（计算数学专业论文）三维stokes问题及平面弹性问题的各向异性有限元分析.pdf

摘要 首先本文构造了两个新的可用于求解三维s t o k * 问题的各向异性非协调混合有限元 格式，并且通过引入新的技巧，在各向异性网格下得到了最优的误差估计这两种单元 具有构造简单，整体自由度少的特点，是刭目前为止较为理想的单元 其次，在各向异性网格下研究了纯位移平面弹性问题的非协调c r o u 醵胁i t 三角 形有限元逼近当l a 坩常数 一m 时该单元是非闭锁的通过引入新的特殊技巧和方 法得到了能量范数及工2 一范数的最优误差估计，从而克服了传统有限元方法对网格剖分 要求满足正则性假设或拟一致假设等严重缺陷，拓宽了非协调有限元的应用范围 关键词ts t o k e s 问题，平面弹性，非协调元，各向异性网格， 最优误差估计 a b s t r a c t i nt l l i 8p a p e r ，w e 丘r s tf o c l l 8o nt 霄or i 唧8 n i s o t r o p i cn o n c o n f o r m i gi n i x e d 丘i l i t ee l e m e n tf b r _ m u 妣h 衄f o i l v i n gs t o k e 8p f o b l e “n3 _ d b yi n t t o d u c i n gt h e 印e c i 出n 鲫e 1 印p r 。a c h 鸭，t h e 0 p t i m a le r r o r 凹t i m a t 嘲a r eo b t a i n e d w i t ht h e 甜v 蛐t a g 髑o f8 i m p l es t r u c t ma n df e l 帕rd e 擎e 朗 o fh _ e e d o m ，t h e8 b o v et w oe l e m e n ba m m i d e r e dt 0b ec o m p 眦a t i v e l yi d e a l 丘n i t ed e i n e n t 8i n 3 - du p t 0n d w s e c o n d ，w e8 t u d yt h ep l a n 8 rd 8 s 廿c i t yp r o b l e mw i 七ht h ep l l r ed i s p l a c e m e n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l 唧b yn o n c o n f b r m i n ga n i 吕0 t r o p i c ( 1 r o l i z e 谗i h v i 盯tt r 汕g i l l 盯e l e m e n t i tj 8s h o w nt h a t t h i se l 咖e n t 玛l o d 【i n g - 厅e eo na 蹴r o p i cm e 8 h 鹤，a tt h e8 8 m t i m e ，b yi n t m d u c i n gs p e c i a l n o v e la p p r 0 8 c h 曲，t h eo p t i m 8 le h o r 船t i m a t e s o f e n e r 科o r ma n d 弘一n o r ma r eo b t 越n e d ，w h i c h a r e 8 a m ea st h a to ft h et r a d i t i o r “丘i t ee l e m e n t 塘t h o d s t h u 8w eg e tr 沮o f0 h er 铝t r i c t i o n 8 0 ft h er e g 舢l a r i t ya s s 啪p t i o na dq l l a 8 u n i f b r m 删u m p t i o nr e q u j r e do nt h em e 8 h 明i nt h e n - v e n t i o n a l 丘i l i t ee l e m e i l tm e t h o d s 瓤出8 i 8 ，a n d 麟t e n dt h ea p p l i c a t i o n8 c o p eo fn o n 0 0 n 向强i n g n n i t ee 1 e f m t s k e yw o r d ：s t o k e 8p r o b l 咖，p 1 a 皿8 re 1 阴t i c i t y n o n c o n f o r i ge l e l e n t ，a n i 吕o t r o p i cm 鹧h e 8 ， o p t i n l 8 le r r o r 髑t i