（理论物理专业论文）耦合腔阵列系统中莫特绝缘到超流的相变.pdf

中文摘要 中文捅要 我们研究了耦合腔阵列系统中所发生的莫特绝缘到超流相变的刻画和探 测。在单腔中含有单个二能级原子的耦合腔阵列系统中，我们研究了两个非局 域的可观测量，两原子之间的纠缠度以及光子干涉条纹的可见度。用这两个可 观测量和局域的序参量，激发粒子数的涨落作比较时，理论和数值结果表明这 三个量都可以用来刻画莫特绝缘态到超流态的转变。当系统变为单腔中含有多 个原子数且不同腔之间的原子数不相同时，数值结果显示，即使在小系统中， 虽然二能级原子的数目很少，但是相邻腔里原子数的涨落将引起排斥相互作用 的涨落，从而导致莫特绝缘态，超流态以及第三态的出现。对于第三态，光子 将凝聚在含原子数较多的腔里。同时，两原子之间的纠缠度以及光子干涉条纹 的可见度也将表示出一些新的性质。我们还研究了有限格点系统中莫特绝缘态 到超流态转变的相图的构造以及观测。数值结果表明，通过引入一个和研究系 统弱耦合的超流系统，所得到的两系统之间的约瑟夫森流正比于通过引入一个 外场所得到的超流序参量。根据这个正比性，我们提出了一个近似非破坏性测 量的方案来研究有限系统中的莫特轮。在小系统中得到的结果显示出了大系统 的一些迹象。所得到的莫特轮的轮廓类似于通常热力学极限下得到的莫特轮的 轮廓，打开了在小量子器械中探测莫特绝缘态到超流态转变以及相应的超流序 参量的可能性。 关键词：量子相变，耦合腔阵列，粒子数涨落，两原子纠缠度，光子干涉条纹 可见度 a b s t r a c t a b s t r ac t w eh a v es t u d i e dt h ec h a r a c t e r i z a t i o na n dd e t e c t i o no f 也em o t ti n s u l a t o rt os b - p e r f l u i dp h a s et r a n s i t i o ni nt h ec o u p l e dc a v i t ya r r a ys y s t e m s f o rt h eh y 嘶ds y s t e m c o n s i s t i n go fa na r r a yo fc o u p l e dc a v i t i e sa n de a c hc a v i t yd o p e d w i t hat w o - l e v e la t o m ， w eu s et h et w o - a t o mc o n c u r r e n c ea n dt h ev i s i b i l i t yo fi n t e r f e r e n c ef r i n g e so fp h o t o n s t oc o m p a r ew i t ht h et o t a le x c i t a t i o nn u m b e rf l u c t u a t i o n a n a l y t i c a la n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h e s et h r e eq u a n t i f i e sc o u l db ee m p l o y e dt oc h a r a c t e rt h em o r t i n s u l a t o rt os u p e r t t u i dt r a n s i t i o n f o rt h es y s t e mw i t ht h a te a c hc a v i t yc o n t a i n saf e w a t o m sa n dd i f f e r e n tc a v i t i e sm a yh a v ed i f f e r e n ta t o mn u m b e r s ，i ti sf o u n dt h a te v e nf o r s m a l ls y s t e m s a l t h o u g ht h en u m b e ro ft w o 1 e v e la t o m si sv e r ys m a l l ，t h ef l u c t u a t i o no f t h ea t o mn u m b e rb e t w e e na d j a c e n tc a v i t i e sw i l li n d u c et h ef l u c t u a t i o no ft h er e p u l s i v e i n t e r a c t i o n , a n da c c o r d i n g l yt h ec o e x i s t e n c eo ft h em o t ti n s u l a t o rs t a t e ，t h es u p e r f l u i d s t a t ea n dt h et h i