（运筹学与控制论专业论文）存在干扰项的normal切换系统的稳定性分析.pdf

摘要 本文主要研究了带有非线性扰动项的n o r m a l 切换系统的稳定性问题文章第一部分， 讨论了带扰动项的n o r a m l 离散切换系统的稳定性当其子系统为s c h u r 稳定和扰动项满 足一定的条件时，该离散切换系统是一致最终有界的接着文章还证明了当带有非线性 扰动项离散n o r m a l 切换系统的子系统为h u r w i t z 稳定及扰动项满足一定的条件时，该 系统在任意的切换下是最终一致有界文章第二部分讨论了由连续时间子系统和离散时 间子系统共同构成的带有扰动项的混杂n o r m a l 切换系统，在一定的条件下通过构造共同 l y a p u n o v 函数证明了该系统在任意切换信号下的指数稳定性并当该切换系统存在不稳定 子系统时，设计了一时间控制切换律使得整个切换系统在这个切换律下是指数稳定的 关键词。n o r m a l 切换系统最终一致有界共同l y a p u n o v 函数指数稳定时间控制 切换率 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h es t a b i l i t yp r o p e r t yf o rac l a s so fs w i t c h e dl i n e a rs y s t e m s w i t hn o n l i n e a rp e r t u r b e dt e r mw h o s es u b s y s t e m sa r en o r m a l f i r s t l y , w ed i s c u s st h e s t a b i l i t yp r o p e r t yo fd i s c r e t e - t i m es w i t c h e dn o r m a ls y s t e m sw i t hp e r t u r b e dt e r m w h e na l l s u b s y s t e m sa r es c h u rs t a b l ea n dt h ep e r t u r b e dt e r ms a t i s f i e sac e r t a i nc o n d i t i o n ，w es h o w t h a tt h ed i s c r e t e - t i m es w i t c h e ds y s t e mi su n i f o r mu l t i m a t eb o u n d e d n e s su n d e ra r b i t r a r y s w i t c h i n g t h e nw es h o wt h a tw h e na l ls u b s y s t e m sa r eh u r w i t zs t a b l ea n dt h ep e r t u r b e d t e r ms a t i s f i e sac e r t a i nc o n d i t i o n ，t h ec o n t i n u o n s - t i m es w i t c h e dn o r m a ls y s t e mi su n i f o r m u l t i m a t eb o u n d e d n e s su n d e ra r b i t r a r ys w i t c h i n g s e c o n d l y , w ed i s c u s sac l a s so fh y b r i d s w i t c h e dn o r m a ls y s t e mw i t hp e r t u r b e dt e r mw h o s es u b s y s t e m sc a nb ec o n t i n u o n s - t i m e o rd i s c r e t e - t i m e w h e nt h i ss w i t c h e ds y s t e ms a t i s f i e sac o u p l eo fa s s u m p t i o n s ，w es h o w t h a tt h es w i t c h e dn o r m a ls y s t e m sa r eb x p o n e n t i a l l ys t a b l eu n d e ra r b i t r a r ys w i t c h i n gb y u s i n gc o m m o nl y a