（应用数学专业论文）非线性三阶微分方程边值问题的变号解.pdf

太胤脞t 人学坝i 研究牛学位论殳 非线性三阶微分方程边值问题的变号解 摘要 本文利用非线性泛函分析中的拓扑度方法，主要研究了非线性三阶微 分方程及方程组变号解的存在性与多重性，得到了一些新的结论。 全文共分两章。 在第一章中，首先利用l e r a y s c h a u d e r 拓扑度理论，证明了一个新的不 动点定理，即 定理1 j 1 假设一：e j e 全连续，e 。如果存在常数。 0 ，使得 集合s = 甜e i 甜一= 五( 爿u - - a 0 ) ，0 a 0 ，并且 存在常数。( o ，d ) ，使得 甜e i 甜一= 2 ( a u - u 。) ，0 a 0 ，并且 存在常数_ 。( o ，矗) ，使得当”瓦研时，a u e b ( u o , r o , , ) ，则爿在e 中至少 存在一个变号不动点。 其次，用定理1 2 i 及定理1 2 2 研究了三阶方程边值问题 “( 7 ) = 厂( ，“( 7 ) ，“( 7 ) ，“”( 7 ) ) ， 1 1 1 3 】，( 1 3 1 ) l ( ，i ) = 1 1 ( 1 2 ) 2 “”( t 3 ) 20 变号解的存在性。其中：h ，】尺r 。r 一月1 连续，一o o r ， t 2 t 3 0 ； ( 2 ) 存在非负函数y ，瓯，瓯，疋c t 。t 】，使得当，i l l * r ，】、x 。，_ ，x ：j r l 时， 并且 2 g ( t ，x o ，一，x ：) 一f y ( f ) + 4 0 1 x ，i ， 忙0 ( 。十z l l s , f l 。胁 0 旦 一 0 ； ( 2 ) 存在非负函数) ，皖，6 。，疋c i t t1 ，使得当t h f ，1 、x 0 x ，x ：r 时 陬t , x o , x i , x 2 h i 赤叫，) + 委驰耙吣 ( 。+ z i i s , t t 。”c 0 0 ； ( 2 ) 存在常数厶( o ，矿，) ，使得当t e t 。t 】、蚓丘+ 1 1 - ，i i ( i = o ，1 ，2 ) 时， 一最叫t , x o , x i , x 2 垮+ 彘。 最后，用定理l - 2 1 和定理1 2 2 研究t - - 阶方程组边值问题 f “”( f ) = 口( ，) 厂( “( ，) ，v ( ，) ) ，t 【o ，1 】， v ”( r ) = 6 ( f ) g ( “( f ) ，v ( 啪，f 【o ，1 】， ( 1 4 1 ) l 甜( o ) = 甜7 ( o ) = “7 ( 1 ) = 1 ，( o ) = v ( o ) = v ( 1 ) = o 变号解的存在性。其中f ，g ：r r _ r 连续，口，b 4 0 ，l 】一r 连续。得到的 结论如f 。 定理1 4 1 如果下列条件成立，则问题( 1 4 1 ) 在c 3 【o ，1 】c 3 【o ，l 】中至少 存在一个变号解。 ( 1 ) 存在常数0 ，使得d 。= d i s t ( ( u 旷) ，一p u p ) 0 ； ( 2 ) 存在非负常数y ，瓯，4 ，使得当x 。，一r 。时， ，一州丽1 ( 厂+ m i + 酬) ， i g ( 州丽1 ( 厂+ 讹i + 酬) ， 并目 奎坚些! 查竺竺! ：竺! ! 兰兰竺笙兰 。 0 ； ( 2 ) 存在常数o ( o ，t ，) ，使得当川o + 慨i i 、h o + 帆8 时， 一需一脚+ 静， 1 2 r ， 1 2 r 旷而姐伍”一垮 i w 0 4 。 在第二章中，首先利用拓扑度方法，结合锥上的不动点指数理论，研 究了三阶方程边值问题 孓戬”掣o l ( 2 ) 【“( o ) = “( o ) = 甜( 1 ) = 变号解的多重性。其巾f ：r 斗r 。连续。 假设条件 ( h 1 ) 厂( 0 ) = 0 ，当y r i o 时，y f ( y ) 0 ； ( h 2 ) 存在自然数n o 和胛，使得五。， 屁 丑。、五： 屈 o ，使得对任意的川c o ，i f ( y ) l 0 ，当o y p 时，( y ) 。及“( 。，尹1 ，- 4 - 五3p 0s u c ht h a t s = “e i 甜一o = 2 ( a u 一甜。) ，o a 0a n dt h e r ee x i s t sac o n s t a n t _ 。( 0 ，d ) s u c ht h a t 甜e i 材一掰o = a ( a u i i o ) ，o a 0 a n dt h e r ee x i s t s ac o n s t a n t r “( 0 ，d ) s u c ht h a t a u b ( u o 。) t o r “b ( u 。