（应用数学专业论文）时间序列加法模型的分解预测研究.pdf

西南交通大学理学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 时间序列进行统计分析的主要目的之一是预测问题，因此， 建立一套对于时间序列合理的模型分解，估计，预测的体系方法 是十分必要并具有深远意义的。一般的，一个时间序列可以直接 或经过函数变换后分解为由趋势项、季节项、循环周期项和随机 项或其中某几项所组成的加法模型或乘法模型。而乘法模型可以 通过对数变换转化为加法模型。因此本文研究时间序列加法模型 分解预测中趋势项、季节项、周期项与随机项四部分的估计和预 测问题。 在趋势项分离预测中，为提高拟合与预测趋势项的精度，本 文提出了除去季节项再拟合趋势项模型这一新思路，并且给出了 除去季节项的方法；并且，在本部分中研究了在有周期循环项和 随机项干扰下使用多次差分法对趋势项的估计和预测问题，并用 实例验证了多次差分法在个体的预测上精度优于最小二乘法。在 季节项的预测中，本文改进了趋势外推分离预测法，改进的方法 能依据季节项数据的特点采取相应的拟和与预测方法，并用实例 验证了改进的方法确能提高拟和与预测的精度；同时在季节指数 平滑法中，引入运筹学中非线性规划方法得出了两个季节参数的 估计算法，此法能将季节项估计误差降到最小。在循环周期项的 估计和预测中，本文进一步解释了文献【5 】、f 6 】、【7 】提出的数值逼 近周期外推法的理论依据和计算步骤，并用实例证明了数值逼近 周期外推法预测效果更好。而随机项的预测即是平稳过程的预测， 本文归纳总结了运用希尔伯特空间理论得出的新息递归算法。 关键词：移动平均；多次差分；趋势外推分离预测法：非线 西南交通大学理学硕士研究生学位论文第页 性规划；数值逼近周期外推法；新息递归算法 西南交通大学理学硕士研究生学位论文第m 页 a b s t r a c t o n eo ft h em a i np u r p o s eo i ls t a t i s t i c sa n a l y s i so ft i m es e r i e si s af o r e c a s tp r o b l e m ，s oi ti sn e c e s s a r ya n dm e a n i n gf o re s t a b l i s h i n ga r e a s o n a b l es y s t e mm e t h o do fd e c o m p o s i n g , e s t i m a t i n ga n df o r e c a s t i n g t i m es e r i e s g e n e r a l l y , at i m es e r i e sc a nb ed e c o m p o s e da na d d i t i o no ra m u l t i p l i c a t i o nm o d e lo ft r e n di t e m 、s e a s o ni t e m 、c y c l ei t e ma n d r a n d o mi t e mo ra m o n gt h e ms e v e r e d , s o m ei t e m st h r o u g hf u n c t i o n t r a n s f o m a t i o no rd i r e c t l y b u tm u l t i p l i c a t i o nm o d ec a nb ec o n v e r s e d a l la d d i t i o nm o d l eb yl o g a r i t h m st r a n s f o r m a t i n ，t h e r e f o r e ，t h i sp a p e r r e s e a c h e s0 1 1t h ee s t i m a t ea n df o r e c a s tp r o b l e mo ft r e n di t e m 、s e a s o n i t e m 、c y c l ei t e ma n dr a n d o m i t e mo ft i m es e r i e sa d d i t i o nm o d e l i nt h ed e c o m p o s i n g - f o r e c a s t i n go ft r e n di t e m , w i t ht h ep u r p o s eo f i m p r o v i n gt h ea c c u r a c yo fs i m u l a t i o na n df o r e c a s t i n go ft r e n di t e m ，t h i s p a p e rb r i n g sf o r w a r dan e wt h i n k i n go fr e m o v i n gs e a s o ni t e ma g a i nt o s i m u l a t eh n di t e m a n dg i v e st h em o t h o do fr e m o v