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稀薄玻色气体的热力学性质 吕琳( 理论物理) 指导教师：门福殿 中文摘要 上世纪九十年代，人们将弱相互作用的碱金属原子约束在磁光阱中， 通过激光冷却和蒸发冷却实现了玻色爱因斯坦凝聚( b e c ) 。在b e c 凝 聚体中，原子聚集在单粒子基态，其相位完全相同，因此b e c 凝聚体可 以看作是宏观的量子相干气体。外势导致b e c 凝聚体的非均匀性，因而 原子凝聚不仅存在于动量空间，还存在于坐标空间。有关b e c 的理论研 究工作是大量而广泛的。有大量文章从各个方面对b e c 现象作了不同的 探讨和研究，例如系统温度t = 0 和t 0 ，基态和激发态，散射长度 a 0 和a 0 ， c o n d e n s a t i o na n de x c i t a t i o ns t a t e s ，s c a t t e r i n gl e n g t ha 0a n d 口 3 的兴趣主要来自超导、超流、弱电相变以及中子星超流性。q 量 子统计力学己成为处理长程相互作用或持久记忆系统的有力工具，可以用 它研究比理想气体复杂得多的多体系统的性质，如自重力星形系统，星系 的f r e e m a a 盘模型，宇宙背景辐射及相关课题，太阳中微子，低维开放系 统，电子等离子体的二维湍流，电声子动力学系统，线性响应理论等。q 玻色气体与超冷俘获玻色气体的b e c 实验有更密切的关系。另外，在芯片 技术( 原子集成电路) 、量子信息处理( 光速减慢、光信息相干存储、量 子信息传递和量子逻辑操作等) 、精密测量( 高精度的原子干涉仪、原子 钟、原子显微镜) 和纳米技术( 原子刻蚀技术) 等领域也具有非常广泛的 应用前景。有关b e c 的理论研究工作是大量而广泛的。1 9 9 5 年起，有大 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 量文章对b e c 现象作了不同的探讨和研究，如系统的温度t = 0 和 t 0 ，基态和激发态，散射长度a 0 和a 3 的兴趣主要来自超导、 超流、弱电相变以及中子星超流性，文献 2 2 2 9 还将理想玻色气体推 广到了d 维空间。 2 1 自由空间的三维理想玻色气体 在三维空间中，体积为v 的容器内存在由n 个自旋为零的玻色子组 成的理想气体。当它处于平衡态时服从b o s e - e i n s t e i n 统计，如果以 f ( 占，) 代表平衡态时处于f ，能级的某一个量子态的平均粒子数，则f ( c j ) 可以表示f ( ，) = 1 ( e x p f l ( 占, - p ) - - 1 ) ( 2 1 ) 其中为粒子的化学势， 系统的总粒子数为： n = 罗1 ( e x p f l ( 6 , 一) 一1 ) k 为b 。1 z e 腿n 常数，占2 p 2 2 m ( 2 2 ) 用n0 表示处于最低能级( 凝聚态) 的粒子数，用，表示处于激发态的 粒子数，则总粒子数为：n 。n o + j 。 当系统的粒子数足够大，且能级间的间距小于k t ，即 k t “j + 1 8 j ，可以采用局域密度( l d a ) 近似方法，对量子态的求 和用对相空间的积分来代替。从而由 n = o + v 川f 。哪p i 一3 r d 3 p ( 2 3 ) 可以求得临界温度 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由空间的理想玻色气体 t c = 盖c 赤， t ， 其中，m 为玻色子的质量，h 为普朗克常数。 当t n ，其余的no - n n ，个粒子都进入最低能级，可得 n ，= n ( t t 。) 3 2 ，n o = n ( i 一( t t 。) ) 。 ( 2 5 ) ( 见图1 1 ) 。 若t = o ，则no = n ，全部粒子转移到最低能级，此即玻色一爱因斯坦 凝聚。