p u n o vf u n c t i o n f i n a l l y , w h e nu n s t a b l es u b s y s t e m s a r ei n v o l v e d ，at i m e - c o n t r o l l e ds w i t c h i n gl a wi sd e s i g n e ds u c ht h a tt h es w i t c h e ds y s t e mi se x p o n e n t i a l l ys t a b l e u n d e rt h i ss w i t c h i n gl a w k e yw o r d s ：s w i t c h e dn o r m a ls y s t e m s ，u n i f o r mu l t i m a t eb o u n d e d n e s s ，c o m m o nl y a p u n o v f u n c t i o n s ，e x p o n e n t i a l l ys t a b l e ，t i m e - c o n t r o l l e ds w i t c h i n gl a w 前言 许多自然和人造系统和过程，都需要在多个不同的动力学模型间做切换，例如化学生 物系统，控制系统等等这类系统在现实中随处可见，当汽车换档时其动力学系统便做了 切换由于这种系统由一系列连续和离散子系统所构成我们称其为混杂系统切换系统是 混杂系统中的一类重要模型，由于其在理论和实际中的广泛应用近几年越来越受到人们 的关注切换系统由多个连续子系统及其切换规则所组成，但是切换系统并不一定延续其 子系统的性质，即使所有子系统都稳定但整个切换系统也不一定稳定，因此研究切换系统 的稳定性显得很有必要文献【1 1 1 和文献【2 】给出了研究切换系统设计及其稳定性的三个 基本问题：问题一；找寻使系统在任意切换下稳定的条件使切换系统在任意切换信号下 稳定的充分条件是所有切换子系统都是稳定的当任意的切换信号不能保证时( 这包含存 在不稳定子系统的情况) 我们就需要考虑以下两个问题，问题二，识别使切换系统稳定的 切换信号；问题三，构造一个使切换系统稳定的切换信号 首先我们给出切换系统的数学模型s 2 ( t ) = 厶( t ) ( ) ) ， 其中五：冗一r 为解析函数，盯：【o ，) 一p 为关于时间的分段常值函数，p = 1 ，2 ，m ) 为指标集，切换信号盯可能尽依赖与时问t ，即盯= o ( t ) ，或是仅依赖与系 统状态，即盯= 盯( z ( t ) ) ，或是依赖于两者每个子系统都有其相应的模型： 圣( t ) = 五( z ) ，i = 1 ，2 ，m ) ， 当 ( z ) = a ( z ) ，其中a 舻”，我们称该系统为线性切换系统： 圣( ) = a ，( o z ( t ) 对于问题一，文献【3 】证明了当线性切换系统的所有子系统都是稳定并且系统矩阵两两可 交换时，则该系统在任意的切换信号下都是稳定的文献【4 】把这一结果从两两可交换的 条件扩充到了l i e 代数的条件下文献【5 】通过构造共同l y a p u n o v 函数证明了一类对称 切换系统在任意切换信号下的稳定性文献【6 , 7 ，8 ，9 】通过分段l y a p u n o v 函数考虑了问题 二文献【1 0 ，1 1 】考虑了问题三文献【1 1 】考虑了由一对不稳定的线性子系统组成的一类 l 切换系统，通过构造不稳定子系统的一个线性稳定组合使得切换系统二次镇定g z h a i 在文献【1 2 】中介绍了一类新型的混杂系统其子系统由连续时间和离散时间子系统构成， 并给出了此类混杂系统些分析结果他给出如果此类线性切换系统满足两两可交换的条 件，则该切换系统在任意切换信号下渐近稳定。文献【1 3 】中g z h a i 把上述对称切换系统 扩展到n o r m a l 切换系统对于n o r m a l 切换系统，如果其连续时间子系统为h u r w i t z 稳 定且其离散事件子系统为s c h u r 稳定，则可构造共同l y a p u n o v 函数使得该n o r m a l 切换 系统在任意的切换信号下是指数稳定的 本文基于文献【1 3 】，主要讨论了存在干扰项的n o r m a l 切换系统的稳定性 对于n o r m a l 切换系统t k ( t ) = a ，x ( t )( o 1 ) 这里x ( t ) r 为状态变量，口：【0 ，o 。) 