（计算数学专业论文）两类时滞微分方程周期解的多尺度近似方法及其计算.pdf

摘要 科学技术日新月异的发展使得各个学科领域均提出了复杂的数学模型以揭示事物 的本质非线性问题的研究日益成为当前科学研究的热点，分歧是一种常见的重要的非线 性现象，在非线性科学的研究中占有重要地位h o p f ：分歧在非线性振动中起着至关重要的 作用二十世纪以来，自然科学与社会科学的许多学科中提出了大量时滞动力学问题，近 年来，时滞动力系统己成为许多领域的重要研究对象，和常微分方程所描述的动力系统不 同肘滞动力系统的解空问是无限维的，其理论分析往往很困难因此，研究时滞微分方程 是一个很富有挑战性的方向周期解是时滞动力系统中的重要部分，而数值计算己成为研 究周期解性态的一个重要方法研究时滞微分系统h o p f ：p ) * 歧点，周期解及其分歧的解析近 似与数值模拟是一个有着很强应用背景的课题 我们在本论文中研究了两类具有很强代表性的时滞微分方程第一个是有生态 学背景的时滞l o g i s t i c 模型，这是一个一阶时滞微分方程，模型相对简单但动力学行为丰 富第二个是振动力学中常见的阻尼振子模型，这里我们考虑的是含时滞反馈的该类模 型，其参数较第一类模型多，而且是二阶方程，增加了分析的难度 针对这两类模型，首先我们在h o p f ：分歧点附近采用多尺度近似方法求得近似周期 解，然后分别利用多尺度分析结果研究了周期解的稳定性与人们常用的中心流型约化方 法比较，采用该方法的好处在于近似求解过程与稳定性分析能够统一起来，而不需要再借 助其他的工具多尺度分析已是工程力学中一类重要的方法，而我们的分析结果与模拟结 果也说明了将该方法用于时滞微分方程的有效性最后，关于周期解产生后的动力学现 象，我们借助数值模拟手段，探讨在时滞微分方程这样一类无限维解空间系统中是否存在 类似于离散系统的f e i g e n b a u m 常数，该类常数能用于分析模型的倍周期分歧过程 关键词：时滞微分方程；周期解；多尺度方法；稳定性；倍周期 i a b s t r a c t t or e v e a lt h ee s s e n c eo ft h i n g s ，m a n yc o m p l e xm a t h e m a t i c a lm o d e l sh a v eb e e nc o n - s t r u c t e df o rt h er a p i dd e v e l o p m e n t so fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g yi nv a r i o u sd i s c i p l i n e s n o n l i n e a r p r o b l e m sh a v eb e e nr e s e a r c hf o c u so fs c i e n c eu n t i ln o w ，a n db i f u r c a t i o ni so n eo ft h ei m - p o r t a n tn o n l i n e a rp h e n o m e n o n s s i n c et h et w e n t i e t hc e n t u r y , d e l wd i f f e r e n t i a lm o d e l sh a v e b e e np r o p o s e di nm a n yd i s c i p l i n e s ，w h o s es o l u t i o ns p a c e sa r ea l li n f i n i t ed i m e n s i o n t h e y a r ed i f f e r e n tw i t ho r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h e i rt h e o r e t i c a la n a l y s i si sm o r ed i f - f i c u l t t h e r e f o r e ，t h es t u d yo fd y n a m i c so ft i m e - d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sac h a l l e n g i n g r e s e a r c hf i e l d p e r i o d i cs o l u t i o ni so n eo ft h ei m p o r t a n td y n a m i c so ft i m e - d e l a ys y s t e m t h e a p p r o x i m a t i o