（应用数学专业论文）非线性minimax问题的二次约束二次算法模型.pdf

非线性m i n i m a x 问题的二次约束二次算法模型 摘要 众所周知序列二次规划( s q p ) 算法是求解光滑约束优化问题的有效方法 之一。因此许多学者运用经典的s q p 方法来鹪决m i n i m a x 问题，并且得到了 一些有效的算法。但s q p 算法的一个关键问题是克服m a r a t o s 效应，所以每 次迭代需另外求解一个二次规划或线性方程组，或计算显式修正方向。为了克 服s q p 算法的这一缺点一些学者研究了针对不等式约束非线性规划的序列二 次约束二次规划( s q c q p ) 算法。 本文给出了一般约束的非线性m i n i m a x 问题的序列二次约束二次规划算 法框架。该算法框架包含s q p 算法、s q c q p 算法、模松弛方法以及强次可行 方法等思想。在m a n g a s a r i a n f r o m o v i t z 约束规格( m f c q ) 下给出了算法的全 局收敛性，在m f c q 、恒秩约束规格( c r c q ) 以及强二阶充分条件( s s o s c ) 下给出了超线性收敛性的充分必要条件。在m f c q 及s s o s c 条件下得到了 二次收敛性。 关键词：一般约束m i n i m a x 问题s q c q p 算法全局收敛性超线性 收敛性二次收敛性 aq u a d r a t i c a l l yc o n s t r a i n e d q u a d r a t i ca l g o r i t h mm o d e lf o r n o n l i n e a rm i n i m a xp r o b l e m s a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h es e q u e n t i a lq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ( s q p ) m e t h o d i so n eo ft h ee f f i c i e n tm e t h o d sf o rs o l v i n gs m o o t hc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n p r o b l e m s s o ，m a n ya u t h o r sh a v ea p p l i e dt h ei d e ao fs q pm e t h o dt op r e s e n t e f f e c t i v ea l g o r i t h m sf o rs o l v i n gt h em i n i m a xp r o b l e m s i ti sak e yp r o b l e mo f v a r i o u ss q pm e t h o d st oo v e r c o m et h es oc a l l e dm a r a t o se f f e c tu n d e rs u i t a b l e c o n d i t i o n s ，f o re x a m p l e ，s o l v e so n eo rm o r ea d d i t i o n a lq u a d r a t i cp r o g r a m so r s y s t e m so fl i n e a re q u a t i o n s ，o rc o m p u t ee x p l i c i tc o r r e c t i o nd i r e c t i o n t oo v e r - c o m et h es h o r t c o m i n go fs q pm e t h o d s ，s e v e r a la u t h o r ss t u d yt h es e q u e n t i a l q u a d r a t i c a l l yc o n s t r a i n e dq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ( s q c q p ) m e t h o d sf o rs o m e s p e c i a li n e q u a l i t yc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s i nt h i sp a p e r ，aq u a d r a t i c a l l ya p p r o x i m a t ea l g o r i t h mf r a m e w o r kf o rs o l v - i n gg e n e r a lc o n s t r a i n e dm i n i m a xp r o b l e m si sp r e s e n t e d t h ef r a m e w o r kc o n t a i n st h ei d e ao fs q pm e t h o d ，s q c q pm e t h o d ，n o r m r e l a x e dm e t h o da n d s t r o n gs u b - f e a s i b l em e t h o d t h eg l o b a lc o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h mf r a m e w o r ki so b t a i n e du n d e rt h em a n g a s a r i a n - f r o m o v i t zc o n s t r a i n tq u a l i f i c a t i o n ( m f c q ) ，a n dt h ec o n d i t i o n sf o rs u p e r l i n e a rc o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h m f r a m e w o r ka r ep r e s e n t e du n d e rt h em f c q ，t h ec o n s t a n tr a n kc o n s t r a i n tq u a n i f i c a t i o n ( c r c q ) a sw e l l a st h es t r o n gs e c o n d o r d e rs u f f i c i e n c yc o n d i t i o n s ( s s o s c ) a n dq u a d r a t i cc o n v e r g e n c er a t ei so b t a i n e du n d e rt h em f c qa n d s s o s c k e yw o r d s ：g e n e r a lc o n s t r a i n t s ；m i n i m a xp r o