（应用数学专业论文）若干变分不等式问题解集的稳定性及其应用.pdf

摘要 本文在线性赋范空间上讨论了隐变分不等式，拟变分不等式，广义拟变分不等式 问题解集的通有稳定性与本质连通区的存在性，作为拟变分不等式解集的本质连通区 的存在性的应用，讨论了广义对策n a s h 平衡点集的本质连通区的存在性 本文共分五章： 第一章主要介绍了上述三类变分不等式的历史背景及其研究近况，并且简述有关 本质连通区的知识 第二章是本文的基础，为后面的研究提供了重要的依据 第三章在线性赋范空间上，运用u s c o 映射的性质，讨论了隐变分不等式问题解集的 通有稳定性，得到绝大多数( b a i r e 分类意义下) 隐变分不等式问题的解集是稳定的，另外 还证明了满足一定条件下的隐变分不等式的解集至少存在一个本质连通区 第四章在线性赋范空间上，首先给出拟变分不等式的解的存在性定理，接着讨论了 其解集的通有稳定性与本质连通区借助于拟变分不等式与广义对策间的一连续映射， 证明了广义对策n a s h 平衡点集本质连通区的存在性，此结论改进了 2 7 中相应的结果 第五章在线性赋范空间上，首先利用第四章拟变分不等式解的存在性定理，给出了 线性赋范空间中广义拟变分不等式解的存在性，并运用u s c o 映射的性质，讨论了广义拟 变分不等式问题解集的通有稳定性，得到绝大多数( b a i r e 分类意义下) 广义拟变分不等 式问题的解集是稳定的，在第三节，利用本质连通区的一个存在性条件证明了广义拟变 分不等式解集的本质连通区的存在性 关键词 义对策 中文图 隐变分不等式：拟变分不等式：广义拟变分刁i 等式：通有稳定性：本质连通区：广 ：n a s h 平衡： 书分类号：0 1 7 7 9 l 02 2 5 a b s t r a c t 1 - h i s p a p c rd i s c u s s c sm cg c n c “cs t a b i l i t ya n dc s s e n t i a ic o n n c c t c dc o m p o n c n t st h e s o 】u l i o l ls e l s 。fi m p i i c i 【v a “a t j o l l a j i n e q u a i i t y q u a s i v a r i a “o n a j i n e q l l a t y ，g c n c r a i i z c d q u a s i v a 乱i o n a li n e q u a l i t yo nl i n e a rn o r m e ds p a c e s a sa p p l i c a t i o n s ，w ea l s op r o v em e e x i s t e n c co ft h ce s s e n t i a lc o n n e c t e dc o m p o n e n t so ft h es e to fn a s he q u m b r i u mp o i n t sf o r g e n e r a j i z e dg a 】n e s t h i sp a p e rc o n s i s t so fn v ec h a p t e r si nn r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n d d e v e l o p m e n to ft h ea b o v et h r c cc j a s s c so fv a “a t j o n a ji n e q u a l i t i c si nr e c e n ty e a r s a tt h es a r n e t i m e ，w ej n n 。