) 存在e o b ln 岛和常数r p 使得y l o q 0 ，其中q = ( 百rne 1 ) 0 _ r e ：0 r r ) 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 则j 存在一个临界值c q ，且 c = i n f m a xj ( ( u ) ) ， ( 1 2 7 ) h e fu 口 、 其中 f = h c ( o ，e ) ：h l o q = i d 】 当局= o 】时，环绕定理便退化为”山路引理”当泛函具有一定的对称性时，在一定 的条件下可以得到多个临界点的存在性 定理1 2 5 ( c l a r k 弓l 理) 设e 是一个实b a n a c h 空间，j 是e 上c 1 偶泛函，有下界且在e 上 满足p s 条件若j ( 0 ) = 0 ，并且存在集合ce 使得由某一奇映射同构于，且满 足s u p ei 0 ，则j 至少有j 对不同的临界点 1 3 本文的主要工作及内容安排 本文的主要内容是利用变分法来研究脉冲微分方程的特殊类型解( 包括周期解与 同宿轨) 的存在性问题对几类脉冲微分方程系统，通过构造其相应的变分结构，利用相 关的临界点定理，判断其相应泛函的临界点的存在性，从而判断原脉冲微分方程系统解 的存在性问题主要内容共分为五章，针对不同类型的脉冲微分方程，利用适当的临界 点定理，得到周期解或同宿轨的存在性结论 在第二章主要研究了下面一类脉冲微分方程周期解的存在性问题： f l - i ( t ) = a q ( t ) + f ( t ，q ( ) ) ，f i t ( 8 k - 1 ，乳) ， 【l 3 1 ) i x 0 ( s k ) = 鲰( q ( s i ) ) ，k = 1 ，2 仇， 、 其中k z ，入0 ，q ( t ) r n ，a o ( s k ) = 0 ( 4 ) 一口( s i ) ，香( s 亭) = l i m t 斗s 。4 - 口( t ) ，f ( t ，q ) = g r a d 口f ( t ，g ) ，f ( t ，q ) c 1 ( r r n ，r ) ，g k ( q ) = g r a d qc k ( q ) ，g 七c 1 ( r n ，r ) ，k z 并且存 在m n 和t r + 使得0 = 8 0 s 1 8 。= t ，8 七+ m = 8 七+ t ，g k + m = g k 对所有 的后z 成立 这一章内容可以看作是对文献【3 7 ，6 4 】的拓展，因为此脉冲微分系统与( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) 基 本一样，只是线性项参数的取值范围不同，在( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) 中入 0 或a 七0 ，而在此系统 中( 1 3 1 ) 中要求入0 参数范围的改变导致现有的脉冲系统与一的特征根相关，原文 献的方法便不一定适用在此章，我们通过寻找新的条件，利用推广的山路引理，即环绕 定理，得到脉冲微分系统非零周期解存在性的结论同时，我们还得到了多个周期解的 存在性结论，并且周期解的个数由参数入的取值与一的特征根决定 第6 页 国防科学技术大学研究生院学1 ：论文 因为关于系统( 1 3 1 ) 相对应的常微分方程的周期解的存在性已有一些结论，第二章 的内容也可以看作常微分方程到脉冲微分方程的推广，而以下几章则是得到了脉冲微 分方程比较深刻的结论因为在以下的几章中，我们不但得到了脉冲微分方程的解，而 且判断出其是由脉冲生成( 此定义可参看第三章) ，之所以称之为由脉冲生成的，是因为 当去掉脉冲条件时，脉冲微分方程相应的常微分方程不存在这些解这就得到了脉冲微 分方程所特别具有的性质，脉冲微分方程不能看作常微分方程在脉冲下的简单作用，它 具有比常微分方程更为广泛的性质，这些性质充分体现了脉冲项的作用 首先，在第三章和第四章中主要研究了下面一类脉冲微分方程的周期解与同宿轨 的存在性问题： j q ( 归心，q ( 啪，盏( s k - l | ，8 k ) ， ( 1 3 2 ) i x 4 ( s k ) = 鲰( q ( s i ) ) ，k = 1 ，2 仇， 其中k z ，q ( t ) r p ，x o ( s 知) = 香( s 毒) 一圣( s i ) ，口( s 毒) = l i m t - - - - + s k i 口( ) ，f ( t ，q ) = g r a d qf ( t ，q ) ， f ( t ，q ) c 1 ( rxr n ，r ) ，g k ( q ) = g r a d 。o k ( q ) ，g k c 1 ( r n ，r ) ，k z 并且存在m n 和t r + 使得0 = s o s 1 0 使得 0 1 ，g ( ) r n ，z x q ( s k ) = 口( s 毒) 一香( s i ) ，圣( s 砉) = l i r a t + 。