（计算数学专业论文）有限格的组合性质的研究.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 半模格，模格和分配格是格论的重要研究对象研究一个格在何种条件下是半 模格、半模格在何种条件下是模格以及模格在何种条件下是分配格是格论中有意义 的问题本文利用割集这个组合概念，分别给出了相应的判定条件本文还研究了 半正则圈格和模圈格的一些性质最后证明了半正则圈格上的o r l i k - s o l o m o n 代数 的一个性质 第一章是本文使用的记号、术语和研究背景 第二章证明当一个原子格含有非平凡的模割集时是几何格 第三章证明当一个几何格含有非平凡的模割集时是模格，随后将这个结果推广 到正则圈格的情形 第四章首先证明当一个几何格具有非平凡的中性元割集时是布尔格；然后研究 模圈格中中性圈的一些性质；最后证明当一个模圈格含有某种中性元割集时是分配 格 最后一章研究半正则圈格的m s b i u s 函数，然后证明一个半正则圈格的o r l i k - s o l o m o n 代数和定义在它的诱导子几何格上的o r l i k - s o l o m o n 代数是同构的 关键词；原子的；圈( 生成) 的；割集；格；( 上) 半模的；模的；分配的；o r l i k - s o l o m o n 代数；理想 有限格的组合性质的研究 c o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e so ff i n i t el a t t i c e s a b s t r a c t i nl a t t i c et h e o r y , s e m i m o d u l a rl a t t i c e s ，m o d u l a rl a t t i c e sa n dd i s t r i b u t i v el a t t i c e sa r e t h r e ec l a s s e so fi m p o r t a n tr e s e a r c ho b j e c t s t h e r e f o r e ，i ti si m p o r t a n tt of i n do u ts u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o ral a t t i c eb e i n gs e m i m o d u l a r ，f o ras e m i m o d u l a rl a t t i c eb e i n gm o d u l a r ，a n d f o ram o d u l a rl a t t i c eb e i n gd i s t r i b u t i v e i nt h et h e s i s ，w ee s t a b l i s hac o n d i t i o nf o rt h e m ， b yu s i n gc u t s e r t ac o m b i n a t o r i a lc o n c e p t s e v e r a lp r o p e r t i e so fs e m i - r e g u l a rc y c l i c a l l y g e n e r a t e dl a t t i c e sa n dm o d u l a rc y c l i c a l l yg e n e r a t e dl a t t i c e sa r ea l s oo f f e r e d a tl a s t o n e p r o p e r t yo fo r l i k - s o l o m o na l g e b r a sb a s e do ns e m i - r e g u l a rc y c l i c a l l y 、g e n e r a t e dl a t t i c e si s p r o v e d t h ef i r s tc h a p t e rc o n s i s t so fn o t a t i o n s ，t e r m i n o l o g i e sa n dt h eb a c k g r o u n d t h es e c o n dc h a p t e rp r o v e st h a ta na t o m i s t i cl a t t i