（概率论与数理统计专业论文）确定缴费型养老金的最优投资.pdf

摘要 由于养老金的规模是十分巨大的，因此投资对养老金计划是十分重要的。但投资是 有风险的，因此需要寻找最优的投资策略。在实际的股票市场，由于存在许多不确定 事件，象泡沫、灾难、会融危机等，都会对股票的收益和方差产生很大的影响。有大 量的实证研究证明股票的收益和方差都是随机的。所以，在风险资产的收益率和方差 都是随机的条件下，对养老会计划的最优投资策略进行研究，无论在理论上，还是在 养老金实务中，都是非常有意义的。 本文对确定的缴费计划养老金，在养老金基金投资于无风险资产和风险资产的条 件下，研究使得期望财富最大的最优投资策略。在指数效用函数、幂效用函数和对数 效用函数下，分别得到使得期望财富效用最大的最优投资策略，以及最大期望财富效 用函数的显示解，并通过数值计算得到一些重要参数对最优策略和最优值函数的影响。 本文涉及到无风险资产的无风险利率有两种，一种是常数的无风险利率，另一种 是满足c i r 模型的随机利率。本文第三章和第四章分别对两种无风险利率单独进行研 究，通过求解目标函数所对应的h j b 方程得到最优投资策略和最优值函数的明确表达 式。 关键词确定的缴费计划养老金，确定给付计划养老金，h e s t o n 随机波动模型，c i r 模型，效用函数，最优投资，h j b 方程 a bs t r a c t a st h es c a l eo ft h ep e n s i o n sf u n di s v e r yl a r g ea n dt h em a t u a r i t vo ft h e p e n s l o n sp l a ni sv e r yl o n g ，i n v e s t m e n ti sv e r yi m p o r t a n tf o rt h ep e n s i o n s p l a n a p p a r e n t l y ，r i s k yi n v e s t m e n tc a l lb ed a n g e r o u s ，a n dt h e r e f o r ei tn e e d s t of i n d t h eo p t i m a l i n v e s t m e n ts t r a t e g y i nt h ea c t u a l s t o c km a r k e t ，t h e r ea r em a n v u n c e r t a l n e v e n t s ， s u c ha s i n f l a t i o n ，d i s a s t e r ,w a ra n ds o o n ，w h i c hm a v 1 n f l u e n c et h ei n t e r e s tr a t ea n d t h ev o l a t i l i t yg r e a t l y al a r g en u m b e r o f e m p i r i c a l s t u d i e sh a v es h o w nt h a t t h er e t u r n sa n dv a r i a n c eo fs t o c k a r er a n d o m in e r e f o r e ，i n t r o d u c i n gs t o c h a s t i cf a c t o r si n t ob o t hi n t e r e s tr a t ea n d v o l a t i l i t yi n 1 n v e s t m n tw i l lm a k et h ep e n s i o nf u n d i n g p l a nm o d e lm o r er e a l i s t i ca n dm o r e p r a c t i c a l i nt h l sp a p e rw es t u d yt h ep o r t f o l i oo p t i m i z a t i o np r o b l e m f o rt h ep e n s i o n s f u n d i n gp l a nw h os e e k st om a x i m i z et h ee x p e c t e d u t i l i t yo ft h et e n n i n a lw e a l t h 1 nad e t i n e dc o n t r i b u t i o np e n s i o np l a n u n d e rt h ec o n d i t i o n st h a tt h e p e n s i o n i i a n d l n gc a nb ei n v e s t e di nar i s k f r