（运筹学与控制论专业论文）一种新的风险度量方式和投资模型.pdf

中文摘要 本文将给出一种新的风险度量方式，它就是利用期望收益率与 收益率之间的差值及出现该收益率的概率之间的乘积( 注：收益率 小于期望收益率才被定义为风险) 。在这种定义和定义式的前提下， 又对它的一些性质进行了推理，用来确定这种方法的可信度及可行 性，与事实是不是相符合? 其中对于多种证券投资组合可以减小风 险的证明较为详细。 由于经典的投资学理论中重点求解的是各种证券的投资比例 问题，而实际生活和操作中考虑的是买卖证券多少的问题。两者有 一定的区别。前者是一个普通的规划问题而后者是一个典型的整数 规划问题，所以在求解过程中可能会有很大出入。而且对于一般的 投资者他的资金并不雄厚，单纯考虑比例毫无意义。因此本文就着 眼于求解证券投资时买卖数量的问题。并考虑到了对于某种单独的 证券其数目有限，允许卖空不允许卖空等问题的限制性。对于求解 该模型给出了两种解决问题的方法：构建新函数法和枚举法。 在本文的最后，介绍了一下本人在证券投资理论方面的一些看 法和见解，并且根据个人的理解，建立了一种新的金融学理论，起 初只是想把它应用到衍生证券理论中去，但经研究发现它也可以用 来解释其他的证券品种。由于现在的证券操作问题很少考虑概率问 题，所以很难找到相应的实际事例的有关数据进行检验的，故这仍 然只是个想法，有待论证和改进。 关键词：风险；方差；风险测度；一致风险测度；下部曲线拟 合法；资产；构建新函数；投资组合。 第2 页共3 5 页 a b s t r a c t t h isp a p e rw i l lg i v ey o uam e t h o df o rm e a s u r i n gr is k i t usest h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h em e a nr e t u r nr a t ea n dt h er e t u r n r a t e i ta ls od e p e n d so nt h ep r o b a b i l i t yo fe v e r ys p e c i a lr e t u r n r a te i nt h isp a p e r ，1w i l lt r y t o p r o v es o m ep r o p e r i e si t s h o u l dh a y ea s am e t h o do fm e a s u r i n gr i s k i nt h er e a lw o r l d ，y o um u s tb u y s o l ds r o c k si ni n t e g e r i nt h es t o c km a r k e t ；t h e r eisa1 i m i tn u m b e ro fe v e r ys e c u r i t y i nt h em a r k e t ：e v e r yi n v e s t o rh a sad e f i n i t ec a p i t a lw h i c hc a n b ei n v e s t e di nt h es e c u r i t ym a r k e t s ob a s e do nt h i sc o n d i t i o n s ， it r yt og i v ey o us o m em e t h o dt os o l v et h i sp r o b l e m a f t e ra l l ， t h i sp a p e rd o e sn o tc o n s i d e rt h et r a n s a c t i o nc o s t i t sa1 i m i t o fm yr e s e a r e hc a nb eu s e di nt h er e a lw o r l d b u ti tr e a l l yh a s s o m e t h i n gm u c hc l o s e rt ot h ew o r l d t h em e t h o do fs o l v i n gt h i s d r o b le mu s e da r et h enewf i l le d f u n c t io nm e t h o d 4 a n dt h e e n u m e r a t i v em e t h o d a t l a s tanewi n v e s t m e n