m 8 t e 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违反学术道 德的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果，特此郑重声 明 学位论文作者( 签名) l 哆年月聍日 f 引言 传统的有限元方法要求对区域n 的剖分满足正则性或拟一致假设【5 ，2 5 】，即要求剖 分满足h 肛! g w f ，其中g o 为一常数，k ，肼分别为单元k 的直径及内切 圆直径然而在实际问题中，由于许多问题的解可能会在边界层或区域的拐角处呈现各 向异性特征，即真解仅仅沿某一方向变化剧烈此时使用标准的有限元方法会失去原有 的精度，因此各向异性网格单元研究就成为了当前有限元研究黼点之一，深受国际同 行学者的关注。关于这方面的研究可以参见文献p 8 ，1 2 - 1 6 】其中【9 】中作者对各向异性 有限元的基础理论做了较为系统的总结，这些工作都是基于协调单元进行研究的由于 9 】中理论的局限性，这方面的研究工作虽然推广到非协调元f7 8 】，但仅局限于对非协调 c r o l l z e _ m m a r t 型单元进行研究近来 6 对【9 】的方法又进步改进，给出了一种更易 于操作的判断单元是否具有各向异性特征的方法，开创了各f 母异性非协调单元研究的新 局面在各向异性网格意义下，传统有限元的误差估计方法无法使用。因此必须引入新 的估计方法，这也是各向异性非协调有限元研究的难点和关键点所在 关于s t o k 。同题的混合有限元解法已经有大量的文献 1 5 】但是这些研究大多都是基 于对区域正则剂分或拟一致剖分【5 l i 而多边形或多面体区域上的s t o k e 8 问题通常会在边 或角附近出现奇性，此时使用标准的有限元方法会失去原有的精度，因此各向异性网格 单元研究就成为了当前有限元研究的亮点之一，深受国际同行学者的关注本文第二章 构造了两个新的可用于求解三维s t o l 问题的各向异性长方体非协调有限元，并借助于 新的分析技巧得到了和以往完全相同的最优误差估计这两个单元整体自由度一个与目 前流行的旋转q l 元相当，另一个则更少由于它们适用于各向异性网格，因此更具有使 用价值并对进一步设计相关的自适应算法有重要意义 对于平面弹性问题，当l a m 常数 一m 时，即对于几乎不可压缩介质，通常协讽 元格式的解往往不再收敛于原问题的解，或者达不到最优收敛阶，这就是所谓的l o c l 【i n g 现象，见【1 7 - 1 9 】本文第三章将寓接利用三角形线性c r o l i z 靠溉订8 r t 垄非协调元进行逼 近，并通过引入辅助空间及新颖的估计方法。在各向异性网椿剖分下对纯位移平面弹性 问题的姒i n g 现象进行了研究。发现该元仍是l o d 【i n g - h 韵，同时得到了最优能量范 数和工2 一范敬误差估计值得指出的是由于这里的估计技巧非常特殊( 特别是关于相容 误差的估计) i 完全不同于以往芷则假设下的非协调元误差分析，因而更具有理论意义和 应用价值 本文安排如下t 第一章简单介绍需要使用的引理和记号；第二章构造了两个三维的各 向异性非协调长方体单元，并将其应用于s t o k m 问题，得到了最优误差估计；第三章结 合【6 ，8 】中的优点，利用c r o i l z e _ m 叭8 r t 单元研究了平面弹性问题的i o d 【i n g 现象，推广 了嘲中对网格剖分的限制值得指出的是这两部分内容中使用的误差估计方法是完全不 同的，且有别于传统的误差估计方法，具有一定的代表性 2 第一章预备知识 1 1 s o b l e v 空间及一些记号 设舻表示实n 维e u c f “空间，x = ( $ 1 ，z ”，z 。) 表示冗n 中的点令nc 酽 7 = m ，加，) 是一多重指标，其每一分量都是非负整数，且记，y 的长度为 混合偏导数记为 s o b l e v 空间定义为 1 7 i _ m l i o ，使 o ( ， ) 12c 1 1 2 ，v 日 则对任意，日7 ，存在唯一的”日，使 o ( “，u ) = ，( 口) ，日 其中日为h 的共轭空间 求解微分方程数值解的有限元方法需要先将微分方程转化为与其等价的变分形式如 d i r i c h l e t 边值问题转化为t 求t | 础( n ) ，使 n ( n ，”) = ，( 口) ，帕础( n ) 设v 为h i l b e r t 空闻，对下面一般的抽象变分问题，求嘲( n ) ，使 o ( ”) = ，( ) ，e 础( n ) 给定区域n 的一个剖分 ，一般为三角形或者四边形单元v k ，记妇为单元 的直径，职为k 的最大内接球直径， 2 糍k 如果存在常数c 使剖分族 ，( o o 使 n 扣， ) f i 训l 蚤，v z ， 其中z = 扣x 1 6 ( ，g ) ，e m ) ( 2 ) ) 在x m 上满足b b 条件，即存在常数口 o 使 躲粼刚k m 则混合变分问题有唯一解( p ) x m 设，螈为x 和m 的有限元逼近空间，若x 且蛳m 则称为协调元空间。 