一p 为切换信号，p = 1 ，2 ，m ，其中 a 舻”为n o r m a l 的，即a a = a , a t ，我们可以看出n o r m a l 系统包括- r x 寸称系 统，反对称系统和正交系统 文章第一部分介绍了存在干扰项的n o r m a l 离散切换系统的稳定性； z ( 七十1 ) = = a ，x ( k ) + 厶( 七，z ( 七) )( o 2 ) 当该系统满足一定的条件时，我们通过构造共同l y a p u n o v 函数的方法，证明了该切换系 统在任意的切换信号下是最终一致有界的有关假设和结论如下： 假设1 ：该切换系统的所有子系统都为n o r m a l 的； 假设2 ；对于所有子系统a 都是s c h u r 稳定的； 假设3 ：厶( 七，z ( 七) ) 满足 0 厶( 七，z ( 七) ) | j y l l x ( k ) l + ( 功 其中7 0 ，满足，y 2 + 2 m 7 + o t 2 1 这! i im 。思i | a | | ，q 22 1 m 3 a x ， a m ( a t a d ， p ( ) 为一个非负的一次可积的函数 在上述假设下我们得到如下结论： 定理：如果系统( 0 2 ) 满足假设1 ，假设2 及假设3 ，则该离散切换系统在任意的切换信 2 号下最终一致有界 文章接下来介绍了存在干扰项的n o r m a l 连续切换系统的稳定性： 圣( t ) = a ，x ( t ) + 厶( 南，x c k ) ) ( 0 3 ) 并给出以下假设： 假设1 ：该连续切换系统的所有子系统都为n o r m a l 的 假设2 ；所有a 都是h u r w i t z 稳定的 假设3 ：矗( t ，。( t ) ) 满足 i i f 。( t ，z ( t ) ) l l 7 l l x ( t ) lj + p ( ) 其中0 ，y 0 且7 l ，2 a c = 一燃 a ( 砰a ) 定理：如果由( 0 4 ) 和( 0 5 ) 共同构成的切换系统满足假设1 ，假设2 及假设3 ，则该系 统在任意的切换信号下稳定 当由( 0 4 ) 和( 0 5 ) 构成的切换系统的某些子系统不稳定时，我们可以构造一时间切 换律使得整个系统在这个切换律下是稳定的 4 第一章存在干扰项的n o r m a l 切换系统 1 1 存在干扰项的n o r m a l 离散切换系统的稳定性 首先我们引入n o r m a l 系统的一些基本定义和引理 定义1 1 1 3 】对于离散时间系统 z + 1 ) = m ( 后)( 1 1 1 ) 称该系统为n o r m a l 的或是系统矩阵a 为n o r m a l 的，如果a = a a t 定义2 1 1 3 j 称实方阵q 为正定矩阵，如果q r 印= i 引理1 1 1 3 假设ae x 舻“为n o r m a l 的，且其实特征值为a 1 ，其复特征值为 口l + 加i ，4 - 玩i ，其中a i ，医尼医0 ，i = 1 ，占，r 4 - 2 s = 跑，则存在一个正定矩 阵q 使得 q r a q = d i a g a 1 ，a 1 ，) 忙) 引理2 1 1 3 】如果离散时间系统( 1 1 1 ) 为n o r m a l 且s c h u r 稳定的，则a t i 0 使得对任意i = 1 ，有a t a 0 2 i q 0 满足，y 2 + 2 m 7 + n 2 l 这里m = 学i i a , i i ，口2 = 。m ：。a 。x a m ( a t a ) ) ，l i a i l2 m a ：x 。i l a a l l ，卢( ) 是一个非负的一次 可积函数 定理若系统( 1 1 4 ) 满足假设1 ，假设2 ，以及假设3 ，则该离散时间切换系统在任意信 号下最终一致有界 证明；因为a 满足假设1 ，假设2 ，取。2 = 麟 入m ( a t a l ) ) ，0 。 1 ，则a t a a 2 i 考虑l y a p u n o v 函数v ( x ) = x t x 6 即 y 扛( 七+ 1 ) ) = x r ( k + 1 ) x ( k + 1 ) = ( a z ( 七) ) + ( 七，茹( 七) ) t ( a i x ( k ) ) + 五( 七，z ( 七) ) = z ) t a t a x ( k ) + 2 f i ( k ，z ( 后) ) r a t x ( k ) + ( 七，z ( 七) ) t ( tz ( 七) ) 0 1 2 z r ( 七) z ( 七) + 2 1 1 f , ( k ，z ( 七) ) 00 a i z ( 七) 0 + i i a ( k ，z ( 后) ) 1 1 2 取m 2 ，m ! ；a ! x i l a 0 ，其中l | a 0 。m a ：x 。