（概率论与数理统计专业论文）极值的局部及整体几乎处处中心极限定理.pdf

独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者： 磊涉叩 签字日期：山旧g 年年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 学位论文作者签名：娜导师签名：易钞未气 f 1 签字日期：j 们年月7 日签字日期：洲年f 月1 7 日 西南大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导 师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文 中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：年 月 日 摘要 本文主要由两部分构成，第一部分分成三节第一节研究了独立同 分布序列最大值的几乎处处中心极限定理，主要结论如下 定理a 设 冠，l 之1 ) 为独立同分布随机变量序列，其公共分布 函数j d ( g ) ，且e x l = o ，ei x l r o 。t u k ，u = ，七1 ) 为满足”知 坝+ 1 u k 札七+ 1 的常数列，n ( 1 一f ( ) ) o o 记la 靠= m n z l 奶。，t l ，；一t j 。= d ( ( 1 0 9 n ) 一言) ，n ( 1 一 圣( ) ) 一7 - o c 记， 慨2 燧x ，m 2 p 地s “知) ，地，n2 七暇。恐，口奄2 壶，h 慨u 七) 若n 。l o g 竹( 1 0 9 l o g n ) 一( 1 + 5 ) = d ( 1 ) ，则有 第三节主要讨论了l m i s e 8 条件下独立同分布序列最大值密度函 数的几乎处处收敛性，其结论如下 定理c设( 咒，i 1 ) 为独立同分布随机变量序列，其公共分 布函数为f ：并记其左端点和右端点分别为q ，z o j 具有连续有界 的密度函数f 7 。且记 如，n 1 ) 为一正常数列。存在1 2 o 以及z ( o 。+ o o ) ，有 1 竹 1 熙赤老如j ( z o ，使得l i l i k t 善。f 知一z ) 并) ( 1 一f 扛) ) 。n ，则对 任意的 o 以及黛s ( 一；o ) ，有 熙击妄扣( z o 班及茹琏有 热去砉扣( 澎矿( 碡圳曼茹+ 珈一盎r 本文的第二部分壤点讨论了一类高斯序列最大值和部分稠的联合 死乎处处孛心援限定理，蒋弱如下主要结论 定理d 设义l ，拖，秀樱关系数列p 甜的高斯序列，承乎鸯 t 帕1 i n ， 一1 ，2 ) ，记h = 蝉争州，且满足n ( 1 西( a ，。) ) 有界，并对所有的r 有纛l ( 1 一委扣谢) ) 一r 实数列舰满足 s 峰黜 艿 一 s i l o e a la n dg l 。b a la l m o s 毫s u r ec e 魏虹越l i m 弛 t h e o r e m so ne x t r e m e s 艇萄o r ：p f 曲曲l l i 移鑫魏痘s t 鑫i s i 携 r u t o r ：p m p 褪gz u 蕊a n g 印酗娃移：& 专 蹶e 姥镌秽 a u 德o r ：z l l a l ) s h e 矬搿i a b s t r a c t a 妇。惑s 氍el o e 舔e 瞪毛r 蕊l 聪癌国豫致l s 萱专k 整蕊m a 鹾i 。i t 鑫r 赫( | o 妊l v a r i 拽b l e sa n ds t a 奄袖n 毡搿g a u s 8 i 氇ns e c 掸e l l e e s ，撕搬o s ts u r ee e 躐r 蕊l i m i 毫壕r e m f b rm a xa n d 吼l i n so fn o n s t a t i o l l 8 r yg a u s s i a n8 e q u e n c e sa r et h em a l nt o p l c 8o n t h i 8t h e 或s t h e 礅越nr 姻t l l t sa r e 髓e o r e 啦a l e 噩，恐，髓琵鑫r a 薹l d 淞豫i 曲l 携蛾羲嚣x l 拦转， e l x l1 3 。