，- 。) t h e n ah a sa tl e a s to n es i g n c h a n g i n gf i x e d p o i n t i n e s e c o n d l y , t h ee x i s t e n c eo fs i g n c h a n g i n gs o l u t i o nf o rt h i r d o r d e re q u a t i o n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f “”( ，) = f ( t ，( f ) ，“( ，) ，u ( ，) ) ，“，1 3 】， i u ( t 1 ) = ( ，2 ) = ”( f 3 ) = 0 ( 1 3 1 ) i sc o n s i d e r e db yu s i n gt h e o r e m1 2 1a n dt h e o r e m1 2 2 ，w h e r ef ：i t l ，t 3 x r x r 。r 1 斗r 1 i sc o n t i n u o u s ，一0 0 t 1 t 2 t 3 0 ； ( 2 ) t h e r ee x i s tn o n n e g a t i v ef u n c t i o n sy ，玩，4 ，暖c t t 】s u c ht h a t i g ( f ，五，x ：) 一l ，( ，) + 4 ( 0 1 x 1 ， j ；0 f o ra l l t 【，i ，1 】、x 0 ，x i ，x 2 r l a n d o 。 0 ； ( 2 ) t h e r ee x i s t sc o n s t a n tr ( o ，d ) s u c h t h a t 量t,xo,x1,x2it-g ( t) + 兰， 上 ) + 2 ， cc f o ra l l f e i t l ，小h ，+ i ( 扛o ，1 ，2 ) t h e nt h ep r o b l e m ( 1 3 1 ) h a sa tl e a s t o n e s i g n c h a n g i n gs o l u t i o ni nc i t l ，3 】 t h e o r e m1 3 4s u p p o s et h a t 厂s a t i s f yt h ec o n d i t i o n ( h 2 ) a n dt h ef o l l o w i - n gr e q u i r e m e n t sa r es a t i s f i e d ( 1 ) t h e r ee x i s t sac o n s t a n t 0s u c h t h a td 。= d i s t ( v ，一p u j p ) 0 ； ( 2 ) t h e r ee x i s t sc o n s t a n tr ( o ，d 。) s u c h t h a t r 旷赢鲫o ，j ，) 卸+ f o ra l l t e t f ，】、h o + 帆= 0 , i ，2 ) t h e nt h ep r o b l e m ( 1 3 1 ) h a sa tl e a s t o n e s i g n c h a n g i n gs o l u t i o ni n f i n a l l y , t h ee x i s t e n c eo fs i g n c h a n g i n gs o l u t i o nf o rt h i r d - - o r d e rs y s t e mb o u - v i i l 上僦 查璺些! 叁兰! 竺! ：! 坐! ! 生兰笪堡墨 n d a r yv a l u ep r o b l e m s f “”( ，) = a ( t ) 厂( z i ( ，) ，v “) ) ， o ，1 】， v ”f ，) = b ( t ) y 4 ( u ( t ) ，v ( ，) ) ，f 【o 1 】，( 1 4 1 ) l “( o ) = “( o ) = “( 】) = v ( o j = v ( o ) = v7 ( 1 ) = 0 i sc o n s i d e r e db yu s i n gt h e o r e m1 2 1 a n dt h e o r e m 1 2 2 ，w h e r e 厂，g ：r 1xr 1 寸r 1a r ec o n t i n u o u s ，口，b ：【0 , 1 】jr 。