c ei sg e o m e t r i ci fi th a sac u t s e t c o n s i s t i n go fn o n t r i v i a lm o d u l a re l e m e n t s t h et h i r dc h a p t e rp r o v e st h a tag e o m e t r i cl a t t i c ei sm o d u l a ri fi th a sac u t s e tc o n - s i s t i n go fn o n t r i v i a lm o d u l a re l e m e n t s t h i sr e s u l ti sa l s og e n e r a l i z e dt ol a t t i c e sg e n e r a t e d b yc y c l e s i nt h ef o u r t hc h a p t e rw ef i r s tp r o v et h a tag e o m e t r i cl a t t i c ei sb o o l e a ni fi th a sa c u t s e tc o n s i s t i n go fn o n t r i v i a ln e u t r a le l e m e n t s ，a n dt h e nw eo f f e rs e v e r a lp r o p e r t i e so f n e u t r a lc y c l e s a tl a s t w ep r o v et h a tam o d u l a rc y c l i c a l l yg e n e r a t e dl a t t i c ei sd i s t r i b u t i v e i fi th a sac u t s e to fs p e c i a lt y p e i nt h ef i r s ts e c t i o no ft h el a s tc h a p t e r ，t h ep r o p e r t i e so ft h em s b i u sf u n c t i o no n s e m i r e g a l a rc y c l i c a l l yg e n e r a t e dl a t t i c e sa r er e s e a r c h e d i nt h en e x ts e c t i o n ，i ti sp r o v e d t h a tf o rt h eo r l i k - s o l o m o na l g e b r a sb a s e do nas e m i - r e g u l a rc y c l i c a l l yg e n e r a t e dl a t t i c ei s i s o m o r p h i ct ot h eo r l i k o s o l o m o na l g e b r a sb a s e do ni t sr e d u c e dg e o m e t r i cs u b l a t t i c e k e y w o r d s ：a t o m i s t i c ；c y c l i c a l l yg e n e r a t e d ；c u t - s e t ；l a t t i c e ；( u p p e r ) s e m i m o d o u l a r ；m o d u l a r ；d i s t r i b u t i v e ；o r l i k - s o l o m o na l g e b r a ；i d e a l i i 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工 作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 作者签名：窭垦日期：幽：! ：垄 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士，博士学位论文版权 使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编学位论文 作者签名： 导师签名。 