r ds t a t e ，w h e r ep h o t o n sc o l l e c ti nt h ec a v i t yw i t hm o r ea t o m s m e a n w h i l e t h et w o a t o mc o n c u r r e n c ea n dv i s i b i l i t yo fi n t e r f e r e n c ef r i n g e so fp h o t o n sa l s o e x h i b i ts o m en e wf e a t u r e s f o rt h ec o n s t r u c t i o na n dd e t e c t i o no ft h ep h a s ed i a g r a m o ft h em o t ti n s u l a t o rt os u p e r 丑u i dt r a n s i t i o ni nf i n i t es y s t e m s n u m e r i c a lr e s u l t ss h o w t h a t ，t h r o u g hi n t r o d u c i n gaw e a k l yc o n n e c t e de x t e r n a ls y s t e m , t h ej o s e p h s o nc u r r e n t b e t w e e nt w os y s t e m si sp r o p o r t i o n a lt ot h es u p e r f l u i do r d e rp a r a m e t e ro ft h ef i n i t es y s - t e lw h i c hi so b t a i n e db yi n t r o d u c i n ga ne x t e r n a lf i e l d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o w t h a tt h ep r o f i l eo ft h eo b t a i n e dm o t tl o b e si sa n a l o g o u st ot h a to ft h em o r tl o b e su s u a l l yo b t a i n e db yt h em e a nf i e l da p p r o a c h , w h i c ho p e n su pap o s s i b i l i t yt od e t e c tt h e b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e si ns m a l lq u a n t u md e v i c e s k e yw o r d s ：q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n , t h ec o u p l e dc a v i t ya r r a y , t h ep a r t i c l en u m b e r f l u c t u a t i o n , t h et w o - a t o mc o n c u r r e n c e ，t h ev i s i b i l i t yo fi n t e r f e r e n c ef r i n g e so fp h o t o n s 一一 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：雹喟致 刎年f 月以e t 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：霍期戛 加圻年f 月2 f e l 第一章引言 第一章引言 量子相变的研究是凝聚态物理中的一个重要方向 1 】。在二阶量子相变中， 当外部参数跨过相变点时，量子相变系统的基态将经历剧烈的变化。在近些 年，随着实验技术的进步，光学系统被广泛应用于研究一些在凝聚态物理或者 原子系统中的有趣的量子力学现象，包括量子相变。在光学里，运用相交的激 光光束的干涉条纹，人们可以制造出束缚原子的周期势场，光晶格 2 】。除此之 外，j a y n e s c u m m i n g s 模型是最简单和最重要的理解光和物质相互作用的模型， 描述了一个二能级原子和单模光学腔之间准共振的相互作用【3 - 5 ，而d i c k e 模型 则描述了多个全同的二能级原子和单模的腔场之间的相互作用 6 】。这些模型已 经在腔电动力学中得到了很好的实现，可以用来有效稳定地观测一些基本的凝 聚态物理问题。可以说，它们在系统控制方面开创了新的局面，在这一方面大大 优于当前凝聚态物理中的一些传统模型。 1 1 腔电动力学 量子光学中最简单的模型便是处理单个二能级原子和单模辐射场之间相互 作用的系统 3 5 】。