值得注意的是，在自由空问中理想玻色气体的b e c 与普通的蒸气 凝结不同，b e c 是动量空间的凝聚而不是几何空间的凝结，凝聚在基态 玻色子失去了动量和能量，对压强和粘滞性已无贡献，但是仍然分布在 几何空间中( 这也不同于外势场中的情况) 。 当t 矿孺瓦万，其中n = n v ，五：h t 丽。从它的物理意 义可以看出，形成b e c 的条件是粒子的德布罗意波长大于粒子间的间距。 形成b e c 的临界温度和临界粒子数密度： t 。：2 - 兰f - c n 2 6 1 2 v ) 2 3 ，成= 2 6 1 2 ( m k t 2 2 ) 3 2 ( 2 6 ) 形成b e c 的条件用临界参量表示为 t 办= ( t c z ”) ，口= 2 瘢2 2 6 1 2 2 门m k ( 2 7 ) 由u = v j f e x p s 一声) 一1 d 3 r d 3 p 可以求得玻色系统的内能为： 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由空间的理想玻色气体 u ：券蚴m 。t ， 瞎岬2 ) ，( 队疋) 由c ，= 并可以求得玻色系统的热容量为： c v =m 萼吾南一群m t t c ， n k 百1 5 雨v 1 参( 5 2 ) ，( t t c ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 在临界温度t c 附近，热容量的改变量为：a c v 20 ( 2 1 0 ) ( 见图1 2 ) 由此可见，若把t 3 t e 看成是发生了某种相交，则按照e h r e h f e s t 的定 义，应该属于三级相变。 ： z z 0 11 ，n 图1 i 粒子数分布与临界温度度的关系 圈1 ，2 热容量与与l 艋界温度度的关系 1 4 誓卜j 、，0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章自由空间的理想玻色气体 2 2 自由空间的d 维理想玻色气体 对于d 维理想玻色气体，能谱为占= 驴。 ( 2 1 1 ) 1 0 ，工 。维箱势2 鸭： ( 2 1 2 ) l l 由上节的方法，得到了几个热力学量： 令d s ：，态密度岛( 占) = b v de m 一1 ， ( 2 1 3 ) 式中v 0 为d 维气体的广义体积，b = ( g h o ) ( , 厅d 1 2 ( 0 1 2 ) ! ) ( d s ) a m 当t 时，得n2 n o + b v o ( k t ) “r ( 皿) g 。( z ) ( 2 1 4 ) 内能为u = b v d ( k t ) “r ( m + 1 ) g “( z ) = r n n k t ( g m + l ( z ) g m ( z ) ) 热容量为c v = m n k ( ( m + 1 ) g 。“( z ) g 。( z ) 一m g 。( z ) g 。j ( z ) ) ( 2 1 6 ) 当温度降到t 。时斗o ，z 一1 ，开始出现b e c ，n o 可忽略， n = b v d ( k t 。) 4r ( 所) f ( 册) ( 2 1 7 ) b e c 的临界温度t c = z k ( n ( b v d 嘲譬似) ) ) i m ( 2 1 8 ) 当t 1 。 对于非相对论理想玻色气体，s 一2 。若t c 为非零有限值， ( m ) 必须有定 义，m 1 从而，d 2 。因此，低维( 一、二维) 非相对论理想玻色气 体在自由空间中没有b e c 。文献f s l 、5 2 研究t - 维理想玻色气体热力 学性质，也得到了相同的结论。 