i n gs e a s o ni t e m ； a l s o ，i nt h i sp a r tr e s e a r c h st h ee s t i m a t ea n df o r c a s tp r o b l e mo ft r e n d i t e mb yd i f f e r e n c eo fh i g h c ro r d e rm e t h o di nt h ed i s t u r b a n c eo fc y c l e i t e ma n dr a n d o mi t e m ，a n de x e m p l i f i e st h a tt h ed i f f e r e n c eo fh i g h e r o r d e rm e t h o di sb e t t e rt h a nm i n i m u mt w om u t i p l i c a t i o na ti n d i v i d u a l o fe s t i m a t e i nt h ef o r c a s t i n go fs e a s o ni t e m ，t h i sp a p e ri m p r o v e st r e n d e x t r p o l a t ed e c o m p o s t e f o r c a s t em e t h o dw h i c h t a k e sc o r r e s p o n d i g s i m u l a t i o na n de s t i m a t ea c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i c so fs e a s o ni t e m d a t a , a n de x e m p l i f i e st h em e t h o do fi m p r o v e m e n tc a l le n h a n c et h e a c c u r a c yo fa p p r o c h i n ga n de s t i m a t i n gi n d c c d l y ；i nt h em e a n t i m e ，i nt h e s e a s o n a li n d e xn u m b e rs m o o t hm e t h o d ，g e t st h ee s t i m a t ea l g o r i t h m 西南交通大学理学硕士研究生学位论文第页 w h i c hd e c l i n e st h ee s t i m a t ee r r o ro fs e a s o ni t e mt om i n i m u mo ft w o s e a s o np a r a m e t e rb yn o n l i n e a rp r o g r a mo fo p e r a t i o nr e s e a r c h i nt h e e s t i m a t ea n df o r c a s t i n go fc y c l ei t e m ，t h i sp a p e re x p l a i n st h et h e o r y b a s i sa n dc a l c u l a m s t e p s o fn u m e d c a l a p p r o x i m a t i o n s e a s o n a l e x t r p o l a t em e t h o dp u tf o r w a r db yl i t e r a t u r e s 【5 】、【6 】、【7 】f u r t h e r , a n d e x e m p l i f i e st h a tn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o ns e a s o n a le x t r p o l a t e h a s b e t t e re s t i m a t ee f f e c t t h ef o r e c a s to fr a n d o mi t e r nh et h ef o r c a s to f s t e a d yp r o c e s sn a m e l y , t h i sp a p e rs u m su p “n 唧i n f o ”r e c u r s i o n a r i t h m e t i cg o tb yh i l b e r ts p a c et h e o r y k e yw o r d s ：m o v i n ga v e r a g e ；d i f f e r e n c eo fh i g h e ro r d e r ；t r e n d e x t r p o l a t ed e c o m s t e f o r c a s t em e t h o d ；n o l l l i n e a rp r o g r a m ；n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s e a s o n a l e x t r p o l a t em e t h o d ；“n e w i n f o ”r e c u r s i o n a r i t h m e d c 西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 第1 章绪论 1 1 问题的提出 时间序列进行统计分析的主要目的之一是预测问题。