g 。l 飞e 黼a r g i n 盛d 至s 专r i b u 乞i o i lk b 躐i o nf d g ) k tr e a 王s e q u 燃e e s 赫，h 七，惫21 ) 8 酣i s 玲协。冬t + l 缸k “缸+ l - s b t t i n g 眠= i 眦1 掣蛙詹义i ， 孤一p ( 呶sa 如蕊) a n d 妒 y ：篙 1 f 咒( 1 一f ( 鸪；) ) ，一：p ( ( 1 0 9 托) 一 ) ， 仳( 1 一垂( ) ) 州r 。 慨。懋墨，陬一户( 哦 慨蠖乜七) ，慨，n 然七憋。恐，雠2 壶j ( 乱知) 3 t h e 珏 n r 穗 ， 备百引 n s p r o v i d e dr 。l ( 培托( 1 0 91 0 97 暮) 一( 1 + 。= d ( 1 ) 鼹l e o r e mc毛菇x l ，恐，b e1 1 。dr 鞠d o m 豫巍8 b k s 鹾乞h 疆蕊觚盛s _ t r i b u t i o nf u n e t i o nfw i t hl e f te n d p o i n t 魏a n dr i 曲te 1 1 d p o i n to l s u p p o s efl s a b s o l u t e l yc o n t i n u o u sw i t hb o u n d e dd e n 8 i t y l e tp o s i t i v es e q u e n c e 以，n 之1 s a t i s f y 文一瓣魏一 d 又s ( 1 0 9n ) 1 一) 2 f o rs o h l el 2 o8 l l dz ( o ，+ o o ) ，w | e 矗8 v e n 蠢= 王 丢d 知，( z o ，s u c h 掘a tl j n l 。协一澎( 2 小一，( z ) ) = o f o ra n y oa n dz ( 一，0 ) ，眦h 鼍= l昙蟊，( 鬈 o 勰d 塞露w e 魏g 姥 ， 1 n m 一 t l o 。l o g n七= 1昙呶， 8 i 1 ( 地一皈) sz + 町1 ) = a ) n 8 翻l e o r e mdl e t 投，弱，。b eas t 越d a r d 主z 醴觳锄s t 戤b n a r yg a u s s i a n 渺 q 珏e i l e e s 。a 8 s u m es o l i 硷l 糙擞e r i c 8 重s e q 毽e 藏e sp ha 珏d 钍疵，l 茎鼹 l = 王，2 ， s a t i s 如溜m 6 呲 。ie x p 【e “， z u ，槐 u 荆= ：p z 鞴，鬈姐盘 。 ( t 瓶) a ( 搿) 一臼c p ( 一e ) ，z r 。 势便于统计分橱，可将上薅兰种情况统一戚个表达式，郄 g ( 鬈) = q ( 茹) 一麟p 一( 1 + 弦) 一专 ( 王。l 。2 其中，7g 心，l + 7 z 象o ，且称，y 为檄值指数 夔执变量亭列最大值瓣几乎处处中心极限定理是十攀极蕴理论讲究懿一个 热点闻题，隧橇变量序剃最大囊与部分和酶联会尼乎处处中心极限定理在摄煎理 论中有熏甏的理论价值及应用背景 l 。2 文献综述 概率檄限理论特别魁中心极限定理在概率统计审占据重要地位，一宣以来都 是概率统计工作者们研究的重点和热点问题经典中心极限定理w 以简单的描 7 述为设蔑，i 重+ 是吴有公共分毒函数f ( o ) 酶独立同分布羲遮辊变量序列，若 e x l = o 和e x = l ，则对任意的嚣s 兄，当姐_ 时有 p ( 去曼茹) 二圣( z ) ( 1 2 1 ) b r o 媳黻l 心f 王8 踯和s 豳a t e f 至9 8 8 ) 首次独立斡诞骥了几乎处处孛心极限定 理( a h n o s ts u r ce e i l t r a ll i h l i tt h e o r e m 简记为a s c l 搿) ，并在e i x l 2 + 艿 o 条件下，证明了独立同分布随机变量序列部分和的几乎处处中心极限定理，其简 单影式如下 志砉砉j ( 杀曼兰蛳，髂_ 2 固 其中，( ) 袭永示性函数随后，l a c e y 和p h i l i p p ( 1 9 9 0 在= 阶矩有限的条件下 将 1 2 。