这个理想的情形已经在腔电动力学实验中得以实现，这些实 验借用高品质因子的微波或光学腔作为光子束缚箱。现在，研究已经扩展到多 个二能级原子和单模腔场之间的相互作用，或者多能级原子与腔场之间的相互 作用，等等。腔电动力学的实验可以提供对基本量子过程更好的研究，是量子 信息处理一个很有发展潜力的领域。 许多处理光和物质相互作用的实验都在研究大数目原子和大数目光子的激 光场之间的相互作用。而最简单的情形，则是单个原子和单个或少数光子相互 作用。实现这样的系统便是腔电动力学的目的。 腔电动力学的历史可以追溯n s o 年以前，由p u r c e l l 所作的杰出工作。单个 原子的辐射性质可以通过控制镜子或者腔所形成的电磁场的边界条件来改变。 腔电动力学实验最初用于测量低品质因子腔内自发辐射或者空间模式的改变。 这些实验慢慢演变到具有越来越强的原子腔相互作用和越来越长的光子储存 时间的框架下。现在，它们中的大部分都在研究“强耦合机制，在这种机制 下，单个光子和单个原子相干的相互作用被储存在非常高品质因子的腔内，非 相干的耗散过程被压制了下去 7 9 】。 第一章引言 腔电动力学可以实现如此简洁的模型，因此，它可以用在一些基本量子性 质的探测上，包括量子叠加原理，完备性或者量子纠缠。在量子信息处理方 面，原子和腔可以存在较长时间，它们之间的相互作用提供了一个可控的纠缠 机制，而纠缠是对于量子计算和离物传态来说最本质的需要。因此，可以说腔 电动力学给量子信息处理提供了一块肥沃的土壤。另外，腔电动力学对包含几 个到几十个光子的介观场的可操作性使得它可以用于探究量子世界和经典世界 的模糊界限，揭秘使量子奇特性局域在微观领域的退相干的机制。 腔电动力学有两个种类：微波的和光学的。这两种情形都可以达到强耦合 机制，具有不同的和互补的一些性质。在微波区域，激发的“里德伯”原子态 和超导毫米腔相互作用，耗散非常小，原子和腔之间纠缠的过程也很慢。这样 的系统可以达到很高的控制度，使得它可以用于形成复杂的多量子比特纠缠 态。在光学区域，处于低激发态的原子和处于室温下的光学腔相互作用。这种 机制下的相互作用要快很多，耗散也是一样的。这一点可以作为优势来利用， 那就是光子可以很有效地进出腔。因此，在作为量子信息传输的飞行光子比特 和作为量子信息储存的静态原子比特之间，光学腔电动力学提供了一个自然的 和重要的结合点。 1 2 玻色哈勃模型以及莫特绝缘到超流的相变 玻色哈勃模型描述了晶格中相互作用的玻色子的物理行为。这个模型首先 i 扫f i s h e r 等人在文献 1 0 ，1 1 】中作为哈勃模型的玻色对应体所描述，主要用于解 释固态物理中导体和绝缘体系统之间的相变。它由如下哈密顿量描述 h = u z b ：b 岛( 6 揪一1 ) 一j ( 6 揪c ) + 肛6 ( 1 1 ) 七 ( k , k ) k 其中6 ：表示在尼格点上产生一个玻色子，b k 表示湮灭一个玻色子。在这个哈密顿 量里有三个不同的过程：玻色子以几率j 在相邻格点之间跳跃，两个或多个玻 色子在同一格点上以强度u 互相排斥( 或互相吸引，当u u 时，隧穿项占主要地位，系统的最低能量态 是非局域的玻色子的凝聚态，系统此时处于超流态。当开始增加相互作用 一2 一 第一章引言 能量时，玻色子会越来越倾向于局域在格点上来降低排斥作用。当高于特定 的u j 值时，系统不再处于超流态上，变成了莫特绝缘态，每个格点上有一 定的粒子数。超流莫特绝缘相变是由量子涨落驱所驱动的一种量子行为，它 在零温时也可以发生。这种相变的一个指征是在指定格点上玻色子个数的变 化，( ( 6 如七一( 6 ：6 惫) ) ) 。在超流相，每个格点上的玻色子数目有涨落，因此 玻色子个数的变化为非零值。在莫特绝缘相，粒子数变化值接近于零，这是由 于玻色子倾向于局域在每一个格点上 1 2 】。 1 3 研究现状 量子相变和量子临界行为是由零温下多体系统中参数的变化所引起的，通常 伴随着物理量的激烈变化 1 】。一般来说，量子相变发生在出现能级交错或者 对称性破缺的参数空间中。对于量子相变的研究一般基于强关联电子和自旋系 统 1 ，而最近人们开始关注弱相互作用的超冷原子系统 1 3 ，1 4 。一般来说，在 电子强关联系统中很难控制和探测这样一种奇特的量子现象。通过激光束的干 涉而形成的光晶格则提供了一个研究束缚玻色气体的平台。这时，包括格点上 两原子之间的相互作用和相邻格点之间跳跃项的玻色哈勃模型可以用来描述周 期势场中的超冷原子气体从莫特绝缘相到超流相的多体动力学过程 2 】。光子是 无相互作用的玻色子，因此，在纯的光子系统中不会发生任何的量子相变。然 而，由光学腔，少能级原子和激光所组成的杂化系统可以形成一个强相互作用 的多体系统，从而以量子光学的角度来研究凝聚态物理中的概念和方法。在这 种情况下，通过在光子学晶体中掺杂高品质因子的缺陷腔可以形成光子的凝聚 态类似物 1 5 1 7 。因此，光子和原子之间相互作用的系统应该更易于用来研究 和观测量子现象，比如量子相变 1 8 - 2 0 。