l i a t x l l s 0 ：2 i i z ( 七) l | 2 + 2 ( ，y l l x ( k ) l i + 卢( k ) ) m i i x ( k ) l l + ( 7 l l x ( k ) l i + p ( 七) ) 2 = ( o t 2 + 2 m ，y + ，y 2 ) l l x ( k ) l 2 + 2 p ( 七) ( m + ，y ) l l x ( k ) l i + p ) 2 因为0 o 2 + 2 m ? + ，y 2 1 ，令p 2 = q 2 + 2 m 7 + 一y 2 ，0 p 1 = ( p l l x ( k ) l l + ! 等i 卢( 七) ) 2 一( 型产) 2 p ( 七) 2 + p ( 七) 2 g 口l l x ( k ) l i + ! 字p ( 七) ) 2 十p ( 七) 2 s ( p l l x ( k ) l l + ( 2 穹i + 1 ) p ( 七) ) 2 所以 故 i i x ( 七十1 ) i f 2 - ( p l l z ( 七) l i + 竿卢( 七) ) 2 z ( 七十1 ) l l - l l z ( 七) i l + 竿p ( 后) ) ，。 p 1 z ( 七+ 1 ) 1 1sc o f l x ( k ) l + 丝等业p ( 七) ) p ( p | | z ( 七一1 ) l l + 型专出p ( 七一1 ) ) + 丝专出卢( 南) = f l l x ( k - 1 ) 1 1 + p 丝专也z ( k 一1 ) + 丝专血p ( 七) 矿+ 1 i i z ( o ) l l + 丝专血( p 。p ( o ) + + 筇( 七一1 ) + p ( 七) ) = 川+ 学圭p j 触卅 因为0 p 1 ，卢( ) 为非负一次可积函数， 故该系统最终一致有界 7 1 2 存在干扰项的n o r m a l 连续切换系统的稳定性 下面我们首先对连续系统引入n o r m a l 系统的一些定义和引理 考虑连续时间系统x ( t ) = a x ( t ) ，这里z 舻为状态向量，a 舻“ 定义1 1 1 3 对于连续时间系统 圣( f ) = a z ( t ) ，( 1 2 1 ) 称该系统是n o r m a l 的( 或矩阵a 是n o r m a l 的) ，如果 定义2 1 1 3 】称实方阵q 为正交阵，如果q r q = j 引理1 1 1 3 】假设a 胛。”是n o r m a l 的，且其实特征值为a 1 ，复特征值为a l - 4 - b l i ，a 。4 - b s i ，其中，a i ，b i 为实数，魄0 ，r + 2 s = n 则存在一个正交矩阵q 使得 矿a q = d i a g a 1 ，a l ，a 。) 忙a i ) ， 引理2 1 1 3 】如果连续时间系统( 1 2 1 ) 是n o r m a l 的且h u r w i t z 稳定，则 考虑如下连续时间切换系统； + a 0 使得对任意的i 有a ，+ a - - 2 a l 假设3 1 i f , ( t ，z ( ) ) i i r l l x ( t ) l i + p o ) ， 其中0 1 n ，f l ( t ) 是一个非负的二次可积函数，即j i i 卢( t ) 1 1 2 d t 0 使得 a + a 一2 n ，v i 9 考虑l y a p u n o v 函数y ( 茁( ) ) = z t ( t ) x ( t ) 为所有子系统的共同l y a p u n o v 函数 矿( z ( t ) ) = 士( t ) t x ( t ) + z ( t ) t 圣( ) = ( a ( t ) + ，i ( t ，z ( t ) ) ) r x ( t ) + z ( ) t a - x ( t ) + ( ，z ( ) ) ) = z ( t ) t ( a i v + a ) z 十2 x ( t ) t ( t ，z 0 ) ) 一2 c tj l x ( t ) j 1 2 + 2 1 1 x ( t ) l l u t ( t ，z ( t ) ) 0 一2 ( a 一一r ) l l x ( t ) 1 1 2 + 2 1 l x ( t ) l ll l p ( t ) l i 州硎) ，( 厕) ，_ 揣纠川圳堋驯j 则 i i x ( t ) l l e - ( 。