否则成为非协调元空间 6 对于协调元，混合变分问题的离散变分形式为 求，p ) 托慨，满足 n ( 郇，) + “擅h ) - ( ，i ) i 6 ( 1 4 ) 【6 ( 咖，n ) 2 ( 9 ，弧) ，v 咖 靠 对于协调元，离散的混合变分问题( 1 4 ) 有如下结论t 基本定理2 【4 】若双线性塑o ( ，) ，b ( ，) 满足 ( 1 ) 口( ，) 在满足强制性，即存在a 0 使 。( ，口) o i 曼，协， ( 2 ) 6 ( i ) 在地 靠上满足b b 条件，即存在常数卢 o 使 。船帛错字卢| | 吼。村，v 啦坼 则离散格式( 1 4 ) 有唯一解( u ，p ) 凰慨并且与连续变分形式( 1 3 ) 的解之间有误差 估计 o t 一t h j i x + i i p p h 4 f 曼c 。怨 f ( 1 i u 一”h o x 十l l p 一弧m ) 本文所考虑的s t o k 问题就属于这种类型 若有限元空间是非协调。即x ， 靠m 至少有一个不成立假设可以找到更大 的空间和l ，使得) x ， 讹，y m ，y ) m 同时成立，以及双线性n ( ，) 扩展到 ，6 ( ，) 可以延拓到xy 线性泛涵( ，) ，0 ，) 也可以进行相应的延拓，延拓后在 有限元空i 曰上的双线性型记作( ，) ，h ( ，) 等，此时离散格式为 m b 岫地扣 i - ( ，砌h 豳， ( 1 5 ) 【扫 ( u ，) 2 ( g ，g ) ，v 弧m 基本定理3 【4 】若双线性型( ，) t 6 ( ，) 满足 ( 1 ) 。 ( ，) 在瓢满足强翩性，即存在a o 使 n ( ，u ) n l | i l 知，v x ， ( 2 m ( ，) 在溉慨上满足b b 条件，即存在常数厣 o 使 。黑嗽铲冽啦慨蛳 则离散格式( 1 5 ) 有唯一解( “ ，p ) 蝎。并且与连续变分形式( 1 3 ) 的解之间有误差 估计 l l u 一 i i + l i p p i i y g 。e x 纛：帆( i i ”一i l + o p 一弧l l y + + + + 毛 ) ， 7 其中 m 一= 芸戮丛塑盟气高等世，尬护。：饕监晶乎业， h l i h 膏hl i i l “ m 3 一= 盟丛喘萨剑，地一。黑幽掣 n 蝎。弧i f 7 口h 矾 i l 弧0 y 注尬 ， f 4 一般为数值积分所致，如不考虑数值积分则该两项为o 另外有些情况下 混合元中一个是协调的，一个是非协调的，这时m 和 中有一个为o 8 第二章三维s t o k e s 问题的两个各向异性长方体有限元逼近 2 1 引言 在各向异性网格下用有限元方法求解s t o k * 问题，其难度主要在于满足离散的b b 条件的混合有限元空间通常为非协调元空间，而这些单元往往又不具备各向异性特征， 即使能适用于各向异性网格，其相容误差使用传统方法往往又无法估计，这正是各向异 性非协调单元误差分析的关键和难点所在 f 7 】巳证明，求解s t o k * 问题常用的旋转0 。 元不适用于各向异性网格，并给出了反例基于此，【7 】对旋转口1 元进行了改进并提出 了两个( 一个是矩形，一个是三角形) e r o u z e 醣r 矗v i a r t 型各向异性元，并通过构遣辅助空 问，得到了相容误差估计【8 】还将a r o u m 酢m m a r t 型四面体元应用于求解带角的三维 s t o k e 8 问题另外针对正则剖分，【9 ，10 】分别通过适当约束，也对旋转q 1 元进行了改进， 得到了两类非协调任意四边形毋元不同于【8 】i 本文构造了两个新的可用于求解三维 s t o l 一问题的各向异性长方体非协调有限元，并借助于新的分析技巧得到了和以往完全 相同的最优误差估计 2 2 有限元空间的构造与各向异性插值特征 设立方体膏= 一1 ，1 1 3 是参考元，其八个顶点坐标分别为a 1 ( 一1 ，一1 ，一1 ) ，a 2 ( 1 ，一1 ，一1 ) ， a 3 ( 1 ，1 ，一1 ) ，a 4 ( 一1 ，1 ，一1 ) ，a 5 ( 一l ，一1 ，1 ) ，a 6 ( 1 ，一1 ，1 ) ，a 7 ( 1 ，1 ，1 ) ，a 8 ( 一1 ，1 ，1 ) 六个面分另q 为 或= 石蕊丽i ，岛= 石瓦磊石，岛= 石夏磊石，矗= 磊面i 磊，鬼一丽石丙，岛= 磊磊葛蕊 在参考元雪上分别定义两个有限元( 詹，p ，壹) 如下t ( i ) 竞= o ( n ，o ( 2 1 ，o ( 3 1 ，o ( 4 ) ，o ( 5 ) ，o ( 6 ) ) ，户= 8 p n 竹 1 ，已( ，| p 幢) ，妒( 叼) k( 2 1 ) 其中 k 南厶汹一= ，。