（发展与教育心理学专业论文）小学生加减法计算错误的分类与认知分析.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 整数加减法计算是小学生应该掌握的所有计算技能的基础，但也是小学生尤其 是低年级学生经常出错的地方。国外相关领域的研究多关注于小学生习得的错误计 算法则的类型、其产生的原因及如何用计算机系统来诊断学生的错误、有针对性的 进行教学进而促进学生对知识的掌握。国内相关领域的实证研究非常少，本研究采 用问卷测查的方法调查小学生对整数加减法计算的掌握情况，归纳出其常犯的错误 类型，并采用规则空间模型对学生的作答模式进行分析，探讨学生对加减法计算领 域知识的掌握情况。研究结果如下： ( 1 ) 小学生加减法计算的出错率整体较低，不存在性别差异，且有没有学过 珠心算的学生出错率上的差异不显著。 ( 2 ) 减法的出错率显著高于加法的出错率。 ( 3 ) 小学生在加法上的错误主要出在进位操作和连续进位上，在处理空位和 列竖式上有少量错误。 ( 4 ) 小学生减法错误主要出在借位操作尤其是从o 或从1 借位上，在处理空 位上有少量错误。 ( 5 ) 用规则空间模型来分析三年级学生在减法题目的作答模式，可以较好的 对学生进行分类，有效分类的比例达到8 7 ，大部分学生掌握了基本的减法计算法 则，但在从1 借位、从0 借位、连续借位和处理空位上存在一定的困难。 关键词：计算错误：分类；规则空间模型；小学生；作答模式 a b s t r a c t t l l ea d d i t i o no rs u b 仃a c t i o no f 谢1 0 l en l 加b e ri s t l l ef o u i l d a t i o no fa l lc o m p u 诅t i o n 幽l l s 州c h l ep u p i l ss h o u l d 蓼a s p ，b u ta l s 0i sn 地d o m a i nw h i c h 吐圮l o w e r 伊a d ep u p i l 缸q u e n t l ym a l 【e san l i s 切i l 【ei i lp a n i c u l 盯t h er e l a t e dr e s e a r c ha ：b r o a dm o s t l yf 0 c 璐e d0 n t l l et y p eo fm a l m l el e 锄e db y 也es t u d t s ，h o wi tp r o d u c ea n d 邯e st l l ec o m p u t e r s y s t e mt od i a 印o s es t i l d e i l t sm i s t a k e ，t 0c 秭c s0 nt l l e 曲? e c t e dt e a c m n gm e m o dt 0 p r o m o t e l es t u d 咖sk n o w l e d g e 蓼嬲p i l l 舀t h ed o m e s t i c c o r r e l a t e de x p 耐m 锄衄l r e s e a r c ha r ee x t r e m e l yf e w ，t h j sr e s e a r c hu s e st h eq u e s t i o n n a i r em e t h o dt 0i i l v e s t i g a t e l e p u p i l s g r a s ps i t l i a t i o no ft h ea d m t i o n 觚ds u b t r a c t i o n ，i n d u c e si t s 丘e q u e n t se n 0 r 帅e ， a n du s e st h en l l es p a c em o d e lt 0 觚a l y s i st o 虹l es t l m e n ta i 踟e r sp a t t 锄，i n v e s t i g a t e 也e s t u d e n tt 0n l ea d d i t i o na n ds l l b 缸a c t i o nk n o w l e d g e 孕翟；p i i l gs i t l l a t i o n t h e 丘i l 血g sa r e 蠲 f o l l o w s ： 1 t kp u p i l s ，a d d i t i o n 趾ds u b 锄c t i 锄rr a t i oi s1 0 w jt h e r ci sn e i m 盯s e 】【 d i f i 湘l c en o rd i 彘“m c eb e t w e e nz h l l ) 【i l l s u a na m dn o n 之h u x i n 鳓】a n 2 ，1 1 l