tt h e o r yi sg i v e n t h ec o d eo ft h i s t h e o r yi st h a t ：o n l yt h ep r o b a b i l i t yo fe v e r yr e t u r n r a t ea n d t h er e t u r nr a t ec a ni n f l u e n c et h ep r ic e o ft h es e c u r i t ie s k e yw o r d ：r is k ：v a r i a n c e ：c a p i t a l ；n e wf i l l e d m e t h o d ；p o r t f o l i o s e l e c t i o n ：m e a s u r e ：c o n s i s t e n tr i s km e a s u r e 第3 页共3 5 页 第一章引入 1 风险测度的缘起及现状 自从m a r k o w i t z 创立新的证券投资学理论以来，对证券品种的评价有了风 险和收益双重标准。这种理论与实践相符合，所以得到了很快的发展和推广。对 于金融风险。m a r k o w i t z 提出用与收益分布的均值的偏离，即方差来测度与各单 个资产的收益相应的风险，而在考虑多资产投资组合时，用组合内各对资产之间 的协方差决定该组合风险水平，即c o y 置y 1 _ e x ，明一n x 研明，其中z 和y 为随机收益。而方差作为投资风险的度量方式有着很大的缺陷：风险是未来出现 收益低于预期收益( ， r o ) 或损失的可能性( r 0 ) ，而方差描述的是收益分布 的均值的偏离的偏离情况。 现在新的风险度量方式中以在险价值( v a l u ea tr i s k ，下文简称v a r ) 最为受 到欢迎。这种方法的明确的任务就是回答下面这样一个问题：在确定的概率下， 投资者如何预期将会在某年某月某天损失多少钱? 他的资产有多少处于风险之 中? 目前，v a r 方法正日益成为各金融机构所青睐的风险监控手段。但它究竟是 不是一种正确成熟的风险测度方法呢? 我们的回答是否定的。它也存在着一些缺 陷，比如，我们无法得出多种证券投资可以减小风险的结论。 所以我们仍然需要新的更为先进的度量方式，通过修正已有的度量方式或者 是创新出新的度量方式。本文通过对一些图像的分析，得出了一种风险度量方式： 下部曲线拟合法来度量风险，针对的就是现在资讯发达，证券交易图像便利这个 特点，利用图像来描述风险。 2 投资模型的说明 证券投资学模型的创立还要追溯到1 9 5 2 年，m a r k o w i t z 发表的文章 p o r t f o l i os e l e c t i o n ，在这篇文章中，提出了证券投资风险和收益的双重 度量标准。在以后有了很多很重要的应用。比如：作为一个理性的投资者： ( 1 ) 当风险一定时，投资者应该追逐最大的收益率。 即：m a x ， s t 占= c 第4 页共3 5 页 注：r 表示收益率： j 表示风险； x 7 表示投资比例向量 ( 2 ) 当收益一定时，投资者应该尽量避免风险。 即：m i n 占 s t r=c x r e = 1( i i ) 同上。 ( 3 ) 当两者都不确定的时候( r 和巧) ，即两者寻求某种均衡的时候 即： m a xf ( x ，占) s t x 。e = l( i i i ) 其中f ( x ，占) 表示由，和j 来共同决定的一个函数。通常情况下下就是两者的加 权线性表达式。 其中，当收益恒定的时候来寻求风险的最小化在风险控制中经常用到，有着很 强的现实应用背景。本文就是对收益恒定求解风险的最小化( i i ) 的基础上进行 修改的。根据证券购买数量需为整数的特点引入了整数非线性规划问题，根据总 资产有限引入了资产限制的问题。在这方面也有人做过类似的工作，本文最大的 着眼点不同是虽然总资产c 是一个固定的数值，但为了目标规划的尽量优化，给 出了一个小范围，意思就是说在当按照无整数要求，最优投资数量有小数出现 时。我们无法按照该向量中的数值买卖证券，因此我的总资产有一定灵活变化的 范围( c c o) ，可以在这个范围内选取晟小的风险值作为最优解。这与现实 是很相符的。假设现在总资产额为1 0 0 0 元，有一个很好的投资组合它的总市价 为9 9 9 元。在允许总资产有小量变动的基础上，我们可以选取该种投资组合。 在此基础上，来求解证书非线性规划问题。使用了构建新函数法( 3 2 ) 4 和枚举法( 3 3 ) 。