no fp e r i o d i cs o l u t i o n s ，i n v e s t i g a t i o no ft h e i rb i f u r c a t i o n so fd e l a yd i f f e r e n t i a l s y s t e m sa r ev e r yu s e f u li s s u e s i n t h i sp a p e rw es t u d yt w ok i n d so ft y p i c a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o n eo f t h e mi sd e l a yl o g i s t i ce q u a t i o n ，w h i c hi sak i n do fe c o l o g ym o d e la n dh a sa b u n d a n t d y n a m i c s a n o t h e rm o d e li st h ed a m p e do s c i l l a t o rw i t hd e l a y e df e e d b a c k ，w h i c hh a sm o r e p a r a m e t e r st h a nt h ef i r s tm o d e la n di sas e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w ea p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h e s et w om o d e l sa n da n a l y z et h e i r s t a b i l i t yb y m u l t i p l es c a l e sa n a l y s i s o n ec a nu s em u l t i p l es c a l e sm e t h o dt od oa l lt h o s et m n g s ，p e o p l e n e e dn o r mf o r mt oa n a l y z es t a b i l i t yf o rc e n t e rm a n i f o l dm e t h o d u n t i ln o w m u l t i p l e s c a l e sa n a l y s i sh a sb e e nw i d e l yu s e di nm e c h a n i ce n g i n e e r i n g t h e 。r e s u l t so ft h i sp a p e r s h o wt h a tm u l t i p l es c a l e sa n a l y s i si se f f e c t i v ef o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n f t oi n v e s t i g a t ep e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n so fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w ed i s - c u s st h ee x i s t e n c eo ff e i g e n b a u mc o n s t a n t ，w h i c hi sf a m o u si nt h ef i e l do fp e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o no fd i s c r e t em a p p i n g s w ee x p l o r et h ec o n s t a n tb ys i m u l a t i o n k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；m u l t i p l e - s c a l e sm e t h o d ； s t a b i l i t y ；p e r i o d - d o u b l i n g i i 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名： 曲 日 日 期： ：2 0 l oj f5 月l 艿日 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 皂刚 1 0 i 口冲芎尺i 葛1 t 导师签名： 