（理论物理专业论文）量子纠缠理论的若干研究.pdf

摘要 本文前三章介绍了有关量子纠缠态的一系列基本概念，和迄今为止在纠 缠态若干研究领域的最新进展。在后三章，我们将从这三方面对量王趔焦进 行研究。 在第四章，我们给出可分离量子态的一个充分必要判据，我们给出的这 个判据原则上是可操作的r 目前文献上已得到的所有的两体可分离态的判据 要么是可操作的必要性判据，要么是原则上难以实现的充分必要判据) ，在 所给定的量子态的非零本征值较少时，此判据计算起来很方便，另外在判定 的同时此判据将可分离态的分解形式直接给出。，t 在第五章，我们对一种纠缠程度的度量，即相对熵纠缠度进行研究。我们 给出计算相对熵纠缠度的两个定理及其应用，其中定理1 为v e d r a l 和p l e n i o 定理的推广，利用这两个定理，可以很方便地计算出两类两体量子态的相对 熵纠缠度。相对熵纠缠度的计算对多体量子态的纠缠研究也是很有用的。 第六章着重讨论多体纯态的纠缠，并将证明以下结论t ( 1 ) 推广了的 g h z 态并不能代表所有的多体量子态的纠缠方式，从而t h a p l i y a l 等人的猜测 是错误的；( 2 ) 通过推导给出三体g h z 可约态的一些基本性质( 若一个m 体纯态可以通过单体的量子变换和经典的信息传递渐近地等价于一系列2 ， 3 ，4 ，i n 体g h z 态的组合，则称这个态为g h z 可约的) j ( 3 ) 给出 多体g h z 可约纯态的一些性质 ( 4 ) 利用三体g h z 可约态的性质，讨论相 对熵纠缠度的可加性问题。 文章最后简短地总结了上述结论并分析一下现在尚未解决的问题。 a b s t r a c t e v e rs i n c ei tw 氆sf i r s tn o t e db ye i n s t e i n p o d o l s k y r o s e nf e p r ) a n ds c h r 6 d i n g e r ， e n t a n g l e m e n th a sp l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei nq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y q u a n t u m e n t a n g l e m e n tp r o v i d e ss t r o n gt e s t so fq u a n t u mn o n l o c a l i t y ，a n di ti sa l s oau s e f u lr e s o u r c ef o rv a r i o u sk i n d so fq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，i n c l u d i n gt e l e p o r t a t i o n c r y p t o g r a p h i ck e yd i s t r i b u t i o n ，q u a n t u me r r o rc o r r e c t i o na n dq u a n t u mc o m p u t a t i o n n o w ，o n eo ft h ek e yo p e nq u e s t i o n si nq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r yi sh o wm a n y f u n d a m e n t a l l yd i f f e r e n tt y p e so fq u a n t u me n t a n g l e m e n tt h e r ea r e i tw a sk n o w nt h a t a s y m p t o t i c a l l yt h e r ei so n l yo n ek i n do fe n t a n g l e m e n tf o rb i p a r t i t ep u r es t a t e s ，a n y