尘卫年月旦日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 1 i 记号和术语 1 1 i 偏序集和格 非空集合p 上的个二元关系，记作“”，称为一个偏序，如果切元0 b ，c p 都满足条件； ( p 1 ) a n ( 自反性) ( p 2 ) 口b 且b so 号o = b ( 反对称性) ( p 3 ) 口b 且b c ： o sc ( 传递性) 非空集合p 连同p 上定义的偏序关系构成一个序结构( p ) ，称为一个偏序集 另外，记b o 为o b ，并称为s 的逆关系当元素o ，b 满足n b 但n b 时，贝0 记作n b 一个偏序集( p ，) 的对偶偏序集，记作 p = ( p 1 2 ) 如果某个偏序集( 尸，) 还满足条件： ( p 4 ) 对一切o ，b p ，总有o sb 或b o ( 线性) 则称( 尸，) 是全序集，也称为一个链；这时序关系称为p 上的全序如果( p i s ) 中的两个元素o ，b 满足关系a sb 或b sn 之一，则称。，b 是可比的；否则就称他们 是不可比的显然，一条链中的元素是两两可比的，而且链的非空子集仍然是链 以下在不引起混淆的情况下，我们将一个偏序集( p ) 简记成p 设 x ：x o 0 1 - b ，则称b 为s 的极大元，显然， 极大元不必唯一，而且最大元是极大元类似地，可以分别定义子集s 的下界，最 小元和极小元如果偏序集p 中存在最大元或最小元，则分别将其记为i 或o 显 然，每条有限链有最大元和最小元，它们分别是链的两个端点设偏序集p 的子集 s 有上界，如果上界集作为p 的子集有最小元，则称这个最小上界为s 的上确界， 记作s u p s 或v s 类似地，s 的最大下界( 如果存在的话) 称为s 的下确界，记作 i n f s 或 s 偏序集工称为格，如果对任意两个元素a ，b l ，上确界s u p a ，6 ) 和下确界 i n f a ，6 ) 都存在以后分别把s u p a ，6 ) 和i n f a ，6 记作n vb 和口ab ，并分别读作a 与b 的并与交按照定义，在格l = ；v ，a ) 中，对任意两个元素a ，b l ，同时有 d vb 和n ab l ；因此，v 和a 是l 上的两个二元运算另外，我们有以下引理 ( 【4 ，p ，8 】中的引理1 ) 命题1 1 ：在格l 中，二元运算v 和a 满足以下条件： ( l 1 ) a v 口= 口，a a d = n ( 幂等律) ( l 2 ) o vb = b v 。，d a b = b a d ( 交换律) ； ( l 3 ) ( a vb ) vc = d v ( b vc ) ，( a ab ) ac = o a ( b ac ) ( 结合律) ； ( l 4 ) a v ( o ab ) = n ，。a ( o vb ) = o ( 吸收律) 更进一步，对l 的两个元素$ ，y 而言，z y 等价于以下任何一个等式 o a y = x 和z v y 2y 反之，如果一个偏序集p 中存在二元运算v 和a 满足条件命题1 1 中的( l 1 ) ( l 4 ) 则l = ( 尸；v ，a ) 是一个格熟知，两个格的直积仍然是格( 【4 ，p 8 1 中的定理7 ) 2 大连理工大学博士学位论文 设l m 为两个格，称一个函数0 ：l m 为保序的，如果对一切o ，y l 当 z sy 时，就有p ( 。) 9 ( ) 称一个保序映射9 ：l 一必为格同态( 或同态) ，如果对 一切，y l ，同时有o ( x vy ) = o ( x ) v 口( ) 和口 a y ) = o ( x ) ao ( y ) 成立称一个格 同态0 为( 格) 同构映射，如果0 是双射，此时也称工和m ( 格) 同枫 本文以下用工表示一个格称l 的一个非空子集s 是l 的子格，如果s 中的 格运算v 与a 是工的相应运算在s 中的限制显然，三的任意一个非空子集s 中 的元素在工的并与交运算下生成一个子格，我们称这个子格为s 生成的子格 称工是有限长度的，如果工的所有极大链的长度都是有限的当三是有限长 度时，称工中所有链的长度的上确界为工的长度，记作( 二) 称工为分次的，如果 对一切为y l ，当z y 时，从z 到y 的极大链的长度都是相等的本文在讨论有 限长度的格时，分别用i 和6 表示这个格的最大元和最小元 习惯上用h a s s e 图来表示一个格，也就是用实心黑点或空心圈来表示格的元 素，格的两个元素有相连边当且仅当这两个元素有覆盖关系，并且将较大的元素放 到较高的位置，本文中出现的表示格的图都是h a s s e 图 l 1 2 几种常见的格 设a ，b 为工的两个元素，称a 被b 覆盖或者b 覆盖a ，记作o b ，如果不存在 元素c l 使得a c b 称的元素a 为原子，如果a 覆盖6 ；称l 的元素b 为一 个上原子，如果b 被i 覆盖。