社会、科学、经济、 技术等领域中都广泛的存在着大量时间序列数据有待分析和处理。人们希望 通过对这些时间序列的分析，从中得到其发展变化规律，从而尽可能多的从 中提取所需要的准确信息，并将这些知识和信息用于预测，以掌握和控制未 来行为。因此，建立一套对于时间序列合理的模型分解，估计，预测的体系 方法是十分必要并具有深远意义的。 一般的，一个时间序列 ) ，。) 可以直接或经过函数变换后分解为如下的加 法模型和乘法模型形式： 加法模型：2 ，一i + s + c f + ， 乘法模型：) ，一正只x c , x , ， 其中乘法模型可以通过对数变换转化为加法模型，因此，我们只需讨论 加法模型。 在加法模型中，z 反映了时间序列趋势的变化，称趋势项；趋势变化是 指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向。 它反映了序列的主要的长期变化趋势。 s 反映了时间序列季节的变化，称季节项；季节变化指观测数据随着季 节变化而变化是客观存在的，这些数据表现出在各年的一定季节出现高峰值， 另一定季节出现低谷值，呈季节性的周期波动。广义的讲，“季节”可指日、 周、旬、月、季、年等。所谓周期波动是指各种周期重复出现的变动，包括 每日、每周、每旬、每月、每季、每年等在确定时间内重复出现的变动。用s 表示季节波动完成一个周期所经历的时段数目。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 c 反映了序列的循环周期变动，称循环周期项；循环周期性变化是指非 季节的周期性波动。它与s ，的区别在于：例如有一组3 0 年的各月的经济数 据，季节周期就是各月在每年内的变化，s 一1 2 ；而循环周期是指：几年内 经济出现一个高峰，过几年出现一个低峰，经过一次高峰和低谷的年份就是 循环周期值。 ，反应了序列的随机变化，称随机项，随机变化是指由各种随机因素对 序列的影响。进行前三项分解的目的是使最后剩余的随机项成为一平稳序列， 以便于模型的拟合与预测j 。 本文重在探讨如何分解与预测加法模型的趋势项、季节项、周期项与随 机项，对已有的部分方法作出相应的改进，提高模型估计的精度。 1 2 时间序列分解的背景 关于时间序列的分解，p e t e rj b r o c k w e l l r i c h a r da d a v i s 在其著作 ( t i m es e r i e s ：t h e o r ya n dm e t h o d s ) ) 1 】中已指出：分解时间序列的目的旨在估 计和抽取确定性成分正，墨c t ，以使残量，f 即随机项是一平稳过程。进而求 得关于随机项的合适概率模型，分析它的性质。并连同，和c 达到对的预 报和控制的目的。实际上，对于时间序列的分解预测问题，主要问题是对前 三项的分离和预测，而随机项即平稳序列的拟合与预测先今理论已相当成熟。 对于趋势项的分离和估计，针对不同的原始数据，在何书元的应用时 间序列分析、张树京的时间序列分析简明教程等著作及吴进军的时间 序列分解预测法及周期因素的探讨等文章中已介绍如下方法：移动平均法， 最j 、- - 乘估计法，指数平滑法，三段求和法等多种算法，顾岚等人提出了状 态空间法，最近在张闻胜的时间序列分解模型在水文要素中长期预报中的 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 应用等文中将灰色模型理论应用于趋势项的分离。 对于季节项的分离和估计，现有的方法是：在抽取出趋势项之后，可借 助“季节变差”这个重要概念分离出季节项后使用趋势外推预测法作预测。 对于一些季节项不是稳定不变，且季节项不易用直线曲线拟合的时间序列而 言，可用季节指数平滑法作预测。 对于循环周期项的分离和估计，现有的两种方法是周期图法和方差分析 外推法，第一种方法借助了周期函数数值逼近的观点，将周期项拟合成傅立 叶级数形式，现在这种方法已经比较成熟。第二种方法则是运用了方差分析 的观点检验周期，确定周期的个数和周期值。 对于随机项的预测，即是平稳过程的预测。 1 3 面临的问题和主要工作 在趋势项分离预测中，针对传统的移动平均预测法难以突破的两个问题： 一是n 的选择，到底n 选多大才能使序列尽可能的除去季节项和随机项，n 的 选择随意性很大，没有理论依据；二是加权移动移动平均法的权数以的选择， 其选择随意性也很大。本文在已有的提取趋势项的移动平均法的基础上提出 一种与最小二乘法、三和法等方法结合的分离和预测趋势项的方法。即除去 季节项再拟合趋势项模型，这样可提高拟合与预测趋势项的精度。并且，在 这个部分中研究了在有周期循环项和随机项干扰下使用多次差分法对趋势项 的估计和预测问题。 