（计算数学专业论文）带自由界面光波导中的泄漏模——渐近解分析.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文主要对带自由界面的三层平面光波导中泄漏模的渐近解进行了一定的 分析。 在光波导中，光传输的波动方程可以从麦克斯韦方程得到，再经过傅立叶变 换，最终可以将波动方程转化为h e l m h o l t z 方程。 原始的二维h e l m h o l t z 方程为： p _ 0 【一i 为+ p _ 0 【一1 笃+ 盯( 孙) 2 n ( 孙) 2 “：o ， c ! = p p “ 其中( z ，x ) 定义域为： ( ：，x ) j o z + c 。，一 x + 。 本文研究的是带自由弯曲界面的情形，并且在各层中所研究的介质是均匀 的。首先，由于原始问题中的x 是无界的，不能用数值方法有效地解决，因此就 人为引进边界条件，将无界问题转化为有界问题。 由于要研究的问题在一般情况下是个弯曲界面，分析过程是比较复杂的。因 此，为了突出渐近分析，首先在平坦界面下对问题进行研究，一方面，平坦界面 情形下，可以比较容易地导出精确的特征方程，使得我们能把更多的精力放在渐 近方法的研究上；另一方面，研究弯曲界面的时候，可以将平坦界面情形的结果 作为衡量曲线情形结果的一个尺度，理论上，当曲线退化为直线时，曲线情形下 的结果应该跟直线情形一致。 在研究自由弯曲界面时，可以用传统的方法如折线法，可是这种方法如果分 段比较粗容易产生比较大的误差，而如果分段太细则计算量又太大，因此不是很 理想的方法。所以，在各层采用局部正交坐标变换，将弯曲界面“拉直” ，从而使得转化后的问题具有平坦界面。 在局部正交变换中，构造函数：2 = f ( x ，z ) ，量= g ( x ，z ) 使它们满足正交条件和 边界( 界面) 条件，同时，为了使变换后的方程不含有吒项，令“= 雕，即得 到的变换之后的方程为：+ 口+ 圪+ y v = 0 ，然后考虑其特征方 程：触) ”( 量) + 肿( 主) + ( y 一丑2 ) 西( 量) = 0 ，由于界面曲线波动非常小，可以近似认为 浙江大学硕士学位论文 z o ，这样一来，特征方程就被近似转化为砷。( j ) + ( ，一五2 ) 中( 回* 0 。 接着，我们利用w 1 ( b 方法近似处理这个特征方程。令西( 量) = 4 ( 旬卦，代入 特征方程后，在假设1 之下，可以得到特征方程的近似解，这个近 似解中含有两个未知参数，当然也含有特征值。由于在所划分的四层中，变换各 不相同，近似解中含有的未知参数也各不相同，这样就有t j k 个未知参数，需要 八个方程来确定。除了给定的边界条件和界面条件一共六个外，还人为再加了一 个界面条件，这个条件其实也是很显然的。对这八个方程进行了处理后，推出一 个比较复杂的仅含特征值的方程，所幸，这个特征值方程的形式与平坦界面下的 特征值方程的形式非常相似，于是就仿造平坦界面的处理方式对它进行了处理。 其中，为了使最后的渐近解具有比较好的形式，我们做了一定近似处理，但是这 些近似都是误差很小的，因而也是可行的。 导出渐近解后，我们一方面考察它在极限情形下与直线的一致性，另一方面， 考察它与特征值精确解的误差。最后，我们发现，前者的一致性非常好，而后者 的误差在界面波动很小的时候误差很小，而当界面波动比较大时，效果比理想的 偏差大了点，也许这跟推导过程中一系列近似处理有关系。 关键词：自由界面h e l l i l h o l t z 方程，局部正交变换，w k b 方法，渐近解 浙江大学硬士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , s o m ea n a l y s i sa r ep r o v i d e df o rt h ea s y m p t o t i cs o l u t i o no f t h el e a k y m o d e so f t h et h r e e - l a y e rs l a bo p t i c a lw a v e g u i d e sw i t hf r e ei n t e r f a c e t h ew a v ee q u a t i o nc a nb eo b t a i n e df r o mt h em a x w e l le q u a t i o n b yf o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n ，t h eh e l m h o l t ze q u a t i o ni so b t a i n e d t h e o r i g i n a lt w od i m e n s i o nh e l m h o l t ze q u a t i o ni s ： p = 0 【一1 o 五u + p 互o ( 一1 o = u 一) + r ( z ，力2 疗( z ，工2 1 = o ， 出p 。