，s ，a 5 i e ) ) 蛋= 仲【_ 1 ，1 】；妒( 士1 ) = 1 ，脾- 0 9 这里l 或i = m e n 。或显然，满足上述定义的函数很多，如妒( t ) = ( 3 庐一1 ) ，妒( ) = ( 5 t 4 一孔2 ) 等容易验证上述定义是适定的，插值函数表达式为 矗。= i ( 。( 3 ) + 。( 6 ) ) + ； ( 4 ) 一毋( 1 ) ) f + ；( 。( 5 ) 一。( 2 ) ) 叩+ ；( 。( 6 ) 一。( 3 ) ( + ；( 。( 1 ) 一毋( 3 ) + 。( 4 ) 一。( 8 ) ) 妒( ) + ；( 。( 2 ) 一。( 3 ) + 。( 5 ) 一。( 6 ) ) 妒( 叮) ( 2 2 ) ( i i ) 竞= o ( ，0 ( 钔，0 ( 3 ) ，o ( 4 ) ，毋( 鼬，毋( 6 ) ) ，户= s p b n 1 ，卵，( ) ， ( 2 3 ) 且满足约束条件 o ( 1 ) + o ( 4 ) = 硝2 ) + 0 ( 5 ) = o ( 3 ) + o ( 6 】( 2 4 1 可以验证上述定义也是适定的，插值函数表达式为 m = ：蜘( i ) 十扣“1 ) ) f + 扣5 ) “”+ 渺6 ) “3 ) ) c ( 2 5 ) 设 为三维空间中区域n 的长方体剖分族，即n = u 霞v ，其六个面分 别平行于三个坐标平面记的中心点为( z ，眦，锕) ，沿蜀轨：轴方向的边长分别为 鼽。，2 h ，2 k ，且满足关系 一k b k ，( 2 6 ) 这里h 2 躐 k ，k ) ，n 6 的意思是指存在常数研，q 使得a 口兰6 s q m 定义仿射变换昧：露，k fz = z k + k ， p = 胀+ i l ，仉 ( 2 7 ) 【z ：钳+ k ( 引理2 1 设u h 2 ( n ) ， 为有限元空闻诱导出的插值算子， l k = = f i 。j 膏1 在 各向异性网格意义下，有如下插值误差估计 u 一叫1 s c l u l 2 岸( 2 8 ) 这里和本章以后出现的c 均是与h 及 x 肼无关的常数，并且不同的地方取值可以不 同 证明我们首先证明对于插值函数( 2 2 ) 式，结论( 2 8 ) 成立事实上，对于多重指标0 3 = 1 0 ( 0 ，o ，1 ) ， 加舭= 扣6 l 删) = ；( 厶啦m 1 ) 畦妒厶昧m 叫也捌 = 高厶赛妯炉g ( 加鱿 ( 2 9 ) 这里眩l = m e 。8 霞令o = d m 矗，则由6 z 如r 不等式可以得到 g ) ；i 膏r 1 厶。武咖d ( sc 忪忆詹兰g 忪忆膏， ( 2 1 0 ) 即g 为日1 ( 霞) 上的有界线性泛函由各向异性插值基本定理【1 2 】可得 1 i d 博一矗血) j 墨c l d 血1 1 开 ( 2 1 1 ) 注意到 一k k k ，即在z ，”方向是正则剖分，因此在参考元上对于多重指标 n 1 = ( 1 ，o ，o ) ，n 2 = ( o ，1 ，o ) 可以直接利用舸b e r t b n b l e 引理( 5 】易证 l u n 1 i k g 铲l u 偿耳， 由上式易推知( 2 8 ) 式成立 下面考虑插值函数( 2 5 ) 对于多重指标a l = ( 1 ，o ，o ) ，a 2 = ( o ，1 ，o ) 和n 3 = ( o ，o ，1 ) ，类似 于( 2 u ) 式的推导可得 i i 西。1 一n 血) 膏g 1 d 8 1 刮1 启， ( 2 1 2 ) 0 d 一n 幢) 恬膏口i j 衄刮1 丘，( 2 1 3 ) 0 d 。m f i 证) 8 0 童曼c 1 d 矗1 1 膏 ( 2 1 4 ) 由( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 式可推出( 2 8 ) 式，定理得证 注2 ，1 ：上述引理我们针对标量形式给出了证明。对于向量形式，结论一样成立后面一 些结论的证明用的是向量形式 2 3s t o k * 问题的离散格式及各向异性误差估计 钉纛 ( 2 1 5 ) 其中n = ( u 1 ，u 2 ，u 3 ) 为流速，p 为压力，v o 为粘性系数，= ( ，厶，3 ) 是已知外力 密度令 日= 础( n ) 3 ，m = l 3 ( n ) ， 则( 2 1 5 ) 的等价变分形式为t 求( ，p ) 日m 满足 嚣篙埘_ ，( 咄等二 其中 。