o d u c ec o n s j s e 】yt h ek n o w l e d g eo fe s s e n t i a lc o m p o n e n t s i ns e c o n dc h a p t e lw e p r o v i d ep f e 】i m i n a r i e sf o rt 】1 el a t e rc o n t e n t 、l nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h eg e n e r i cs t a b i l i t yo ft h e s o 】u t i o ns e to fi n l p l i c i tv a r i a t i o n a li n e q u a i i t yb ya p p l y i n gu s c oc o r i e s p o n d e n c e 、g e tt h e c o n c l u s i o nt h a tt h es o l u t i o ns e to f m o s ti m p i i c i tv a r i a “o n a ii e q u a l i t yp r o b l e m s ( i nt h es e n s eo f b a j r ec a t e g o r y ) i ss t a b l e i na d d i t i o n ，w ep r o v et h a tt h es o l u t i o ns e to fi m p l i c i tv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yp r ob j e m sp o s s c s s e sa ti e a s to n ee s s e n t j a lc o m p o n e n t i nc h a p t e r4 ，n r s t i yw es t u d y t h ee x i s t e n c et h e o r e mo fi h cs o l u t i o no f q u a s j v a r i a i t o n a lj n e q u a l i t y ts e c o n d 】y w ed i c u s st j l e g e n e r i cs t a b i l i t ya n de s s e m i a lc o m p o n e n to f t h es o l u t i o ns e to f q u a s i v a r i a i t o n a li n e q u a l i t y a s a p p l 瑶a t i o n s ，、v ep r o v e t h ee x i s t e n c eo ft h ee s s e n t j aj c o n n e c t e dc o m p o n e n to fn a s h e q u i l i b r i u mp o i n t ss e to ft h eg e n e r a l i z e dg a m e sw i t ht h eh e j po fac o n t i n u o u sc o r r e s p o n d e n c e b e t w e e nq u a s j v 捌a t i o n a ii n e q u a i i t i e sa n dg e n e r a l i z e dg a m e s t h i sr e s u 王ti m p r o v e st h es a m e r e s u l to fy u s i nc h a p t e r5 ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ee x i s t e n c et h e o r e mo ft h es o i u t i o no f g e n e r a l i z e dq l i a s i v a r i a l i o n a li 1 1 e q u a l i t y w i t ht h eh e l po ft h ep r o p o s i t i o no fm eu p p e r s c n l i c o n t m o l i sc o r r e s p o n d e n c e w eg e tt h eg e n e “cs t a b j i i l yo ft h es o l u t i o ns e to fg e l l c r a l i z c d q l m s i v a r i a i t i o n a li n e q u a l i t i e s ， i nt h et 协r d s e c t i o n ，、v ed m v ci h ee x i s t e n c eo fe s s e n t i a l c o l l n e c t e dc o m p o n e n t o f g e j l e r a l j z e dq u a s j v a r j a i t i o n a ji n c 叭1 a i i t yu s j n go n ce x i s t e n c ei h e o i c m ( ) | 、e s s e n t i a lc o m p o n e n t s k c ) w o r d s ： j m p l j c n v a r i a i j o n a 】 i n e q l i a l i t y ： q u a s i v a r i a t i ( ) n a li n e q u a l n y ；g e n e r a l i z e d q l m s i v ar i a i 】o n a ji n e 小l a l j t y ：g e n er i cs t a b 川l y ：e s s e l l f i a ic ( ) 1 1 1 p ( 1 n e n i ：g e n e r a l i z e dg a m c ：n a s l l e a 【l i l 沁m l n l 若十变分小等j 问题肼袋的稳定排技j l 心川 第一章引言 1 9 6 6 年，f a r t m a n ，s t a m p a c c h f a 3 4 等人在创立变分不等式理论基础时提出了第 个变分不等式，即：设k 是r ，的有界闭凸集，b ：k 斗r ，是连续映射，求z k 使得 ( 出+ ，y r ) 0 ，y k ， 并在有限维空蚓中运用b r o w d e r 不动点理论证明其解的存在性，之后坡推广剑i l b c r f 空| 、u j 中1 9 6 7 年，b r o w d e r ，l i o n s 1 8 ，2 3 ，2 4 等人把这一个等式推广到无穷维空呲并 把所铝结果应用于研究力学，控制论，经济数学，对策论，微分方程与最优化理论中 许多重要问题如对偏微分方程边值问题解的应用 6 以及对力学中s i g n b o r in j 问题的 应用，见 8 ，2 6 近来，变分不等式理论从不同角度被不断加以丰富 比如解的存在条 件的削弱，解的迭代算法 j 2 ，q 1 1 9 8 0 年，f g i a n n e s s i 1 9 在有限维欧氏空担j 中引入 向量变分不等式并给出了更进步应用，陈光亚 1 1 中发展了向量变分不等式并把其 应用于向量优化问题，推广了以前的一些结论2 0 0 2 年，d e w ”d 1 j 等人证明了l 勺量 变分不等式与向量优化问题的弱p a r e t o 解的等价性同年，o h a n s a r i 3 j 研究了向 量隐变分不等式与向量平衡问题的关系，并由此证明了广义刘策n a s h 平衡的。些存在性 结论2 0 0 3 年，y ，c h i a n g 仰 等人运用f k 不动点定理 3 6 ，p p l 8 6 得出了向量隐变分不等 式解的一些存在性结果 19 j o 年，f o r t 3 2 首先引入紧度量空问上的连续映射的本质不动点概念，1 9 j 2 年， k jn ( ) s h j t l 3 8 引入不动点木质连通区的定义，并证明了 i i l b e n 立方体上连续映射不 动点集本质连通区的存在性1 9 6 2 年，吴文俊和江嘉禾引入非合作对策本质平衡的概 念，1 9 6 3 年，江嘉禾又引入了非合作对策n a s h 平衡点集本质连通区的概念1 洲6 年， k 。，l ) u r “和c r t e n s 1 6 证明任一有限n 人非合作对策的n a s h 、f 衡点集“ 有限个连迎k l i 成，l1 伞少存在一本质连通区之后，便出现行种仃关限线r l ：0 u 题解的稳定+ 陀和本 质j 生j 也力j f ij 的 ，论如 黄卅1 人学2 0 0 5 川岫1 研究生学位论殳 2 8 k yf a n 点的本质连通区的存在性等 关于变分不等式问题解集的稳定性及本质连通区的研究，罗群，刘幸东 2 得到 类广义向量似变分不等式问题解的存在性定理，然后利用u s c o 映射的性质，讨f 了广 义向量似变分不等式问题解集的通有稳定性，得到大多数( b