es u b 仃a c t i o ne n 0 rr a t i o0 b v i o u s l yi s1 1 i g l l e rt h 姐也ea d d i t i o ne 仃0 r 蒯o 3 p u p i l s a d d i t i o n 锄0 ri sm a i l l l yi nm ec 卸嘶n g0 p 蹦岖0 n 锄dt l l e 吼j c c e s s i v ec a 嘞 慨a r ef e wi n i s t 妇i n 也cp r o c e s s i n gv a i l c y 锄dv 硎c a lf 0 彻m a 4 p u p i l s s u b 仃a c t i o n 盯0 ri sm a i l l l yi nm eb o r r o w i l l g 叩e m t i o n 舡l db o r r 0 、i l l g 筋mz e r o 0 ro n e ，廿1 e r ea r ef e w1 1 1 i s t a l 【e si n l ep r o c e s s i i l gv 锄c y 5 a n a l y s i st h et l l ：矾y e a rs n l d e n t s 龇s w e rp a t t 锄谢t l lt l l em l es p a c em o d e lc 祝 c a n y0 nm i ec l 勰s i f i c a t i o nt 0t h e 咖d e n te m c i e n t l y ，n l ee f t i v ec l 硒s i 丘e d 舯0 p 硎0 n a c l l i e v 髓8 7 ，t 1 1 em 萄o r i t ) ro fs t u d e n t sh a v e 伊a s p e d l e 骼s 胁t i a l s u b t r a l c 廿0 n c o i n p 吡l t i o nm l e s ，h o w e v t l l e yh a v ec 嘶a i l ld i 伍c u l t i e si l lb 0 玎( w i i 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晋升的基本条件，尤其在学校情境中，扎实的数学知识和娴熟的数学技能对于个体 学业水平的提升和学术生涯的发展都是至关重要的。 在广阔的数学领域及其众多的分支中，熟练而准确地掌握基本的数学计算是个 体学习全部数学知识的基础。算术领域的数学计算包括了整数、分数或小数的加、 减、乘、除等四则运算及其混合运算等。其中，整数的加减法又是非常基本的。在 小学生加减法计算中会犯很多错误，这些错误乍看起来随机的，无章可循，但实际 上很多错误是系统性的，有规律的。对学生的错误答案做细致的分析，不仅可以找 出学生错误的计算策略，还可以推知其已有的知识状态，进而有针对性地采取补救 措施，全面提高学生的计算能力。 1 2 研究的目的与意义 1 2 1 研究的目的 对当前小学生加减法的计算错误进行分类并考察其发生频率；运用规则空间模 型透过学生的计算错误来深入分析小学生在加减法领域的知识技能状态。 1 2 2 研究的意义 小学生在加减法中所犯的很多错误，这些错误在成人看来是不可理喻的，因此 很少有教师沉下心来仔细地去分析学生的计算错误。迫于沉重的批改作业的负担， 教师们更多地是简单地评判对错了事。对于那些在计算题上表现不好的学生，教 师倾向于给他们出更多的练习题，企图通过强化练习来提高学生的计算能力，而 不是根据学生的表现进行有针对性的教学。在学生对相应数学概念缺乏了解、没 有掌握相应计算法则的条件下，笔者认为这种“题海战术 是低效的，不能提高 学生对计算的掌握水平，相反会产生很多副作用，例如会导致学生厌学、害怕数 学等。 纵览国内的研究文献，小学生计算错误方面的研究文献绝大部分是从事小学 数学教育的老师从经验出发提出的造成小学生计算错误的可能的因素，再就是对 国外这一领域研究的翻译和介绍，很少有实证研究。笔者认为从事本研究一方面 可以提供国内小学生常犯的计算错误类型及其发生频率的第一手资料；另一方面 也可以标出小学加减法教学的重点难点，进而为数学计算困难学生的补救提出一 些建议。 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 文献综述 2 1 小学生计算错误 从上世纪初到上世纪末，国外关于小学生计算错误的研究一直是一个热点。在 这将近一百多年时间里，研究思路和重点都发生了很大的变化，尤其从上世纪的七 八十年代起，很多研究者关注学生在执行计算过程中所运用的错误的程序性知识 ( 计算算法) ，得到了很多不同的算法错误并探究其影响因素，提出了一些算法错 误产生的理论，并开发出很多计算机系统来诊断、纠正学生的计算错误。