2 ) 式推广到了溺数形式 赤喜去，( 熹) 兰仁m ，舯e 峨髓一 e 1 2 3 ， 其中，为满足l i p s c h i t z 条 譬的有界礅数。b e r l 躺等( 1 9 9 1 ) 构造了满足几乎处 处孛心极限定理毽孛心极限定理不成立豹独立睫税交量穿烈，获蔼诞嚷足乎处处 中心极限定理比中心极限定理弱，这也说明满足焱s c 王夏的随巍交爨比满足经典 中心极限定理的随机变艇更加广泛i b r a g i l n o 、r 和l i f s l l i t s ( 1 9 9 8 ) 和b e r k e s 和 c s a k ( 1 9 9 8 ) 再次将函数，进行推广，得到了一定条件下无界函数的a s c l t 除 了对独立随机变量窘劐a s c 礁魏研究，鹾鑫霸鑫察娥王鹑5 ，m a r c i 鼗2 瓣3 ) 释 p r 黜w s l a w ( 2 0 0 5 ) 受| j 簌定条件下得判了一系列耦依随机序列的a s c 王互 关予檄值的a s c 聃，首先由f 妯r n e r 和s t a d h l t l l l e r ( 1 9 9 8 ) 和m e n g ，p e n g 和 强( 1 9 9 8 ) 谯氐( 媳一瓴) g 条件下得到独立闭分布序列最大馕的a s c l t ， 其篱渣形式如下 赤吾扣撇一肌) s z ) 笃蹴”衡 ( 1 2 4 ) 其中甄一l 秘襄趟 i 绦五。溉蠢c s 鑫黼f 2 王将该a s e 王要推广到蔓广泛静隧 税痔刭鹣非线性情形。 e l d f ；8 ( 1 9 5 1 ) 讨论了一类如下形式的几乎处处极限定理 去宴掣勘 m 2 渤 l o g 携鲁峰 “ v 其中 蕊，茁芝l 为独巍阍分布的整缀随机变量序列，譬鼍= o ，竺1 ) ，鼠一 笔。x ，怫为鼠的莱个取值，峨一怎。p ( & 一班) 类似于( 1 2 5 ) 式的极限 8 梭褥嚣鼹鄂j l 乎楚跫中心彀隈是垂墓t a s c l j 。麓艇禚王键v 乏s z 1 9 弱；獠冥透褥 了推广，其简洁形式如下 。 壶警兰l ( 1 2 6 ) 1 0 9 n 台南 r ”7 其孛霪。，如，髂圭 势满足氇蠢嵇籁茎，蠡= 至，2 ，魏实数捌， m = j p ( 竖s i 酥) ， i ，丛掣，孤o 觎2 专重，绺二三毒 在前人瞬基础上，本文第一部分将局部凡乎处处中心檄限定理推广翔极值情形 本嶷的第二部分转入对高斯序列的部分和与最大的联合几乎处处中心极限 定理的研究+ 在实际应用中，除了考虑甲均值或最大饿夕卜，有时也必须同时考虑平 均德与最大煎酶甓凌，翔材辩鳃甲鹫强度与最大强度；桥梁戆甲均承受力与最大承 受力，这藏都归结于极德理论模型中对部分和与最大德的联合分布的研究c s 茂瓣 和g 0 n c h i 鬈d a l l z a n ( 2 0 0 2 ) 柱相关系数( = e x l x 。) 满足h1 0 9 扎( 1 0 9l o g 扎) 1 枢= o 1 ) 的条彳譬下，碍到了平稳高囊序列的a s e l 夏。近来，e h e n 耧l i n ( 2 0 0 6 ) 和 p e 豫藕n 藤鑫嗡螽盆o ) 又进一多褥捌了菲乎稳高斯序褒蘸a s c 搬王蔫藕 ( 2 0 1 ) 6 ) 酋次考虑了独囊阍分布随机变激序列部分和与最大值联合酶a s e t ，褥 到 恕赤害妻，( 袅s 鬈，等茎爹) 笃釜f 妨嚣 l ，2 7 ) 其中8 弛o ，h 为g u m b e l 分布( a 扛) ) 或f b e b e t 分布( ，口2 + 砖 m a r c i n ad u d z i n s k j ( 2 0 0 3 ) 研究了甲稳高斯序列部分和与最大值联合的几乎 处处中心极限定理，在一定条律下得剿了 。