a ir e 分类意义下) 广义向量 似变分不等式问题的解集是稳定的：另外还引入广义向量似变分不等式问题解集的本 质连通区的概念，并证明了满足一定的连续性，凸性条件的广义向量似变分不等式问 题解集至少存在一个本质连通区 3 在 1 的基础上，减弱一定的条件，证明了广义向 量似变分不等式问题解集的通有稳定性，并得出了满足一定上半连续性，凸性条件下 广义向量似变分不等式问题解集至少存在一个本质连通区 变分不等式理论与集值映射的不动点理论相结合，产生了一个新的研究方向一一隐 变分不等式( 本文均简称为i v i ) ，隐变分不等式是指带隐约束条件的变分不等式，最早 的研究开始于1 9 7 2 年k yf a n 2 9 本文第三章中研究的隐变分不等式由m o s c o 3 9 于 1 9 7 6 年提出并加以研究在此从隐变分不等式问题解集的稳定性入手，同样运用u s c o 映射的性质，讨论了线性赋范空间上隐变分不等式问题解集的通有稳定性，得到绝大 多数( b a i r e 分类意义下) 隐变分不等式问题的解集是稳定的，另外还证明了满足一定条 件下的隐变分不等式问题的解集至少存在一个本质连通区 拟变分不等式( 本文均简称q v i ) 是指带约束条件的变分不等式，1 9 7 3 年由 b e n s o u s s a n ，l i o n s 9 在研究控制论的某些问题时最先引入，并给出了其存在唯一解的 条件如今，拟变分不等式问题无论是理论方面还是应用方面均取得重要的进展，并 成功运用于解决各种力学问题和经济学问题例如，b a i o c c h i a 通过未知函数的变换， 解决非矩形水坝的渗流问题n e c a s 等利用拟变分不等式解决摩擦问题m a l l a ，n a s s i f 利刚拟，史分不等式成功解决了晶体管问题1 9 9 1 年，r i a n 2 2 通过拟变分不等式方法证 明了在参与人为无穷多个且不可数，策略空间为非紧情况下广义对策n a s h 平衡点集本质 连通区的存在性1 9 9 9 年，y u 和f ，u o 2 7 通过拟变分不等式问题解集的本质连通区，证 明了广义对策n a s h 平衡点集本质连通区的存在性本文第四章在线性赋范空间中首先 给出类似于 6 ，p ，2 3 9 拟变分不等式问题的解的存在性定理，接着讨论了其解集的通有 若十业分小等式问题解集的稳定忡投j c 戊用 稳定性与本质连通区借助于拟变分不等式问题与广义对策间的一连续映射，证明了 广义对策n a s h 平衡点集本质连通区的存在性，此结论改进了 2 7 中相应的结果 1 9 8 5 年，t a n k k 3 0 运用广义k yf a n 极大极小不等式 2 9 方法，讨论了局部凸 h a u s d o r f f 拓扑空间上广义拟变分不等式问题解的存在性的一些结果1 9 9 0 年， d i n g x p 与t a n k k 3 7 运用h i 啪1 b e s g 不动点证明了广义拟变分不等式问题解集的 两个存在性定理，改进了s h i t a n 中相应的结论本文第五章首先利用第四章拟变分不 等式问题解的存在性定理，给出了线性赋范空间中广义拟变分不等式问题( 本文均简称 g q v i ) 解的存在性，并运用u s c o 映射的性质，讨论了广义拟变分不等式问题解集的通有 稳定性，得到大多数( b a i r e 分类意义下) 广义拟变分不等式问题的解集是稳定的，在第 三节，利用本质连通区的一个存在性条件 5 证明了广义拟变分不等式问题解集的本质 连通区的存在性 擞州j 、学2 0 0 5 埔 口：1 j 州究乍学化论殳 第二章预备知识 设x 和y 是两个度量空间，记2 。为x 中非空子集的全体，k ( x ) 是中非空紧集的 全体，：y _ 2 。是一个集值映射对任意 o ，及任意爿2 。，记 【，( s ，爿) = x x ：存在“爿，使p ( “，x ) 0 ， 占 0 ，当d ( y ，y ) 0 ，j 占 o ，当d ( y ，y ) 0 ，j 6 o ，当d ( y ，y ) 万时，有 h ( f ( y ) ，f 抄) ) o ，使肘任意满足p ( ”，“+ ) o ，j | ( 占) ，v m ，盯 ( s ) ，有p ( “。