b m 、n 和 l e h n ( 1 9 8 0 ) 系统提出了一个减法计算程序错误的生成理论修补理论( r 印a i r l l l e o 叫) ，并在附录中列出了8 9 种常见的算法错误( b u g ) ，这些算法错误分类系统 为人们所广泛接受；v 2 l i l l e l l l l ( 1 9 9 0 ) 提出了一个迄今为止最为详细的一个多列算术的 学习模型并且为后人广泛引用。 国外关于计算错误的研究已经有多年的历史，至少从1 9 0 0 年起就有相关的研 究，并且涉及的具体领域也很多，例如，b u s w e l l ( 1 9 2 6 ) 就研究了学生的四则运算行 为，列举了很多“计算习惯 的发生频率，其中大部分习惯都是错误的，属于计算 错误的范畴。c o x ( 1 9 7 4 ) 回顾了从1 9 0 0 年到1 9 7 3 年之间关于计算错误的研究文献， 并对5 6 4 名2 6 年级学生所做的计算进行分析，但她在文献回顾中漏掉了 b u s s w e l l ( 1 9 2 6 ) 的研究成果。a i n s w o m l ( 1 9 9 1 ) 在他的文章中提到了乘法计算错误的发 生频率，d a l l a w a y ( 1 9 9 3 ) 博士论文附录里列举了上述三人的研究成果，并对不同计 算错误的发生频率进行了比较。 b r 0 帅和b 埘o n ( 1 9 7 8 ) 认为，小学教师和教育研究者对于学生的计算错误有不 同的看法：“在教师中一个很常见的假设是学生不能很好地执行计算程序，因此学 生的计算错误是由于他们不能正确地一步步执行计算程序。而我们的经验是学生有 能力执行计算程序，问题是他们常常执行错误的程序刀。m c c o n 血i ( 2 0 0 5 ) 的研究表明， 即使教师能够识别出某些特定错误类型并描述其特征，他们教学中也没有把教学的 焦点放在识别的错误模式上，超过半数的老师选择首先强调基本减法计算事实。 2 1 1 小学生计算错误的分类及其发生频率 要完全做对一张试卷中所有的计算题而不出一点错误，对于小学低年级的学生 而言是很难的。b 锄e t t e ( 1 9 7 6 ) 对1 0 岁学生的减法笔算进行调查，共调查了3 3 名学 生，得到1 5 4 9 个有效数据，结果显示答错了3 4 4 个题目，错误率为2 2 ，l e e ( 2 0 0 2 ) 对香港地区小学五年级到中学五年级学生代数错误的研究发现，计算错误的频率约 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 为1 6 5 7 。y o u i 培和o s h e a ( 1 9 8 1 ) 对小学生的减法计算错误进行分析发现，算法错 误占3 6 ，模式错误占1 6 ，计算事实错误占3 7 ，剩下的1 1 的错误无法分析。 先前研究中发现了很多不同类型的算法错误，有些出现得很频繁，有些出现得 很少。其中减法计算过程中的算法错误分类是最为具体的。许多研究的目的是考察 不同算法错误的发生频率，v a n i 肋n ( 1 9 9 0 ) 的一项研究中调查了1 1 4 7 名7 8 岁的学 生，发现3 3 的学生有算法错误，并识别了1 3 4 种不同的错误类型。学生可能有不 只一种错误，并且学生的错误会随着时间而改变。c o x ( 1 9 7 4 ) 在调查的5 6 4 名1 6 年 级的学生中发现，有5 6 的学生在加、乘和除法运算中存在系统性错误( s y s t e m a t i c e 黝r ) ，有1 0 的学生是疏忽( s l i p s ) ，其他的学生没犯错误或只是失误。、i 庙n ( 1 9 8 1 ) 发现，l o 的三年级的学生的减法错误无法被分析，有9 0 的学生的错误可以被一 个错误规则集来解释。一些研究者的结果显示，许多学生在计算有借位的减法计算 题时，会遇到错误( c o x ，1 9 7 5 ，d m c k m c b r i d e & 诚l b u r l 9 8 7 ，r e s l l i c k 1 9 8 2 ) 。许多学生 会表现出大数减小数错误( 当借位时用大数减小数) 和从0 借位错误( 当学生试图 从零借位时，把零变成9 而没有继续向前借位) ，后者的发生频率略低于前者。b r o v m 和b u r t o n ( 1 9 7 8 ) 使用自行开发的计算错误诊断程序b i j g g y 对1 3 2 5 名尼加拉瓜四至 六年级儿童在竖式减法上的表现进行评价，结果发现有4 0 的学生表现出一致的算 法错误行为，在出现频率最高的1 4 种算法错误中，绝大部分错误是与借位有关的， 尤其是当涉及0 的时候，其中次数最多的错误也是“从被减数为o 的一列借位时将 o 变成9 但是不向高位继续借位 ，在1 5 3 个学生身上不同程度地存在。 2 1 2 小学生计算错误的影响因素 小学生计算错误的影响因素有很多，归纳起来主要有以下三个方面：( 1 ) 计算 知识的欠缺或错误。