枚举法根据该模型的一些特点设计出来的，由于很难确定可行 性方向，所以采用了逐一对比的方式进行选择排除使得该方法过于复杂，对于中 小投资者或许有一定的借鉴作用。希望以后能够想出更好的方法来代替。 第5 页共3 5 页 ( 3 ) 葡戆搜资学理论的提出 1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 两入提趣著名的b l a c k s c h o l e s 衍生证券定价 模型戳来，该搂黧艘了餐生证券理论挽捺的计冀公式。不警憝褥生涯券剐霹起步 匏鞫家( 篷菇孛黼，去年7 莠缢宝镪投诞豹接旨为蠡恚，审瓣辑生证券在尘封了 多年之后又复活了) 还是有着比较发遮的金融市场静国豢( 如美国) ，都是以该 模型来推算衍生证券的合理价格。可以说该模型左右着衍生 雁券市场。但一些比 较苛刻的条件在现实中是很难实现的。谜也是衍生证券在中豳很难有健康发展的 重要原因。当我研读 t h em a t h e m a t i c so ff i n a n c e ：m o d e l i n ga n dh e d g i n g 1 6 时候，我发蛾这释定价模型它的锻熏要的两个前提条转：( 1 ) 没有无风险套 葶l 橇会( 2 ) 涯券鹣蜀复利性。 本文献b l a c k - s c h o l e s 模型中一个缀篱单麓小搠题努始震开谵述，并提斑 新的衍生证券投资带理论。该理论的梭心是收益和产生该收髓的概率决定证券的 价格。但后来发现，这种模型似乎也可以解释其他的金融市场，并进行了论述。 由于缺少现实的溉测数据( 在现在的观测数据中很少会有概率的概念) ，所以这 种理论没有现实攀绷作为依托，仍有待于发展和完善。但相信它的某些观点是符 合实际的，将来必定会发展起来。 第6 茭共3 5 夏 第二耄下部曲线拟台风险度量方式及冀性质 ，菇睦度董方式携缝窭 在现实证券投资过程中，我们可以利用历史数据和现状的一悠数据来描绘出每一 种证券的市场价格难势来。根据描绘出来的图像，我们可以计算出平均收益值， 预测收益值。那么同样我们可以剥用图像来描绘出风险的大小。如俺描绘? 首先 我 | 、j 应该先来确宠以下菇险约定义。程逶常鲍情况下，风陵被定义兔未来收益攀 基于羲麓浚盏零躐蠹出褒损失熬可懿魏靛大小。簌定义中霹叛器窭，有琵季孛蕊瓿 被定义为风险：( 1 ) 未来收益率小于颥期收益率；( 2 ) 如城裰失。因为两种情 况并非等同，因此需要给出另一种风险的定义，择其一种情况进行论述。 定义1 如果未来收益攀小予预期收益率，这勰被称为风险。 根据证券市场上变易规刚的不同，像般蘩，衍生证券更多的被视为一种连续函数， 而对于债券和纂愈它们由于一天或更恢时间交易一次，可以蒋成是离散的数列。 因此根据这种情况，我们给出一下两种图像： i 董r 。0 ：= = o 、。 - 1 | - j ： 纛_ _ i 厂 1 i _ ；篝 o 、 一 一蓼i ；j i = | l ! ；10 t i 7- 第7 页共3 5 页 ， r 基( f ) ， o t 、 ， ： ：j_ i _ _ = 二。iij ( 2 ) 从图像中可以看出： ( 1 ) 若为滚续函数： f ( 黝一磅黼掂璋勒一吩l ， 黝) 注：p 是该种证券的价格： 钛一p 到霸”簸是说当投资于诞努愆时候，最多熬矮必馕藏是该涯券瓣馀 格，当收蕊超避嚣 r ) 时就已羟不算风险了。 ( 2 ) 若为脊限离散数列 瑟毯力一漓 剐净删一r r 剐) ( 3 ) 若为炎限离散数列 【( 珊一i ) f 酬= 础力一，f ， 联力) 遥过三秘髑溅分类分亳军得到了黼撵黪公式，所鞋熙这襻一秘方式亲度鲞风 险：姿霹麓夔泰潦筏夔蓬枣子羲蘩浚豢数蓬雾季，霆臻赣竣豢壤减去该可麓毂薤德 乘上该可能收盏德发生的概率。这种风羧的度量方式就被称之为下部趋线越台风 险度量法。 第8 页熬3 5 员 即：e ( e ( ，) 一rl ， e ( ，) ) 因为对前面连续函数，离散数列都进行了分析，所以该种风险的度量方式对 所有金融市场都是可行的。 上面是关于单独的投资品种的风险公式的给出，对于多种投资产品的组合该 如何计算出了昵? 定义2 当两种投资产品组合的时候，设两种产品的投资比例为 。 则该两种投资产品的组合风险为： e m l e ( r x ) + m 2 e ( ，2 ) 一m l _ 一m 2 r 2 l m l + m 2 r 2 m 1 e ( ，1 ) + m 2 e ( r o 说明： m ，( i = 1 , 2 ，n ) 为1 1 中证券的投资比例。 聊l + 脚2 + + m n = 1 所谓拟合就是从这里得来的，从图像上来看，就像两个图像的下部按照一定 的比例组合在了一起。 