称为原子格，如果工中除6 以外的所有元素都是一 些原子的并称l 为上半模的( 或简称为半模的) ，如果对一切元素a ，b l ，n 和b 同时覆盖a ab ，则o vb 同时覆盖。和b 以下引理给出了有限长度的半模格的另一个等价条件( 4 ，p 8 1 】的推论1 ) 引理1 1 ：有限长度的格是丰模的当且仅当对一切元素口b l ，如果8 覆盖口a b 则o vb 覆盖b 熟知，半模格是分次格另外还有许多其他的等价条件刻画半模格，见【5 6 ，p 1 2 9 称个半模的原子格为几何格 设p 为一个l 的原子，称p 在工中具有原子覆盖性质，如果na p = o ，则有 o o ) 是一个有限长度的半模格的无关集，则由 x 生成的格同构于子集格2 x ，即为一个秩为n 的布尔格。 6 大连理工大学博士学位论文 设 c 1 ，) 是l 的圈集，记 c s q ， 为l 中一切小于 c l ，c 。) 中的任意一个圈的工的圈的集合；则在不特别指明的 情况下，以下就简称s 生成的子格为圈集 c 1 ，) 生成的格 注记1 1 ：在本文中，如果今后提到一个格是由某个圈集生成的时候，它的生成元 集往往会比提到的这个圈集包含的元素个数要多 由集域的定义和命题1 2 ，有限长度的半模格的无关子集生成一个分配格更进 一步，我们有以下推论 推论1 1 ：如果 c 1 ，c n ) 为有限长度的半模格工的一个无关圈集，则此圈集生成 的子格是分配格，并且这个子格同构干链的直积静，c 1 1x xp ，1 证明若工中不存在小于 c l ，c 。) 中任何一个圈的圈，则结论即为命题1 2 现 不妨设c 为工中被c 。覆盖的圈为证明结论，需要证明 c 1 一c n1 ，c 为一个无 关圈集，然后通过归纳法以下只证明圈集 c 1 ，一l ，c 是无关的，余下的归纳 过程在此略过 。 由于 c 1 ，) 为无关集，从而它的子集 c 1 ，c ，1 ) 也是无关的；于是由定 义知r ( c 1v vc n 1 ) = 茸r ( c t ) ，以及r ( c lv v ) = 翟1 r 心) 因为区间i t , c l v v 是半模格，同时从c 被覆盖知是这个区间的原子， 所以满足原子覆盖性质于是由gc 1 v v 一l v c 和引理1 2 知c l v v c ，1 v c 被。1v vc r 覆盖+ 从而有r ( c ) = r ( c 。) 一1 和 r ( 。1v v 一1 vc ) = r ( 。1 v vc n ) 一1 n l = r ( c ) + ( r ( c n ) 一1 ) i = 1 n 一1 = r ( c ) + r ( c ) ， 即圈集 c 1 ，一1 ，c ) 是无关的 口 如果$ ( 6 ) 是几何格l 的元素，称【6 ，z 】的任意一个极大无关原子集为z 的一 组基，显然，z 的任意一组基包含的原子个数等于z 的秩 7 p u 吼。u 汹 1 1 s 有限格的组合性质的研究 称一个有限长度的格l 的子集x 为的割集，如果工的任意一条极大链与x 的交非空如果x 是三的割集，同时x 中的元素都是模元素，则称x 是三的模 割集，或者m 一割集，一个格中总包含一些特殊的元素，例如格中的最大元和最小元 以及几何格中的原子，它们总是模的，也称它们为平凡的模元素，含有这些元素的 模割集也就是平凡的模割集另外，如果x 中的元素都是的中性元( 定义见4 ) ， 则称x 是工的中性元割集，或者一割集；类似地，也有平凡中性元以及平凡中性 元割集的概念最后，本文用到多重集时都已经指明 1 2 历史背景 格论属于泛代数，其中有限格或一般的有限偏序集是组合数学的重要的研究对 象现代数学中经常会出现各种格，例如，一个群的所有子群在集合的包含关系下 能构成一个格，称为子群格；一个环的所有理想在集合的包含关系下也能构成一个 格，称为理想格格论最早由数学家g b o o l e 开创，他在1 9 世纪上半叶以形式逻 辑的语言给出了现在称为布尔代数的泛代数结构而后来在1 9 世纪后半叶，c s p i e r c e 和e ，s c h r s d e r 在以公理化语言研究布尔代数时就很自然地引入了格这个概 念本节中使用的格方面的概念和术语可参看下一节或者 4 】2 3 】 