由( 2 2 2 ) 式，在自由空间中，玻色系统热容量连续的条件为m 2 当t = t c 时，( 2 2 2 ) 式与( 2 1 6 ) 式结果相同，因此对m 2 的玻色气体， 凝聚态和激发态的热容量在t c 处是连续的( 图2 1 ) ，但其导数不连续，从 e h r e n f e s t 相变理论，这是三级相交但对于m 2 的玻色气体，激发态在 t c 温度时的热容量由( 2 1 6 ) 式给出，这时两态的热容量在t c 处是不 连续的，因而出现c ，的跃变( 图2 2 ) ，而且跃变量是有限值这是典型的 二级相变这与通常玻色气体热容量在t c 处连续的行为不同对三维 能谱为e = c p 的玻色气体就会出现这种情况， c 。 丽 ! 图2 。1m 2 时玻色气体的c ；图2 2 三维e = 印( m 2 ) 玻色气体的g 1 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章外势场中的理想玻色气体 第3 章外势场中的理想玻色气体 由于现有的碱金属原子的b e c 都是在外势场中实现的，外势的形式 对b e c 的性质有着重要影响。因此需要研究谐振势、均匀引力场、幂 函数势场中理想玻色气体以及相对论理想玻色气体的热力学性质。 3 1 谐振势阱中三维理想玻色气体 文献 3 0 - 3 6 研究了在谐振势阱中三维理想了玻色气体的热力学性 质。设谐振势为椭球型的矿= 要( m 2 ，x 2 + d 2 y y 2 + 2 ：2 ) ， 玻色子的动能占= p 2 2 m ( 3 1 ) 式中x 、y 、z 为粒子的坐标，吐、国，、哆为谐振势的圆频率，p 、m 分别 为玻色子的动量和质量。 g q b o s e - e i n s t e i n 分布和t h o m a s f e r m i 方法可得玻色系统的总粒子数 为：= 虬心m 罢( 掰孵， 2 ， 式中壳= h 2 7 t ，国= ( d o x d o y 0 7 ：) 啪，巧= ( 吐+ ，+ 埘：) 3 当温度较高时，凝聚态的粒子数与激发态的相比可略，n 。= 0 从而临界 蛾= ( 锻甜 t 一嚣爿 ， 式中 ( x ) 为r i e m a n n 函数。 由于玻色系统的粒子数有限导致的临界温度的漂移为 僻伽一器嘉 ( 3 r 4 ) 1 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第3 章外势场中的理想玻色气体 式中瓦= 竽( 矧们为粒子数无限大的理想玻色系统的临界温度。 当t 功( 3 2 0 ) v = l j z uj 【0 + c d l ( d s + 1 ) ( t r ) 7 善( ，7 ) ，( rsi ) 式中口= 丽c di ：i 等鲈，圳2 r ( d 2 + 1 ) ， r = d i s + l t , 由此可求得玻色系统的临界温度及凝聚态占居数 疋= ( 赢r 慨z ， n o n = 1 一叮，瓦) 7 ( 3 2 2 ) 势场的有效性是根据势场强度占和七瓦比较结果进行判断的。当占声七乃 时，临界温度有效增加。当e j 瓦， 慨：。， 【( 1 - n n o ) 善( r + 1 ) f ( r ) ，( r ) 玻乍系统的总能量为 c = n k彻邶学彳筹灯堋 ：。， 砌+ 1 ) 等灯绷 在i 临界温度疋附近热容量的改变量为c i = 叩2 器 ( 3 2 5 ) 由( 3 2 1 ) 式可得玻色系统出现b e c 的判据为r 1 由( 3 2 5 ) 式可得玻 2 l 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第3 章外势场中的理想玻色气体 色糸统热答量跃燹的判据为玎 2 由此低维( d = 2 ，1 ) 非相对论( s = 2 ) 自由玻色系统不能产生b e c ，而二维极端相对论( s = 1 ) 自由玻色气体可 以产生b e c 。 3 4 相对论理想玻色气体 文献 5 5 研究了在幂函数势中的相对论理想气体的热力学性质。 考虑d 维空间的相对论理想玻色气体，单粒子的能谱为 f = ；丽+ 姜e i 云i l c s z e ， 由t h o m a s f e r m i 半经典近似可以求得玻色系统的总粒子数和总能量分 肭= 0 + 旦x 。