张树东( 2 0 0 6 ) 认为影响计算错误的计算知识包括三个方面： 计算事实知识、计算程序知识和概念知识。首先，计算事实知识掌握得不牢或出现 错误，在笔算过程中很容易导致计算结果错误；其次，计算程序知识( 算法) 出现 错误也会导致很多计算错误，例如四则运算中的顺序错误。正如修补理论( r 印a i r t h r ) ，) 提到的那样，学生在计算过程中利用已有知识无法解决当前问题情境，从 而出现一个僵局( h n p 舔s e ) 时，就会创造一些规则来解决当前问题，这些规则若不 能及时纠正，经过多次练习得到强化就会巩固下来，就成为算法错误( b u g ) 。s i 锄 n e o r y 认为学生对于课堂上教师所呈现例题的曲解( 过分泛化或过分具体化) 会导 致一些算法错误，这些算法错误都会导致学生计算出错：最后，概念知识的错误如 学生对位值的概念、0 的概念和1 的理解不够，会导致学生不能很好的理解计算事 实和计算程序，只会机械的“操弄符号，也容易导致学生计算出错。( 2 ) 信息加 4 硕士学往论文 m a 耵e r sz h e s i 整 工能力的限制。儿童学习加减法计算是在一年级到三年级，这个时期是儿童认知能 力迅速发展的时期，但很多方面的认知能力发展不完善。儿童的信息加工能力如注 意、工作记忆和视觉一动作协调能力都会影响学生在加减法笔算上的表现。儿童计 算时注意力不集中，看错符号就会导致用减法做加法题，看漏进位或借位等都会导 致错误；工作记忆有缺陷的被试在执行计算过程中，很容易受到上下计算步骤的影 响，从而出现进位错误、借位错误或遗漏错误等；视觉动作统合能力低下会使大脑 对方向、位置和距离的加工出现问题，导致抄错数字、混淆运算符号或不考虑列进 行运算的错误。( 3 ) 逻辑的认知结构。皮亚杰非常强调学生在学习之前所具备的准 备状态，即学生的认知结构对于新知识的适合性。c a u l e ) ，( 19 8 8 ) 对3 4 个能熟练执行 减法运算( 完全做对) 的学生提出有关在借位过程中交换的值及被减数守恒的问题， 结果发现只有3 5 的学生能认识至! l 在退位前后被减数的大小是不变的，5 0 的知道 借位过程中交换的数值。 另外还有一些因素会影响计算错误的不同：( 1 ) 不同的计算方法会影响学生犯 错误的多少，f i 耐和a h 商( 2 0 0 5 ) 指出使用分解法( d e c i 唧o s i t i o nm 砒0 d ) 做减 法在应用借位技术时所犯的错误比用等量加法法( e q u 撕a d d i t i o n a lm e 吐砌d ) 要 多得多：( 2 ) 不同错误类型在不同性别和不同的学习阶段也不尽相同。m 删l 和 s m i m ( 1 9 8 7 ) 用加利福尼亚测评程序c a p 对三年级和六年级学生的数学能力进行评 估，发现无论是在三年级还是六年级，女孩在计算题上的正确率都高于男孩。进一 步的研究发现，男孩较女孩更容易在计算法则上出现错误，女孩较男孩更容易在应 用题上出现错误。这种性别差异是相当稳定的，但是在低年级这种差异的幅度更大。 2 1 3 系统性错误的成因计算成分错误 ( 1 ) 算法错误( b u g ) 程序性网络模型( p r o c e d u r a ln e 时o r k ) 是由b r o w n 和b u n o n ( 1 9 7 8 ) 提出的一种 减法计算错误的诊断模型，它关注于学生在执行减法计算过程中的程序性故障( b u g 亦即算法错误) 。其思路是首先将学生计算多列减数时的程序q r o c e d u 蕾c ) 分为几个 组成部分，或称为副程序( s u b p r o c e d u r c ) ，每个副程序又可再分为更低一层的副程序 如此续分，至不可分为止。如将上一层之副程序称为母程序，而将由其产生之副程 序称为子程序，再用线将每一子程序连至其母程序，则程序与各副程序之间组成一 个程序性网络，每个副程序由两部分构成：概念和操作，概念部分表征该部分程序 的目标，操作是实现这一目标的一系列方法。于是根据这个一网络去分析学生计算 时的错误( 李芳乐，1 9 9 3 ) 。他们先设计了这样一套计算机程序去模拟学生计算时 的过程。经过试验后，发现这一程序果然能够百分之一百准确地计算出任何一题多 5 硕士拳位论文 m a 髫r e r 8 咖s r s 项减数的答案，证明了计算机程序模仿人脑的可行性。然后他们进一步尝试在这程 序中减去一或多个子程序，或故意在某些子程序中制造错误，这种做法，在计算机 术语中称为程序故障u g ) 意即计算机程序中的错误。由于程序性故障的存在，当 然会令整个程序计算时发生错误。但重要的是，这些错误却刚巧与学生的错误吻合。 换句话说，学生所犯的错误，都可以在计算机程序中模仿出来。于是他们作出推论： 学生计算错误，原因与机器犯错一样，都是由于组成这个计算程序的某些部份缺失 或是发生错误所致。 根据这一理论。