l i mp ( 锻( 蠢蟊) 名，7 冁竖辨兰囝币( 一一。) 圣( 辩( 王。2 ，8 ”w 在前人的基础上，本文将研究非平稳离斯序列部分和譬最大值联含的几乎处处中 心投限定理。 1 3 符号说明 全文遵错的记号如下； l ；记釜为标准委态分帮酶努帮踊数。 2 以( o ，1 ) 表示标准正态分布 3 “二”、“! 乌”分别表示“弱收敛 和几乎处处收敛” 9 4 n 6 表示口和6 是同阶量，即n = d ( 6 ) ，o = d ( 6 ) 表示n 是6 的无穷 小量，即杀一o ，o 一6 表示n 和6 等价，即：一1 使用的基本定义和定理为 定义1 定义在兄上的实值函数厶：n o ，如果礼一o o 时，满足 s u pi 厶( z ) 一如( z ) l _ o ( 1 3 1 ) 声a c r 则称函数 在acr 上一致收敛于如 定义2 设 毛) 为随机序列，对v 七1 ， 专l ，f 2 ，矗) 与 & + m + 1 ，缸+ 。+ 2 ， 独立，其中m 是给定的非负整数则称 & ) 为”l 相依序列 定理( 正态比较引理) 设( 岛) 、 ) 为标准正态随机序列，其协方差矩阵 分别为a 1 = ( a 0 ) 、a 0 = ( a 0 ) 令j d u = m a x ( 1 人乞l ，l a 易i ) ， 乱n ) 为实数列，若 m 举i 店i i = 6 1 ，k 为只与6 有关的常数，则 罗警0 盂，! ：f 2 ：二垒饕= 1 2 ，川h 3 纠 k ，莓，l ( a 丢一心) l 懿p ( 一茅) u 。名 1 i o ， 颤，使 得n 七( 慨“* ) 三g ，g 为非退化分布溺数，则对于g 的任意连续点搿，当n _ o o 时，有 怒赤苫去懒瑚剑胡繇羡 2 2i i d 序列最大值局部几乎处处中心极限定理 本节讨论l t - 莲枣残最大僮羼郝死乎处赴中心极限定理，首先绦，激霰定设 x l ， l 为独立阊分布的随机变量序列， 讹牲， ) 为常数别，且有+ l 牡，。g t l 蚪l ，本节通用记号如下 娄蠡= 绕嚣l 蛰蠡聱 罩嚏= p ( 7 魄蕊矗蟊 珏) 一 产描 触2 善警 引理2 2 1 设 矗，z 1 ) 为随机变量序列，e 6 裟1 若对任意的e o ，有 y 8 r ；。l 警) 冬e 遨嚣，露= 2 ，3 ，。剁 ( 2 2 1 ) l j | | 羔 靠一惫 。m 击 臻 证明见羹i 释粼v 垂瓣 王鳟3 之引理2 。l 。 引理2 2 2 设啦= j ( 圾 瓶s 钍知) ，奄= l ，2 ，则对歹奄有 a 渊( 讯，仍) 鬟2 ( f ( 冁) 1 一1 )( 2 2 2 ) 证瞬由已魏条律j 凳及该魄+ l 魄冁十l 有 g 俐( 桃，) = e ，( 曼磊冬簦瓤j ( 毽 互毒s 鳓) ) 一p ( 魄 硒时。对1 歹s 向，有 王一警) q 一羔冬互素 2 2 3 ) 证明由基本不等式 茗z 一疆孰| 茎l 勰一软| ，l 戤l 蕊l ，溉；s l l i = l 一l l = l 当蠡充分大时有 | ( 1 一警) ，一l | = | 1 一( 1 一警) | l ( 1 一睾) q l 拿j e 。| 拄l 一誓 一 凳。 s 静e 轨a 素 一 惫“。 一 。麾 定理2 。2 。1 谩 茏，l 旁独立穰分布遮瓤变量序列，英公共分带函数f 蚤( g ) ，嚣露x l = ：e l x l 尹 o 。 谶，程奄，凳王 为满足魄茎谣+ ls 溆褥奄+ l 的常数列若n ( 1 一f ( ) ) 。o ，且 如i 喜喜志一酬 l i n l7 l ：1 n 一j o g 佗 n s 证明由引理2 2 1 知，只需验证y n r ( 如) c l o g n 则结论成立而 y n r ( ，。) = y n r ( 知= l鲨掣+ 2 七2 。