甜c = j 军琴绺删耳) ( 3 2 7 ) e = n o m d + ；忌程) 牡手早等盼u 卅c ，捣瑚 ( 3 2 8 ) 式中矿= 垂警为玻色系统的等效体积， d t = ( d + 1 ) 2 ， 玎：兰1 f ，x ：圳历。：，旯：t 丽为非相对论热波长， 驯= 志( 量) ”弘x p ( - x e o s h 0 ) s 舻伽 z 。， 为修正b e s s e l 函数。b e c 的临界温度由下式决定： 每啦莩等黪“如， 慨。， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章外势场中的理想玻色气体 当t 疋时，玻色系统凝聚态的占据数为 训= - 饲d 州离c ，形男眠) ) ， 当t 瓦时，o = 0 ，玻色系统的热容量为 c r ，l = n k 薹竺竺兰竺：! ：竺：竺竺：竺! ! 竺 喜警b 一盔筮竺竺竺竺竺：竺竺 姜弓磐驯喜号掣伽，对 当t s 疋时，一所c 2 ，玻色系统的热容量为 ( 3 3 2 ) ：玎瞪坚篙篙半竺 g - j 在临界温度附近热容量的改变量为 ( 3 3 3 ) 艺里詈辔m 1 ) k ，( 工) + ( j z ) k 州( j 堋2 配枷零q 甄x ) 焉孺e x p u 甄x ) ( j 。3 4 妻警、，厶可工) 对于有质量玻色子，即毛= k t m c 2 是有限的，对于某个大的j m ， 当j j m 时，j x c l ，利用修正的b c s s e 函数的大自变量展开式： 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章外势场中的理想玻色气体 k o ( x ) = 压xe x p 嗍+ 譬+ 唆字川 s s ， ，岫表衲= 嘉( 封j 智j 薯l e x 严p ( j 丁x ) 啪 唼砉爿h 4 。, - l f x c + 等竽盼 ( ，舶， 由上式求和的收敛性可得到有质量玻色系统b e c 出现的判据为 r l + d 2 1 而对于无质量的玻色子系统，h px c = k t m c 2 专，利用e x p ( j x c l 。l 撇u 当掣秒， ( 3 3 7 ) ( 3 3 0 ) 式表示为：阜善( ，7 + d ) ( 3 3 8 ) 程 式中乏= 轰 再蒜 限， 由此可得无质量玻色气体b e c 出现的判据为r + d 1 在箱势中，有无质 量玻色气体b e c 出现的判据分别为d 2 和d 1 ；而在谐振势中，有 无质量玻色气体b e c 出现的判据分别为d 1 和d 2 3 按照同样的方法，可以得到在临界温度附近热容量跃变的判据： 对于无质量玻色子，r - i - d 2 对于有质量玻色子，r + d 3 2 在非相对论极限情况下，工：1 k t 1 和z 。：塑； ，k t 矗巧 弓i 入参数叩：c r ：。，七r ：兰s ! z 笋( 詈 可5 ， 口= 警= 簪啪百a o s s 犷 将( 4 1 0 ) 、( 4 1 1 ) 代入( 4 8 ) 、( 4 9 ) 得到 m = 矗“z ，+ 器邮 中国石油大学( 华东) 硕士论文第4 章外势场中的弱相互作用玻色气体 一学f 一( z 一专) 扩岫一o 由上述两式可得 善=1-t3-45l(aaln)n瓦v6t7丽2_瓦3f(丽2)2矿f(3)23(m一at)t2n-v3(414) 。 l + 1 1 6 ( 口口 ) 4 f 2 式中t = r 掣，第三项为相互作用的修正，第四项为有限粒子数效应的 修正，该式要求n o a a i ，即 ，由t h o m a s - f e r m i 近 似，凝聚态密度为：丝兰笠盟口( 一( r ) ) ，由归一化条件得到 胪h ：a 。( 1 5 n o a 2 ，由觚s s 溅i 方程和维里定理矧凝聚态的能 t e o = 昙心眦j 若忽略凝聚态玻色子以及凝聚态与激发态玻色子之间 黼鲱月，则o - 肛莓。