e ea s s e ta n dar i s k ya s s e t ，a n dt h ev o l a t i li t y o h er l s k ya s s e ti sd e s c r i b e db yah e s t o nm o d e l ，w eo b t a i nt h ec l o s e d - f o n n e x p r e s s l o n so ft h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n dt h em a x i m a l e x p e c t e de x p o n e n t i a l u t i j i t y , p o w e ru t i l i t yf u n c t i o na n dl o g a r i t h m i cu t i l i t yf u n c t i o no ft h et e r m i n a l w e a l t h , r e s p e c t i v e l y m o r e o v e r , t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e nt h e o p t i m a l 1 n v e s i m e n ta n dv a r i o u s p a r a m e t e r sa r eg i v e nb yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n jn e r ea r et w o r i s k _ f r e ei n t e r e s tr a t eo ft h er i s k f r e ea s s e t s ：o n ei s c o n s t a n t o h eo t h e ro n ei ss t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ds a t i s f i n gt h e c o x i n g e r s o l l r o s s ( c i r ) m o d e l i nc h a p t e ri i ia n di v , t h et w ik i n do f r i s k f l e ei n t e r e s tr a t e sa r es t u d i e d 郴p e c t i v e l y b ys o l v i n gt h eo b j e c t i v ef u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gh j b e q u a t i o n ， e x p l l c l te x p r e s s i o n sf o rt h eo p t i m a li n v e s t m e n ts t r a t e g ya n d t h eo p t i m a lv a l u e f u n c t i o na r eo b t a i n e d k e yw o r d s d e f i n e dc o n t r i b u t i o np e n s i o np l a n ，d e f t n e db e n e f i t p e n s i 。n p l a n ，h e s t o ns t o c h a s t i cv 。l a t i l i t y m o d e l ，c o x - i n g e r s o l l r o s sm o d e l ，。p t i m a l i l i n v e s t m e n t ，u t i l i t yf u n c t i o n ，o p t i m a lc o n t r o l ，h a m i l t o n j a c o b i - b e l l m a n e q u a t m n i i i 硕十学位论文第一章绪论 1 1 选题的背景 第一章绪论 养老保险是社会保障制度的重要组成部分，是社会保险五大险种中最重要的 险种之一。所谓养老保险( 或养老保险制度) 是国家和社会根据一定的法律和法 规，为解决劳动者在达到国家规定的解除劳动义务的劳动年龄界限，或因年老丧 失劳动能力退出劳动岗位后的基本生活丽建立的一种社会保险制度( 见参考文献 【5 6 1 ， 5 9 】) 。 由于养老金是到退休之后开始领取，且领取的数额是根据退休的工资水平进 行调整，因此社会养老保险基金的收益率必须高于工资增长率和通货膨胀率。由 于中国面临着r 益严峻的人口老龄化、社会保障财务危机等挑战，因此社会养老 保险基金的投资对我国就变得尤为重要。