最简单的光和原子系统是光子和单个 二能级原子相互作用的系统，f q j a y n e s c u m m i n g s 模型所描述 2 1 ，2 2 。将每个腔 中含有单个二能级原子的腔连成阵列，便可以模拟玻色哈勃模型中发生的莫特 绝缘态( 激发子局域态) 到超流态( 激发子非局域态) 的相变 1 8 ，2 3 以及x y 自 旋模型 1 9 】。随着二能级原子数的增加，由于原子之间的相互作用所引起的集 体行为将产生很多有趣的多体现象 2 0 ，2 2 。在量子光学中，d i c k e 模型描述了最 初处于激发态的多个二能级原子和一个光场相互作用的集体自发辐射现象 6 。 局域序参量用来描述具有对称性破缺的不同相，是二阶相变理论中一个 重要的物理量。然而，对于量子相变，在一些特殊情形下，局域序参量并不 能用来正确地描述量子临界行为，传统的金兹博格一朗道威尔森理论在这些情 一3 一 第一章引言 形下变得不适用起来 2 4 1 。在基- 于j a y n e s c u m m i n g s 模型的耦合腔阵列系统中， 光子湮灭算符的平均值常常被作为序参量，粒子数涨落则被用于探测量子相 变 1 3 ，1 4 ，2 5 。然而，对于杂化系统中所发生的光的量子相变，这种针对光子 的序参量的选择是不适合的，更适合的方法应该是针对光子和原子的混合体一 一极化声子的。另一方面，我们想要找到一些可观测量来刻画杂化系统中所发 生的莫特绝缘到超流的相变。对比于玻色哈勃模型，杂化系统中量子相变的机 制有一些不同之处。在玻色。哈勃模型中，格点上的排斥作用和跳跃项导致了 量子相变的产生。对于杂化系统，基本的激发子是腔模和原子的混合，极化声 子。极化声子依赖于耦合强度，以及腔模和原子频率之间的失谐。很自然地， 我们可以利用原子和光子的一些可观测量来研究临界行为。事实上，在大失谐 的两个极限条件下，极化声子简化为纯的光子( 玻色子) 或原子激发态( 硬壳 玻色子) 。这个性质是量子相变的本质。很明显地，光子数的涨落应该由极化 声子数的涨落代替。另一方面，在相变点附近，当光子的动能开始压倒光子阻 塞作用时，光子在腔之间的隧穿可以导致原子之间的纠缠。那么，原子之间的 纠缠应该也可以用来显示临界行为。类似于玻色哈勃模型中莫特绝缘到超流的 相变，原子光子杂化系统中的两相也可以通过基态的量子相干性来划分。在 莫特绝缘相，光子的相干性由于光子阻塞效应基本上被破坏了。在超流相极限 下，光子的量子相干性达到最大值。因此，光子的相干性可以用来指明不同的 相，而光子的相干性由可观测量一一光子干涉条纹的可见度来描述。直觉上 讲，两个放置在相邻腔里的原子由于光子的非局域性应该相互纠缠起来。同 时，光子的非局域性也会增加光子的相干性。那么，两个原子之间的纠缠度和 光子干涉条纹的可见度这两个可观测量对临界点应该是敏感的。 扩展到多原子的情形，d i c k e 模型本身可以提供对于量子相变的理 解。d i c k e 模型和玻色哈勃模型的相变已经在光学和凝聚态物理系统中得 到了很好的研究。但是，对于这两种模型的混合体的研究是缺乏的。文 献【2 0 和e 2 6 拓展了关于原子光子相互作用系统中光量子相变的研究，单腔从 一个由j a y n e s c u m m i n g s 模型所描述的单个二能级原子和光场相互作用的模型扩 展到了由d i c k e 模型所描述的具有任意数目原子的系统。在文献e 2 0 q b ，作者描 述了多个全同的二能级原子和一个单模的量子辐射场之间耦合的系统。运用平 均场的方法，作者得出结论，莫特绝缘到超流的量子相变在具有少数二能级原 子的d i c k e 模型中依然是可以存在的。在文献 2 6 1 q b ，除了研究个全同的二能 级原子和一个单模的量子辐射场之间耦合的系统里的量子相图之外，作者还研 一4 一 第一章引言 究了在大n 极限下( 使得这个模型可以映射为玻色一哈勃模型) ，每个腔里原子 数的任意涨落所导致的光和物质相互作用强度的无序性以及所导致的极化声子 玻璃相。在热力学极限下，原子数的涨落将导致极化声子玻璃相的出现。而我 们将研究每个腔里含有少量二能级原子且每个腔里的原子数有涨落的耦合腔阵 列模型。一些物理量比如极化声子的涨落，相邻腔里的两个原子之间的纠缠以 及光子干涉条纹的可见度已经在基于j a y n e s c u m m i n g s 模型的耦合腔阵列系统中 被研究并且用来刻画莫特绝缘到超流的相变 1 0 8 1 。这里，我们将把这些物理量 引入到现在的研究中来，去考察这些物理量将表现出什么样的行为。 另一方面，在以前探测莫特绝缘到超流相变的工作中，研究的系统在测量 后总会被破坏掉 1 3 ，2 7 - 2 9 。据我们所知，只有一个非破坏性测量的方案【3 0 ， 然而，在这个方案中，超流序参量依然是不可测的。除此之外，莫特轮一般是 在热力学极限下通过g u t z w i l l e r 尝试波函数得到的 1 0 。由于平均场方法只在热 力学极限下成立，而很多实验涉及到的系统是有限的甚至是比较小的，发展一 个新的方法来研究有限系统中的莫特轮便变得重要起来。