面南 从而， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第4 章外势场中的弱相互作用玻色气体 纠一嚣等一黑2 1 0 善( 3 ) f 2 邮 7 ( 3 ) t r 驴 小儿嚣始一嚣，旷蜩 其中利用了i u k t = 嗬邪t 式中第三项为相互作用的低级修正第四项 为有限粒于裂双_ 哑日可修止a 若考虑凝聚态玻色子以及凝聚态与激发态玻色子之间的相互作用， 则晶+ = 导鹏+ 2 9 p 。n t d r + g s n ，2 毋 = 号。+ 等芋可e 3 一丁1 6 m i r 2 可r 3 面曲 t c 时，忽略了很 少的基态粒子数，即n 。= o 。 当t k 时，玻色系统的总能量为 e = d r _ - 暗k t 芳g 硝卅詈n 2 ( r ) + v ( r ) n ( r ) 】d d r ( 4 3 3 ) 把( 4 2 3 ) 式和( 4 2 6 ) 式代入，经过积分计算，在结果中仅取弱 相互作用的次低级近似，可以得到： e = a g 州( z ) 叩( k t ) ”+ b 【) 7 9 d 2 ( z ) 9 1 7 ( z ) 一孚f o 2 ，d 2 ，占( z ) 一声1 d 2 d ，2 一i ，“( z ) 艿】( 后7 ) ”+ 怛 ( 4 3 4 ) 玻色系统的热容量可以表示为c v ( 筹) 州 = a 三g 。( z ) 叩( 1 【1 ) 州而d z + a g 州( z ) 叩( 1 【1 ) ”0 7 + 1 ) k + 耳恸：一。( _ 幅( z ) + 瑁g 啦( 乏i 印。( z ) 一里笋码卅z 嗣一圳，( 办卯( d ”即_ z l 刀a g + 丑【，穆纠。( z 培( z ) 一孚瞄卅v ( z ) 一场z - - 爿艟- ( 凋0 7 + 叫2 ) k ( 1 【1 扩啦- 1 ( 4 3 5 ) 由于玻色系统的总粒子数n 恒定，从而有箬= o ，对( 4 2 8 ) 式进行求 3 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第4 章外势场中的弱相互作用玻色气体 一d z ：三 垒墨丝! 婴：! 坐型! ! 塑! 型望二垒；坐：堕望! 堡旦：! ：鱼型! 二墅 d tt a 9 7 _ i ( z ) o 【1 ) 4 + b 恒叫2 ( 魂俨2 ( z ) + g 叫2 一i ( z ) 岛1 ( z ) 一瞄王爿2 - l 扣l ( z ) 】出t ) 种叫2 一 ( 4 3 6 ) 把该式代入( 4 3 5 ) 式就可以得到玻色系统的熟容量。 当t x o ： u d 2k t 万ig d 2 + 1 ( 卅罢n 2 ( r ) + n ( r ) v ( r ) ，x x 0 凝聚区域的粒子数密度和能量密度分别为： n ( r ) = n 0 + 5 - - n o + - 三 v 0 一v ( r ) 】，x x o ； u = 号专。t f ( 纠2 + 1 ) + 寺f ( d ，2 x v o + v ( r + 吉【唁一v ( r ) 2 】+ 差碧f 2 ( d 2 ) x l ，+ 五 i 。因此玻色爱因斯坦出现的判据为 i ) 2 1 ，r 一1 1 ，即d 2 ，7 2 。而理想玻色系统玻色爱因斯坦出现的 判据为r ) l 。 ( 3 ) 由( 4 3 6 ) 、( 4 4 0 ) 式可以看出，由于要使f ( x ) 、b 。( 1 ) 收敛， 必须有x l 和e r + 五 l ，+ z l 。玻色系统热容量跃变的判据为 d 2 1 l ，r 一2 1 ，即d 4 ，叩 3 。而理想玻色系统热容量跃变的判据 为，7 2 。 ( 4 ) 当t j 叶时。相应于t l 。外势场v 一0 0 和e 乙下，基态的粒子数可以忽略，激发态的粒子数近似为系统 的粒子数* 芳g q 泓) 因而q - 玻色系统的临界温度为 。= 戋陪嬲了南r 式中缶( 拧) = g ，( 1 ，g ) = j 2 l r i l g _ y 7 i - ，q 。- _ _ _ z 为黜锄卸m z e t a 函数。 ( 5 4 ) 当r i i 吲 ， q - 玻色系统的热容量有跃变，与玻色系统的条件也不相同。 