，“。) s s u p i 巩( x ) 一g 卅( x ) l 占 因此对任意的x r ，有l ( ) ( x ) l 占( ) ，固定x 丁，注意到 璺，( ) ) 为基 本列由函数序列的一致收敛有岛( ) 一致收敛到g ( x ) ，下证g ( x ) 下半连续 v ( 以) 斗( ) 因毋( x ) 下半连续及晶寸g ，则每一月有岛( 爿) 一s g “x 。) ，当 变化时 有l i m 。 毋( x ) 一占】 ，彳 p w ( b ，“。) 占 即 s u pi g 。( z ，x ) 一g 。，( z ，x ) i + s u p 驴0 ( z ，x ，y ) 一y 。( z ，x ，y ) i s ， ( = ，) e x ( ：y k j x x 也就是 s u p g 。( z ，x ) 一g 。( z ，x ) l s ( 1 ) ：k r s u pi 弘0 ( z ，x ，y ) 一弘7 - ( = ，x ，y ) j f 由( 1 ) 式有i ( z ，x ) g 。，( z ，工) j 占，由( 2 ) 式有i ( z ，x ，y ) 眠，( z ，x ，y ) l s 义由x 为紧凸集 及引理3 12 有g 。( z ，x ) 斗g ( z ，x ) ，眠( z ，x ，y ) 寸y ( z ，x ，y ) r 咖只须征憎，) 肘：( g 。) ，显然，岛满足定义3 j j 的条纠：， 义刺v ，竹( x ，y ) = 沙。( z ，x ，一) 1 讧调二f 通：续有：( x ，j ，) + 以，( y ，工) s0 及以，( 工，) 妒( x ，) j 1 麒 9 口i 州人! 2 0 0 5 幢l j 训究生 位论史 i ；，( x ，y ) + 妒( y ，工) 茎竹，( x ，y ) + 鳃，( j ，x ) + 2 s 茎2 圳 缈( 工，y ) + 妒( 少，x ) so 砂i 以妒( 工，y ) 单调 义凼为 l i m 卜+ o 蛾( z + ，( j ，一x ) ，y ) ( 工，y ) 有 l i m ，斗o 妒( 工+ r ( y z ) ，一) 一占】 l i m 。纯c t y ) 一占 妒( z ，) 0 ) 妒( x ，y ) 一占 于是尹( z ，y ) 关于y 下半连续类似有p ( x ，_ y ) 关于x 上半连续 因为z ( x ) = g ，( z ，x ) 关于x 凸，有 g ( z ，舡l + ( 1 一f ) x 2 ) = l i m 。g 。( z ，f 一+ ( 1 一f ) x 2 ) l i m 。【喀。( 2 ，一) + ( 1 一，) 邑( z ，屯) = 留( ，而) + ( 1 一，) g ( z ，屯) 即g ( z ，x ) = 厂0 ) 关于x 凸。刈v ( z 。，儿) 一( x ，) ，因岛( z ，y ) 下半连续及g 。一g ，则每一” 有岛( x ，少) 一f ( 矗，) ，当”变化明+ 有l i m 。【岛( 石，y ) 一】 1 i m 。( ，儿) “1 若i 变分小等问题解集的稳定性搜其应用 所以 g ( x ，y ) s f ，i 晶一gj z ，j 虬j g g f 岛 g + s ， o g ( z 。，) 一s ( z 。，y ) + 眠( 毛，矗，y ) g ( 毛，y ) + ( 三。，矗，y ) + 2 s g ( z 。，) ) 一s g ( z 。，y ) + ( z 。，) 吃，_ y ) + 2 s 即： g ( 毛，x 。) 0 ( z 。，儿) + ( z 。，比) 一( z 。，k ，y ) g ( ，儿) + ( 乇，矗，儿) 一( z 。，k ，一) 有 1 i m a g ( ，儿) + 沙( z 。，矗，儿) 一( ，y ) g ( z ，y ) ( g ，p ) 肼 综上所述，( m ，砌) 为一完备度量空间 为得出隐变分不等式问题的解的通有稳定性，先引用 6 中个有趣件的结果： 引理3 1 4 m i n t y 】设e 是线性赋范空间，x 为e 中紧凸集设：x 斗( 一呜+ c 。) ，且 、。，并设( x ) 下半连续的；妒：斗r 单调半连续，妒( x ，y ) o ，且对任何x ，关 j ：y 足下半迮续的，料对仟何工x ，厂( y ) + 妒( x ，y ) 关卜y 是凸的，则孤，使得对 p ，订 ，( y ) + 妒( x ，y ) 厂( x ) 与厂( y ) 一妒( y ，x ) 厂( 工) 等价 贵州j ：学2 0 0 5j m 删1 j 州宄q j 学位论史 引理3 1 ss ：m 寸2 。