z出po x w h e r e ( 毛力s a t i s f i e s ： ( z ，刮o z 坞硼 z 佃 i nt h i sp a p e r t h c i ri n t e r f a c ei sa s s u m e df r e ea n da ta l ll e v e l sa n dw es t u d yo f h e t e r o g e n e o u sm e d i a l f i r s t ，t h eo r i g i n a lp r o b l e mh a sau n b o u n d e dr e g i o n ，s ot h en u m e r i c a lm e t h o dw e c a n tb eu s e dt os o l v ei t s ot h eb o u n d a r yc o n d i t i o ni si n t r o d u c e dt oo b t a i nab o u n d e d p r o b l e m t h ep r o b l e mw ed i s c u s s e dh a sac u r v ei n t e r f a c e ，5 0i ti sq u i t ec o m p l e x t h e r e f o r e ， i no r d e rt oh i g h l i g h to u ra s y m p t o t i cm e t h o d ，t h ei s s u ei nl i n ei n t e r f a c ec a s ei sf i r s t s t u d i e d o nt h eo n eh a n d ，i nl i n ei n t e r f a c ec i r c u m s t a n c e s ，a c c u r a t ec h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o nc a nb em o r ee a s i l yd e r i v e d s om o r ee n e r g yc a nb em a d eo nt h ea s y m p t o t i c m e t h o do fr e s e a r c h ；o nt h eo t h e rh a n d ，i nt h ec u r v ec a s e ，t h er e s u l to fs t r a i g h t - l i n e s i t u a t i o nc a nb eu s ea sam e a s u r eo ft h er e s u l t so ft h ec u r v ec a s e i nt h e o r y , w h e nt h e d e g r a d a t i o no fc a r v et ol i n e a r , t h ec a s eo fc u r v es h o u l dr e s u rc o n s i s t e n t 、i 血t h e l i n e a rc a s e ， f a c i n gt h ec u r v ei n t e r f a c e t h et r a d i t i o n a lm e t h o dc a r lb eu s e d 嬲t h es t a i r c a s e a p p r o x i m a t i o n b u ti tw i l lh a v eb i ge r r o ri fw eu s er o u g hr u l e a n di ft h er u l ei sv e r y s m a l l t h ev o l u m eo fc a l c u l a t i o ni st o om s e h s oi ti sn o t 卸i d e a lm e t h o d t h e r e f o r e , t h el o c a l l e v e lo r t h o g o n a lc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o ni sa d o p t e d ，t h eb e n d i n gi n t e r f a c e w i l lb e ”s t r a i g h t e n ，t h u se n a b l i n gt h et r a n s f o r m a t i o no ft h ep r o b l e m sw i t hl i n e a r i n t e r f a c e i 浙江大学硕士学位论文 l o c a lo r t h o g o n a lc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o nd e s i g n st h ef u n c t i o n ： 2 = f ( x ，z ) ，岩= g ( 暑力 w h i c hs a t i s f i e st h ec o o r d i n a t ec o