（运筹学与控制论专业论文）几类非线性方程的解析研究.pdf

摘要 摘要 随着现代科学技术的发展，自然界中许多问题都可建立数学模型，其中某些 模型可用非线性偏微分方程( 组) 来描述。对特定问题的研究自然就归结为对描 述该问题数学模型的研究，求解模型方程( 组) 的解往往可以有助人们深入了解 自然界中的物理、力学等过程，所以非线性方程求解问题一直是数学家和物理学 家关心的课题。目前为止有许多方法求这类方程( 组) 的解，如逆散射方法， b a c k l a n d 变换，双线眭变换，p a i n l e v e 分析法，齐次平衡法，直接代数法和各种 非线性变换方法。应用这些方法人们得到了许多特定非线性方程( 组) 的精确解。 本文提出精确求解非线性方程( 组) 的两步非线性变换法，这种方法可有效 地应用于非线性发展方程( 组) 的精确求解。其基本思路如下：首先对相应的非 线性常微分方程做奇性分析，然后引入两步非线性变换法，即把所求函数设为 另一新未知函数的函数( 其中新函数满足另一可解微分方程) ，代入相应的常微 分方程，平衡非线性项或比较新未知函数同次“幂”的系数，得到一个代数方程 组，最后用m a t h e m a t i c a 进行求解，这样就可得到原常微分方程的解及原偏微分 方程的行波解。本文成功地把此法应用于几类广义k d v 方程( 广义五阶k d v 方 程，广义七阶k d v 方程和k d v - b u r g e r s 方程) 及几个耦合方程组( 场论中c h a r g e d s o l i t o n 方程组，等离子体调制不稳定性方程组和广义d r i n f e l d - s o k o l o v 方程组) ， 找到精确解，从而为发现相应数学模型所描述的客观现象及规律提供条件。 关键词：非线性方程，两步非线性变换，行波解，精确解 a b s t r a c t a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , m a n yp r o b l e m si n n a t u r ec a nb em o d e l e d m a t h e m a t i c a l l y , a m o n gw h i c hm o s to ft h e s em o d e l sa r e d e s c r i b e db yn o n l i n e a re v o l u t i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so rs y s t e mo f n o n l i n e a r e v o l u t i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 。 t h u s ，t h es t u d yo fas p e c i f i cp r o b l e mi sn a t u r a l l yr e d u c e dt ot h a to fi t sc o r r e s p o n d i n g m a t h e m a t i c a lm o d e la n dt h es o l u t i o n st ot h em o d e le q u a t i o n sw i l l u n d o u b t l yh e l p u n d e r s t a n dt h ep r o c e s so ft h ep h y s i c s ，m e c h a n i c s ，e t c t h e r e f o r e ，s o l v i n gn o n l i n e a r e v o l u t i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sl o n gb e e nah o ta n dc h a l l e n g i n gt o p i cf o r b o t hm a t h e m a t i c i a n sa n dp h y s i c i s t s u pt od a t e ，t h e r ea r em a n ym e t h o d st od e a lw i t h t h i sk i n do f n o n l i n e a re v o l u t i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， s u c ha si n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，b a c k l a n dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，b i l i n e a rt r a n s f o r m m e t h o d ，p a i n l e v ea n a l y s i s ，h o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d ，d i r e c ta l g e b r a i cm e t h o da n d v