a r ec o n t i n u o u s w eo b t a i n e dt h er e s u l t sa s f o l l o w s ： t h e o r e m1 4 1 s u p p o s e t h a tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ： ( 1 ) t h e r ee x i s t sac o n s t a n t 2 0 s u c ht h a t d = d i s t ( ( u ，叱) ，一p u p ) o ； ( 2 ) t h e r ee x i s tn o n n e g a t i v ec o n s t a n t sy ，皖，4 s u c ht h a t 焉l 赤厂+ 8 0 l i + a , i 咖 眠，一) 一l 丽1 ( ，+ 酏蚓咖 a n d 。 0f o ra l ly r 1 0 ： ( h 2 ) t h e r ee x i s tp o s i t i v ei n t e g e r s 行oa n d 啊s u c ht h a t 五2 h 反 2 2 + l ，五2 os u c ht h a t f ( y ) oa n d ，o ( o ，i 1 ) s u c h t h a t f ( y ) ( f g ( f 。，s ) 幽) 一p ， 一 8 f o r 未户y p t h e n t h ep r o b l e m ( 2 2 1 ) h a sa tl e a s tt w oa n t i - s y m m e t r i c s i g n c h a n g i n gs o l u t i o n si nc 3 【o ，1 】 k e yw o r d s ：t h i r d o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，s i g n c h a n g i n gs o l u t i o n ， t o p o l o g i c a ld e g r e e ，c o n e ，f i x e dp o i n ti n d e x x 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外。本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担0 论文作者签名： 熬金复 日期： 型：生 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定。其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的。 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) o 导师签名：日期： 型2 ：挚 太隙衅1 犬学坝d f 究生学位论文 绪论 近年来，非线性泛函分析已成为研究数学、物理、力学以及其它许多科学领域中非 线性问题的一个重要工具。它的基本方法宵拓扑度方法、变分方法、锥与半序方法等， 具体内容见参考文献 1 - 6 。 本文主要利用拓扑度方法，结合锥上的f i 动点指数理论，研究了四类非线性三阶常 微分方程或方程组边值问题变号解的存在性与多重性，得到了一些新的结论。 非线性常微分方程边值问题在物理、力学及生物等许多方面均有着广泛而重要的应 用。从目前已有的文献中可以看出，许多作者研究了二阶、四阶及一般的偶数阶微分方 e一 程边值问题。相对说来，奇数阶微分方稗边值问题的相关结论较少。我们认为，其主要 原闪是山于奇数阶边值问题所对应的非线性算予一般说来都不再具有对称性，相应的边 值问题没有变分结构。因而，其相对数学难度较大。显然，三阶边值问题是研究奇数阶 边值问题的基础，而且它本身在天文学，流体力学等学科的研究中也有着具体应用 7 。 因向，研究三阶微分方程边值问题解的存在性与多重性，具有科学价值与实际意义。 文 8 利用k r a s n o s e l s k ii 不动点定理，研究了三阶边值问题 l “”( ，) + 2 a ( t ) f ( u ( t ) ) = 0 ，【o ，l 】， l u ( 0 ) = u t ( o ) = “”( 1 ) = 0 。 其中a 是币参数。