（计算数学专业论文）基于b网方法的凸n面角的磨光.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 在计算机辅助几何设计和计算机图形学领域中，隐式代数曲面的光滑拼接是个重要 问题。 对于隐式代数定义的凸n 面角，基于b 网方法，本文提出了一种用二次代数样条 进行一阶磨光的方法。该方法构造的磨光曲面次数只有二次，算法简单，而且提供n + 1 个自由参数来控制磨光区域和磨光范围，可以针对不同区域进行不同程度地磨光。 本文结合位势函数方法和前面提出的磨光凸n 面角的方法，提供一种能够一阶磨光 r 1 个曲面形成的角的方法。该方法提供n + 1 个自由参数来控制磨光程度。 本文的安排如下： 第一章，对现有的磨光方法进行了简单的回顾，并对几种利用代数样条进行磨光的 方法进行了介绍。 第二章，简单介绍了一下有关多元代数样条函数的基础知识，以及b 网方法和几何 连续性。 第三章，基于b 网方法，采用m o r g a n s c o t t 剖分的加细剖分，详细给出了能够一 阶磨光凸n 面角的代数样条的构造过程，提供n + 1 个自由参数来控制磨光区域和磨光范 围。并在本章的结尾给出了实验对磨光效果迸行检验。 第四章，把位势函数方法和第三章提出的磨光凸n 面角的方法结合起来，详细给出 了能够一阶磨光n 个曲面形成的角的代数样条的构造过程，提供n + 1 个自由参数来控制 磨光程度。在本章结尾给出了实验对磨光效果进行检验。 关键词：磨光角；空间剖分；b 一网方法；隐式代数样条；几何连续性 基于b 网方法的凸n j 面角的磨光 b l e n d i n go fc o n v e xn h e d r a la n g l e sb a s e d o nb - n e tm e t h o d a b s t r a c t b l e n d i n go fi m p l i c i ta l g e b r a i cs u r f a c ei sa ni m p o r t a n ti s s u ei nc o m p u t e ra i d e dd e s i g n w ei n t r o d u c ea na p p r o a c ht ob l e n dc o n v e xn h e d r a la n g l e sb a s e do nb n e tm o t h e dw i m q u a r d r i ca l g e b r a i cs p l i n ea n do r d e ro n cc o n t i n u i t y i ti sp r a c t i c a la n dc o n v e n i e n t ，a n dp r o v i d e s n + 1p a r a m e t e r st oc o n t r o lt h eb l e n d i n gr e g i o ns e p a r a t e l y b a s e do nt h ep o t e n t i a lm e t h o d ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e sa l la p p r o a c ht ob l e n dac o m b i n a t i o n o fns u r f a c e sw i t ho r d e ro n ec o n t i u n u i t y a l s on + lp a r a m e t e r s 剐孵p r e s e n t e dt oc o n t r o lt h e b l e n d i n gr e g i o ns e p a r a t e l y t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，s o m ee x i s t i n gm e t h o d so fc o n s t r u c t i n gb l e n d i n gs u r f a c e sa r er e v i e w e d ， e s p e c i a l l ys o m ea p p r o a c h e su s i n ga l g e b r a i cs p l i n e s i nc h a p t e r2 ，s o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ea