（运筹学与控制论专业论文）多部门宏观经济的增长理论与实证分析.pdf

出壅太堂熊堂焦论塞 多部门宏观经济的增长理论与实证分析 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文主要研究宏观经济增长理论与实证分析，是对国民经济管理中的宏观经 济进行数量分析，利用数学理论建立起模型与方法。当然建立在一定的理论基础 上，这包括华罗庚提出的“正特征矢量法”和美籍经济学家瓦匹里一列昂节夫提 出的“投入产出分析”。“投入产出分析”主要是对宏观经济静态的情况进行研究。 主要是对截面数据进行分析，得到当前国民经济各部门的技术和相互关系的详细 情况：而“正特征矢量法”是对宏观经济的动态进行研究，从长期的角度考虑宏 观经济平衡增长的充分必要条件，并且得到一个基本定理，它是本文的理论基础。 近年来，“投入产出分析”在应用中的一个推广，就是中国科学院数学与系统科 学研究院的陈锡康研究员，提出的“投入占用产出分析”m 】，在近几年的全国 粮食预测方面1 1 【”l ，做出了重要贡献，得到国内外专家学者的认可和好评。关 于“投入产出分析”的r a s 法最新进展，我们可以参考研究报告 4 3 ， 4 4 年d 【4 5 。 本文试图把二者结合起来，研究国民经济当前以及长远的发展规律，体现在 论文的前三章。第一、第二章分别是绪论和预备知识，第三章是对华氏宏观经济 模型的推广。包括在原来模型的基础上，分别增加了消费、投资以及二者同时增 加三种情况。主要的模型以及定理如下： 用第t 年产出x ( t ) 的口倍作为第t + 1 年的投入y ( t ) ，剩下的作为第t 年的消 费c ( t 1 。在此政策下，得到增加了消费的第一种华氏模型为 模型( 一) ： i a x ( t ) = y ( t 一1 ) y ( t ) = 口。x ( t ) l c ( t ) = ( 1 一口。) x ( t ) 或写为： ia x ( t + 1 ) + c ( t ) = x ( t ) 【c ( t ) = ( 1 一口。) x ( t ) 0 口1 ，t n 0 口。s 1 ，t n 用i 部门第t 年产出x i ( t ) 的口( t ) 倍作为第什1 年的投入y ，( t ) ，剩下的作为 第t 年的消费，在此政策下，得到增加了消费的第二种华氏模型为 出蕴太堂盛主堂焦监奎 模型： ia x ( t ) = y ( t 一1 ) y ( t ) = d i a g ( a i ( t ) ，口2 ( t ) ，一，口。( t ) ) x ( t ) 0 口。( t ) 1 ，t n ，i 1 ，2 ，n l c ( t ) = x ( t ) 一y ( t ) 或写为： 黛冀q d 繁。，+ 、 o t z = ( t ) l ，t n ，i 1 ，2 ，1 n ) id i 【c ( t ) = 【- a g ( a l ( t ) 一，口。( t ) ) 】x ( t ) 一 一 对于模型( _ ) ，有以下定理成立： 定理3 1 1 若a 是本原矩阵，丑是a 的f r o b e n i u s 根，且a 1 ，v 1 、u 分别 是a 的左、右正特征矢量，v u = 1 ，y ( o ) 0 。则 x ( t ) 0 ，y ( t ) 0 ，c ( t ) 0 的充分必要条件是 x ( t ) ：v t ，y ( 0 ) f i 口u y ( t - 1 ) ：v t + y 。( o ) f i 儿口u c ( t ) ：w ，y 。( o ) ( 、1 - 讨叫 其中0 口。1 ，= 1 ，t n 。 对于模型，我们只考虑一种特殊情况，即a 。( t ) = 口，这时模型变为： 模型( 2 ) ： h x ( t ) = y ( t 一1 ) y ( t ) = d i a g ( a l ，a 2 ，t 2 。) x ( t ) 0 口，1 ，i ( 1 , 2 ，n ) lc ( t ) = x ( t ) - y ( t ) 定理3 1 2 a 是本原矩阵，o 0 。 华氏模型增加消费和投资后，变为： x ( t ) 一a x ( t + 1 ) 一b 【x ( t + 1 ) - x ( t ) 】= c ( t ) ( d 定理3 3 1 对于模型，设矩阵a 、b 满足3 2 2 中的三个假设，矩阵 b = ( i - a ) ( a + b ) ，且矩阵a 不可约，则模型存在均衡增长解为： x ( t ) = ( 1 + r ) 。【i - a - r ( a + b ) 】1 c ( o ) ， 其中0 r ：。 