b l e m s ；s q c q p m e t h o d ；g l o b a lc o n v e r g e n c e ；s u p e r l i n e a rc o n v e r g e n c e ；q u a d r a t i c c o n v e r g e n c e 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含本 人为获得其它学位而使用过的内容对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集体，均 已在论文中明确说明并致谢 论文作者签名寐绵涛 学位论文使用授权说明 卅年( 月沙日 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 口即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者答各渌绵唏 导师答名： 垡吲蛳嘶 广西夫学硕士学位论文非线性m i n i m a x 问题的：次约束= 次算法模型 1 i n t r o d u c t i o n i ti sv e r yc o n v e n i e n tt oe x p r e s ss o m ee n g i n e e r i n gd e s i g np r o b l e m si nam i n i m a xf o r m a sf o 1 0 w s ( p ) m i n f ( x ) s t ， ( 茁) 曼o ，i j 五( z ) = 0 ，i e ， w h e r e f ( x ) = m a x f ic x ) ，i ，) w i t h i = 1 ，2 ，m ) ，j = m + l ，m + 2 ，r e + t ，e = m + 2 + 1 ，m + z + 2 ，m + f + s ) ，l = i u j u e l e tp o i n t s 站矿舻a n ds u b s e tt l ，f o rc o n v e n i e n c eo fw r i t i n g ，w ei n t r o d u c e a n du s et h ef o h o w i n gn o t i o nt h r o u g h o u tt h i sp a p e r ： g i ( x ) = v ( z ) ，凰( z ) = v 2 ( z ) ，劈= ( ) ，费= 玑( 扩) ，砑= 鼠( 矿) ，i l ， 方( z ) = ( ，t ( z ) ，t t ) ，9 ，( z ) = ( 玑( z ) ，t t ) ，v 厅( z ) = ( v ( z ) ，t r ) s i n c et h eo b j e c t i v ef u n c t i o nf ( x ) i sc o n t i n u o u sb u tn o n d i f f e r e n t i a b l ee v e ni ft h e f u n c t i o n s 五( i i ) a r ea l ld i f f e r e n t i a b l e ，t h ec l a s s i c a lm e t h o d sf o rs m o o t ho p t i m i z a t i o n p r o b l e m sc a l ln o tb eu s e dd i r e c t l yt os o l v et h i sc o n s t r a i n e dm i n i m a xp r o b l e m i ti sw e l lk n o w nt h a tt h es e q u e n t i a lq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ( s q p ) m e t h o di so n eo f t h ee f f i c i e n tm e t h o d sf o rs o l v i n gs m o o t hc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，b w a ，u s ei th a s f a s tc o n v e r g e n c e t h u s ，t h es q pm e t h o dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nh i g h l yt i m e - c o n s u m i n g s i m u l a t i o n s s o ，m a n ya u t h o r sh a v ea p p l i e dt h e i d e ao fs q pm e t h o dt op r e s e n te f f e c t i v e a l g o r i t h m sf o rs o l v i n gt h em i n i m a xp r o b l e m s ，s u c ha sr e f s 【1 卜【8 】s i m i l a rt ot h eg e n e r a l c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m ，t h ed i r e c t i o nf i n d i n gs u b p r o b l e m ( d f s ) c o r r e s p o n d i n g i t e r a t i o np o i n t 矿i nr e f 【6 】h a st h ef o l l o w i n gf o r m m i n ；矿日k d + m a x g t ( x k ) r d + 五( z ) ：i ，) s t 五( z 知) + m ( z 七) t d 0 ，i z ( i i ) ( z ) + 玑( 矿) t d = 0 ， i e s e t2 = m a x g i ( x k ) r d + 五( z ) ：i ， ，t h e nt h ed f sa b o v ei se q u a lt o m i nz + d t h d s t ( z ) + m ( ) r d 2 ，t ， 五( z ) + 吼( z 膏) t d s0 ，i z 五( z ) + 蛾( ) 丁d = 0 ，i e 1 ( 1 2 ) 广西大学硕士学t t 论戈 非线性m i n i m a x 问题的：次约束：次算法攘型 r e f 【8 】c o n s i d e r e dt h ef o l l o w i n gu n c o n s t r a i n e dm i n i m a xp r o g r a m ( p ) r a i nf ( x ) = m a x 侦( z ) ：i n ， b a s i n go nt h en o r m - r e l a x e dm e t h o d ( s e e 【9 】) ，t h ed f sh a st h ef o l l o w i n