b o u tt h eb - n e tm e t h o d ，m u t i v a r i a t es p l i n e s a n dg e o m e t r i cc o n t i n u i t yi sp r o v i d e d i nc h a p t e r3 ，q u a d r i ca l g e b r a i cs p l i n e so f b l e n d i n gc o n v e xc o m e r sw i t ho r d e ro n e c o n t i n u i t ya r ec o n s t r u c t e d ，w h i c ha r eb a s e do nt h eb n e tm e t h o da n d t h er e f i n e m e n to f m o r g a n - s c o t tp a r t i t i o n n + ip a r a m e t e r sa l ep r o v i d e dt oc o n t r o lt h eb l e n d i n gr e g i o n s e p a r a t e l y e x a m p l e so fb l e n d i n ga r ea l s ep r o v i d e di nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e r4 ，c o m b i n i n gt h ep o t e n t i a lm e t h o da n dt h em e t h o dp r o v i d e di nc h a p t e r3 ，t h i s p a p e ri n t r o d u c e sa m e t h o dt ob l e n dac o m b i n a t i o no fns u r f a c e sw i t ho r d e ro n ec o n t i u n u i t y a l s o ，n + lp a r a m e t e r sa r ep r o v i d e dt oc o n t r o lt h eb l e n d i n gr e g i o ns e p a r a t e l ya n de x a m p l e so f b l e n d i n ga r ep r o v i d e di nt h ee n do f t h i sc h a p t e r k 呵w o r d s ：b l e n d i n gc o r n e r s ；s p a c ep a r t i t i o n ；b - n e tm e t h o d ；i m p l i c i t a l g e b r a i cs u r f a c e s ；g e o m e t r i cc o n t i n u i t y 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他己申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 墓矗g 二国孟冱垒白妇二画宙盟厘幺 作者签名： 王瘟日期：肄年_ 正月2 蔓日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：基五b 二囵孟冱脸舀丛二画自硷庭拉 作者签名：立蛊 日期：域年量月二堕日 导师签名：童岖嗜一日期：业| l 也月竺日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 在计算机辅助几何设计和计算机图形学领域中，曲面主要有两种定义形式：参数曲 面( x = ( “，1 7 ) ，y = ( “，v ) ，z = ( “，v ) ) 和隐式曲面( f ( x ，y ，z ) = 0 ，( 其中f ( x ，y ，z ) 为多项式时， 称为隐式代数曲面，当f ( x ，y ，z ) 是代数样条函数时，称为隐式代数样条曲面) 。相对于 参数曲面，隐式曲面具有如下的优势： ( 1 ) 易于进行点的分类、碰撞检测f 1 1 、物体的变形和动画等。 ( 2 ) 隐式曲面在求交、求并、o f f s e t 等许多集合操作之后，仍为隐式曲面，也即它 在这些操作下具有封闭性。曲面造型中经常利用这个性质，由简单的体素构成复杂的形 体。 ( 3 ) 隐式曲面表达式简单灵活，易于表现立体形状，理论上隐式曲面可以用于表 示任何形体。 ( 4 ) 隐式曲面的总次数较低，参数曲面的代数次数较高，例如双三次参数曲面的 代数次数为1 8 ，而高次代数曲面使计算及几何操作更复杂。 应用隐式曲面构造复杂形体始于b l i 衄【2 及w y v i l l 3 】等人的工作。他们提出了一种称 之为m c t a - b a l l 的隐式曲面来构造诸如人体的器官、面部、云雾等较复杂的形体。 b i o o m e n t h a l f 4 】贝0 提出了更为一般形式的隐式曲面即所谓的卷积曲面来模拟更加复杂的 物体。此外，k a c i c 和w y v i l l t 5 】等提出了用骨架的方法来构造易于变形的几何实体。 代数曲面作为一类特殊的隐式曲面，除了具有隐式曲面的大多数特性之外，其简单 的多项式表示，使得它具有直观的几何表示形式并使得计算得到简化，从而更便于应用 于实际造型中。代数曲面最重要的应用之一是用于构造磨光陆面。所谓的磨光就是在给 定的曲面之间构造光滑的过渡曲面。 早在1 9 8 4 年，r o s s i g n a c 和r e q u i c h a t 6 】用滚球法进行曲面的磨光，用这种方法得到的 磨光曲面次数很高，表达式复杂，而且在滚球半径较大的时候会出现自交现象。 r o c k w o o d 和o w e n 7 利用被磨光曲面及其梯度函数构造光滑拼接曲面，在磨光二次 曲面时，出现了8 次甚至更高的磨光曲面。 b a j a j 在文立 8 1 中利用h e 咖i t e 插值方法，将曲面的连续条件转化为关于磨光曲面的系 数的线性方程组，然后计算所有的代数磨光曲面。孙永利在其博士论文【9 】中利用吴文俊 先生的代数簇母点法改进了此方法。 利用代数方法进行磨光研究的成果比较多：w 舭e n 【l o 】得到了磨光曲面所属的理想， 虽然他没有给出最低次的磨光曲面的形式，但是给出了流形描述下的几何连续性的定 义，并给出了几何连续的刻画定理。吉林大学的伍铁如等人【1 1 1 1 1 2 提出了g r s b n e r 基方法， 基于b 网方法的凸n 面角的磨光 他们利用g r g b n e r 基的性质，将构造代数磨光曲面转化为曲面系数的线性方程组的求解 问题，给出了存在二次g o 磨光曲面的情况下，存在曲面g 1 磨光多个二次曲面的充要条 件。但是这种方法仅限于截面是平面的情形，而且对原始的被磨光的曲面要求较高，并 难以推广到高阶连续。吴文俊先生提出了代数簇母点法 1 3 】，可以将磨光曲面问题转化为 多项式方程组的不可约升列的计算，它比g r 5 b n e r 基的计算效率高很多，但是主要缺点 是算法过于复杂，孙永利【9 】，陈发来等【1 4 】【1 4 】对吴方法进行了进一步的发展。陈长松 1 5 】 和汤兴【1 6 】用合冲模求解根据代数曲面之间光滑拼接的代数条件得到的含有多项式系数 的方程组，这种方法当多个曲面拼接或者要求达到高阶几何连续性时，可能因为计算量 过大而无法得到结果。 因为本文是用分片代数曲面来对凸n 面角进行磨光，所以以下将对用分片代数曲面 来进行磨光的方法进行较详细的介绍。 1 1limin g s 技术的发展 首先介绍一下l i m i n g s 方法。l i m i n g s 方法主要是磨光两个曲面耳1 ( o ) 和墨1 ( 0 ) 的交 线，它是先找到一个和正坐标轴相切的二次曲线q 。( o ) ( 其中q ：吼2 一吼) ，然后磨光 曲面可以表示为( q 。s ) 叫( o ) ，其中s = ( s ，是) ：婀3 9 1 2 。磨光曲面随着q 以( 0 ) 的改变而 改变。 l a s s eh o l m s t r 6 m 1 7 1 x i j - l i m i n g ，s 方法进行了发展，这里我们主要介绍一下他的工 作。l a s s eh o l m s t r s m 用分片二次函数99 1 ”一锨来同时磨光r 1 个给定的曲面f 1 ( 0 ) ， i = 1 ，2 ，z 。那么磨光曲面为( q 。s ) 叫( 0 ) ，s = ( s ) ：9 1 3j 贸”。l a s s e 的方法只考虑凸组 合，也即是当要磨光的是f 1 ( o ) ( 扣1 ，2 ，甩) 的交时，只考虑的是s ( x ) 0 的部分，其中 x 孵”，f = l ，船。 