( ”，”) = 正v v u v ”如句出，b ( u 柚= 上q 威”如d 眦，”eg m ， ，( ) = ，口d z 由出，讹e 日 j n 容易证明 ( ”， ) i i n ，v 口日，( 2 1 7 ) 黜黜州h n ， ( 2 1 8 ) 其中卢 o 为常数由混合变分基本原理知，变分问题( 2 1 6 ) 有唯一解( ，p ) 日m 风= h p ( n ) 3 ；k 。鼢户，一h 】幽= o ，v fc 甄n 飓， j f 且当fc a n 时，上蜥如= 吣， ( 2 1 9 ) 这里h 】表示函数在单元问的跳跃值 矗= q l 2 ( n ) ；咖i 是常数)( 2 2 0 ) 显然，空间玩是非协调的。慨是协调的在觇上定义1 i = ( i 瞪。) ，易证i 1 h 耳 是空间凰上的范数 考虑变分问题( 2 1 6 ) 的离散格式求( u ，肌) 巩 靠，使 l ( u h ) + h ( i p ) = ，( ) ，地，( 2 2 1 ) lh ( ，铂) ；o ，慨， z ” 其中( t ，) 2 夏r p v h v 如由出，6 ( q ) 2 最口 出w 出句出，讹 ，k e j hk e j h h h ，q h m h 显然 口 ( ，) p 恳h 丑i 引理3 1 对于插值算子h ，有 一 i 曼g 1 。n k a 1 ，n ( 2 ，2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 证明若剖分是正则的。上述结论是显然的，但当剖分非正则时，要用到算子n 的特殊 性首先考虑对于插值函数( 2 2 ) ，结论( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 成立 对于多重指标n 3 = ( o ，o ，1 ) ，根据引理2 1 证明中的( 2 9 ) 式，可以定义映射 t ：p ( 靠) j 舯n 1 ) 翰= g ( 由) l( 2 2 5 ) 显然，线性映射t 对。次多项式精确成立，从而有 l i d 一疗。) 仉霞= i i d 岫。一t ( d 。3 。) j g | | 西口3 训o _ l ( 2 2 6 ) 因此 恤一u 幢 = l i d 。1 ( 一i i u ) | 1 3 ，+ i i d 劬( 一”) 1 3 ，k + l | d 。( u 一u ) 幅k c i 矗。i 【 ；2 l l d “1 一矗矗) i 莒膏+ j 百2 西。( 矗一n n ) 9 ：，膏+ ；2 i i d 。( n n 血) i 瞌膏】 e i i ( k 2 l n l i 膏+ f i 2 | 。罡它+ j 2 i d “3 n i ：膏) 茎g 【k 2 胪。0 d “u l i 苦1 + i 2 h 2 。| 1 d 。“惦f + i 2 胪。a | i d “s 训瞌芹1 i a l = l1 n l = 1 g 川i 由此可推出( 2 3 ) 式，再利用三角不等式可得( 2 2 4 ) 式 对于插值函数( 2 5 ) ，类似于结论( 2 ，2 6 ) ，有 i i d 。1 ( 。一f b ) 1 | o 宜g | l d “1 。| l o 膏， 1 3 | | d 。2 一面) 詹g 恼4 钏o 膏 i i d “3 一f i 。) 詹sg | | d 。j 由上面三式可以推出( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 式成立，引理得证 引理3 2 矾 靠上的双线性型h ( ，) 满足b b 条件，即存在卢 o 使得 。勰常掣划咖，慨 ( 2 2 7 ) 。：墨i i ：i 产2 卢l 弧i 瓢6 埘“ ( 2 2 7 ) 证明利用引理3 1 及连续的b b 条件( 2 1 8 ) 可以直接推出上述结论 由以上引理，我们给出本章的主要结果 定理3 3 设( u ，p ) ，( ” ，p ) 分别为s t o k 问题变分形式( 2 1 6 ) 及其离散格式( 2 2 1 ) 的解， 若( u ，力( 铲( n ) ) 3 日1 ( n ) ，则有 i 一t k + 由一p i f c ( i u l 2 ，n + l p l l ，n ) ( 2 2 8 ) 证明根据混合元理论知，离散问题( 2 2 1 ) 有唯一解( u ，p ) 巩慨，并且与变分问题 ( 2 1 6 ) 的解( t l ，p ) 日m 之间有如下估计 i 札一 l + l p p i m 茎g ( 。磨鼓阻一i + 。蠢蛀i p 一i + 。蕊丛生等 止划) _ ( 2 2 9 ) ” 巩i t 仉i 利用引理2 1 ，上式右端第一项逼近误差可估计如下 。