5 2 外势场中的q 一理想玻色气体 质。 文献【6 9 7 2 】研究了谐振势和幂函数势场中q 玻色气体的热力学性 在d 维幂函数势场中，单粒子的能谱为 5 + 兰i - 1 吲。 由上节( 5 1 ) q - 玻色子的统计分布可以求得，总粒子数 c ：( o s + d g ”l ( z , x k t ) 7 + 1 ) _ n , 2 l , r o t , d 肚+ 刀啄芦一 ( 5 9 ) = o + 岳以) ( 5 1 0 ) 式中“= 五b - n 若为凝聚态粒子数，印= 驯s + 莩帆， = 志军( g l g - ，笋q 为q 玻色积分，c d = 万”r ( d 2 + 1 ) 当z 。= 1 q 时，凝聚态的粒子数仍可忽略，可得到： 懈 南r 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第5 章q 一理想玻色气体 q 高 ， e = d 竺竺坚壁坐掣型胛，乙) h d u d ，f i s p 、。1 9 ( 5 1 2 ) ，- j 、i2j c d r ( d i s + 1 ) 叩善。( _ + 2 x k r ) 4 “行2 l ，r ( 1 t , + 1 ) = 西垃一，( r o 时，玻色积分具有相同的形式，与q 无关。 由( 5 1 1 ) 可知，由于，7 1 ，只要口1 ，q 玻色系统的b e c 总能出现。 瓦 0 。这与玻色系统的条件是不相同的。由( 5 1 3 ) 可知，当r 1 时， q 玻色系统的热容量有跃变，与玻色系统的条件也不相同。 5 3 相对论q 一理想玻色气体 5 3 1 热力学量的计算 考虑。维空阃的幂函数势y = 喜t 爿， c s ， 其中e 、厶、是标志外势场形状和强度的正常数，是粒子的第i 个坐 中国石油大学( 华东) 硕士论文第5 章q 一理想玻色气体 标分量。 相对论q 玻色系统的能谱是 占：x p 2 c 2 + m 2 c 4 + y ( 5 1 6 ) 式中p 和r 是玻色子的动量和坐标，1 1 1 是玻色子的静止质量，c 是光速。 理想q - 玻色气体的统计分布： = 静鼎= 硝g 兰。q j - q - j ) 等掣，( 5 1 7 ) 相对论q 一玻色系统的总粒子数n 为： 砘圳耖面g 置q j - q - j ) 矽z q j x 。) 2 洲m r 相对论q 玻色系统的总能量e 为 e = n o r a c 2 + 删c 丢，i 2 面g 置h 一1 歹z 可q j ) 2 1 州以扩面g ，! 。o j _ q - j ) 每u i ) ，：矿 州疹壶丢，v 2 面g 置q j - q - j ) 每w ：1 ( 5 1 8 ) ( 5 1 9 ) 式中炉上2 1 n q 防j = 。q j - q - j ) 掣，是基态粒子数， 舻删彬偈( x ) 2 南 ( 三) 。f e x p ( 一x c o s h o ) s i n h 2 u o 是修正的 4 8 中国丁融大学( 华东) 硕士论文第5 章q 一理想玻色气体 b 。s e l 函数，一：g ( 与) d 2 兀兰! 笔坐，p 是q 玻色子的化学势， 2 ，卉 i f j z q 2 e x p ( p p ) 是q - 玻色子的逸度，= l k t 唼) l 2 击盖q j - q - j i 筹k ( d + 1 ) 2 ( j x c ) ( k 乙，叩 !；l=一一t乏，口一l2：aoj；器z j ( 5 2 1 ) 勺乙2 ( 飘矿 = 釉归盎盖p 一) d 筹气d + i ) 2 ( j x ) ( k + 澎，斋如_ 】) 2 u 加矿+ 畴，告，磊铴雌叫曲卿“， m a 南c 一寺+ 务。川班洲珊矽 + 字( 丢 啦一g _ l _ 主。