我们将试着提出一个 非破坏性测量方案来研究小系统中莫特绝缘到超流的转变以及相应的超流序参 量。 1 4 本文章节 本文主要研究耦合腔阵列系统中所发生的相变的刻画和探测。主要工作大 致分为三个部分： 一、研究基于j a y n e s c u m m i n g s 模型的耦合腔阵列系统。我们引入两个可观 测物理量，即相邻腔里的两个原子之间的纠缠度以及光子干涉条纹的可见度， 来观测量子相变。我们发现，这两个物理量可以用来指征一般由总的激发粒子 数涨落所标记的量子临界现象。 二、研究基于d i c k e 模型的耦合腔阵列系统。我们研究腔里含有少量原子 数，不同腔之间具有不同原子数的系统的量子相变相图。除了一般的莫特绝缘 态和超流态之外，我们发现了光子凝聚在具有较多原子数腔内的态。 三、研究有限系统中莫特轮的构造与观测。我们发现，在小系统中，通过 引入一个和研究系统弱耦合的超流系统，所得到的两系统之间的约瑟夫森流正 比于通过引入一个外场所得到的超流序参量。 本文共分六章。在第二章中我们将介绍文章中所用到的物理模型。首先是 一5 一 第一章引言 描述单个二能级原子和单模光学腔场之间准共振相互作用的j a y n e s c u m m i n g s 模 型，其次是多个二能级原子和单模光学腔场之间相互作用的d i c k e 模型，还有描 述玻色子相互作用的玻色哈勃模型。基于这些模型，有i 主t j a y n e s c u m m i n g s 玻 色哈勃模型以及d i c k e 玻色哈勃模型所描述的耦合腔阵列。在这样的类玻 色哈勃模型系统中，存在着莫特绝缘相到超流相的相变。第三章中我们将用 解析和数值的方法得出结论，相邻腔里的两个原子之间的纠缠度以及光子干涉 条纹的可见度可以像总的激发数涨落一样，用来描述量子临界现象。在第四章 中，我们用数值方法画出了含有少量原子的腔所组成的耦合腔阵列系统中所发 生的量子相变的相图。第五章我们将提出构造和观测有限系统中莫特轮的方 案。第六章是对本文的总结，还有一些需要进一步讨论的问题和建议。 一6 一 第二章腔电动力学以及莫特绝缘到超流的相变 第二章腔电动力学以及莫特绝缘到超流的相变 2 1 腔电动力学 2 1 1 j a y n e s c u m m i n g s 模型 j a y n e s c u m m i n g s ( j c ) 模型是了解光和物质相互作用的最重要的模型，它 描述了一个单模的光学腔场和一个二能级原子之间准共振的相互作用 3 5 】。光 学腔通常由两面或多面镜子组成，用来使带有特定频率的光形成驻波，被称作 共振模式或腔模。所有其他的模式将通过相消的干涉被抑制。在腔中，原子和 光子之间的耦合导致了光学非线性和光子之间排斥作用的产生。这种光子之间 排斥作用的极端情形便是光子阻塞，即光子之间的排斥会阻碍多于一个光子同 时出现在同一个腔内。 如图2 1 所示，j c 模型描述了一个二能级原子在一个准共振腔内与光的相互 作用。其哈密顿量为 日，c = q 仃一+ w a + 口+ p ( 吖口+ 盯一o ) ( 2 1 ) 这里，叶= i e ) ( g l 和仃一= l 夕) ( e i ( 口t 和o ) 分别代表原子( 光子) 的上升和下降 ( 产生和湮灭) 算符。原子的跃迁能量为u 口，腔共振频率为u ，以腔为媒质的 图2 1j c 模型。 一，7 一 第二章腔电动力学以及莫特绝缘到超流的相变 原子光子耦合系数为p ，表达式为 p 叫，( 南) ， ( 2 2 ) 其中y 是腔模的体积，7 0 为二能级原子所在位置，( r o ) 是7 o 处的模函数，p 为电 子偶极跃迁矩阵，o 为真空介电常数。定义原子的基态为1 9 ) ，激发态为i e ) ，同 时，引入失谐为a = u 一。 在推导j c 模型的过程中用到了两个重要的简化。第一个是偶极近似，即只 考虑原子的两个电子能级，并且它们和光的相互作用取为一个电子偶极和光的 相互作用。这个近似成立的条件是光场强度不是很高以及光的波长比原子的尺 度大很多。第二个是旋转波近似，即去掉以频率u a + u 振荡的项。当p 远远小 于u 时，这是一个很好的近似。 原子由i 夕) 到i e ) 的跃迁也可以由一个单频的激光场诱导，这个过程的哈密顿 量为 三屯= q ( e - i 6 t f f + + e 话。仃一) ，( 2 3 ) 其中q 和6 分别为激光的拉比频率和频率。 接下来我们求解j c 模型。设礼为腔中的激发数，那么哈密顿量( 2 1 ) 的基矢可 选为 西1 ) = 1 9 ，仃) ， 圣2 ) = i e ，礼一1 ) ( 2 4 ) 用上面的基矢对角化哈密顿量( 2 1 ) ，得到的本征态叫做缀饰态，标记 为l 士，礼) 。v n 1 ，哈密顿量( 2 1 ) 的本征态为 如) = 型弓然畿掣， ( 2 5 ) 7 2 x 2 ( n ) 千) ( ( 礼) 7、。 本征值为 e l + ，n ) = 删士x ( n ) 一2 ( 2 6 ) 这里x ( 礼) = v n 3 2 + a 2 2 。