：2 ki ”一” k i “一h “l g “i u l 2 ，n ( 2 3 0 ) 对于( 2 2 9 ) 式右端第二项逼近误差有 。磨i p 一弧l m 旧一只) p k ， 其中晶引k = 南k p 如咖出为p 在k 上的零次插值由h i l b 卧b r a n 出l e 引理可得 囟一p o p l 玉2 蠡 酬3 ，片2 鑫”嵇唼禺k n i i g 鑫雌膏胬2 g 。矗l 萎。i i d 印幔j 罱 g 鑫l 毒1 6 2 。p g 州；n ， 1 4 即 蕊i p 一i m 兰c “n ( 2 3 2 ) 下面估计( 2 2 9 ) 式右端第三项相容误差这在各向异性网格下是最困难的部分，因为 传统的有限元估计技巧通不过 h 巩，利用g r e e n 公式及方程( 2 1 5 ) 可得 2 盖【上”v ”一出d 舛：一厶p 出w 一如由如一厶，如句叫 2 磊吃。”赛a s 一正v u 出由出 一z 。m ，n 出+ 上v p 出由如一厶，辄d z 州z 】 = ”磊厶是a s 一点厶m 俐s 其中n = ( n 1 ，m ，n 3 ) 为单位外法向量， 先考虑 乃( ) ： 銎如 ；吾h j 8 k 珊嘶m 卜聂上。蛳胁x j h 嘶，2 磊z x 爱幽 2 磊皈爱句出一厶笔由如+ 厶嚣出如 一厶讥券如出+ 厶地象蚴一厶鲰象出圳 c 。 对于一般单元耳，h 1 ( k ) 令 如”2 蠢瓦厶”妇如，江- a 凡”= 采瓦厶”如妃忙。，s ， 如”2 磊i 厶”如由，i = s p o ”= 高五”如而出 上述记号对于向量函数也同样适用，如对u = ( 口1 ，”2 ，啦) ( 日1 暇) ) 3 有尸0 = ( 娲 1 ，岛也，p 0 啦) 如= ( ”l ，”2 ，”3 ) ， = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 显然这些映射是仿射等价的，在相应参考元上 1 5 的映射记为p o t ，p 0 噩( ，) 2 磊吒( ”一一地) ( 象一岛塞) 曲如一厶h p 0 - ) ( 塞一岛爱) 由出 + 厶一哦姐) ( 骞一局赛) 如出一厶h 一嘞( 赛一岛器) 如如 + 厶一) ( 笔一鹾) 如由一厶( 一) ( 象一鹾) 出训，( 2 _ 3 5 ) 令l ，m ，分别为岛1 ，m 和马2 ，p 0 5 及玮3 ，的线性插值，即 地= 掣旷掣聊一 = ；( 1 + f ) 矗t 饥一；( 1 一) 扁。“= “ ( 2 3 6 ) 胁一掣哦一掣嘞 11 = i ( 1 + 口) 氐讥一；( 1 一叩) 户0 2 饥= m h ( 2 3 7 ) = 掣一掣 = ；( 1 + ( ) 鼠砘一：( 1 一e ) 吨：阮 ( 2 3 8 ) 这时，( 2 3 5 ) 可改写为 噩( “，) 2 磊 厶差【一二啪( 爱一岛象) 】出州z + 上品【h 一) ( 筹一岛筹) l 如由d z + 上去知n 一) ( 笔一局塞) 】如批 = ，薹( 缸+ + 靠) ， ( 2 3 9 ) e j 其中a 耳2 & 鑫【( 饥一工) ( 舞一昂爱) 】出由出，昧= j 南【( 蜥一m ) ( 嚣一岛器) 】如州z ， = k 岳【一) ( 器一p 0 爱) 】出由如 下面首先估计a k ，利用分部积分得 a k = 上一工) 象出咖如+ 上( 象一p o 象) ( 磐一警) 出西出 其中j 4 茸- 2 k ( 冁一地) 貉出鲫；，4 x z = 厶( 赛一岛蛊) ( 鲁一警) 咖如 由于插值算子三对。次多项式精确成立，所以 i a 刘2 l 上一翻一) 象出d 眦l 【厶( 一曲舻如d l d 币【上( 象) 。如由酬 1 6 ! 耳f 0 钆一靠i o 席扭1 2 g l i l 砘 1 膏f “1 2 = g 吲札b x 厶【( 繁) 2 + ( 篱) 2 + ( 等) 2 】鹰d 似) 5 = 。i k l ：， 二幢( 磐) 2 + ：( 等) 2 + 砖( 磐) 2 】1 k r l 出白出) 。 c l ”h l l ，k l “1 2 。k 又因为 潍；走( 嘲一p 0 1 ”h ) ；1 南k 静如由出= p 0 镪 所以 1 1 2 净k = 南ik 静幽妇如is ( k ( 蛰) 2 如咖出) j = l i 铬k 令”= 罄，则 肋可以估计为 x 。l = f 厶一局”) ( 警一警) 出由如f 帅一昂酬。川l 鲁一笋耳 钏”一驯h 川磐x 圳警0 2 卜驯训鲁x g i 耳i i l 西一岛面0 。，霞l ” 1 1 n g l k l l 曲1 1 膏h i l ， g 俐3 厶畦( 筹) 2 + ；( 筹) 2 + 圮( 筹) 2 憎r 如由如) 5 h i l x g h i ” i l ，片i 叫i l ，g 川口h 1 1 ，k i u l 2 。