（计算数学专业论文）二维对流占优扩散方程的交替方向特征有限元方法.pdf

二维对流占优扩散方程 的交替方向一 特征有限元方法 陈珊 琴 ( 南开大学数学学院，天津，3 0 0 0 7 1 ) 摘要 本文对二维线性对流占优扩散方程与二维非线性b u r g e r s 方程， 分别建 立了交 替方向 特征有限元胳式。 证明了 格式的可解性与稳定性，并对格式 进行了误差分析，得到了l z -模的拟最优枯计。 关键词: 叶流占 优，b u r g e r s 方程，交替方向一 特征有限元方法. al t e r n a t i n g - di r e c t i o nm e t h o d co mb i n e d wi t h a m o d i fi e d me t h o d o f ch a r a c t e r i s t i c s f o r twodi me n s i o n a l co n v e c t i o n - do mi n a t e d co n v e c t i o n - di f f u s i o n pr o b l e ms c h e n s h a n q i n s c h o o l o f ma t h e m a t i c a l s c i e n c e s , n a n k a i u n i v e r s i t y , t i a n j i n , 3 0 0 0 7 1 ) abs t r a c t i n t h i s p a p e r , t w o a n d n o i d i n e a r b u r g e r s d i me n s i o n a l li n e a r c o n v e c t i o n - d o mi n a t e d e q u a t i o n s e q u a t i o n s a r e s t u d i e d , a n d ch a r a c t e r i s t i c s s c h e ms t o s o l v e t h e m a r e c o n s t r u c t e d a n d s t a b i li t y o f t h e s e s c h e ms a r e p r o v e d , t h e n q u a s i a l t e r n a t i n g d i r e c t i o n r e s p e c t i v e l y . s o l v a b 山t y o p t i m a l o r d e r s f o r e r r o r e s t i m a t i o n i n l - ( o , t ; l z ( s 2 ) ) n o r m a r e d e r i v e d f o r t h e s e c o n s i d e r e d s c h e m s ke y w o r d s : c o n v e c t i o n - d o m i n a t e d , b u r g e r s e q u a t i o n s , a l t e r n a t i n g di r e c t i o n - cha r a c t e r i s t i c me t h o d . 1 引言 1 9 7 1 年，d o u g l a s 和d u p o n t 1 提出了g a le r k i n有限元交替方向法来数值求解 矩形域上的非线性抛物问题。 这种方法的最大优.3 是将多维问题分裂为一系列一维 问题。这不但减少了计算量，而且将矩阵存储变成向量存储，从而大大缩减了存储 量。 此后， 这种才法又得到了 进一步的发展 ( 2 , 3 ) 。 但当将此种交替方向法应 用到对流占优的对流扩散问题土时，效果并不理想。这主要是由于这种交替方向法 是建立在古典的 g a l e r k i n有限元墓拙上的，在求解对流占优问题时，它会遇到与古 典 g a l e r k i n格式一样的困难。 1 9 8 2 年由d o u g 二和r u s s e ll 4 ) 提出 的特征有限元法在处理对流占优问题时具 有良 好的数值稳定性和计葬精度。 在此基拙上， ， 文5 就提出了 一种将交替方向法与 特征有限元结合起来的才法，即交替方向一 特征有限元才法，来处理线性对流占优 问题。