下面我将对该种风险度量方式的一些性质进行论述和证明。 2 该种风险度量方式的性质 性质1 ( 次可加性) 多种证券投资组合可以减小风险。 证明： 要证明原命题其实也就只需要证明对于这n 种证券有下面的不等式成立 ( ”2 ) ： e 【 ，2 r n 捌ee ( - ) 一h e ( f j ) j = l 第9 页共3 5 页 、j，l em 。 r所 。 rm 。 一 、j r ，l 【】坍 现在来潘一下，不等式( 1 ) 鹩左边可敬进行变换： 而不等式( 1 ) 右边为： 小，e 月( ) 一，h f = l e ( r ，) 】 获土嚣豹疆个式子我蠢霹戳蓍刭： 如果对于v i ( i = 1 , 2 ，n ) ，我们可以得到； e 【e ( ) 一l 杰小，一 妻m 。e ( ) 】蕊e ( e ( ) 一 e ( ) 】 成立。那么不等贰( 1 ) 显然也是成立的。 下面让我们来对集合 lj 耋埘，l 萎肌。e ( r 1 ) ) 进行分析，将其分成两部 分： - | r ， e ( t ) r j lr f e ( o ) ( 1 ) 对于p a r ti r t j r i e ( ) i 所以我们得到： 互【五( ) 一1 0 ，、m ，o m ；e ( r 。) ；( p a r ti i = 1f = 1 hh n m ，o 州，z ( r ，) ) j = ti t l ： h n i n i r i m ，露( ) ) c r j f r i e ( 0 ) l ；1f = l e ( r i ) n 撒，t m ；莒誓) 】 ，= l拉1 第l o 页共3 5 页 = 、， ， ，l 目m 。 r卅 。 rm 。 一 、， r ，l em 。 r 【 e 、，、， r ， e孵 。 r撇 。目 r 一 、， 尹 ，t 嚣 ，t 嚣珑 。h e 【e ( ，) 一r ，i e ( r ，) r ， ( 2 ) 对于p a r ti i ： ，e ( ，) 一，0 - e 【e ( ) 一i e ( r j ) n m 卅，e ( _ ) 】 0 获( 1 ) 窝( 2 ) 溪辩分豹证羁，藐稻 蕤窭暴褥至l 这群一个缝谂： e e ( r ，) 一r ，i e ( ，。) ，fl 掰鞋毪凌1 餐迸。 性质2 ( 平移举变性) 对已有的投资组合中增加无风险收益诫券品种( 保持对已肖的投资品种投资额不 变) ，投资组合的风险不会增加。 涯饔： 要证明原名题，溉需要证明： e e ( r + a r o ) - ( r 十) 卜+ e ( r + a r o ) = e e ( r ) - r l r e ( ，) 】 注：r 。为无风险收蘸率； 掰秀经绘鲍一个实数。 e e ( ，+ 口) 一( r + a r 0 ) i t + 口r o e ( r + 口) 】 e 【e ( r ) 一，卜+ a r o e ( r + 口) 】十e e ( a r o ) 搿l ，十口h e ( r + x r o ) 】 o 气受无风羧牧蕊率 e ( r o ) = r o 第1 1 页共3 5 页 1 j、， ， l e辨 。h rm 。h r一 、， r ，l e r 【 e e e ( r ) - f i r + c a o e ( r + o v o ) + e e ( o v o ) - c a ”o i r + a t r o e ( r + 钒) 】= e e ( r ) - r i r + o e ( r + a ) 】= e e ( r ) - r l r e ( r ) 1 。蝗囊2 霉注。 性质3 下部曲线拟合法测最风险满足正齐次性 郛对柽给斡一耱潺券均满足： 五汪( 口) 一甜眵嚣( 凹) 】= a z e ( r ) - r p o ) 证明： e e ( a r ) 一甜防e ( 甜) 】= e 【趔( r ) 一鲫卜 e ( ，) 卜 瑾互【互( r ) 一f i r 霉) 】 所以性质3 得诫。 在用方差测度风除的时候，在浸i 度磁；静证券缀合减小风险的效果时，g l 入了相笑 系数，袋褥涎稳证券之阕减小照羧熬簸栗一嚣了然。耍么褒在按照提嚣懿 方式，也绘窭下鬣貔一个定义。 仿照方差测废风险中蛇榴关系数，定义： 定义3 令 j ，= m 。e ( 羼( 1 ) 一k 岳( t ) ) ，使得它满足：令 p=j1 + 秽2 + 一艿。一芩l ，2 。，称p 为减少风险量。 性质4 第1 2 页共3 5 页 、， r ，l em 。 o ，噩i p 旗+ 磊+ + 瓯 绣鞋小予号部分餐透。 