由于养老会的规模是十分巨大的，因此投 资对养老金计划是十分重要的。但投资是有风险的，因此需要寻找最优的投资策略( 见 参考文献 5 7 】， 6 0 】， 6 l 】) 。 自2 0 世纪8 0 年代以来，我国开始对养老保障制度进行改革，提出了建立“三支柱” 的新型养老保障体制的目标，并将企业年金的发展作为重要战略目标，吸引了许多学者 以及金融机构对其进行研究。人口老龄化危机已成全球性问题，我国在这方面尤为严 重。一是由于人口基数过大，造成老龄人口绝对数量过多；二是我国是在经济发展初 期进入老龄化社会，国力相对贫弱，国家很难承受巨大的养老负担；三是2 0 1 0 , - - - , 2 0 3 5 年老龄化高峰已为期不远，应对时间紧迫。为此，经过多年的探索和实践，我国建立 了“统帐结合”的养老金制度，应该说这一制度在稳定社会，特别是在国企改制过程中 起到了很好的积极作用，成效是肯定的。但随着改革的深入和形势的发展，这一制度 的不足之处逐渐暴露出来。一是制度的覆盖面严重不足，使数量庞大的农民工、个体 私营劳动者等社会群体游离于制度之外，给国家将来带来巨大养老负担隐患。二是企 业职工与机关、事业职工分属两个保障体系，彼此衔接不够，影响劳动力资源的合理 配置，从而不利于经济发展。三是基金积累不足，隐性负债巨大，面临支付危机。这 些问题，必须通过改革和完善现有制度加以解决( 见参考文献【5 8 】) 。 而在实际的金融市场，由于存在许多不确定事件，象泡沫、灾难、金融危机等，都 硕十学位论文 第一章绪论 会对风险资产的收益和方差产生很大的影响。有大量的实证研究也表明风险资产的收 益和方差都是随机的。因此为了更符合实际，需要对风险资产的收益和方差都是随机 的投资组合进行研究。目前在养老金计划的最优投资研究中，还没有文献对风险资产 的收益和方差都是随机的最优投资进行研究。所以对确定缴费计划养老金，在风险资 产的收益和方差都是随机的条件下，研究使得养老金计划的最终财富期望效用最大的 最优投资策略，是非常有意义的。 1 2 研究现状 养老金计划主要有两种方式，确定缴费计划( d e f i n e dc o n t r i b u t i o np l a n s ) 和确定给付 计划( d e f i n e db e n e f i tp l a n t ) 。确定缴费计划是提前确定养老金参加者和出资方每年的缴 费金额，未来的退休给付是到期缴费会额及投资收益的函数。确定给付计划是提前确 定退休给付金额，参加者的缴费金额为了能够达到退休时确定给付的金额会随实际情 况而变动。确定缴费计划和确定给付计划主要的不同之处是投资风险由谁承担。在确 定给付计划下，由养老金发起者确保养老金的最终支付，养老金发起者承担由不确定 性所导致的投资风险；而在约定缴费计划下，养老金发起者把由不确定性所导致的投 资风险，转移给了养老金参加者。 有大量的文献对确定缴费计划养老金的金融风险进行了研究。b l a k e 等【3 】，b o o t h 和y a k o u b o v 4 】，h a b e r m a n 和v i g n a 2 3 】，d e e l s t r a 9 】，j o s a - f o m b e l l i d a 和 r i n c o n - z a p a t e r o 3 9 ，x u ，k a n n a n 和z h a n g 4 2 等对确定缴费计划养老金的费用风险进 行了研究，研究使得养老金的精算资产与精算负债最为匹配。也有大量的文献对确定 缴费计划养老金的投资风险进行了研究，见g e r r a r d 等( 【1 9 】，【2 0 】【2 1 】) ，d e v o l d e r 等( 【l o 】) ， x i a o 等【4 l 】，但在这些文献里，都假设风险资产的价格服从几何布朗运动，即风险资产 的收益和方差都是常数。徐静等【4 7 】考虑连续时间情形下给付确定型养老金模型的最优 控制问题。在养老金给付期望为指数增长，目标函数为最小化贡献率风险和偿付能力 风险线性组合的假设下，得到了无风险投资时的最优贡献率和最小风险。l i 平i w u ( 3 2 ) 研究了利率是随机的，并且利率满足c i r 模型，股票价格也满足c i r 模型。在这两种情 况下，研究了使得财富期望效用最大的最优投资策略，得到使得期望财富效用最大的 最优投资策略，以及最大期望财富效用函数的显示表达式( 【2 4 】，【2 5 】) 。有关随机利率和 随机变差的研究，见z a r i p h o p o u l o u ( 4 4 ) ，l i u ( 3 3 ) ，k r a f t ( 2 9 ，【3 0 】，【3l 】) 等等。 2 硕十学位论文 第一章绪论 g a o ( 1 6 ，【1 7 】) 对确定缴费计划养老会，在风险资产的方差依赖于时问的c e v 模型下， 研究了使得财富期望效用最大的最优投资策略。