在季节项的预测中，现有的趋势外推预测法是将时间序列中相同季节的 季节变差或均值作为季节项的估计，即认为季节项是一成不变的，但实际中 的情况往往不是这样，季节项会随着年份的变化产生一定的变化，为了提高 预测精度，找到季节项变化的规律和趋势，本文将改进趋势外推分离预测法。 同时在季节指数平滑法中，将引入运筹学中非线性规划方法探讨两个季节参 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 数的优选。 在循环周期项的估计和预测中，对于方差分析周期外推法，适用情况有 限，且有两大缺陷：一是适用的范围仅限于只有一个周期的序列；二是进行 方差分析的前提是待分析数据呈正态分布和各组方差齐的条件。但原序列按 周期长度f 分组后，很难都满足这些条件。针对这两个缺陷，本文将进一步讨 论数值逼近周期外推法。并用实例对方法作了验证，与原有的方差分析周期 外推法作比较，证明了数值逼近周期外推法预测效果优于方差分析周期外推 法。 目前的研究成果一般都是将趋势项和循环周期项合成一项或者将季节项 和循环周期项混合讨论，这样作，对于含有循环周期项的时间序列来说，可 能导致预测精度的降低。因此，本文分别讨论趋势项、季节项、周期项与随 机项四部分的分离和估计。 模型分解步骤如下： ( 1 ) 先检验待分析时间序列数据是否具有趋势项和季节项。若有，进行 玎( 玎为季节周期值) 项移动平均，以除去季节项，提高对趋势项的拟合与 预测精度。 ( 2 ) 拟合趋势项t ( 3 ) 用原序列除去减去趋势项，记z ，一y ，一霉，在序列z ，中确定季节 项s ( 4 ) 再除去季节项，记z ，一j ，再令j ，- 一j ，检验j 。序列是否 具有循环周期项，若有，则在序列一中确定循环周期项e ( 5 ) 最后由，t - 石：一e 预测随机项 ( 6 ) 由y ，霉+ j ，+ t + t 可作预测 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 若待分析的时间序列数据不含趋势项、季节项、循环周期项的其中一项 或其二或其三，只需去掉相应步骤即可。 1 4 章节安排 本论文分为如下部分：第2 章介绍时间序列中是否存在趋势项、季节项 和循环周期项判断方法，第3 章阐述趋势项的分离和预测，第4 章阐述季节 项的分离和预测，第5 章阐述循环随机项的估计和预测，第6 章阐述随机项 的预测。最后是结论部分，总结本文的主要工作，指出本文研究内容的创新 点理论( 含新见解、新观点) ，陈述现在时间序列分解预测的现状和一些有待 解决的问题。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第2 章加法模型中各分量的检验 2 1 趋势项检验 为了判断时间序列中是否具有上升或下降的趋势，可采用一种基于均值 的逆序法来进行检验。 定义2 1 1 【2 l ( 逆序) ：将原时间序列数据求出一个大致不相关的均值的 序列。即将整个数据记录分成m 段，然后求各段的均值。设求出的各段的均 值序列为y l ，_ ) ，：，y 。，每当出现) ， y i ( ， f ，i - 1 , 2 , ，m 一1 ) 时定义为) ，的 一个逆序。对于下标为f 的已知值y ；，其逆序定义为与y ；相应的个数4 。逆 序总数为4 - 4 。 为了直观的解释逆序，下举一例：序列2 ，3 ，2 ，4 ，6 ，4 ，对于y ，一2 有 4 4 ( 因y 2 , y ，y ，) ，6 均大于) ，。) ，对于y 2 3 有4 ：一3 ( 因y 4 , y 5 ，y 6 均大于 ) ，2 ) ，同理，4 - 3 , a - 1 , a 5 0 总数a - 1 0 。 定理2 1 i i 2 】：设m 和砌r m 】分别表示序列咒( f 一1 , 2 ，m 一1 m ) 逆序a 的均值和方差，则以随机整数序列出现的a 的均值为e 阻】一m ( m 一1 ) 4 ，方 差v a r a 】- m ( 2 m 2 + 3 m 一5 ) 7 2 。 下作序列有无单调趋势的假设检验： 日。：序列无单调趋势h ，：序列有单调趋势 在给定置信水平口= 0 0 5 情况下，利用定理2 1 1 可构造统计量 “- 似+ j 1 - e m 】) 磊两，由于将原时间序列求出了一个大致不相关的均 值序列，故其均值的逆序4 可以认为是渐进独立同分布的。由中心极限定理 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 它渐进服从正态分布( o 舯。由逆序a 的定义可知：如果a 很大，表明序列 y 。均值有上升的趋势，即原时间序列有上升趋势；如果a 很小，表明序列y ； 均值有下降的趋势，即原时间序列有下降趋势。这就说明若序列有单调趋势， 则h 的绝对值较大。故在显著性水平a 下，r h p 拒绝日。1 日。为真 = 口， 即p 川之七ih 。为真= 口，从而得到拒绝域c 1 一吖i i 己“j ，取口= 0 0 5 ， 2 则当“2 1 9 6 或u 一1 9 6 时拒绝该假设，序列有单调趋势。由此，得出了时 间序列是否具有单调趋势的检验方法。 2 2 季节项检验的自相关函数法 若时间序列数据的自相关函数估计值的尾部不随，的增加而趋于零，而 是呈周期性变化( 自相关函数呈连续振荡形) 。