现在关键证明等号也成立。 我稻只需簧证鞠蜀两种不瓣的证券存在“= ”情况，多种证券阕理可褥。 先来看一下下面的豳像： i 麓 ：- 。、誊， 、= 。荔誓1 。_ _ _ _ ，+ j i 。，、0 i ， _ ；= _ ； 一夕。 j 净。- - 。 i | 一曩。 ，l ie c 噱 _ 带 j 、 。 i ， n _ 。 x ( 3 ) 像这秘琵拳孥证券懿惫势方囱正努稿爱，在疑一个瓣蠢，努疑离其乎臻收益搴 的比值为b ：a 恒定的。在这种特殊情况下，如果我们按照b ：a 的比例买入该 诞券，搿以得戮无蕊险牧益率为鬲b互( 。) + i i 嚣( 如) 。在这种情况诞券，搿以得萋| 无蕊险牧益率为鬲左t 0 ) + 而点( 如) 。在这种情况 下，两辫汪券鑫鲁缀合风验倍葑受零，也帮：p = 艿1 + 万2 ； 所以性鹱4 褥通。 链震5 p 越大，则风险缀合减小风险的效果越明显。 第1 3 页共3 5 页 及p 夔定义中哥敬塞搂褥涯，凌l 毙省珞。 由性质l 到性质3 ，我幔可以得到下部曲线拟合法佟为一种测度鸯一致风险测 发。符合髂为风险镄度的基本条件，所以这种风险的度量方式邂是有很强的应用 性的。 再联系一下投资缝合学理论，我稍霹班将矮矧趣题( i i ) 掺竣魏： m i n 万l ，2 ，” s t ，= e 搿oe = 1 谯质6 用下部曲线拟合法测得的风险怒关于投资比例的= 次晒数。 涯夔： 垅，0 臌，e ) 】 明显我们可以看出它鼹一个关于；( i * 1 2 ，”) 的二次函数。 掰以性质6 得证。 豳上面的性质6 可以糟到，用下部曲线拟合法来度量风险的时候，对于规划问题 ( i i ) ，与髑方差求褥豹风险又缀丈戆捃议馊。在下嚣第三章戆讨论孛，爨数方 麓的度量方式来思考的，可以抵皖下部曲线拟合法来度量，不改篪规划问题( i i ) 的解法。 用这种方式来度量风除，还发现可以用一种方式来区分投资者： 设：p 是风险发生盼概率( 对整体收益来说，低予预期收益熙泰寒可能收菇的概 漆之帮) 。 ，为预期收黼率 珞燕门槛翻攀。大多数蔫烫下可以看成是茏风险稠牵。 第1 4 贾共3 5 页 。目 r所 。 一 、， r ， e 辫 。 r l e 勰 # r 2 艿 鹾0，t gm 。域 强 ( 2 ) r p f i = r o ( 3 ) r 一p d 避险型投资者 中立型投资者 冒险型投资者 第1 5 页共3 5 页 第三章对证券投资学规划模型的修正及算法 1 对证券投资学规划模型的修改 让我们还是先从m a r k o w i t z 的投资组合模型开始 m i nx7 x s t x 7r = r 0 z 7 9 = 1 ( i v ) 表示投资品种之间的协方差矩阵。 在这个模型中，我们很明显可以看到，我们通过算法努力去求解是各种不同证 券的投资比例。而在实际中我们需要考虑的问题是卖多少的问题。这两者时一样 的吗? 很明显，在实际证券买卖操作的过程中，买卖的数量必须为整数。这于无 任何限制的投资比例便有一定的差距。再来想一下，不论是什么样的投资者他的 投资总额基本是固定的。也就是说资产总额也是个很重要的限制条件。而上面的 模型中没有对资产总额的限制。所以我对原模型进行了修改： m i nx7 x s t x 1p c x1 ，c ro x ，l 三， r = ( j l ，工2 ，一并。) 。 注：蕾( i = 1 , 2 埘) 是整数； 三f ( 扛1 , 2 n ) 是对于第i 种证券在市场上流动的总量 p 为价格向量： ( v ) 第1 6 页共3 5 页 为预期收盏举； c 为慈资产。 这里需要说明的楚上面的模型( v ) 麓针对允许卖空的情况下才有效的。当 不允许卖空的时候，条件i z ，fg 五f 需修改为：0 薯。 即需要保证每种证券都不能够囊空。 在下覆的联毒谂述藉涯嗳孛，都怒叛究 年卖空舞毒蓍挺瓣。 在这里需要婚别指明的是： 对于大多数的投资者来讲，他们的总资产额要远远小于莱种股票的总市值。 即：c 0 令： 第1 9 页奘3 5 夏 g ，c r ，= 一2 r3 一0 = 世耸等竽趔 其中：， 0 为一个参数5 x + 为舰划问题( v 1 ) 的离散局部极小点。 考虑下面的趣题： m i nt o ( x ) 并x 一 三。= x x ：| | ，( 苫) f ( x + ) ， m i n ( ，( x ) 一，( ( x ) ) ( v 1 1 ) e l 则，我们可以推导出f ，( x ) 舆夜下列性质： 定理2 第2 0 贾熬3 5 页 2一r ，l ，fl t& 设 ( i ) ，对任给的工x ：，如果有r o 成立，则有，( x ) f ( x 4 ) 镣价于 t ? 