丑( b ) 对于模型，一种特殊情况为： 定理3 3 2 如果投资系数矩阵b = d i a g ( f l l ，以，p o ) ，b 0 ，消费向量 c ( t ) = 【i - d i a g ( a l ，a 2 ，口。) 】x ( t ) ，0 口。s 1 ，直接消耗系数矩阵a 为不可约 矩阵，百= d i a g ( 赤，摹万) ( a 十b ) ，h 是百的f r o b e m t l s 根v 1 、u 分s j j 百 对应于h 的左、右正特征矢量，且v 1 u = 1 ，x ( o ) 0 ，则模型存在唯一具有经 济意义的解为： x ( t ) = 半u 其中t n 。 以上是本文的第一部分。第二部分是研究对于多部门宏观经济产出增长率的 m 出丕太堂熊堂位监塞 分解，主要阐述技术进步对产出的贡献率。这种技术进步，和单部门技术进步， 比如著名的“索洛余值”，所得结论有着本质的区别，因为单部门技术进步，或 者称为总量的角度计算的技术进步。在实际应用中，尽管模型运行良好，但它不 能从机理上解释经济增长的原因i 4 7 j 。而本文所述的技术进步，把国民经济划分 成多个部门，来计算直接消耗系数的变化，或者说技术消耗定额系数的变化，对 多部门经济增长的贡献率，从多部门生产技术结构角度说明技术进步对产出的贡 献率。 第二部分，在论文中体现在第四章，主要有以下结论： 定理4 2 1 假设经济系统由于“替代效应”和“制造效应”而使直接消耗系 数矩阵发生变化，则由“替代效应”引起的行乘数矩阵r 和由“伟4 造效应”引 起的列乘数矩阵s 满足关系： 厶窆v i s i x 。= 窆挚 弘1i l i i 其中r = d i a g ( r t ，r 2 1 - 1 - n ) ，s = d i a g ( s i ，s2 ，s 。) 。 定理4 3 1 在多部门经济两个时期的静态投入产出模型 a o x o + y o = x o ，a l x i + y l = x l 中，消耗系数变化对总产出向量增量x 的贡献率( 记为a x ，) 是： 其中 a x t = ) ( a + x ：y ) ( 。_ 【( i a 1 ) 一( i a 。) y o = ( i a ) y o = ( r i j y “j ) 。 j i a x k 。为下面a x 。分解后的第一部分 - ( n b , i 懒) n x = 毡蚶赫o l r i i y ia y i ij 1l l 十1 1 i i 论文的最后一部分是第五章实证分析，阐述了当代中国经济的现状，主要是 从技术结构的角度分析，并给出理论指导。主要结果如下： 1 三时间段产出增长率的分鳃 j v 出壅太堂匿雯垃论塞 表4 年份矩阵变化最终需求交互影响 9 0 年9 2 年1 8 4 7 7 6 7 0 4 8 3 9 2 年9 5 年1 4 6 1 0 0 - 3 3 1 7 9 9 0 年9 5 年 6 0 l 9 1 1 0 2 8 9 2 总产出、总最终需求和总中间使用的增长率 表6 时间段总产出总最终需求总中间使用 9 0 年9 2 年3 7 8 2 2 7 9 3 4 4 8 7 9 2 年母5 年 7 8 1 7 24 8 8 1 6 4 9 0 年_ 9 5 年 1 4 5 4 6 1 2 0 6 7 1 6 3 1 5 总结以上表格，我们发现从1 9 9 0 年一1 9 9 5 年间，产出的增长主要是由最终 需求的增长拉动的，并且随着时间的推移，拉动的比例越来越大：比较同一时间 段的增长率，总最终需求的增长率小于总产出的增长率、小于总中间使用的增长 率，这说明我国整体的经济技术有待进一步发展，结构有待进一步调整。 n 3 令直接消耗系数矩阵列和a u 中，最大的是第k 列，最小的是第m 列 i i 则增大第t e l 部门的产量而减少任何其他部门的产量，或者减少第k 部门的产量 而增大任何其他部门的产量，这样会提高生产效率。 另一方面，令列昂节夫逆阵( i a ) = ( b 。) ，列和y b 中，最大的是第s 。 百 列，最小的是第t 列，则增大第t 部门的最终需求量而减少任何其他部门的最终 需求量，或者减少第s 部门的最终需求量而增大任何其他部门的最终需求量，这 样也会提高生产效率。 4 根据我国1 9 9 5 年的直接消耗系数矩阵列和的情况利用以上分析理论对 我国国民经济进行宏观调控，就是要增大第一部门( 农业) 、第十六部门( 运输 邮电业) 等的产量，同时增加这两个部门的消费、投资等最终需求；另一方面， 减少第三部门( 电力工业) 、第五部门( 石油、天然气工业) 等的产量和最终需 求，这样可以提高我国国民经济的生产效率。