见c o x ( 7 】， 8 ) 在风险资产的方差依赖 于时间的c i r 模型下，研究了最大的最优投资策略。 m e r t o n ( 3 4 ，【3 5 】， 3 6 1 ，【3 7 】) 首次将随机最优控制理论运用于数理金融学，结合效用 函数理论，建立财富和期术消费综合效用最优的投资消费决策模型，并得到最优的投 资消费决策。此后一些学者运用随机最优控制理论解决养老会投资问题，女n b o u l i e r 5 】 等利用二次损失函数研究给付确定型养老余最优投资问题，将缴费水平的损失最小化作 为目标函数，并得到最优投资策略，但只考虑了给付水平的确定性变化，未考虑给付水 平随机变化时的情况。g e r r a d ( 1 8 】，【1 9 】，【2 0 】) 等研究缴费确定型养老金最优投资问题， 将财富水平的损失最小化作为目标，建立最优投资策略模型，分别在有限时间和无限 时| 日j 的情况下得到了最优的投资策略。 叶燕程和高随祥( 4 4 ) 利用随机控制理论研究缴费确定型企业年会的最优投资策略， 分别在固定缴费和随机缴费情形下，建立基于给付损失最小化的企业年金最优投资模 型，通过求解h j b 方程得到最优投资策略和给付水平的显式解，并对固定缴费时的最优 策略进行蒙特卡洛仿真模拟。郭磊和陈方j 下( 【4 5 】) 在常数相对风险规避系数效用函数的 偏好假定下，构建了反映企业年金计划退休前有固定投入。退休后有固定支出的连续 时问随机动态规划模型，求出了退休前和退休后最优个体投资策略，发现二者具有一定 的对称性。固定缴费投入使退休前的策略相对积极，但最优风险证券投资比重随时间 推移而降低；固定养老支出使退休后的策略相对保守，但最优风险证券投资比重随时 间推移而增加。大规模的m o n t e c a r l o 模拟证明了理论推导。 1 3 论文结构 本文对确定的缴费计划养老金，在养老金基金投资于无风险资产风险资产的条件 下，研究使得期望财富最大的最优投资策略。在指数效用函数、幂效用函数和对数效 用函数下，分别得到使得期望财富效用最大的最优投资策略，以及最大期望财富效用 函数的显示解，并通过数值计算得到一些重要参数对最优策略和最优值函数的影响。 本文共分为五章，其内容如下： 第一章是绪论，主要简单介绍了养老金的相关发展，国内外的研究状况，以及本 文的结构。 硕+ 学位论文第一章绪论 第二章是基本概念和基本理论，主要简述养老金的缴费的基本概念和特点，效用 函数的类型和特点以及介绍基本理论如h j b 方程和随机控制理论的相关知识。 第三章在风险资产的方差依赖于时间的h e s t o n 模型下，研究使得期望财富效用最 大的最优投资策略。当无风险资产的无风险利率为常数时，在指数效用函数、幂效用 函数和对数效用函数下，分别得到使得期望财富效用最大的最优投资策略，以及最大 期望财富效用函数的显示解，并通过数值计算得到一些重要参数对最优策略和最优值 函数的影响。 第四章在无风险资产的利率满足c i r 模型，以及风险资产的方差依赖于时问的c i r 模型下，研究使得期望财富效用最大的最优投资策略。在幂效用函数下，得到使得期 望财富效用最大的最优投资策略，以及最大期望财富效用函数的显示表达式。 第五章，总结与展望。总结本文主要工作，探求其不足之处及进一步研究的问题。 4 硕十学位论文 第：章基本概念及基本理论 第二章基本概念及基本理论 本章主要介绍养老会的缴费的两种方式，即定额缴费养老会办法和定额给付养老金 办法两种。其次是效用函数的概念，以及四个常见的效用函数及性质。最后介绍一般 形式的最优随机控制理论。 2 1 基本概念 2 1 1 养老金分类 根据养老金的给付方式不同，养老金计划分为定额缴费养老会办法( d e f i n e d c o n t r i b u t i o np e n s i o np l a n ) 和定额给付养老会办法( d e f i n e db e n e f i tp e n s i o np l a n ) 两种。 由于在定额缴费养老金办法和定额给付养老金办法的方式下养老金的具体内容和约定 条款不同，这两种给付方式下养老金费用及养老金资产与负债的确认也有所不同，因 此会计处理也存在差异。 1 定额缴费养老金办法 定额缴费养老金办法指雇主同意依照一个公式在每段时期支付给养老金托管人一 定资会的计划。这个公式可以考虑这样一些因素，比如年龄、服务期的长短、雇主的 盈利状况和报酬水平。企业并不承诺将来发放的养老金具体金额，只需定期提存一定 金额的养老基金交给信托机构保管运营，雇员退休时从信托机构领取的养老金数额是 一个变量，其大小视所提存的基金及其投资盈利情况而定，与计划资产相关的风险( 如 通货膨胀、生活费用水平等) 全部由雇员个人承担。 2 定额给付养老金办法 定额给付养老金办法确定了雇员在退休时得到的福利。通常使用的公式是，给退 休雇员的福利定义一个当雇员退休时工龄和酬报水平的函数。