他们设计了一系列人工智能的计算机程序如b u g g y 、 d e b u g g y 和m e b u g c ，以此来诊断学生的错误，取得了很好的效果。 ( 2 ) 修改或增加的规则 产生式系统模型( p r o d u c t i o ns y s t e m ) 是由y 0 l l n g 和o s h e a ( 1 9 8 1 ) 提出的，该 理论通过在正确计算法则的产生式系统中忽略某条规则或不恰当地引入仅在其他 情境中适用的规则，可以得到较程序性网络模型更简单的减法计算错误的解释。 它采用了心理学中产生式系统来表征正确的减法计算法则，正确的减法计算法 则的产生式系统由一系列c - a 规则构成，左边的c 是条件c 伽成廿，用来指定右 边的行动a c t i o n 何时应用。这个产生式系统由三个部分构成：工作记忆负责执行程 序和存储中间结果；产生式记忆存储减法计算的规则，规则的条件如果在工作记忆 中可以满足，该规则就是候选执行的规则之一，当多条规则可以执行时，就使用产 生式系统的第三部分冲突解决策略，保证只有一条规则执行。 ( 3 ) 错误的规则( m a l - m l e ) 一些心理学家却从另一稍为不同的角度去研究学生的错误，s l e 锄觚和 s i i l i l ( 1 9 8 1 ) 收集了9 0 个学生解决代数方程式问题的过程来分析，这些问题都是经 过小心设计，为了使问题简化，所有问题解决时都只须用到某一组特定的计算法则 a l e s ) 。经过分析后，发现学生们除了使用这些指定计算法则外，还好像使用了错 误的法则，他们称之为错误法则( m a l - n l l e s ) 。他们因此收集了2 3 条误则。后来另一 位心理学家m a ：t z ( 1 9 8 2 ) 又补充了三条，他们认为学生使用误则可以用来解释错误的 产生。 无论程序故障u g ) 或是错误法则( m a l m l c ) 都是将原来的错误理解为其计算成 分的错误，乍看来，好像对错误作出了解释。但事实上两者都只能够指出发生错误 的部分，而对程序故障或错误法则的发生的的原因却没有提到。因此，都不能视作 一种解释错误发生的理论。 6 硕士学位论文 m a s u t b r st h e s i s 2 1 4 计算成分发生错误的原因 ( 1 ) 修补理论( r 印a i rt h e o r y ) 修补理论( r 印a i rm e o 珂) 是由b r 0 、釉和v a l i l l e h n ( 1 9 8 0 ) 提出的一个程序性错误 的生成模型，与前三个理论不同，它关注的不是构建模拟程序错误以预测学生在计 算过程中所犯的系统性错误，而是建立一套系统的原则来说明这些系统性错误是如 何产生的。下面图中的箭头表示“解释 b u g s 的生成理论b u g s + 系统性错误 修补理论认为若学生对减法计算的众多正确的算法步骤中某一个或多个没有 掌握住时( 可能没有学过或者忘记了) ，即便当时不会马上出问题，他执行后面的 某个计算步骤时也可能会导致一个僵局( h n p a s s e ) 。僵局是指学生认为依照已经学 会的“正确的一计算步骤不能解决当前问题的一种情境。在这种情况下，他们通常 不会立刻放弃，而会对问题执行一种问题解决过程( p 玎0 b l 锄s o l v i n gp r o c e s s ) 以找 出一个自认为可以接受的解决方案。这个过程，就称为修补皿e p a i r ) 。修补成功( 无 论对与错) ，这个修补办法便会保留而成为一条法则，而如果修补是错误的话，则程 序故障或错误规则便会产生，而整个解答过程便发生错误。 假定学生没有掌握从o 借位的规则，当他在做题过程中需要借位并且左边一列 的被减数是o 时，那么他会用从非零数借位的规则去从o 借位对o 减一，但是 从非零数借位有一个前提条件是被借位的数不能为o ，这就造成了一个僵局。这时 他会用一些问题解决策略去修补当前的僵局，若他退到上一步不去借位，直接用大 数减去小数所犯的程序性故障就是“从零借位时不借位而用大的数减小的数；若 他简单的停止做题，所犯的故障就是“遇到从零借位时停止做题 。从此可以看出， 从理论上讲，程序性故障的起源有两部分：最终产生一个不完善程序的一系列操作； 修补程序使之可以继续执行的一系列操作，并且这两部分是相互独立的。修补理论 通过删除正确的计算程序的某一条或多条规则来产生不完善的程序，修补的集合是 由一套修补启发式策略和一套评价者按以下方式来定义的：当应用一个不完善的程 序并达到一个困境时，由一个有生成和检验功能的问题解决者生成一套修补方案， 评价者依据一定的标准来判断是否接受这个修补方案。 ( 2 ) s i e r r at h e o r y s i e 吼岫是v a n i 曲n ( 1 9 9 0 ) 提出的，也是迄今为止最为详细的一个多列算术 的学习模型。