a r i o u sn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d a l lt h e s em e t h o d sh a v eb e e ns u c c e s s f u l l y a p p l i e dt of i n d i n ge x a c ts o l u t i o n s t oc e r t a i nn o n l i n e a re v o l u t i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，at w os t e pn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o nm e t h o di sp r o p o s e da n ds u c c e s s f u l l y u s e dt ol o o k i n gf o re x a c ts o l u t i o n st on o n l i n e a re v o l u t i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h em e t h o dc a nb es t a t e db r i e f l ya sf o l l o w s f i r s t ，t h es i n g u l a ra n a l y s i so f t h eo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa s s o c i a t e dt on o n l i n e a re v o l u t i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si s c a r r i e do u t t h e n ，b a s e do nt h i sa n a l y s i s ，at w os t e pn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o nf o rt h e 1 1 u n k n o w n si s s u g g e s t e d ( i _ c ，t h eu n k n o w n sa r er e l a t e dt oa n o t h e ru n k n o w n ss a t i s f y i n g c e r t a i n o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ) a f t e r t h en o n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n ，t h e c o r r e s p o n d i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r er e d u c e dt oas y s t e mo f a l g e b r a i c e q u a t i o n sb yb a l a n c i n gt h ec o e f f i c i e n t so f t h es a m e “p o w e r s ”o ft h e u n k n o w n s f i n a l l y , t h ea l g e b r a i c s y s t e mi s s o l v e db ym a t h e m a t i c a i nt h i s w a y , t h ee x a c ts o l u t i o n st o n o n l i n e a re v o l u t i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n su n d e rd i s c u s s i o nw i l lb er e c o v e r e d t h r o u g h t h en o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n i nt h i st h e s i s ，u s i n gt h i sm e t h o d ，t h ee x a c tt r a v e l i n gw a v e s o l u t i o n st os e v e r a lk i n d so f n o n l i n e a re v o l u t i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s u c ha s g e n e r a l i z e df i f t h o r d e rk d v e q u a t i o n ，g e n e r a l i z e d7 t h o r d e rk d ve q u a t i o na n d k d v - b u r g e r se q u a t i o n ) a n ds o m ec