则该时间序列具有周期性。 因为，如果时间序列 ) ，) 存在季节波动的季节周期为s ，那么序列中的 数据就会同那些领先或滞后s 个时段的相应数据存在某种程度的相关。换言 之，就是在_ ，与只。之间存在某种程度的相关。由于_ ) ，。和y ，的相关与y ，和 y ，一2 ，的相关一样，故y ，与y ，。之间也存在一定的相关。依次类推y ，与y ，。， y 。与y ，。等之间都有相关性。这些相关就会在自相关函数p 。中表示出来，在 k - - $ ，知l 活，如时n 应出现高峰。这样，具有季节项的时间序列其自相关函 数就会出现振荡性波动。其中s 为季节周期，所以可以通过自相关函数的高 峰值来观察季节项的周期值。利用自相关函数这一特性，我们可用以检验时 间序列是否具有季节项，这种检验方法称为自相关函数法。 在实际中，我们只能得到样本自相关函数。下面介绍样本自协方差函数 及自相关函数的定义和性质： 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 定义2 2 i t 2 】：样本自协方差函数的估计值是从时间序列y ，y ：，蜘中取 间隔为七僻鼍0 ) 的各对观察值来求平均，一共有n - k 对，即 抚，y 。) ，( y ：，y 。) ，( y n - 4 k ，y ，) 根据自协方差函数的定义，样本自协方差 函数的估计值为( 2 2 - 1 ) 形式： 五。万荟( ) ，一歹) ( ) ，卅。刃，七- 啦，n 一1 ( 2 - 2 - 1 ) 定理2 2 1 t 2 l ：样本自协方差函数的估计五。万三荟饥一罗) ( y r “一歹) 是 无偏估计 定理2 2 2 t 2 】：样本自协方差函数的有偏估计 五。专著e o t 一罗x ) r “一刃( 2 - 2 - 2 ) 是渐进无偏估计。 上述讨论都是在不考虑均值估计偏差下进行的，即歹是时间序列真正的 均值。然而实际上，我们只能得到样本的均值多去作为真正均值的估计值。 定理2 2 3 t 2 l ：在考虑均值估计偏差的情况下，样本自协方差函数的估 计五。i 善( y t 一触m 一力是渐进无偏估计 定理2 2 4 t 2 1 ：在考虑均值估计偏差的情况下，样本自协方差函数的有偏 估计五。砉善e 饥一多) 饥“一刃也是渐进无偏估计 为了使实际计算的样本自协方差函数以更快的速度收敛且使样本自协方 差阵- 。) 。j 吐。一正定，一般使用( 2 2 - 2 ) 式定义的样本自协方差函数。 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 样本自相关函数定义为：a p 。_ r k ，k 。0 , 1 , 2 n 一1 r o 推论2 2 1 ：由于名是一个常数，显然，由样本自协方差函数无偏性讨论 可知：样本自相关函数a 是成的渐进无偏估计。 由上可知：在实际中，我们可以用样本自相关函数众去代替自相关函数 以，当时间序列数据的样本自相关函数估计值a 的尾部不随七的增加而趋于 零，而是呈周期性变化( 自相关函数呈连续振荡形) 。则该时间序列含有季节 项。 对于a 趋于零和呈周期性变化的解释如下：由文献【3 】，在样本容量较 大时，统计量自相关函数估计值a 近似服从分布( 0 ，v n ) ，根据2 0 , 原则， 若p ( 一1 9 6 万c at 1 9 6 万) 0 9 5 ，则认为a 趋于零。因此若有超过5 的a 在区间卜1 9 6 _ ，1 9 6 万】外波动呈周期性变化，就认为时间序列具 有季节项。 因此，用自相关函数方法检验时问序列的季节项是否存在的具体步骤如 下： 第一步：首先由数据y 。，) ，：，) ，计算自相关函数的估计值众； ：第二步：观察是否存在9 5 的a 满足l a l t 而1 9 6 ，若满足，则d ，。) 无季 节项： 第三步：若存在5 以上的a 满足i a i ) 丽1 9 6 ，则观察是否有 k s , k - 知，处a 呈现峰值。若是，则可确定s l y ， 具有季节项，s 为季节周 期。 下以一例来说明利用自相关函数识别季节项方法 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 例2 2 1 表2 - 2 1 是某城市居民季度用煤消耗量 表2 2 1 某城市居民季度用煤消耗量( 单位：吨) 绘制该序列的自相关函数估计值图，见图2 - 2 1 0 o 0 o 一0 - o - 0 - 0 ：一一一a 一一一a 一一一一一一一 一i 一一一：一八一一 ；v 4 v 8 v 了v 1 6 k 图2 2 1 序列的自相关函数估计值图 由图2 2 1 可见，有超过5 的a 在区间卜1 9 6 x n - , 1 9 6 4 9 a p - 0 4 ， o 4 】范围外呈周期性变化，且观察图2 2 i 可见在k - - - 4 ，8 ，1 2 ，1 6 时出现高 峰，这也从另一个方面论证了该序列具有季节项，且季节周期为4 。 2 ，3 循环周期项检验的周期图法 一个不含趋势项和季节项或已去掉趋势项和季节项的时间序列是否含有 循环周期项，可以利用周期图构造统计量检验来加以判断。具体的方法是： 检验时间序列模型中确定的周期项系数是否为零，若为零时，认为该模型具 有周期项，否则不具有。