一 警) 七一1 = 1z = 1 c 删( 理七，伽) 七2 若孤= 0 ，则y n 7 ( q 奄) = o ； 若挑o ，则由y o r ( q k ) = ( 1 一m ) 瓜1 瓜，立即可得 当艄= 0 时， 当艄0 时， 七= l y n r ( n i ) 舻 c d 秽( 口七，q 1 ) = 0 ， 由引理2 2 2 知 喜去剑o s 竹 c 删( o 七，n 一 = 二c 伽( ，( 仇 眠u 七) ，( 协 蚴伽) ) 矶聊 去cc 讹圹。叫= 去( - 一坠掣 二( ( f ( 仇) ) 一一1 ) = = 兰li1 2 二产 m 鼽 m 功l = 卜) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 记m 七= 七( 1 一f ( 魄) ) ，由条件知m 耙 。o 由引理2 - 2 3 知对充分大的府，ls f 船，有 c 伽( n 棚1 ) 高( ( f ( 巩) ) 1 1 ) = 去一争。叫茎去a 去 敛 则 n 七= 1 n 知一1 曼2 a j - o - - _ ， 七= 1f = 1p 印l k 2 l i l u ? l ：l n 矗 n 一。c l o g n 1 3 = 0 ( 1 0 9 竹) 。 掣 h 2 3平稳高斯序列最大值局部几乎处处中心极限定理 本节讨论平稳高斯序列最大值局部几乎处处中心极限定理首先给出假定 x ，f 1 ) 为标准化的平稳高斯序列，为其协方差列( 钍，。) ，( ) 为两实数 列，本节通用记号如下 慨2 黝x l 知 慨，一七艘。五 鼽= p ( 慨饥) a 七= 去，似 ) ( 1 0 9l 堰n ) 一( 1 枉) c 铡( ，( 慨) ，j r ( 慨。) ) ( 1 0 9l o g 扎) 一( 1 似) c 伽( j ( 尬st l 七) ，j ( 慨。s ) ( 1 0 9l o gn ) 一1 札 e l ，( a 厶s ) 一j r ( 弧n 秽。) | e l j ( a 乙缸。) 一j ( 帆，。s ，u 。) i ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ( 2 3 1 0 ) 证明( 2 3 5 ) ，( 2 3 6 ) ，( 2 3 9 ) 和( 2 3 1 0 ) 式的证明见c s 酞i 和g o n c h i 鲥a n z a n ( 2 0 0 2 ) 之引理2 3 和2 4 下面证明( 2 3 7 ) 和( 2 3 8 ) 两式由引理2 3 1 和引理2 3 2 知 c 伽( j ( 地仳知) ，j ( 慨，。钆。) ) i p ( 帆墨口奄，帆，。t l n 一p ( 瓶锹) p ( 慨。让。) 七却e x p ( 一赫) j = l 、 。”7 曹恻一犏， ( 1 0 91 0 9 铊) 一( 1 + 6 ) 即( 2 3 7 ) 式成立，同理可证( 2 3 8 ) 式成立 引理2 3 4 设 x ，i 1 ) 为满足俾了j 夕式和似舅砂式的标准化平稳高斯序 列，则存在常数a 0 ，使得对充分大的n 有陬 a 证明由条件知 = 尸( a 彳n u n ) 一尸( a 叠n 冬) = ( p ( 坂sn o ) 一垂”( j u 。) ) 一( p ( 螈) 一币“( ) ) + ( 垂“( ) 一西”( ) ) 再由引理2 3 1 和弓 理2 3 2 知 | 尸( i 磊乱。) 一西。( 乜。) ( 1 0 9l o g 佗) 一f 1 + ) l p ( a 厶s ) 一垂”( t k ) | ( 1 0 9l o gn ) 一( 1 托， 由( 2 3 2 ) 式得一f 晒，再由l 一圣( z ) 一5 f 掣，z 一存在某个常 数c l o ，使得 ( ”n ) c l t k ( 1 一圣( t k ) ) 1 5 订 曲 + + l l 一 一 n n 唯 哩 g g b b ，l，i、 + + 七一；七一； 于是，由上式可得 圣”( “。) 一圣”( 协。) = n 西”一1 ( z ) 妒( z ) d z ， t ，n c i n t h ( 钆。一坼。) ( 1 一圣( 。) ) 西”一1 ( t ) = c 1 礼( “。