当然。由于电力、石油和天然气是 能源部门，减少他们的最终需求是不现实的，那么就要提高这两个部门的生产技 术，管理科学化，从而降低他们的中间消耗，这样才使得我国的国民经济生产效 率得到提高。 在2 0 0 4 年3 月5 日召开的十界全国人民代表大会二次会议上，温家宝总理 在政府工作报告中，提出今年经济增长的预期目标为7 左右。这个数字比去年 9 1 的增长速度低了两个多百分点，这体现了我国今后经济着力点放在了深化改 革、推进结构调整、提高经济增长质量和效益上。本文的实证分析结论，以及下 面的数据说明了中国政府制定目前宏观经济政策的正确性：我国消耗了全球 3 1 、3 0 、2 7 * 0 和4 0 的原煤、铁矿石、钢材和水泥，创造出的g d p 却不足全 球的4 o 。 总结全文，有以下创新点： 推广了华氏宏观经济模型，分别增加了消费、投资以及二者同时增加得到 v 出苤右堂簋堂毽j 盆塞 三种推广的模型，并对它们的均衡增长解和唯一解进行了研究。 建立在多部门宏观经济模型基础上，给出了由于技术系数变化引起产出增长 贡献率的计算公式，具有全面性和可比性，从技术结构角度解释了经济增长。 给出了“投入产出分析”和“正特征矢量法”新的应用，即分析当前的经济 状况，主要是生产效率状况，并给出解决问题的方法。 关键词：经济增长，宏观经济模型，技术系数矩阵，实证分析 出丕盔堂蝗主茔僮论童 g r 删t ht h 印r y 州dp o s l t i v ea n a l y s l sl nm u l t 卜s e c t o r ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n d s y s t e ms c i e n c e 。s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n 2 5 0 1 0 0 , s h a n d o n g , c h i n a ) a b s t r a c t i nt h et h e s i s ，w em a i n l yr e s e a r c ho ng r o w t ht h e o r ya n dp o s i t i v ea n a l y s i s ，a n do n q u a n t i t a t i v ea n a l y s i so f m a c r o e c o n o m i c si nn a t i o n a le c o n o m i cm a n a g e m e n tt h r o u g h c o n s t r u c t i n gm o d e l sa n du s i n gm a t h e m a t i c a lt h e o r y o fc o u r s e ，w ed o o u rr e s e a r c h e s b a s i n g o ns o m e p i o n e e r sw o r k s , i n c l u d i n g e c o n o m i s t l o n t i e f s i n p u t - o u t p u t a n a l y s i s ”a n dp r o f e s s o rh u al u o - g e n g “s p o s i t i v ec h a r a c t e r i s t i cv e c t o rm e t h o d ” t h ef o r m e ri sm o s t l yo ns t a t i cm o d e l s a r e r u s i n gt h em o d e l st oa n a l y z es e c t i o nd a t a w ec a l lg a i nt h ed e t a i l e dc o n d i t i o n so nt e c h n o l o g ya n dr e l a t i o n so fd i f f e r e n ts e c t i o n s i nn a t i o n a le c o n o m y b u tt h e1 a r e ri so nd y n a m i cm o d e l w ec a ng a i nt h es u f f i c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o