日期： 第一章绪论 1 1 1研究背景 第一章绪论 科学技术日新月异的发展使得各个学科领域均提出了复杂的数学模型以揭示事 物的本质这些模型一般都是非线性问题非线性问题的研究日益成为当前科学研究的 热点，固体力学、流体力学、非线性振动和控制论等科学与工程问题一直是推动非线性 问题研究的强大动力然而这些非线性问题一般无法用解析方法求解分歧是指随着问 题中参数的变化，解的个数和稳定性质将会发生变化分歧是一种常见的重要的非线性 现象，并与其它非线性现象( 如混沌、湍流、突变、分形、拟序结构等) 密切相关，在非线 性科学的研究中占有重要地位在自治微分方程中，由定常解状态发展到周期轨道的分 歧，称为h o p f ：分歧，h o p f ：分歧在非线性振动中起着至关重要的作用分歧问题起源于研究 一些力学失稳现象，起初的研究几十年内一直在应用领域内进行，由于微分动力系统、 突变、非线性分析等数学理论和实际计算手段的发展，尤其是不同领域混沌现象的发 现，促使分歧理论迅速发展，使其在力学、物理学、化学、生物学、生态学、医学、控制 论、工程技术乃至经济学中得到广泛应用 二十世纪以来，自然科学与社会科学的许多学科中提出了大量时滞动力学问题，通 常，动力系统可由状态变量随时间演化的微分方程来描述其中，有些动力系统的状态变 量之间存在时滞，即系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态，还依赖于系统过去某一 时刻或若干时刻的状态人们将这类动力系统称作时滞动力系统严格来讲，在动力学系 统中时滞通常是不可避免的，即使以光速传递的信息系统也不例外近年来，时滞动力系 统已成为许多领域的重要研究对象针对控制系统，网络系统，生物系统中的时滞动力问 题，人们进行了大量研究，取得了许多重要成果，并且巧妙地利用时滞来控制动力系统的 行为例如，时滞反馈控制已成为控制混沌的主要方法之一另外，和常微分方程所描述的 动力系统不同，时滞动力系统的解空间是无限维的，其理论分析往往很困难因此，研究时 滞微分方程是一个很富有挑战性的方向 时滞常导致系统的运动状态失去稳定性，从而产生各种形式的分岔，在这些分岔中 研究最多的是h o p f ：分 岔，即有一族周期解在h o p f ：分歧点处从平衡解分岔出来，它提供了这 族周期解的初始值信息，因此研究周期解离不开h o p f 分歧点的分析周期解是时滞动力系 统中的重要部分，周期现象在自然界是普遍存在的，近年来有关时滞微分方程周期解的研 上海师范大学硕士论文2 究大量应用于时滞反馈控制，而数值计算己成为研究周期解性态的一个重要方法研究 时滞微分系统h o p f 分歧点、周期解及其分歧的解析近似与数值方法是一个有着很强应 用背景的课题 1 4 1 2 文献综述 h o p f 分歧点附近周期解的近似方法有中心流形方法方法 5 ，l i a p u n o v - s c h m i d t 约 近似睁7 ，扰动法睁1 0 以及频率域中采用的谐波平衡法 1 1 】等等要近似h o p f 分歧点附近 的周期解，中心流形和l i a p u n o v - s c h m i d t 约化方法的主要想法是通过将原动力系统的解 投影到纯虚特征根对应的特征向量空间上，将无穷维的系统约化为低维( 对简单h o p f 分 歧，一般是2 维) 的系统 l o g i s t i c 模型是种群生态学的核心理论之一 1 2 】利用它可以表征种群的数量状 态，描述研究对象的增长过程，也可做其它复杂模型的理论基础运用中心流形和正规型 理论，文献【1 3 研究了以下一类l o g i s t i c 模型 面d x = 一蚴( 芒) + r ( 1 一z ( 芒一7 ) ) z ( 一下) ( 1 2 1 ) 文中考虑以r 作为分歧参数，得到t h o p f 分歧点附近周期解的稳定性另一方面，运 n l i a p u n o v - s c h m i d t 约化方法，文献 1 4 研究了如下一类l o g i s t i c 模型 豢= 一( q 一矿( ) ) u ( 芒一1 ) ( 1 2 2 ) 文中以口作为分歧参数，讨论了指数p = 1 ，2 情形下，周期解的近似解析表达式，周期解与参 数、周期与参数的近似关系式，进一步运用这些结果作为初始值，构造h e r m i t e 插值多项 式逼近来计算、延拓周期解支 中心流形的约化被用来研究周期运动的振子模型的一些情况 1 5 2 0 ，比女口c a m p b e l 1 7 - 1 9 等研究了方程 象+ n 害+ 啡) 一邮叫= 雌一t 叫) ， ( 1 2 3 ) 其中口 0 ，b c 0 1 7 ，1 8 】中， r ( 碱z ( t - - r ) ) 2 两丽矛丽+ 忌， 第一章绪论 3 方程在z = 0 时对应的线性化系统有特征方程 a 2 + 口a + b c e a 下= 0 他们通过分析该特征方程得到了一些关于简单h o p 盼歧参数、超临界h o p 盼歧参数以 及次临界h o p f 分歧参数应满足的关系式 最近，文献 2 1 】用l i 印u n o v - s c h m i d t 约化方法研究了二阶时滞微分方程 万d 2 x + 4 7 r 肛z ( 亡一7 ) + m ) = 0 ， ( 1 2 4 ) 其中肛 0 作为分歧参数，其线性化的特征方程为 a 2 + 4 7 r 2 7 2 p e a = 0 ， 研究结论表明方程( 1 2 ) 在= 筹处发生h 叩盼歧，并在其附近存在非零周期解该方法 可以有效地产生周期解的近似解析表达式同时，可以用该方法获得分歧参数和周期之间 的关系类似的技巧在文献 2 2 2 3 中有详尽的论述中心流形和l i a p u n o v - s c h l i d t 约化方 法分析周期解的稳定性依赖于正规型谐波平衡法借助于单值矩阵去分析周期解的稳定 性 2 4 多尺度方法也可用于得到振子模型周期解的解析表达式 2 5 3 0 】，该方法也有助于直 接分析平凡解的稳定性和得蛰j h o p f 分歧点附近的周期解比如，文献 3 0 运用多尺度分析 方法研究了以下方程周期解的局部稳定性 窘+ 2 蛐害+ 簖雄) + 础z 3 = 嵋邢一丁) + 口蛐型， ( 1 2 5 ) 其中， 0 ，蛐 0 1 3 我们研究的方法 本文研究如下一类时滞微分方程的h o p 纷歧问题，就是说当参数口变化时，方 程( 1 3 1 ) 从平凡解分歧出周期解的问题 掣= 七叫垆) u ( 亡- 1 ) ， ( 1 3 1 ) 其中p 是正整数，参数q r 上海师范大学硕士论文 4 我们还将考虑如下d d e s 系统： 筹+ p i d x + 口z ：m ( 亡一7 - ) ) ， ( 1 3 2 ) i 万+ 卢面+ 口z5 ， 一丁) ) ， ( 1 3 2 ) 其中厂是非线性函数，x r ，a ，p r 并且其中时滞丁 0 虽然对时滞微分方程的h o p 盼歧分析已经有不少结果，但是具体分析其附近 周期解的并不多，而且大多采用中心流形方法本文中我们用多尺度方法研究关 于( 1 3 1 ) 及( 1 3 2 ) 的周期解的近似与稳定性分析 第一部分中，我们采用多尺度下的渐进展开法具体分析了方程( 1 3 1 ) 在h o p f ：分歧点 附近的周期解的近似表达式 在第二部分中，采用多尺度下的渐进展开法具体分析了方程( 1 3 2 ) 在h o p f 分歧点附 近的周期解的近似表达式 1 4 本文主要内容和结构 全文共分三章，余下的内容按以下方式组织： 在第二章中，通过分析时滞l o g i s t i c 微分方程线性化方程的特征方程，利用h o p f 分歧 定理得到h o p 盼歧点的值，在2 2 中采用多尺度方法得到方程在h o p f 分歧点附近周期解 的近似解析表达式及其稳定性分析 在第三章中，通过分析时滞阻尼振子模型线性化方程的特征方程，利用h o p f ：分歧定 理得到h o p 盼歧点的值，在3 3 中采用多尺度方法得到方程在h o p f ( r 争歧点附近周期解的 近似解析表达式及其稳定性分析在3 4 中将利用数值模拟分析倍周期点处分歧参数临 界值之间的关系 第二章时滞l o g i s t i c 模型周期解的多尺度分析 5 第二章时滞l o g i s t i c 模型周期解的多尺度分析 与近似 本章我们考虑著名的时滞l o g i s t i c 微分方程的h o p 纷歧情况，即： 害= 七一即) ) u ( 亡- 1 ) ， ( 2 1 ) 其中p 是正整数，参数q r 我们将先简单的分析一下他 拘h o p 盼歧情况，然后用多尺度方法研究线性时滞微 分方程在分歧点附近的情况 2 1h o p f ：分歧分析结论 在平凡解处对方程( 2 1 ) 线性化，其形式如下： 面d v = 一伽( 亡一1 ) 他的特征方程如下： a + q e a ：0 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 特征方程具有如下特性： 1 a = 砖= 士i ( 三+ 2 n t r ) 是特征方程当口= o t 住= 詈+ 2 n r 时的一对纯虚根，并且特征方程 没有其它纯虚根 2 掣l a ：羞+ 2 仰= 雨吾+ + 2 2 n 郦l r 0 ，其中a 士( q ) 是特征方程当入士( 口n ) = 砖时的根 3 如果i q i 三，特征方程所有根的实部均小于o ，当q o = i r ，砖= 士i 是特征方程的唯一 一对纯虚根，其它根的实部小于0 则根据h o p f ：分歧理论：当n = o 时，a = 吾是等式( 2 1 ) 的一个h o p f 分歧点在分歧点 处a = 勘( 兰) 