o u p l e dn o n l i n e a re v o l u t i o np a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so f m a t h e m a t i c a lp h y s i c s ( s u c ha st h ec h a r g e ds o l i t o ne q u a t i o no f q u a n t u m f i e l d ，t h ee q u a t i o n so fm o d u l a t i o n a li n s t a b i l i t yo fp l a s m aa n dg e n e r a l i z e ds y s t e mo f d r i n f e l d s o k o l o v ) h a v eb e e nf o u n d t h e s ee x p l i c i ts o l u t i o n st ot h e s em o d e le q u a t i o n s w i l ls u r e l y p r o v i d e s o m e i n s i g h t so f t h e p h y s i c su n d e r l i n e d ， k e y w o r d s ：n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，t w os t e p n o n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n ， t r a v e l i n gw a v e s o l u t i o n s ，e x a c te x p l i c i ts o l u t i o n s i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：兰9 童三 日期 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：兰9 童兰 导师签名趁垡终日期：! f 二! ：竺 第1 章绪论 现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学、化学、生物学、计算 机科学的成就与进展，而这些学科自身的精确化又是他们取得进展的重要保 障。学科的精确化往往是通过建立数学模型来实现的【- 4 】 众所周知，许多重要的动力系统都可以用特殊的非线性偏微分方程来描 述，如半导体方程、燃烧方程、b e l o u s o v z h a b e t i n s k i i 反应扩散方程、酶的 数学方程、生态方程、各种痣体力学问题等等。在此情况下，对相应问题的 认识就化为了解非线性方程解的性态。对非线性方程解的性态的研究一直是 数学、物理学、工程等领域的重要课题之一，针对解的性态研究，人们创造 许多理论：定性分析、数值求解、精确求解、渐进分析，定性分析旨在对解 的性质如解的存在性、唯一性、稳定性、解的拓扑结构、解的时空渐进性等 方面的研究；这类研究普遍存在于椭圆性方程、抛物方程、双曲方程各类定 解问题研究中。数值求解和渐进分析法广泛应用于实际工程设计，并且随着 计算机的普及和发展，数值计算几乎应用到我们生活的各个领域。在实际应 用中，解析研究可以很好地表现自然界中的物理现象( 如行波解能很好地描 述自然界中的振荡以及以有限速度传播等现象) 在数学理论中，解析研究 可以揭示方程本身的许多重要性质，同时在解析研究中也不断产生新的思想 和方法，对数学本身的发展起到了一定的作用，因此，解析研究成为非线性 发展方程的一个重要研究领域，发展迅速 第2 章非线性发展方程的解析研究概况 当一个非线性偏微分方程被用来描述一个具有某些传播或聚集性质的物 理参数时，最重要的物理动机之一是求解偏微分方程的具有某种类型的解 如，自相似解、行波解、周期解等。在过去几十年中，数学家、物理学家们 在此领域中已有许多的尝试，然而，由于数学方面的复杂性，获得的技术和 方法极为有限下面就有关进展简述如下 2 1 逆散射方法 随着g a r d n e r 等人f 5 1 发现k d v 方程初值问题的精确解，孤立子的数 学发展史就开始了。g a r d n e r 等人将非线性问题化简为线性问题，转换为由 s c h r o d m g e r 方程刻画的s t u r m - l i o u v i u e 固有值问题，讨论精确解的特性 该方法称为拟散射方法( i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) ，它被广泛应用于非线 性发展方程的精确求解t s l ，如修正k d v 方程、非线性s c h r o d i n g e r 方程、 s i n e - g o r d o n 方程等 2 2b a c k iu n d 变换 b a c l d m l d 变换l ，州是寻求非线性发展方程多重孤立子解一种方法，利 用这种方法可通过纯代数手段得到多重孤立子解，并且该方法可用于导出无 穷多守恒律。我们举一个例子，如下列偏微分方程 u t = k ( u ，u 。