no f t h en a t i o n a le c o n o m yt ob a l a n c eg r o w t hf o r l o n g t e r m ，t h a t i sab a s i ct h e o r e mw h i c hi st h e o r e t i c a lb a s eo f t h et h e s i s r e c e n ty e a r s ，c h e n x i k a n g , ar e s e a r c h e ri ni n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e so fc h i n e s ea c a d e m yo f s c i e n c e s e x t e n d e d “i n p u t - o u t p u ta n a l y s i s a n d p u t f o r w a r d p e r f e c t i n p u t - o c c u p a n c y - o u t p u ta n a l y s i s 【l o 】o nf o r e c a s to ft h eg r a i np r o d u c t i o na l lo v e r t h ec o u n t r y , “i n p u t - o c c u p a n c y - o u t p u t d o e sv e r yw e l la n di sr e c o g n i z e dm e r i t b y t h e s c h o l a r sa l lo v e rt h ew o r l d t 卜【1 7 1 o t h e rr e s e a r c h e so n “i n p u t o u t p u ta n a l y s i s ”w e c a l lr e f e rt or e f e r e n c e s 【4 3 】，【4 4 1 ，a n d 【4 5 w ea t t e m p tt oi o i nt h e mt o g e t h e ra n dr e s e a r c ho nc u r r e n ta n dl o n g t e r m d e v e l o p m e n tr u l eo f n a t i o n a le c o n o m y t h e y a r ep r e s e n t e di nt h ef r o n tt h r e ec h a p t e r s i nd e t a i l ，t h ef i r s ta n ds e c o n dc h a p t e r sa r ei n t r o d u c t i o na n dm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g e ， r e s p e c t i v e l y , a n d t h em i r d c h a p t e r i s g e n e r a l i z a t i o n s o fh u a s m o d e l a d d i n g c o n s u m p t i o n ，i n v e s t m e n t ，a n db o mo ft h e m ，r e s p e c t i v e l y t h e m a i nm o d e l sa n d t h e o r e m sa r ea sf o l l o w s ： s u p p o s eu s i n g 口t x ( o ，w h e r ex ( t ) s t a n d sf o rt h et 也y e a ro u t p u tv e c t o ra n d 口i s ar e a l c o e f f i c i e n t ，a si n p u tv e c t o ry ( t ) o fn e x ty e a r , i e t h e ( t + 1 ) “y e a r m e a n w h i l e ，t h el e f t o v e r , ( 1 一口t ) x ( t ) ，i su s e da st h ec o n s u m p t i o nc ( t ) o f t h et “ y e a r , s o ，u n d e r t h i sp o l i c y , w eh a v et h ef o l l o w i n gm o d e l 一一 出苤盍堂谴堂焦论奎 la x ( t ) = y ( t 1 ) _ o d e i h ： y ( t ) = a t x ( t ) 0 ( 口。