在厂和口的各种假设条件下，证明了当a 属于某个区日j 时，该问题 至少存在一个正解，两个正解和无穷多个i f ：解。 文 9 利用m a w h i n 重合度理论，研究了一i 阶边值问题 f “”( ，) = f ( t ，“( ，) ，“( ，) ，“”( f ) ) 十p ( f ) ，f ( o ，1 ) ， 1 “( o ) = 口，“( 专) ，“( o ) = 0 ，u o ) = 励( 7 7 ) l 仁l 形解的存在性，其中厂：【o ，1 】r 一r 。连续，e l i o ，l 】，口m f m 一2 ) r 1 ，0 ， 0 夤 夤 0 ，用b ( j o ，r ) 表示e 中的丌球 “e 恨一0 0 ，使得集合 s = 红e i “一“o = l ( a u l d 0 ) ，0 a l c b ( u o ，) ，那么a 在闭球b ( u o ，。) 上至少存 在一个不到i 点。 证明记b = b ( u o , 。+ 素) ，首先证j 对任意的自然数t i ，爿在闭球口( 9 0 | ，。+ 砉) 几 上一定存在不动点。 如果a 在其边界蛾上存在不动点，则结论成立。如果a 在慨上没有不动点，令 h ( t ，“) = ( 1 一，) “o + m u ，t 【o 1 】，“e 。丈l 为“o e ，a ：e - - e 全连续，容易证明 日：【o ，1 1 e 。e 全连续。记扛= 1 一h ( t ，) ，其中，表示e e 的恒等算子。我们断言 对任意的f 【o ，1 】，0 9 忍( 慨) 。因为如果存在慨，使得啊( “) = 一( 1 一，) 一蹦“= p ， 则“一“o = t ( a u 一$ 1 0 ) 。如果f _ 0 ，那么“= “o ，这与“o b 矛盾；如果k l ，那么“= a u ， 这与a 在0 b 。j ：没有不动点矛后，因此0 ， 1 。于是由假设条件知陋一“。| i 吒。，而 啦，所以陋一l i = 。+ ，矛盾。再注意到鼠， 3 6 l e r a y s c h a u d e r 拓扑 度的同伦不变性、平移不变性及正规性可得 d e g ( 1 一a ，眈，0 ) = d e g ( i 一“o ，反，0 ) = d e g ( 1 ，b k ，“o ) = l 。 太腺理t 人学坝i 研究生学位论文 从而爿在b 上存在不动点。因此对任意的自然数t ，彳在闭球b ( _ ，+ ) 上都存在不 动点“：，即甜：= 彳啡，k = 1 , 2 ，。 其次，注意到“：b ( ，_ 。+ ) ，于是 i 酢| 1 i i “：一“。 | + i “。9 。+ i 1 + i i “。i i 。+ l + i m ， 所以 “： 是e 中的有界集，又a ：e 寸e 全连续，所以 爿以) 是e 中的列紧集，即 一以 有 收敛子列，设一“i 一甜，_ ，j0 0 ，而a u k = “：，于是 ：，聿“，j 斗o o 。出a 的连续性， 即得 a u + = a l ，i ，m 。“：，2 i m a “j2 i m “：，2 “。| |3|1 再注意到帖一忙k + 丢， u - o 忙。，所以爿在闭球丽葡上至少存在一个 不动点。 定理1 1 1 是l e r a y s c h a u d e r 不动点定理的推广，事实上，在定理1 1 1 中取= 口 就有 定理1 1 2 ( l e r a y s c h a u d e r 不动点定理【6 】) 设e 是一个实的b a n a c h 空间，算子 a ：e 寸e 全连续。如果集合s = u e i = a d u ，0 五 1 有界，那么a 在闭球b ( o ，r ) 上 至少存在一个彳i 动点，其中r2 5 2 舡 注1 1 1 定理1 1 1 也可以利用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，通过变量代换的方法 得到证明。而拓扑度方法的直接证明，则既明定理1 1 1 并不依赖于l e r a y s c h a u d e r 不 动点定理。 事实上，对任意的v e ，定义算子b v = 彳( v + u o ) 一“。，那么b ：e 寸e ，并且由a 的全连续性，易知b 也是全连续的。记s 。= v e lv = 2 b y ，0 五 0 ，并且存在常数 ，。e ( o ，d ) ，使得 “e i ”一= 2 ( a u 一) ，0 五 0 。 芸 太原理t 人学坝1 研究生学位论史 即反而 e ( 一p u p ) ，而“+ b ( u o , r o ) ，所以“叭( 一p u p ) ，从而“+ 是a 的一 个变号不动点。 