k 将( 2 4 0 ) ，( 2 4 1 ) 代入a k 得 同理对b x g k 韦 a i 口 i u l 2 。k f f 1 ， ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) f 鲰f 兰e 卜工k ，k f f 1 k ， i l z k f 曼口 f 1 2 ，耳f h 1 1 ，k ( 2 4 3 ) 将( 2 4 2 ) ，( 2 4 3 ) 代入( 2 3 9 ) 得 类似可证明 i n ( u ，) 1 c j u l 2 ，n 阻 i ( p ，) l g l 叫1 n i 蜥i 将( 2 “) ，( 2 4 5 ) 代入( 2 3 3 ) 可得 ( 2 “) ( 2 4 5 ) ( “，) + 6 ( ，p ) 一，( ) f c ( f “f 2 ，n + f p f l n ) h f ，( 2 4 6 ) 1 7 进而有 。u p 止塑玉竺上! 蔓上! ；垒二里l 二：垒堡m g ( 1 1 2 ，n + i p l l ，n ) ( 2 4 7 ) ”h e 风1 i 将( 2 3 0 ) ，( 2 3 2 ) ，( 2 4 7 ) 代入( 2 2 9 ) 式，可以推出结论( 2 2 8 ) ，定理得证 注2 2 ：需要指出的是对于单元( i i ) 来说，由于其形函数空间对称，对多重指标a l ，a 2 ， 都满足各向异性插值特征。故适用范围更广，这时满足剖分条件( 2 6 ) 的各向异性网格仅 是一个特例另外其整体自由度可以说是到日前为止求三维s t o k e s 问题中最少的长方体 非协调单元，因此更具有使用价值 第三章平面弹性问题的各向异性c r o u z e 泌r 删i a r t 型三角形非 协调有限元逼近 3 1 弓i言 考虑纯位移平面弹性问题 一肛能咄) 9 删( 托回2 ， 伽见 ( 3 1 ) l 订= o o n 舳- 这里 ，p 是l a m d 常数， ( o ，+ ) ，p p l ，p 2 】，o p 1 问题( 3 1 ) 的一个等价变 分形式是 求矗6 矿多得 ( 3 | 2 ) ln ( 矗，回= ( ，回v d y ， 这里矿( 础( n ) ) 2 ，矗= ( u 1 ，“2 ) ，厂= ( ，丘) ( l 2 ( n ) ) 2 ， 口( d ，回= 肛v d v d + ( p + ) ( 出删( 出。司) d z d 玑( 五回= ，谳z d 掣 j nj n 对于平面弹性问题，当l m z 常数 一m 时，即对于几乎不可压缩介质，通常协调 元格式的解往往不再收敛于原同题的解，或者达不到最优收敛阶，这就是所谓的l o d d 皿g 现象，见【1 7 - 19 】究其原因，在通常的有限元分析中其误差估计式的系数与a 有关，且 当a o 。时，其系数趋于无穷大因此为了克服l o c k i n g 现象，就需要特殊的有限元格 式l 舡2 l ，2 3 ，2 4 3 ，使其解关于 一致地收敛于原解但是就我们所知，到目前为止所有这 方面的研究都是基于网格剖分满足正则假设或拟一致假设的条件下进行的。对各向异性 网格下的研究却很少见到而且有些单元甚至根本不能用于各向异性网格( 如【7 】中所讨 论的旋转q - 元) 本文将直接利用三角形线性g r o u m r 棚w t 型非协调元进行逼近，并 通过引入辅助空间及新颖的估计方法。在各向异性网格剖分下对纯位移平面弹性问题的 l o 幽n g 现象进行了研究，发现该元仍是l o d 【i n g - 丘e e 的同时得到了最优能量范数和工2 一 范数误差估计 3 2 非协调各向异性有限元构造 1 9 为了简单起见，假定n 舻是一个凸多边形区域， 是其一个三角形剖分组， n = u 霞 只需要满足下列条件( a ) a n d ( b ) ( 参看【10 】) ，但是不必满足正则假设和拟 k e 一致假设 ( a ) 最大角条件t 存在一个常数h ”( 不依赖于 ，k ) 使得任意一个单元k 的 最大内角7 满足* ，1 * ( b ) 坐标系条件，角口是三角形最长边和z 一轴的夹角，陋加is a 胁，耳( 这里k ，耳 是最长边的长。 2k 是最长边所对应高的长) ， v k ，设k 的兰个节点为a ( ，挑) ，对应的边为最o = 1 ，2 ，3 ) 不失一般性，假设 三角形的最长边平行于z 一轴， h 。= h 1 ，k ，b ，耳= “2 t k ( 参见图3 1 ) 图3 1 单元k 中相关记号图示 在不混淆的情况下，下文中将去掉向量符号并分别使用岛表示击，用表示 a 2 蕊田。 令詹为平面( a l ，a 2 ) 上的参考单元，五= ( 1 ，o ) ，如= ( o ，1 ) ，和矗= ( o ，o ) 为参考单元 上的顶点。