为u s c o 映射 证明：。x 为紧集，则要证s ：m 一2 。为u s c o 映射山【2 5 】t 第1 1 1 贝的系9 ，j l 须i l ：s 的图为闭即可，即证g r a p h ( 5 ) 足m 的闭予集义 g ，1 印矗( s ) = ( ( g ，) ，工) 矿z ，工s ( ( g ，) ) 任给g r a p h ( s ) 中一序列( ( 岛，) ，x 。) 且( ( 乳，) 矗) 一( ( g ，) ，x + ) ，由m 为完备及g 理3 1 3 的证明有( g ，妒) m ，x + 盖，吒s ( ( 岛，) ) 下只须证( ( g ，v ) ，x ) g 仰矗( s ) 即只须x + s ( ( g ，p ) ) 显然( 令z 。= x 。) g ( 矗，x 。) g ( k ，y ) + 妒( ，k ，y ) ( 1 ) 砂，瑰有 l i m a ( 占( 矗，儿) + ( 吒，虼) 一( ，吒，y ) ) g ( x ，) 在( 1 ) 中令_ y = 儿， 占( 矗，矗) g ( 矗，儿) + f ，( ，虬) l i m a ( g ( x 。，3 0 ) 一( 矗，矗，y ) ) 茎g ( x + ，y ) 缈( 矗，) 单调半连续，有妒( ，y ) 一妒( y ，屹) ( 矗，) ，矗) 一 f ，( 矗，矗，j ，) 则 l i m a ( g ( o ，矗) + p ( 矗，y ，矗) ) g ( x + ，y ) 又g 在工工上是下半连续即 g ( x ，x ) ! i ! 旦。g ( 吒，矗) 又对任意x x ，( z ，x ，y ) 是( z ，y ) x x 的下半连续泛函； ( x ，弘x + ) l 匦。p ( k ，弘矗) 荐十变分小等- 问题解集的稳定傩厦j i 戌用 g ( 工，x + ) + p ( 工，y ，x ) 蔓l 迪。g ( j ，) + ! i ! 醵妒( j 咯，y ，j 0 ) 堕里。k ( 矗，) + ( ，y ，) 】 l i m a 瞻( 矗，矗) + f ，( 屹，y ，) g ( ，y ) 由引理3 1 4 知 g ( x ，x ) g ( x ，j ，) + ( x ，工+ ，力 成立所以s ：m _ 2 。为u s c o 映射 由定义2 1 1 及定义2 1 6 易知： 引理3 1 6 “为本质的充要条件为集值映射s ：吖斗2 。在“下半连续 下面给出本节的重要结果： 定理3 1 。2 存在 巾的稠密剩余集q ，使对任意“q ，是本质的 证明：由引理2 1 1 及引理3 1 5 引理3 1 6 立即可得 囚此，我们得出了隐变分不等式问题的解集在一个稠密剩余集上是稳定的，即在b a i r e 分类意义下，绝大多数隐变分不等式问题的解集是稳定的 推论3 1 1 如果“肼，s ( ”) 仅由孤立点组成，则“是弱本质的；特别，如果s ( “) 是单 点篡锄盯必是本质的 2i v i 的解集的本质连通区 在本节，我们将讨论i v i 解集的本质连通区，先给出如下引埋： 引理3 2 1 对每一“吖，s ( “) 中至少存在一极小本质集 证明：。由引理3 1 5 知s ：肘- 2 。为上半连续，对任意开集o ，且s ( 甜) c 0 ，存在“ 的丌邻域u ，使对任意”+ e u ，有s ( “+ ) c 0 显然s ( “+ ) n d ，故s ( “) 本身就是一个本质 集记f 为s ( “) 的所自本质集的全体( 按包含关系定序) ，则f 非空，对f 的任意递减链r ， j1 二 的侮个成员鄙是紧的故f 的每个成员之交仍为紧的，冈而有下界，于是由z o m ，j j 理， o ，存在“l ，“2 满足 j 靠，) 占，( “，) 0 ，使对任意满足砌( “，“) 巧+ 的“+ 有s ( “) n ( u u u 2 ) 声又 因为uc q ，亡q ，所以存在h ，吐m ，满足砌( ，u ，) 何( 工，y ) 一s ，仍( x ，j ) 仍( 工，) 一f 即 妒( j ，乩) = 五( z ) 仍( ，只，) + ( z ) 仍( ，一) 五( z ) 够( z ，y ) + ，( z ) 仍( 工，j ，) 一f 五( 三) + ( ：) 】f = f l x ，y 卜s 炎卅lj 、学2 0 0 5 肼坝w 究生7 化论义 即妒( 工，) 哭j ：，为f 、 三连续类似埘弧斗x 有 妒( 矗，y ) = 丑( z ) 吼( 一，y ) + ( z ) 仍( 矗，y ) 时 只，gq ( 一，) ：，j ( q ( 矗) ，虬) = + o 。 