，u ) ( 2 - 2 1 ) 第2 章非线性发展方程的解析研究概论 用如下b a c k l a n d 变换 u ：俨一叫) + 扎。( 2 - 0 - i f ( 2 2 ) u = 叫) + 扎o2 。2 ) 其中，) 与w = 山( 。，) 是未知函数，让a n du o 是( 2 - 2 1 ) 的两个解， 。 待定把( 2 - 2 2 ) 代入( 2 - 2 1 ) ，平衡高阶导数项与非线性项确定n 值，再按 w 的方次写成多项式方程，令系数为零得到，) 的形式同样，把方程各 项写成，“，的线性组合形式，令系数为零解出w 2 3 双线性变换法 双线性变换法( b i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ) 是由h i r o t a l ”于7 u 年代发 展的精确求解法。具体讲，考虑k d v 方程 u t + 6 u u 。+ u 。= 0 ，( 2 - 3 - 1 ) 当i z l - - - - - 4o o 时，“+ 0 h i r o t a 双线性变换定义如下：做变换札( t ，z ) = 。2 0 2 l 瓦a r ( t , z ) ，带入方程( 2 3 1 ) 并对x 积分则得 n 一f z f t + f 。j 一4 | z 。| ；+ 3 u z 轷= 00 2 - 3 2 、 该方程是h i r o t a 9 1 对k d v 方程导出的 h i r o t a 1 0 j 引入更一般的双线性规则 印6 - ( 姜一争( 甍一刍n 啪( x r , t t 儿匈：t ( 2 - 3 - 3 ) 这里n 和m 是任意非负整数。方程( 2 - 3 2 ) 可应用这些双线算子写成更紧凑 的形式 d ( d t + 珑) ，= o 它可方便地用于讨论k d v 方程的精确解和b a c k l u n d 变换将k d v 方程 ( 2 - 3 1 ) 变换成( 2 - 3 4 ) 形式的过程称为双线性变换【1 “。 h i r o t a 双线性变换给出一个构造b a c k l u n d 变换的统一方法，同时澄清 了b a e k l u n d 变换和拟散射方法之间的关系 1 1 】人们利用双线性变换求得许 多非线性发展方程的精确解( 孤立子解) ，如k d v 、k d v 族和m k d v 族 等。 非线性发展方程各变换间的关系 2 4p a in lo v e 分析 p a i n l e v e 分析于1 9 8 0 年由a b l o w i t z 等人用于常微分方程求解，后w e i s s 第2 章非线性发展方程的解折研究概论 等人用于偏微分方程。一般用下列变换： 。 u ( z ，) = 咖( z t 尸u j ( z ，t ) 曲( z ，t ) ( 2 4 1 ) 其中p 为负值，( 。，r ) ，u j 待定，然后代入所研究的微分方程进行求解。 通常p a i n l e v e 分析可与b a c m u n d 变换一起使用求解方程的精确解【1 2 一1 7 1 2 5 齐次平衡法 齐次平衡法( h o m o g e n o u s b a l a n c em e t h o d ) 的思想是根据b a c k l u n d 变 换和将非线性方程中最高阶导数项与最高阶非线性项做比对，探讨精确求 考虑变换 毗+ 6 u u z + u 。= 0 ( 2 - 5 - 1 ) u ( 叫) = 掣讹( 州) 卅协磁2 + f ，( 姚 这里f 和为待定未知函数，u o ( z ，t ) 为方程( 2 - 5 1 ) 的已知解显然 6 u u 。+ 钆。= ( 6 f 7 7 f ( 3 + f ( 5 ) ! + ( 2 - 5 3 ) 其中，未写出部分是击的导数的低于5 次多项式( 除f ( 曲) 及其导数) 。令 ( 2 - 5 3 ) 中程系数为零，得到 6 f 77 f ( 3 ) + f ( 5 ) ：0 北京工业大学理学硕士论文 则得 尸( ) 一2 ( j 礼( ) ) 。+ u o ( z ，f ) 将f 的表达式带入方程( 2 - 5 一1 ) ，我们可导出k d v 方程的b a c k l u n d 变换以 及关于声的方程 “ ，t ) = 2 ( f n 咖) 。十u o ( x ，t ) 西 。t + 西。+ 6 u o 。 一砂。 也+ 咖。+ 6 “o 曲。 + 3 ( ：。一击。曲。) = 0 解出毋我们就得到所要求的解p s ”2 0 】该方法现被用于求解各种菲线性发展 方程的行波解、自相似解等。 2 6 直接代数法和各种a n s a t z 方法 在已取得的方法中，最灵活的求解偏微分方程解析解的方法之一是直接 代数法和a n s a t z 方法。这种方法无一个固定的准则可寻，一般是对所考虑 方程做一个非线性变换，然后代入方程平衡最高阶项系数确定非线性变换的 性质，进而化为代数方程求得方程的解这种问题有时可借助于计算机代数 如m a t h e m a t i c a ，m a t l a b ，m a b h c a d 等软件。有时这种方法也包含上述备方 法中某些技巧 如，c o f f e y 叫，h e r e m a n 等 2 2 , 2 3 在2 0 世纪8 0 年代中期提出了构造 非线性发展方程孤立波解的混合指数方法，随后又对该方法不断改进，使之 成为有效计算非线性发展方程孤立波解的重要方法之一。