n d i t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o n , t h e nl e t “= w v w e h a v et h ee q u a t i o na f t e rt r a n s f o r m a t i o n ： + 口+ 匕+ y v = 0 t h e n , b y t h ev a r i a b l es e p a r a t i o nm e t h o d ，c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nc a nb eo b t a i n e d ： 口o ( 置) + j 劬( 主) + ( ，一a 2 ) 中( 量) = 0 ， a so u rb o r d e r sc u r v ef l u c t u a t i o ni sv e r ys m a l l ，t h a tg a nb ea p p r o x i m a t e d 口0 ，t h i s c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nw a ss i m i l a rt r a n s f o n n a t e di n t o ： 口o ( 刁+ ( ，一五2 ) ( 量) 0 t h e n , w i , l bm e t h o di su s e dt od e a lw i t ht h i sc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n s e t 中( j ) = 一( j ) p “，i n c o r p o r a t e di n t ot h ee q u a t i o n ，u n d e rt h ea s s u m p t i o n i 剜t ，i 一( 量) 爿( i ) r 。 t h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no ft h ec h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o nc a nb eo b t a i n e d , t h e a p p r o x i m a t es o l u t i o nc o n t a i n i n g t w ou n k n o w np a r a m e t e r s ，o fc o b r s ec o n t a i n e i g e n v a l u e s s i n c ew eh a v eaf o u r - t i e rd i v i s i o n ，t h et r a n s f o r m a t i o ni sn o tt h es a n x ea s t h ea p p r o x i m a t es o l u t i o nc o n t a i n i n gt h eu n k n o w np a r a m e t e r si sn o tt h es a m e ，t h i s w i l lh a v ee i g h tu n k n o w np a r a m e t e r s e i g h te q u a t i o ni sn e e d e dt od e t e r m i n et h e m i n a d d i t i o nt os i xi n t e r f a c ea n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w ea l s oc o u p l e dw i t ha ni n t e r f a c e t h i sc o n d i t i o ni si nf a c tv e r ye v i d e n t a r c rt h i se i g h te q u a t i o n sb e i n gt r e a t e d ，w eh a v e am o r ec o m p l i c a t e de q u a t i o no n l yw i t he i g e n v a l u e f o r t u n a t e l y , t h ee i g e n v a l u e e q u a t i o ni sv e r ys i m i l a rw i t ht h ee i g e n v a l u ee q u a t i o ni nt h ef o r mo fl i n e a ri n t e r f a c e , w el o o ks t r a i g h ti n t e r f a c ea p p m a c hf o rd e a l i n gw i t hi t i no r d e rt om a k et h ef i n a l a s y m p t