同l i m i n g s 方法一样，首先需要找到分别与坐标平面薯= 0 切于只 ( p = ( 1 ，l ，l ，0 ，1 ，1 ) ，也即除了第，个坐标为0 外其余坐标都是1 ，f m ， m = 1 ，2 ，船) ) 的所有的二次函数，表达成数学形式即为：需要求出满足下列三个条 件的所有的p - 1 ( 0 ) ： q ( p ) = 0 ，i m ， ( 1 1 ) d ，q ( p j ) = o ，j m mf m ， ( 1 2 ) d , q ( p i ) 0 ，f m ， ( 1 3 ) 一 大连理工大学硕士学位论文 = = 一一 这里口表不对薯的偏微分。 设疗芝2 ，一般的二次函数9 吼”一贸定义为： q = q + 2 乃+ 2 c k x k + d ，x = ( x l ，) 锨一， ( 1 4 ) 糕“ 铃k h 心 这里a k ，q 都是实数。记 q 1 ( 工) = ( 2 一，z ) + 2 而，x 贸”， ( 1 5 ) k e n nt 。e n “ k 那么9 1 ( o ) 是一个通过互，只的圆锥曲面，而且它满足条件1 1 ，1 2 ，1 3 。令 尸( z ) 2 x k n + l ，工孵”，则尸通过b ，只。令q ) = p 2 ) ，则q ( x ) 满足条件i 1 ， 1 2 ，不满足条件1 3 。 定理1 1 一个二次曲面q = 9 t ”专贸满足公式1 1 ，1 2 ，1 3 当且仅当存在两个常数 “o 和鸬，使得q ( 功= 一q l o ) + 鸬q 2 ( x ) ，z 贸”。 记p = 一心鸬，由定理1 1 失r 1 满足1 1 ，1 2 ，1 3 条件的二次曲面可以表示为： q ( x ) 一p g ( x ) = 0 ，x 吼”，p 锨， ( 1 6 ) 将q ( x ) 进一步表示为： q 。p = 亡妈( 功一岛q ( 工) ) ，z 9 1 ”， ( 1 7 ) ，z l 。 其中成2 西岳丙0 p 爰。同理： q 。p ( x ) = ，p 墨z + 2 b n ，p 黾而+ 2 厶户+ 吨，x 吼一， ( 1 8 ) 雌 铃m 舡m 其中口n ，p2 i ( 3 三- 二j n ) i p 丽+ n - 2 ，。p 2 i i ：i l i - 而p，巳p = i i 彘， 以，p2 石瓦( 1 - 鬲n ) p i 。 数集mc m ，胁= im i ，o p 三，并且沏，p ) ( o ，丢) ，用：孵一- + 9 1 m 来表 刀一z2 示映射匕( x ) = ( ) ，i m ，x 9 t ”。这样要找的二次曲面片就可以写成： 瓯，卢。：9 1 ”_ 孵，简记为：q ，p ( m ，x ) = ( q p 。兄) ( x ) ，总共有2 ”个这样的函数。 一3 一 基于b 网方法的凸n 面角的磨光 等式( 1 8 ) 变形：q p ( m ，x ) - - a m 。p 2 + 2 k 。户x l , x i + 2 c 。，户+ 叱，p ，这里允 i e mk 1 e mk f m k l 许m = o ，1 。如果i m ，我们可以得到： 口q ，p ( m ，x ) = 2 a m ，户x j + 2 ，p x k + 2 c , t 吖、f f 对于三 p 旦1 ，定义： 2，2 2 e ，( m ) = x 睨”ld q 。卢( m ，x ) 0 ，i m ；皿q ，p ( m u x ) o ，f m m 。 对于o 尸去，除了色卢( ) = x 吼”lp q ( ( f ) ，x ) o ，iem ) ，或，p ( m ) 是一样的。 要找的分片二次函数是：o p 詈， 鳓( 工) = q “m ，工) ，x 最( m ) 。“p w ” 标记“分片 。由此定义鼠p = 鲻。s c 1 ( 锨3 ) ，那么磨光曲面就是：氍：( o ) 。 1 2 分片代数曲面方法 陈长松方法【1 5 】【1 8 】的一般步骤是： ( 1 ) 根据被磨光曲面和截曲面( 或截平面) ，得到磨光曲面的定义区域以及空间 分割。 ( 2 ) 根据各分片代数曲面之间，以及分片代数曲面及被磨光曲面之间的几何连续 条件得出方程( 组) 。 ( 3 ) 求解方程在( 组) ，得到分片代数磨光f h j 面。 ( 4 ) 根据调整方程组解的自由参数，以得到适合实际需要的磨光曲面。 定理1 2 t 3 1 1矿u ) 、y ( 向) 是两个横截相交曲面，相交于不可约代数曲线 c 芦v ( f ) f ) v ( h ) ，那么v ( f ) 和v ( g ) 是在c 上g 。几何连续当且仅当存在多项式 a ( x ，y ，z ) 0 ，b ( x ，y ，z ) 使得g = a 厂+ 励h 1 。 在实际应用中，矿( 办) 通常是平面，这时：代数曲面g = 0 ，阶数为玎，厂= 0 ，阶数 为所，相交于平面万= 0 。