一) ( 1 一西( 口。) ) e x p ( ( n 一1 ) l o g ( 1 一( 1 一西( 秽。) ) ) ) 再由( 2 3 2 ) 式和不等式l o g ( 1 一z ) 一2 z ，o o 和k o 为常数则立即可以选取适当的0 a k 使引理成立 引理2 3 5 设 x ，l 1 ) 为随机变量序列，若e 五= l ， 1 ，则有 熙赤e ( 喜警) - 1 又若 拖o ，而1 ) ，且对o y q r ( 等) l 。9 2 佗( 1 0 9 1 0 9 扎) _ m 则有 熙去喜警= l 们 证明显然有( 2 3 1 1 ) 式成立，只需证明( 2 3 1 1 ) 式设 = 志喜去c 托一e m 一唧、熹 u 1 于是 e 反= y n ，( 加。) = 薹素y n r c 姜孚， 去1 0 觑( 1 0 9 l o 绯严。 七= 3 o ”8 2 萎扩“1 + 锄 1 6 ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) 则有妻，f 基 ，立即得弘。一o n s 当t ， l 且七一。o 时，有( 忌+ 1 ) 。一妒一 o ，故鬻一1 则对任意的礼，存在佗知，佗七+ t 使得仃矗扎佗 ：+ 1 ，则有 而 帆| _ 去必玛一删l 去挚玛嘲，| + 去，萎。弦e 乃l 讪一+ 去，鬟。弦e 玛l 去，凳，弦e 玛i = 去j 萎。；( ( 玛一e 鼍码e 玛) + ( 玛一瓯码 e 码) + 2 ( e 一码) ，( 托 e 玛) ) k + 。i + 去( 1 0 眺+ ，一1 0 9 故 川圳+ k - l 十( 鬻一1 ) 则立即有_ 0 口8 而 定理2 3 1 的证明由引理2 3 5 知，只需验证下式，就有定理成立 m ( 若警) l 小( 1 0 9 1 0 9 矿托 ( 2 3 1 3 ) 惭( 警) = 砉堡掣+ 2 喜喜掣 1 7 由y n 7 ( 乜七) = 守焘和引理2 3 4 得 又 l 例( ，似 鲰) ，( 铆 = b 1 ( f ) + b 2 ( 2 ) + 岛( d + 风( z ) 由引理2 3 ，3 可得 b l ( z )s l c 伽( j ( 地“奄) ，( 蚴铆) 一j ( 慨，l 铆) ) i + l c 伽( ，( 尥乱七) ，j ( 地，z 缸f ) ) e l ，( ms 锄) 一，( 帆15 伽) l + i c 鲫( j ( 地锹) ，( 从1 u 1 ) ) i 等+ ( 1 0 9 l o g f ) - 。枢) 岛( f ) l c 铡( ，( 地口七) ，( 舰饥) 一，( 眠，l 铆) ) 十l c 伽( ，( 帆钍南) ，( 帆，l 铆) ) l e l j ( 瞄s 蚴) 一，( 帆t 饥) i + c 伽( ，( 慨st l 七) ，( 帆。，功) ) i 等+ ( 1 0 9 1 0 9 2 ) - 。托) 同理可证 岛( f ) 争+ ( 1 0 9 1 0 9 z ) - ( 1 删 风( z ) 譬十( 1 0 9 l 。9 1 ) - ( 1 托 则立即得 l c 删( ，( 讯 尥乱鬼) ，j ( 铆 尬心z ) ) l 孚+ ( 1 0 9 1 0 9 2 ) 一( 1 托) ，一胪 。脚 1 a 一l 陬 。随 一 笋 y 一 。槲 故有 则 喜志c 舢( ，( 仇 0 ，有 l 挚n ( z o z ) f ( z ) ( 1 一f ( z ) ) = o ( 2 4 2 ) i 咖 则对任意的z ( 一。，0 ) ，下式局部一致收敛 l i m9 n ( z ) = 皿：( z ) ( i i i ) 若 瓣耿z ) 厂( 1 一即) ) 驯( 1 一砷炉= 1 ( 2 4 3 ) 则对任意的z r ，下式局部一致收敛 l i m 肌( z ) = a 7 ) 本节讨论独立同分布随机变量序列之一类几乎处处中心极限定理首先对上 面的结论进行推广，得到 定理2 4 1 设x 1 ，x l 为独立同分布随机变量序列，其公共分布函数为f ，f 的左端点和右端点分别为勋，z o ，f 绝对连续且有密度函数f 7 ，记 蜘( z ) = 佗n 。