这样的处理，结合了 特征线法与交替方向法的优点，实际计葬已显示了这种 混合性才法的优越性。 但 5 中 并未给出 理论分析。 本文讨论了二维发展型线性对流占 优扩散方程及b u r g e r s 方程的交替才向一 特 征有限元才法。考虑到特征有限元法的算法特点，为了理论处理土的简便，本文所 讨论的两类对流扩散问题均限于周期性初值问题。 本文的结构如下: 2 对线性问 题构造了交替方向一 特征有限元格式; 3 讨论了格式的可解性、 稳定性及收敛阶枯 计;5 4 构造并分析了 二维b u r g e r s 方程的交替才向一 特征有限元格式。 2 线性对流占优扩散问题及其交替方向一 特征有限元格式 设二维域0=( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ,i = ( 0 , 1 ) 如常。用w- ,p ( x 牌) ) ， 其中x 脾) 为b a n a c h空j司 。 记 ( ， ) 为l 2 ( 5 2 ) 内 积。 在本文中，恒用c ,k i , k : 表示已知的固定正常数，用m, mi , m2 表示一般性常 数，同一符号 m， 私 ， mz 在不同表达式中可取不同的值。 设给定线性对流 占优扩散方程的周期初值问题 : 金 、 m - , y , t) - v et + rr(x , y , t) it 一 二 (0 (x ,1/ ,t) 二 ?!) 一 ， (x , y , t) ( ， ，) 。 r 2 ? ( 二 、 ?i , 1 ) =， ( x , ?i )( 二y ) 任r z x ( o , t j ( 2 1 (j.) ( 2 . v) 称 ( 2 . 1 a ) 和( 2 . 1 6 ) 为1可 题( a ) 。 其中0 ( 二:1/ , t ) 二 f 1 1 ( 二 ， :4 - t ) , t 2 ( j . , ?i - r ) 、 且/ 1 i . 1 3 , r r , a , f 及二 。 均为关于x ,y的 f周期 函数，易 知问题( a ) 之解u ( x ,y ,t ) 关于x ,y 亦为1 一 周期的，因 此为数值求解( a ) , 仅 需在它的一个周期区域 几上数值求解即可，即仅须考虑问题: 0 71c7t + f3 (x , y ,，) 、 1、 ( ， ，。)一 二 、 ( ， ，)二 ) 一 ， ( ，、 ，) ( ，、 ，) 。 。 (。 ，: (2 .2a ) 、 ( 二y , 0 ) =。 。 ( 二 ， y )( ，y ) e d 2 ( 2 .2 b ) a ( 0 , y , t ) 二，l ( l , y , t ) ， 二 ( 二 ， 0 , t ) =、 ( 二 ， 1 , t )( 二 ， y , t ) e 5 2 x ( 0 , t ( 2 .2 c ) 称( 2 .2 a ) , ( 2 .2 b ) 和( 2 .2 c ) 为问 题( a ) o 为处理周期性问 题， 仿照! 0 , 对整数。 1 ， 定义 h- ( sz ) 其中c # ( q ) = i v : v e c - ( s 2 ) , v ( 0 , y ) =v ( l , y ) , 7) ( 二 ， 0 ) =v ( 二 ， 1 ) 1 记h 粱 ( r 2 ) 为h - 脾) 的 类似地，定义 q -周期开拓。 w- 0 0 对问题( a ) 的解u ( x ,y ,t ) 及其定解数据 ( c 1 ) : 0 ; e l - ( 方 叫， 且p . ( 二 ， ， ， 川 兰 0 a o a ( x , y , t ) 。 为 适当 选择的参数， 具体选取见后文;r 、 是方 r + i ( 卿 值算子. ( 2 . 7 b ) 、 v h中的 f . e . 插 设 mx 由 于 u =.s p a 7 b (y j ( x ) b i r 4 , =s 1 1 u 1 l 二 、 ( y ) _ i v h =m a x g, ， 可表u 0 一 、.j = 1 c s =( ( 。 、 ， ， ， ) ) a 二 二 ( ( ， ; 。 ; ) ) c =( ( 二 ， ， 二 ， ) ) a ， 一 ( ( 二 ; ， 二 、 ) ) 将( 2 . 