2 2周期解的多尺度近似 上海师范大学硕士论文 6 2 2 1 p = i 时周期解的多尺度近似 p = i 时在平凡解处对方程( 2 1 ) 线性化，其形式如下： 坐：一a v ( t 一1 ) (2211)dt 一2 一a 1 )【z z 上上j 他的特征方程如下： 入+ o r e 一= 0 ( 2 2 1 2 ) 特征方程具有如下特性： 1 当o q 时，根入( 口) = ( 口) + 话 ) 满足如下条件： ( a ) 对q 是连续可导的 ( b ) 满足o o 当q 詈 式( 2 1 ) 名e a o = 吾时有h o p 盼歧，在分歧点处a = 土t ( 三) 为了考虑方程在分歧点附近的情况，我们令o t = 詈+ ，贝j j ( 2 1 ) 变成 警= 一和一1 ) 堋( t 一1 ) + 钍( 蝴一1 ) ( 2 2 1 3 ) 在h o p 盼歧附近上式有一振幅与e 成比例的周期解因此，我们令u = g z ，则 式( 2 2 1 3 ) 变成 篆= 一秘一1 ) - e ( 1 一删z ( ) ( 2 2 1 4 ) 对于式( 2 2 1 4 ) ，当s = 0 时h o p 盼歧发生，当e o 且较小时有稳定的周期解 当e = 0 ( q = 7 r 2 ) 时，式( 2 2 1 4 ) 是线性的，因此有一如e 她的无限线形组合形式的通 解，其中a 如上所述，有两个为士z ( 詈) ，而其他解具有负实部因此，在以指数级的速度瞬间消 亡后，我们只有 z = a s i n ( 三亡) + be o s ( 2 t ) ( 2 2 1 5 ) 其中a 和b 为任意常数接下来，我们会将式( 2 2 1 5 ) 看成当式( 2 2 1 4 ) 中s = 0 时的一个解这样，我们就忽略掉解中指数衰减的项，就不需要计算有明确的中心流形 第二章时滞l o g i s t i c 模型周期解的多尺度分析 7 为应用多尺度方法，我们开始像往常一样通过定义多个时间尺度：即t ，及初始的时间尺 度；t o = e t ；t a = s 2 亡；t 2 竺e 3 t ，等等方程( 2 2 1 4 ) 的解形式如下( 假定保留4 个时间尺 度) x ( t ) = u ( t ，t o ，t a ，正) 我们进一步假定解可以对展开，如下 ( 2 2 1 6 ) z ( 亡) 2y ( 亡，蜀，五，死) 2 珈( 亡，蜀，互，噩) + 箩1 ( 亡，死，噩，马) f 2 2 1 7 ) + 2 耽( t ，t o ，乃，死) + 将式( 2 2 1 7 ) 代入式( 2 2 1 4 ) ，则 ( 警+ 瓦o y o + 2 面0 y o + 3 瓦0 y o ，, + ( e 瓦o y l + 2 丽c 9 y l r + 巴3 面0 y l + 4 差) + ( s 2 瓦o y 2 + 。_ 3 面0 y 2 十+ e 4 两0 y 2 + c sa o 上y 2 。) + = ( 2 2 1 8 ) 吒一e + e ( 珈+ 锄+ 2 沈+ ) ( ) 其中为可 一1 ，t o 一，乃一s 2 ，t 2 一3 ) 对e 的展开 ( 2 2 1 8 ) 中仅含小于等于e 一次项的方程如下： 警+ ( 象+ 警) = 一( 绯一1 ) 一s 警+ 嘞( 亡- 1 ) ) ( 2 肌9 ) - e ( u o ( t 一1 ) ) + e y o y o ( t 一1 ) 若e 无限趋于0 ，则( 2 2 1 9 ) 可看成 杀= 一三们_ 1 ) 它的其中一个解的形式为： y o - a 8 i n ( 2 t ) + b c o s ( 三亡) 这里a ，b 为时间尺度蜀，丑，死等等的函数将其代入式( 2 2 1 9 ) ，化简则 ( 2 2 1 1 0 ) ( 2 2 1 1 1 ) 等= 一三y 。 一1 ) + 只s i n ( 虿7 1 亡) + 岛c o s ( 三t ) + b s i n ( 仉) + 只e 0 8 ( 7 r ) ( 2 2 1 1 2 ) 上海师范大学硕士论文 8 其中r ，恳，岛，只如下： = 一丝0 t o + 至2 塑0 t o 一口 = 一一+ ， l工j 岛= ( 2 2 1 1 3 ) ( 2 2 1 1 4 ) ( 2 2 1 1 5 ) ( 2 2 1 1 6 ) 为了避免解中出现长期项，式( 2 2 1 1 2 ) 中s i n ( 三t ) 和c o s ( ) 的系数取为零，n p p l = o 和尼= 0 ，因此我们可以得到 丝0 t o = 熹7 2 4 ( 三2 a b ) 一= 一i 一一一n i 上、 望=志(刖tl-b-0to 7 1 - 24 三2 b ) 一= 一l 一几- 上、一， ( 2 2 1 1 7 ) ( 2 2 1 1 8 ) 并且等式( 2 2 1 1 2 ) 自己变成 鲁= 一如- 1 ) + 竿8 i n ( 呐一a b c o s ( 删( e z 1 1 9 ) 由此可知，y l 的一个解形式为y l = c s i n ( 7 i t ) + dc o s ( t r t ) ，将其代入式( 2 2 1 1 9 ) ，则 c = 击( a 2 一b 2 4 a b ) d = 要( a 2 一b 2 + a b ) ( 2 2 1 8 ) 中仅含小于等于二次项的方程如下 鬻+ ( 甏+ 等) + e 2 。