几乎与此同时，著名数学家r ，d e d e k i n d 在研究代数数的理想时也独立地给出 了格这个概念实际上，r d e d e k i n d 还给出了模格和弱分配格两种重要的格的定 义现在在学习和研究群论时碰到的用来描述某些子群具有的d e d e k i n d 模律也是 他的发现虽然这些数学家以及e v h u n t i n g t o n 等人当时在格论上做出了一些非 常漂亮而且远非平凡的结论，但当时的数学界并未对他们的工作给予足够的重视 直到二十世纪三十年代中期，g b i r k h o f f 的开创性工作才将人们对格论的研究 带入了一片新的广阔天地当时他通过一系列文章，最先向人们展示了格论在数学 中应有的重要地位特别是当他通过格论揭示了许多在当时看来毫不相关的数学学 科之间的联系时，许多研究其他领域的一些数学家也逐渐对格论发生了兴趣，同时 他们也确实从g b i r k h o f f 的工作中感受到了格论对他们原本从事的领域有重要的 意义 此后不久，g b i r k h o f f 本人连同其他一些著名数学家，如v g l i v e n k o ，k m e n g e r ， j y o nn e u m a n n 和o o r e 等人更是研究出来了足够多的成果来不断“充实”格论这 个当时的新领域，两这些研究成果的极大成者是于1 9 4 0 出版的g b i r k h o f f 的格 论【4 】一书，此书出版后立即就在当时的数学界引起了的不小的震动，使得当时 更多的数学家将目光投向格论这个领域，并一起将格论的研究推向一个高潮 8 大连理工大学博士学位论文 随后，随着格论这个学科的不断发展，g b i r k h o f f 的格论也先后于1 9 4 8 年推出了第二版和1 9 6 7 年的第三版这本书到现在仍然是可读的，从中不但能读 到格论的最基础的内容，而且能读到许多最初由g b i r k h o f f 等人开创的有意思的， 并且仍然有待完善的研究方向尤其是这本书体现出了在它出版的时代的格论研究 就已经和其他某些重要数学学科之间有着紧密的联系，而且这些联系直到今天仍然 是格论研究的重要方向之一 紧随着g b i r k h o f f 之后，从1 9 6 8 年开始，另一个数学家g ，g r i t z e r 也在积极着 手准备他的专著一般格论1 2 2 ，历时八年后，他的这本书才于1 9 7 5 年面世，并于 1 9 7 8 年正式出版g b i r k h o f f 的格论和gg r i _ t z e r 的一般格论都是袼论方 面的经典著作，但它们两者在风格和内容编排上都有许多不同之处这些不同之处不 但反映了这两个作者他们自身的研究风格，雨且也反映了人们对格论的研究随着时 间的流逝而不断深入的事实特别是在1 9 9 8 年，差不多时隔二十年以后，g g r 5 , t z e r 以及b a d a v e y 和ha p r i e s t l e y 等接近2 0 0 个数学家对第一版一般格论进行 了修订和扩充，在此基础上出版了第二版一般格论 2 3 在第二版中，以附录的形 式增加了许多比较新的研究成果，特别是对第一版中提出的许多公开问题和猜想给 出了解答而参与修订的人数之众也在一定程度上反映了格论研究的活力关于这本 书的更多信息还可参看网址h t t p ：w w w m a t h s u m a n i t o b a c a h o m p a g e s g r a t z e r h t m l ， 当前研究的格论问题中，除了格论本身独有的一些悬而未决的问题以外，数学 家们仍然继续沿着g b i r k h o f f 等人的道路不断前进，他们仍然在探讨格论和其他数 学学科之问的联系比如在子群格方面，除了较早出版的m s u z u k i 的 5 7 】以外， 最近的有rs c h m i d t 的 4 9 】其中的一些研究成果反映了格论在群论研究中也能发 挥出比较出色的效果 除了研究格论与群论之间的联系以外，人们一直关心的重要问题是格论与射影 空间和仿射空间等几何对象之间的联系，例如，通过对线性空间中的向量的线性无 关性的进一步抽象，1 9 3 5 年h w h i t n e y s t 发现了。拟阵”这个全新的组合对象现 在人们已经得知拟阵和几何格实际上是一一对应的，它们在本质上是相同的组合对 象一一组合几何关于纯粹的组合几何以及半模格这两方面的专著可参看 1 5 】，睇l ， 6 5 】， 6 6 】和 5 6 】 可以说组合几何仍然是当前格论中的非常重要的研究领域比如由g c r o t a 提出的，一个几何格的两类w h i t n e y 数都是单峰性的猜想 6 5 ，p 1 4 1 】仍然吸引着一 批组合学家的研究目光。