7 a ) 改写为 ( u 上一 1 少 八 进* (二 (二 一 二 卜 1)、v 7,) 十 * 2 亡( a 2t(a x a (二 一 二 一 )，蒜v ) 二( f ， ) 一( a vu n 一 一 、u “ 一 1 一u , . i 丫v ) + 1 了 、王 ， ， ) 一( f u ” 一 ， 、 ) v v h ( 2 .8 ) 并将二一( r ; l v ; c v i, 代入上式中得到: 篇 1(pq )(lepij q,。 、二 ” + “ t， e 1 (p 4p q= 1一 (pq )(krc7 q,cy;一 + (。 一;“ z t2 (71p.q= 1一 spq 1)(rp q ,yy j ， 一 v ij 2,， 一 2 . k (f ,。 、二 ，卜 、一 二 二 一 ，二 (y,zuj)卜 ( u - 1 - u n - 1a t 一 ，卜 (一 。 ，一 ，。 。 ，) 介朋= =l中巾 、曰其 显然:( %二 。 , a i w j ) 二( %， 。 、 ) ( 二 。 ， 二 ， ) ( a p z :9 q , a j u j ) ( a p , 心( 二 、 二 ， ) ( 2 .9 ) 式可写为矩阵形式 二 吼+ x a t ( a , 吼+ 二 人 ) + 久 2 t g z a a , ( ( r 一 0 - 1 ) _ t ( 2 .1 0 ) 进一步，由简单的张量积运葬，( 2 . 1 0 ) 又可写为: ( c s i 千 入 t a x i ) ( i c y + 人 t i a y ) ( ( 一 ( rz - 1 ) = ( rs t ( 2 . 1 1 ) 由此可见( 2 . 7 a ) 中新引入的两项 a ( v ( u 0 一 u - 1 ) , v v ) , 入 t ( 赢 (ua :a v” 一 u 一 )， a 一 ， 、 a x d y 其作用是实现变量的分离，使得实际计茸时可分别按 x ,y方向，即两个一维空间 求解，即实现了 交替方向法因护 已 知，从 ( 2 . 1 1 ) 依次求出口, ( 2 ， 一 ， ( n 即求得 少 护， u n - 3 解的存在唯一性与精度分析 首先 阐明 格式( 2 .7 ) 之解的 存 在 唯一性。 由 上述分 析( 2 .1 1 ) 是关 于忆的 线 性万 程组。由于线性才程组解的存在唯一性是子价的，故仅需证明解的唯一性。 设 u 1 兰。 和 u 2 1 艇， 是( 2 .7 ) 的两组解。 为证唯一性， 我们将用归纳法证明， 对ii - 0 , 1 . . . n必有l 1二心 。显然，当n = 。 时，由插值的唯一性有阴 ， =衅 。 假设 衅 =鳄一 ， 我们须证伏 二卿 。事实上，记尹=u i 一u z . 则从( 2 . 7 ) 易见v * i 满 足 : ( 一而 0 z 闪 入 ( vv , 0川 +犷 以花 厂“ ， vl l l 1 万a x a 司=o , 脚 蛛( 3 . i ) 一 在( 3 1 ) 中取，i = v tt 任v h 、 注意到v 1 三 i i从 而 v 一 王 二0得 ll - il 2 + 划o - 1l2 + a 2 t ll o t - 0 y v 11 2 二。 故 日 v 11 =。 从而 u 1 = u 2 , 唯一性获证。 我们也可从代数角 度来证明此唯一性。 事实 上，久， 叽均为正定矩阵， a _ a ， 均 为半正定矩阵。 因 此， 对任何已 取定的a , a t 0 氏. i + a a t a . i 及i . 几+ a l t l . 人 均为正定，从而( 2 n) 即( 2 . 7 ) 之解存在且唯一。 现转向格式( 2 .7 ) 的误差分析。 设 ， ( t ) 为、在 v h中的枯值: 9 d=l l h - ( t ) . 记v =u 一。 ri , r tn = u n 一二 “ ， 则 0全 va : 一 u 二 护一 v , 由f e插 值 理 论 知: !。 ” 十 ， il! iii 、 ， 2 h211黑一 。 0 h : c jrr + h t ilr+ , 口xoy 因 为a e 是a ua t 在中 的播 值，同 样地 有 日 a ” 日 _ it 沂日 (亡 ” 一 ， . . a , 1 . , l - : l = 、 十hi 卜 不 万 ul b a (e - e ;f t ) + h 2 l , 卿一 : y 训 三 _ . _ 。 ，8 u c h 下 占 日 i i 汀t n . 二 1 2 将( 2 .7 ) 减( 2 . 6 ) 得误差才程: 崔 只 掌 二 ，v ) 、 (a , 二 ; n - i 、 ， ) l 1l + a ( o ( 一 v- 1 ) a 2_， . 3 2 ， vv 少 +入 t ( 不 一 不 ( 夸 “一七一) ， ，石 分一 不 一 v ) uxuy uxu y ( , n - 1 卜 (一 二 ， n 一 ，二 ， 一 “ 二 iv : 。 n 一 ) ， v v ) + (一 (一。 孔一 ),1 卜 2 ，( zat( (nox 8y 牡 + (一 二 (?!， 一 )，二 ) + (， 视 (o il.(+ i ( a - )一 一 、 朴 一 ) u 一 7 i . a 2 二 、 d x d y ( 3 . 2 ) l 公 ( 亡 几 一 ， ， ” ;户 ， + ) ( 3 . 3 ) ( 3 .4 a ) ( 3 4 b ) 归 在( 3 .4 a ) 式中取二 =省 ”则左边第一项，可估计为 (二 n ,早p i ) 卜 一 ( f iif iiz 2八 t 、 、 亡 u-1 11 2 ) 其中 /j卯 日 护i ii 2e z ( 二 一 o f ( 二 ， 7l ) t , y 一 0 2 ( 二 、 y ) t , t 0 - ) d x d y 7 引入变换 ( 视y固定) 洲 z , = f , ( t o二二一0 1 ( 二 ， y ) t 当 艺 充分小时，此变换是可逆的。从 而 朋1 1 1一 下 不- t )= i十 v( c - t ) 口t , 豁 -一 孔一低 f i ( 1 ) =1 一o ( 1 , y ) t =1 一00 1 ( 0 , y ) t 二1 +f( o ) 工封 日 于 - 日 凡 c ( z l , y 一 0 2 ( f l 1 ( z i ) , y ) t , t 。 一 ) ( 1 +o ( a t ) ) d z l d y ) f( 0 ) i 1 一 r f z (一 ， 一 “ z (f j “ 一 ， ， ， ， “ 一 ) (1 + 0 (o t) )d z id y 0 0f (1 ) 刁 f( 0 )1 r 2 (一 ， 一 ，” 一 ，“ + 0 ( o t)“ 一 “ 一 这里引入了变换:- z = f 2 ( y ) = y - 13 2 ( 凡1 ( z i ) , y ) a t( 视z ， 固定) 易 知 : 会 一 1 + 0 (a t), f2(1) = 1 + f z(0 )， 故 1 1 i cn - 1 ii 一 r f z (一 “ 一 ，( + 0 (a t)“ 一 d z z ， ” 一 ” ， + m u “ 一 ” ， 0 0 ，从而 碑 上 兰 一宝 t , 4 ) : 兴 c llv ll， 一 r i - i ii, ) 一 、 iii - 1 112 6 la b 又 ( a , . v ” 一 ， 7 s ) +a ( 0 ( “ 一 ( - ) , o f 0 ) a 日 v v 11 一 ila ” 一 a l - i o n“ 一 ， o f 0 ) i a 几一a 日 。 三( 入 - 一一 2 - -): 二 、一 ila - a ll-2 、 。 一 12 ( l 2 ) a 2 *( a 2t(a a (e” 一 ;n一 )， a 2a 2: ay n ) : 兰一 t ( 11 全( , iii 2“ ” a x a y 日 8 2 一 ; ， a x a y 一 111 ) ( 1 2 ) ( ， ) 洲 对( 3 .4 ) 式之右端各项，有枯计 x全 7里. f 1 t ， 了一 沪一 1， .,7 n - 1 二-, c 1十 2 入 觉 一7 1- 一 1 , t 8 ( 兰 二 n - 云 11 0l1 石 “ ) 2 ; 日二 ” 2 八t 1犷刀 ， 一 i 2 + y f : 12 2 t,_, (i t, ) z d x 如 如-次 : 116 , 112 + 华 e2 l 玉 t1 1 处112 i i 口 亡 i l 沙一 护 ; 乙 z j : iisriiz2 + m h2,+ 2. o uo t ii o t 112l1t 0; 1 p+ , ) ( al i ) ， 砚 一 一 1 “ 一 at q n -上7j 一呈; 性 )三日 4 1 11, 111 1 _1 略去上标 ，一i l i l - 1 n - 1 , 由定义有 = s up m e 砚 t o( 110 lii l1 0 0 ,y ) 一 : (x , y ) )o (x ,y )d x d y 1) = - 0 10 -1 , 11 ,7(. , y ) 一 : (x , y ) + 77(x , y ) 一 ， (x , y ), (x ,y )d x d y 1) 、 su p 0 10 111 1 (1 / (， ( ， ) 一 。 (x ,y )m x ， )“ “ ， . + i (,i(e ,y ) 一 。 (x ,y ) w , ， )、 、 ) 全 s u p ( 110 111 1 m+ w) ( 2 ) 如前引入变换，z =f 1 ( 司， 得 ,/ ( - , y ) 一,! ( x , y ) ) o ( t , 71 ) d x d y l ,?(x , y )0 (- , y )d x d ， 一 ， + o (o t ) / ， 一 ， y )o (f i 1 (z 1) , y )d z td y l ,1(- , 0 0 (x ,， ) 一 0 ( 二 (x ), y )d :c d y 十 、 ，! ./ r(a 7r) (二 (:e ) , y )d r d y l 子/j几rz护”.了zjq -一一或一 幼 生 11 71 11 ii o ( 二 ， y ) 一 11 0 一 o ( f , ( 二 ) , y ) 11 十m0 71 11 ii o ( f i ( 二 ) , y ) 11 ( f ; ( s ) , y ) 11 z= f , i u n ( t 1 ， ) ， 1!1 _ at, i axav j、_ 了o t , r , 夭 劣 j 凡 厂了j。 八 1 f r , v y ( t 1 , y ) 、 ， 1 i 一 !at , axav 了 (二 ) 、o t 1 再作变换t 1 =二 一g 1 ( 川，( xa定，s 是变量) 其中g 1 ( x ) 二: 一f , i ( x ) , 9 11 由 ( 3 . 5 )知: ， 一 f , 1 ( z 1 ) 二 又由条件 ( c l ) ，有 i g 1 ( 哟 - mt z1一 x 二- 0 1 ( a . 11 ) t. 注意到d r , =一 1 ( 司d s 得 l*- y ) 一 o ( f i ( x ) , y ) iia m a t z 二m瓦 2 r !(u (a:- ag ,(x),y)adsdxdyn o 1 (a(x g ,(x)a,y)zdxdydsn n 再令t 二二 一g 1 ( 劝 ， ( s 固定，x 是变量) ，由于凡( 动二二 一/3 1 ( 二 ， 71 ) z , t = z ， 从而 f , ( 二 +1 ) =， +1 一# 1 ( 二 +1 , y ) lt 二二 一a , ( 二 ， y ) t +1 二二 ， +1 故凡i ( z i +1 ) g , ( 二 +1 ) =二 +1 =f i 1 ( z , ) +1 从而 =二 +1 一 f i 1 ( 二 十 1 ) =x + 1 一f ; 1 ( x ) 一1 =二 一 f , ( x ) 二g , ( x ) 由a x 之周 期 性 ， 有 日 州 ， 妇一 o ( f i , ( x ) , y ) 11, y ) )“ “ “ “ j j u 7 m y t 2 110 11i 另外 ii(b (f 1 (_ ) ,y ) 112 一 j 0 2 (二 “ x ) , y )d x “ 一 / 0 2 ( _ i , y ) d - , d y l ( 1 + o ( , t ) ) f 一 ( 0 ) 令 几 二 f , ( x ) ， 则， 一 f , ( 二 ) ， d ， 二 到 ( t , ) d t ， 一 ( 一 器( 二 ， ， ) t ) d 二 一 ( + o ( a t ) ) d t , 110 ( 二 (x ) , y ) i i : f 0 2 (二 ，y )d - id y (1 + m ) : ( + m h ) : 、 ，: 由k易得 q i 三 再估计q 2 ， 引入变换二 2 二f 2 ( y ) = y 一 了矛j几了了了” x i ( x , y ) , ( x , y ) d x d y 一 、 们咧。 ， 训d :r 询 一 m4 24 10 11 , ( 0 2 1 ) /3 2 ( 二 ， ) t q ( x , y ) k ( 二 ， y ) d x d y l 77 0, z 2 ) ,p ( 二 ， f , ( z 2 ) ) d z 2 d x :( 1 十o ( l t.川 , y ) ( ih ( 二 一 y ) o (x . 、 (y )d x “ ， ， 十 m ， f 1)(x ,0 0 、一 二 (:9 ) ),lx d y 、了2 fl 刃l 产廿矛了n.ilj只广ij” -一.一炭一 2 q 重复前述q 1 话计中的计年，有 11 拭x , y )f z 1 ( y ) ) i 2 i a x1 ( y ) h 2 m z t ilo c 百 ( 1 +m/ t 川 o n 1 种芍 又 ii ) (x , y ) i i 一 1 77 (. , y ) d x d y i 七 由此有 。 ， ( 二 ， ,y ) ,i.z i d y ( i 十 o ( a t ) ) 耳( i + 何0 117, 11, 了了了n -一 q : - m2 t ll,rd ll al 将( a 2 1 ) ( a 2 2 ) 代入到( a 2 ) 中 得: ， 一 i ii 一 土 mt 11, i ll 从 而 ， ， 一 一n “ 一 ， t ” ， 三 警 u 0 日 1 4 m itt/, - 1 112 记 4 f) =a 1 / a o , p 。 二a o / h .o ， 故 a o 1 二拓1 -p o o 1 p o 1 h 将( 1 1 1 1 ) , ( 1 2 ) 代入( l 1 ) 中并由( 3 . 7 ) 得 1 全 1竺 立 亡 f ) 三 un ll2 m l a 2 * + 2 2 石 2 t ， 一 11 ,.;h . h ) + s 1w !: + 答 1171, - 1 112 ( 2 2 ) ( 3 . 6 ) ( a1 2 ) ( 3 , 7 ) ( ， 、， ) ( t z ) 移-陪去 d-日 一2 a1向 ( 砂军了一 甲心 “ ) 兰 v刀 71 一 日 甲舀 i i=a 0 9 o i i v了一 1 i v 0 i i v c11 , + mi! v， 几 一 ii i v v11z ( l 9 ) 吻一8 十 2 一 入 ( v ( 7 u 选 取“ 使 得瓮三 凡 ill - ) , v c ) : 型11 v (，一， ” 一 人 、k i rlo ( 38 ) 其 中 常 数k l - 纤 = g (ta i 、 任意取定。 甲( 。 ” 一 w n - 1 ) ii 2 三 v ( 7 1 一 ， ， 一 ) ii i 十 ) 甲( 。 n 一 7l 一 ) 妇 甲( 砂一1 6 ,- 1 川 i 三 州 _0 7 1 ， i v日 l l ( c 一 口 r . ( 八3 : ) 由 ( 3 . 3 ) ， 有 11 v ( , / ” 一 了- 1 ) 112 _ a t ll o t ;l ) 三ct h e o i la t 2 l ( t ” 一 ， ， 。 ; 方r + ) ( ,l 3 -3 ) 豁 从而结合( il 3 1 ) , ( a 3 2 ) , ( 0 3 3 ) 和( 3 ) 有 丑万寸u 口一广0 一 a ( ,7( w , 一 w ” 一 ) ， v c) 三g l l二 二 2+ m n t(日 二 豁 2l (e 。一 ，t- ,l ; ) + h 2 , 2 l ( t - , t ; 方 + ) ( 二 3 显然有 、 ，a 2_，a 2 a - 凸 t ( ax a ( ty 一 w .一 ) a x a y ,) 三 a 2 入t 2a 2 a a x a y ;。 n - 1 ) 日 “ 介 -梦 2一a 口-劣 -口 护一2 + 必 11 a x a y (“ ” 刁 2 三 n i ll , t ;l ) a 2 a x a y ( 97 一， ” 一 ， ) 112 一 27 ” 一 ， ) ii 2 。 t h 2r- 211 a t 112 l(。 一 . ; h, + , ) 故 a 2 t ( a (w ,.x a y 口 _ w - 1 ) . 