gf o r m m i nr o z + d t h k d s t 五( z 。) + g i ( x ) t d f ( z ) r i z ， w h e r e 0 ，唆= i ，：f ( x ) 一 ( z ) 涮袅， ( 1 3 ) t op r o v i d eau n i f o r mt h e o r yb a s ef o ra n a l y z i n gt h e s u p e r l i n e a ra n dq u a d r a t i cc o n v e r - g e n c eo fv a r i o u ss q pm e t h o d s ，i n 【i 0 a n dc h a p t e r2o f 【1 1 ，j i a np r e s e n t e da ne x t e n s i o n s q pa l g o r i t h mm o d e lf o rs o l v i n gt h ef o l l o w i n gg e n e r a lc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n m i n ，o ( z ) s t ( z ) 0 ，t i = 1 ，2 ，m ) ， ( 1 4 ) h ( x ) = 0 ，j e = m + 1 ，m + f ) ， a n da n a l y z e dt h es u f f i c i e n c ya n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h es u p e r h n e a rc o n v e r g e n c ea n d t h es u f f i c i e n c yc o n d i t i o n sf o rt h eq u a d r a t i cc o n v e r g e n c eo ft h ee x t e n s i o ns q pm o d e l t h i s e x t e n s i o ns q pm o d e la n di t sr e s u l t so f c o n v e r g e n c er a t eh a v e w i d ea p p h c a t i o n si na n a l y s i n g t h es u p e r h n e a ra n dq u a d r a t i cc o n v e r g e n c eo fs q pa l g o r i t h m s ，s u c ha sr e f s ( 1 2 1 一( 1 7 】i t i sa k e yp r o b l e mo fv a l - i o n ss q pm e t h o d st oo v e r c o m et h es oc a l l e dm a r a t o se f f e c tu n d e r s u i t a b l ec o n d i t i o n s ，f o re x a m p l e ，s o l v e so n eo rm o r ea d d i t i o n a lq u a d r a t i cp r o g r a m so r s y s t e m so fl i n e a re q u a t i o n s ，o rc o m p u t ee x p l i c i tc o r r e c t i o nd i r e c t i o n s m o r e o v e rt h ec u r v e s e a r c ht e c h n i q u ea n ds o m es t r o n g e ra s s u m p t i o n s ( s u c ha st h es t r i c tc o m p l e m e n t a r i t ya n d l i n e a ri n d e p e n d e n c e ) a r eu s e d t oo v e r c o m et h es h o r t c o m i n go fs q pm e t h o d s ，s e v e r a l a u t h o r ss t u d yt h es e q u e n t i a lq u a d r a t i c a l l yc o n s t r a i n e dq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ( s q c q p ) m e t h o d sf o rs o m es p e c i a li n e q u a l i t yc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，s e er e f s 【i s 一1 2 7 1 u n l i k et h es q pm e t h o d s ，t h es q c q pm e t h o d ss o l v e sa te a c hi t e r a t i o na s u b p r o b l e mt h a t i n v o l v e sc o n v e xq u a d r a t i ci n e q u a l i t yc o n s t r a i n t sa n dac o n v e xq u a d r a t i co b j e c t i v ef u n c t i o n ， t h a ti sas u b p r o b l e mw i t ht h ef o r mo f sming坩s(xk)t捌d+d)rtbk+dt d i 1 。k f 矿日i ( ) ds 0 ，i j ( 1 5 ) s ( z ) + 9 ，( z 。) t + i u f 矿日i ( z ) d s ，j ”7 n e e dt ob es o l v e d s u c hs u b p r o b l e mc a nb ef o r m u l a t e da sas e c o n d - o r d e rc o n ep r o g r a m ( 鲫r e f s 【2 3 ，2 4 ) a n db es o l v e de f f i c i e n t l yb yu s i n gt h ei n t e r i o rp o i n t sm e t h o d s 2 8 】一【删 2 广西大学硕士学位论文非线性m i n i m a x 问题的= 坟约束：次算基模型 b e c a u s eo ft h ef e a s i b l es q pm e t h o d sr e q u e s tf e a s i b l ei n i t i a li t e r a t i o np o i n ta n di ti sn o t e a s yt ob es a t i s f i e di ns o m ec a s e s o ，i nr e f 【3 1 】j i a ni n t r o