p u r ee n t a n g l e ds t a t eo ft w op a r t i e s ( a l i c ea n db o b ) m a yb er e v e r s i b l yt r a n s f o r m e d i n t oe p rs t a t e sb yl o c a lq u a n t u mo p e r a t i o n sa n dc l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n ( l o c c ) a s y “p t o t i c 出1 y f o r m u l t i p a r t i t e p u r e s t a t e s ，i t i s m o r e d i f f i c u l t t ou n d e r s t a n d t h e t y p e s o f e n t a n g l e f u e n t h w a sn o tk n o w n w h e t h e r t h e e p r s t a t e s a r e t h e o n l y t y p eo f e n t a n g l e m e n tu n t i l t h er e c e n tw o r ko fb e n n e t t - p o p e s c u r o h r l i c h s m o l i n t h a p t i y a l ( b p r s t ) ，w h i c hs h o w s t h a tt h e4 - p a r t yg h zs t a t ec a nn o tb er e v e r s i b l yt r a n s f o r m e di n t oe p rs t a t e sb yl o c c a s y m p t o t i c a l l y f u r t h e r m o r el i n d e n p o p e s c u s c h u m a c h e r w e s t m o r e l a n d ( l p s w ) h a d s h o w nt h a tt h en p a r t ) , g h zs t a t ec a n n o tb er e v e r s i b l yt r a n s f o r m e di n t oa n yc o m b i n a t i o no fk - p a r t ye n t a n g l e dp u r es t a t e sf o ra l l 女 0 ，而 1 妒7 ) ，江0 ，1 ，) 为。体系的任意归一态，可以相互 不正交。( 以下我们约定，用d i r a c 符号表示的态矢都为归一化态矢) 。以上 两种写法实际上是等价的，把前一展开式中每个p a 都按本征基矢展开即得 后一种展开式。 可分离纯态有很直观的物理含义，而可分离混态可由可分离纯态仅仅通 过各体系局部的量子操作和经典的信息传递而得到( 参见第二章) 。这里局 部的含义是各体系内部的意思，局部的量子操作包含局部的幺正变换，局部 的测量，某体系附加一个体系，某体系对其中子体系的测量等等。经典的信 息传递是指各体系之间可以通过经典途径交换经典信息。 一个m 体量子态若不是可分离的，即不能写成( 1 4 ) 或( 1 5 ) 式的形 式，我们就称它为纠缠态。如下形式的b e l l 基： 咖士) a b = 妒士) b 击( 帅) 士m ) ) 历1 ( 士i l 。) ) ( 1 6 ) 就是两体纠缠纯态。我们常把i 好) 。j 妒) 简记为l 卵蜉) ，同理，把 l 甜) ( 蟛i 。i 蜈) ( 妒i 简记为i 卵i “k b ) ( 蟛a v 。b j ，在不引起混淆时，常 把上标a ，b ，省略不写。如下形式的态 p a b = a i 曲+ ) ( 西+ i + ( 1 一a ) l 西一) ( 一i ( 1 7 ) 当a 时，为两体纠缠混态。