所以 万( q ( x ) ，y ) = + 。o = i 也f ( q ( 矗) ，只) 所以巧( 9 ( z ) ，y ) 下半连续又由于下半连续，则g ：j 一月是下半连续的 i i ) y 9 ( x ) ， 由j ( q ( x ) ，y ) = o ，贝0 9 ( x ，y ) = d ( q ( x ) ，y ) + l ，( x ，y ) = t ，( 工，y ) 显然，由t ，：z x r 是下半 连续的；即有g ：x xj r 是下半连续的 综上所述，g ：x x j r 是下半连续的 因而，引理3 ，1 1 的条件( i ) ，( i i ) ( i ) ，( i i ) ( 2 ) 满足现设任何的序列 ( 气，k ) 且乙斗z ，由假设 对任意的，存在只g ( 气) ，使得 l i m 一，( 乙，h ) j ( z ，y ) 又! 迪。j ( 乙，”) 1 i m ”i ，( 乙，) j ( z ，y ) 因石( q ( z 。) ，儿) = 0 ，而且对任意的y x ，存在虬q ( 乙) ，使得 韭皿。 g ( z 。，乩) + y ( z 。，矗，儿) 一矿( z 。，k ，y ) 】 = 堕里。【万( q ( 气) 只) + ，( z 。，乩) 】 = 堕塑。j ( 毛，只) j ( z ，y ) i ，( z ，y ) + 万( q ( z ) ，y ) = g ( z ，y ) 敞引理3 ，1 l 的条件( i i ) ( 3 ) 也满足故卜h 引理31 1 有： j x z ，使饲 一( q ( x ) ，y ) + ，( x ，y ) 占( q ( x ) ，x ) + j ( x ，x ) ，、咖 则绀沧成、t 注：1 1f 为j l j j i 弧- h 的i a u s d o r f r 拓扑线性，脚l j ，由证叫过榭易知，结沦川中丫成点， 擞ij 、71 【) 0 5 i 1 1 1 1 ；j1 1 州究生学协涂史 此，我们仃如f 结论： 推论4 1 1 波e 为局部l 兀i 的h a u s d o 唧j i 扑线性空m ，爿ce 是任1 | i _ 空紧，：i 集殴 g ：x 斗2 。是具有非空闭凸值的上半连续映射，设：一月是下半连续的；f 簪波 。，( z ，y ) 关于y 是凸的，且满足条件：时任何的序列z 。斗z ，及任意的y ，存在 儿q ( z 。) ，使得 堕里。，( z 。，儿) i ，( z ，_ y ) 则存在x x ，使得 x q ( 工) ，j ( x ，y ) ，( 戈，x ) ，、矿y q ( x ) ， 注：此推论即为f 6 】中的定理6 6 3 设五为线性赋范空间，肖 占是任一非空紧凸集， 定义= v = ( ，9 ) ：，q 满足定理4 1 1 的条件 任给v = ( ，q ) ，v 。= ( ，1 ，q ) ，在上定义： p ( v ，v 1 ) = s u pi i ，( z ，x ) j 1 ( z ，x ) l + s u p 向( q ( x ) ，q 1 ( x ) ) 其中 为x 上的h a u s d o r f f 度量对任一v = ( j ，q ) ，对应着一个相应的q v i ，仍用v 表示 这一个q v i ，令月( v ) 为v 的解集由定理4 1 1 知月( v ) 庐于是r 定义了一个从| v 到x 的集值映射 引理4 1 1 证明( ，肌) 为一完备度量空间 证明：任给中一c a u c h y 列 ( 以，q ) ：。，记k = ( 以，q ，) 即v g o ，j l ，v n l ，n ( k ，v 。) s 于是 s u p1 以( ，x ) 一j 。( z ，x ) i + s u p 向( q ( 工) ，g 名( x ) ) s 即i l ( z ，x ) 一j 。，( z ，x ) i s ， ( q ( f ) ，q ( x ) ) s ，由x 紧，引理3 1 2 及q 为闭值有 t ，( z ，x ) j ( ：，x ) ，q ( 工) q ( x ) 下只须证( 。，q ) ，由q ：x 斗2 。是具有非空闭凸值的上半连续映射，易得q ：斗2 。 是具有非空闭凸值剥中任