定额给付养老金办法是 企业承诺在职工退休后支付一定数额的养老金，或在职工退休后分期支付一定数额养 老金的计划，因此企业必须确定现在的支付水平以满足退休时的养老金福利承诺。可 以使用许多不同的支付方法，无论使用什么基金方法，都应该在退休时拿出足够的资 金满足计划确定的福利。 硕十学位论文 第二章基本概念及基本理论 2 1 2 效用函数 一个实值函数“：疋+ _ r ，在下列条件下被称为代表偏好关系的效用函数，该条 件是：对于任意的一，恐r + ，都有“( _ ) u ( x 2 ) ( 五恐) 。 若u ( x ) 为效用函数，材( x ) o , u ”( x ) o ，0 o ，u ”( x ) 0 o ，则称甜( x ) 为对数效用函数。由定义 可以知道“- ( x ) o ，u i ! ( x ) 。，“”( x ) 0 是一个常数；f ( ，) 是，时刻的缴费，f ( ，) 是时间f 的函数；f ( t ) 是，时刻养老金资产的价值。 2 随机缴费型养老金模型 d f ( t ) = ，f ( n 出+ c ( t ) d t d c ( t ) = d c ( t ) ( 比d t + a d w t ) 其中， o ， 0 ，盯 0 均为常数， w t ，0 ) 是标准的布朗运动，f ( t ) 是，时刻养老金资产的 价值。 2 2 随机控制理论 随机最优控制已广泛用于管理，金融等领域，其主要依托b e l l m a n 动念规划理( t h e t h e o r yo f d y n a m i cp r o g r a m m i n g ) 。b e l l m a n 把动态规划原理表述如下：一个最优策略具 有这样的性质，不管初始状态如何，相对于初始策略产生的状态来说，其后的策略必 须构成最优策略。也就是，每个最优略只能有最优子策略组成，由此我们经常得到 b e l l m a n 动态规划方程，而这个方程在很多情况下比较难解。 直到1 9 9 4 和1 9 9 5 年，利用随机控制研究保险问题的文章才开始出现，例如m a r t i n l 6 f ( 1 9 9 4 ) ，b r a c k e t t 和x i a o ( 4 1 ) 或b r o w n e ( 6 ) 。但是，从那时开始，这个领域讯速 发展。在下一小节里面，我们应用随机控制的工具来推导h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方程。 如今通过构造h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方程来解决保险中的投资和再 保险问题已成为金融数学的一个热点问题。本小节我们就介绍一些连续时间 h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方程的基本理论，更多的内容可参f l e m m i n g 和s o n e r ( 【1 4 】) 。让我们考虑下面的最优问题 f 三( x ( f ) ，蹦( r ) ，f 矽f + g ( x ( 丁) ) ( 2 1 ) 7 满足 童( r ) = ( x ( f ) ，甜( z ) ，r ) 和x ( b ) = ( 2 - 2 ) 状态x ( ，) 属于r ”中的丌集x ，控制“( ，) 是一个取值于r 肘中闭子集u 的有界可测函 数。函数 x x uxr + 一尺”，g ：x r 和l ：x xu x 墨- + r 关于状态变量是连续的。 我们考虑集族f ( x ，) ，z x ， e t o ，7 】和下而的控制问题，替代考虑问题( 2 - 1 ) 一 ( 2 2 ) 满足 ，( ，x ，“) = r ( x ( r ) ，( f ) ，f 矽f + g ( z ( 丁) ) 斗m a x 戈( f ) = 厂( x ( r ) ，“( r ) ，f )和x ( t ) = 工 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 一个控制序列( x ( ，) ，“( ，) ) ，f 丁关于f ( 工，) 是可行的，如果x ( ，r ，x ，“) 关于控制 材( f ) ，f 丁是( 2 4 ) 的解并且积分( 2 3 ) 的值有定义。