三体g h z 态 阮b g ) 2 丧( m ) + 1 1 1 1 ) ) ( 1 8 ) 是三体纠缠纯态的例子，通常把与这个态相差任意局部幺正变换的态也叫 g h z 态。后面我们将用到推广的g h z 态。m 体的推广的g h z 态是指如下形 9 式的态 肌m ) = 了嚣1 ( 妒”州i ) 。“) ( 1 9 ) 三赤( 彻o ) + 1 1 ) ) 1 ，、一，_ - 一 及与它相差任意局部幺正变换的态。推广的g h z 态是多体纠缠纯态的典型 例子。 事实上绝大多数量子态是纠缠态 可分离与纠缠的定义是很明确的 而纠缠态中纠缠混态又占绝大多数。 但对给定的量子态判断它是否是可分 离的却很困难，原因是( 1 5 ) 式中的i 蜉) 并非体系a 的正交基矢，而是任意 归一态矢。现在还没有一种办法能很方便地判定一给定态是否可分离。即使 对于两体量子态，可分离的判定仍然没有彻底解决( 参见3 1 节) 。 5 1 3纠缠态的用途和定量描述纠缠程度的意义 在1 9 3 5 ，爱因斯坦等提出e p r 佯谬 2 时就已经注意到量子态的纠缠特 性，b p r 态和s c h r o d i n g e r 的猫态【3 都是纠缠态。它们表现出不能用定域实 在论解释的量子特性。量子纠缠已是量子力学的一个重要特点，量子纠缠对 b e l l 不等式 4 】的违背的实验验证树立了人们对量子力学基本原理的信心。 近期以来，量子纠缠作为一种重要的资源已广泛地应用于量子信息处理 和量子通信。著名的量子态远程传输 6 ，7 纠缠的传输【8 1 0 量子密匙分 配 1 1 1 3 】，量子纠错 1 4 ，1 5 ，量子计算【1 6 2 1 等等本质上都是利用了量子纠 缠这一基本资源。量子纠缠也体现在对量子位相的研究中，因为多粒子体系 的量子位相差本质上反映的就是多粒子量子态的纠缠特性 2 2 ，2 3 。 量子纠缠在量子信息论中的重要地位使得对量子纠缠的定性和定量描述 显得尤为重要。但是到目前为止，量子纠缠程度的描述仍是一个十分棘手的 问题。现在只有两体纯态已研究清楚，而对于多体的纯态和混态，怎样描述 3 量子纠缠的程度仍是亟待解决的关键性问题。 第三章将对两体纠缠作一详细的介绍，介绍几种两体纠缠度的定义和性 质。第四章将给出可分离态的一个充分必要判据。第五章将对其中一种纠缠 度一相对熵纠缠度作一些研究，给出计算相对熵纠缠度的两个定理。第六章 将对多体纯态纠缠作一些研究，指出推广了的g h z 态并不能代表所有的纠 缠类型，并给出g h z 可约纯态的一些性质。 4 第二章多体量子纠缠的度量与局域操作 2 1纠缠的种类，l o c c 与l o c c a 定量地描述纠缠，首先要有等价的概念，等价的纠缠态具有同样程度的 纠缠。以下介绍l o c c 等价和l o c c a 等价的概念。本节只讨论纯态的情况。 局部的量子操作包含局部的幺正变换，局部的测量，某体系附加一个子 体系，某体系对其中子体系的测量等等。经典的信息传递是指各体系之间可 以交换经典信号。从数学上说，l o c c 是一个如下形式的超算子 l = l i p l + ( 2 1 ) i 其中 l 。= l ? o 工# o ( 2 2 ) 为局部算子的直积，满足迹不增条件： l + l is1 ( 2 3 ) l 以后我们经常用到的l o c c 大多数是保迹的。 如果只通过局部的量子操作和经典的信号传递( l o c c ) ，就能将纯态 i ) 转化为纯态j 圣) ( 即存在保迹的l o c c 超算子，使得圣) = l ( i 皿) ) ) ，则 称 ) l o c c 可约为垂) ，记为l 皿) 骘。j 西) 。若j 皿) 。驾fi 垂) 且i 垂) 驾fl 皿) ， 则称i v ) 和l 币) 是l o c c 等价的，记为i 皿) 。粤g i 垂) 。 如果i 皿) 与l 垂) 只相差局部的幺正变换，即 i 垂) = u a o u s j )( 2 4 ) 我们称j m ) 与j 西) 是l u 等价的，很显然，它们也是l o c c 等价，即有j ) 普g i 西) 。b e a n e t t 等人证明了对纯态，若有i 皿) 。譬gi 西) ，则i m ) 与i 圣) 只相差局部 5 的幺正变换 2 6 。这说明，对于纯态，l o c c 等价与l u 等价是一回事。