另外，当代数学中有许多其他方向与组合几何这个领域有 联系，其中特别值得一提的是超平面配置这个研究方向下面介绍中出现的与超平 面配置有关的概念在f 4 1 ，3 8 ，6 9 】中都能找到 9 有限格的组合性质的研究 一个有限维线性空间y 中的超平面配置4 中的所有超平面交出的子空间按照 反包含关系恰好作成一个几何格l ( 4 ) ，而l ( a ) 的原子就是超平面一方面，p o r l i k 和l s o l o m o n 3 9 在工( 棚上建立了一种现在被称为o r l i k - s o l o m o n 代数的代数对象 a ( ) ，另一方面，他们还在同一篇中证明了代数a ( l ) 和余空间m = v a 的上同调 环在有理系数域上作为分次模是同构的可以说，后一个工作是令人惊奇的成果 他们非常成功地将一个配置的格工这个组合对象和它的余空间m 这个拓扑对象之 间通过同调代数这个工具建立起了如此紧密而深刻的联系 另一方面，在研究超平面配置时，h t e r a o 曾经提出一个著名的猜想这个猜 想是说一个超平面配置的导模d ( a ) 是否是自由模仅依赖于它的交格工( 棚( f 4 1 ， p 1 5 4 1 中的猜想4 1 3 8 ) 也就是说，d ( a ) 的自由性是组合的已知当三) 是超可 解格时，即配置4 为超可解配置时，这个猜想是正确的【2 9 】但一般的情形仍然未 被证明关于这个猜想详细介绍可以参看f 5 9 ，4 1 】 通过以上的了解，可以看到，通过许多数学家的不懈努力，格论已经紧密地与 现代数学的一些主要分支，如代数，几何和拓扑等学科相结合它们的结合丰富了 现代数学的研究内容，也启发着作者去对格论的某些领域做深入的了解和研究 1 3 本文的工作 本人对格论的兴趣起始于对超平面配置的学习和研究从超平面配置的自由性 的理论中我们看到几何格的模元素在其p o i n c a r 4 多项式或特征多项式的分解中起到 重要作用，而且如果配置的格l ( a ) 中包含一个模元素构成的极大链，即l ( a ) 是超 可船格时，这个配置便具有很好的组合、代数和拓扑性质这使得我们想到链的对 偶的概念一割集于是我们问，如果一个格具有一个模割集，那么这个格会是什么 格呢? 另外，已知一个原子格是几何格的充分必要条件是它当中的所有原子都是模 元素，而这些原子构成了一个非平凡的割集，这就提示我们一个模元素构成的非平 凡的割集是比模元素构成的极大链更强的条件幸运的是，事实确实如此本文的 主要工作是建立格的各种割集条件 此外，从超平面配置的理论中还看到格的组合性质于在格上建立的各种代数结 构联系紧密，有时可以互相刻画出于这种考虑，本文研究了半正则圈生成的格上 的o r l i k - s o l o m o n 代数，并且证明了一个半正则圈格的o r l i k s o l o m o n 代数和定义在 它的诱导子几何格上的o r l i k - s o l o m o n 代数是代数同构的 1 0 大连理工大学博士学位论文 2 原子格成为几何格的割集条件 熟知，当l 的长度有限时，工的模割集是指一个l 的由模元素组成的子集， 而且它与工的每条极大链的交非空本章中，一个模割集是平凡的仅当它含有最大 元i 或最小元o 一条模链是指由一条由模元素构成的链；在某种程度上，模割集 是和模链对偶的概念称工为超可解的【5 2 ，如果工有一条由模元素z 1 ，z 。构 成的极大链 6 z 1 2 ，且归纳性假设定理对任意长度 n 的原 子格成立 假设存在一个原子p 不是模的，则由引理2 6 ，存在元素x l 使得z 不被p v x 覆盖对每个y l 且z y p v 露，显然p ay = o 且p v y = p v z ，这使得 z=ov 0 ，a y ) ( x v p ) a y = y 从而，y 也不是模元素将p v z 的值分成两种情形 情形一；p v x i 此时，c ( p v z ) 0 ，对每个c g v ? ) ，如果c 不是模的， 则由归纳假设，1 6 ，c 】是几何格，而且 6 ，p v 。 