一- r ) x ( o ) + 詹e 一( 口一1 ) ( 一7 ) l l 卢( r ) l l d r e 一( n 一1 ) t z ( o ) + ( 露e 一2 ( n 1 ) ( t r ) d r ) u 1j o ti i 卢( r ) 1 1 2 a h ) 因为筇( ) 是个非负的二次可积函数， 故存在m 使得( 露i i 卢( r ) 1 1 2 d ) 0 ，a ( t ) 是一个非负二次可积函 数 如果对于每一个子系统我们可以设计一系列的反馈率u ( t ) = k z ( t ) ，i = 1 ，使得 a + b k 为n o r m a l 和h u r w i t z 稳定，且由a + 引略决定的a 则由定理1 可知该系统 癣( t ) = ( 几十岛觞) z ( t ) - i - m t ，z ( 坝 是最终一致有界的 对于扰动系统 e ( t ) = a ，x ( t ) + 厶( t ，z ( t ) ) ， y = g x ( t ) 】2 我们设计如下观测器 令误差状态为 奎( t ) = a ，童( f ) + 厶( t ，童( ) ) 一l ，( 爹一”) g ( t ) = g 叠( t ) ， e ( t ) = x ( t ) 一叠( ) 则 e ( ) = ( a ，一l ，c 0 ) e ( t ) + 厶0 ，z ( t ) ) 一厶( ，童( z ) ) ， 假设厶( t ，z ( ) ) 满足l i p s c h i t z 条件，即存在0 ，y 0 使得( 4 一厶c ；) t + ( a i 一厶g ) 一2 a l ， 由定理l 可知系统( 2 ) 最终一致有界 1 3 带有结构不确定性的n o r m a l 切换系统的鲁棒状态反馈镇定 接下来讨论带有结构不确定性的n o r m a l 切换系统 考虑切换系统 圣( t ) = a i x ( t ) + p ) 十鼠钍， ( 1 3 1 ) 其中i p = 1 ，画南， ，z ( ) p ，“i r r 分别为系统的状态和控制输入，a ，玩为 各个子系统的状态矩阵和输入增益矩阵， ( z ) ：舻一形代表结构不确定性，由以下 等式刻划： a , ( x ) = 岛( z ) 函( z ) ，a f , ( o ) = 0 ， 】3 其中，映射q ：舻一舻。7 是由状态组成的函数矩阵，也：尼一形是未知的向量值函 数，且最属于如下定义的函数集合： q = 也( z ) 川氓( z ) l i l i 竹( z ) l i ) 其中，凡( z ) 为已知函数向量，”0 是函数向量的e n c l i d e a n 范数，显然n ( x ) 描述了各 子系统中未知函数的上界 定义l 渗见3 1 】称函数集合 ( z ) ，厶x ) 在舻上是完备的，如果vz 酽，ji ( 1 ，n ) 使得 ( z ) o ；如果vz 舻 o ) ，了i 1 ，礼) 使得 ( z ) 0 ，则称函数集 合 ( z ) ，厶( z ) 是严格完备的 做如下假设 假设1 所有子系统的状态矩阵a 都是n o r m a l 的，即a a = a 髯，l = 1 ，且a 都是h u r w i t z 稳定的 附注；若a 是n o r m a l 且h u r w i t z 稳定的，贝! i j 正定矩阵q 使得 q ( a + a ) q = d i a g 2 ) h ，2 a r i 2 a l ，2 0 酊) 取2 a = 思翳 a ( 群+ a ) ) ，则q ( a + a 旧 2 a l ，p 考虑系统( 1 3 1 ) 的自由系统 圣( ) = a x ( t ) 4 - a , ( x ) ( 1 3 2 ) 定理1 在假设1 下，如果存在i p 使得函数集合q = x l o x t z + i i x t e i ( z ) n ( z ) 叭i p 在r ，i 上是完备的，则切换系统( 1 3 2 ) 是l y a p u n o v 稳定的 证明：考虑l y a p u n o v 函数y ( z ) = x t x 则 矿 ( t ) ) = 圣t ( ) 茹0 ) + a ，( f ) 圣0 ) = ( a t x ( t ) + ( z ) ) r x ( t ) + t , t ( t ) ( a t z ( t ) ) + ( z ) = x t ( ) ( a + a ) 茹( t ) + 2 x r ( t ) ) 2 a x t 0 ) z ( ) + 2 1 1 ：e t 0 ) 白( z ) 魂( z ) 0 s2 a x t ( ) z ( t ) + 2 1 | z t ( t ) e , ( z ) l ll l n ( x ) l i 1 4 选取切换策略为 盯( z ) 2a r g m ，i n o l x t x + ij x t e i ( z ) | i l n ( z ) l l 】) ( 1 _ 3 3 ) 枰 函数a r g ( ) 表示满足括号内表达式条件的下毒值 则由q 的完备性可知， y ( z ( t ) ) s0 故切换系统( 1 3 2 ) 在上述切换率下是l y a p m l o v 稳定的 由上述定理证明可知： 2 a x t x 十2 1 1 x t ( t ) e ( = ) l l l l n ( x ) l l 0 ( 1 3 4 ) 下面令 q l = z i q z r z = = o ，i p ，q 2 = z l c y 石r z ；= 一i l z t e t ( z ) | i i l n ( z ) l l ，i p ) s = z i z t b = o ) 定理2 如果存在t p 使得函数集合q = x l a z r x + i i x t 岛( z ) 洲n ( 圳l ，i p 在舻上是 完备的，且q 1 = q 2 ，s n q l = 0 ，则系统( 1 3 1 ) 可由状态反馈镇定 证明z 考虑状态反馈 就= 一醪z ( t ) 切换策略仍为( 1 3 3 ) ，即 盯( z ) 2 哪 呼n b ，抖炉e t ( 删似圳) 考虑闭环系统 圣( f ) = a t x ( t ) + 五( z ) 一最霹z ( t ) ( 1 3 5 ) 取l y a p u n o v 函数为 y ( z ) = x t x 1 5 则矿( 卫) 沿系统( 1 3 5 ) 的轨迹的导数为 v ( t ) = 圣t z + z t 圣 = ( a x + ( z ) 一b i 霹z o ) ) ? 茁+ x t ( a z + 0 ) 一且b t x ( t ) ) = x t ( a + a ) z + 2 x t a f i ( x ) 一2 x t 鼠b ，z 2 a x t z + 2 x r e f ( z ) 国( z ) 一2 x 了鼠( ，肠) r 2 a x r 。+ 2 1 i x t ( ) e i ( = ) l l l l n ( x ) l i 一2 x r b t ( z 丁鼠) r 由已知条件及定理1 可知系统( 1 3 2 ) 在给定的切换策略( 1 3 3 ) 下是l y a p u n o v 稳定的， 故( 1 3 4 ) 式是成立的，即 2 理霉+ 2 t l x r ( t ) e ( * ) l l l t n ( x ) t s0 ， 因此 y ( t ) 0 ， 故闭环系统( 1 3 5 ) 在给定的切换率下稳定令矿( t ) = 0 ，则 n z t z 十l i x t ( ) 岛( z ) 0 i l n ( z ) 0 = 0 ， 且 ，县( ，b ) t = 0 ， 即 。矿z = 一i i x r ( ) e t ( 圳( 刮i ， b l = 0 。 因此z q 2 ，且z s ， 因为q 1 = q 2 ，故z q 1 ， 因此z q 1n s 由假设q ln s = o ) ，可得茁= 0 ， 由l a s a l l e 不变性原理【1 】可知闭环系统( 1 3 5 ) 在平衡点z = 0 处是全局渐近稳定的 1 6 特殊情况： 如果定理1 和2 中的q 在尼1 上是严格完备的，则有如下新的结论 定理1 如果定理1 中的q 在尼上是严格完备的，则系统( 1 3 2 ) 是全局渐近稳定的 证明；由定理1 可知： 矿( t ) 2 ( q x r x + l i 茁r ( t ) e ( x ) l l l l n ( x ) 1 1 ) 切换策略仍为( 1 3 3 ) ， 则由q 的严格完备性可知，矿 0 ，故系统( 1 3 2 ) 是全局渐近稳定的则( 1 3 4 ) 式变为； 2 a x t x + 2 | l z t 0 ) e i ( z ) l 佗( 。) 0 0 定理2 ，如果定理2 中的q 在尼。上是严格完备的，则去掉定理( 2 ) 中关于q = 啦，q 1 n s = o ) 的假设，定理2 仍成立 证明；前部分证明过程同定理( 2 ) 的前部分 矿( t ) ；x t ( a ，+ a i ) z + 2 x t a f , ( x ) 一2 x t 肠霹z 2 a x t x + 2 i i z r ( f ) q ( z ) l l l l n ( x ) l i 一2 x ? b ( z t b j ) t 2 0 z t z + 2 1 x t ( t ) e ( x ) l l l l ( x ) l i 0 ，且，y 1 0 ， 则对所有1 c i c 有睨tl n 。t + a d ) q d 一2 a 。j ， 则a 三+ a d 0 ，我们可以把区间【0 ，日划分为t = t 。+ 册，( m2o ) ，t 。代表系统在连续 时间子系统上的全部滞留时间，m 丁为其在离散时间子系统上的全部滞留时间，则 y ( z ( ) ) e - 2 ( 。