有了 l o c c 等价的概念，自然想到要寻找一组基本的纠缠态 妒- ) ，j 妒) 2 ，j 妒_ ) ) ， 使得对任意m 体纯态| 皿) 有： i 皿) 普gj 妒1 ) 。n t 。l 锄) 。n 。 i c n ) 。n ” ( 2 5 ) 这样，i 田) 态的纠缠程度就可以用一向量( 7 1 , 7 。，n n ) 来表示。但是不幸 的是，即使对两体纯态( m = 2 ) ，这样一组基本纠缠态的数日也是无穷多 2 7 ，2 8 。因此，仅仅用l o c c 等价来度量纠缠度是不可取的。 如果对任意6 0 ，( 0 ，存在正整数n 2 和l o c c 操作三，使得 i 薏一1 i l o c c 渐进可约为】垂) ，记为1 皿) q 擎。1 m ) 。这里 f ( 1 母) ，i 妒) ) = l ( 毋 妒) 1 2 ( 2 7 ) 为i 砂) 相对l ) 的置信度，它表示两个态的接近程度。 若i ) 呼8 | 圣) 且i 母) 。罂。i 皿) ，则称i 皿) 与i 垂) 是l o c c 渐进等价的 ( 或l o c c a 等价 ，记为1 屯) 警。1 圣) ，其含义是，当n _ 。时，n 份i 皿) 态可用l o c c 变换到几乎同样份数的i 西) ，反之亦然。 如果存在一组纠缠态= i 妒- ) i 妒z ) ，i 灿) ) ，使得任意m 体的纯态i 币) 都可以l o c c a 等价于这组纠缠态的组合，即： i m ) 。警4 。- 。：o 。) 。”( 2 8 ) 则称这组纠缠态g 。为m 体纯态的可逆纠缠生成组( r e g s ) ，当g 。中纠缠态 个数最少时，称g 。为最小可逆纠缠生成组( m r e g s 。上式中x i ( i = 1 ，) 为任意非负实数，也是在渐进意义下的。i 妒) 警。j ) 。”的含义是指，对v6 ， e 0 ，j 正整数n t 和l o c c 操作三，三，使得i 嚣一；i ( 一一m ( 3 1 2 ) 直接计算可得1 c h s h ( p ) = 0 而i c h s h ( p ) 0 。 这种方式定义的纠缠度违背了对纠缠度定义的基本要求( 之三) 。也就是 说，用对b e l l c h s h 不等式的违背程度来度量纠缠度不是很好的。因此，用 b e l l c h s h 的违背与违背与否也不足以区分可分离态和纠缠态。遵守b e l l c h s h 不等式只是可分离的必要条件，并不是充分条件。 ( 2 )部分转置正定判据( p e r e s 判据) p e r e s 判椐：两体量子态舶口若为可分离态，则它的部分转置矩阵以t b b ( 或 p 盔) 半正定。等价的说法是：可分离态p a 目的部分转置矩阵p a t b b ( 或“t a 日) 也是一个密度矩阵。其中部分转置的含义是： 一t 。b b = ( i 。8 一n b i j b ) 。i j 8 ) ( i b i ( 3 3 ) ” i 8 ) 为b 体系的任意一组取定的正交归一基。 证明：这个判据是很显然的，既然 p a b = p 。p ， p 尹 ( 3 1 4 ) i 则 p 盈= m ? o ( p 尹) 1 ( 3 1 5 ) t 显然仍是一个密度矩阵，即仍然是半正定，迹为l 的厄米阵。 可以证明，对于两体问题，当其中一体系态空间维数为2 ，另一体系态 空间维数为2 或3 时，p e r e s 判据是可分离的充分必要判据。但是对于其它情 况的两体量子态，p e r e s 判据不是可分离的充分条件。例如，考虑h o r o d e c k i 3 5 】引入的a 、b 体系态空间都是3 维的弱纠缠的纠缠态t p a b = r 举丽( 口 i o o ( 0 2 i + l l o 0 0 十i n 2 1 ) + 口 1 0 0 ) ( 1 1 l + 1 1 1 ) ( 0 0j + j 0 0 ) ( 2 2j + 1 2 2 ) ( 0 0 i + 1 1 ) ( 2 2 i + 1 2 2 ) ( 1 1 1 ) ( 3 1 6 ) + 半伸) 0 3 i + 1 1 1 ) ( 1 l + 1 1 2 ) ( 1 2 1 1 2 + b i o o ) ( 1 l + 1 1 1 ) ( o o l + 1 0 1 ) 0 2 1 + 1 1 2 ) ( o l l + 1 0 2 ) ( 1 3 1 + 1 1 3 ) ( 0 2 1 ( 3 1 7 ) + 下l + b 【| 1 0 ) ( 1 。