该理论认为教师在课堂上给学生呈现大量例题，学生通过例题来归纳 出计算规则，算法错误的产生是由于学生在归纳过程中对例题的曲解，学生可能会 对例题中的规则错误泛化( m i s g e i l e r a l i z a t i o n ) 或过分泛化( 0 i v 哪多胁e r a l i z a t i o n ) ，李 7 硕士学棱论文 m a 盯b r s 誓h e s i s 芳乐( 1 9 9 3 ) 认为s i e r r an 啪叮的本质是学生的错误是学生对例题的错误归纳产生 的，是对规则的多种语法的变化。， s i 激镬蝴g 不仅可以用于长减法和其他三种算术运算，也可以用于其他领域， 是对修补理论的发展，它解决了程序错误的迁移和习得问题。该理论由两个组成成 分：学习者和解决者。学习者可以用来是解释如何学会正确计算规则，也能说明程 序故障是如何产生的：解决者用来说明学生如何将学到的规则应用到计算中去，该 理论区分了三种僵局；在需要傲决定焉无法作密决定时；不能唯一识别特定模 式下的瞪标：某些操作不会执行。该理论提出了三种修补策略：无操作，简单 地跳过无法执行地操作；放松规则的条件然后执行该规则；后退到上回做选择 的地方，改变当初的选择。例如下圈a ，这个程序故障的名称是总是从最左边借 位挣，假定这个学生以前学的例子都是两位数的，如图b ，在这个例子中，借位是 从既是紧挨着的左边一列又是最左边一列借位的，但遇到a 这类题时，在决定从哪 一列借位时出现僵局，他会放松条件，或者从紧挨着的左边列借位，这能做对， 癯若选择从最左边一列借位时，就会出现上述故障。 3 6 56 5 a 竺b 坐 1 6 63 6 2 1 5 小学生计算错误诊断程序及其应用 从上个世纪七十年代末至今，随着计算机技术的不断发展，针对计算错误计算 机辅助教学系统( c 趟) 不断发展，从当初的单纯的诊断发展到现在的诊断、评价 和脊救等多种功能予一身，展示蹴其独特的魅力。 b u g j y 是由b r o w n 和b 戚o n ( 1 9 7 8 ) 开发的加减法计算程序故障的教学系统， 以教给实习教师们小学生在计算中常见的错误类型。该系统首先选择一个错误算 法，并给出相应的错误例题，让使用者猜测是何种错误。为了判断是何种错误，使 用者可以出一些计算惩，诊断系统依据该算法错误给出相应的错误答案；诊断系统 也可以提出问题，由使用者给出应该的错误答案。最后系统进行判断使用者能否猜 对是何种错误算法。该系统采用程序性网络表征，每一个节点表征一个单一的技能 成分，缨点之闻的连接显示组合型技能如何分解为低一层次的步骤。错误程序的变 体已经在程序中定义好了。 d e b u g g y 是b u g i g y 的一个改进版本，可以一次性录入某个人所完成的一系 列问题及答案，系统会搜索程序性网络中那些可以解释某个人所有错误答案的算法 错误( 联e l 髓，2 0 0 3 ) 。所有可能的程序赦障的组合也包含在系统中，系统会持续工 硕士学位论文 m a s t e 影8 t h e s i s ， 作直到能清晰判断被试的错误类型为止。 d 秘i i g g y 是在d e b u g g y 基础上的改进，是d e b u a g y 的一个交互版，每 一次诊断出的新错误类型会加到系统的结构中。巍学生完成最初的7 1 0 道惩时，系 统会建立有关学生错误类型的一系歹| 假设，基于这些假设给被试出题，根据学生回 答证实或否定假设。这种交互作用的诊断方式使d e b u l 3 h g y 成为一个经典的人工 智能诊断程序m o d w 删o w a r d ，1 9 9 4 ) 。 a 陋幽和y a 蕊斌1 9 8 3 ) 开发瘵基于知识一个算术技熊的教学系统 键咖 s y s t e m ) ( a t d s e ) ，它不仅可以诊断学生的计算错误，而且可以用来帮助学生提高 学算术技能。 t ( 豫x ，s 是由w o o d w 蕊和h o w a 斑( 1 9 9 4 ) 开发的一个减法计算错误诊断系统， 它针对转u g g y 的缺点进行了一系列的改进，b u o g y 需要学生至少表现3 个同类 的程序错误，该错误才能被认为是可以预测的。尽管早期有研究认为错误模式是固 定的，后续研究认为学生的建构过程是动态的，因此学生的错误即使在同一张答题 卡上也是会发生改变熊，尽管错误答案是同类的。该系统提供了三种水平的诊断： 1 算法错误( 例如在从零借位时产生的一贯的错误) ；2 在某种类型的问题上出现的 系统错误( 在多重借位问题上出现的持续的t ( ) r 【，s 无法解释的问题) ；3 描述性分 析( 整个测验的正确率、借位闻题上的正确率等) 。采用了交互式的问题生成机制。 两个阶段的闯题速测，首先施测一个在纸上呈现的2 5 道题，有西个可以互换的版 本，学生的计算结果输入系统进行计算机分析，系统搜索错误答案库，确定学生的 算法错误，若是该阶段的分析有确定判断，则终止。若有任何疑问，则进行第二阶 段的测验，该阶段基予对学生错误酶假设，通过呈现特定的阿题使学生的错误凸现 出来，以证实或推翻该假设。