如果存在多项 a ( x ，夕，z ) 0 ，声( x ，y ，g ) ，阶数分别为船一胁， n - k - 1 ，使得g = a f + f l z h l ，则厂= 0 与g = 0 在万= o 上g 几何连续。 下面主要给出该算法的一个常见的实际应用：伞状三棱锥空间剖分的算法描述： 所个被磨光曲面) ：。，横截地与截曲面 红) ：，( 通常为平面) 交于c 。c 与c ， ( i j ) 均不相交，这同时也意味着，在u 三忽上两两不相交。而相邻的红则两两相交， 大连理工大学硕士学位论文 并均通过同一个点z l 。构造分片代数曲面进行g 。连续磨光。按照该算法的一般步骤进 行磨光算法： ( 1 ) 确定磨光曲面定义区域。被磨光曲面要在截曲面趣处与截曲面横截，并通过g 与zg 连续，因此曲面应该定义在 鸟) ：。围成的区域里。 ( 2 ) 将定义区域剖分成伞状三棱锥。在红界定的区域中，过红的公共交点z 1 引一 直线z ，z ，要求直线与每一个红均只有z ，这个交点，围绕该直线定义m 个平面万，习 惯成伞状三棱锥剖分，如图1 1 所示。将在砟，与乃中定义代数曲面片岛，岛与曩横截， 并通过c 与zg 连续，并且，吕之间要满足自身一定的几何连续性，即吕和繇，要在 过渡截面死上满足g 连续。 巧 磊 图1 1伞状拼接的定义区域和空间剖分 f i g 1 1d e f i n i n gr e g i o n sa n ds p a c ep a r t i t i o no fa nu m b r e l l a ( 3 ) 剖分的简单加细。仅作( 2 ) 中的剖分有时自由度不够，需要采用更细的剖分， 也就是说需要更多的分片代数曲面来完成磨光。思路是，采用2 s 个代数曲面，其中9 2 h 与，在忍上g 连续，而g ：h 和9 2 州则分别在乃，和万2 ，上与9 2 ，光滑拼接，空间剖分过程 同( 2 ) ，简单的示例如图1 2 。如果被磨光的多个曲面间有某种对称性，空间剖分也应 该尽量有相应的对称性( 但是这并不是必要的) 。 基于b 网方法的凸n 面角的磨光 够 图1 2 增加过渡截平面的伞处拼接定义区域 f i g 1 2d e f i n i n gr e g i o n si n c r e a s e dt r a n s v e r s a lp l a n e so fa nu m b r e l l a ( 4 ) 由定理1 2 得到该剖分下的光滑拼接的协调条件： 定理1 3由上述剖分定义的是一个g 连续的伞的充要条件是协调方程 y 口，万! + 1 = 0 有解。 i = 1 为保证代数曲面片蜀= o 与g 州= 0 之间k 阶光滑拼接，根据定理1 2 得到 g l + i = 吕+ 口，矿“，f = 1 ，2 ，m ， ( 1 9 ) 其中口；是阼一k 一1 次多项式。 根据定理1 4 和公式( 1 9 ) 得到相应的方程组。 ( 5 ) 求解第4 步得到的方程组，得到分片代数磨光曲面。 ( 6 ) 调整方程组解的自由参数，以得到适合实际需要的磨光曲面。 1 3 位势函数方法( p o t e n c i a l 方法) 基于l i m i n g ，s 方法，h o f f m a n n 和h o p c r o f t 1 9 】【2 1 】提出了位势函数方法来磨光两个或 三个曲面的一般法则。为了得到磨光两个曲面的相交的棱，使用了偏移曲面技术【2 l 】。假 设给定两个初始代数曲面v ( g ) 和v ( h ) ，定义两簇相应的代数曲面v ( g - s ) 和y ( 日一f ) 与之相对应，如果让( s ，f ) 满足关系f ( s ，t ) = 0 ，那么由空间曲线v ( g - s ，日一f ) 可形成一 个曲面v ( f ) ：f ( x ，y ，z ) = f ( g ，h ) = 0 。 大连理工大学硕士学位论文 如果s - t 空间( 即参数空间) 内的曲线f ( s ，r ) = 0 ，和s 轴相切与( 口，0 ) ，和f 轴相切 与( o ，b ) ，则曲面v ( f ) 就分别沿着v ( g a ，h ) 与v ( h ) 相切，沿着v ( g ，h - b ) 与v ( g ) 相 切，即矿( f ) 就是光滑拼接v ( g ) 和v ( h ) 的代数曲面。h o f f m a n n 和h o p c r o f t 认为磨光曲 面可以看作是参数空间内曲线f ( s ，f ) = 0 利用简单代换s = g ，t = h 后得到的结果。