面c o y o + 面c 9 y l + 鲁) = 一三瞰亡_ 1 ) 一e ( 2 2 1 2 0 ) ( 2 2 1 2 1 ) o y o ( t 一1 ) o t o 彳百c g y o ( t - 1 ) 吁1 2 掣+ c y l ( t - 1 ，) 、- e ：o y l u t ( 铲柑绑一1 k 抛2 ) 一 珈( t 一1 ) 一垒铲+ e 纨 一1 ) 】+ s 珈 珈( 亡一1 ； 一一o y o 种( t - 1 一) + 夕1 1 ) 】+ s ( 1 ) ( 珈( 一1 ) ) 。隅 ”叭r 叫川u 叫u 憎叭。叫7 第二章时滞l o g i s t i c 模型周期解的多尺度分析 9 将蜘，y l ，丽o a ，象代入可得 筹= ( 南) 2 m ( 萼叫纠碡2 【石再m a 十【百叫m 荔= ( 而4 ) 2 ( 了7 1 - 2 1 ) a - n b a c4 0 t o5 7 r ( 7 r 2 + 4 ) a d8 0 7 05 r ( r 2 + 4 ) ( 2 2 1 2 3 ) ( 2 2 1 2 4 ) ( 7 r 一4 ) a 2 一( 7 r 一4 ) b 2 4 ( 7 r 十1 ) a b 】( 2 2 1 2 5 ) ( 7 r + 1 ) a 2 一( 7 r + 1 ) b 2 + ( 7 r 一4 ) a b ( 2 2 1 2 6 ) 警= 一三驰 一1 + ) 只+ p 1s i n ( ，2 + t ) + p 2c o 娑s ( 。2 ，t + ) + p ss i n 娑( r c o s ( r tp 5s i n ( p 6c o s ( ! ；c 2 2 1 2 7 ，+ 只) +詈t ) + 寻亡) 其中p l ，恳，尼，m ，尼，r 如下： 只= 一面o a + 三筹+ 矿斋a + 丽r s + 1 2 丌b + 击( 2 2 1 瑚) + 击印卧1 - 岳a b 2 + 击伊 恳= 一面o b 一互r 面o a + 矿b 一丽r s + 1 2 丌a 一击( 2 2 1 舶1 + 志印肛击仰2 + 击萨 b = 而4 【( 一主7 r 2 + l r + 5 ) a 2 + ( 丢丌2 一丌一5 ) b 2 + ( ，r 2 + 6 7 r ) a b l ( 2 2 - 1 3 。) 只= 而8 _ ( 1 7 r 2 + 耋彬2 + ( 互1 丌2 + 兰啪2 十( 一主“丌+ 5 ) 删( 2 2 1 3 1 ) r = 一而1 ( 3 a s 一3 a 2 b 一9 a b 2 + b 3 ) ( 2 2 1 3 2 ) r = 一而1 ( a 3 + 9 a 2 b 一3 a b 2 3 8 3 ) ( 2 2 1 3 3 ) 上海师范大学硕士论文 为了避免解中出现长期项，式( 2 2 。1 2 7 ) 中s i n ( 署t ) 和c o s ( 三亡) 的系数取为零，即日= o 和岛= 0 ，因此我们可以得到 则 筹= 而4 ( 互7 1 a - b ) 彬南 筹a + 篙b + ( 击一未) a 3 + ( 而3 + 嘉) a 2 b + ( 而1 ) a b 2 + ( 2 2 1 3 6 ) ( 志+ 去) b 3 】+ o p ) 箬= 南( 三b 删柑而4 卜石r 3 研+ 2 0 r 4 + 1 _ r 4 _ 而1 2 u 矿+ 3 2 b 一( 而3 + 嘉) a 3 + ( 志一嘉) a 2 b 一( 而3 + - 嘉) a b 2 ( 2 2 1 3 7 ) + ( 击一未) b 3 】+ o p ) 若a = r c o s 西，b = r s i n ，则 筹= 南( 南) 2 嵩r 亿2 工3 8 ， + ( 百1 嚣一3 ) r 3 1 + o ( e 3 ) 、 。20、1 0 7 r 。