i + ( 1 3 - - - 1 5 一- - 舭- i 1 0 ) ( 1 3 i + ( 1 哪 它们都是纠缠态，但其部分转置的矩阵都是半正定的，即p e r e s 判据此时不 能起判别作用。 ( 3 ) h h c a g 约化判据 最近h o r o d e c k i h o r o d e c k i 和c e r f - a d a m i g i n g r i c h 3 6 ，3 7 】提出了另一个必要 性判据。首先，引入一个变换r ： 有 f ( p a b ) = i a0 ( t r a ( p a b ) ) ) 一p a b( 3 1 8 ) h h c g a 约化判据：p a b 为可分离态的必要条件是f ( p a b ) 半正定。 证明：对可分离态 p a b = p i p p p 尹 ( 3 1 9 ) i ao p l p i b 一p 。p ? o p 尹 p ，( i a 一户? ) 。p 尹 ( 3 2 0 ) 因为p ? 的本征值都为不大于1 的非负数，所以r ( p a b ) 半正定。 c a g 证明了，对于两体问题，当其中一体系( 如a ) 态空间维数为2 时， h h c a g 约化判据与p e r e s 判据是等价的 3 7 ，因此，h h c a g 判据也只是一个 必要性判据，不是可分离的充分条件。h h c a g 判据对式( 3 1 6 ) 和式( 3 1 7 ) 中的例子同样也失效。 1 3 ( 4 )“一熵不等式 一个擐子态p 的m 熵s 。( p ) 定义为； 兔( p ) 一击i n t r ( 矿) ( n 1 ) 当a _ + 1 时 ( 力4 s ( 功= 一t r ( p i n p ) 兰s i ( p ) n 。熵不等式定义为： ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) s a ( p ) i m = a a , 。b 曼 妒i ) ( 3 ，2 3 ) 其中m 为i 体系的约化密度矩阵。可以证明 3 8 ，两体景子态为可分离态的 必要条件是它满足当o = 1 和2 时的n 一熵不等式。 5 )纠缠度判据 程下一节申我织将绘出几种缨缝度麴定义。爨为可分离态翡缄缠度为 0 ，纠缠蹙为0 就自然是霹分离麴必要条传。但是纠缠废本身豹计算蠢对簧 爆裂霹分燕态熬逡秀舞楗对壤纠缝发) ，困貌，哭程菜些特殊 脊琵下这种判 据才是霹操作鼢。下一节串将对几种绸缝度其体讨论，不在忿累藏。 据。 3 ，1 ，2 充分必要粼据 下面不加证明遗给出h o r o d e c k i 3 9 的两体可分离态的两个充分必要判 ( 1 ) 两体量子态p 是可分离态的充分必要条件是对满足 t r ( n ( p a p b ) ) 0 ( v j ，如)( 3 2 4 ) 1 4 斡任意蘧米筹予q ，都膏； r r f 绺) 0 f 3 2 5 ) 其中翰，殆分稍是a 体系和b 体系态空间的投影算子。 一个从算子到算予的影射a 如果满足：对任意半正定算子p ，a p 仍为 半正定算子，则称此影射a 为正影射。 ( 2 ) 两体量子态尹可分离的充分必要条件是，对在b 体系态空间的任 意正影射a 8 ，( i aoa 暑) p 仍然半正定。a 口表示这个影射只馆熙农b 体系 态空间的算子上。 这嚣个条件都是充分盛簧静，毽并不好籍，镶如第2 ) 个，簧穷尽所 有翡正影射a 8 藏不容易。事实上，斑该存在一维茁影射，这缎正彰射可；扳 代袭所有的正影射幻，这样| 霹磁就可搡俸。僵这样的一组芷影射本身也不 太好找。当取定菜个藏影射如时，就得到w 分离态的一个必簧条件。事实 上，上节申的部分转鬻和h h c a g 约纯判话就是分剐取定了一个正影射而瑜 出的必要条侔。 3 2 几种量子态纠缠程度的度量一纠缠度 在上带中，已经讨论过用对b e l l c h s h 苓等式鲍违背程发寒度量纠缠程 度鲍方法，但发褒是苓够好的。