另外，b i i g ( y 的题目也相当复杂，有的甚至包含八 位数的被减数，而这点t o l 唧s 也有所改进。 电子家庭作业( 融e a 睦锄函h c 张删诎) 是香港中文大学的k 斌1 9 9 6 ) 开发的基于 互联瘸的对数运算智能教学系统。l 勰谈力，家庭作业是帮助学生巩固知识的重要 手段，传统的家庭作业是纸笔练习，学生遇到网难时要问父母，但他们经常把问题 留下来第二天问老师，当他们做家庭作业遇到困难时，他们会尝试用各种方法来解 决当前闷遂，毽是这往往会导致镱误，并显错误会因为练习嚣得以觋露。缓此及时 的反馈对很多学生都是有帮助的：对好学生蔼亩，及时反馈可以强他箕学习效果； 对于学习水平较低的学生，及时反馈可以纠正其错误以防止临时的错误变成稳定的 错误。滥学生不知道该怎么做时，应该提供及时地帮助。理想的情况下应该由教师 来提供帮助，但老师并不总是陪伴在学生身边。电子家庭作进在一定程度上可以解 9 硕士学位论文 m a s 茁鼹8t l 殛洛i 塞 决这个问题。电子家庭作业模拟学生在计算过程中犯的错误，推断学生出错的地方 到底在哪里，从而为学生提供指导，以协助学生解决他们所遇的问题。电子家课主 要的两个优点。其一，在学生使用电子家课时，计算机立即显示学生在数学闯题 的困难及俸答时的错误，并呈现适当的指弓| ，表示学生的错误及纠正他们在解答闯 题时的误解。另外，在学生完成作业问题时，电子家课不仅能立即核对题目答案及 教导学生，而且能协助老师分配家庭作业、批阅修改作业，总结学生常犯错误以供 参考，大大减低了教师的工作。整个系统由嚣部分构成：计算机教师( c o 磁则嚣 t l l t o r ) 和家庭作业管理者( h 0 n 蛾釉成a d m i n i s t r a 【t o r ) ，计算机教师给学生提供个别 辅导，如给学生提示、检查其错误、提供补救建议等；家庭作业管理者负责分派试 题和评分、对学生的错误进行汇总以供任课老师参考。 奎翻瞄蕊和琢硒t ( 2 i ) 0 回设计逡一个更为详细的基于程穿错误的减法计算教学与 反馈系统( b r t ) 。在这个系统中，提供了三个不同水平的反馈：在第一个水平的反 馈上，若学生第一次就能够做对某题，则呈现正确的规则以强化学生的记忆，并指 示学生继续徽后面的题基；羞学生做错了该题，系统给学生告诉学生散错了并提示 “再尝试一次挣，实施这个反馈水平是为了纠正学生的粗心错误，并提供给学生再 做一次的机会以判断是否是粗心错误；在第二次尝试中若做对了则告诉被试做对了 并进行新的内容。若学生第二次尝试时仍然做错了，则实施第二水平的反馈，即系 统诊断学生错误的类型，并向学生描述该类型错误同时焉醒躁的颜色标出润题所在 的位置，再提供一个正确解题策略的提示；若诊断不出来则提供一个解决同类问题 的样例并进行第三次尝试，并提供第三个水平的反馈，在第三水平的反馈上不仅用 不同颜色标出错误位置，丽虽屏幕土逐步呈现正确的解遂步骤并配合语音豹讲解， 最后正确和非正确的解法同时在屏幕上呈现，以便学生对比。研究结采发现应用这 种计算错误反馈教学系统比那些仅仅告知结果对错并告诉正确解题策略的教学方 法更能提高学生的学业成就和学习动机。 综上所述，随着计算巍技术的发展帮网络的覆盖面拓展，针对数学计算错误的 计算机辅助教学a 吣越来越进步，从单一的诊断功能发展到集教学、反馈、诊断和 补救于体，呈现出网络化、智能化的趋势，并且c 趟系统的反馈更加精细、诊断 更加科学、蛰救更加及时且有针对性。对错误的研究，c 越最大的作用是找出其成 因而去防止它。笔者坚信，计算机辅助教学在学生的计算过程在这方面必定可以作 出很大的贡献。 2 。 。8 对算法错误的再思考 仔细考虑可以发现上述两个计算错误生成理论都认为，学生如在解答问题过程 l o 硕士擘饭论文 m a s 汀b r s t h e 8 i s 部分中遇到困难，便会作出修补，错误的修补便成为程序故障或错误规则。这个理 论中，事实上已指出了学生会遇到个情况，在这情况下，他没有任何一条无论是 正确或不正确的法则去遵循，只有不断尝试找出解决此难题的方法。如果找踺来的 办法是错误的话，整个解题过程亦随之出错。这个错误的发生只是一种试误过程豹 结果，并不是由于学生掌握任何误则所导致的。解题完成之后学生对这个错误解题 过程的归纳或记忆会产生误则，因此这个误则是形成于错误之后。当同一学生下次 遇到同样闷题时，这个错误规则就会发生作用。所以我铜可以说，错误的发生有两 种情况：是当学生遇到僵局而没有任何法则的指示时发生，一是当学生计算时受 到先前习得的误则的影响而再犯错误。两者虽然有先后的关系，但这两者是明显不 同的。也就是说计算成分的错误又可以分成为两类：一类是长久性的，成因是遗留 在记忆内以前的错误学习或错误推论的结果，另一类是实时的，学生于计算过程中 遇到不能解决的问题，便临时找出一个解决办法，这个办法如果是错误的，整个计 算过程便产生了错误。这个错误保留在记忆中便成了错误规则，更成为长久性错误 妻孽成因。