f “一1 ( o 。z + 6 t 。) f ( n 。z + 6 。) 2 0 则 俐若对某个o 0 ，偿彳_ j 式成立，则对任意正常数列以一，n _ 以及 任意 0 有下式在( o ，。c ) 上局部一致收敛 1 i md 。p ( z n - 4 一砂若对某个q o ，似彳砂式成立，则对任意正常数列厶一，n o o 以及 任意 0 有下式在( 一。，o ) 上局部一致收敛 1 i m 面。p ( z t 1 一矽若对某个( 1 o ，偿彳圳式成立，则对任意正常数列d t 。_ o 。，n o 。以 及任意 0 有下式在r 上局部一致收敛 i i md 。p ( z n ：1 ( 皈一k ) o + d 二1 ) = 人( z ) ( 2 4 6 ) + 注- 在( 2 4 4 ) 中，n 。和k 可以选取为n 。= ，k = 0 ，在( 2 4 5 ) 中， 口。= z o 一，6 n = 黝，在( 2 4 6 ) 中，n ，。= 夕( ) ，厶佗= ，其中= f 1 ( 1 1 肛) = i n f ( z f ( z ) 卜1 加) 以及夕( ) 一q 群 证明：只证( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 以及( 2 4 6 ) 的证明类似易得t l i m 鲰0 ) = 嘭 ) n 在z ( 0 ，) 上局部一致收敛 1 i md 。尸( z n ：1 ( a k 一6 。) sz + 蝣1 ) ，l _ ，4 + d i l = l i m “ 9 ( t ) 班 t 1 j 2 ，z + d 二1 ，l = 愚l i m - 1 d n 鲰( t ) 出 “ ，z = 虻0 ) 于是得到( 2 4 4 ) 式 在定理( 2 4 1 ) 的基础上，有 定理2 4 2 设x 1 ，x l 为独立同分布随机变量序列，其公共分布函数为f ，f 的左端点和右端点分别为铆，z o ，f 绝对连续且有密度函数f 7 ， 厶，礼1 ) 为一正 常数列，满足 如一。o n _ 。 2 l ( 2 4 7 ) 厶s ( 1 0 9 佗) ( 1 一e ) 21 2 o 以及z ( 0 ，+ o 。) 有 ， 1 n m 一 ”一j o gn 七= 1去靠j ( z 0 ，佃名缈式成立，则对任意 o 以及z ( 一o o ，0 ) 有 ， 1 n m 一 t l o ol o g 扎 t t 七= i去也， 0 ，俾名砂式成立，贝i l 对任意，i o 以及z 兄有 l i m f l 丢以， 0 以及l 七sfs 礼，有 g 舢( ，( 甜七 慨让蠡+ s ) ，( 撕 硒铆+ 3 ) ) 4 ( f 一知( 铆) 一1 ) ( 2 4 1 2 ) 证明 l c 删( ，( “七 地乱七十s ) ，j ( 铆 一( m + s ) f 一七( n l + s ) 一1 f 一七( ，u f ) 一1 若u f + s ，则 a 3 = f 1 ( 枷+ s ) 一f 七( 乱k ) f ( 他+ s ) f 一七( 缸七) 一1 f 一七( 铆) 一l 于是有a 3 f 一七( u f ) 一1 同理可得a 4 f 一七( 如) 一1 从而( 2 4 1 2 ) 得证 在接下来的证明中。对1 冬七s 礼记 氨= ，( z n i l ( 慨一6 知) z + d i l ) 一尸( z n i l ( 眠一巩) z + 1 ) 仉= d 七j r ( z 0 g ) = 0 于是由引理2 2 3 和引理2 4 2 ，对1 ) 以及1 七fsn 有 e ( 乓砖，毛) l = l c 删( ，( “七 a 死珏七+ s ) ，j ( 撕 = 4 ( ( 1 一孚) 一1 ) 凰等 若r ( z ) = 。o ，则有g ( z ) = 虬( z ) ，其中z o 于是得到 惭( 去讯) 七= 1 由( 2 4 7 ) 和( 2 4 8 ) 式得 玩 奄= 1 e c 壹扣 七= 1 筚 。 