善1 ( i i ) ，x4 x ；不是原问题豹整体最小馕点，当鼹仅当l ：， 芦。是 个正数。 o ，茗x ；，叁炎习苁x + ) 都霹酸簿蘩； f m 卜矿南百+ 1 l 另外，当r p o ，对于x x ：，( x ) l 可以推导出； ，( 功，o ) 因为，风，如果厂( 砷，o + ) ，则可以推导出 f ( x ) - f ( x ) s r ，麟墩我嬲霹啦褥到： f ，( x ) = ，( x ) 一f ( x4 ) + ，0 成立- ( i i ) ，x + 不是问题( v i ) 的整体媛小值点当且仅当存在一个点( 设为x x ：) 滚足：，( 曲 - f ( x ) 成立，刚巧，如) 互，- ( 而) 瓶等价于 | l x ，一善+ l | 0 令k ：= 1 s t e p1 ，利用x t 代入算法( 4 1 ) 来解决规划问题( 4 1 ) ，樽到规划问题( 4 1 ) s t e p2 ，令d = d 1 ，d2 ，。d2 。) ，x k ，0 ，0 ：= x ：，i ：= o ，并 囊= 避等竽蚴 积下面的规划阉题： m i nt ( 善) s t 篁ex s t e p4 ，暑4 熙xl ，f 代入算法( 4 。1 ) 来解决趣划瞄遴( 4 2 ) 。如果在寻求最 小诧熬过程孛，簌蔡一点竣秀y ：x z ，条 孛f 。：( y ：) 0 畿立。刘令 x t + i ：y ：，k ：= k 十l ，回到s t e p1 ，否则继续下面的步骤。令x 女，为靓划 问题( 4 2 ) 的离散局部极小值点。 s t e p5 ，如鬃f ( 善 m ；) f ( x ；) 设x 蹦：= x + f ，k 净k + t ， 强弱s t e pi ；镒戴豹话，剪莱f 2 n ，转妥s t e p7 ，冀宅戆精浇，令i i + l ， 转到s t e p6 s t e p6 ，设x + ，f - x ： o + d ，如果x + ，j ，f x ；，则回到s t e p4 ； 否则的话，如果i 2 n ，令i ：f + 1 藏炭s t e p6 s t e p7 ，舞票 争r # ，令j ：j _ l ，转羁s t e p8 ，否粼，躐枣r 魏取藿。譬翔 说，l = 么，并鼠回到s t e p3 。 第2 3 趸共3 5 爱 s t e p8 ，如莱，2 n ，回到s t e p9 否则的话，令r 斟，f ：= ，+ 1 ，并且 x ： o = x ：，川，o + d ，回到s t e p6 t s t e p9 ，筹壹，a n d 巍裁是筑剡瓣藤( v i i ) 静选镞整体爨枣篷轰。 ( 2 ) 这就是构造新函数法来解决整数目e 线性规划问题。崧适用的范围非常广阔， 可以是目标函数熄高次的( n 3 ) ，约柬条件也可以是高次的。而且是一个近似 算法，现在我们所器求解的问题是熬数非线性规划( v ) 的解，而它的目标函数 仅为二次，约京条传都是线性的。我们一定可以根据短的褥点找到一个比较适合 戆方法。下蓉澎瓣探讨嚣援举法藏楚缀攥宅兹实际臻嚣遴劈分橱褥塞耱一耪方 法。但麸算法鹣笈杂往方面来看，玄并不是手 么好冀法。 3 枚举法： 先来着一下规划问题( 3 1 ) ，它悬一个非线性规划闫题。但我们来观察一下 它有什么特点：它的目标函数是一个二二次函数而且还是齐次的，它的所有的约柬 函数都是线性方糕或不等式。所以如粜我们运用拉格朗日亵法算子就能将它转化 成为一个线性方程求解的问题。 我髓可鞋褥到： 2 z x + 矗r 十粥= 0 x 1 rro =0 工7ei：0 注：五，为骰设上的未知变量。 我们来看一下上面的方程，未知数有月+ 2 ，方程数目商盯+ 2 ，如果系数矩 阵是一个可逆矩阵，那么上面的方程缀就只有唯一的解( 设为x ) 。这个唯一 豹解裁是x7 x 在x o = r o 霸x ：l 霞确定静范黧连难戆较蘧，它必 为最小值( 易谖) 。因为是唯一的极小德，所以它又是最小德。对于存在的实际 投资中的问题，一般其系数矩阵均为可逆的，那么对于规划问题( v ) ，只需要用 第2 4 页共3 5 页 拉格朗日乘法弹予就可以轻松求解。最优解即为( x ) 7 x + 。 现在我们来看一下规划问题( i v ) 和规划问题( v ) 有什么舜同? 两者相同电怒： 目标函数都是二次函数，约束条件都怒线性的。其实质区别就是：前者是一个鬯 通的菲线性规划瓣惩，蔼后者是一个熬数非线性援划| 蠢题。予是就想到了用线憔 援劐寒求解整数线挂蔑翔嚣阚霆。是黉霹鼓这撑将该润戆熬莰呢? 塞予霹行魏方 商难以给定，它不髓豫线性蕊划阎戆那么简单。