作检验前先将序列零均值化。记工y 。一正一s 。， 遥盘豢m筒水罂皿 西南交通大学硕士研究生学位论文第l l 页 x t 。t 一善f 定义2 3 1 ：设样本值一，工2 ，h 的离散俘立叶燹抉为 z ( w ) 。去酗吖矧“ 腑统计量) - 西1 陬硝- 丽1 隆r 1 2 为序列仉) 的周期图，其 中， ) 在，- 刁嘭( j - 0 ，l * - 2 ，j 处的值，( ，) ( - m ，s 肘) ( m r i p 乒】，m ，- 【譬】) ，称为周期图的坐标： ，- 去防c 汗- 击匡e 卸1 2 - 去6 ； 注意此时样本x - ( 而，x ：，h ) 7 可由e j 。而1 。“，e 垃叶，e “唧) 7 线性表示 为 m wm w1 n 乏引鸬。蓦妒j 其中6 ，“而e ，”专善一e 哪- 以。一， v f i 下面我们来考虑基于周期图的两种检验，红。，h 是零均值序列，可用 这两种方法检验零假设日。：数据“，h ) 是白噪声序列；对立假设。：数 据协，工， 是由确定周期项的时间序列。 1 具有确定频率的正弦存在性检验： 设时间序列的循环周期模型为：。a c o s o t + b s i n o t + s ，t - 1 , 2 , ，n 其中。为白噪声序列，且s ，( o ，盯2 ) ，参数口，6 未知，0 e o ，石】为确定值。 此时，零假设及对立假设为： h 。：a 。b 。0 ；h ：4 。b 至少一个不为0 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 第一种情况：若一扣j 一导，- 。 2 ，m ，争h 。的检验。此时， 当日。为真，e p a 一6 - 0 由周期图性质删有 蜘p ) 居2 一号匡e “1 2 - 号陲即帆1 2 一簖+ 钠肛2 z 论) 分布， ，互m s ， ，户2 4 m r ( 8 ) 口2 一豺 胪) z 2 一分布以上两个统计 量是相互独立的，故由此构成的统计量f - ( 一3 y ( q ) m v ，( ，) 一，( o ) 一，池) j j 第二种情况：当疗( 0 ，们时，且不与重合时，i g 时x 一爿言+ e ， 其中乒( 。，j 争，争) s 叱。，扣翰b ) 。彳_ 等瞧c 篇, o s n o 。s 淼i n er 帮舻鼢肭阵 利用最小二乘法得出亭的最小二乘估计为亭- 口7 爿) 一1 爿_ 二暖，) ， 故当日。为真，即a - b - 0 时， 令孑。专著而， 则有 怕手一砚。j | 2 一慷e 。+ 手+ f 一佩。0 2 z 2 ( 2 ) ，且有 肛一爿硎2 一陋一毒e 。一f + 萝1 1 2 z 2 ( v 一3 ) ，因而有统计量 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 ，=帮，cz，一，所以对于给定的置信水平口， 得日。的拒绝域为， e ( 2 ，n - 3 ) 于是，可由样本值计算得f 统计量的值，若f ，口( 2 ，一3 ) 时，则应拒 绝日。，即认为模型具有周期项，否则认为模型不含有周期项。 2 具有确定频率的多谐波检验 设时间序列的模型为：薯。 a s o j r + b js i n o j t ) + t f 1 1 ，2 ， 其中。为白噪声序列，g e ， n ( o ，盯2 ) ，参数口，4 ：，口，与6 l ，6 ：，未知， 只，吼，巳【o ，石】为确定值 此时检验时间序列是否含有周期项，只需检验： h o ：a ，- b j - 0 , j - 1 , 2 , ，p ；日1 ：a j , b ，一l 2 ，p 中至少一个不为 0 当日，t 埘( o ， f ) 时，模型为工- a 亭+ e 鼽乒c o ，居，居一，居，厚，序：，厚n - p 。，：，”) ，z 一( _ ，z ：，h ) ，a 一0 。，五，乏，乞，盂，瓦，墨) ， 其中 。 毯西 5 ； q 西 一 压 “| 。面 c o s o j c o s 2 0 c o s n o 。压 i i 焉 s i n o f s i n 2 0 ， s i n n o ，i 一1 0 。，p 类似的，利用最小二乘法可得出占的最小二乘估计为占一似7 锄。1 爿_ ，故 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 当日。为真，即4 ，- b j 。o , j - 1 ，2 ，p 时，令i 。专善t ，则统计量f 服 f=竺2群fc2p，一zp一9，所以对于给定的置 信水平口，得日。的拒绝域为f 疋( 2 p ，n 一2 p - 1 ) 当 0 - = t o ；( 0cj m ，) 时，可类似的给出检验方法 于是，可由样本值计算得f 统计量的值，若f ，口( 2 p ，一e l , 一1 ) 时，则 应拒绝日。，即认为模型具有多谐波项，否则认为模型不含有多谐波项。 例2 3 1 表2 - 3 一i 某省气象台记录5 1 年到7 4 年台风登陆该省各年的次数 对 5 15 2 驺5 贷5 65 7 弱6 1 砬6 3 “部两6 7 碍胡7 07 l 7 27 37 问 次 61 0s6576657b57 77862693 89 教 经检验，该序列不含趋势项和季节项。