磨光 曲面和原始曲面的联结曲线( c o n n e c t i o nc u r v e s ) 为v ( g ) 或v ( h ) 和v ( d = g + 日一1 ) 的 交线。磨光区域需要满足下列两条性质： ( 1 ) 结果曲面总在d 的一侧； ( 2 ) 磨光区域由联结曲线决定。 对于三个曲面横截地交于一点处的磨光问题，h o f f m a n n 和h o p c r o f t 采用类似的偏 移曲面技术。 因为本论文研究的是凸交的磨光，这里仅提供势函数方法的针对凸组合的算法描 述。假定曲面v ( g ) ，v ( h ) ，y ( k ) 横截地交于一点，相对应的参数空间为由v ( r ) ，v ( s ) ， y 口) 三个坐标平面组成，横截交点对应原点。磨光区域在下列平面的负侧： 尽：r - i - s 一1 = 0 & 1 一f = 0 ， 岛：f + s 一1 = 0 & 1 一，= 0 ， 忍：，+ f 一1 = 0 & 1 一s = 0 ， 历：，一1 = 0 & s 一1 = 0 & t l = 0 ， 如图1 3 所示。 图1 3 磨光区域示意图 f i g 1 3d e f i n m gr e g i o n so f t h eb l e n d i n gs u r f a c e 基于b 网方法的凸r 1 面角的磨光 在实际应用中，曲线f ( s ，t ) = 0 通常取为二次椭圆曲线，其形式为： f ( s ，t ) = b 2 s 2 + a 2 f 2 2 a b 2 s 一2 a 2 b t + a 2 b 2 。 从而磨光曲面矿( ，) 的形式为： f = f ( g 日1 = b 2 g 2 + 2 2 g h + a 2 h 2 2 a b 2 g 一2 a 2 6 日+ a 2 b 2 ， 其中，口和b 控制磨光半径，五为曲率参数。 o h k u r a 和k a k a z u 【2 2 】给出了磨光三个相交曲面的方法，这种方法可以看作是位势方 法的一个推广。 1 4 基于b 一网和齐次化的方法 由于多面体的角可以看作是齐次样条的零集，而齐次样条可以看作锥样条，2 0 0 5 年赵国辉在文献【2 3 中指出n 维的锥样条可以看作由n 1 维的单纯形样条经过齐次化得 到。因此可以构造二维的g 1 光滑的局部支集样条来磨光三维空间的n 面角。牟海宁的 博士论文1 2 4 的第三章介绍了此类方法。 基于b 一网的方法牟海宁的博士论文【2 4 】和高文武【2 5 】介绍了此类方法。下面主要介绍 一下牟海宁的博士论文中第三章中提到的基于b 网的方法。 为了同时磨光n 面角，每个面设为为z 以( o ) ，首先用一个映射f ：z x j ( 薯= 0 为贸： 的坐标平面) ，则磨光问题就转化为对贸：的磨光。而且一旦得到孵：的磨光曲面片的表 达式s - 1 ( 0 ) ，那么n 面角的磨光曲面片的表达式即为： ( s 。丁) - 1 ( o ) ，其中丁= ( 互，l ) 。 这里要求z d ( o ) 的法向量为单位法向量。此方法分两个步骤进行：剖分贸：和利用b 网 方法建立该剖分下的光滑样条。 对锨：的剖分采取m o r g a n s c o t t 剖分：在贸：中选择点令d = ( o ，0 ) ， 4 = ( o ，0 ，a i ，o ，o ) ( 口，代表第f 个元素) ，骂= 1 - ( n - 1 ) a 4 + 口：二：弹，4 ，其中a i = 1 ， 一1 口 sm ， ，= 虬厶= 0 l ，0 2 ，) ，其中1 k - - - 以。 b + b + + b 气2 最懈2 j 。 基于b 网方法的凸n 面角的磨光 3 2 1 空i 司刮分 ( 1 ) 选点 令o = ( o ，0 ，0 ) ，4 = ( 0 ，0 ，a i ，o ，0 ) ( a j 代表第f 个元素) ， e = 【l q 一1 皿】4 + 口：产，4 ，其中q2 1 ，i 1 口 i l j ，f - 1 ，2 ，万。由点4 ，b ，的 定义，可以立刻得到单纯形 墨，岛，e 】位于单纯形 4 ，4 ，以】的内部，并且点4 和 e 位于由点集 q ) 蜀 置) 决定的超平面的对面。我们选择的点是0 ，4 ，吼， k = 1 ，2 ，n 。 ( 2 ) 剖分n 一单纯形 d ，4 ，4 ，以】 对n 一单纯形 0 ，4 ，4 ，4 】进行剖分使得这个剖分的每一个剖腔具有形式 d ，4 ，以，b ，& b ，b i 饵 】，将其记为a 铲，f t 。对于n = 3 ，图3 1 表明了这样一 个剖分，图3 2 显示了当该剖分被平面：，薯= 1 横截后得到的图形。 