是 o ，c 】的区间由于p 在峨c 】中是 模的，由引理2 3 知p m x 成立，这与前面的假设矛盾因此，可以假设c py x ) 中 的所有元素都是模的 如果a ( pvx ) 中有一个原子不是模的，比如说是q ，则 q ，i 的每条极大链含有 一个非平凡的模元素设c c ( p v z ) 为q 的补则c 的模性和引理2 2 推知区间 6 ，c 和区间【g ，i 是同构的，从而 0 ，c 1 的每条极大链含有一个非平凡的模元素于 是归纳假设推出bc 】是几何格，因此p 在( 6 ，c 中是模的；再由引理2 3 知p m x 成 立，这也与假设矛盾因此，还可以假设a vz ) 中的元素都是模的。 设q a ( p v g ) 由于4a0v 。) = o ，再从不等式z 口 pv z 和q 的模性 得到g v gv 口 qv p v z ，也就是p a ( gv 们= 6 因为p v z = p v y ，所以也有 g v p v z = 口v p v g ；从而 国v z ) v p 国v 剪) ) = q v x g v y = ( 0 v z ) v p ) 0 v y ) 这个不等式意味着p m ( q v x ) 不能成立因此，可以将q v x 替换。因为f ( 工) 是有 限的，只需要考虑下面的情形 情形二：p v x = i 设g 为一个满足z y 的元素，则在队i 中没有非平凡的 模元素，也就是说区间 0 y j 满足定理的归纳条件从而i o ，y i 是几何格 另外，由于p 不是模的，每条p ，i 】的极大链包含至少一个非平凡的模元素递 推性地假设工中存在一列元素d l ，如，满足6 = d o d 1 d + l = i ，p d 1 ， 1 4 大连理工大学博士学位论文 而且对0 1 ，则当0 t k 时，d i 不是 o ，d 抖2 1 的模元素 当0 i k + 1 时，分别记x t = z a d 。和玑= y a d t 显然，o = z o z 1s 霉女+ ! = z ，而且o = y o y l y k + 1 = f 因为z 玑所以当1 i k + 1 时。我 们有y t 于是， 嗣= z a 吐= 士a ( 吐+ 1a 也) = p a d i + 1 ) a 也= x i + i a 也，( 2 2 1 ) y = y a 也= y a ( 吐+ 1 a d i ) = ( y a d i + 1 ) a d i = y i + la d i 因为弓是陋，弓+ l 】的模元素而且x j + l 6 ，专+ t 】，所以勺+ l 如) 是 6 ，嘭+ l 】的模对 从p d j ，得知当1 j k 时，有p v ( x j + l 嘭) = ( p v x j + 1 ) a d j ；于是再由( 2 2 1 ) 立即有 p v 吼= p v ( x i + i a d i ) = ( p v 。件1 ) a 也= p v ( x i + 2 a 也+ 1 ) ) a 也 = ( p v x i + 2 ) a 画+ 1 ) a 疵= p v x i + 2 ) a 西= = 仞v x ) a d i = d i 以及p v 玑= p v ( vy i ) = 圆v 。 ) v 轨= d ivy i = d i ；因此当1 i k 十1 时， p v 瓤= p v y i = d i 其次，我们说当1 i k + 1 时， 批事实上，已有。+ l = z 口= y + 1 假设存在某个i i 对，如= y i 并且 y j ；则得到如下矛盾： z 件1 ；。件1 v 轧= z 件1 v 讹= x i + i v ( d i a y i + 1 ) = ( x i + 1 v d i ) a 玑+ 1 = 慨+ i v ( p v 哦) ) 珧+ 1 = ( d i + 1 v 也) a y i + t 。d i + l a y i + 1 2 件1 第三点，我们说当i21 时，p 不是 6 ，d i 】的模元素事实上，因为p a 玑= 6 ， 有v ( p a y i ) = o ；用来表示y i 在区间 o ，y 州】的补，换句话说， 是在区间【6 ，y i + 1 】的元素，使得当1 s i k 时，同时有名a y i = 6 和v 玑= y i + 1 于是， v d i = 盈v ( y i v d i ) = ( 气v 玑) v d i = y i + 1 v p v d i ) = ( y i + l v p ) v 也 = d i + xv d i = d i + l ， 并且z ia d i = ( z ia y i + 1 ) a d 。= z ia ( y i + 1a d ；) = 磊ay i = 6 ；因此对每个0s k ，施 是哦在区间 6 ，d