士4 ( 0 ，f ( t ，q ) = g r a d qf ( t ，g ) ，f ( t ，g ) c 1 ( 之r n ，r ) ，g k ( q ) = g r a d qg k ( q ) ，g k c 1 ( 之n ，r ) ，七z 并且存 在m n 和t r + 使得0 = 8 0 8 1 s m = t ，s 知+ m = 8 k + t ，g k + m = g 凫对所有 的忌z 成立而在第六章，我们研究了带脉冲项的时滞微分系统周期解的存在性： ， i 百( t ) = q ( t r ) ，当( 8 k 一1 ，舰) ， ( 1 3 5 ) i 0 ( ) = 鲰( q ( ) ) ， 其中七z ，q t n ，圣( s 七) ) = 香( s j ) 一q ( 8 i ) ，香( s 砉) = l i m t - - ，s k - i - 香( t ) ，g k ( q ) = g r a d 口g k ( q ) ， g k c 1 ( r - ，r ) ，k z 并且存在m n 和t r + 使得0 = s o 8 1 8 m = t ， 8 k + m = 8 k + t ，g k + m = g k 对所有的k z 成立这两类脉冲系统主要困难在于变分结构 的构造上，尤其是时滞脉冲微分方程，据作者所知，还没有相关文献涉及到该问题在第 五章中，我们利用定理1 2 1 得到了由脉冲生成的周期解的存在性而在第六章我们得到 非零周期解及多重周期解的存在性 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章一类脉冲微分方程的周期解 本章主要研究了下面一类脉冲微分方程周期解的存在性问题： ， 叫 ) - 入q ( t ) + 八t “d ) 氰( 8 k - 1 ，8 k ) ， ( 2 o 1 ) i 香( ) = 鲰( q ( s i ) ) ，后= 1 ，2 仇， 其中后z ，入0 ，q ( t ) r n ，香( s 七) = 口( s 吉) 一香( s i ) ，香( s 砉) = l i m t - - - ，s k - i - 口( t ) ，f ( t ，g ) = g r a d 口f ( t ，q ) ，f ( t ，q ) c 1 ( rxr n ，r ) ，g k ( q ) = g r a d q a k ( q ) ，g k c 1 ( r n ，r ) ，七z 并且存 在仇n 和t r + 使得0 = s o s 1 0 使得对所有的 0 ，t 和i q i r 成立 0 2 以及连续非减函数妒：r 一 o ，o o ) 满足l i m i q i - 妒( 川) = 0 使 得 t t g ( 口) 一g k ( q ) q 一妒( i q l ) l q l 2 ， 对所有的q r n 与k = 1 ，2 ，m 成立，其中p 与条件( 庀) 中的取值相同 由匕述条件可得 第9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 定理2 1 1 设f c 1 r n ，r ) 关于tn t 一周期的且满足条件( ) ，( f 2 ) ，对所有的k = 1 ，m ，g 七连续并且满足条件( 9 1 ) ，( 眈) ，则系统( 2 0 1 ) 存在至少一个非零的周期解 由条件( ) 可知，f ( t ，q ) 是次线性的，当入队1 ，) ，其中入为一的第一个特征根， 此时可将( ) 改为一超线性条件假设 ( ，i ) l i m i 口i _ + o 苇萨= 0 关于【0 ，t i 一致成立 定理2 1 2 设f c 1 ( r r n ，r ) 关于t 为t 一周期的且满足条件( ， ) ，( 丘) ，对所有的k = 1 ，m ，g k 连续并且满足条件( 9 1 ) ，( 9 2 ) ，则当入【入1 ，。o ) 时，系统( 2 0 1 ) 存在至少一个非 零的周期解 当f ( t ，q ) 是关于q 是偶函数，我们可以得出多个周期解的存在性的结论，其中周期 解的个数与a 的取值有关众所周知，一存在无穷特征根序列 ) ，0 2 以及r 0 使得对所有n t 【0 ，刁和7 ，成立 q f ( t ，q ) p f ( t ，q ) ) 0 i q l - 悃l q | 。 注：2 1 1 条件( 9 4 ) 表明存在砂：【0 ，+ 。) _ 0 ，o 。) 