c 一1 1 ) 。a 2 m 7 ( o ) ，其中口2 = o ：+ 2 m 7 2 + ， 因此 i i x ( t ) l l e ( 。c 一饥) c d l l z ( o ) l l = e - i ( 。c m ) 2 c + ”h l l x ( o ) l l e - b t l l z ( o ) 1 1 ， 其中卢= m i n a 。一1 1 ，半， 故该系统在任意切换信号下指数稳定 如七：兰) ； 萸 a n ：- 0 2 0 3 、 秒一周期每一秒一切换) 如下图 2 2 切换律的设计 f i g 2 假设由子系统( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 构成的切换系统的某些子系统不稳定，我们构造一 时间控制切换律使得整个切换系统在这一切换律下稳定 引理1 对于连续时间系统士( ) = a x ( t ) + f ( t ，z ( t ) y ，假设a 是n o r m a l 的，且，( z ，z ( ) ) 满足| i ( x ，z ( ) ) i | ) l l l l x ( t ) l l ，7 0 ，如果该系统不稳定，则a 不是h u r w i t z 稳定的 2 1 证明：假设a 是h u r w i t z 稳定的，又因为a 是n o r m a l 的，则j a 0 ，使得a r + a 0 ，如果该系统不稳定，则a 不是s c h u r 稳定的 首先假设子系统圣( t ) = a 。1 z ( ) + ，c - ( ，z ( f ) ) 与z ( 七十1 ) = a d l x ( k ) + ( 七，z ( 七) ) 不稳定，其中a c l ，a d l 满足假设l ，即a 。1 ，如为n o r m a l 的，i 。l ( t ，z ( 的) ，f d l _ ( k ，z ( 后) ) 满 足假设3 ，则由引理1 ，引理2 知a m a d l 不稳定 假设其余子系统均稳定且满足假设1 ，假设2 ，假设3 ，由1 1 引理1 知，对于a 。1 ， 存在正定矩阵q 。1 使得 q 三a 。l q 。l = d i a a a ；1 ，a ；j ，a ；1 ，a 嚣) 其中a i l ，a ； 为a 。1 的实特征值， 舒= ( 萎孙 i = 1 ，s l ，1 - 4 - 蜂1 i 为其复特征值，o 1 ，蜂1 为实数，a c l i 为a 。l 复特征值的实部因 为a 。1 不是h u r w i t z 稳定的，定义成= m a x a 1 ，a ；j ，o i l ，c 1 1 则风20 ，且a 。1 r + a 。1 2 忍j r 取l y a p t m o v 函数u ( x ) = x t x ，当子系统圣= a 。1 3 ；+ ，c l 被激活时有 矿( z ( ) ) 2 ( 忍+ 7 1 ) y 扛o ) ) 同样地，对于a 扎由1 1 引理l ，类似地我们有：存在正定矩阵q d t 使得： q 。t a d l q d l = 出口g a ，a 暑，a 1 ，a 。d l l 其中a 1 ，a ： 为月以的实特征值， 蜉= 针 1 士6 c l i 为其复特征值，1 ，鸳1 为实数，i = 1 ，v 1 q ta t4 d 1 ；出n 9 ( a 1 ) 2 ，( a d 。1 1 ) 2 ，( 0 2 1 ) 2 + ( 6 1 ) 2 ，( n d 。l l j 2 + ( 6 d j ) 2 ) 因为a 出不是s c h u r 稳定的，定义角= m a x a f l l ，i a 翁i ，0 獗予丽，碗d 痧l2 丽d l2 ) 阮1 且a 磊i a d ls 厦， 取l y a p u n o v 函数v ( x ) = z r z ，当子系统x ( k + 1 ) 一a d l z ( 七) + f d l ( 缸z ( 南) ) 被激活 y 0 ( 七+ 1 ) ) s ( 成+ 2 m 1 一2 + 镌) 矿扛) ) 记筋+ 2 m v 2 + 镌= p 2 ，则y p ( 七+ 1 ) ) p 2 y ( 忌) ) 对于任意时刻t 0 ，则区间可以翅f 分为：t = t 。1 十t c s + m d l r + m d s t ，其中屯l 表示 第c 1 个子系统圣= a d l + l d l 的所有活跃时间，t 。为所有稳定连续时间子系统的活跃时 间，m d l 7 - 为子系统圣= a d l + 工n 的总活跃时间，竹r 为所有稳定离散系统的活跃时 间则对于所有连续时间子系统圣= a d z + 厶，2 i c ，存在使得 十a d 一2 钒，对所；f 弘 i 眨 同样取l y a p u n o v 函数y ( z ) = x t x ，矗( z ( t ) ) 一2 ( a 。