取a 一0 9 5 ，先检验该序列是否具7 有一个隐含周期，f - - 6 。7 9 6 f o ，( 2 , 1 9 ) ；再检验该序列是否具有多周期项， p 一2 时，f = 4 8 5 6 f o 9 5 ( 4 , 1 7 ) ；p - 3 i 扣j ，f = 3 5 4 2 f o ”( 6 1 5 ) 可知此序列 具有多个隐含周期。 应用上述两种方法检验出若时间序列有周期分量，则可用周期图法等方 法得出时间序列的周期项并作预测。这将在第五章周期图法一节中作介绍。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 第3 章趋势项的分离和预测 长期趋势变动是代表着事物发展变化的主要趋向，因此它是时间序列分 解中需要首要研究的最重要变动。一般而言，长期趋势变动有直线的，也有 非直线的，常见的趋势项分离方法有以下几种： 3 1 移动平均预测法 3 1 1 简单移动平均法 设时间序列的观测值为y 。，f - 1 ，2 ，若记第t 期的移动平均值为： m 。笠二墨生竺二二二生丛，f 。1 , 2 ，一甩，则第t + l 期的预测值为： 夕。一肼。，这便是简单移动平均法的预测方程。由此还可得到一个递推预测 公式： 夕。丛盟芷监m ，。+ 进夕，+ 进 nhh 3 1 2 加权移动平均法 考虑到越靠近预测点的数据对预测值的影响越大，可采用加权移动平均， 给近期数据以较大的权数，远期数据以较小的权数。t 0 1 ，：，鸭为权数， 则第f 期的加权算术移动平均值为：m 璺丝竺丝生二二兰奠! 出，仍用 q + 峨+ + q m ，作为“1 期预测值，即夕。- m ，显然，简单移动平均法就是加权移动平 均法q o j 2一峨一1 时的特例。 用移动平均法进行预测，其效果与咒的大小有关，一般说来，当序列中 常值趋势较稳定时可用较大的厅，而当序列中常值趋势变化时用较小的弹。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 且此方法要损失前面n 一1 ( n 取奇数时) 或h ( n 取偶数时) 个数据。 3 1 3 线性二次移动平均法 上述两种移动平均法也称为一次移动平均法，当用其来预测具有线性增 长或下降趋势时，预测值往往比实际值偏高或偏低。为了克服这一不足，弓i 入二次移动平均即移动平均值的移动平均。记一次移动平均值为m p ，二次 移动平均值为m j ”，从而有： m p 丝竺二丝竺二土丝m 盈+ 竺墨盟，设时间序列的趋 势项为线性模型：正- 口+ b t 一只， 贝4 m p 一言萎y ，一- 三墓【n + 6 0 t ) 】- a + b t - ( n 2 - 1 ) 6 ( 3 - ) 可见一次移动平均值落后于实际值，其落后量为( 掣弘，同样对m j 2 有 妒。砉薹m 2 - - ：萎i 口+ 6 ) 一譬】口泓。一驴- m p 一丁( n - 1 ) b 下( n - 1 ) b m p m j n ，由此可解得：b 毛p 一肘j ：) ( 2 - 1 2 ) ， 二厅一 由式( 3 - 1 1 ) 和( 3 1 2 ) ，预测方程 t i 。4 + b ( f + 力m p4 - ( n - 、1 ) b + b f ；蜥p m p b f ，令 a 。- 2 m p m p ，e - 三( m p 一m 尸) ，则预测方程变为：霉+ t - 五，+ 丘r f ( 0 时可拟合已有数据的趋势项，f ，0 时可作趋势项的预测。 3 2 移动平均法 前面介绍的移动平均预测法有两个问题难以突破：一是玎的选择，到底h 选多大才能使序列尽可能的除去季节项和随机项，h 的选择随意性很大，缺 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 乏理论依据：二是加权移动移动平均法的权数吼的选择，其选择随意性也很 大。基于此，本文在已有的提取趋势项的移动平均法的基础上提出一种新的 分离和预测趋势项的思路。 所谓移动平均，就是从时间序列的第一项开始，按一定魄项数求平均值， 逐项向前移动，边移动边平均。这样就可以得出一个由移动平均值构成的新 的时间序列，这个新序列可以在很大程度上削弱甚至完全消除原序列中季节 周期性变动和不规则变动，使波动趋于平滑，趋势项也就分离出来。 设时间序列为y t , t ；l 2 ，移动平均的项数为n ，n t ，则移动平均的 计算公式为 当以为奇数时，肘。笠二当d ! ! 丛， 1 t 一万+ 1 。 “一2 万 ( 3 2 - 1 ( a ) ) 当n 为偶数时，m 苎二上生三二兰盐，1 f 一n + l 。( 3 2 1 ( b ) ) 气 4 ( 3 - 2 - 1 ) 式不仅表明了由y 。项起始的n 项平均值的计算方法，也表示了该移 动平均值与原序列的对应关系，即它对应原序列的第( “- 之 或o + i n4 - 1 ) 时刻。 显然，移动平均法在序列的首末两端要损失数据，当移动平均数n 为偶 数时，首末两端各损失露2 个数据，当丹为奇数时，各损失( 尼d 2 个数据。 为了作以后的趋势项预测，必须补齐后面的缺失数据。实际上我们可以把这 些移动平均产生出来的新序列看作是原序列的趋势项，然后对这个新序列采 用以下介绍的最小二乘法、三和法等方法进行模型拟合，从而补齐数据并进 行预测。