、7 甓= 南硝南) 2 【一矿7 1 - 3 - 3 t - 可2 0 7 i 一( 而3 + 嘉渺】+ 3 ) ( 2 2 1 3 9 ) ( 2 2 1 1 ) 式的周期解是一个平凡的稳态解，即，r 0 和d r 出= 0 则平衡点应可以解出 如下( 当根号下的项大于o ) ： 詹= 霹零f 写藉 = 户乒面 ( 2 2 1 4 0 ) 烈l2 3 j j 明 m b 三知 土惭3 l 苦 意3 l 苦 1 - 卜 卧 叶 孝扣 + 一盯土m 3 一 卜盟尸罨脚 兰垆刍 二 一丌r【i_lr一矿三惭 三q “ 丝帆 3一蜥1一协意上m 望 惦 生产汐 器咭舢生嘶三蜥 二 o ( o ) ，即，当方程的平凡解不 稳定时周期解是稳定的，反之亦然 定理2 1 ：根据( 2 2 1 4 3 ) ，在h o p f 乡 歧点附近，对关键的参数q o - dq o ，如果q 口o + 2 0 3 1 3 9 贝j j 式( 2 2 1 1 ) 的平凡解是稳定的，如果a o q 口o + 2 0 3 1 3 9 贝0 式( 2 2 1 1 ) 的平凡解不是稳定的 证明：在h o p f 9 歧点附近，我们可以令 入o = 0 4 5 3 0 e 一0 0 2 2 3 e 2 0 解出得：口 q o + 2 0 3 1 3 9 x o 的符号为负，平凡解情况如下：当口 q o + 2 0 3 1 3 9 时，平凡解是稳定的，当口o 口 0 且较小时有稳定的周期解 当e = 0 = 7 r 2 ) 时，式( 2 2 2 3 ) 是线性的，因此有一如e 她的无限线形组合形式的通解，其 中a 如上所述，有两个为土i ( 墨) ，而其他解具有负实部因此，在以指数级的速度瞬间消亡 后，我们只有 z=a s i n ( 三) + j e 7c 。s ( 三亡) ( 2 2 2 4 ) 其中a 和b 为任意常数接下来，我们会将式( 2 2 2 4 ) 看成当式( 2 2 2 3 ) 中= 0 时的 一个解这样，我们就忽略掉解中的指数衰减的项，就不需要计算有明确的中心流形 为应用多尺度方法，我们开始像往常一样通过定义多个时间尺度：即t ，及初始的时间尺 度；t o = e - t ；t 1 = 2 亡；正= e a t ，等等方程( 2 2 2 3 ) 的解形式如下( 假定保留4 个时间尺 度) x ( t ) = v ( t ，t o ，t 1 ，t 2 ) ( 2 2 2 5 ) 我们进步假定解可以对e 展开，如下 z ( 。) 。可( t ，蜀，五 乃) 2 珈( 亡，蜀，噩，易) + e 可1 ( 亡，蜀，乃乃) ( 2 2 2 6 ) + 2 y 2 ( t ，t o ，正，正) + 将式( 2 2 2 6 ) 代入式( 2 2 2 3 ) ，则 ( 等+ 瓦c g y o + s 2 面0 y o + 5 _ 3 面0 y o ，+ ( e 鬻+ e 2 瓦0 y z + s 3 差+ s , t 面c g y l ，, 球2 瓮+ e 3 瓦c o y 2 + 9 4 丽0 y 2 + e - - 笼、) + = 【一三一升( 2 弛7 ) ( 珈+ e y l + 2 y 2 + ) 2 ( o ) 第二章时滞l o g i s t i c 模型周期解的多尺度分析 1 3 其中为拶( 亡一1 ，t o 一，五一2 ，t 2 一e 3 ) 对e 的展开 ( 2 2 2 7 ) 中仅含小于等于e 一次项的方程如下： 等+ e ( 甏+ 面o y l ) = 一互7 r ( 郇一1 ) 一警铲+ ( 2 2 2 8 ) e y l ( 亡一1 ) ) 一( 珈 一1 ) ) + 珈2 珈( t 一1 ) 若e 无限趋于0 ，则( 2 2 2 8 ) 可看成 它的其中一个解的形式为： a 塑0 t = 一至2 珈( 亡一1 ) 一= 一一t ，n i z ll j u 、。， y o = 觚n ( 2 t ) + b c o s ( 三亡) 这里a ，b 为时间尺度蜀，五，乃等等的函数，将其代入式( 2 2 2 8 ) ，则 ( 2 2 2 9 ) ( 2 2 2 1 0 ) 警= 一三。 一1 ) + p ls i n ( 虿7 r t ) + 恳c 。s ( 互7 1 亡) + 尼s i n ( 百3 7 1 芒) + 只c 。s ( 孚州2 2 2 1 1 ) 其中只，p 2 ，p 3 ，只如下： 只= 一瓦o a + 互r 瓦o b b + t a 2 b + 百s 3 马= 一面o b 一虿r c 蕊o a + a 一百a 3 一t a b 2 a 蜀2a 蜀 44 ( 2 2 2 1 2 ) ( 2 2 2 1 3 ) ( 2 2 2 1 4 ) ( 2 2 2 1 5 ) 为了避免解中出现长期项，式( 2 2 2 1 1 ) 中s i n ( 吾) 和c 0 8 ( 詈亡) 的系数取为零，即p 1 = o 和忍= 0 ，因此我们可以得到 面o a = 而4 ( 一b + 丁a 2 b + 百s 3 + 三a 一吾a 3 一和2 ) ( 2 2 2 1 6 ) 丽o b = 而4 ( a 一筹一竽+ 争吾a 2 b - 却 ( 2 2 2 1 7 ) b 尹 b a a 3 4 3 4 一 3 3 舻 小 1 4 l 一4 = = 岛 r 并且等式( 2 2 2 i i ) 自己变成 警：一孔) + ( 夏1b 3 一差舶) s i n ( 虿3 7 1 - 卅( 互1 肛秘2 ) c o s ( 等州2 2 2 1 8 ) 由此可知，! ，1 解形式为可1 = c s i n ( 警亡) + dc o s ( 警t ) ，将其带入式( 2 2 2 1 8 ) ，则 ( 2 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 7 ) 中仅含小于等于e 二次项的方程如下 警+ ( 甏+ 等) + 文( 姐o y o 十丽b y l + 警) = 一三( 舌一1 ) 一e 警铲 彳紫蟛1 掣均心- 1 ) 。