一饥) y ( $ ( t ) ) ， 对于所有离散时间子系统圣= a , x + 知，2 歹d ，存在嘞使得 a 磊+ a 亩 n ：j ， 对所有2 曼j d 对于l y a p u n o v 函数v ( x ) = z t z ， y ( z ( 七+ 1 ) ) ( ：+ 2 m 7 2 + 镌) y 扛( 七) ) ， 其中m 。2 m 。a ，x i i a , i i ，记q ；+ 2 m 他+ 镌。q 2 ，则y 扛 + 1 ) ) 0 ， y ( t ) ) se 2 ( 成+ 1 ，k ，e 一2 ( “一1 t ) p 2 m “q 2 m “v c x ( o ) ) 取卢= m a x 3 c + - ，半) ，n = m i n 一，y ，1 i l ：) 则 y ( 童( ) ) se 2 4 ( k - + ”d - 7 ) e 一缸o c + ”4 ，7 ) y ( z ( o ) ) 假设k = t 。，+ m d l 7 为所有不稳定子系统的总共活跃时间，互= t 。十m d s t 为所有稳定 子系统的活跃时间，因此我们需要设计时间控制切换率使得系统稳定，由此我们得到以下 定理1 对于由( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 构成的切换系统，若其满足假设1 ，假设2 设a q 为整 个系统的期望衰变速率，设计如下切换率： 墨 生堡 则切换系统在该切换率下是指数稳定的 证明：由上述知，对于整个系统考虑l y a p u n o v 函数矿( ) = t t x ，则对任意时刻t 有 y ( ) ) 5e 2 阢e 一如l y 扛( o ) ) i i x ( t ) l i e f r 一砒l l 正( o ) 0 冬e - 。t * ( l + 五0 z ( o ) l i = e - a * i i z ( o ) l i l i x ( t ) l l e 1 l i z ( o ) l i 考虑如下切换系统，其由一个连续的子系统z 圣( t ) = a 。l x ( t ) + ，( ( ) ) 如七； ，( z ( t ) ) ；o 1 z ( t ) 和一个离散的子系统； x ( k + 1 ) = a d l x ( t ) + 9 ( z ( 七) ) 兰1 9 ( z ( t ) ) = o 2 z ( ) 显然a 。l ，a d l 为n o r m a l 的，离散子系统稳定，且a a x 为s c h u r 稳定的，但是连续子系统 不稳定a 。1 不是h u r w i t z 稳定的考虑连续子系统，假设起点为( 2 0 ，2 0 ) ，如下图 ( f 1 0 1 ) ，可以看出该子系统不稳定； f i g l 取切换周期为1 秒，根据定理我们可以计算 尻= 0 3 ，蚴= 0 5 ，q ；0 7 ， 则p = 风+ 饥= 0 4 ，n = l n ( i o 7 ) 设系统的衰变速率= 0 0 5 ， 设计如下切换率： 舞茜吾= 丝地0 4 + 丑0 = 0 业51 嘉因此我们可取切换周期为：连续子系统 切换周期为2 秒，离散子系统的切换周期取为l o 秒，如下图( f i g 2 ) 可知系统在该切换 下稳定： 3 4 o 0 一 一 ，jl-lli、 = 姐 a 申其 f i g 2 参考文献 f 1 】d l i b e r z o n ，a s m o r s e ，b a s i cp r o b l e m si ns t a b i l i t ya n dd e s i g no f s w i t c h e ds y s t e m s ，i e e e c o n t r o ls y s t e m sm a g a z i n e1 9 ( 1 9 9 9 ) 5 9 - 7 0 【2 】2d l i b e r z o n ，s w i t c h i n gi ns y s t e m sa n dc o n t r o l ，b i r k h l i n s e r ，b o s t o n ，2 0 0 3 【3 】k s n a r e n d r a , j b a l a k r i s h n a n ，ac o n m i o nl y a p u n o vf u n c t i o nf o rs t a b l el t is y s t e m sw i t h c o m m u t i n ga - m a t r i c e s , i e e et r a n s a