一 a , ; ” 、 ， a x a y ” 2 l a ( t - , p ; 泞f + 1 ) 聪-以去 日-口 a 2 a x a y ry 日 2 + mt ( ii a 2 a 7t u z , a x a y a t t ;l d ) 十h 2 . - 2 叹介 ( a 0( 二 几 一二 件 一 工 o ) a 川0 扩 川 0w 一 二 “ 一 川 : ao i8 二 ;n lls 、 、 二 a ua t 2 l ( t ” 一 , t n ;l ) ( o ( u 一 u - ) , c ) 三 m ( r 。 一 ， iii + iii - ii 十 ie iil + 反， ) 最后，我们证明: ( r s ) (、 二 ( az ) 一 u n 手一 ;几 ) : 、 ( 。日杂 : 2_j t 2 i i l (t * 1。 : : ) +ii4 ii i( ， 、 了 ) 事实上:由 t a y l o r 展开式的积分余项有 一 1 一 ， 78 t ，仁 上竺一 ) i b a i 一 乡 ) ， +( t ( t ) t , .- 1 ) 2 豁 护 知 平” a 盖 卜一月 甲一r i b a i x ( 司一w +( .ij ( t ) b ， ( 丁 ) 一 于 ) 2 干 ( y ( 二 卜 u ) i (t(- ) - tn - 1)zi 杂 (it 八厂b 生舰 l 2 了了了b 却 了.了“ 陋 了 ( 枷、tl 、 dt 7 6 n 一 l n 一 1 八t 】 “ 二 ，几 一 ) 2z z d r )zd x d y 10 t2 二 2(了 zz( j rzdr)zdxdy 、 !(,p,.)2 a a f l zd r 了 a月 0_ 2,u8 r 2 z d r d x 向 .了月声j。 d r d x d y jj vjju ，二t ( = :y j ) / f 2 ( , j ， ” 一 ) 护 u ,. ( 石 二 万 少 d r d x d y 4 少j 一 令 a广沙j 山 六尸 月 对线段 a b以七 作拳数，则其参数才程为 t , 一 t z f=下 而一 x 十 亡 宁 己 一 t 二 . - t y + = t t 一t o - t t一 t n - i 二 =0 ( t ) :e +( 1 一b ( t ) ) 二=二 一月 上 ( ， ， 夕 ) t o ( t ) 名 卫 反. y =， 一j3 z ( 二 ， ?l ) t o ( t ) 这里 b ( t ) = t o一 t f 乃 .寸 d 2 平 一一 2 子卜 d 11 + 2 、! 夕- v- + 2 (击 ) 一 (d z l) 2 + (d z 2 )2 + (“ ) 一 ( 兰 l1 t 一_o l t i i if洲 一) 仔一 dr 一 1 v - u , i2 t _ .，tf . 8 2 1 ._。 ii t ii 0 二 l i t 1 / i 百下 ( x 一p i ( x , y ) 凸 1 0 ( t ) , y 一0 2 ( x , y ) lt e ( t ) , t ) ) 0 d t d x d y j j v7 f 七 n - 1 作积分变换:s ( x , y ) ( z i 、 二 2 ) 与前一样得: 沈 n 豁 了声了 了矛 川 at, u - ii一 一 2 任日 f 4 11z 2 , t ) ) z d t d z l d z 2 ( 1 +o ( l t ) ) 豁 护 s 1 t ” 一、 o 2 7 l 三 m凸 州 a t 2 iil = (v 、一 ，护 ;“ ” ) 因 此立即得估计式( +7 ) 。 综合( 1 1 一 1 3 ) 和( : ， 一 ， : )得 洲 z t(ilc ii2 一 r - ii2卜 a 2 q t( 0 22 (il0f y a 2 d x d y 别一 2 1 3 哪 l凡 、乃一 a一 + ( a l a 一洲、 2 ) 甲( “ . “ 2 l ( t 。 一 ， 0; h 3 ) 礼-伏 口-刁 三 m( 入 2 , + 1 +a j , 2 , + m h 2 , + 2 八t l l ) + l t ll 0丽11动。 tl 石 劫 +i ll20 ( t 1 t , . ;l d , 十o th 2r ll佘 .: 、。 一 t , h* + t ) + 1 2*- 2 tll a t ilia(。 一 。 ;fi,+ ,) ) +2 ， 。 a 2 z -t 2 二 军 一 ! 一 十不 二下 日 乙 vii 2 + m( 日 省 ” 一 日 2 +iie 上式两端同乘以 2 z t 并对 : ， 11 2 ) 求和，得 a x a y i i e . + 又 ( a - “ +a 2 瓦2 ila - + 一 a ll二 2 ， 武 反 子) i ioc - 112 2 : m - i m 1 艺iie m ll2 ， + a ， l t i 艺i! + m 2 ( h 2 * + 1 + a ，人 2 ,a , h+ 0 t 2 ) 一 里 ， u x a y 了 ! “ t 易i ,e 其中的il a -一a l二 m a x ( la一。 u 1, la ， 一a l ) q=人一 i l a m一a ll二 2 11 - - + i 一a ll- 2一2 ” 叮 ) oa 了久全 a s十 a i a o 一a, 一c j 2 久 _0 仅需 人 ) 盲斗2 取 t 充分小，使得在( 3 .时中m , at y o (1 从而有: 二 2 + a2 l t日 a 2ax ay 川 + 2 q 又日 甲尹iii m , 又g - 112 + a i d t 2艺 得到 二 ， t 斗 m 2 ( 1-2 r + 十 。 。 人 ， + 屏 利用离散的 g r o n w a l l 不等式， ” ，0 2 ii 0 ii + a 0 l 日 6 -1- 丙 l , 112 + 2 q 艺 甲 石 一 iii 八 t 对 ( h 2 十 十 。 0 1a 2 , + 瓦， ) 最后利用三角不等式，得到 定理1 设问题( a ) 的解u 及定解数据满足 ( c 1 ) 、 向一 特征有限元格式( 2 . 7 ) 之解，a 满足( 3 . 8 ) , 差枯计: ( c 2 ) 和 ( c 3 ) ( 3 一 1 0 ) , rr il 当 a t u n为交替方 , h充分小时，有误 m ax 吃 (nn iic iiz + 2 q 艺ii v e 0 ii, + m ax 0 nn 、 ， - 2 . . a 2。_ _。 “ 乙 日 a x 丙 已 11 三 m (h ， 十 + a o h + 瓦 ) 1、1 几jiq白 1宋半 段( 其中m为与灯a u , u , a t , h无关的常数。 最后，分析格式的稳定性。 在 ( 2 .7 a ) 中取v =u ev,， 则左边: 一 二 二 一7 n - _ tu ) : 击(: 二 一i i u ” 一 112 ) 一mii u “ 一 日 2 ( a v u ” 一 ， v u ) + a ( v ( u ” 一 u n 一 ) ， v i m = a ll o u ii 2 + ( a 一 a ) ( v u ” 一 ， 17 u ) 全 ( 入一 ila “ 一a ll - 2 ) 日 v u 日 2 一守u n - 日 a 2 t (赫 (u ” 一 “ “ 一 ) ， 赫 u *ax a y) 全 入 2 t ila - 二1 ii. 2 a 2 a x a u (9 一 ， a u y u -1 11 2 ) ( rr u ” 一 ， u ) m( 日 u 一 11 2 + ii u 0 11 2 ) ( * 3 ) ( * 4 ) 右边 : ， 。， r 。 、 _日 f日 2. l 7， u 1 士 2 一十 p u 0 iiz ( * 5 ) 综合( * 1 ) 一 ( * 5 ) 有: 12 p t(:二 一，二 一 12) + (* 一 lla - a ll-2 一 ila - a ll 二 : ” 一 :a 2 l t+( 日 a 2 u _ l l o x o y 三 臀 + m (iiu 112 + iiu 一 il2) ) 日 p u 日 2 a x a y u ” 一 日 ) ( 3 . 1 4 ) 上式对: ， 求和并取a满足 ( 3 1 0 ) ， 则有: 叮 哪 i i u ii u0 日 2 + 2 q 艺日 7 11l2 t + a a t 日 2 +il a 一 a ll- 11 日 a : o u ii 亡 + a yz ll a 丛 a, a x a y + m ( 艺 ilu ll 2 +艺 ilf ll2 ) 八 由g r u u w a l l 不等式，及 日 u 0 ll il a 0 ll 有: iiu