z 冬 图3 1 对3 单纯形的剖分 f i g 3 1 t h ep a r t i t i o no fa3 - s i m p l e x a 2 、 y 大连理工大学硕士学位论文 a 3 图3 2 3 - 单纯形的剖分被平面二。= l 截后的图形 f i g 3 2 t h ep a r t i t i o no fa3 。s i m p l e xa f t e rb e i n gt r u n c a t e db yp l a n e ) - - , 3l 墨= 1 从剖腔的定义，我么可以看到剖腔埘的多重下标t = 】l ，之，t 虬是与顺 序有关的，也就是说，改变集合以中的任意两个元素的位置会产生不同的剖腔。 由上面介绍的剖腔我们可以得到下面的命题： 命题3 1 ： 我们介绍的新剖分产生的剖腔的数目为屹= ：l ，畔| j ! 。 对每个剖腔护 - 【d ，2 4 - i k + 19 。9 ，b ，县l l 如) ，置 】，现在我们讨论它的边界 面。 3 2 2 构造孵：上g 1 磨光的b b 曲面片 我们首先使用b 网方法计算定义在剖腔上的曲面，然后利用将b b 曲面片转化为代 数样条曲面。而只要控制点决定了，就可以得到b b 曲面片的表达式。 由光滑拼接定理知道，b b 曲面片的系数和相邻单纯形顶点之间的几何表示有非常 密切的关系，所以在计算b b 曲面片之前，我们先给出几个相邻单纯形顶点之间的几何 表示的等式。由点4 ，e ，f = 1 ，2 ，刀和b i j l | 2 ， ( 1 七，2 ) 的定义，通过简单的推导我 们可以得到下面的等式： 基于b 网方法的凸n 面角的磨光 量如。，k，=百k十1-儿(n一-。k仃-一1)a，“bc。，吐，+堑云呈詈岩毒赭4k， + 五票羔( 气：+ 气，+ + 4 ) ， ( 3 1 ) ( 七十1 ) 1 一( ，2 一七) 口】、2 3_ 。 ，训= 雨k 。+ 彘抽训一乏k - 十l 。b 协 ( 3 2 ) 令 丑：坐二坠墨二! 幽， ( 3 3 ) “ ( 七+ 1 ) 【卜一( 胛一七) a 】 其中七：1 ，2 ，玎。 在本节的以后，我们假设t 是l ，) 上相对于点互1 2 ( 1 后咒) 的重心坐标。 ( 1 ) 计算定义在剖腔 j l = d ，4 ：，4 ， ，e 】上的b b 曲面片 。 由于n 单纯形 d ，4 ，4 ，4 1 外的样条为零，利用一阶光滑拼接条件，我们得到剖 腔上除了位于e 点处的控制点不为零，其他的控制点均为零。假设位于点e ，处的 b e m s t e i n b 6 z i e r n 数ne 。 则定义在剖腔上的b b 曲面片的表达式为： 溉( - ，乇，f 肿t ) 5 气砰。 ( 2 ) 计算定义在剖腔 | 1 f 2 ) = 【d ，4 ， ，4 ，e ，互铀 】上的b b 曲面片的表达式 考虑定义在剖腔“ 和 上的b b 曲面片之间的光滑拼接。其中这两个剖腔的公 共面 o ， ，以， ，置。】o 由一阶光滑拼接条件，我们得到除了位于线段【色，县 】上的控制点不为零外，其 他的控制点均为零，如图3 3 。 由公式( 3 1 ) 得到： 8 。；，： i - ( n - 2 ) z b 。+ ( 1 - n o r ) 1 - ( n - 2 ) a 4 。2 1 - ( n - 1 ) a 】12 1 1 - ( n - o c t 】。气 + 磊竺妄兰罴再( 以+ 4 + + 4 ) 。 2 1 0 1 矽】一3 。_ 。 大连理工大学硕士学位论文 b ，1 2 e 岛 图3 3 剖腔，上的非零控制点 、i i 2 ， f i g 3 3 n o n 。z e r 0c o n t r o l l i n gp o i n t si na ，b b 令 允： 1 - ( n - 2 ) g ， 2 卜 一1 ) a 】 由一阶光滑拼接条件得： ，屯2 f i l l e 。 下一步计算县 也 处的控制点p 枷。 考虑分享同一个平面 d ，4 ，4 ，4 ，最怕 】的两个剖腔崆 和 的光滑拼接， 如图3 。 e b ，如e f 2 b 如， e 如 b b b f 2 图3 4 剖腔。和，。上的非零控制点 i q ，2 ji 哩 j f i g 3 4 n o n - z e r oc o n t r o l l i n gp o i n t si n a 也 a n d a l 岛 l 由( 3 2 ) 得到： b i 1 , 1 2 = l b i | + 1 2b 。，即& 与。