由于佗1 ，上面缀饰态的定义不包括n = 0 ，所以 我们需要定义缀饰态系统的基态为1 9 ，o ) ，基态能量e 1 9 ，o ) = 0 。 一8 一 q ；赢。 一9 一 第二章腔电动力学以及莫特绝缘到超流的相变 图2 3 光子阻塞现象的解释。原子跃迁能量为u 。，腔模频率为u ，u n = u = u o 。卢为 原子一光子耦合系数。入射的探测光唧( 红色箭头表示) 被调制为= 蛐一p 来激发b0 ) 一 i - , 1 ) 的跃迁。对于这一束探测光，双光子激发被压制。 图2 4 一维耦合腔阵列示意图。光子之间的跳跃来源于近邻的腔之间由于接近所导致的 随腔之间距离增加而渐进于零的耦合。 腔的强耦合模式条件定义为 2 ，y 咒1 这时，演化的相干部分将占主要部分，压制了退相干的过程。 2 1 2 耦合腔阵列 ( 2 1 0 ) 这一节我们研究耦合腔阵列【3 2 。光子在近邻腔之间的跳跃是由于腔模 式的空间轮廓之间的交叠。为了研究这个过程，我们在这里考虑腔阵列具 有周期介电常数的情形，( 7 ) = ( 7 + r 育) ，其中7 是一个给定的三维矢 量，r 是常数，育代表一组整数。在库仑规范变换下，电磁场由一个满足方 程v e ( 7 ) 4 ( 7 ) 】= 0 的矢势么给出。我们可以用瓦尼尔函数才言展开才。 每一个瓦尼尔函数局域在一个单腔的位置元= r 育，如图2 4 所示。我们 一1 0 一 第二章腔电动力学以及莫特绝缘到超流的相交 用育( 7 ) 来描述单个腔的介电函数。那么，根据麦克斯韦方程我们可以写出下 面的本征值方程： 华2 才- 五- v x ( v 才育) _ 0 ， ( 2 1 1 ) 其中本征值u 暑是腔共振频率的平方，由于周期性而不依赖于矗。假设瓦尼尔函 数在腔外衰退很快，那么只有最近邻的腔之间的瓦尼尔模数有不为零的交叠。 引入瓦尼尔模式的产生和湮灭算符，o 妥和n 育，场的哈密顿量变为 日m _ w c ( n 岳n 育+ 壶) + 2 w c a ( 口岳。盖，鼽c ) ( 2 1 2 ) 育 ( 育，盲，) 这里，( 五，育，) 表示所有最近邻的两个腔组成的对的求和。在推导方程( 2 1 2 ) 的 过程中，由于q 1 ，我们忽略了包含两个产生算符或两个湮灭算符乘积的旋 转项。耦合常数o l 等于 q = d 3 7 p 育( 7 ) 一( 7 ) 】才才育，( 2 1 3 ) 其中i 矗一矗7 i = 冗。 在推导哈密顿量( 2 1 2 ) 的过程中，我们假设所有的腔具有相同的共振频率。 在实际应用中，两个近邻的腔之间的共振频率会有一定的失谐，这会导致它 们之间耦合强度的减弱。然而，只要q a ，方程( 2 1 2 ) 依然是一个很好的近 似。 一般来说，基于单腔j c 模型的耦合腔阵列的哈密顿量可以表示为 h = 彰c 一( 越吩+ 忍c ) 一地批， ( 2 1 4 ) i “j ) t 其中对于最近邻的腔，跳跃常数为锄= k ，其它情况下= 0 。北是第i 个腔的 包括原子和光子激发的总的激发数。化为第i 个腔的化学势。对于这样的系统， 平均场理论可以给出一个好的定性和定量的描述。我们将在下一节中讨论具体 的解法以及这个系统中所发生的量子相变。 第二章腔电动力学咀及莫特绝缘到超流的相变 1 漱 脉i ”o r x x 湖m i r r 2 纂的婚异淀嚣蒜腔示意图 d 一 ( ( b ) 图表示只有在两面镜子问形成驻波的特 接下来，我们讨论腔阵列系统的实现。首先讨论广泛应用于激光器中的法 布里一珀罗腔。它依赖于多束光之间的干涉效应。如图25 所示，它由两面部 分透射的镜子组成，这两面镜子被精确地放置从而形成一个反射腔。入射光进 入法布里一珀罗腔，在镜子中间发生了多次反射使得光和它本身发生多次干 涉。如果入射光的频率正好使得光在腔中发生相长的干涉，光将被传播出去。 相反，相消的干涉将不允许任何光通过法布里一珀罗腔。相长干涉的条件是光 在两面镜子中形成驻波。也就是说，两面镜子之间的距离d 必须等于入射光半波 长的整数倍。因此，相长干涉条件被定义为 目d c o s e ：掣 f 2 1 5 、 其中仇是一个整数， 为镜子之间介质的折射率，e 为入射光方向相对于镜子法 线的倾斜角。 然而，法布里一珀罗腔并不适用于把几个单独的腔耦合起来的情形。不 过，有几种新型的腔可以实现或者有潜力实现耦合腔阵列系统。这几种新型的 腔结构包括基于光子晶体带隙结构中的缺陷的微腔 1 5 - - 1 7 1 ，环形微腔【33 】以及 超导带状线谐振器 3 4 】。我们将分别介绍这几种腔结构。 ey a b l o n o v i t e h 和sj o h n 在1 9 8 7 年分别独立地提出了光子晶体的概念。光子 晶体是介电常数在空间呈周期性排列形成的人工结构。所谓晶体就是指这种周 第二章腔电动力学毗及莫特绝缘到超流的相变 图2 6 ( a ) 光子晶体；( b ) 线性波导；( c ) 9 0 度弯曲波导。