d u c e dt h em e t h o do fs t r o n gs u b - f e a s i b l ed i r e c t i o n st oo v e r c o m et h i ss h o r t c o m i n g i n 【2 7 ，j i a np r e s e n t e daq u a d r a t i c a l l y a p p r o x i m a t ef r a m e w o r k ( q a a f ) f o rp r o b l e m ( 1 4 ) t h ef r a m e w o r kc o n t a i n st h ei d e a so f s q pm e t h o d ，s q c q pm e t h o da n ds t r o n gs u b - f e a s i b l em e t h o d a te a c hi t e r a t i o no ft h e q a a f ，i ts o l v e saq u a d r a t i cc o n s t r a i n e dq u a d r a t i cp r o g r a m m i n ga sf o l l o w s m i n ( 9 0 ( x ) 一a k 9 j ( ) ) t d + ；d r 磷d ，巨i s t ( 矿) + g i ( x ) r d + 矿瞵d 钟，i 厶i ， ( 1 6 ) h ( x ) + 缈( ) t d + d t 嘭d 谚，j e e ， 力( ) + 毋( 矿) + 矿田d = 谚，j 磁= e 露， w h e r eq ，钟a r ep a r a m e t e r sa s s o c i a t e dw i t ht h ec u r r e n ti t e r a t i o np o i n t 矿n eg l o b a l c o n v e r g e n c eo ft h eq a a f i sp r e s e n t e du n d e rt h em a n g a z a l i a n f r o m o v i t zc o n s t r a i n tq u a l - i f i c a t i o n ( m f c q ) ，a n dt h ec o n d i t i o n sf o rs u p e r l i n e a ra n dq u a d r a t i cc o n v e r g e n c eo ft h e a l g o r i t h mf r a m e w o r ka l eg i v e nu n d e rt h em f c q ，t h ec o n s t a n tr a n kc o n s t r a i n tq u a l i f i c a t i o n ( c r c q ) a sw e l la st h es t r o n gs e c o n d - o r d e rs u f f i c i e n c yc o n d i t i o n s ( s s o s c ) i nt h i sp a p e r ，t op r o v i d eu n i f o r m l yt h e o r yf o ra n a l y z i n gt h e s u p e r l i n e a ra n dq u a d r a t i c c o n v e r g e n c eo fv a r i o u ss q pm e t h o d sa n ds q c q pm e t h o d sf o rt h em i n i m a xp r o b l e m s ， w h i c hc e r t a i n l yi n c l u d et h eg e n e r a lc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n ( 1 4 ) ，m o t i v a t e db yt h ei d e a s a b o v e ，aq u a d r a t i c a l l ya l g o r i t h mf r a m e w o r kf o rt h em i n i m a xp r o b l e m ( p ) i sp r e s e n t e d 7 r h e r e s to ft h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s t h en e x ts e c t i o ng i v e st h ea l g o r i t h mf r a m e w o r k a n di t sg l o b a lc o n v e r g e n c e i ns e c t i o n3a n ds e c t i o n4 ，t h es u p e r l i n e a la n dq u a d r a t i c a l c o n v e r g e n c ea l ed i s c u s s e d ，r e s p e c t i v e l y f i n a l l y , ac o n c l u s i o ni sg i v e na tt h ee n do ft h e p a p e r 2 a l g o r i t h mf r a m e w o r ka n di t sg l o b a lc o n v e r g e n c e w ek n e wt h a tt h en o n l i n e a re q u a l i t yc o n s t r a i n t si nap r o g r a mu s u a l l ya r eh a r dt ob e d e a l e dw i t h ，e s p e c i a l l yi nt h em e t h o d so ff e a s i b l ed i r e c t i o n s ，s ow ec o n s i d e rt ot r a n s f e rt h e 3 ! 查竺! 竺竺竺查 ! 竺竺兰! 竺! 