参考单元上的四条边为f l = 南南，毛= 鑫五，毛= 五南 单元它上的有限元( 詹，户，) 定义如下 = n ( “，矗( 2 ) ，n ( 3 ) ， 户= l ， i t 2 ) ， ( 3 3 ) 这里矗“= 由危n 幽，t = l ，2 ，3 ，i ：i i = 丘i 幽 容易证明上述插值是适定的，插值表达式为 n 血= 缸( 1 ) + 矗( 2 ) 一d ( 3 ) + 2 ( 舀( 3 ) 一血( 1 ) 1 + 2 ( 畦( 3 ) 一矗o ) ) 沁( 3 4 ) 2 0 釜一淞笙滏 相对应于拉格朗日型( 节点) 插值来说，上述插值n w 1 p ( 丘) ，【1 ，+ o 。) ，进一步注意 到舭= o ，a ( p l 是阶数小于等于1 的多项式| 隐合) 下面对插值算子f i 进行讨论 引理2 1 由( 3 4 ) 式定义的插值算子盘具有各向异性插值特征，即v a = ( a - ，n 2 ) ，= l ， 有 i i 西。一矗n ) 膏g i d “训1 膏， 矗日1 ( 霞) ( 3 5 ) 这里及下文中的常数g 为正常数并且不依赖于 ，p ， a n dk 腑 证明令。= ( 1 ，o ) 则 d 。n n = 2 ( n 一1 ) = i 膏r _ 1 厶以，n d l d 沁皇f ( d 8 n ) 这里噼l 表示单元膏的面积令( ：i = d 。吐于是 g ( o ) = l 霞r 1 ：o d a l d a 2 g 1 1 0 i l o ，膏g f i 白0 1 ，霄， j k 。 由此可知g 连续线性泛函使用各向异性插值定理 1 2 】1 可得 l i d 8 一f l 砬) 詹g l d 。训l ，膏 类似的，对于多重指标a = ( o ，1 ) 可以得到同样的结果引理得证 定义仿射变换职：膏一 iz = ( l 一如) a l + 扛2 一蜘) a 2 + z 3 l 掣= ( 可l 一暑3 ) a 1 + ( 1 ，2 一舶) a 2 + 掣3 定义有限元空间垤一 u ；“ i * o 取户2 ，具有表达式( 3 4 ) ，f j ，f 】出；o ，v 研 其中f 表示单元的边，h 】表示u 在单元k 上的跳跃值如果f c a n ，则1 一 令 i = k = n 。嵫1 ，可得如下结论 引理2 2 讥1 p ( k ) ( p 【l ，+ ) ) ，插值算子 满足 出v k “= 村( 出口t ) ，( 3 6 ) 这里m 删= l k l _ 1 ku 如由 证明 戚”k “= 吲。厶威”n k u 如由= 旧1 厶x u n 出= 吲。1 砉厶耳一啦幽 = 蚓。娄厶”m 幽= i r 上拗t 血旬= 帐( 执u ) - 引理证毕 由h n b e r t b r a l b k 型引理可以推出对任意的u w 1 p ( k ) ( p f 1 ，+ o 。) ) 有 m 彳耳 i l o ，n k 墨 九 ，i | 岛 0 0 慨 e 扛，订 这也是p o i n c a r 审f l i 甜r i c h 8 不等式的个推论 引理2 3 令f 表示单元k 的边， 幻啦= 由b 啦幽a = l ，2 ) 则 i ( u i m f 啦) ( u k m f “k ) 出i 兰g i f l ( 2 1 k 1 ) 1 ( 砖，符i | 岛蛳嗯) ( ：，k i 岛”k i 若 k ) j ， q e z ，v )q e ( ，v 对任意的( h 1 ( k ) ) 2 ，“ k 都成立 证明由单元k 到参考元詹的变换，迹定理，b r b 珏h i l b e n 引理可得 i i u i m f 咄0o ，f = i f i i 钒一睥啦p g 1 f l 讯1 1 膏 g i f i ( 2 i k i ) 一 ( ；，k 0 岛嘶i 陋k ) ， 口e $ 计 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 于是 i 厶似一坼啦) ( “旷坼 k ) d s i 到蚺一坼地一坼“h | | o | f g i f l ( 2 畔1 ) 一1 ( 砖，。8 岛啦l 睦。) ( 砖，耳1 1 岛锄。憾x ) q ，v q z ，v ) 引理得证 注3 1 ：如果f 是( 3 8 ) 式中耳的最短边，则上述证明使用传统的方法很容易得到，但是 当f 是长边时，( 3 8 ) 式将会出现鹾k ，它在各向异性网格下趋向于+ m 为了克服 这个难点，将引入辅助有限元空问讳，并利用它逼近h ，上面提到的项将消失这是下文 中相容误差能够成功估计的关键 辅助空间蟊定义如下 讳= 诹( 铲( n ) ) 2 ；诹1 嚣( t 即n 1 ，口 ) 2 ，v 耳，0 强】出= o ， j f f ? 这里见表示k 中两条长