这样先将季节项除去，将提高对趋势项的拟合与预测精度。 定理3 2 1 ：当移动平均的项数n 等于原序列中季节项的周期值时，则通 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 过厅项移动平均后的新序列将不再含有季节分量。 证明：一般地，墨二墨也竺二羔江，若栉s ，s 为季节周期，则因 n 只一s ，一置+ 斗一s ，+ 3 ，- ，s “li s i “山，l l 2 ， 于是：m ，。墅监三型咀，m 一坐止! 旦止监 sj 而s ，1 s + ，故m ，一m ，“；类推，可得 f 。- m ，“一m m 一常数 即知经移动平均后的新序列不再存在周期性变化。 续例2 2 1 ：对该例中数据依次作n 一旎4 ，5 的移动平均，其中，n 一4 时， 序列不再有周期变化；实际上，该序列的季节周期值为s 一4 ，图示用e x c e l 作出，见图3 2 - 1 。 系列1 表示原数据，系列2 、系列3 、系列4 、系列5 分别表示原对原数 据作n 一2 3 ，4 ，5 的移动平均。 由图3 2 1 可以看出当移动平均的项数，l - 5 4 时，序列不再波动，基本 为一常值序列，即序列不再含有季节项。 一般来说，周期值可能为4 ，7 ，1 2 。对于一个时间序列，可试作n - 4 , 7 ，1 2 步移动平均，以发现季节变化周期。如果对于一些波动有相当大的不规则性 的时间序列，可以在实际中已依据经验多选用几个n ，然后加以比较。一般 来说，雄值选用的越大，对序列的修匀程度越好。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 y8 0 0 0 7 0 0 0 6 0 0 0 5 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 o 一系歹t l l 一系歹u 2 系歹u 3 一一系歹u 4 一系歹d 5 图3 2 - 1 对例2 2 1 数据作n 一2 ，3 ，4 ，5 的移动平均图 使用此定理除去季节项后再拟合趋势项，将提高拟合与预测趋势项的精 度。现在以一例来说朗： 例3 2 1 ：表3 2 1 某公司汽车销售记录单位：辆 销售量销售量 年、季别序号( t )年、季别序号( t ) ( y 。)( y ，) 2 0 0 2 111 22 0 0 4 19 1 6 22 1 621 02 2 33531 18 4 4841 21 2 2 0 0 3 151 42 0 0 5 11 3 1 9 26 1 8 21 42 5 37 631 5 -1 5 4 81 0 4 1 61 7 将以上数据做折线图，可观察这些销售数量( 折线) 呈上升趋势，并且 有季节周期s 一4 ，使用移动平均法( 取n - 4 ) 消除季节项后，观察其趋势 项呈线性上升趋势，放可用直线方程z a + b t 来拟合。 系列1 为原数据，若不经移动平均直接使用最小二乘法拟合趋势，则 z - 0 5 4 5 6 t + 9 3 ，t - 1 ，2 ，相关系数仅为0 2 0 8 7 。系列2 为经过n 一4 的 移动平均新序列，对新序列使用最小二乘法拟合趋势，则 z - o 6 8 2 7 t + 8 9 3 2 7 ，t l 2 ，从2 0 0 2 年第3 季度开始，相关系数高达 西南交通大学硕士研究生学位论文，第2 0 页 o 9 5 6 。对于前面缺失的2 0 0 2 年第1 季度和第2 季度的两个数据，只须取 t l t0 即可补齐。从此例可以看出，经过n 为季节周期值的移动平均后， 时间序列几乎除去了季节项，提高了趋势项的拟合与预测精度。 图3 2 2 ：汽车销售量 以下趋势项分离和预测的前提是使用移动平均基本消除了季节项。 3 3 最, b - - 乘法 如果先将时间序列的各个数据画出散点图，可以大致的观察出它的长期 发展趋势。可以用适当的直线或曲线来拟合这些点，从而得到时间序列的长 期发展趋势曲线，而求趋势项的最常用方法便是最小二乘法。下面分别介绍 线性趋势，指数趋势和二次曲线趋势。 1 线性趋势 如果时间序列的散点图大致呈一条直线，或者时间序列各相邻时期内的 增长量接近一个常数，便可用线性趋势函数z - a + b t 来描述时间序列的长期 发展趋势。 把时间序列的观测值y 看成因变量，把时刻t 看成自变量，用n 对数据 ( ) ，t ) ，t 1 ，2 ，n 来拟合直线方程，这实际上就是一个线性回归问题，离 筋 乏寻 坫 加 5 o 捌襄”h 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 差平方和 q 。善( _ ) ，；一正) 2 。善( ) ，一口一6 f r ) 2 达到最小，分别对n 及6 求偏导数，并令 它们为零，即有 解之可得口与b 的估计式： 占。娑掣 善2 一专( 荟) 2 占= 专耋y ，一占专羹r ( 3 - 3 1 ) 由于y ，一般都是等间隔时间点上的观测值，时间f 的取值只起到一种标明 顺序的作用，它与y 。一般没有严格的因果关系。因此只需保证f 的等间隔性， 就可给t 赋予任何数值。为了计算的简便，通常让t 的一个取值以原点为对称， 从而有芝f o ，于是式( 3 - 孓1 ) 可化简为