+ 2 e 仙 ，因此有： 基于b 网方法的凸n 面角的磨光 b 2 , i = = b 1 ，2 + 2 气b ，即气1 22 寺磊气+ 寺a 气。 则定义在剖腔 j l ，2 上的b b 曲面片表达式为： & 酞。也，( - ，l 2 ，i i ) = 气砰+ 26 1 ，b _ 2 + 气如砭，即 s ! 玩m 。，( ，吃，k 。) = 气砰+ 2 五气- 乞+ ( 寺矗气+ 去a 气) 。 ( 3 ) 计算 i l 如b = d ，4 4 ，4 5 ，4 ，包，e 如 ，量枷，b ) 】上的表达式 考虑定义在剖腔“。，和“两曲面之间的光滑拼接，我们得到只有位于三角面 1 1 q ，1 1 q ， 色，盈仙 ，县仙，b 】上的控制点不为零，如图3 5 所示。由于控制点气，6 i ，气。已经知道， 现在我们计算其他非零点的控制点。 气迥) 略粕) ) 龟曝如 ) 图3 5 剖腔。，上的非零控制点 q ，2 q ， f i g 3 5 n o n 。z e r oc o n t r o l l i n gi n a 如b 有公式( 3 1 ) 得到： 圹黼；+ 篙辩 + 酉f a ( 石1 - 丽n o t ) 2 ) a ( 以+ 4 + + _ ! ，3 1 一( 力一】、- 8 - ： 大连理工大学硕士学位论文 令 无：2 1 - ( n - 3 ) a ， 3 【l 一( ，z 一2 ) a 】 由一阶光滑拼接条件，得到： 气= 五气如= 如( 昙a 气+ 五p f 2 ) ，气燃= 五6 j l ，f 2 = 五a 气。 下面计算气铀。 考虑定义在呲。，和? ，b b 曲面片之间的的光滑拼接。两个剖腔上非零控制点 l i t t 2 ，l i ，3 , s 2 f 一 如图3 6 所示， 气( 量。) 假拍) ) 憾) 图3 6 剖腔。，和。；、上的非零控制点 t 1 1 t 2 山jt 由出j f i g 3 6 n o n - z e r oe o n l r o l l i n gp o i n ti n a ，如 a n d a 6 ，b l 由公式( 3 2 ) 得剑： 气圹一b 。, , i 2 - i - 氟舶，+ 丢e 。 由一阶光滑拼接条件得到： e 。电t2 孝气如，。+ 孝气。岛一言6 i ，t e ，虽口 ，)，1 巳锄2 吉以以 气+ 气+ 气】。 因此，。，上的b b 曲面片是： 1 i 崆， ， 基于& 网方法的凸n - 面角的磨光 趿。，由冉，( _ ，乞，1 ) = 气彳乜 t 三2 + 气1 2 | 3 r ；+ 2 b j , ，j 2 f l 乇+ 2 6 j 1 b ，b r 2 毛+ 26 l l t l 2 b f l 毛 = e j i 彳+ j 1a ( 气+ 气) f ：2 + 三五以魄+ 气+ 气】 + 2 4 e , , r ：a + 如a ( 巳+ 气) f 2 l 3 + 2 4 4 e r l 毛。 ( 4 ) 计算 协， 上的b b 曲面片的表达式 假设已经得到了定义在剖腔。永。) 上的b b 曲面片的表达式，现在计算定义在剖 腔 仙，冉 上的曲面片的表达式。计算过程与上面的过程类似。我们可以推导出以下结 论： ，j 2 ， 上的非零控制点位于【置，乓，： ，最 ，屯，吐) 】内部： k - i 嚏2 ( 譬乃) 气， 坩叶 6 1 1 j - 1i l = 寺( 疆t ) 气+ 气】， 2 产1 “ 。 1 k - 1 t2 言墨乃【p n + 气+ 讪 p 棚= 西1c 黔( 翮k - i ， = i 1 眇k - 1 ( 善k 气) 。 l ，屯 ) 上的b b 曲面片表达式为： 溉嘛矗，( ，2 ，) ：圭，e + 2 k - i 州，_ 伽： k - 1 _ 。】协h 【k - i 晰吩t j + i 1= ，e + 2 州，_ + 2 - r ： _ 。o 。】协h 【晰吩 f 2 1，= 1，= 2，z j 卜1 = 之 与( n 乃) ( 艺气) 圬+ 2 7 l e , , 唾乃) _ 。 + 2 弓r ：( p + q ：) 【唾4 ) - ，】+ + ，1 1 ，-ti-i i = ii -，2,i- 2 2 击鹕) 薹，嗔饥】 k 1r 1t = t ( n 乃) ( p j ，) 圬+ 2 ，昌1，l l，= 1 茎去f 。( 荟气) ，毫。4 一】) 。 一2 4 一 ( 3 4 ) 大连理工大学硕士学位论文 由此我们得到每一个剖腔上的b b 曲面片的表达式。 3 2 3 构造孵：上g 1 磨光的二次代数曲面片 为了得到代数曲面的表达式，我们需要将 i i 1 2 ， 上的b b 曲面片表达式转化为直 角坐标表达式。 1 2 ，冉