混合指数法的实质 是将非线性发展方程孤立波解的求解问题化为递推方程的求解问题方法方 第2 章非线眭崖展方程的解析婿究概论 法的基本原理是将非线性发展方程孤立波解表达为该方程中线性部分的实 指数的级数形式，从而将非线性发展方程孤立波解的求解问题化为组合计算 问题，尽管手工解复杂递推方程并不容易，然而人们可以借助计算机代数系 统有效地处理烦琐的代数运算，从而归纳出递推方程的解并加以验证，由此 获得非线性发展方程的精确孤立波解。后人还对此方法给予了改进【2 4 又如，s e c h ，t a n h 等特殊函数的组合多项式方法也广泛用于非线性发展 方程的精确求解i “。该方法的具体实现大体如下，考虑k d v b u r g e r s 方程 u t + r u “z + 6 u 2 u z + u t 2 一t 上2 。z = o 在该方法中，假设( 2 - 6 1 ) 有如下形式的解 1 = 。r ，t = t a n h k ( x c t z o ) j 代入方程可得到一个关于t a n h 的多项式，然后令该多项式的系数为零导出 一组代数方程，通过代数方程的求解可确定啦，k ，c ，m 利用此方法，由方程 f 2 - 6 1 ) 得到解 1r u ( z ，t ) = 士( r + i ) 一毛 其中t = t a n h k ( x e t z o ) j ，c = + 2 k 2 一舞，x o 为任意实数。 其它假设法参见【2 5 2 8 1 前几种方法对可积系统是很有效的方法，比较成熟，而后两种则也有效 地应用于非可积系统。由于我们遇到问题并非一定是可积系统，针对不同问 题提出不同方法是情理之中 非线性发展方程精确求解中的一个关键问题是解的奇点分析：极点、分 支或本性奇点以及它们的位置。我们令u ( x ，t ) = “( ) ，= z 一魁，将问 题化为常微分方程，然后提出两步非线性变换法把该常微分方程化为代数方 程组进行求解，后者的解法可借助于计算机代数工具，结合m a t h e m a t i c a m a t l a b 等软件设计相应的程序解决 下面两章将通过引如两步菲线性变换，针对几类菲线性方程和耦合非线 性方程组这两类问题研究其精确解，这是本论文的主要内容。最后即在第五 章给出本论文的总结 第3 章几类非线性方程的精确求解 本章就几类广义k d v 方程采用两步非线性变换进行求解，为此把未知 函数u 设为 的函数( 一般是多项式函数) ，即让= ，( u ) ，其中口是另一未 知函数且满足u 7 = g ( u ) 或u “= h ( v ) ，此时方程化为u 的多项式恒等式，由 系数为零得代数方程组，然后用m a t h e m a t i c a 解方程组得到原方程的解。 3 1 第一类五阶广义k d v 方程精确解 本节考虑如下五阶广义k d v 方程【2 6 2 9 3 4 】 u + a u p u 。+ p 札3 z + ，y u 5 = 0( 3 - 1 1 ) 的精确行波解，其中q 5 ，7 0 且卢 0 。 令u ( z ，t ) = u ( ) ， = 。一m ，对( 3 一l 一1 ) 积分一次得到 一a u + p + 1 + p 札，+ 1 u ( 4 ) ：0( 3 1 2 ) p + l 为得到精确解，我们做如下非线性变换 u = a 2 v 2 ， ”= b y 1 + ( 3 - 1 3 ) 其中a z ，b ，c 为未知实常数则得 u “= 2 + b2 v 自+ 2 + 2 ，u = 2 。2 6 雨k + 4 ”+ 2 + 4 n 2 c u 2 ， u c a ，：兰i ! 掣a 2 b 2 v 2 k + 2 + 2 ( 七+ 4 ) 口。6 c 掣”k + 2 + - 6 a ：c 2 ”2 ( 3 - 1 4 ) 把( 3 1 ，3 ) 和( 3 一l 一4 ) 代入( 3 一l 一2 ) 并比较u 的同次幂系数知p = 七且 寿均等a 2 b 2 = o , a 2 斛们+ 4 p 村) 0 2 6 c _ 。 解这个代数方程组得 一a a 2 + 4 a 2 卢c + 1 6 a 2 c 2 1 = 0 c = 一7 ( 8 + l 4 p + p 2 ) ，n 。= ( 一兰! 垒上! 上垒：；砉举；掣 由( 3 - 1 3 ) 和( 3 - 1 5 ) 知 或 、4 卢2 f 口+ 2 ) 2 a 2 一7 ( 二8 + 4 p + l p 2 ) u = a 。”2 = ( 一! ! i ! 二；i ：；j ；! 群) i 1 s e c h ；， ( 一盟甓篇铲t ，；c s c h p ；v 2 口7 ( 8 + 卸+ 2 ) 2， 。 其中y 2l 一礤南( 一岛) ，卢1 0 且) 、由( 3 - 1 5 ) 给出。事实上，下列 假设 u = a v “ ”：6 v 2 + c v 能得到同样结果。对于p = 1 我们有 一篙s 砌4 焉c 外筹。) 1 0 f 3 - 1 6 1 5卜 ， 一 ip侣、 、 矿 或 器c s c n 4 焉c 计筹。) 其中所 0 且口 0 为此设u ( x ，t ) = u ( f ) ，= z a t ，对( 3 - 2 一i ) 积分一次得 m 7 - 1 6 - 7 一+ 篙u 2 州抑”抑( 4 ) = o ( a 2 - 2 ) 与上节类似，我们做如下非线性变换 u = c 1 2 v 2 矿= b y 2 + 1 + c v 其中a 2 ，b ，c 是未知实常数 由此得 燕扩2 栅2 ，u ”地。