在光子晶体中引入缺陷可 皆孳，翥盂需瞿塞翟鐾学蠢睦袈嬖；老8 + 所示这种缺陷态具有很大的态密度和品质 黟：缺蒜裂掌嚣凝晶体示意8 j b ) 图为有缺陷的光子晶体( 缺陷用红色表 趾”逝 。1 吨。( a ) 啷 o m i 怂蒜蓰耱；连曼纛磊磊盏紫之珂形成蔡带没有态稚“”图表示 第二章腔电动力学以及莫特绝缘到超流的相变 的情2 形9 嚣甏面i 蕞墨鬻于光子晶体馓腔形成的二雏腔阵孔“为掺入原子 期性而言的。光子晶体里重复结构( 或称晶胞) 的单元尺度是光波长量级。与普 通晶体一样，光子晶体的周期排列具有能带结构光子能带之间可能存在光子 带隙( 或叫做光子禁带) 。光子带隙( 或禁带) 是指一个频率范围，在这个范 围里的电磁波不能在这个光子晶体里传播。而频率位于能带里的电磁波则能在 光子晶体里几乎无损地传播。带隙的宽度和位置与光子晶体的介电常数比值， 周期排列的尺寸及排列规则都有关系。光子晶体中不同介电常数的排列可以控 制一定频率的光的传播。如果介电常数的差异足够大，在电介质的交界面上发 生布拉格散射，则会产生能量的禁带。如果晶体中出现缺陷，在某个位置上电 介质排列的周期性被打破了，那么光波就可以从这个缺陷射出。如果这种缺陷 缺是如图26 中所示的线缺陷，那么光就沿着缺陷构成的通道传播，从而实现对 光传播方向的控制甚至可以让光转过很锐的弯。 图2 9 中所示的是一个二维耦台腔阵列的例子。光子能带的带隙结构通过在 一个薄膜上钻孔来实现。腔之间的间隔为 砌，其中 为光波长，q 为折射率。 薄膜的厚度应该为 2 ，从而把光束缚在平面内。腔由缺陷来定义，也就是那 些没有钻孔的区域。通过引入一个周期性的缺陷阵列，我们可以实现一个腔的 晶格。 21 3 基于d i c k e 模型的耦台腔阵列 d i c k e 模型描述了多个二能级原子和单模电磁场之间的相互作用【6 】。它作为 一个基本的模型描述了辐射和物质之间的集体相互作用。考虑一组个二能级 原子的集合和一个单模的电磁辐射场之间的相互作用。原子处于腔中某些固定 的位置。原子相互之间的间隔非常大以至于它们之间直接的相互作用可以被忽 略。然而，基于原子和同一个辐射场相作用的事实，原子之间不能够看作是独 强摊鞴鼍 第二章腔电动力学以及莫特绝缘到超流的相变 立的。 在共振或近共振条件下，d i c k e 模型的哈密顿量可以写为 nn h = u c 。n + 此9 磁+ q ( n 巧+ c ) k - - - - 1k = l = h o + f 2 ( a t r 一+ h c ) ， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 其中坳是腔场的频率，口是原子的跃迁频率。a t 代表光子的产生算 符，冗i = l 夕) 知( e i ，其中i 夕) 凫和i e ) 南表示第七个原子的基态和第一激发态，q 为 原子群体和腔场之间的耦合常数。这里，我们引入原子的d i c k e 升降算 符r 一= e 七n ：1 何( 兄+ = 冬1r 去) 。在哈密顿i ( 2 1 6 ) 5 b ，最后两项包括 了物质对场的作用以及反过来场对物质的作用。 非相互作用系统的态被定义为 hi 扎) i r ，m ) = 髟i r ，m ) = r 士i r ，m ) a i 佗) ( m + 佗) l n ) i r ，m ) ， n r ；i r ，m ) = mi r ，m ) ， k = l = p ( r + 1 ) 一m ( 仇士1 ) 】i r ，m 士1 ) ， = 何i n 一1 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 凰的本征态同时也是r 2 = r z 2 + ( r + r 一+ r r + ) 2 的本征态。“协同数目 r 满 足 r 27 ，m ) = r ( r + 1 ) i7 ，m ) ， ( 2 2 2 ) 和 m | r a y 2 ，( 2 2 3 ) 其中r 和m 是整数或者半整数。方程( 2 1 6 ) 中的算符满足对易关系 眵，r 士】 r + ，r 一】 a ，a t 】 = 士r 士 = 2 髟 = 1 一1 5 一 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 第二章腔电动力学以及莫特绝缘到超流的相变 图2 1 0日的矩阵表示。 由于兄2 和凰都和日对易，日的本征态可以取为这两个算符共同的本征态，本征 态用r 和c 来标记，c 为u c = 0 2 e g = 1 时日0 的本征态。也就是说，c 为总的激发数。 对于给定的7 和c ，一般情况下2 r + 1 个本征值将对称地放置，其中r v 。 为了求解维度为2 的d i c k e 模型，可以写出矩阵元为 ( n l ( r ，m 1 日i r 7 ，m ，) | n 7 ) ( 2 2 7 ) 的矩阵，把一个把维度为2 的矩阵分组为无穷多个沿着主对角线的块。每 个2 维度的矩阵可以分解为小的矩阵，如图2 1 0 所示。只有阴影的矩阵部分有 不为零的矩阵元。