薪数就采霁l 了下面新要诱的教举 法。 首先让我先给出个定理： 定理1 颤栗线性燕划阚鼷( i v ) 有睢一授缓( 该点也就是魏翔蠲爨( i v ) 靛最小值点) 。 设为：x ( x l ，x 2 ，x 。) 对任给的两个实数a 和b 满足：a b x ；o 或耳 b 群，则商： 瓴，恐，。曩1 x o x ( x , x 2 。矗。) 瓴焉五焉泛魄，镌，矗一焉) 7 盛立。 证明：用反 芷法证明原问题。 若原名题不成立，则存在两个数a 和b 满足日 b x ，o 或 b d ，但却摧不 是魄，毛，。矗，。x o x ( x , ，x 2 ，矗，羲罗暖一x 2 。矗) 瓴，恐，一矗广成立。 郢： ( 而，屯，n ) 飘_ ，x 2 ，4 屯) 7 ( 确，x 2 占而) ( - ，如，a 矗) 7 由x + ( x l ，并2 ，ax 。) 为规划闼题( 3 1 ) 的最优躺可知： ( x l ，茗2 ，墨屯) 阮，x 2 。毛) 7 瓴，x 2 ，矗一x 0 x ( x t ，x 2 ，易艺) 7 所以在区间( o ，a ) 上必存在异于x 。的另一个极值点。遮与条件中的有唯一 的极值点相矛艟。所以原定理成立。 在定理中有条 串：规翅阿题( i v ) 肖难一解，与用拉稽鹈疆乘法算子掰给出的线 性方程组的系数矩阵式可逆的是等价的。而系数矩阵的w 逆性，在现实的证券投 资中是很容易办到的。对于绝大多数的投资来说都是这样的，所以在这里就省略 第2 5 页共3 5 页 摅不可逆时斡讨论( 只要在添趣一步即可) t 摊论： 如果 肖4 ( 【洋1 】+ f ，【x 2 】+ 【x 。】+ f ) f 一1 ，0 ，1 ) 满足： (黑8 ) 7 p f e 一。，e + # 。】 ， (8) 7 r 【( c 一。o ) ，( c 十co ) r o 】 ，并 且在 ( 【盖，】+ f ，f 苫2 】+ f 【苫，】+ ) 一l ，0 ，1 之孛，髻蠢最小懿菇浚蓬 拶那么爿4 就是规划问题( v ) 的最优解。 箍证，省酶。 下甏，我将绘爨投举法霎法熬步骤： s t e p0 ：剃慝已经计算鲍出懿戴划阀联( i v ) 鲍媛优解，设旁 x + ( x 1 ，工2 ，石。) 。如果对于所有的xf ( f = 1 ，2 ，都是整数，则 侉止。x + 靛是我钓毵要求群的援裁运爨( v ) 的最谯瓣。套魁鹅话，转劐s t e p 1 ； s t e pl ：选取点( fx ，】，【x 2 k ，【x 。】) = x4 ，弼果该魔譬可以瀵足： ( 彳8 ) 7pe 【c co ，c + 。o ( a )和 ( 菇8 ) r 【( e 一。) ，。，( # # 。) r 8 】国) 强个条佟。爨 停止。工“就是我们骚寻找的最优解。番则，转到s t e p2 ： s t e p2 ：选取点集( fx 。】+ f ，【x2 】+ f 【x 。】十r ) t 一1 , 0 ，1 ) 簸多总共蠢3 ”令点，如莱骞菠孛豹某个淘量灌蔗条徉( 匐鞠( b ) 嚣飘楚满 照条件 ( a )和( b ) 的所霄属于 ( 【x 。】+ f ，( x ：】+ f 【z ，】+ ) 一1 , 0 ，l 点之中，商最小黪嚣标丞 数值得那一个。则停止。否则，转入到s t e p3 ： 第2 s 炎共3 5 黄 s t e p3 ：选鞭点集( 【x 】+ f ，【x j 】+ 九【x 。】+ f ) f 一2 ，一1 ，0 ，1 ，2 ) ， 总数为5 ”，在前面我们已经检验了3 ”，所以在这一步之嚣要检验测余的 5 ”一34 个向量。如果能够找到一个点使得它满足条件( a ) 和( b ) ，并且在 ( 【茗l 】，【x2 】+ f 【芏。】+ f ) t 一2 , - t ，0 ，1 ，2 之中毒最小的篷拣 函数慎，则停止。否则，转到 i n s t e p 2 ， ( 【x l 】+ t ， x2 】+ f 。x 。】+ f ) f 一1 , 0 ，1 ) ，s t e p4 。 s t e pm a x l ，三2 ，。三。 + 1，综合这些步，你最多震要梭验 ( 2 l 1 + d ( 2 2 2 + 1 ) ( 2 l 。+ 1 ) 个向量的髓标函数德。 ( 3 ) 看一下上面的算法，它非常的复杂，从算法的角废来讲，它更不是一个什么 好的算法。但是，对于实际情况，它还是缎实用的。般的规划婀题都可以在几 步之蠹找戮最凌簿。 下面举个例子； 我靛理在我四秘毁象：a ，b ，c ，d 它稻翦其体壤凝翔下表： ： 股票价格预期收益率( ) 风险( ) a51 53 0 b1 01 22 4 e1 28 1 6 d81 2 6 著显我稍已翔这弱释段票懿相关系数均为0 ( 颦两甄相互独立) 。