o t i cs o l u t i o nh a sar e l a t i v e l yg o o df o r m ，w ed oac e r t a i na p p r o x i m a t i o n ，b u t t h e s es i m i l a rl e a dt oa v e r ys m a l le r r o r , s oi ti sf e a s i b l e a f t e ra s y m p t o t i cs o l u t i o ni sd e r i v e d ，w ei n s p e c t e di ti nt h el i m i tc a s e sw i t hl i n e a r c o h e r e n c e ，o nt h eo t h e rh a n d ，t h ee r r o rb e t w e e na s y m p t o t i cs o l u t i o na n da c c u r a t e 浙江大学硬士学位论文 l u t i o ni si n s p e c t e d f i n a l y ，w ef i n dt h a tt h ef - o 册c rc o n s i s t e n c yi sv e r yg o o d ，t h e l a c t e re i t o fi sv e r ys m f l lw h e nt h ef l u c m a t i o ni 1 1t h ei n t e r f a c ei sv e r ys m f l l w h e nt h e i n t e r f a c em o r ev o l a t i l e ，ab i gd e v i a t i o nt h 锄w ed e s i r e d p e r h a p st h i si sd e d u c e di 1 1t h e c o u i s eo f as e r i e so f s i m i l a r 订e a t m e n t k e y w o r d s ：f r e ei n t e r f a c eh e l m h o l t ze q u a t i o n ，l o c f lo n h o g o n a l 仕姐s f o 咖a i i o n w k b m e t h o d ，a s y m p t o t i cs o l u f i o m v 浙江大学硕士学位论文 第一章引言 光通信以它独特的优点被认为是通信史上的一次革命性的变革，光纤通信网 将在长途通信网与市话通信中代替现用的电缆通信网，这已成为各国所公认在 未来的住信息社会中，交换大量信息的信息网络将由光纤网络来构成。光纤通信 作为一门新学科来讲，其发展的速度与潜力在通信历史上很少有其他技术能与之 相比。伴随社会的进步与发展，以及人们日益增长的物质与文化需求。通信向大 容量，长距离的方向发展已经是必然的发展趋势。由于光波具有极高的频率( 大 约3 亿兆赫兹) ，也就是说是具有极高的宽带从而可以容纳巨大的通信信息，所 以用光波作为载体来进行通信一直是人们几百年来追求的目标所在。在六十年代 中期以前，人们虽然历经苦心研究过光圈波导、气体透镜波导、空心金属波导管 等，想用它们作为传送光波的媒体以实现通信，但终因它们或者衰耗过大或者造 价昂贵而无法实用化。也就是说历经几百年人们始终没有找到传输光波的理想传 送媒体。 一九六六年七月，英藉、华裔学者高锟博士( k c k a o ) 在p i e e 杂志上发表 了一篇十分著名的文章用于光频的光纤表面波导，该文从理论上分析证明了 用光纤作为传输媒体以实现光通信的可能性，并设计了通信用光纤的波导结( 即 阶跃光纤) 。更重要的是科学地予言了制造通信用的超低耗光纤的可能性，即加 强原材料提纯，加入适当的掺杂剂，可以把光纤的衰耗系数降低到2 0 d b k m 以下。 而当时世界上只能制造用于工业、医学方面的光纤，其衰耗在1 0 0 0 d b k m 以上。 对于制造衰耗在2 0 d b k m 以下的光纤，被认为是可望不可及的。以后的事实发 展雄辩地证明了高锟博士文章的理论性和科学大胆予言的正确性，所以该文被誉 为光纤通信的里程碑。 如今，光纤通信技术和计算机技术成为信息化的两大核心支柱，计算机负责 把信息数字化，输入网络中去；光纤则是担负着信息传输的重任。当代社会和经 济发展中，信息容量日益剧增，为提高信息的获取、传输、存储和处理的速度和 容量，光纤通信被广泛的应用于信息化的发展，成为继微电子技术之后信息领域 中的重要技术。 为了研究光纤的导波模，我们从它的简单情况平面波导来研究。在自由 淅江大学硕士学位论文 空间中传播的光，我们称它为空间传播光。相对于空间传播光，光被限定在与传 播方向垂直的截面内，在密闭区间传播的光，成为导波光。约束导波光的介质称 它为光波导。在两层低折射率介质板中间夹有一层高折射率的透明介质板，则构 成平面介质波导。当光从小于临界角的方向从高折射率介质向低折射率介质入射 时，在上下两个界面之间反复受到全反射，并向前传播。