七2 琶= 警争 1 奄 l 竹 立即得( 2 4 1 3 ) 式 定理2 4 2 的证明设 由引理2 4 2 得 n ， f 一1 岩以 玉：1 舻去喜丢c 讯一， 上砸：( 1 0 9 n ) 1 2 1 以及 ( 1 一g ) 2 1 ，则有 于是 印袅( 1 0 9 礼七) 吖七” o o 七= l 七= 1 p n k 一0 n s 奄= l m。m。m 由于对任意给定的n 存在整数七使得n 知 0 ，有 鬻= 半卸+ 耖= + c 昙“去， l o g n 知 七” 、 七7詹、七2 由0 是两可数列，记a n21 鳃。u 州，满足溯p n 6 有界并且对所有的下 o 和七 0 使得 劂有 印c l z l 2 c 倒( x ，鲁) is l c 1 ，1 2i j = 1 1七 丽面矛+ 了 ( 3 2 5 ) ；牙 d 一住 型崦、，一睡c l 一0 嘭 卫垤 ，j 、 一r【 一0 l l 所 埘 。 再由( 3 2 3 ) 易得 又由 则存在常数 则 芝已i c 伽( 置，鲁) il 0 有 钍主+ 2 ) l 秒) 2 ( 1 + l c 铡( x l ，鲁) i ) 碍、 2 ( 1 + 肛) 唧c 一萼，。c 譬 ) ；而糕 唇8 肛 0 以及0 1 + e 由 ；熊唑一o l 壹( 1 0 9 l o g f ) 1 杠 存在口 o 以及使得对任意的七 有 ；架，( c 伽( k ，警) ) 0 ，有 m 嘉，割譬+ 器 毒唑 f 2 ( 1 0 9 i o gz ) ”。 确i 存在常数c 5 0 以及f 2 z 使得对一切的z 七 z 2 ，有 m 要，鲁) l 箜塑型生 一z 吉( 1 0 9 l o g f ) 1 枢 设为一给定常数且满足0 17 若有z l 七 f 且( 3 2 6 ) 成立，则 胁爱! 鲁) l 假设3 ，为任意常数，对七 f 由正态比较引理可得 m 哟c 置蚓，鲁刮川；鱼，c 置蚓，鲁 耖) ) l i p ( x 1 “七l ，虬钆知七，鼠盯毛s 钞，虬+ 1 让黔+ 1 ) ，x ts 让l l 岛研) 一 p ( 而让知，虬缸七如，瓯吼s 矽) p ( 虬+ s0 传+ ) ，x t 锄z ，s m53 ) l l + r j ：一 j = 知+ 1 ，t 7 士，2 让毛+ 旷 l c 伽( k ，巩) 1 ) 伽( 恐例酬唧( 一面嵩) + 等，鲁) | p ( 一 1 + i c d 钞( s k 吼，s 们) = d l ( z ) + d 2 ( z ) + d 3 ( 1 ) + d 4 ( f ) 再由a 。的定义得 七l d ( z ) 蚓e x p ( 一 i = 1j = 缸+ 1 由引理3 2 1 的证明得 礼( ( 1 0 9 n ) j ：l 、i 1 + 1 i 7 、南 ! ! 塑兰堕 7 ( 1 0 91 0 9 竹) 1 帖 1 面西矛 d 2 ( f ) 唧( 一禹) i 伽( k ， 扛= l 紫七器 器 3 1 鲁) 同理可得 d 3 ( f ) 0 有 驯， o 有 眦c 白c x 蚓，鲁钏川；鱼。c x 鲁训) l 老黔 立即得引理3 2 2 引理3 2 3 设x l ，尥为标准化的非平稳高斯序列，且满足似2 砂，但幺砂 和p 2 别式，则对任意的3 ( 一o 。，o o ) 和丁【0 ，。o ) 有 恕p ( n ( x 让觚) ，鼠吼s 耖) = e 1 零( 耖) ( 3 2 8 ) 证明由正态比较引理和引理3 2 1 的证明，对任意的e 0 ，有 l p ( 0 ( xs 锹t ) ，& 巩3 ) 一p ( 0 ( ks 蛳) ) p ( & 吼) l 面赤 ：= l l = 1 立即可得 由l e a d b e t t e r 等( 1 9 8 3 ) 的定理6 1 3 ，得 丁【o ，。o ) 奶 一 弧& p j 毗 一 x n 黼 p n ；虿 = d 一 叽瓯j妣 一 墨 知n 酬 p 熙 一 = n = 鼙 钍 一 x k n 商 p ：重j | 再壹& 强服获标准正态分布可知