冒潋投资 在这四种股票上的总淤产为$ ( 1 0 0 0 1 0 ) 。门槛利率为1 0 。 请闫：最驽静投滚组合是什么? 强旃癸入这酉静段票? 第2 7 凝共3 5 页 现在我们就慰遮利用枚举法来解决这个问题。 先建立它的数举模型： m i n ( o 3 x 1 ) 2 十( o 2 4 x 2 ) 2 + ( o 1 6 x 3 ) 2 + ( o 1 2 x 。) 2 s 。t 。 5 x l + l o x 2 + 1 2 x 3 + 8 x 4 = 1 0 0 0 0 7 5 芹l + 1 2 2 2 + 0 9 6x 3 + 0 4 8r 4 = 1 0 0 其中：x l ，x 2 ，憨，蠢为整数。 粳据拉搭麓醚藤法篓子我辆可良毙设： f ( x l ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，五，) = ( 0 3 x 1 ) 2 + ( 0 2 4 x 2 ) 2 + ( o 1 6 x 3 ) 2 + ( o 1 2 x 4 ) 2 + a ( s x l + l o x 2 + 1 2 x 3 + 8 x 4 1 0 0 0 ) + r ( o 7 5 x 1 + 1 2 x 2 + 0 9 6 x j + 0 4 8 x 4 1 0 0 ) 4 e f ( x l ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，奄办关于鼍，x 2 ，x 3 ，x 4 ，虫，的导数均为零。我们可以褥 爨下嚣戆方程缓； f l ( x 1 ，茁2 ，x 3 ，x 4 ，五，y ) = 2 o 3 x l 十5 2 + 0 7 5 y = 0 最( 墨，x 2 , x 3 ，x 4 ，毒，y ) = 2 0 2 4 x 2 + 1 0 3 。l 。2 y = 0 玛( x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，五，y ) = 2 x 0 t 6 x 3 + 1 2 五+ o 9 6 y = 0 ( x l ，x 2 ，并，x 4 ，丑，) = 2 o ，1 2 x 4 十8 五十o 4 8 z = 0 曩( x i ，x 2 ，x ，耸4 ，名，) = 5 x l + l o x 。+ 1 2 x 3 + 8 x 4 1 0 0 0 = 0 f 6 ( x ，羔，x ，嚣，五，y ) = 0 7 5 x l 十j 2 x 2 + o 9 6 x 3 + 0 4 8 x 4 1 0 0 = 0 利用线性方程的的有关知识，进行求解。得到解为： ( 2 0 。7 7 4 ，3 7 6 6 7 ，3 3 5 5 5 ，1 4 6 0 7 ，0 9 3 2 ，一0 。2 2 8 ) 下蚕我弱舞鳝 掰投举法来麓决蕊题： 先让我们检验一下( 2 0 ，3 7 ，3 3 ，1 4 ) 怒否满足约束条件。濑过检验它不满足 第2 8 页共3 s 页 限制条件。下面再检验一下( 【z ，】+ t ，【x ：】+ f x 。】+ f ) t 一1 ，0 ，1 ) 这里面有没有符合约束条件的解，从中再进行对比，我们发现该规划问题的最优 解为：( 2 1 ，3 8 ，3 4 ，1 5 ) ，只用了三步。 在现实的金融市场中，对于一个普通的投资者( 包括中小投资者) ，他们只 能从众多的金融产品中挑选一些比较合适的品种，再从中挑出非常有限的几种作 为投资对象。在这种情况下，我们可以看到枚举法还是很实用的，对于小规模的 投资，或者是总资产灵活变动范围较大的投资需求，用这种方法都可以在几步之 内找到最优解，非常便利。 第2 9 页共3 5 页 第四章新的投资学理论 正是因为这种理论的很不成熟性使我一再犹豫是不是将它写在这篇文章中。我曾 想过当我有一天觉得它已经很成熟了或者基本完善，并且有大量事实作为依据的 时候再发表它。但现在我认为我应该简要的给出我这种思想的核心，并说明一下 它的理论来源及合理性。 首先先让我给出一个例题，这是我在t h em a t h e m a t i c so ff i n a n c e ：m o d e l i n g a n dh e d g i n g 一书中看到的 现在，我们有一种股票它的市价为$ 1 0 0 ，在一年之后这支股票的市价会跌至$ 9 0 或者是会涨到$ 1 2 0 。我们现在没有计算出它涨或跌的概率是多少。另外我们还知 道现在的无风险利率为5 ( 今天将