掣+ c 2 y 2 ( t - 1 ) ( 2 2 2 2 1 ) 一【珈( 一1 ) 一掣+ 嘞( 舌一1 ) 】+ 珈2 v o ( t 一1 ) 二 o y o 五( t 鬲- 一i ) + 玑 一1 ) 】+ e 2 y o y l e ( 加( 亡一1 ) ) 。凸印 。一口、一，j 。 ”。、 将珈，y l ，丽o a ，赢o b 代入可得 。掰2 _ a a = ( 南) 2 ( 譬_ 1 ) a - r b + ( 壶一和+ ( 互1 一百7 1 - 2 渺2 + 3 - 等a 2 b + i 3 t ( b 3 + ( 等一去) “三b 5 一a 4 b ( 2 2 2 2 2 ) + ( 一百1 + 誓2 ) a 3 8 2 - 4 a 2 8 3 + ( 一去+ 百3 7 1 2 ) a b 4 】 蒜= ( 南舳州萼_ 1 ) 州互1 一百7 r 2 渺一警膨 + ( 互1 一譬) a 2 b 一等a 3 + 吾a 5 + ( 蔷一去) b 5 + 吾a ( 2 2 2 2 3 ) + 卜吾1 + 等n 三a 3 8 2 + ( 一去+ 蔷阚 甏= 南i - 警a 3 一夏9 脚罟十互3 肚夏3 1 肌最砌( 2 2 2 2 4 ) + 鼍a 3 8 2 + 鲁a 2 8 3 + 墨4 8 4 一未b 5 】、 。 2 一 上一 船丁 群可警掣生4 洋嘉! 打 i l i l 乳 肚 第二章时滞l o g i s t i c 模型周期解的多尺度分析 筹= 一志【詈n 兰a b 2 - - 9 - 孑a 2 b - 差n 警扎杀 + 鼍砌3 一百3 们2 + 罢舶+ a 5 】 式( 2 2 2 2 1 ) 化简可得 警= 一三沈( 亡一1 ) + p 1s i n ( 三亡) + 岛c o s ( 互7 f 亡) + bs i n ( 警) + 4c o s ( 孚) + 删n ( 虿5 7 1 卅聃s ( 萼亡) 其中只，b ，b ，p 4 ，屁，最如下： r = 一面o a + 虿两o b + 矿1 64 ) 2 a + 斋嚣b 一菁卷a 3r 。一瓦i + 虿瓦i + 石ia + 百i 了酽b 一百芦了萨a 矗 一耥彬一南a 2 b 一南冉器a 5 + 器a b a + 舄a 3 8 2 + 端们+ l n 4 泛+ 菊鬲4 8 丁7 r 万2 + 4 8b 5 + 1 丌4 雨+ 矛石4 8 丁r 可2 + 4 8 a 2 8 3 3 2 7 r ( 7 r 2 + 4 ) 2 一1 6 7 r ( 7 r 2 + 4 ) 2 ( 2 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 2 6 ) ( 2 2 2 2 7 ) 马= 一面c o b 一三筹+ 矿1 可6b 一矿刀- z + 可1 2 ra 一矿丌2 + 可1 6 b 3 + 南，3 一器，南趔+ 器伊亿2 2 2 8 ， + 离a 4 b + 器a 2 e 3 _ 丽l r 4 + 4 8 7 i - 2 + 4 8 船4 。 。 一7r4+487i-干2+一48a5一7r4+487r干2+一48327ror24 ) 21 6 z r ( t r 24 ) 2 a 3 曰2 + 一 + b = 一南+ 蒹嵩a 2 b + 驴3 两a b 2 一硒7 r 2 丽+ 8 b 3 + 而1n 磊尚口一南膨( 2 2 2 2 9 ) 一蒜端a 2 b a 一而3a b 4 + 丽3 7 l - 2 两+ 2 0 b 5 p 4 = 一荟丽1b 3 + 湍a b 2 一石丽3a 2 b 一面厕7 r 2 + 8 a 3 + 萄i r l 干酉b 5 一趸9 磊r 石2 ：+ r 干6 0 酉a b 4 + 石i f l 干酉a 2 口3 ( 2 2 2 3 。) 一面3 7 而r 2 + 币2 0y a 3 8 2 + 而：再3 酉a 4 b + 函3 r 而2 + 再2 酉0 a 5 上海师范大学硕士论文 凫= 一! i - 熹a 4 b a 2 8 3 + 去b 5 】 尼= 爵1 【丽5a b 4 一鲁a 3 8 2 +