利用这一思想，结合s c h a u d e r 不动点定理，可以得到另一个算子变号不动点定理。 定理1 2 2 设a ：e e 全连续，e 。若d = d i s t ( u 0 - - p up 1 0 ，并且存在常数 。( 0 ，d ) ，使得当“b ( u o ，。) 时，a u b ( u 。，0 。) ，则a 在e 中至少存在一个变号不 动点。 、 i i f _ o f l 由假设条件可知彳：反而一面葡全连续，而瓦葡显然是e 中的有 界凸闭集，从而根掘s c h a u d e r 不动点定理知a 在b ( u o , ro ) 上存在不动点“，而 r 。( 0 ，d ) ，与定理i 2 1 的证明同理可知b ( u o ，) ce 、( 一p o p ) ，所以 ”e ( 一p u 尸) 。因此i , t 为a 的变号不动点。 1 3三阶方程三点边值问题变号解的存在性 本节利用定理1 2 1 和1 2 2 研究非线性项含有未知函数导数的三阶三点边值问题 黜嚣；f 缆邕0 d x k p ”b l 。- ， 【“( f 。) = “( ，2 ) = 甜”( ) = 。 变号解的存在性，其中f ：h 1 3 】r 1 r r j r 连续，一o o f l ，2 0 ( 2 ) 存在非负函数y ，磊，4 ，磊c t ，1 ，使得当， t i , l ，】、x 0 , x l ，x 2 r 。时， 并且 证明记r 2 l g ( ，x 。，一，石；) 一| s ，( r ) + 巧( ，) 卜i 忙0 ( 。+ z p , i i 。炒胁 0 霉广 d p 1 一c ，1 1 占, 1 1 。 ，= o ( 。+ z i i j , i i 。眇胁 1 一c 川刮i 。 。设五( 0 ，1 ) ，“e ，使得“一“= 2 ( a u 一“。) 。 丁是一= 五g ( t ，s ) ( g ( s ，”( s ) ，“( j ) ，“4 ( 5 ) ) 一) 弧。由假设条件( 2 ) 知 2 g ( s ，“( s ) ， 7 ( j ) ，”( j ) ) 一i y ( s ) + 巧( s ) 卜 = 0 6 太原理t 人学顺io f j l 牛学位论文 r 足 h 知 因此 s y ( ) + 谚( 岫“弘) | + 一( s ) 眇圳。 ( “( ，) - - 7 2 1 。( 伪匿1 i g ，( f ，s ) i l ( 郎，“( 5 ( ) ，“”( s ) ) 一) i 凼，_ ，20 ，1 ，2 ， l ( u - u ，) o - 0 ； ( 2 ) 存在非负函数，瓯，4 ，最c i ，13 】，使得当，【f i ，f 3 】、x 0 ，r 。，x 2 r 1 时 证明记o = 1 矗( t , x o , x i | ，x 2 冲i 丽1 ( 巾) + 砉删咖 o + z i i s , i i 。眇 1 一t 删。 2 ( 1 l y l l 。+ 别啡： - 0 2 卜。 t = 0 d p 。 ，设 ( o ，1 ) ，“e ，使得“一y ，= 2 ( a u v f ) 。 丁是“一y ，= 旯f 1 g ( i ，s ) ( 矗( s ，( s ) ，“( s ) ，“。( s ) ) 一“) d s 。出假设条件( 2 ) 知 于是由 知 然l 此 吣妇b 功) ) - i 丽1 ( 巾) + 砉刊” 赢叭卅喜酬b 一班卅i 善2 驰彬i b 肌i ( ( f ) 一v ，( ，匿j i g j ( t ，j ) i ib ( 驯i ( “( s ) ，“( j ) ，“( 5 ) ) 一i x ) i r i s ，= 0 12 l l ( u - v , , ) t l o - 0 ； ( 2 ) 存在常数oe ( o ，d ，) ，使得当，【，3 】、k i o + 怯，i i ( i = 0 , i ，2 ) 时， rr 一二生g ( t ，r o ，x l ，x 2 ) + 上。 fc 证明设“瓦而，那么删蔓陋一i i + l l , ，0s o + 肛，8 ，从而对一4 j js s t 一，3 】及 i = 0 ，1 ，2 ，有i i 0 ) ( j ) l o + i j u j , 所以由假设条件( 2 ) 可知 m a x i ，| ，l r 峰上。 c 而爿“( ，) 一( f ) = f g ( ，j ) ( g ( s ，“( s ) ，“( s ) ，“”( j ) ) 一) 咖，所以对于- ，= 0 ，1 ，2 ， 陋( ，) 一( ，) ) i 曹豁门g ，s ) i 如、m 札a x l g ( 删( s ( s ) ，“( s ) ) c ，量l ， c 9 裟 一查璺些! ：查兰堡! 