所有可行的控制策略我们 记为q ( ，x ，材) ，相应的b e l l m a n 值函数矿：x xrj r 定义如下 y ( 叫p 上( x ( f ) ，“( f ) ，f p z + g ( x ( 丁) ) ：( m “( ) ) q ( ) ( 2 - 5 ) 引理2 1 对于每个x x 和每个，和s 使得知t s t 和 对于每个可行策略( x ( ) ，“( ) ) q ( ，x ) y ( 蹦) r ( x ( r ) ，甜( f ) ，r p r + y ( 蹦( 蹦，训) ) 如果值函数获得了( 也就是存在可行策略( 工( ，) ，“( f ) ) ，t 0 使得 所以 y ( 蹦( 蹦，训) ) f l ( x ( f ) ，材( f ) ，f p r + g ( x + ( r ) ) + f - - o e fl ( x ( f ) ，甜( f ) ，f 陟+ g ( 誓+ ( r ) ) 一y ( 蹦( 蹦，训) ) 由矿的定义，存在某个可行策略( y ( ) ，v ( ) ) q ( s ，x ( j ，x ，甜) ，丁) 使得 令 ( 2 6 ) y ( s ，x ( s ，x ，“+ ) ) ，( s ，x ( j ，x ，“) ，) y ( s ，x ( s ，r ，x ，甜) ) 一s ( 2 - 7 ) 叫玎，瓣爿 由条件i ) ，y 的定义和( 2 6 ) ，我们获得 y ( ) r 工( x ( r ) ，扰( - r ) ，r p 什y ( 蹦( 蹦，训) ) f 三( x ( r ) ，甜( r ) ，- r 弦+ 小，x ( 蹦，圳) ，v ) f ( x ( f ) ，甜+ ( f ) ，f p + 矿( 蹦( 蹦，础) ) 一占 r 三( x 。( f ) ，“( f ) ，f p f + 矿( s ，xs , t , x , u ) ) + r l ( x ( f ) ，“( r ) ，f p f + g ( x + ( 丁) ) 一y ( s ，x ( s ，f ，x ，“) ) = f l ( x ( f ) ，“+ ( f ) ，丁抄+ g ( x ( 丁) ) = y ( “) 所以，我们的假设是错误的。所以i i ) 成立。 引理2 2 设矿：【气，丁】x 对于每个x x 和每个f ，s ，f s 丁是一个函数，满 足下面的条件 9 订川 l 只 r_l rll f r ， ， 、i，、l， ， r ，i、，-、 甜 y ，j-【 l l 1 l _ j 丁 ， n r 桫 硕十学位论文 第二章基本概念及基本理论 i ) 对于每个可行策略( x ( ) ，甜( ) ) q ( ，x ，s ) 矿( x ，) f l ( x ( r ) ，甜( r ) ，r p r + 矿( s ，x ( s ，x ，z ，) ) i i ) 存在一个可行策略( x ( ) ，甜( ) ) q ( ，x ，s ) 使得 矿) = r 三( x + ( r ) ，”( f ) ，f p f + 矿( 蹦( 蹦，圳+ ) ) i i i ) 对于所有的x x ，有边界条件矿( ，x ) = g ( x ) 则b e l l m a n 函数v 获得，且v ：矿 证明：固定任给的，【，r 】和x x 。作为i ) 的一个特殊情形，使用边界条件， 我们得出，对于任意可行策略( x ( ) ，甜( ) ) q ( ，x ，s ) 有 矿( 彬) r ( x ( f ) ，“( f ) ，f p f + g ( x ( 丁) ) = z ( t ，圳) 因此矿( ，x ) y ( f ，x ) 。 由性质i i ) 和边界条件，我们得出存在一个可行策略( z ( ) ，“( ) ) q ( ，x ，s ) 使得 矿( 刈) r ( x + ( f ) ，“( f ) ，f p r + g ( x ( 丁) ) = 砷，删) 因此矿( ，x ) y ( f ，x ) 。 定义2 3 如果下面的性质成立，我们则称y 是最优问题( 2 - 3 ) 一( 2 - 4 ) 在【，y x x 上的光滑解 i ) b e l l m a n 函数y 关于( f ，x ) 在【，o ，t x x 是连续可微的； i i ) 对于每个( ，x ) f b ，t x x 通过使用连续控制可以获得值函数y ( ，x ) ( 也就是对 于每个( ，x ) 【，0 ，丁】x ，存在一个可行策略( x ( ，) ，“( ，) ) ，t r t ，使得“( ) 连续且 v ( t , x ) = 小，删) ) 。 , l s r 贡2 4 假设最优问题( 2 3 ) 一( 2 - 4 ) 在【，0 ，t x x 上的一个光滑解存在，也就 是对于所有的( ，x ) 【t o , t xxf a 函数v ( t ，x ) 获得，则 i ) b e l l m a n 函数y 对于所有的( ，x ) t o , t xx 满足下面的h j b 方程 1 0 硕十学位论文 第二章基本概念及基本理论 詈小m 川a 群x i ( 圳) + i o v ( ，彬( 圳) ) = 。和心一= 咖) i i ) 如果存在一个可行策略( x ( ，) ，甜( ，) ) ，r 丁使得”( ) 连续且 v ( t ，x ) = ，( ，x ，“) ，则对于所有的( ，x ( ，) ) ，t t o ，7 1 】，h j b 方程在甜( ，) 获得最小值。 证明：由v 的定义知，最终条件v ( t ，x ) - - g ( 石) 成立。