这时候，对光波导作用 的高折射率介质称为芯层，两边的低折射率层称为包层。由截面形状不同，有各 种光波导。我们所要讨论的就是一种常见的波导，三层平面波导，即中间为芯层， 上下为包层的波导，如果上下包层中的材料相同，我们称它为对称三层平面波导。 同所有电磁现象一样，光波导中光的传输也是服从麦克斯韦方程组的，描述 光波导中光传输的波动方程可以从麦克斯韦方程组得到。再通过傅立叶变换，最 终可以将波动方程转化为h e l m h o l t z 方程。许多数学物理问题，如光波传播，激 光物理学，电磁学，地震学及其它领域大规模波传播问题，在数学上往往最终可 以归结为变系数的h e l n d l o l t z 方程。所以，研究h e l m h o l t z 方程及其快速数值计 算具有十分重要的意义。 如果对称三层平面波导中芯层和包层的界面是平的，那么h e l l h o l t z 方程的 特征方程可以给出一个非线性方程，此时可以用牛顿法进行数值求解。而牛顿法 是局部收敛的，因此需要我们给出比较好的初值。本文我们才用渐近方法来探索 初值。为了突出我们的渐近方法，我们首先在直线界面下对问题进行研究，一方 面，直线界面情形下，我们可以比较容易地导出精确的特征方程，使得我们能把 更多的精力放在濒近方法的研究上；另一方面，研究曲线界面的时候，我们可以 将直线情形的结果作为衡量曲线情形结果的一个尺度，理论上，当曲线退化为直 线时，曲线情形下的结果应该跟直线情形一致。 然而，当两者的界面是弯曲的时候，我们就无法得到相关的方程了。此时， 如果我们采用一般的阶梯折线法，即用不连续的折线来代替原先光滑连续的界 面，显然，这只是一种粗略的估计，当划分不是很小时候，误差将会很大，则我 们需要加密分点，但是这样会使得问题的计算量大为增加。因此，需要寻找一种 更为有效的方法。首先我们想到的是利用坐标变换将原来的弯曲界面“拉直”。 如果使用全局变换，当波导范围比较大且界面比较复杂时，它的计算会变得非常 困难。局部变换相对比较容易计算，也被广泛采用，若使用局部非正交变换，法 浙江大学硬士学位论文 向导数会变成水平方向和纵向的组合方式，偏导数的存在会给数值计算带来很大 的困难。相比于全局正交变换和非正交局部变换，我们准备使用局部正交变换， 使得变换后的方程具有平的界面，新旧坐标的转换可以用牛顿迭代比较容易地实 现。同时，再通过改变应变量进一步简化方程。 通过局部正交变换和改变因变量后，原先的h e l m h o l t z 方程具有以下的形式： + a + 珞+ = 0 ， 且该方程具有平的界面，其中的口，口，v - - 个系数跟量，j 有关。 我们研究它的特征方程： a o ( 量) + 日( 主) + ( 厂一五2 ) ( 筇= 0 ， 为了处理问题方便，也出于现实中的情况，我们可以假设界面曲线波动非常小， 因此可以近似认为= 0 ，这样，我们就可以消去含有一阶导数的那一项，为运 用w k b 方法也做好了准备。特征方程被近似转化为 a g p 。( 量) + ( ，- 2 2 ) 巾( 主) a 0 。 接下来，我们利用处理大参数微分方程的有效方法卅k b 方法来近似处理 这个特征方程。 令巾( i ) = 彳( 曼弦州j 1 ，代入特征方程后，在假设l 怒l l 下，我们可以 得到特征方程的近似解，这个近似解中含有两个未知参数，当然也含有特征值。 由于在我们所划分的四层中，变换各不相同，近似解中含有的未知参数也各不相 同，这样就有了八个未知参数，需要八个方程来确定。除了给定的边界条件和界 面条件一共六个外，我们还人为再加了一个界面条件，这个条件其实也是很显然 的。对这八个方程进行了处理后，我们推出一个比较复杂的仅含特征值的方程， 所幸，这个特征值方程的形式与直线界面下的特征值方程的形式非常相似，我们 仿造直线界面的处理方式对它迸行了处理。其中，为了使最后的渐近解具有比较 好的形式，我们做了一定近似处理，但是这些近似都是误差很小的，因而也是可 行的。 导出渐近解后，我们通过数值实验从两个方面考察渐近解的有效性。一方面 考察它在极限情形下与直线情形的一致性，另一方面，考察它与特征值精确解的 浙江大学硕士学位论文 误差。最后，我们发现，前者的一致性非常好，而后者的误差在界面波动很小的 时候误差很小，而当界面波动比较大时，效果比我们理想的偏差了一点，也许这 跟我们在推导过程中一系列近似处理有关系。 下面就对上述内容进行具体的讲述。 浙江大学硕士学位论文 第二章平坦界面情形下的渐近解分析 2 1基本方程 对称三层平面光波导，有两个介质交界的界面，中间一层折射系数为，称 为波导的芯层，光波就在芯层中传播。芯层上下两层为包层，上包层的折射系数 为 ，下包层的折射系数为喝。为了使光波集中在芯层中，即光波在通过上下包 层的界面处发生全反射，包层的折射系数必须小于芯层的折射系数。如果上下两 个包层的材料不同那么平板波导就是非对称的，否则就是对称的。 我们将波导的纵轴定义为x 轴，且设在波导中能量沿z 方向传输。这样选取 坐标后，平板波导的研究就成t z 维问题了。光是一种电磁波，根据麦克斯韦方 程组，可以导出二维光波导的h e l m h o l t z 方程： f 岛瓦0 瓦1 西a u ) + 岛瓦o ( 去挈+ 爵届“= 。