奉节余缨足摊秀俸纠缠发静定义。 3 2 1 部分熵纠缝度 当两俸量子态怒予纯态 妒) 日时，部分爝纠缠度定义为： e p ( 1 妒) ) 兰s ( p a ) 其中s ( p a ) 为鼬的v o nn e u m a n n 蛾， s ( p a 兰- t r a p a t n p a ) 1 5 ( 3 2 6 ) f 3 2 7 ) 而p a 为a 体系的约化密度矩阵， p a 三t r b ( f 妒) a b ( 妒i ) ( 3 2 8 ) 因为a 、b 总体系处于纯态，有s ( 肌) = s ( 加) ，所以岛可定义为a ，b 中 任何一个的v o nn e u m a n n 熵。 对形如i 妒) oi 妒) b 的直积纯态，有岛= 0 ；x c n l q u b i t 的最大纠缠态 b e l l 基，可得玩= i n2 。为了研究方便，有时把v o nn e u m a n n 熵定义中的对数 底数取成2 ，从而将b e l l 基的纠缠度归为l 。 部分熵纠缠度邑向两体混态的直接推广是v o nn e u m a n n 相对信息熵 e f ，定义为： 1 e i ( p a b ) 兰；协( p a ) + s ( p b ) 一s ( p a b ) ) ( 3 2 9 ) 但相对信息熵包含了经典的信息关联，在l o c c 下可以增加【4 0 ，因此它也 不是对量子纠缠程度好的度量。 3 2 2 形成纠缠度( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) 对两体量子态p a 日，形成纠缠度e f ( p a b ) 的定义为： e v ( p a b ) 2 蜀飘) 莩p i e p ( 1 1 ；f ，i ) ( 3 3 0 ) 其中 p l ，f 瓴) ) 是p a b 的任意一种分解方式。即 p a b = p i i 砒) ( 训 ( 3 3 1 ) i 而昂( ) ) 为) 的部分熵纠缠度，式( 3 3 0 ) 中求极小值是对p a b 的所有 可能的分解方式求的，班) 为任意的两体归一纯态，不一定相互正交。 很显然，有如下性质t ( a ) 当且仅当p a b 为可分离态时，有e r ( p a b ) = 0 。 1 0 证明：当p a b 为可分离态时，有 肿= p i l 卵) ( l 。( 妒纠三p i 弦妒尹) ( 妒产 i ( 3 3 2 ) 从而可知 e f ( p a b ) s n 岛( 陋a ) 弦) ) = 0 ( 33 3 ) t 又e f o ，所以e f = o ；反之亦然。 这条性质可作为对可分离态的一个充分必要判椐。 ( b ) 对于纯态p a b = i 妒) 日( 妒l ，形成纠缠度与部分熵纠缠度相等，这从定 义很容易知道。 一般两体量子态形成纠缠度的计算并不简单，但是对于两能级体系，即 a 体系和b 体系态空间都是2 维时，可以将形成纠缠度直接算出。此时，记 p x - g 三( 。争p 一字) 力b ( 一。一字) ( 3 3 4 ) 算子印不一定厄米，但半正定。设其根为碍，且按递减顺序排列，即 记 p a b p 目i i ) = ? l 。) ( - k l 2 a 3 a 4 0 ) ( 3 3 5 ) c ( p a b ) 兰m l , x o ，a l a 2 一a 3 一a 4 ) 可以证明 4 1 ，p a b 的形成纠缠度为： 邱( p a b ) = 日1 + 、i c 2 ( p a b ) ：) ( 3 3 6 ) 其中： h ( p ) 兰- p l 0 9 2 p 一( 1 一p ) l 0 9 2 ( 1 一p )( 3 3 7 ) 易知勖是c ( p a b ) 的单调函数，即e f ( p 1 ) = e f ( p 2 ) 当且仅当c ( p 1 ) = c ( p 2 ) 。 