- 1 ，t n 【c ( t ) = 0 - - 5 。) x ( t ) 。，州t t e n t ob e ： 篡? + i 臻醐 o 皤1 i t n i c ( t ) = ( 1 口，) x ( t ) c o n s i d e r i n g t h e i “s e c t o r , u s i n g 口( t ) x ( t ) a sy 。( t ) ，w h e r e 口。( t ) i s a c o e f f i c i e n t w i t h t h ec o n d i t i o n 0 a ( t ) 1 ；t h e l e f t o v e r , n a m e l y , ( 1 一口，( t ) ) x 。( t ) ，a s t h e t ”y e a rc o n s u m p t i o nc i ( t ) a c c o r d i n gt ot h i sp o l i c y , w ea t t a i nt h ef o l l o w i n g m o d e l ： _ o d o i ： f a x ( t ) 7 1 ) = y ! t y c t ) d i a g ( a t ( t ) ，a 2 ( t ) ，一，a 。( t ) ) x ( t ) 0 a ( t ) 1 ，t n ，i 1 ，2 ，n l c ( t ) = x ( t ) 一y ( t ) o r w r i l t e n t ob e 黑：1 ) + c ( t ) “- - - x + 、( t “ 、 o 删 l t n ，i l 2 _ n id i l c ( t ) = -a g ( 口t ( t ) ，a 。( t ) ) 】x ( t ) 一”。 一r 一 一 f o rm o d e l w e g i v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： t t h e o r e m 3 1 1i fm a t r i xai s p r i m i t i v e ，a n dl e t 五b ef r o b e n i u sr o o to fa w i t ht h ec o n d i t i o na 1 l e tc o l u m nv e c t o r sv 7a n dud e n o t e l e f ta n dr i g h t p o s i t i v ec h a r a c t e r i s t i cv e c t o r so faw i t ht h ec o n d i t i o nv u = 1 y ( o ) 0d e n o t e s t h ef i r s ti n p u ti sn o n n e g a t i v e t h e n x ( t ) 0 ，y ( t ) 0 ，c ( t ) 0 i f a n d o n l yi f x = 半* u y ( t - 1 ) ：v t 州y ( o ) 1 f - = i 口。u 彳 c ( 1 ) ：学( 1 玛) 矗州， i i n h e r e0 a s 1 ，a 。= 1 ，t 芭n v u i f o rm o d e l ，w e o n l yt h i n k o v e ras p e c i a lc o n d i t i o n ，n a m e l y , 口。( t ) = 口。h e r e ， fa x ( t ) = y ( t 一1 ) y ( t ) = d i a g ( a 1 ，a2 ，g 。) x ( t ) 0 。，x 。