，甜g 1 x g 2 n 鲁c 去+ n 昙c 净蜊删，甜d i x g i 隰z ， l 段云c 瓦l 孛a u + 岛昙( 去+ 甜= 。，船g 2 工 j 9 2 其中( z ，动定义域为： ( z ，x ) l o z - k o ，一 x 佃 ，工表示纵轴，z 表示横轴( 光 的传播方向) ，u ( z ，) 表示波导的场分量，蚝表示真空中的波数，满足： 岛= 珊；瓦= 竺= 莩，矗表示光在真空中的波长。，i l ，n ：分别为芯层，下包 层，上包层的折射系数。岛，一，岛分别为芯层，下包层，上包层的密度。 z = g l ，工= g 2 分别为下界面，上界面；工= d j ，x = b 分别为下边界，上边界。 特别地。当芯层和包层都是均匀介质时方稗( 2 1 ) 可以简化为! u 墨+ “舡+ 蚝2 7 2 = 0 。+ “。+ n 知= o u 丑+ + 蚝2 7 k 2 甜= o 我们给出边界条件： 珊 础 甜 2 2 移砸砂 x 石 x q q g 磐u ( z ，曲= o ； ( 2 3 ) 本文我们讨论的是t e 模，对于n l 模，讨论的方法相同。因此，可以得到 岛= i ，只- - - i ，岛- - 1 ，于是界面条件可以简化为： j ，l 嘶i r a “( 孙) _ 川l i m “( z ，砷 1l i m 垒粤：l i r a o u ( z , x ) ( 2 “) l 一哂c 靠 j 百西r l 粤“( 孙) 2 舞“( ”) 1 l i m 掣丝“m 垒缈 ( 2 5 ) l 一矸a kt ，百 苏 我们现在用分离变量法得到特征方程： 令( z ，j ) = 中妒0 ) ，代入方程组( 2 2 ) 可以得到： 妒( z )o ( 力 皇_ ，j = o ，1 ，2 其中c 为常数。于是我们可以得到妒( z ) 的一个特解：妒( z ) = 2 ；且对于中( 曲我们有特征方程： j 中。+ 名中= 0甜q x g o 。o ) + 疗中( 力= 0甜b 工 g l( 2 。6 ) 【中( 力+ 疙中( 力= o g ， 工 - ) 2 其中以= 砰一( f = 0 , i ，2 ) 边界条件则变为： f d o，。 i 一奶中 i 警= 讥 界面条件变为： l 罂西( 砷2 罂。( 工) 慨( 刁2 婴。7 璺中( 力2 肇中 慨2 墨。 a t 石= d 1 a t 膏= n ( 2 。7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 浙江大学硕士学位论文 由于( 2 6 ) 中的三个方程均为常系数方程，故很容易得到通解 f 吼( 功2c o l 扩+ g 一枷础g i z g 2 中l ( z ) = q l n 。+ c 】2 e - 嘶。凹q 石 g l ( 2 1 0 ) i m 2 ( 石) = c a l e 饥+ c 2 2 e 帖g 2 工 0 2 这里有六个未知参数，将( 2 1 0 ) 代入边界( 界面) 条件( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 即可得到六个方程： c l l = 0 c 2 2 = 0 p 哺c o l + e - l y e l c 0 2 = 矿仉q q 2 ( 2 1 1 ) d r - a , c o l e - i r o q c 0 2 ；一t t e - l r , q q 2 1 17 e i t * a 2 c o l + e 一机q c 0 2 = 一 岛c 岛 p 机g z c o l e - 。编= 正沙岛c 2 l 其中互= ? o ，正= 托y o 化简消去勺后得到关于特征值的方程： 0 - 巧) 0 - t o ：e 2 1 r o ( q - f z )( 2 1 2 ) ( 1 + 巧) ( 1 + 正) 进一步可得到： 矿( 岛咱，：( y o + r o o q + r 2 ) ( 2 1 3 ) ( 一 ) ( 一儿) 2 2渐近解分析 现在我们利用渐近方法，来推导利用牛顿迭代计算方程( 2 1 2 ) 或者( 2 1 3 ) 时所需要的初值气的渐近解。 首先我们给出计算凡的公式： 矗= 瓣，其中击既 ( 2 1 4 ) 吨一u 1 既又满足：既= l a m b e m w p ，- i 一9 ，) ，其中历= - 4 ( 1 + p ) + g ，但是用0 ； 浙江大学硕士学位论文 p 叫，毋i g = o ，1 ，2 ，3 i ，= 华( 4 嘎) ；，而q = , o k 4 一咖川，2 现推导如下： 百先，我1 i 】将扎，托写威，o 趵彤式： 铲( t 一貉( t 一去一卜，2 于是，h - 程( 2 1 3 ) 可以改写为： e 2 j ，o 鸭吲= 甏( 卜等一掣- 4 色l2 露1 6 露 两边开4 次方可以得到： 瓯p 掣2 惫悖) 其中s o 是l 的某个4 次方根，且有： 6 2 = 一i i ( 4 + 嘎) ，6 4 = 一5 ( 8 ：+ 8 r ；) - 2 s a 进一步可得： 二学c 磊屯，；= 嘞托e “( - + ；+ ；+ ) ，其中= 掣c z - s ， 我们可以将方程( 2 1 8 ) 右边写为w e ”的形式，其中 w = a o + 寺+ 寺+ 寺+ ，( 2 1 6 ， 代入( 2 1 5 ) 右边并约去e a o “得到： n o 凡( - + ；+ 嘉+ 一 = 嘞凡+ ；a 手2 + 寺+ - 了a 4 + - 一 e 砉+ 奇+ 等+ “ c z - ， 为了求出系数口2 ，吗，a ，我们需要将( 2 1 7 ) 的右边幂级数展开并与左边对比 求得。 