由引理2 1 的条件i i ) ，对于 所有的( ，x ) 【，o ，丁】x ，存在一个定义在【，丁】上的可行策略( x ( ) ，”( ) ) ，使得对每 个j ，f s t ，有 y ( 蹦) = f ( x + ( r ) ，。，( - r ) ，f 炒+ 矿( 蹦+ ( s ) ) 则沿着最优的轨道可获得b e l l m a n 函数矿。y ( x ，x ( s ) ) 是绝对连续的，它的导数 尝( 蹦( s ) ) “( x 协甜协s ) 几乎处处存在。所以材( ) 是连续函数，它的导数几乎处处存在。因为 警( 蹦( s ) ) = 瓦o v ( 蹦( s ) ) + i o v ( 蹦( s ) ) 戈( s ) 等价于 瓢石训+ 瓢x 训卟m “m ，) + ( x m 甜( ，) ，沪。 为了获得i i ) ，只要证明下面的不等式，在给定的点( i , x ) ，对每个控制甜成立即可 警( ) + 瓦o v ( 船) 巾，蚶) + ( 删，) 。 ( 2 8 ) 考虑任意“，对于所有j 【f ，f + 占】设s ) = 掰。如果s 充分小，则轨道以( ) 在 【f ，r + g 】上有定义。 由引理2 1 的条件i ) 对每个j e t ，f + s 】有 y ( 蹦) r ( x ( f ) ，“( f ) ，r 协+ 矿( 蹦( 5 ) ) 因此，有 乃( 占) ：= 矿( f + ，x 。( ) ) 一y ( ，x ) + f + 8 ( x ( r ) ，“( r ) ，f ) d r o 因为办( o ) = 0 ，上面的不等式蕴含 硕t 学何论文 第二章基本概念及基本理论 州o ) = 鬯毋掣 嘲 塑业掣塑业 o 为常数， 彬，o ) 是个标准的布朗运动，z ，由下面的c i r 模型们来表示 d z t = k 一z t ) d t + a 厄d w ( 3 3 ) 其中七，0 ，仃均为正常数，满足2 始 仃2 ， 彤。，t o ) 是一个标准的布朗运动，易知，对 所有的，0 ，乙 0 。假设两个布朗运动之间的相关系数为p ，即e w t w t l 】= 。 下面考虑确定缴费型养老金计划，假设缴费率是常数c ( c 是单位时间交的养老金 计划的金额) ，不失一般性，假设养老金计划中只有一个人。设x ，是养老金计划在时 刻，【o ，丁】的财富，乃为养老金计划的基金中投资于股票的比例，剩下的卜乃为养老 金计划的基金中投资于债券的比例，则，时刻养老金计划的财富过程为 即璀i i d s t 心x t 警+ c d t x o = x ( 3 4 ) ( 3 5 ) 把( 3 1 ) 和( 3 - 2 ) 代人( 3 - 4 ) ，则，时刻养老金计划的财富过程可表示为 d x ，= 【x ，( r + 五万，z ，) + c l a t + ；r t x ，z f a r t , ( 3 - 6 ) 根据( 3 6 ) 式定义的财富过程，投资者想寻找一个最优策略万使财富的效用函数达 到最大，即 s u pe u ( x7 ) 】 ( 3 7 ) 石f 其中效用函数“( ) 是严格凹函数，满足材( x ) 0 和 ”( x ) 0 ，t 是养老金计划的投资或 为确定缴费型养老金计划的退休时间。 因此值函数定义为 f ( t ，x ，z ) = s u p e ( u ( x r ) l 置= x ，z f = z ) ，0 ( 3 1 7 ) ( 3 - 1 8 ) + g ，z + 等一枷础) 一切一丢g ( 1 - p z ) 9 2 = 。 ( 3 - 1 9 ) 因此，我们必须解下面三个常微分方程 q + r a ( t ) = o ，口( 丁) = 1 ( 3 - 2 0 ) + 筹一枷酏) 一桃) 一三a z q ( 1 - p 2 ) 9 2 - o ，耵) = 。 ( 3 - 2 1 ) c 一丽a t 郇m + 掣_ o ，咿) _ 0 以( ，) 口( ，) 、7 方程( 3 - 2 0 ) 和( 3 - 2 1 ) 的解分别为 a ( t ) = e x p ( r ( t - t ) ) g ( ，) = i m , m 面2 ( e x 币p a i ( m , - 孤m 2 f ) ( t 面- t ) 百 - 1 ) 其中口= 丢幽( 1 ) ，6 = 刀盯忆 d=一乏孝，。：=半-b+lb2-4ad 把( 3 - 2 3 ) ，( 3 - 2 4 ) 代入( 3 - 2 2 ) 及边界条件b ( t ) = 0 ，可以得到方程( 3 2 2 ) 1 拘解为 r 6 ( ，) = 一c l l ( 3 2 2 ) ( 3 - 2 3 ) ( 3 2 4 ) + 褊 吉- n ；i ：j 磊 夏石m 乙2 i - ；i 二丽+ 铂( ，一r ) ( 3 2 5 ) 1 6 掣 硕十学位论文篁三童坚! 璺! 旦堕塑查茎堡型堕塞丝望型鲞查全盟星咝 _ - 一一 因此，由以上讨论，可得下面的定理。 