这就意味着程序性故障或错误规则是稳定的，一成不变的。这也可以解释 为什么b i r e n b 撇和加n o l d ( 1 9 9 铆研究中熟练组被试的错误比非熟练组被试的错误 更为稳定。辛涛和焦溉丽( 2 0 0 6 ) 认为已有的算法错误分类大多假定学生的错误反 应类型是唯一的、稳定的，不存在分类的偏差，结果势必不太准确。既然很多研究 对错误类型的稳定性提出质疑，那么学生的算法错误还是可能存在着不稳定性的。 既然如此，我们不妨换一个角度去研究学生对不同规则的掌握程度，本文拟采用的 规则空间模型是一个认知诊断模型，它通过学生在不同题目上的表现推断学生内在 煞知识状态，并依据内部知识状态对学生进行分类。 2 2 小学生计算错误的认知分析与规则空间模型的应用 规则空间模型( r m es p a c em o d e l ) 是由日裔美籍学者h ( 1 9 8 3 ) 提出的 根据被试对闯题的反应模式来推断其解遂过程中的认知错误类型的一静方法，是一 种用予认知诊断的分类统计模型，该理论将认知心理学、项目反应理论和数据库的 代数理论相结合，运用了泛函分析、布尔代数和多元统计的方法，能够有效地诊断 被试的认知错误( 余嘉元，1 9 9 5 ) 。规则窆问模型主要方式是分析学生正确做答每 一道题所需要的认知成分，再将学生在各成分上傲答情形转化为成分分数，利用双 参数嬲模型进行分析，这样就可以得到各成分的特征曲线，这样就可以清楚的知 道哪种能力水平的学生使用何种错误规则的概率最大，使用何种规则的概率最小 ( 郭稿爨，施淑娟，1 9 9 5 ) 。该方法菲常强调对解题所需的规剡和被试的认知过程 硕士拳位论文 劓【a s t b r 8t h e s 【s 进行分析，能够用于评估被试是否掌握了解决测验项目所需的认知特征和属性，也 能够对被试在解答测试项目时出现了何种错误方法进行分析，进而为教学提供有用 的信息。这种模型首先对所要考察的心理品质中的认知技能或属性进行分析，然后 在此基础上编制认知诊断测验，最后应用统计方法根据被试在测验上的作答反应来 对被试属性掌握模式进行判定。目前对规则空间模型的研究集中在两方面：一方面 是对模型的理论研究，主要对模型中的一些评价指标进行研究；例如t a t u s o k a ( 1 9 9 6 ) 对f 指标的意义进行探讨和解释等；另一方面是模型的实践应用，主要用于数学、 医学、建筑和语言等学科的认知错误诊断及计算机自适应测验。例如b n b a u m 和 t a t i l s o k “1 9 9 3 ) 对带指数的乘除法计算进行分析，确定了1 2 种认知属性，用规则空 间模型分析学生的表现，依据学生的认知状态将其划归到2 5 种典型反应模式中； 郭伯臣和施淑娟( 1 9 9 5 ) 应用规则空间模型对学生分数加减法运算学习和整数代数 减法学习中出现的错误类型进行判别，找出学生犯错误类型，从而提出有针对性的 补救计划。大陆对规则空间的研究还比较少，实证研究更少，目前只见到南京师范 大学的余嘉元( 1 9 9 5 ) 将解不等式的任务进行分析，列出了1 8 种认知属性，然后 编制试题用规则空间模型对初中二年级学生在解不等式中存在的错误进行分析，确 定了1 8 种典型错误反应模式。张青华和戴海崎( 2 0 0 4 ) 用规则空间模型识别学生 在描述统计阶段的学习模式，分出8 种认知属性，最后得出3 0 种典型的反应模式。 林海菁和丁树良( 2 0 0 5 ) 开发了基于规则空间模型的计算机自适应测验。 规则空间模型是一种应用统计的方法将被试在测验项目上的作答反应划归为 某种与认知技能相联系的属性掌握模式。模型的一个基本假设是测验项目可以用特 定的认知技能( 又称属性) 刻画，个体的某种知识结构也可用一组通常无法直接观察 的属性来表征( 张青华，2 0 0 3 ) 。属性可包括被试具有的具体认知加工过程、技能 或步骤。规则空间模型就是通过收集和分析解决测验项目所需属性的有关资料，然 后应用统计方法把被试在测验项目上的反应模式划归为一组属性掌握模式，每种属 性掌握模式都是与唯一的认知蓝图相对应。规则空间模型由两部分构成：第一部分 致力于分析、确定不可观察的知识结构属性和属性组合模式，并用可观察的项 目反应模式来表征它们。要确定不可直接观察的所有可能的知识结构，首先对所要 测查领域的知识结构进行分析，这种分析有助于解决两个重要的问题：明确测验 测什么；能对复杂工作进行内容分析。其次是确定被试拥有的所有可能的知识结 构；第二部分是建构一个分类空间( 即规则空间) ，应用统计方法对被试在测验上 的项目反应模式进行判别，将其划归于第一部分所确定的某种知识结构类型。 1 2 硕士孝位论文 m a s 露e 鼠s 硼e s i 墨 2 2 1 确定属性及属性之间的层次关系 ( 1 ) 首先要确定属性以及属性间的具体层级关系；规则空间模型中属性( a t t 曲u t e ) 是指被试要成功完成某项工作所要具备的认知加工、技能或知识，是进行某一具体 领域工