由于s = 一毽仍1 h 是1 的4 次方根，于是方程( 2 1 5 ) 可以写为： 淅江大学硕士学位论文 三 w e r ：s r ，其中，：! 鱼二鱼2 1 垒垒! = 4 于是我们可以求得：w = l a m b e r t w ( p ，s r ) ，其中p 为整数。 ( 2 1 8 ) 由于矿的虚部一般是正数，因此，矽的实部和虚部都应该是负数。这就意 味着w = l a m b e r t w ( p ，s r ) 中的p 应该限制为负数。我们再令 s = - i ，q = 0 , 1 ，2 ，3 ，于是w = l a m b e r t w ( p ，s r ) 可以序号化为： = l a m b e r t w ( p ，- i 1 ，) ，m = - 4 ( 1 + p ) + g ， 其中p = 一1 , - - 2 ，显然小= o ( p = - 1 ，q = o 时) 的情况应该删除。 2 3数值结果 为了考察我们的渐近解的精确程度，我们先利用( 2 1 4 ) 求出渐近解，然后 在与精确解进行对比。 包层介质不对称时，我们取- - 3 3 ，惕- - 3 1 7 ，啦= 1 ，g i = 1 a m ，g 2 = 一1 a m ， ：娶，茏。：1 5 5 肌，肌= 1 5 ；结果如图2 1 ： a o 包层介质对称时，我们取= 3 3 ，啊= 3 1 7 ，n 2 - - - 3 1 7 ，g i = 1 a m ，g 2 = - 1 z m ， ：挈，茏。：1 5 5 用，研= 1 5 ；结果如图2 2 ： o 浙江大学颂士学位论文 图2 1 ：o 表示精确解，+ 表示渐近解 图2 2 ：o 表示精确解，+ 表示渐近解 j 一- 浙江大学硕士学位论文 第三章弯曲自由界面情形的预处理 3 1基本方程 首先声明，在实际应用中，介质的界面不会有很大的波动，因此我们这里所 说的自由曲线并非任意曲线，而是波动很小的吐线，从数学角度来看，我们所要 研究的曲线的导数，特别是二阶以上的导数都是很小很小的。 声芝一一， n o 图3 1 ：带自由界面的光波导问题 如图3 1 所示，跟上一节类似，我们研究的仍然是均匀介质波导。，n ：分 别为芯层，下包层，上包层的折射系数。所不同的是此时的界面是曲线而不是直 线了。工= 一 ( z ) ，工= 吗( z ) 分别为下界面，上界面；工= d 1 ，工= d 2 分别为下边界， 上边界。由此导出我们所要研究的基本问题： e 芝兹2 2 2 2 置 譬芝嚣笺 o s 一j l l ( 2 ) 毒 如( z ) a s d l 工 一 ( z ) ( 3 1 ) 甜( z ) 工 d 2 ，l i 。r a “( z ，力。o ； ( 3 2 ) 界面条件： 浙江大学硕士学位论文 i ，黑r ”( 孙) = ，呐l i r a u ( 2 ，力j 斗k ( ：) j 2 ( ，) 1 1l i m 掣盟：l i m 掣丝 【h b ( ：】+ h ， ( = ) 。a h il i m 甜( z ，曲= 1 i m “( z ，力 ij 十 ( ：) 十j p ( ：) 一 1l i m 必：l i m 趔 l j + ( j ) d nj + ( z r咖 其中以为界面曲线的外法线单位向鼍。 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 说明：由于我们讨论的曲线波动很小，因此n - f 以考虑将横坐标轴建立在两条界面 曲线“中间”。具体地说，不妨设x = 如( 2 ) 在工= c 2 直线上下波动，而工= 一 ( z ) 在 工= - c l 上下波动，于是我们可以在建立坐标系时，将横坐标轴建立在 z = 三如卅。 3 2局部坐标变换 由上一节可见，我们需要解决的问题中有两个弯曲的界面。对于弯曲的倩况 有两大类处理方法，第一类是用折线法( 也就是不连续的平行线段) 来近似代替 原先弯曲的界面，在折线法中，在每一个水平防线的小区间内，可以看作是直线 界面的情况，这样原来的整个弯曲大区域的求解问题，就转化为一系列平坦的小 区间上的求解问题了。这种方法容易实现，但是这也同时带来了一对矛盾。当划 分不是很小时候，误差将会很大，则我们需要加密分点，但是这样会使得问题的 计算量大为增加。 另一类方法就是通过坐标变换。首先我们想到钓是利用坐标变换将原来的弯 曲界面“拉直”。如果使用全局变换，当波导范围比较大且界面比较复杂时，它 的计算会变得非常困难。局部变换相对比较容易计算，也被广泛采用，若使用局 部非正交变换，法向导数会变成水平方向和纵向的组合方式，偏导数的存在会给 数值计算带来很大的困难。