， w h e r e 五( 百) o i sf r o b e n i u sr o o to fm a t r i xb ，a n dx i sp o s i t i v ec h a r a c t e r i s t i c i x 一一出蠢太堂遵堂缱论奎一 v e c t o ro fbc o r r e s p o n d i n g 旯( b ) ，m e a n w h i l et h ec o e f f i c i e n tc 0 a d d i n g i n v e s t m e n ta n d c o n s u m p t i o n ，h u a sm o d e lc h a n g e si n t o x ( t ) - a x ( t + 1 ) 一b 【x ( t + 1 ) 一x ( t ) 】= c ( t ) ( d t h e o r e m3 3 1s u p p o s em a t r i c e saa n db s a t i s f yt h r e ea s s u m p t i o n s i ns e c t i o n 3 2 ，a n d m a t r i x b = ( i a ) ( a + b ) ，a n dm a t r i x ai si r r e d u c i b l e t h e nt h e m o d e l ( 歪) h a ss o l u t i o no fb a l a n c e dg r o w t hx ( t ) = ( 1 + r ) i - a r ( a + b ) 】- 1 c ( o ) ， w h e r eo r 0 。 定义2 1 3 】不可约矩阵 矩阵a = ( a ，) ，若存在置换方阵p ，使得 删钱之) 其中a 。为k 阶方阵( 1 s k sr l 一1 ) ，右上角为k x ( n k ) 阶零矩阵 矩阵。不是可约矩阵的矩阵，称为不可约矩阵。 定义2 1 4 【2 1 】本原矩阵 非负不可约矩阵a 分成两类：若存在正整数p ，使得a ， o 矩阵：否则，a 为非本原矩阵。 则称a 为可约 则称a 为本原 定义2 1 5 【2 1 1 纠 阵 矩阵a - - ( a o ) ，如果a 能表示成a = a i - b ，b 0 ，旯 p ( b ) ( p ( b ) 为矩 阵b 的谱半径) ，则称a 为m i n k o w s k i 方阵，简称m 方阵。 6 出筮叁堂盥土堂僮监童 由定义知，非负矩阵的“不可约性”和“本原性”是矩阵的组合性质，与非 零元素值的大小无关，只和非零元素的位置有关；由a = a i b 看出m 方阵和非 负矩阵关系密切。 2 2 引理 引理2 2 1 2 q 非负不可约矩阵a ，旯( 1 i n ) 为a 的n 个特征值， a ( a ) = m a ) c 。l ，- ，b 。肌则以下结论相互等价： ( 1 ) a 为本原矩阵： ( 2 ) a 只有一个模等于a ( a ) 的特征值( 即g ( a ) 自身) ( 3 ) 存在正整数p ，使得a 9 0 ： ( 4 ) 不存在置换方阵p ，使得 p a p l ： ob 其中主对角块为非空零方阵。 显然，正矩阵是不可约的，且是本原的。 0 b k o 引理2 2 2 【2 1 】( p e r r o n f r o b e n i u s 定理)设a 是非负不可约方阵，则： ( 1 ) a 存在正特征根2 ( a ) ( 称为f r o b e n i u s 根) ，z ( a ) 是单重特征根且对 于a 的其它特征根a ，有h | s 五( a ) 。特别地，若a 还是本原矩阵，则h 五( a ) 。 引理2 2 3 1 , 9 1 若a 是r l 阶本原矩阵，五是其f r o b e n i u s 根，v 7 ，u 分别是 其左、右正特征矢量，且v 1 u = 1 ，则 出蠢太堂盛堂撞诠塞： 一 l i m ( 会) t ：u v t t 叶o 引理2 2 4 1 9 1若b 是n 阶实方阵，h 是b 的单重正特征根，v 7 、u 分别是 b 对应h 的左、右正特征矢量，且v 1 u = 1 ，b 的其它特征根的模都小于h ，实 向量序列 y ( t ) ? 满足b y ( t ) = y ( t 1 ) ，t n ，y ( 0 ) 0 则y ( t t ) o 的充分必要 条件是 y ( t 1 ) = 1 v t y r ( 0 ) u 引理 2 。2 5 设a 是本原矩阵，0 0 ，b 0 ，则以下 结论相互等价： ( i ) a 为m 方阵； ( z ) s 足( b ) ： 出丕态堂擅堂擅监奎 足： ( 3 ) a 可逆，且a “0 引理2 2 7 2 1 j 设非负不可约矩阵a = ( 8 u ) 。，则a 的f r o b e n i u s 根 ( a ) 满 引理2 2 8 若非负不可约矩阵a = ( 8 i ) ，对于每一列j 满足 则有： ( 1 ) 0 2 ( a ) o 。 