兰垒兰竺竺竺三奎竺查三查兰兰兰兰 m i n i m a xp r o b l e m ( p ) a 8f o l l o w s m i n f ( z ) 一c k 厶( z ) = m a x f ( x ) 一强办( z ) ) ) j e e r 托e i s t 五( z ) 0 ，i z 五( z ) 0 ，i 写e ， 五( z ) = 0 ，t 霹= e 巧， w h e r ee ki sap e n a l t yp a r a m e t e r l e t 五扛；e k ，l 誓) = 五( z ) 一e k f a x ) ，仇( 叫e k ，蜀i ) = v 五 ；e k ，z 石) ，l ， j 巧 f 【z ；，e i ) = m a x 五( z ；吼，i 茗) ，i j ) t h e nm o t i v a t e db ys q pm e t h o d ，s q c q pm e t h o d ，n o r m - r e l a x e dm e t h o da n ds t r o n g s u b - f e a s i b l em e t h o d ，w ef i r s tc o n s t r u c tt h ed f sa sf o l l o w s ( ；，劣喙+ ， m a x 五( 扩；c k ，巧) + 吼( 矿；，e 1 ) t d + ；护瞵d r f ( x “；仇，巧) ：i n + d r g 5 d ) s t ( z ) + 吼( z ) t d + d t g ；d 游+ 露五t 五z ( z 七) + 吼( z 知) r d + ；d t g ? d 西+ 砖毛l e e ， 五( 矿) + 吼( z ) 丁d + ；矿o f d = 西+ 辟而 磁= e 巧 h o w e v e r t h eo b j e c t i v ef u n c t i o no fd f sa b o v ei sn o n d i f f e r e n t i a b l e ，w i t ht h eh e l po f t h er e l a x e dv a r i a b l eza n db a s i n go nt h ed f sa b o v e ，w ei n t r o d u c ead i f f e r e n t i a b l ed f s 踞 f o l l o w s r a i n z + d t a k d 扛，d ) 骑n + l s t ( 矿；c k ，嚣) + 吼( ；c k ，靠) r d + g ；d r f ( ；靠，巧) z ，l 厶i ， ( ) + 矾( 矿) t d + 钟d + r 砖z ，i 以z ( z 。) + 吼( 矿) t d + d r a ? d 茎涝+ r 砖z ，t 2 军e ， ( z ) + 肼( ) t d + d 7 0 f d = + r 砖z ，t e 磁= e z 莓， ( 2 1 ) w h e r ep a r a m e t e rr = 0o r l n o w ，b a s i n go nt h ed f s ( 2 1 ) ，t h eq u a d r a t i c a l l ya p p r o x i m a t ea l g o r i t h mf r a m e w o r kf o r p r o b l e m ( p ) i sp r e s e n t e da sf o l l o w s a l g o r i t h mf r a m e w o r k a f ： s t e pic h o o s er = 0 o rr = 1 锄i n i t i a li t e r a t i o np o i n t 护( f o re x a m p l ez o 舻o r 4 广西大卑硕士学位论文非线性m i n i m a x 问题的；次约束= 次算鲁模型 x 0s a t i s f i e ss o m ef e a s i b i l i t y ) ，l e tk = 0 s t e p2f o rt h ec u r r e n ti t e r a t i o np o i n t 扩，c o m p u t e ，a c c o r d i n gt os o m eg i v e nr u l e s ， s u b s e t s 厶，j k z 靠e ，磁= e 耳，p a r a m e t e r sc k ，妒：，t20 ( i j k t 9 e ) ，a n d a s s o c i a t e dm a t r i c e sg 3 ，g ：p 。”( i 氕uj ku e ) s t e p3s o l v et h es u b p r o b l e m ( 2 1 ) t og e tak k tp a i r ( ( 钰，d 5 ) ，吨k ) ，l e tl k = 厶u 以u e ，让= ( t ，o l l j s t e p4g e n e r a t eah i g ho r d e rc o r r e c t i o nd v i au p d a t i n gd 5b yac e r t a i nt e c h n i q u e s t e p5d e t e r m i n et h es t e pl e n g t ha k ，a ：( 0 ，1 】a n dg e n e r a t ean e wi t e r a t i o np o i n t 矿+ 1 = + a k d o k + a 2 d s e tk ：= k + 1 ，g ob a c k t os t e p2 s i n c et h es u b p r o b l e m ( 2 1 ) s o l v e di nt h ef r a m e w o r kp o s s e s s e sv e r yg e n e r a lf o r m ，t h e f r a m e w o r ki sav e r yc o m m o na p p r o x i m a t ea l g o r i t h mf r a m e w o r kf o rs o l v i n gt h eg e n e r a l c o n s t r a i n tm i n i m a xo p t i m i z a t i o n ( p ) ，a n dm a n ya l g o r i t h m sc a nb er e g a r d e da 8s p e c i a l c a s e so ft h ea f ，as l i g h td e t a i l sa y ea n a l y z e db e l o w r e m a r k2 1i nt h ec a s eo f , 厶= i = 1 ) ，r = 1 ，砰兰0f o ra l l i 靠u e ，t h e nt h e d f s ( 2 1 ) i sr e d u c e dt o ( 1 6 ) a n dt h ef r a m e w o r ki sr e d u c e d t ot h eq a a f 【2 7 ，i na d d i t i o n ， i ff i l r t h e rs e tg ：= 0f o ra l li 厶t h e nt h ef r a m e w o r ki sf u r t h e rr e d u c e dt ot h es q pm o d e l 【1 0 】 r e m a r k2 2i nt h ee a s eo f , = i = 1 ) ，r = 1 ，游三0f o ra l li 五，e = a n d g ? 三0f o ra l li 厶t h e nt h ef r a m e w o r kb e c o m e st h en o r m - 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