对于每一个r 值，有! ( 2 r + 1 ) 【( 2 + r + 1 ) ! ( 2 一r ) ! 】个 同样的矩阵块，每个小矩阵块维度为2 7 + 1 。r i a 最左上角的2 开始取值，降 为0 或者l 2 ，取决于为偶数或者奇数。对于一个给定的r ，c 的整数变化对应 于向它邻近的一个维度为2 的矩阵块的变化。图2 11 画出了图2 1 0 中对应于一 个特定7 的一个阴影矩阵块。 如果c r ，那么小矩阵块的维度将小于2 r + 1 且等于c + 1 。 标记日的本征态为i t ，c ，j ) ，那么 日l r ，c ，j ) = a r c ji r ，c ，j ) ， ( 2 2 8 ) 其中当c r 时歹取2 r + 1 个值0 ，1 ，2 ，2 r ；当c r 时取c + 1 个值0 ，1 ，2 ，c 。 由于态i r ，c ，j ) 为日、凰和r 2 的本征态，且m = c r i t e r 和一r n 变化，那么我们 一1 6 第二章腔电动力学以及莫特绝缘到超流的相变 图2 11给定r 和c 的一个子矩阵。 有 c + r 歹) = a 川叩- m ) ( 2 2 9 ) 由方程( 2 1 6 ) - - ( 2 2 1 ) 和( 2 2 4 ) - - ( 2 2 6 ) ，可以求出a 寥声别的表达式及本征值a 邳j 。 下面我们考虑基于d i c k e 模型的耦合腔阵列中的非线性效应 3 5 】。在考虑的 模型中，每个单腔占据阵列的一个点，腔之间被等间距地隔开。每一个腔含 有个全同的二能级原子。腔离的足够近以使得它们之间通过渐逝的光子隧穿 而相互耦合。这种耦合随着距离的增加而指数衰退，因此可以只考虑最近邻腔 之间的耦合。 对于整个含有m 个腔，每个腔中含有个原子的系统，自由哈密顿量为 ( 2 3 0 ) 其中口! 表示第歹个腔模的光子产生算符，a z 是和第歹个腔相互作用的第七个原子, j 的泡利矩阵。在共振条件u c = u e 口以及在凰的相互作用表象下，相互作用哈密 顿量写为 h = 一j j a ：a j + 1 + a j 4 s ；+ ， ( 2 3 1 ) j = lj = l 其中j 为光子的跳跃强度。我们将考虑最简单的情形，设这些参数都是实数， 并且在整个链中是各向同性的，即对于任意j 有j j = j 和q j = q 。日中的第一项 ( 以及它的共轭项) 描述了腔之间类似隧穿的耦合，第二项描述了激发子在一 一1 7 0 莎 柑 叼 “+ 砖 c u m 触 i i 第二章腔电动力学以及莫特绝缘到超流的相变 个原子群体中个单位元和对应的腔场之间的共振相互作用。 对于整个系统，希尔伯特空间的扩展特性使得求解e h h 描述的动力学过程 变得很困难。然而，我们可以通过霍斯坦因一普里马科夫( h p ) 变换【3 6 来利 用原子群体的集体性质。h p 变换使得一个物理集体自旋映射为一个有效的玻色 自由度。假设1 ，我们引入h p 产生和湮灭算符噶和b ( 歹= 1 ，m ) ： s = 娟咤a j s j = 瓶a b j ， 譬= 啦一n 2 ， ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 其o e b j ，6 t = 翰。这里，算符4 = 1 6 的定义是必须的，用来保 证d i c k e 算符黠和鹭满足合适的s u ( 2 ) 对称性。方程( 2 1 8 ) 写成有效h p 玻色子的 形式为 mm h h p = 一j a v a j + 1 + q 何噶如+ h c ( 2 3 5 ) 从上式可以清楚地看到由于原子群体的集体性质而导致的原子和腔之间耦合 的增强。两种玻色子之间相互作用的非线性依赖于算符a 。算符a j 依赖于有 效h p 粒子的激发个数。任何非线性作用的强度取决于 和之间的平衡。 为了求解，可以把鸟作如下级数展开 如：喜d 赫掣 亿3 6 ， 虽然可以得到这个展开的任意阶，但是一般只考虑介观数目的二能级原子被放 在一个腔内，也就是说，对于任意歹截取到如= 1 一谚2 + o ( 一2 ) 。物理 上，这意味着每个腔里的原子数必须足够大从而使得h p 变换有效，同时又需要 足够小从而避免遮盖任何的非线性效应。把截短的如表达式代入2 3 5 中，我们 可以清楚地看出非线性机制的形式 竺善m(q侧一一茄6j2aj+hchhp j a ；a i ) ( 2 3 7 ) 竺( q 侧一 十一蔫6 j 2 ) ( 2 j = l 一1 8 一 第二章腔电动力学以及莫特绝缘到超流的相变 项q 何 吗+ c ) 是两种模式的二次型变量，是线性的。而项q ( 谚2 + h c ) 2 何包含了相互作用中非线性的性质。 这里，我们引入超流序参量妒= ( a i ) 。把它设为实数，并且运用退耦合近似 有 耐= + ( ) 口j 一 ( ) ( 2 3 8 ) 代入方程( 2 1 2 ) ，得到的平均场哈密顿量可以写为单个点的求和 日m f = 可c z 仡妒( o j + 锄) + 名仡l 砂1 2 一p ( o ! o t + 对町) 】，