2 3 经济意义 a i 1 ， 忙i 定义2 3 1 小数矩阵 设非负矩阵a = ( a b ) ，p ( a ) 为谱半径，若p ( a ) l ，则称矩阵a 为正小数 矩阵，简称为小数矩阵。实际上，对于非负矩阵a ，a 的谱半径p ( a ) 就是a 的 f r o b e n i u s 根2 ( a ) 。 由于小数矩阵为特殊的非负矩阵，所以具有非负矩阵的性质，比如满足 f r o b e n i u s 定理；对于不可约性和本原性都属于矩阵的组合性质，只和矩阵中零 元的分布位置有关，而和非零元的大小无关，所以小数矩阵的不可约性和本原性 与非负矩阵相同。小数矩阵的本质性质就是矩阵幂级数收敛： 定理2 3 。1 设非负矩阵a = ( a i ) ，则幂级数a ”啼0 ( m 寸) 的充分必要 条件是矩阵a 为小数矩阵。 由于任意矩阵a 的谱半径不大于a 的任何一种范数，直接消耗系数矩阵的任 意列和小于1 ，所以根据引理2 2 7 ，2 2 8 知： 9 a a 。问。m ，、l，、j、l 敬渤 戤两 m 瞎 m 一 0 ，第t 年的产出为：x ( t ) = a 。x ( o ) ，t n 。若 x ( 0 ) u ，其中u 是a 的右正特征矢量，则存在自然数t 。，当t t 。时，矢量x ( t ) 有负分量。 黄钧在文 2 5 中将上述定理中“a 可逆”条件去掉，结论依然成立。 用第t 年产出x ( t ) 的口。倍作为第t + 1 年的投入y ( t ) ，剩下的作为第t 年的消 费c ( t ) 。在此政策下，得到 模型： 或写为 ia x ( t ) = y ( t 一1 ) i y ( t ) = 口，x ( t ) i c ( t ) = ( 1 - g ) x ( t ) f a x ( t + 1 ) + c ( t ) = x ( t ) 1 c ( t ) = ( 1 一口。) x ( t ) 0 口1 ，t n o 乜茎1 t n 用i 部门第t 年产出x ，( t ) 的a ( t ) 倍作为第t + 1 年的投入y ( t ) ，剩下的作为 第t 年的消费，在此政策下，得到 模型o ： fa x ( t ) = y ( t 一1 ) y ( t ) 2 d i a g ( a 1 ( t ) ，a 2 ( t ) ，口。( t ) ) x ( t ) 0 口，( t ) 1 ，t n ，i l ，2 ，n 【c ( t ) = x ( t ) y ( t ) 或写为： 愁i 1 慧d i 。麓o 帆、o 删 l ，t n ，i l ，2 ，n 【c ( t ) = 【一a g ( a 1 ( t ) ，- 一，口。( t ) ) 】x ( t ) 1 p 一c 、i ，- l 叫 之所以考虑以上两类模型，是因为华罗庚教授的“正特征矢量法”，对于无 幽丕友茔谴堂缱论奎 消费的投入产出经济模型，投入必须依正特征矢量的比例来组织安排生产，此时 产出x c t ) = - y ( t 1 ) ，产出和投入都是直接消耗系数矩阵a 的正特征矢量u 的倍 数。对于有消费的投入产出经济模型在一定条件下“正特征矢量法”依然成立， 即x ( t ) 、y ( t 1 ) 和u 成比例，所以有消费时，可以假设第t + 1 年的投入 y ( t ) = 口x ( t ) ，否则y ( t ) 和x ( t ) 不成比例，此时可设为模型。 对于模型( 一) ，有以f 定理成立： 定理3 1 1 若a 是本原矩阵，五是a 的f r o b e n i u s 根，且a 1 ，v 7 、u 分 别是a 的左、右正特征矢量，v 7 u = 1 ，y ( 0 ) 0 。则 x ( t ) 0 ，y ( t ) 0 ，c ( t ) 0 的充分必要条件是 x ( t ) ：鼍掣i = i 叫 ，l = i y ( t 一1 ) 一v r + y ，( 0 ) f i d 。u i ，0 c ( 1 ) ：v r y ，( 0 ) ( 、i - - t 2 t ) f j 叫 其中0 c t 。1 ，= 1 ，t n 。 令 证明：充分性显然成立，下面证明必要性成立。 对于等式y ( t ) = d ，x ( t ) 两边左乘矩阵a 得： a y ( t ) = 口。a x ( t ) = a ，y ( t 1 ) w ( o ) ：y ( o ) ，w ( t ) ：毒盟，：1 兀口。 l ，o 则a w ( t ) = w ( t 一1 ) 。 由于a 是本原矩阵，所以由引理2 2 3 和引理2 2 4 得到： 出丕厶坐盛坐位论塞 所以 的充分必要条件是 w ( t ) 。