( q s _ q - s 粕筹c 一寺+ 耘( 堋矿 中国石油大学( 华东) 硕士论文第5 章q 一理想玻色气体 + t i 方南c 一上k t 2 + 挑删：坩1 ， + 知v 2 面g 尚o od z q j 3 2 l d h + i 圳鼢铴+ 3 ) 2 女妒+ l + 每r i d - i 誓州) 2 ( 饥叶州俨腓妒 + ( 痧方禹掣i ) 2 协协s ) 2 u 妒+ l 2 2 当t 一x k u + l l ，利用修正的b e s s e l 函数的大 白蛮量屠开式： = 压刚x l + 4 ”_ + , 2 - 1 、1 6 0 4 - r 4 0 u 2 + 9 州 ( 5 2 6 ) ( 5 2 0 ) 式变为： 5 l 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第5 章q 一理想玻色气体 = 哮掣2 丽gj ，皇- ，q j - ) 1 生f l + 1 2 气d + 0 2 l i x , x k i ) 一 + 墙蓦( 一。) 寿t 舯+ 宰c 争 + 学c 争2 川 ( 5 2 7 ) 由于 l 0 一上式求和收敛，在极低温下b e c 始终出现，此即有质量q 玻色气体b e c 出现的判据。这与非相对论玻色气体b e c 出现的判据不 相同。 而对于无质量粒子，即= t 伪f 2 呻* ，利用e x p ( j x c ) 。l 和 k u ( x ) 当半( ( 5 2 8 ) ( 5 2 0 ) 式变为： = 忑1r ( ( d + 1 ) 2 叫2 乞( ) 7 十l 耻) 口 ( 5 2 9 ) 由于 1 0 ，上式求和收敛，在极低温下b e c 始终出现，此即无质量q - 玻色气体b e c 出现的判据。这与非相对论玻色气体b e c 出现的判据不 相同。 ( 2 ) 利用上述方法，可以得到玻色系统在临界温度附近热容量跃变的 条件。对于有质量的玻色子系统。q i ；对于无质量的玻色子系统， q + 参1 ( 3 ) 在非相对论极限情况下，即：x ：k t m c 2 “1 和 x c = k t c m e 2 “l ，利用修正的b e s s e l 函数的大自变量展开式的零级 中国7 i 油人学( 华东) 硕十论文第5 章q 一理想玻色气体 醐州上当压酬_ x ) 业n 卜奇几 、1 k c t t q c 州们州面g q , q + 丽2 ( z q ) 彳等船， 吼碌叫，篇c 秒， c ：n k t l 2 型业 。 芎a ( 1 1 ) 式中玻色系统的逸度2 q = e x p p ( “一m e 2 ) 由下式决定： = 爿去r ( 了d + ) ( 2 m c 2 ) d 2 9 q , 1 1 + 1 ( z g 淞妒 ( 5 3 0 ) ( 5 3 1 ) ( 5 3 2 ) 在极端相对论极限情况下，即：x ：k t m c 2 _ 和 x c = k t c m c 2 斗，利用近似e x p ( j x c ) 。1 和e x p 0 x ) 。1 ，q 玻色气 体的临界温度，基态占据数，热容量，以及临界温度附近热容量的跃变 为： k t = n ( m c 2 ) d 2 2 ( d - i ) 2 f 2 r ( ( d + 1 ) 2 岛( _ + 1 ) 百n o 小尸+ q c ctt驴=脚纠撕删，丽gq,r+：2+2(zq)咖争2趟gq,l+zy2)】 舭 m。j ! 堡坚生叟苎生望塑旦! 型兰墼生一笙! 童! ：里望壁皇皇竺 勺c 。咧t + d 2 x ) t + d f z + i ) 两, j q ( q + d 2 + 2 掣t 蝴， a c = n k ( ：7 + ) 2 ) 2 筹 ， 式中g ，u ( z o = - - l 鼍- iz f 垡与乒；是q 玻色子的玻色积分，玻色系统的 逸度2 q = e x p p m m c 2 ) 由下式决定： _ = _ 去r ( d 2 + ；x 2 ，一) d 2q , 口+ 耽乙x 咿 ( 5 3 4 ) ( 4 ) 由于采用了幂函数形式上述公式具有普遍意义。若f 哼，相 对论q - 玻色系统被限制在d 为盒子中。临界温度由下式确定： = t 瓦z ) v 2 。g 面三q j - q