嵩一2 恤z 叫2 型掣a 2 b 2 v 2 k + 2 + 2 ( 川k b c 4 + f 惫+ 2 1 2 + 2 ( 3 - 2 3 ) u 2 + 2 + 1 6 a 2 c 2 2 ( 3 - 2 4 ) 把( 3 2 3 ) 和( 3 - 2 4 ) 带入( 3 2 2 ) ，比较u 的同次幂系数知a ：2 且 由此得 a + 4 c 卵+ 1 6 c 2 1 = 0 熹n ；+ 2 6 1 i 2 a 再+ 4 + 2 ( 2 血+ 4 ) 脚 4 + f 2 q + 2 1 2 2 a + 2 = 0 熹聋+ 6 2 塾掣= o ( 3 - 2 - 5 ) 驴 - 必籍笋型 1 。狐万西币j 其中b 为实数且b 0 。则 或 a = 4 c q + 1 6 c 2 7 翌 4 7 ( 0 2 + 2 a + 2 ) “砘h 。+ 1 ) s 咖。( 酮x - a t - 训 。 一；( + 1 ) c s c h 2 ( 。, , j ( z - a t - 。) ) ： ( 3 - 2 6 ) 其中0 2 ，c ，且a 由( 3 2 6 ) 给出当q = 0 时，解的第一部分已由文 2 6 出。 3 3 k d v b u r g e r s 方程的精确解 本节讨论k d v b u r g e r s 方程 2 2 , 3 5 1 u t + c 1 “u z + c 3 _ ! 上3 z q u z = 0 ，q c 3 0 ( 3 - 3 1 ) 1 2 需 一 一 的精确行波解。 令u ( z ，t ) = “( ) ，= 。一a t ，对( 3 - 3 1 ) 积分一次 其中取积分常数为零 一a u + i c l “2 + c 3 u ”一q u i ：0 为求解方程( 3 - 3 - 1 ) ，我们建立如下非线性变换 ( 3 - 3 2 ) u = a l v + a 2 v 2 ，口= b v 2 + c v( 3 - 3 3 ) 其中a 1 ，a 2 ，b ，c 为实常数显然 “7 = 2 a 2 b v 3 + ( 2 a 2 c + n l b ) v 2 + a l c v 札”= 6 a 2 b 2 口4 + ( 1 0 a 2 b c + 2 a i b 2 ) 3 + ( 4 a 2 c 2 + 3 a l b c ) v 2 + a l e 2 u( 3 - 3 4 ) 把( 3 - 3 3 ) 和( 3 - 3 - 4 ) 代入( 3 - 3 2 ) 比较u 的多项式同次幂系数得 由( 3 3 - 5 ) a o l 一。l c q + a l c 2 c 30 ，苫c l “2 2 + 6 a 2 b 2 。3 = o a n 2 + c 。l a 2 + c 3 ( 4 。2 c 2 + 3 a i b c ) 一q ( 2 。2 c + 。1 b ) = o 。l n 2 c l + c 3 ( i o a 2 b c + 2 a l b 2 ) 一2 q a 2 b = 0 ( 3 - 3 - 5 ) 一。= 一半，c - 五q ：“一瓦6 q 2 c 1c 3 0 z o c 3 2 4 b q 1 2 b 2 c 3q 、6 矿 。12 百1 啦。一_ 1 ”一面a2 2 5 c a ( 3 - 3 6 ) ( 3 - 3 7 ) 再由( 3 - 3 3 ) 中b e r n o u l l i 方程得 u = 一万c n 几尼呸c 幢一岛) 】一磊e 。r 一磊c 。执吃( 如) 】一面c ( 3 - 3 - 8 ) 由( 3 - 3 3 ) ，( 3 - 3 6 ) 一( 3 3 8 ) 得 其中c = 去 u 拈一鑫h 酬；嬉 a = 一筹；且 12 岛) 】l( 3 - 3 9 ) u = 。l + 。2 22 1 5 2 c q l c 2 3 。 1 + t a n h y 一丽3 q 2 1 + t a n h y 2 ( 3 - 3 - 1 0 ) 其中y = 一- - 里。- ( z 一。6 - - 。- t 一岛) 针对( 3 3 8 ) 中u 的两种情况可把u 的解写 成 或 一羔士罴溉”丽3 q 2s e c 哟 u = 士羔士羔赫，一暴c s c 哟 其中y = 蠢( z 千蔫t 一如) 3 4 广义七阶k d v 方程精确解 本节讨论广义七阶k d v 方程陬3 6 】 的精确行波解。 1 4 0 ( 3 - 4 1 )z+2 u +晚 。蹴 + z u u q + 毗 为此，做如下非线性变换 u = a o + 凸l + a 2 u 2 + a a v 3 ，u ”= 6 u 2 + c v ，( 3 - 4 2 ) 其中a i ，b ，c 为待定实常数。不防设a o = 0 且“( 一o 。) = 0 ，其它情况可通过 变量替换方法得到对( 3 4 1 ) 积分一次得到 其中积分常数取为零 砒+ u 2 莩3 肭。- 0 ( 3 粕) 若c 7 = 0 ，则回到五阶k d v 方程。现设c 7 0 ，则取1 = 0 ，此时 变换可假设为 由( 3 4 - 4 ) 得知 u = a 2 v 2 + a 3 v 3 ，v