相比于全局正交变换和非正交局部变换，我们准备使 用局部正交变换，使得变换后的方程具有平的界面，新旧坐标的转换可以用牛顿 迭代比较容易地实现。 淅江大学硕士学位论文 f 面开始具体讲述局鄙正趸燹抉 假设工= ( z ) 在j = c 2 直线上下波动，而工= 一啊( z ) 在工= 一c l 上下波动，我们 将利用局部正交坐标变换将x = 呜( z ) “拉直”为量= c 2 ，将工= 一啊( z ) “拉直”为 主= 一c 1 。 为讨论方便计，我们取q = c 2 = 1 ， ( z ) = l + g s i n z ，吃( z ) = - 1 + r s i n z ，于是， 我们将x - - - - 1 0 ) “拉直”为j = 1 ，将x = 一噍0 ) “拉直”为量= - 1 。对于一般情 况下的界面拉直问题，我们同理可以讨论。 在讨论之前，我们先约定上芯层为0 工 吃( z ) 的区域，下芯层为 一 ( z ) 工 0 的区域，上包层为( z ) z d 2 的区域，下包层为- o , 鱼 一岛( z ) 的 区域。 下面，我们在这四层中，分别讨论局部正交坐标变换。 在上芯层中，也就是o 工 吃( 2 ) 的区域内，需要完成变换： o ，x ) l o 。 z - f o o ，0 工 如( z ) ：一 ( 幺i ) l 一 - t o o ，0 量 1 我们取局部坐标变换： 瞳= 厂z ) ，( o ，z ) = z 卜炉南 5 显然，i 2 9 ( z ，z 户瓦裔符合要求a 为了确定2 2 厂( z ) ，我们利用正交性条件： 偶+ z 最- o ，其中= 志屈= 吖糍已知。于是利用特征线法结合初始 条件可以得到： 陪工= 鬻， l 至：f ：型垡丝盟 【出 一 岛( z ) 也( j ) 淅江大学硕士学位论文 以及一个积分式：f 篇西+ 三( 讹( z ) ) 2 = 。 ( 3 6 ) 于是，给定( z ，z ) ，我们可以利用( 3 5 ) 求出( 2 ，动；反之，给定( 2 ，j ) ，可以通 过( 3 6 ) 用牛顿迭代求解z ，进而由( 3 5 ) 的第二个方程求出x 。 在下芯层中，也就是吐( z ) j o 的区域内，需要完成变换： ( 互工) l 一 z 佃，一啊( 力 工 o 五_ 哼 ( 互，曼) i c o 三 佃，一1 曼 ，我们可以利用( 3 7 ) 求出( 2 ，刁；反之，给定( 2 ，筇，可以通 过( 3 8 ) 用牛顿迭代求解：，进而由( 3 7 ) 的第二个方程求出工。 在上包层中，也就是吃( z ) x d 2 的区域内，需要完成变换： ( z ，x ) l _ z 佃，恕( z ) x d 2 ) 卜缸一 ( 幺钏一m 2 佃，1 曼 d 2 ) 取局部坐标变换 。 忙= 厂( 毛z ) ， b 护揣抖锩掣 ” 踊魄化力= 揣石+ 紫掣符德求a 为了确粉脚棚 浙江大学硬士学位论文 们利用正交性条件：正晶+ 正= 0 ， 其中& = 揣舻驾澍魄 于是利用特征线法结合初始条件可以得到： l 丝：f ：型丛生盟二垒! la x “也( 2 ) ( 也( z ) - d 0 侈z 喇z 硒h ( 丽2 ) ( x - 两d o f ：兰蔓者面一三 ( x d 2 ) 2 一( 岛( z ) 一d 2 ) 2 = 。 ( 3 1 。) 其中z 满足变换：( z ，x ) 卜血- ( j ，1 ) ，且工= h ( z ) ，容易知道，z 。满足( 3 6 ) ， 眠f 糕疵+ 三2 坼) 2 = o 占噬( ，) ” 以及下面两个关系： 旦三：型生：! ! 垒塑二堡2 缸c d 2 ) ( + 陋， 2 ) 瑟 盘 ( 3 1 1 ) - y - ：是，给定( z ，力，我们可以利用( 3 9 ) 求出( ；，旬；反之，给定( 2 ，句，可以通 过( 3 1 1 ) 用牛顿迭代求解z ，进而通过( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 用牛顿迭代求出( z ，力。 在下包层中，也就是一d l 工 一 ( z ) 的区域内，需要完成变换： ( z ，工) l m z 佃，一d j x 一 ( z ) 屿 ( ，圣) l 一 j 佃，一日 王 一1 取局部坐标变换 渐汪大学硕士学位论文 i ；= 厂( 毛z ) ， 卜护丽1 - d , 卜絮掣 丝：f ：奠亟刍堕二业 a x 7 啊( ；) ( 呜乜) 一d i ) 鲁= 纠( z ) 器t 7 , 0 2 托l z 儿l 一i z ” 鼍2 意输 出| i l ( z ) ( 啊( z ) 一日) l1 + 旧( z ) l 鼍2 熹第薪 岔( 日+ 啊( z ) ) fl + 陬z ) 2 1 以及两个积分式： f ：等出一批+ d i ) 2 郴) d 1 ) 2 - o r 糕西+ 1 2 忡) 2 = o 占珂( f ) 。 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 于是，给定( z ，x ) ，我们可以利用( 3 1 2 ) 求出( ，旬；反之，从而如果给定( ；，旬， 可以通过( 3 1 4 )