满足当r _ + 时，妒( 7 ) 寸0 并且对所 有的k = 1 ，2 ，m 满足 g 七( q ) 一妒( i q l ) l q l 2 定理2 1 3 设f c 1 ( r r n ，r ) 关于tn t 一周期，f ( t ，一q ) = f ( t ，q ) 并且满足条件( ， ) ， ( 髟) ，对所有的七= 1 ，m ，g k 为连续的奇函数，并且满足条件( 夕3 ) ，( 9 4 ) ，则当入( k ，a 知+ 1 】 时，系统( 2 0 1 ) 存在至少j 对不同的周期解 第l o 页 国防科学技术大学研究生院学俯论文 2 2 变分框架及基本引理 为了应用临界点理论，我们将建立系统( 2 0 1 ) 所对应的变分框架令 e = q ：r _ r n | q 绝对连续，香l 2 ( ( o ，t ) ，r n ) 并且当t r 时，q ( t ) = q ( t + 丁) ) 显然，当赋予e 由内积 ( g ，p ) = 口( t ) 矽( ) + q ( t ) p ( t ) d t ，v g ，p e ， 导出的范数时，e # j h i l b e r t 空间记为e 中由内积( ，) 导出的范数令k = 1 ，2 ，m 】， 构造e 上的泛函，如下， m ) = z 知2 一互1 a q 2 - f ( t , q + 篆g k ( g ( 引) ， ( 2 2 1 ) 基于文献【6 3 ，6 4 】的基本思想，我们可得系统( 2 0 1 ) 的周期解与泛函，的临界点是一一对 应的，即有如下引理 引理2 2 1 如果f c 1 ( rxr n ，r ) 关于是t 一周期的，对所有的k = 1 ，仇，g k 连续，则 泛函，：e r 是f r e c h & 可微的，并且 ，( g ) p = 和一, x q p - f ( t ，q ) p d t + g k ( q ( s 知) ) p ( s ) (222)j o k 。e 。k 对任意的q ，p e 成立同时，系统( 2 0 1 ) 的周期解与泛函，的临界点是一一对应的，即g 是系统( 2 0 1 ) 的周期解当且仅当g 是i 的临界点 证明：首先，我们证明泛函，是f r e c h & 可微的 定义西：e _ r 为 m ，= o 丁1 2 _ 7 q 2 ) 批 由定义易得，( q ) 是f r e c h & n - i 微的且其导算子为 ，t 7 ( q 咖= 扫一7 q p d t ， 其中，q ，p e 是任意的 而由9 和，的连续性及嵌入ecc ( o ，卅，r ) 的连续性知，c k ( q ) = a k ( q ( s k ) ) f f f l p ( q ) = 劈扪f ( t ，s ) d s 是f r e c h 6 t 可微的，直接计算得其导算子为妒：( g ) p = g k ( q ( s a ) ) p ( s k ) ，砂，( g ) p = ，( t ，q ) p 从而j 是f r e c h 6 t 可微的且( 2 2 2 ) 对任意的g ，p e 成立 第l l 页 国防科学技术大学研冗生院学位论文 其次，我们证明系统( 2 0 1 ) 的周期解与泛函，的临界点是一一对应的如果q 为j 的 一个临界点，则对任意的p e ，有 ，( 咖= 抄一 y q p f ( t ，g ) p ) d t + g k ( q ( s k ) ) p ( s k ) = 0 ( 2 2 3 ) d o 七i 对任意的j 1 ，2 ，仇+ 1 ) ，若p e 满足，当充歹，t 【8 k 一1 ，8 k 】时，p ( t ) = 0 ，则 从( 2 2 3 ) 可以得到 ，丁 动一7 q p f ( t ，q ) p d t = 0 ( 2 2 4 ) 此式表明对任意的叫础( s j 一1 ，勺) ，成立 口f ( 。j 一1 ，町) 曲一一y q l ( 町一1 ，勺) ) t l ，一，( t ，g l ( 町一1 ，s j ) ) wd t = 0 ( 2 2 5 ) 所以g i ( s j “。j ) 为方程 百( t ) + 7 ( t ) q ( t ) + f ( t ，q ( t ) ) = 0 ，t ( s j 一1 ，s j ) ， ( 2 2 6 ) 的弱解，且g l ( s j “勺) 础( 勺一l ，勺) 由于，( t ，g ) 是连续的，通过正则性讨论知q 乩町) 为( 2 2 6 ) 的经典解从而由式( 2 2 6 ) 9 h q l ( 町“町) 是有界的，贝, l j l i m t _ 。二，4 ( 0 - - 与l i m - 可口( ) 存在所以下面的方程是有意义的 。动+ 洳d t = ( 印。川8 s j j - 。， ( 2 2 7 ) ，s j 一1 其中( 妇) 廖一。= 香( 哼) p ( 勺) 一香( 圣1 ) p ( s j 一1 ) 由于歹1 1 ，2 ，r e + l 是任意的，所以( 2 2 7 ) 对所有的歹 1 ，2 ，m + 1 ) 成立由( 2 2 3 ) 和( 2 2 7 ) 可得 f 0 1 舭7 印+ ，( 相p m2 善( 啪- l + 觥e g k ( q m p8 k ) ( 2 2 8 ) 所以对所有的p e 满足当凫k ，p ( s k ) = 0 ，有 ，t 初+ 7 q p + f ( t ，q ) p ) d t = 0 ( 2 2 9 ) 成立又因为曙( ( s k - l , 甄) ，冗) 在l 2 ( ( s 七1 8 k ) ，r ) 中稠密，从而( 2 2 9 ) 对所有的p e 成 立由( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 可得， 0 = 香( s