定理3 3对养老会计划的财富过程( 3 6 ) ，使得财富的期望指数效用最大的风险 资产的最优投资策略为 万) = 帮 ( 3 2 6 ) 其中m ( t ) = p c r q m i m 2 ( e x p a ( m , - m ：) ( t - t ) - 1 ) ，e x p a ( m l 一聊2 ) ( 丁一f ) 卜m 2 ，( ，) = x q e x p ( r ( t - t ) ) ，值函数为 厂( f ，x ，z ) = 一i 1 e x p 一g 【口( ，) ( x 一6 ( r ) ) + g ( r ) z 】) ( 3 2 7 ) 其中口( f ) ，g ( ，) 和b ( t ) 分别由( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 和( 3 2 5 ) 给出。 证明：由( 3 1 2 ) ，( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) $ 1 1 ( 3 - 1 8 ) 得 万一卜笔一譬 2 ( - q a ( t ) f ) p c r q 2 a ( t ) g ( t ) f x q 2 口2 ( t ) 厂x q 2 以2 ( t ) 厂 ：垄二丝盟 ( ，) 证毕。 推论3 4 f f 3 p = - 1 时，风险资产的最优投资策略万+ ( f ) = 互竽e - r ( t - t ) ；当p = 。 时，风险资产的最优投资策略万。( ，) = 三p - ，h ；np = l 时，风险资产的最优投资策 x q 略万可)：型x塑p叫h)，其中”)=菇【l-exp(七。啪。)】，q 、“7 。l ， 螂) = 羔【1 e x p ( 2 c r + k 如。) 】 证明：当p = 一1 时，g ( f ) 满足如下的常微分方程 蜀协g ( f ) 一培( ，) + 芸0 g ( 丁) - 0 ( 3 。2 8 1 7 硕十学位论文第三章h e s t o n 随机方著模型下确定缴费础养老金的最优投资 万桂( 3 2 8 ) 的群为 g ( ，) = 2 q ( k - - a c t ) 1 - e x p ( k - 1 0 ) ( ，一丁) 】 ( 3 2 9 ) 当p = 1 时，g ( ，) 满足如下的常微分方程 g f _ 概一龇) 乞_ 0 ，咿) = 。 ( 3 - 3 。) 、 方程( 3 3 0 ) 的解为 g p ) = 互石i 【l c x p ( t c r + k ) ( f r ) 】 ( 3 - 3 1 ) 因此l h ( 3 1 2 ) ，( 3 2 9 ) 和( 3 3 1 ) 可得推论成立。 下面，我们通过数值计算找出最优投资策略与各参数之间的关系，即找到7 r 与q ， 五，仃之间的关系。 假设厂= o 0 5 ，2 = 1 ，o - = 0 0 8 ，k = 1 ，0 = 0 0 2 ，x = 1 0 ，丁一，= 1 5 ，g 0 0 5 ，0 2 】， z = 0 0 4 ，则由推论3 4 得到1 + 与q 之间的关系如图3 1 和3 - 2 所示。 图3 - i 万+ 与g 之间的关系( p = 1 ) 图3 - 2 l 与g 之间的关系( p = 一1 ) 从图3 - 1 和图3 - 2 可以看出，不管是p = 1 ，还是p = 一1 ，风险资产的最优投资策 略万+ 是q 的减函数，即9 越大，投资于风险资产的资金越少。由于g 是绝对风险厌恶 系数，g 越大，养老金计划的发起者的风险厌恶程度越大，养老金计划的发起者更厌 恶风险，因而投资更少的资金于风险资产，这与实际是相符的。 假设， o 0 3 ，0 0 8 1 ，彳= 1 ，仃= 00 0 8 ，k = 1 ，0 = 0 0 2 ，x = 1 0 ， 1 8 硕+ 学位论文第二章h e s t o n 随机方著模型。卜确定缴费型养老金的最优投资 t - t = 1 5 ，q = o 1 ，z = 0 0 4 ，则由推论3 4 得到刀+ 与，之问的关系如图3 - 3 和3 4 所示。 图3 - 37 r 与厂之间的关系( p = i ) 图3 - 4 万与，之间的关系归= - 1 ) 从图3 3 和图3 - 4 可以看出，不管是p = 1 ，还是p = 一1 ，风险资产的最优投资策 略万+ 随着无风险利率，的增加而减少。因为，是无风险资产的收益率，r 越大，无风险 资产的收益越大，因此应投资更多的资金于无风险资产。 假设，= o 0 5 ，彳= 1 ，盯 0 0 6 ，0 18 】，k = 1 ，秒= 0 0 2 ，x = 10 ， 丁一f 【= 15 ，q = o 1 ，z = o 0 4 ，则由推论3 4 得到万与仃之问的关系如图3 5 和 3 - 6 所示。 图3 - 5 万与1 3 之间的关系( p = 1 )图3 - 6 刀与仃之问的关系( 户= - i )