1 7 3 2 3 可提纯纠缠度( e n t a n g l e m e n to fd i s t i l l a t i o n ) n 份两体量子态p 曰为a l i c e 和b o b 所共享，a l i c e 和b o b 通过l o c c 能 得到e p r 对的个数最多为k ( n ) ，可提纯纠缠度d ( p a b ) 定义为： d ( p a 加恕警 ( 3 3 8 ) 这里l o c c 巾的经典信息传递包含a 肉b 传递经典信息，也包含b 向a 传 递经典信息，即经典信息传递是双向的。因此，d ( p b ) 也攀记为d ：船8 ) 。 摇皋我稍限糕经典镕惠是擎囊传递，郢经典信怠哭能壶a b ，囊b a 传递，剿得到擎离胃提缝鲻缝发 d 1 ( 删；o 骢警 ( 3 3 9 ) 其中t ( n ) 为通过弱部塞子搡佟和经典信怠的单向传递，可莰n 份p a b 提纯 出e p r 对的数目。蔺理，可定义无经典信怠传递的可挺纯绸缠度： ( p a 加毒骧警 ( 3 1 4 0 ) 其中，k o ( n ) 为仅仅通过局部量子操作可从n 份p a b 提纯出的e p r 对的数 日。现在已知的结论是： ( 1 ) 对于纯态l 妒) ，有d ( i 妒) ) = 马( 妒) ) ( 2 ) 玩( p a b ) d l p a b ) 曼d ( p a s ) s 譬f ( 1 妒) 。 3 对缝态有d - ( | 谚) = d f | 矽) ) 降2 j 3 2 4 褶对媾纠缠度( t h er a l a t i v ee n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t ) 对两体蛩予态p a b ，相对熵纠缠度历( 肌b ) 的意义为 4 5 ，4 6 t 马汹占净，嗡s 阮b ”霉) f 3 4 1 ) t 8 其中s ( p a s l i a a b ) 为相对熵 s ( p a b i l a a b ) 三t r p a b ( 1 0 9 2p a b l 0 9 2 8 ) )( 3 4 2 ) d 为全部两体可分离态的集合。 下面介绍以下相对熵及其纠缠度的一些性质。 ( 1 ) s ( p 忪) 0 ，等号成立当且仅当p = a 所以有b ( 力0 ，等号成立当 且仅当p 是可分离态。 ( 2 ) 局域幺正变换不改变相对熵纠缠度。 ( 3 jl o c c 不增加相对熵纠缠度。 ( 4 ) 对于纯态 p a b = l 皿) ( 皿i = 、画i j i l 。，妒。，) ( 咖。：妒。：i( 3 4 3 ) n l n 2 ( f ) 和l ) 分别为体系a 和b 的正交归一基矢) ，相对熵纠缠度等于部分 熵纠缠度，即： e r ( p a s ) = 耳( i 皿) ) = - p 。l 0 9 2 m ( 3 4 4 ) n ( 5 ) 如果p 。是与p a b 最”接近”的可分离态( 即p + 是使b 取最小值时的 可分离态) ，则p 也是与态 m = ( 1 一z ) p a b + x p ( 3 4 5 ) 最”接近”的可分离态( 0 。 ) ( 3 5 4 ) 当无法观测c 时，只知道a 、b 两体处于一个混态： p a 8 ：；1 0 0 ) ( 0 0 1 + 石1 ( 1 1 l ( 3 5 5 ) 这是一个可分离态。上述几种纠缠度定义都给出它的纠缠度为0 ，即不含a 和b 两体之间的纠缠。但当可以操纵c 体系时，对c 体系测量，使它向以下 基投影： i + ) 2 麦( 1 0 ) + 一) 2 亮( f o ) 一 此时a b 体系一定处于i 矿) 或i 一) ，即处于两体最大纠缠状态。这里的 l o c c ( 局域测量) 实现了三体纠缠向两体纠缠的转换。 因为m 体混态的情况可以归入m + l 体纯态的讨论，所以，第六章将专门 讨论多体纯态的情况。 第四章一般可分离态的判定 本文第三章第一节已经对目前文献上已有的两体可分离量子态的各种 判据做了介绍，在本章，我们将给出自己的判据f 5 3 。我们的判据相对于文 献上的判据有这样一些优点：( 1 ) 我们的判据是充分必要同时是原则上可操 作的；( 2 ) 我们的判据在判定的同时给出了可分离态具体的显式分离形式 ( 3 ) 我们的判据对多体可分离态同样实用。 4 _ 1可分离态的一个充分必要判据 在前面我们知道，p n s 司分离是指它可以写成 啪= 鼽f 订妒尹) ( 妒尹i ( 4 1 ) 其中e l = p f