坐! ! 竺兰丝堡兰 从而 j ( a u - u ) j | o = 。m a x i ( a “o - - u u ( 们卜。，= o ，1 ，2 ， 所以 , t - - u a i l = m a x 舭甜一训。， ( a u - u ) ，l | o ，忖“洲。 o ， 即忡“一1 1 - 0 ： ( 2 ) 存在常数o ( o ，d ，) ，使得当，【，。，f ，】、i x , l - o 十肛，j l ( i = 0 ，1 ，2 ) 时， 一前洲i , x o ) x i , x 2 脚十彘。 证明设“及瓦习，那么肛一v ，忡i l v ，。+ i i v ，从而对一切se i t ，岛】及 - 0 1 ，2 ，有u o ( s ) 怿o + i l i ，所以 吲m k a h j x m o x “i 曲弋卜川蒜。 而彳“( ，) - - v i , ( ，) = f 1 g ( ，j ) 6 ( s ) ( 矗( s ，z ，( j ) ，“( s ) ，”( j ) ) 一) 凼，所以对于：0 ，1 ，2 ， ( ，) _ v 一( 呦h m a x i g 弘，s ) 川| 6 l | 0 叫m 。a ，l l x h ( 舢( s ) ，甜( s ) ，“一i 如，。 上l ， 洲。“ 从而 1 1 ( a u - v ) | | o = 州m 。a ，3 j x ，( a “( ，- v ( ，) ) | 。，= o ，1 ，2 ， 所以 、 l a u - v u l l = m a x , l d “一- 儿i ( a u - v ) r i | o 肛”一) 拈。， 即怕“一v ，川o 。因此爿“顶瓦习，于是由定理1 2 2 知问题( 1 3 1 ) 在c ，【，f ，】中 0 太妇理t 人坝i 研九生学仃论文 至少存在一个变号解。 1 3 3 举例 现在举例说明定理1 3 卜1 3 4 的具体应用。 为简单明了，我们取t l = t 2 = 0 ，f 3 = 1 ，考虑问题 f “”( f ) = f ( t ，甜，“7 ，“。) ，【o ，1 】， k ( o ) = “( o ) = ”。( 1 ) = o ， 变号解的存在性，其中非线性项，：【0 ，1 】r 1 r 1 r 一只1 连续。 容易知道问题( 1 3 1 4 ) 相应的g r e e n 函数是 于是 6 ( ，s ) = 一：1 ，2 ，s ， ； “，她 g o ( ，s ) = g ( t ，s ) ， g i ( ) ： 【 ，s ， s ，j g ：沪供基 铲m h a 叫x 。e g ( ) 陋= ；， q = m 。a x 。f l g ( ，s ) 胁= i 1 ， c z = 瑞f i g z ( ) 陋= l ， c = m a x c o ，c l ，f 2 = 1 。 记妒( ，) = - 2 0 t - i - 1 2 ，那么 唧) = g ( f 洲蛐= 一；，4 + 2 卜，吲o l 】。 现在证明d = 船，( m ，一p u p ) 万4 。事实l ，当“p 时，( f ) o ，因此 太原理t 大学颂l 一研究生学位论文 i i - * l l 。硼舻( f ) 训她旧叫抖“( 争去去。 而当“一p 时，u ( t ) 0 ，所以也有 肛一o 。= m ，。a x “( ，) 一巾( 叫i “( 1 ) 一中( 1 ) i = 一“( 1 ) + ：吉话4 。 所以当“( 一p u p ) 时，i i - g 。丢，因为 ”忙m a x l l “一叱i | ( z 卜巾) i i 涨“一叫 冰一咧i 。丢， 于是，d 。= 如伸，一j p u p ) - 一i n ，u ，j f * 1 1 万4 。 以下考虑非线性项f 的四种情况。 ( 1 ) i ，( i , x o , x i , x 2 ) = - 2 0 t + 1 2 + 蟊t 擎2 s 骱，。 在定理l 3 1 中取呻) 。2 0 f + 1 2 ，g ( , x o , x i ，x 2 ) = 蟊t 丢2 一s i n 阮。1 = 0 , 。= 去， 那么“，= m ，d ，= 如，( 甜，一j p u p ) 万4 ，( o ，叱) 。因为 i g ( t , x o , x , , x 2 ) l 去孙f 所以对非负函数y = 0 ，谚= 1 c o ，1 】，( i = 0 , 1 ，2 ) ，当，【o ，1 】，x 0 ，x 。，岛r 1 时， g ( t , x o , x , x 2