曹w ( t ) = 半u x ( t ) 0 ，y ( t ) 0 ，c ( t ) 0 x ( t ) ：! 挲兀t - i 叫 ( t - 1 ) y ( t ：鼍掣矗口u= 二杀p 口 c ( t ) ：鼍掣”讨州 证毕 对于模型，我们只考虑一种特殊情况，即口。( t ) = 口，t 这时模型变为 ia x ( t ) = y ( t 1 ) y ( t ) = d i a g ( a 1 ，口2 ，口。) x ( t ) 0 a 时 a y ( t ) y ( t 一1 ) ，x ( t ) x ( t 1 ) 且 x ( t + 1 ) 一x ( t )y ( t ) 一y ( t 1 ) a 。一且 x ( t )y ( t - 1 ) a 即投入、产出是逐年递增的，且年增长率都是拿一1 。 证毕 关于多部门投入产出经济模型，华罗庚呷l ，刘树林f 2 6 1 都作过研究，在他们 的基础上，胡发胜给出了有消费的四类经济模型 1 9 1 ，并得到相当好的结论。下 面给出其中两类模型，并指出它们和本文两类模型之间的关系。 f a x ( t ) = y ( t 一1 ) 模型( i ) y ( t ) = x ( t ) 一a x ( t ) 一y ( t 一1 ) 0 口 l ，五 1 i c ( t ) = a x ( t ) 一y ( t 一1 ) a x ( t ) = y ( t 1 ) 模型( i i ) y ( t ) = 声。 x ( t ) - y ( t 一1 ) 兄 1 ，0 卢，t n i c ( t ) = x ( t ) 一y ( t ) 推论3 1 2 若a 是本原矩阵，其f r o b e n i u s 根a l 时，该经济系统是增长的；当口 1 时，我们记口= 1 + y ，称y 为均衡增长率。均衡增长解表示经济系统各个 部门，消费、投入和产出都按相同的比例增长或者衰退。 定理3 2 1 设赢接消耗系数矩阵a 0 且不可约，模型存在均衡增长解的 充分必要条件是吉 2 ( a ) ，其中2 ( a ) 为直接消耗系数矩阵a 的f r o b e n i u s 根。 证明：由 x ( t ) = c t x ( t 1 ) ，c ( t ) = a c ( t 1 ) 6 当垒厶生蝗堂也监褒 一 得到 代入模型中，整理得 x ( t ) = 口x ( o ) ，c ( t ) = 口c ( o ) ( 吉i a ) x ( 0 ) = 吉c ( 0 ) 由【2 7 中定理1 6 1 得，对于任意的c ( o ) 0 ，由上式可得x ( o ) 0 的充分必要条 件是：上 丑( a ) 。 证毕 当矩阵a 非负不可约， 古 a ( a ) 时，矩阵( 吉i a ) 的逆存在且大于零，所 以x ( o ) = 吉( 古i a ) 。c ( o ) ，即初始产出依赖于c ( o ) 的值。 根据均衡增长解的定义，可知上一节定理3 1 1 和定理3 1 2 的解是非均衡增 长解，并且在给定的消费政策下，产出向量是唯一的。以上讨论的是有消费的模 型的解，下面讨论有投资模型解的情况。 3 2 2 有投资的宏观经济模型 华氏模型增加投资后，变成模型： x ( t ) 一a x ( t + 1 ) 一b x ( t + 1 ) 一x ( t ) 】= 0 ( 9 其中x ( t ) 为总产品向量，a 为直接消耗系数矩阵，b = ( b u ) 。，。为投资系数矩阵， 元素b 。表示第j 部门新增单位价值产品所消耗的第i 部门产品作为生产资本的价 值数量。 根据经济意义，我们对直接消耗系数矩阵a 和投资系数矩阵b 做出如下假设 12 7 ： ( 1 ) a = ( 8 ) o ，b = ( b i ) 。0 ( 2 ) a o o ( 3 ) a 。 0 。 同理可以定义模型存在均衡增长解： 一一一山苤太堂燧生位盈塞 x ( t - 1 ) = ( 1 + r ) x ( t ) 或x ( t ) = ( 1 + r ) x ( o ) 其中r ，0 为均衡增长率，记x = x ( o ) 为基期总产出列向量。 将x ( t ) = ( 1 + r ) x 代入模型中，可得： f i a ) x = r ( a + b ) x 由于矩阵( i a ) 可逆，所以上式变为： x = r ( i a ) 一( a + b ) x 令百= ( i a ) 一( a + b ) ，整理上式为： ( i - r b ) x = 0 如果矩阵a 不可约，则( i a ) 一 0 ，所以百 0 ，有以下定理： 定理3